MENSAGEM FINAL
A Borboleta
Um dia, uma pequena abertura apareceu em um casulo, um homem
sentou e observou a borboleta por várias horas conforme ela se esforçava
para fazer com que seu corpo passasse através daquele pequeno buraco.
Então pareceu que ela parou de fazer qualquer progresso. Parecia
que ela tinha ido o mais longe que podia, e não conseguia ir mais longe.
Então o homem decidiu ajudar a borboleta. Ele pegou uma tesoura e
cortou o restante do casulo.
A borboleta então saiu facilmente. Mas seu corpo estava murcho e
era pequeno e tinha as asas amassadas.
O homem continuou a observar a borboleta porque ele esperava que,
a qualquer momento, as asas dela se abrissem e esticassem para serem
capazes de suportar o corpo, que iria se afirmar a tempo.
Nada aconteceu! Na verdade, a borboleta passou o resto da sua
vida rastejando com um corpo murcho e asas encolhidas.
Ela nunca foi capaz de voar.
O que o homem, em uma gentileza e vontade de ajudar, não
compreendia era que o casulo apertado e o esforço necessário a borboleta
para passar através da pequena abertura era o modo com que Deus fazia
com que o fluido do corpo da borboleta fosse para as suas asas de modo que
ela estaria pronta para voar uma vez que estivesse livre do casulo.
Algumas vezes, o esforço é justamente o que precisamos em nossa
vida.
Se Deus nos permitisse passar através de nossas vidas sem quaisquer
obstáculos, ele nos deixaria aleijados. Nós não iríamos ser tão fortes como
poderíamos ter sido.
Nós nunca poderíamos voar.
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MENSAGEM INICIAL
SEJA UM JOVEM GUERREIRO
(Richard Carlson)
Quer admitamos quer não, e certamente quer gostemos quer não, a vida é cheia de
dificuldades. É parte inevitável do pacote. A questão então é, os nossos problemas e
dificuldades nos arruínam, nos tomam amargos e apáticos, ou destroem o nosso espírito ? Ou são
fonte de crescimento, de sabedoria, de objetividade e de paciência ? A resposta é, depende
totalmente da maneira de encará-los.
Don Juan disse certa vez, "A diferença entre um homem comum e um guerreiro é que o
guerreiro considera tudo um desafio, enquanto que o homem comum considera tudo uma
bênção ou uma maldição." A boa notícia é que com uma pequena mudança na sua atitude, você
pode se tomar um "jovem guerreiro", o que será útil na sua vida presente e futura.
Pense nas pessoas que você mais respeita
pessoas que você conhece de fato, ou
heróis que admira. Como essas pessoas reagem aos desafios e às dificuldades de suas vidas ?
Elas se lamentam e reclamam, e se consideram vítimas ? Alimentam ressentimentos ? Sentem
pena de si mesmas e pensam "Nunca conseguirei superar isso" ? É claro que não.
Agora pense nas pessoas mais próximas
conhecidos, vizinhos
ou simplesmente
naquelas que já soube que reclamam de absolutamente tudo. Pessoas que se comiseram com as
outras, vivem se lamentando, batem o pé e não assumem a responsabilidade pela qualidade da
própria vida.
Qual é a diferença entre esses dois tipos de pessoas ? São as circunstâncias que
envolvem suas vidas, ou é a severidade das dificuldades que enfrentam ? Nada disso ! Na
verdade, se você observar bem, verá que as pessoas que demonstram atitudes mais corajosas
muitas vezes são as que enfrentam os problemas e desafios maiores.
Alguns jovens admiráveis que conheci tiveram problemas físicos ou doenças sérias e/ou
dolorosas, superaram problemas com drogas, viveram na pobreza ou cresceram sem os pais. E
provavelmente você não ficaria surpreso se eu dissesse que alguns jovens infelizes, insatisfeitos
e apáticos que conheci vêm de famílias ricas, têm pai e mãe que os amam, são bonitos,
possuem corpos saudáveis e tudo de bom que se possa imaginar. De fato, as circunstâncias não
fazem a pessoa... elas revelam quem essa pessoa é !
A diferença entre um jovem "comum" e um "jovem guerreiro" reside no modo de
encarar os problemas, as disputas e até as dificuldades legítimas. Um adolescente comum rotula
as coisas de "boas" ou "más" e fica sobrecarregado com seus problemas. Um jovem guerreiro, por
outro lado, tenta encontrar uma dádiva oculta, por menor que seja, em cada obstáculo que
enfrenta. Li sobre um monge tibetano que foi jogado numa prisão
Geometria | Caderno 02
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chinesa e ficou lá dezoito anos. Ele revelou que considerava os guardas da prisão seus maiores
professores porque eles o ajudaram a adquirir paciência e compaixão.
Esse certamente é um exemplo extremo, mas sugere que podemos aplicar a mesma
sabedoria aos desafios diários e menos sérios que enfrentamos. Sugere que quando alguma coisa
dá errado, em vez de reagir como sempre, em vez de ter a sensação de derrota, ficar maluco ou
deprimido, podemos encarar a situação de outra forma. Há alguma coisa para aprender
paciência, objetividade, humildade, generosidade, perseverança, ou outra coisa ? Esse
problema pode, de alguma maneira, nos transformar em pessoas melhores ? Nós temos mesmo
de reagir exageradamente ? Ou será que podemos dar a volta por cima ?
54. O triângulo ABC da figura é isósceles com base CB. Sabendo-se que BC = CD = DE = EF = FA,
o valor do ângulo interno no vértice A é:
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º
O simples fato de estar aberto para a possibilidade de os problemas poderem ensinar
alguma coisa
que pode existir uma dádiva oculta
em geral é o bastante para transformar
os seus problemas em novas oportunidades. Mantendo a mente aberta e encarando os seus
problemas desse jeito, você também pode se transformar num jovem guerreiro.
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52. (FATEC-SP) Nesta figura, r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC. Se
30º, então:
= 40º e
=
a) = 0º
b) = 5º
c) = 35º
d) = 15º
e) Os dados são insuficientes para a
determinação de y.
AS GEOMETRIAS
É muito comum ouvirmos falar de diversas Geometrias. No decorrer do próprio curso
falaremos em Geometria Euclidiana (plana e espacial) e em Geometria Analítica. Entretanto, os
diversos tratamentos que a Geometria sofreu no decorrer dos séculos permitem uma
“classificação” mais detalhada.
