Oscilações
INTRODUÇÃO
Neste material vamos aprender mais sobre oscilações, envolvendo osciladores harmônicos, energia e
movimento, pêndulos, movimento harmônico amortecido,oscilações forçadas e ressonância.
1 CONCEITOS INICIAIS DE LIMITES
Na física, oscilador harmônico é a denominação dada a qualquer sistema que representa um movimento
harmônico (simples ou complexo) de oscilação (vai e vem).
Um exemplo de Oscilador harmônico é o pêndulo simples, que realiza movimento harmônico simples.
Vamos falar inicialmente sobre o Movimento Harmônico Simples(MHS).
2 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Um MHS é um movimento que é gerado por uma força restauradora
. Esta força é definida por:
Sendo k uma constante e x o deslocamento gerado pela força
Da segunda lei de Newton, temos:
Sendo a a segunda derivada de x em função do tempo, temos:
Dividindo ambos os lados por m, temos:
Todo MHS obedece esta EDO.
Sempre que for preciso provar
que um movimento é MHS,
basta encontrar esta EDO.
Resolvendo esta EDO, encontramos:
Temos também que
(De (I))
Logo:
Substituindo na relação anterior, temos:
Com esta equação podemos calcular a posição final de um sistema em função do tempo t. Outra
fórmula de calcular a posição em função do tempo é:
Sendo A amplitude atingida pelo MHS e ф a fase (ponto em que o ciclo está em t=0).
Para determinar a velocidade e aceleração, basta derivar em função do tempo, uma e duas vezes
respectivamente:
Também temos que a fase pode ser calculada por
Como a velocidade angular ou frequência angular, pelo conceito, é “o quão rápido o movimento faz uma
rotação de 2 ”, temos:
Sendo T o período (tempo que um movimento faz um ciclo completo e volta a posição inicial).
Aplicando a equação II em III, temos:
Com essa equação podemos resolver grande parte, das questões que envolvem período no MHS.
Exemplo 1: Uma partícula de massa m parte do repouso em x = +25cm e oscila em torno da posição de
equilíbrio em x = 0, com o período de 1,5s. Determine as equações:
A) da posição x em função do tempo t.
B) da velocidade v em função de t.
C) da aceleração a em função de t.
Resposta:
A) Da função horária do MHS, temos:
Para encontrar a fase ф,utilizamos t=0.
Para encontrar o w, podemos utilizar a relação
A função horária deste MHS fica: x(t) = 0,25cos
B)Derivando encontramos a velocidade, que é dada por:
C)Derivando mais uma vez encontramos a aceleração, que é dada por:
3 ENERGIA DO MHS
Temos, pela energia mecânica, no exemplo da mola, o seguinte:
Encontramos, com algumas manipulações algébricas, que:
A Energia Mecânica é sempre conservada no MHS.
Gráfico da Energia em função da posição
Temos, pela energia mecânica, no exemplo do pêndulo simples, o seguinte:
Por trigonometria, temos
Neste caso a Energia Mecânica é dada por:
Exemplo 1: Qual a amplitude do movimento de um bloco preso a uma mola com velocidade
angular w, que quando passa no ponto x tem velocidade v?
Resposta:
Pela conservação da energia mecânica no MHS, temos:
Como ele não nos informa a massa, podemos utilizar a relação:
Exemplo 2:Em qual posição um MHS de amplitude A tem sua energia cinética igual a potencial?
Resposta:
Sendo
4 SITUAÇÕES EM QUE OCORRE UM MHS
 Molas em Paralelo:
Sendo um sistema ligado por duas ou mais molas como nas figuras abaixo, podemos calcular sua
constante elástica resultante por:
Logo, o período é dado por:
 Molas em série:
Sendo duas ou mais molas ligadas como na figura abaixo, podemos calcular a constante elástica
resultante por:
Logo, o período se oscilação deste sistema é dado por:
 Mola na vertical:
Neste caso temos a posição de equilíbrio deslocado ( em relação a posição que seria se fosse só a
mola) em:
Pela 2ª Lei de Newton, temos:
Logo, a posição de equilíbrio é dada por:
E a sua equação horária é dada por:
E o seu período é igual no caso da mola horizontal:
 Pêndulo Simples:
Temos, pela 2ª Lei de Newton:
Logo, o período em um pêndulo simples é dado por:
 Pêndulo Físico:
Um pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo de volume finito, em contraste
com o modelo do pêndulo simples, que usa corpo com massa concentrada em um único ponto.
Utilizando a 2ª Lei de Newton para corpos rígidos, temos:
Para pequenos ângulos, podemos fazer a seguinte aproximação:
Logo, temos:
Sendo I o momento de inércia da barra e
a aceleração angular.
Logo, temos:
Com esta equação de MHS, encontramos:
O período pode ser calculado por:
Sendo I o momento de inércia da barra, m sua massa, d a aceleração da gravidade e d a distância do ponto de rotação ao centro de
massa.