GEOMETRIA EUCLIDIANA
53. (STA CASA-SP) O triângulo ABC, representado na figura abaixo, é isósceles de base BC . A
medida do ângulo x assinalado é:
a)
b)
c)
d)
e)
Entre 300 a 200 a.C., Euclides de Alexandria reuniu em sua
obra Os Elementos os trabalhos de Tales e Pitágoras, assim como
outras contribuições à Geometria provenientes dos egípcios e
babilônicos. Os Elementos são compostos de treze livros, dos quais
seis são dedicados quase exclusivamente à Geometria. A importância
de Euclides está na sistematização e organização do conhecimento
geométrico e na introdução do raciocínio dedutivo. Também
contribuíram para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana:
Arquimedes, Eratóstenes e Ptolomeu.
90º
100º
105º
110º
120º
EUCLIDES
GEOMETRIA PROJETIVA
A Geometria Projetiva deriva dos trabalhos dos grandes mestres da pintura na
Renascença, dentre os quais se destacam Leonardo da Vinci
(1452-1519) e Albrecht Dürer (1471-1528). A organização de uma
Geometria Projetiva baseou-se na resolução de problemas ligados
à representação gráfica de objetos, pessoas e paisagens em
perspectiva, de tal maneira que suas propriedades métricas se
mantivessem invariáveis. Também contribuíram para o
desenvolvimento da Geometria Projetiva Blaise Pascal (16231662) e Gérard Desargues (1593-1662).
DA VINCI
Geometria | Caderno 02
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49. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas:
GEOMETRIA ANALÍTICA
Seguindo o desenvolvimento da Geometria Projetiva, houve
necessidade de se tratar algebricamente diversos problemas que a
Geometria Euclidiana não conseguia abordar. Essa aproximação entre
a Álgebra e a Geometria, concretizada principalmente por René
Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665), deu origem à
Geometria Analítica, que permite a substituição das curvas por
equações que as representem. A Geometria Analítica, proposta apenas
para o plano, estende-se hoje ao espaço de três dimensões.
50.
DESCARTES
GEOMETRIA DESCRITIVA
Situa-se, de certa forma, entre a Geometria Euclidiana e a
Projetiva e surgiu como forma de descrever o comportamento das
curvas e das figuras em duas ou três dimensões, considerando suas
projeções planas e suas características métricas, sem recorrer a
álgebra. A Geometria Descritiva é atribuída a Gaspard Monge (17461818). Teve também importantes contribuições de L. Carnot (17531823) e Jean Poncelet (1788-1867). A Geometria Descritiva é, em
homenagema Monge, também denominada de Geometria Mongeana.
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o incentro do triângulo é equidistante dos seus vértices.
o circuncentro do triângulo retângulo é ponto médio de hipotenusa.
o circuncentro do triângulo é eqüidistante dos seus vértices.
o ex-incentro do triângulo é o ponto de intersecção de suas bissetrizes externas, e
equidista de um lado e dos prolongamentos dos outros dois.
a bissetriz externa de um triângulo é sempre perpendicular à bissetriz do ângulo
interno adjacente.
O maior dos ângulos externos de um triângulo mede 160º. Se as medidas dos ângulos
internos estão em progressão aritmética, dois deles medem respectivamente:
a) 60º e 100º
b) 60º e 90º
c) 20º e 75º
d) 45º e 105º
e) nenhuma das respostas acima é correta.
MONGE
GEOMETRIA DIFERENCIAL
51. Verifique a veracidade das afirmativas:
Como o advento da Geometria Analítica, percebeu-se que
suas técnicas algébricas não se aplicavam a todos os problemas
referentes às curvas representadas por equações. A Geometria
diferencial é constituída pela associação das conquistas algébricas
do Cálculo Diferencial àquelas da Geometria Analítica. Entre seus
principais criadores estão Leonhard Euler (1707-1783) e Karl F.Gauss
(1777-1855).
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- Todo triângulo retângulo é escaleno.
- Existe triângulo retângulo e isósceles.
- Existe triângulo retângulo equilátero.
- Existe triângulo obtusângulo isósceles.
- Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.
EULER
Geometria | Caderno 02
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46. Na figura abaixo, exprimir o ângulo x em função dos ângulos a, b e c.
a) x = c + b - a
b) x = c + a - b
c) x = c + a +b
d) x = c - a - b
e) x = 2c + a – b
GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS
As Geometrias chamadas não-Euclidianas surgem dos
questionamentos de alugns axiomas contidos em Os Elementos de
Euclides, Basicamente, a suposição de que “por um ponto fora de
uma reta” poderiam “passar duas paralelas à reta dada”, levou
Girolamo Saccheri (1667-1733), Gauss e, posteriormente, Nicolas
Lobatchevski (1792-1856) e Janos bolyai (1802-1860) a propor uma
nova geometria denominada Geometria de Gauss ou Gaussiana.
Partindo da alternativa de que pelo ponto não passa nenhuma
paralela, George Riemann (1826-1866) propôs uma segunda
Geometria não-Euclidiana. Essas geometrias diferem da Euclidiana,
mas, assim como ela, mantêm uma coerência entre axiomas e
teoremas.
47. Se S = â + b̂ + ĉ + d̂ + ê + f̂ , considerando a figura abaixo, podemos afirmar que:
a) S = 360º
b) S = 540º
c) S = 420º
d) S é variável
e) todas as alternativas são falsas.
GAUSS
NIKOLAY IVANOVICH LOBATCHEVSKY (1792-1856)
48. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas:
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para se inscrever uma circunferência em um triângulo, determina-se o ponto de
intersecção das bissetrizes internas.
o baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2 no sentido do vértice para o
lado.
o circuncentro do triângulo pertence sempre ao seu interior.
o ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto.
o baricentro do triângulo pertence sempre ao seu interior.
Geometria | Caderno 02
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Nascido em Gorky (Rússia), foi contemporâneo de
Ostrogradsky. Embora não tenha gozado do mesmo prestígio
deste, devido a sua origem humilde, seu verdadeiro valor
acabou por ser reconhecido.
Firmou as geometrias não-euclidianas, baseadas na
negação do postulado de Euclides sobre paralelas,e afirmou
que, por um ponto fora de uma reta, pode ser traçada mais de
uma reta paralela à reta dada.
Esta geometria toda estruturada logicamente parecia
tão contrária ao senso comum que foi chamada de geometria
imaginária.
Entre as várias obras de Lobatchevsky estão
Geometria imaginária. Novos fundamentos da Geometria,
Pesquisas geométricas sobre a teoria das paralelas e
Pangeometria.
LOBATCHEVSKY
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43. Num triângulo qualquer, os lados medem a, b e c. Se acrescentarmos x unidades a a,
diminuirmos x/2 unidades de b, e acrescentarmos 2/3 de x unidades a c, como devemos
escolher x a fim de que o perímetro do triângulo modificado seja o dobro do perímetro do
triângulo inicial?
a) 6(a+b+c) /7
b) 7(a+b+c) /6
c) 2a + b-2c
d) 3(2a + b-2c) /5
e) Impossível determinar.
44. Num triângulo retângulo a mediana, relativa à hipotenusa, forma com a bissetriz de um
ângulo agudo do triângulo um ângulo de 120º. Calcule os ângulos agudos do triângulo:
a) 50º e 40º
b) 35º e 55º
c) 36º e 54º
d) 43º e 47º
e) 28º e 62º
45. Na figura abaixo, os segmentos AM e AN são iguais. Exprimir o ângulo X em função dos
ângulos a e b.
a) x = (a - b) /2
b) x = (a + b) /2
c) x = 2(2 + b)
d) x = 2(a - b)
e) x = 3(a + b) /2
Geometria | Caderno 02
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40. Assinale a afirmação falsa:
a) Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares.
b) Em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
c) Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o menor
ângulo, e a lados de medidas iguais se opõem ângulos iguais.
d) Todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.
e) Se um triângulo tiver um ângulo obtuso é obtusângulo, se tiver um ângulo reto é
retângulo e se tiver um ângulo agudo é acutângulo.
41.
Numere a segunda coluna de acordo com a primeira, associando o ponto notável da
primeira a uma característica sua na segunda:
(1) incentro
( ) está a 2/3 do vértice e 1/3 do lado.
(2) ortocentro
(3) baricentro
(4) circuncentro
(5) ex-incentro
(
(
(
(
) ponto de intersecção das alturas.
) eqüidistante dos vértices.
) centro da circunferência inscrita.
) eqüidista de um lado e dos prolongamentos dos outros.
Primeira Parte
Lendo-se a segunda coluna de baixo para cima obtemos a seqüência;
a) 3 2 4 1 5
b) 5 4 1 2 3
c) 4 1 5 2 3
d) 4 1 5 3 2
e) 5 1 4 2 3
42. Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas
seguintes.
I) 10 cm; 8 cm; 6 cm
II) 9 cm; 15 cm; 12 cm
III) 12 cm; 15 cm; 12 cm
IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm
V) 10 cm; 10 cm; 21 cm
Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos:
a) I, II, IV e V
b) I, II e V
c) I, II e IV
d) I, II, III e IV
e) Em nenhum caso pode se formar triângulo.
Geometria | Caderno 02
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Ednaldo Ernesto
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EXERCÍCIOS
37. Seja ABC um triângulo. Sabendo que a altura AR forma com a bissetriz interna de A, AS, um
ângulo de 20º e que as bissetrizes externas de B e C se encontram segundo um ângulo de
30º, podemos afirmar que os ângulos internos do triângulo ABC medem:
a) 120º, 30º, 30º
b) 90º, 45º, 45º
c) 120º, 50º, 10º
d) 90º, 30º, 60º
e) 90º, 76º, 15º
38. Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo x.
39. A figura abaixo mostra um triângulo ABC, isósceles de base BC, sendo BI bissetriz de A B̂ C e
CI bissetriz de A Ĉ B, calcule o valor de x.
Geometria | Caderno 02
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IV. Em todo triângulo, a bissetriz interna e a altura que partem de um mesmo vértice
formam um ângulo cuja medida é sempre igual à semi-diferença absoluta das medidas
dos dois ângulos internos adjacentes ao lado oposto.
Demonstração:
Hipótese: AH é altura e
AD é bissetriz interna.
B̂
Tese:
Ĉ
2
ÍNDICE
+
Â
+ C = 90°
2
2 + Â + 2 Ĉ = 180°
2 + Â + 2 Ĉ = Â + B̂
2 + 2 Ĉ = B̂
B̂
Ĉ
Página
Ĉ
Ĉ
2
cqd
V. Em todo triângulo, duas de suas bissetrizes externas sempre formam um ângulo cuja
medida é igual à semi-soma das medidas dos ângulos internos adjacentes ao lado de
cujos vértices partem as bissetrizes externas.
Demonstração:
Hipótese: BE e CE são bissetrizes
externas
B̂
Tese:
180 - Ĉ
2
180 - B̂
B̂
180
180 - Ĉ
Ĉ
2
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.
2
180 - B̂
2
Geometria | Caderno 02
Ĉ
2
360
01 - A idéia de ângulo
13
02 - Ângulo (definição)
14
03 - Ângulos nulo e raso
15
04 - Ângulos consecutivos
15
05 - Ângulos adjacentes
16
06 - Medida de ângulos
16
07 - Ângulos congruentes
22
08 - Bissetriz de um ângulo
22
09 - Classificação dos ângulos
23
10 - Ângulos opostos pelo vértice
26
11 - Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma
transversal
26
cqd
11
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III. Em todo triângulo isósceles a mediana relativa à base é também altura, bissetriz interna
e está contida da mediatriz.
Demonstração:
Hipótese: O ABC é isósceles de base AB e CM é mediana.
Tese: CM é bissetriz, altura e parte da mediatriz.
ACM
CMB
CASO: LLL
Então: AĈM
MĈB
CM é bissetriz de AĈB .
No ABC temos:
2 + 2 = 180°
+ = 90°
No ACM temos:
X + + = 180°
X + 90° = 180°
X = 90°
CM é altura.
cqd
Geometria | Caderno 02
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II. Todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do ângulo.
ÂNGULOS
Demonstração:
01. A IDÉIA DE ÂNGULO
Hipótese: P está na bissetriz AÔB
Tese: d
.
d
P,OA
Uma das idéias mais importantes em Geometria é a idéia de ângulo, que pode ser
sugerida pelas figuras:
P, OB
(MODELO MATEMÁTICO)
Olhando os ponteiros de um relógio, notamos uma figura que dá a idéia de ângulo.
OP
(MODELO
MATEMÁTICO)
OP (lado comum)
OP̂1P
OP̂2P (ângulos r etos)
P1ÔP
P2ÔP (OP é bissetr iz)
OP1P
OP2P
Logo : PP1
d
P, OA
PP2
d
P, OB
cqd
Geometria | Caderno 02
84
Mas os ângulos não estão presentes apenas nos objetos. Engenheiros, topógrafos,
desenhistas, carpinteiros, operadores de vôo, por exemplo, fazem uso constante de ângulos em
suas atividades profissionais.