 Casos diversos:
Para resolver qualquer questão de MHS, devemos, antes de tudo, identificar se o sistema é mesmo
um MHS, encontrando, a partir das relações dadas, a EDO
. Para chegar nesta relação,
utilize a Segunda Lei de Newton
para partícula, ou
para corpo rígido.
Encontrada a EDO,pode-se determinar o valor de w,que podemos utiliza-la para encontrar o
período pela relação
.
Outra forma de encontrar o período é , para partículas, ao fazer a segunda Lei de Newton, igualar
, que , encontrando o valor de k, podemos aplicá-lo na fórmula do período
.
Tendo a velocidade angular, podemos calcular a amplitude do MHS também sabendo sua posição
inicial, ou posição em um tempo qualquer , pela relação:
Exemplo 1:
(IME) Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O
tempo que um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a
outra extremidade é?
Dados:
• constante de gravitação universal: G;
• massa específica do planeta: ρ.
•
• Massa da Terra M e d distância do ponto ao centro
da terra.
Resposta:
Sabemos que quanto mais próximo do centro da terra, maior a gravidade. Ao cair no buraco, se fosse
possível, o ponto material teria velocidade máxima, e na extremidade oposta teria velocidade nula,
voltando a fazer o mesmo movimento, caracterizando um MHS.
Temos, pela 2ª Lei de Newton:
Sendo x = R( Raio da Terra)
Mas como o enunciado nos informa a massa específica ρ, temos:
Substituindo na equação anterior, temos:
Como o período (tempo de ida e volta) p0ode ser calculado por
, temos que ele atravessaria
a Terra em metade de um período, logo t=
Exemplo 2:
(Irodov-Traduzido) Determine o período de oscilação de um líquido de massa m e densidade d
colocado dentro de um tubo de área transversal S (figura abaixo). O ângulo de inclinação do lado direito
é θ.
Resposta:
Após deslocar x para baixo (lado esquerdo), encontramos o seguinte sistema:
Após o líquido deslocado para baixo em x do lado esquerdo, no lado direito temos, para cima
Pela figura abaixo vemos que a única força restauradora é o
Logo, temos:
= Pcos(θ)
Logo:
Então:
5 OSCILAÇÕES AMORTECIDAS
Temos uma oscilação amortecida (MHA), oscilações não ideais, ou seja, oscilações com presença de
atrito, resistência do ar, entre outros fatores que impossibilitam uma oscilação de ser um MHS por causa
da dissipação de energia causada por essas forças resistivas.
Sabe-se que forças resistivas são proporcionais à velocidade. Temos:
Pela Segunda Lei de Newton, temos:
Logo:
Resolvendo esta EDO homogênea,temos:
Dependendo do valor de
Superamortecido:
Acontece se
EDO de uma Oscilação
Amortecida.
podemos ter 3 casos de oscilações amortecidas, são eles:
A função horária desta oscilação passa a ser:
O gráfico deste tipo de oscilação é :
É interessante notar que para
, ou seja, o sistema tende a permanecer em repouso
na posição de equilíbrio após um tempo suficientemente grande. Além disso, o sistema nem sequer
chega a oscilar, ou seja, é um caso de amortecimento elevado.
Subamortecido:
Acontece se
Resolvendo a EDO do MHA, temos:
Sendo
a amplitude inicial da oscilação.
Logo,o gráfico da oscilação subamortecido é:
Percebemos que, neste caso temos oscilações que diminuem de amplitude em função do tempo, e
tendem a permanecer no ponto de equilíbrio (x=0) após certo tempo de oscilação.
A curva tracejada é chamada de envoltória, e é justamente dada por:
Além disso, temos o conceito de Qualidade do Oscilador que é dado por:
Crítico:
Acontece se
ou seja, se
Resolvendo a EDO, encontramos a função horária:
Logo, esta solução (em geral) decai mais rapidamente (para em tempos grandes) que a solução
supercrítica.
O gráfico com a comparação das MHAs é:
Esta oscilação, após grande período de oscilação, permanecerá parada no ponto x=0, e chegará
neste estado mais rápido que o supercrítico.
6 OSCILAÇÕES FORÇADAS
Imagine que você esteja empurrando uma criança para ela oscilar num balanço de um parque de
diversões. O movimento do balanço é um movimento harmônico amortecido subcrítico, por causa
da resistência do ar.Para impedir o término das oscilações do balanço, é necessário que você dê
novos impulsos no balanço. Pois bem, o movimento resultante da ação permanente da força
externa sobre o balanço denomina-se movimento harmônico forçado quando a força externa atua
periodicamente sobre o balanço. Se a força externa não atua periodicamente no sistema oscilante,
dizemos que se trata apenas de um movimento oscilatório forçado (não necessariamente
harmônico). Podemos generalizar esta situação e afirmar que todo movimento harmônico forçado é
aquele que necessita de uma excitação externa periódica para compensar a perda de energia
existente no movimento amortecido.