13
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07. TEOREMAS
02. ÂNGULO
I. Todo ponto da mediatriz de um segmento é eqüidistante das extremidades do mesmo.
Definição: É a união de duas semi-retas de mesma origem.
Demonstração:
Hipótese: P está na mediatriz de AB.
Tese: dP,A = dP,B.
Na figura:
OA  OB
AÔB
 O ponto O (origem das semi-retas) é denominado vértice do ângulo.
 As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo
 Indica-se por AÔB, ou simplesmente, Ô.
Os pontos do plano que não pertencem ao ângulo ficam separados em duas regiões, que
recebem os nomes de interior do ângulo (ou região angular) e exterior do ângulo, conforme a
figura abaixo.
PM
PM (lado comum)
AM
M B (M é ponto médio)
AM̂P
PM̂B (ângulos r etos)
ângulo
APM
PM B
Logo : PA PB
dP, A
dP,B
cqd
Geometria | Caderno 02
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CASO 2: TRIÂNGULO RETÂNGULO.
03. ÂNGULOS NULO E RASO
a) Ângulo Nulo
ORTOCENTRO
NO VÉRTICE DO
ÂNGULO RETO
Def.: É o ângulo formado por semi-retas coincidentes.
O ângulo FOG é não-nulo
O ângulo FOG obtido após a


superposição de OF e OG é nulo
b) Ângulo Raso
Def.: É o ângulo formado por semi-retas opostas.
(ângulo raso)
CASO 3: TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO.
ORTOCENTRO
EXTERNO
04. ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Def.: Dois ângulos são consecutivos entre si se tiverem um mesmo vértice e um lado
em comum.
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
AÔB e AÔC são consecutivos
Geometria | Caderno 02
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AÔB e BÔC são consecutivos
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05. ÂNGULOS ADJACENTES
V. ALTURAS:
Def.:
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não tiverem pontos internos em
comum (interiores disjuntos).
São segmentos de reta que ligam o vértice perpendicularmente ao lado oposto ou ao
seu prolongamento.
AÔB e CÔB são consecutivos e
adjacentes.
IAÔB
IBÔC =
Observação:
Dois ângulos adjacentes são sempre consecutivos, mas dois ângulos consecutivos nem
sempre são adjacentes.
As três alturas do triângulo
concorrem em um ponto único
denominado ortocentro.
 POSICIONAMENTO RELATIVO DO ORTOCENTRO
06. MEDIDAS DE ÂNGULOS
Sistemas
AH é a altura relativa
ao lado BC.
CASO 1: TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
Sexagesimal
Cir cular
ORTOCENTRO
INTERNO
a) Sistema Sexagesimal
Unidade de medida
Um Grau = 1°
GRAU
Suponha que 360 pontos são marcados sobre a circunferência, de modo que ela fique
dividida em partes iguais.
Geometria | Caderno 02
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Observe que:
As três mediatrizes de um triângulo concorrem em um ponto único (eqüidistante dos
Vértices) denominado circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
SUBDIVISÃO DO GRAU
O grau se subdivide em 60 minutos (60’) e o minuto se subdivide em 60 segundos (60’’).
 POSICIONAMENTO RELATIVO DO CIRCUNCENTRO
1º = 60’
1’ = 60’’
Observe as figuras em que estão traçadas as circunferências circunscritas:
TRIÂNGULO
ACUTÂNGULO
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
TRIÂNGULO
OBTUSÂNGULO
1º = 60’ = 3 600”
TRANSFERIDOR
É um instrumento para medir e construir Ângulos.
O modelo da figura a seguir é de 180º.
CIRCUNCENTRO
INTERNO
Geometria | Caderno 02
CIRCUNCENTRO NO
PONTO MÉDIO DA
HIPOTENUSA
80
CIRCUNCENTRO
EXTERNO
Normalmente, o transferidor é graduado de 0º
a 180º nos dois sentidos, da direita para a esquerda
e da esquerda para a direita.
17
Cada distância entre
dois traços equivale a 1º.
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III. BISSETRIZES EXTERNAS:
b) Sistema Circular
São semi-retas que partindo do vértice divide o ângulo externo em dois outros ângulos
Unidade de medida
1 Radiano = 1 rad
adjacentes e congruentes.
Dada uma circunferência de centro O e raio R, consideremos um arco AB cujo
comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência.
Por definição, o arco AB mede 1 rad (lê-se: um radiano). E o Ângulo central AÔB,
correspondente do arco AB, mede também 1 rad.
Observe que:
As bissetrizes externas de um triângulo interceptam-se duas a duas em três pontos
externos distintos denominados Ex-Incentros.
IV. MEDIATRIZES:
São retas perpendiculares aos lados do triângulo, interceptando-se em seus pontos
respectivos pontos médios.
Portanto, uma circunferência tem 2
circunferência, cabe 2 vezes o raio.
rad, pois, no comprimento total da
 RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS
180° =
rad
m é mediatriz do lado BC do ABC
Geometria | Caderno 02
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O é o circuncentro do ABC
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II. BISSETRIZES INTERNAS:
São segmentos de reta que ligam o vértice ao lado oposto, dividindo os ângulos internos
do triângulo em dois outros ângulos adjacentes e congruentes.
EXERCÍCIOS
Conversão de Medidas de ângulos
01. Converta as medidas de ângulos abaixo para as suas medidas correspondentes:
a) 36º
As
bissetrizes
internas
se
interceptam em um ponto único
situado no interior do triângulo
denominado incentro.
AS é a bissetriz interna
relativa ao ângulo Â do
ABC.
b)
5
rad
4
Resp:
Resp:
 PROPRIEDADE:
c)
4
rad
5
d)
3
rad
4
I é o centro da circunferência de
raio r inscrita no ABC.
I é o incentro do ABC.
Resp:
Resp:
O Incentro (eqüidistante dos lados) é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Geometria | Caderno 02
78
19
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 PROPRIEDADES:
e) 10
o
O Baricentro divide cada mediana na razão 1 por 2 no sentido do lado para o vértice.
3
AG 2GM
Propriedade do Baricentro: BG 2GN
CG 2GP
Resp:
G
Operações com ângulos no sistema sexagesimal:
02. Efetue as adições:
a) 24º30'12'' + 14º13'40'' =
b) 53º26'19'' + 12º50'48'' =
O BARICENTRO COMO
CENTRO DA GRAVIDADE:
c) 23º14'42'' + 13º20'51'' + 20º43'54'' =
O ponto G, baricentro de
um
triângulo,
equilíbrio
experiência
63º40'31'' - 20º19'23'' =
Geometria | Caderno 02
o
ponto
triângulo.
de
de
Faça
pendurar
a
um
triângulo feito em cartão passando
03. Obtenha as diferenças:
a)
do
é
b) 27º16'44'' - 12º46'34'' =
20
um fio pelo baricentro e você
poderá verificar esta propriedade.
77
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c)
06. CEVIANAS
76º12'40'' - 52º49'52'' =
d) 62º21'12'' - 30º27'' =
Denominamos de ceviana a todo segmento de reta que liga o vértice do triângulo a um
ponto do lado oposto.
Exemplo:
são cevianas os segmentos: AH, CN e BM.
04. Obtenha:
CEVIANAS NOTÁVEIS:
Medianas
Bissetrizes internas
a)
O dobro de 30º12'24''
b) O triplo de 24º43'30''
Alturas
I. MEDIANAS:
São segmentos de reta que ligam o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
c) O quíntuplo de 21º52'46''
05. Determine:
a)
AM é a mediana relativa ao
lado AB do ABC.
Geometria | Caderno 02
A metade de 36º24'48''
b) A quinta parte de 73º49'50''
As medianas se interceptam
em um ponto único, situado no
interior
do
triângulo
denominado baricentro.
76
21
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c) A terça parte de 82º25'17''
3º caso: ALA
07. ÂNGULOS CONGRUENTES
Def.:
unidade).
Dois Ângulos são congruentes quando têm a mesma medida (na mesma
Os ângulos AOB e PVQ têm a mesma
4 cm
medida (50º). Dizemos então que AOB e
PVQ
são
ângulos
escrevemos: AOB
congruentes
e
PVQ (lê- se: ângulo
4º caso: LAAo
AOB é congruente ao ângulo PVQ).
m(AÔB) = 50°
m(P V̂ Q) = 50°
08. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Def.: É a semi-reta que tendo sua origem no vértice do ângulo, divide-o em dois
outros, ângulos adjacentes e congruentes.
m(BÔE)
Geometria | Caderno 02
22
m (EÔA)
m(DÔC)
2
75
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EXERCÍCIOS
36. Identifique os pares de triângulos congruentes de acordo com os casos indicados a seguir:
1º caso: LLL
09. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
 QUANTO À MEDIDA ABSOLUTA
I) ÂNGULO NULO:
Def.: É o ângulo cuja medida é igual a zero grau (0º).
m(AÔB) = 0º
II) ÂNGULO RETO:
Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 90º.
indica a medida do ângulo A Ô B,
neste caso, = 90°
2º caso: LAL
m(AÔB) = 90º
III) ÂNGULO AGUDO:
Def.: É todo ângulo cuja medida está compreendida entre 0º e 90º
0º < m (AÔB) <90º
Geometria | Caderno 02
74
23
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V) ÂNGULO RASO: (ÂNGULO DE MEIA-VOLTA)
 CASO 2: LADO - ÂNGULO - LADO (L.A.L)
Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 180º.
Dois triângulos são congruentes, quando têm dois lados e o ângulo formado por eles
respectivamente congruentes.
AB
MN
B̂
N̂
BC
NP
m(AÔB) = 180º
ABC
MNP
V) ÂNGULO OBTUSO:
 CASO 3: ÂNGULO - LADO - ÂNGULO (A.L.A)
Def.: É todo ângulo cuja medida está
compreendida entre 90º e 180º.
Dois triângulos são congruentes, quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses
ângulos respectivamente congruentes.
B̂
N̂
BC
NP
90º < m (AÔB) < 180º
VI) ÂNGULO PLENO: (ÂNGULO DE UMA VOLTA)
Ĉ
ABC
MNP
P̂
 CASO 4: LADO - ÂNGULO - ÂNGULO OPOSTO (L.A.Ao)
Def.: É o ângulo que mede exatamente 360º.
Dois triângulos são congruentes, quando têm um lado, um ângulo adjacente a esse
lado e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
m(AÔB) = 360º
Geometria | Caderno 02
24
BC
73
EF
B̂
Ê
Â
D̂
ABC
DEF
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05. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
 QUANTO À MEDIDA RELATIVA
Dois ou mais triângulos serão congruentes entre si, se o somente se tiverem lados e
ângulos correspondentes congruentes entre si. (forem idênticos)
I) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Def.: Dois ângulos são complementares entre si, quando a soma de suas medidas for
exatamente 90º.
Exemplo:
AÔB e BÔC são complementares entre si.
m(AÔB) + m(BÔC) = 90º
Comp (x) = 90º - x
0º
x
90º
II) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Observe que:
Os lados correspondentes são congruentes:
AB DE, AC DF e BC EF.
Def.:
Dois ângulos são suplementares entre si, quando a soma de suas medidas for
exatamente 180º.
AÔB e BÔC são suplementares entre si.
Os ângulos correspondentes são congruentes:
Â
D̂ , B̂
Ê , Ĉ
F̂ .
m(AÔB) + m (BÔC) = 180º
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Sup(x) = 180º - x
 Caso 1: LADO - LADO - LADO (L.L.L.)
Dois triângulos são congruentes, quando têm os três lados respectivamente
congruentes.
AB
AC
BC
ED
ED
DF
0º
x
180º
III) ÂNGULOS REPLEMENTARES
Def.: Dois ângulos são replementares entre si quando a soma de suas medidas for
exatamente 360º.
ABC
DEF
AÔB e A’Ô B’ são replementares entre si.
m(AÔB) + m (A' Ô B') = 360º
Rep (x) = 360º - x
Geometria | Caderno 02
72
25
0º
x
360º
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10. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
II. TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que possui um ângulo reto.
Dois ângulos são o.p.v. quando os
m (Â) = 90º
lados de um forem semi-retas opostas
aos lados do outro.
A Ô B e C Ô D são opostos pelo vértice
TEOREMA:
reto
Se dois ângulos forem opostos pelo vértice terão medidas iguais.
Demonstração:
Hipótese: ˆ e ˆ são ângulos OPV
Tese: m( ˆ)
Observe que:
m(ˆ)
m( ˆ)
m(ˆ) 180
m(ˆ)
m(ˆ) 180
Então : m( ˆ)
m( ˆ)
m(ˆ)
Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares entre si.
No triângulo retângulo os lados adjacentes ao ângulo reto são denominados catetos e o
lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
m(ˆ)
m(ˆ)
m(ˆ)
cqd
11. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA
TRANSVERSAL
III. TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO
É o triângulo que possui um ângulo obtuso.