#Fikadik A frequência das oscilações de um movimento harmônico forçado é igual à própria
frequência da excitação que atua para forçar o movimento.
Sendo
a força externa que gera a oscilação forçada e
angular) ,temos que:
a frequência angular (ou velocidade
Supondo que a partícula está submetida a uma ação de uma força elástica
de amortecimento
e a uma força
Logo, a 2ª Lei de Newton do movimento será:
EDO característica de uma
oscilação forçada. Note
que é uma EDO de
segunda ordem não
homogênea.
Com nossa intuição física, é fácil de observar que o corpo não oscilará com sua velocidade angular
do movimento harmônico, nem com a frequência amortecida
angular
, mas sim com frequência
da força aplicada.
Temos a função horária para as oscilações forças:
Logo, a amplitude A tem a forma:
E a fase inicial é dada por:
Nota-se que nem a amplitude nem a fase são constantes arbitrárias, mas sim quantidades fixas que
dependem da velocidade angular
. Como a força aplicada supera as forças de amortecimento, ela dá
energia suficiente para manter a amplitude das oscilações.
A amplitude tem um máximo quando
é mínimo.Quando a frequência angular da
fonte de energia externa (força externa) se torna igual a
dizemos que o sistema entra em
ressonância.É importante que durante a ressonância de um sistema as amplitudes das oscilações se
somam, podendo-se obter uma amplitude resultante extremamente elevada. Se a força resultante no
interior do material superar o limite de elasticidade do material, poderá ocorrer a ruptura do sistema.
O gráfico demonstra a ressonância em uma oscilação forçada amortecida, mostrando que, a amplitude é máxima em
e em frequências angulares
a amplitude A é igual a
.
O gráfico demonstra a ressonância em uma oscilação forçada mas não amortecida.
Exercícios:
1) (Adir Moysés-Modificada)A velocidade, a aceleração e a energia cinética que executa um MHS
tem, nos extremos do percurso, um módulo que:
a)São zero nos três.
b)São máximo nos três.
c)São zero a velocidade e a energia cinética e é máxima a aceleração.
d)São mínimo nos três.
2) (Adir Moysés)A constante de uma certa mola que oscila junto com um corpo apoiado sobre uma
mesa horizontal sem atrito vale k=5,0N/m. A amplitude deste MHS vale A=0,06m. Calcule a energia
mecânica do sistema.
3) (Adir Moysés) Um sistema massa-mola produz um MHS com amplitude de 2cm e com período de
0,4s.Qual a função horária da oscilação?
4) (Adir Moysés) Um líquido sem viscosidade executa um MHS no interior de um tubo em forma de U.
O comprimento total da coluna de líquido vale L. Considere a gravidade g. Determine a frequência
angular das oscilações deste MHS.
5) (Compendio Académico de Física-Traduzido)Um bloco pequeno de 0,5kg experimenta um MHS
com 2s de período.Determine o valor de sua aceleração quando se encontra a 10cm de sua posição de
equilíbrio.
6)
( Compendio Académico de Física-Traduzido)Determine o período para pequenas oscilações
para a combinação de pêndulo e molas abaixo:
7) ( Compendio Académico de Física-Traduzido)A equação do movimento de um bloco pequeno que
realiza um MHS é x(t)=50sen(
) onde x está em centímetros e t em segundos.Determine a
velocidade do bloco em x=30cm.
8)
(UFRJ-2013.1)
9)
(UFRJ-2013.1)
10)
(UFRJ-2013.2) Um avião está voando em trajetória retilínea a uma altitude constante. De
repente, ele é atingido por uma rajada de vento que faz força sobre sua parte frontal. O nariz do avião
começa a oscilar por um dado período de tempo, assustando os passageiros, mas aos poucos a oscilação
cessa e o avião volta a sua posição de equilíbrio. A situação apresentada representa:
a) Um MHS.
b)Uma oscilação amortecida em regime sub-crítico.
c) Uma oscilação amortecida em regime super-crítico.
d)Uma oscilação amortecida em regime crítico.
e) O avião entra em ressonância com o vento.
11)
[IEF-ITA]Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada em torno de um disco de
5,00kg. Se a mola tem uma rigidez k = 200 N/m, determine o período natural de vibração do sistema.
12)
[IEF-ITA]Qual o período para pequenas oscilações de um sistema com uma barra homogênea
horizontal de comprimento L que está equilibrada sobre a metade de um cilindro de raio R como na
figura abaixo?
Gabarito:
1)C 2)0,009J 3)x(t)=0,02sen(
) 4)
5)
6)
7)20
11)1,57s 12)
Bons Estudos!!
Dúvidas?
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8)d 9)c 10)B