Quando duas retas paralelas interceptam uma transversal, elas determinam oito
ângulos com vértices nos pontos de intersecção.
90º < m (Â) < 180º
obtuso
Estes ângulos recebem nomes especiais: (aos pares)
Geometria | Caderno 02
26
71
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II. TRIÂNGULO ISÓSCELES
CORRESPONDENTES
É o triângulo que possui dois lados congruentes entre si.
AC
B̂
AB
ÂNGULOS
Ĉ (Ângulos da base)
Observe que:
INTERNOS
A LTERNOS
CONGRUENTES
EX TERNOS
COLA TERA IS
Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
CONGRUENTES
INTERNOS
EX TERNOS
SUPLEMENTARES
Com uma régua e um esquadro, vamos traçar duas retas, como mostra a figura: (a
seguir).
III. TRIÂNGULO ESCALENO
É o triângulo que possui os lados com medidas diferentes entre si.
AB
BC
AC
AB
Veja que as retas traçadas são paralelas. Observe ainda que, se o ângulo do esquadro
medir 45º, as duas retas traçadas formarão ângulos de 45º com a régua:
Observe que:
Triângulo escaleno é todo triângulo não-isósceles.
ABC não possui dois lados congruentes.
 QUANTO AOS ÂNGULOS
I. TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
É o triângulo que possui todos os ângulos agudos.
0º < m ( Â ), m ( B̂ ), m ( Ĉ ) < 90º
Esses dois
correspondentes.
pela
posição
que
ocupam,
são
chamados
de
ângulos
1e 5
2e6
3e7
Observe que:
Todo triângulo eqüilátero é acutângulo.
ângulos,
são ângulos cor r espondentes
4e8
Os ângulos correspondentes são congruentes
Geometria | Caderno 02
70
27
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4 e5
são ângulos colater ais inter nos
3e6
04. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Os colaterais internos são
suplementares
EQUILÁTERO
LADOS
ISÓSCELES
ESCALENO
1e 8
2e7
são ângulos colater ais exter nos
TRIÂNGULO
ACUTÂNGULO
Os colaterais externos são
suplementares
OBTUSÂNGULO
ÂNGULOS
RETÂNGULO
4e6
3e5
são ângulos alter nos inter nos
 QUANTO AOS LADOS:
Os alternos internos são congruentes
I. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
É o triângulo que possui todos os lados congruentes.
1e 7
2e8
são ângulos alter nos exter nos
AB
Os alternos externos são congruentes
Â
BC
B̂
AC
Ĉ = 60º
Observe que:
O triângulo eqüilátero é o polígono regular de
três lados.
Geometria | Caderno 02
28
69
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35. Ordene os ângulos do triângulo abaixo;
EXERCÍCIOS
06. Adotando
a)150º
= 3,14, exprimir (aproximadamente) 1rad em graus:
b) (32,15)º
c) (62,27)º
d) (57,32)º
e)360º
03. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é sempre igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes.
07. O dobro da medida do suplemento de um ângulo vale 7 vezes a medida do seu
complemento. Achar a medida deste ângulo.
a) 50º
b) 51º
c) 52º
d) 53º
e) 54º
m(e) = m(Â) + m( B̂ )
Demonstração:
Hipótese: ê é o ângulo externo adjacente a Ĉ
Tese: m(ê) = m(Â) + m( B̂ )
m(Â) m(B̂) m(Ĉ) 180
(lema)
m(Ĉ) m(ê) 180
08. O replemento de um ângulo, aumentado de 10º, é igual ao dobro do suplemento deste
ângulo, somado ao seu complemento. Este ângulo mede.
a) 30º
b) 40º
c) 80º
d) 110º
e) 50º
Então:
m( Ĉ ) + m(ê) = m(Â) + m( B̂ ) + m( Ĉ )
Logo:
m(ê) = m(Â) + m( B̂ )
cqd
Geometria | Caderno 02
68
29
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09. Dois ângulos suplementares são tais que a diferença entre suas medidas é 120º. Calcule a
medida do complemento do menor destes ângulos:
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
a = 2x + 1
b=4
c=1
e) 70º
10. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse
ângulo. Esse ângulo mede:
a)
7
r ad
8
b)
5
r ad
16
c)
7
r ad
4
33. Na figura abaixo determine os possíveis valores de x:
d)
7
r ad
16
e)
5
r ad
8
POSTULADO:
Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o
menor ângulo e a lados de medidas iguais se opõem ângulos de medidas iguais.
Se a
11. Determine a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes,
sabendo que a medida do primeiro é 1/2 da do seu complemento e que a medida do segundo
vale 1/9 da medida do seu suplemento.
a) 42º
b) 23º
Geometria | Caderno 02
c) 24º
d) 14º
30
b
c
Â
B̂
Ĉ
EXERCÍCIOS
34. Ordene os lados do triângulo abaixo:
e) 50º
67
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02. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO TRIÂNGULO
Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das
medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles.
b-c
12. O replemento do suplemento de um ângulo, aumentado de 50º é igual ao dobro do
suplemento do complemento deste ângulo. Este ângulo mede.
a) 40º
b) 45º
c) 50º
d) 55º
e) 60º
<a<b+c
a-b <c<a+b
a-c <b<a+c
Se a + b < c ou a + b = c é impossível formar o triângulo conforme sugere as ilustrações
abaixo:
13. O suplemento do complemento do replemento do replemento do suplemento do suplemento
do complemento de um ângulo é igual ao óctuplo do ângulo. Calcule-o:
Geometria | Caderno 02
66
31
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TRIÂNGULOS
14. Verifique a veracidade das afirmativas:
I
0
II
0
1 1
2 2
3 3
4
4
Se o replemento do suplemento do complemento de um ângulo vale 8 vezes a
medida do ângulo,este mede 30º.
Ângulos adjacentes são obrigatoriamente consecutivos.
Um ângulo obtuso não admite complemento.
Em duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos colaterais internos são
congruentes.
Em um sistema formado por duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos
alternos internos são suplementares.
01. TRIÂNGULO
É todo polígono que possui apenas três lados.
ABC: triângulo ABC.
A, B e C são os vértices
do ABC.
AB, BC e AC são os lados
do ABC.
Â, B̂ e Ĉ são os ângulos internos
do ABC.
Veja, em destaque, alguns elementos de um triângulo de vértices A, B e C:
15. Nas figuras a seguir sendo a paralela a b, calcule x:
a)
b)
Em todo triângulo sempre teremos:
Geometria | Caderno 02
32
D=0
Si = 180º
Se = 360º
nº de diagonais
soma dos ângulos internos
soma dos ângulos externos
65
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16. Nas figuras abaixo sendo r/ /s calcule o valor de x:
a)
c)
b)
d)
e)
Geometria | Caderno 02
64
33
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17. Calcule a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um
relógio que marca exatamente 14h:23min.
ÍNDICE
Página
Geometria | Caderno 02
34
01 - Triângulos
65
02 - Condição de existência do triângulo
66
03 - Teorema do ângulo externo
68
04 - Classificação dos triângulos
69
05 - Congruência de triângulos
72
06 - Cevianas
76
07 - Teoremas
83
63
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18. Calcular a medida exata do ângulo côncavo formado pelos ponteiros de um relógio que
marca pontualmente cinco horas e dezesseis minutos.
19. (FGV-81) É uma hora da tarde; o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas,
pela primeira vez aproximadamente, às:
a) 13h 5 min 23s
b) 13h 5 min 25s
c) 13h 5 min 27s
d) 13h 5 min 29s
e) 13h 5 min 31s
Geometria | Caderno 02
62
35
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Terceira Parte
Ednaldo Ernesto
Geometria | Caderno 02
36
61
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Geometria | Caderno 02
60
37
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30. Na figura ao lado, determine a soma das medidas dos ângulos â + b̂ + ĉ + d̂ + ê + f̂.
31. As mediatrizes de dois lados consecutivos de certo polígono regular fazem um ângulo que
mede 15º. Qual o polígono e quantas diagonais não passam pelo seu centro?
32. Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as
diagonais de um hexágono. Determine:
a) o número de eixos e centros de simetria.
b) Quantas são as retas determinadas pelos vértices desse polígono?
Geometria | Caderno 02
38
59
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27. A soma dos n - 3 ângulos externos de um polígono regular é 225º. Se cada lado seu mede 5
cm, determine seu semi-perímetro.
ÍNDICE
28. (UFPE-80) Os ângulos internos de um pentágono convexo são proporcionais aos números 3, 5,
6, 7 e 9. Calcule as medidas destes ângulos.
Página
29. (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E:
a) é 60°
b) é 120°
c) é 180°
d) é 360°
e) 270°
Geometria | Caderno 02
58
01 - Linha poligonal
41
02 - Polígono
42
03 - Elementos dos polígonos
43
04 - Polígonos côncavo e convexo
44
05 - Classificação dos polígonos
45
06 - Perímetro dos polígonos (2p)
46
07 - Número de diagonais de um polígono convexo (D)
47
08 - Diagonais radiais
49
09 - Lei angular de Tales
50
10 - Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: (Si)
51
11 - Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: (Se)
53
39
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23. As bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um polígono regular formam um
ângulo de 45º. Se o perímetro polígono é 12m, qual a medida de seus lados?
24. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o sêxtuplo da quantidade de diagonais
que partem de cada um de seus vértices?
25. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 36 retos. Qual a medida
de cada um dos ângulos externos?
26. A soma dos n - 4 ângulos internos de um polígono regular é 864º. Quantas diagonais nãoradiais possui o polígono?
Geometria | Caderno 02
40
57
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POLÍGONOS
EXERCÍCIOS
20. Dois polígonos regulares isoperimétricos são tais que um deles é um octógono de lado 6cm.
Se cada lado do outro mede 4cm, que polígono é este?
0 1 . LINHA POLIGONAL
É a reunião de três ou mais segmentos de reta consecutivos e não adjacentes entre si.
EXEMPLOS:
21. Dados dois polígonos convexos com n e n + 6 lados, respectivamente, calcular n sabendo-se
que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.
Numa Poligonal:
 a extremidade de cada segmento chama-se vértice (pontos A,B,C,D,...);
 cada segmento é chamado lado ( AB , BC , CD ,...).
Notamos que existem poligonais nas quais há lados não consecutivos que se cortam em
pontos que não são vértices essas poligonais são denominadas entrelaçadas, enquanto as outras
são denominadas simples.
22. A razão entre as medidas dos ângulos internos de dois polígonos regulares é 8/11.
Determine esses polígonos sabendo que o número de lados de um é o quádruplo do outro.
Existem poligonais nas quais as extremidades coincidem; essas poligonais são
denominadas poligonais fechadas ou polígonos.
As demais poligonais são chamadas abertas.
Geometria | Caderno 02
56
41
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Teorema 02
Em todo polígono regular as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos formam um
ângulo congruente ao ângulo externo.
Demonstração
Linha poligonal aberta entrelaçada
(não-simples)
Linha poligonal fechada simples
(É polígono)
Hipótese: ABCDE... é um polígono regular.
EO e DO são bissetrizes de ângulos internos consecutivos.
Tese:
Linha poligonal fechada entrelaçada - É polígono.
Ai
2
Ai
2
360
n
2 Ai
2
180
Ai
180
Ac
360
n
02. POLÍGONO
Consideremos num plano n pontos, (n
3): A1,A2,A3,...,An-1, An, ordenados de modo que
três consecutivos não sejam colineares e os segmentos A 1A 2 , A 2 A 3 ,..., A n 1 A n , A n A n 1 .
Denominamos de polígono à figura constituída pelos n segmentos consecutivos.
cqd
A1A 2  A 2 A 3  AnA1 = polígono A1A2A3 ... An
Geometria | Caderno 02
42
55
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TEOREMAS FINAIS
Observemos as poligonais a seguir:
Teorema 01
Em todo polígono regular as mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo
cuja medida é igual a medida do ângulo externo.
Essas poligonais são curvas fechadas simples.
Elas são chamadas polígonos.
Demonstração
Hipótese: ABCDE... é um polígono regular.
r e s são mediatrizes de lados consecutivos.
Tese:
03. ELEMENTOS DOS POLÍGONOS:
360
n
90° + 90° + Ai +
Ai
Ai
LADOS
= 360°
180
Ae
VÉRTICES
180
ELEMENTOS
Ai
180
- A i - Ae
- 180
__________________ ___
- Ae
0
INTERNOS
ÂNGULOS
EXTERNOS
DIAGONAIS
Ae
cqd
Geometria | Caderno 02
54
43
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04. POLÍGONOS CÔNCAVO E CONVEXO:
11. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
DE UM POLÍGONO CONVEXO: (Se)
Um polígono simples divide o plano em duas regiões, sem pontos comuns: a dos pontos
internos (interior) e a dos pontos externos (exterior).
POLÍGONO CONVEXO
Em todo polígono convexo sempre teremos
POLÍGONO CÔNCAVO
Se = 360º
Teorema da soma dos ângulos externos
Dizemos que um polígono é convexo se o mesmo limita uma região
(interna) convexa.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (n
3) é 360º.
Demonstração:
Hipótese: A1 A2 A3 ... An é polígono convexo de n lados
Tese: ê1 + ê 2 + ê 3 + ... + ên = 360º
Pela definição de ângulos externo, temos:
î1
ê1 180º
î2
ê 2
180º
î3
ê 3
180º

Exemplos:
în
Como Si = (n - 2) . 180° , temos:
(n - 2) . 180º + Se = n . 180º

ên
n . 180º - 360º + Se = n . 180º
180º
Se = 360º
__________________ __
Somando: Si + Se = n . 180º
cqd
ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ae)
Polígono Côncavo
de 10 lados
Geometria | Caderno 02
Polígono Convexo
de 6 lados
44
Ae =
Se
n
Ae =
53
360º
n
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05. CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
Demonstração
Quanto ao número de lados:
Hipótese: A1 A2 A3 ... An é um polígono convexo (n
3)
Tese: Si = Â1 + Â2 + Â3 + ... + Ân = (n - 2) . 180º
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados. (Num polígono, o
número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértices.)
n
3
4
5
6
7
8
Â
Â
B̂
Ĉ
180º
B̂
Ĉ D̂ Ê
Â
B̂
Ĉ D̂
2.180º
NOMENCLATURA
n
Triângulo
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
NOMENCLATURA
9
10
11
12
15
20
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
- Os demais polígonos não têm nomenclatura específica
3.180º
Exemplo: Todos os polígonos a seguir são pentágonos:
A soma dos ângulos internos do polígono convexo de n
lados é a soma dos ângulos internos de todos os
triângulos em que ele fica dividido pelas diagonais com
extremidades em um dos vértices.
São n - 2 triângulos. (Só os dois triângulos vizinhos ao
vértice em questão utilizam-se de dois lados do
polígono.)
Quanto às medidas dos lados e ângulos:
Assim:
Si = (n - 2) . 180º
cqd
EQUILÁTERO
POLÍGONO
ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ai)
Ai =
Geometria | Caderno 02
Si
n
Ai =
52
180º (n
n
REGULAR
EQUIÂNGULO
2)
IRREGULAR
45
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a) Polígono Equilátero: dizemos que um polígono é equilátero quando tem todos os lados com
mesma medida.
Demonstração
b) Polígono Equiângulo: dizemos que um polígono é equiângulo quando tem todos os ângulos
internos com mesma medida.
Hipótese: Â , B̂ e Ĉ são Ângulos Internos do ABC.
c) Polígono Regular: dizemos que um polígono convexo é regular quando é equiângulo e
equilátero.
Tese: m( Â ) + m( B̂ ) + m( Ĉ ) = 180º
Exemplos de polígonos regulares:
Construção auxiliar: Pelo vértice A, traçamos r //
BC.
triângulo
quadrado
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
1. B̂
Â
1
2. Ĉ
Â
2
3. med ( Â 1) + med ( Â ) + med ( Â 2) = 180º
4. med ( B̂ ) + med ( Â ) + med ( Ĉ ) = 180º
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
cqd
10. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM
POLÍGONO CONVEXO: (Si)
Em todo polígono convexo sempre teremos:
06. PERÍMETRO DO POLÍGONO (2P)
Si = 180º (n-2)
Dado um polígono ABC ... K, definimos como perímetro a soma das medidas de todos os
lados do polígono:
2p = AB + BC + CD + ...+ KA
Teorema da soma dos ângulos internos
 A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n
ou ainda
m (i)
2p =
i=1
Geometria | Caderno 02
46
3) é dada por:
n
Si = (n - 2) . 180º
51
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Para polígonos regulares:
bs: Se o polígono for regular e tiver n lados cada lado medindo  então:
I) GÊNERO PAR
DIAGONAIS
D=
n(n - 3)
2
DIAGONAIS
RADIAIS
D=
n
2
2p = n . 
DIAGONAIS
NÃO-RADIAIS
D=
n(n - 4)
2
A metade do perímetro é dita semi-perímetro e representada por p.
Todo polígono regular de gênero par com n lados possui n eixos de simetria e 1(um)
centro de simetria.
07. NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO (D)
II) GÊNERO ÍMPAR
DIAGONAIS
DIAGONAIS
RADIAIS
n(n - 3)
D=
2
D=0
DIAGONAIS
NÃO-RADIAIS
n(n - 3)
D=
2
(todas)
Sabemos que, diagonais de um polígono é todo segmento de reta que liga dois vértices
não consecutivos do polígono.
Exemplo:
BF , BE e BD são três das diagonais do hexágono.
Todo polígono regular de gênero ímpar com n lados possui n eixos de simetria e não
possui centro de simetria.
Se um polígono convexo tiver n lados seu número de
diagonais é dado por.
09. LEI ANGULAR DE TALES
D=
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é constante e
sempre igual a 180º.
n(n - 3)
2
Teorema do Número de Diagonais

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados (n
m (Â) + m ( B̂ ) + m ( Ĉ ) = 180º
igual a
Geometria | Caderno 02
50
3) é
n(n - 3)
.
2
47
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08. DIAGONAIS RADIAIS
Demonstração
Em todo polígono regular com gênero (número de lados) par existe diagonais radiais
(que passam pelo centro) em número igual a metade do seu número de lados.
Hipótese: A1 A2 ... An é um polígono convexo de n lados
Tese: d =
n(n - 3)
2
n=3
Observem as figuras a seguir:
d=0
n=4
d=2
n=5
d=5
O número de diagonais com extremidades em um vértice
desse polígono é n - 3. (Dos n pontos, A1 não forma diagonal
com três: A1, A2 e An).
Se o polígono tiver gênero par passarão pelo
centro tantas diagonais quanto for a metade do
número de lados.
No decágono regular cinco de suas diagonais
passam pelo seu centro (são radiais).
No polígono regular de 18 lados 9 de
suas diagonais passam pelo seu centro.
São n vértices no total.
Se cada vértice tem n - 3 extremidades de diagonais e se
cada diagonal tem duas extremidades, então:
d=
n(n - 3)
2
c.q.d.
Se o polígono regular tiver gênero ímpar
nenhuma de suas diagonais irá passar pelo seu
centro. É o caso do pentadecágono regular da
figura acima.
Geometria | Caderno 02
48
E do enágono regular.
49
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