Exercícios Complementares 4.4
4.4A. Encontre o período fundamental das seguintes funções:
2 nx
2 x
(a) cos (2x) (b) cos (2 x) (c) sen(nx) (d) sen(
) (e) sen(
):
k
k
4.4.B. Faça um grá…co para representar cada uma das funções abaixo:
1
1
(a) sen x + sen 3x (b) sen 2 x (c) sen 2 x + sen 6 x:
3
3
4.4C. Supondo que f : R ! R seja uma função periódica com período fundamental T ,
determine o período fundamental das funções g (x) = f (ax) e h (x) = f (x=b) ; a; b 6= 0:
4.4D. A função f (x) =
contre sua série de Fourier.
8
<
:
x2 =4
x=2 + =2;
x
x2 =4 + x=2 + =2; 0
x
0
é suposta 2 -periódica. En-
:
4.4E. Suponha que a função f seja 2 -periódica. Esboce seu grá…co no intervalo [ 2 ; 2 ],
calcule seus limites laterais nos pontos x = 0 e x =
(a) f (x) = x;
(c) f (x) = x3 ;
(b) f (x) = x2
<x<
(d) f (x) = x2 ;
<x<
(e) f (x) = x; 0 x 2
8
< x2 ;
<x<0
(g) f (x) =
: x2 ; 0 < x <
8
< x + =2;
x
(i) f (x) =
: x + =2; 0 < x
e, por …m, encontre sua série de Fourier:
0
8
< 1;
=2 < x < =2
(k) f (x) =
: 1; =2 < x < 3 =2
1;
<x<
<x<
(f) f (x) = jcos xj ; 0 x 2
8
< x; 0 < x <
(h) f (x) =
:
x;
<x<2
8
< 0;
<x<0
(j) f (x) =
: x; 0 < x <
8
< x;
(l) f (x) =
: 0;
=2 < x < =2
=2 < x < 3 =2:
4.4F. Calculando soma de séries numéricas com auxílio das séries de Fourier.
SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MPMATOS
2
(a) Na série 4.4E(b), considere x =
e obtenha
(b) Na série 4.4E(h), considere x =
e obtenha
=
6
2
=
8
12
1
P
n=1
2
(c) Na série 4.4E(b), considere x = 0 e obtenha
1 1
P
;
2
n=1 n
=
1
(2n
1 ( 1)n
P
n2
n=1
1)2
;
1
;
(d) Na série 4.4E(k), considere x = =4 e obtenha p = 1+1=3 1=5 1=7+1=9+1=11
8
4
(e) Multiplique a série 4.4E(d) por x2 , integre o resultado de
(f) Na série 4.4E(f), considere x =
e obtenha
4
=
29
até
e obtenha
90
=
1 ( 1)n+1
P
1
+
:
2 n=1 4n2 1
;
1 1
P
;
4
n=1 n
4.4G. Se f : [ r; r] ! R é uma função par, mostre que a função f (x) cos nx é uma função
par e f (x) sen nx é uma função ímpar. Nesse caso, valem as fórmulas:
Z
r
f (x) cos nxdx = 2
r
Z
r
f (x) cos nxdx
e
0
Z
r
f (x) sen nxdx = 0:
r
Deduza resultados análogos admitindo que f é uma função ímpar.
4.4H. Desenvolva a função f (x) = sen x; 0 < x < ; em série de Fourier de co-senos.
4.4I. Considere a função f (x) = x, de…nida para 0 < x < 2. Encontre: (a) a extensão
ímpar 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de senos da extensão; (b) a extensão
par 4-periódica de f e a correspondente série de Fourier de co-senos.
4.4J. Seja f : R ! R uma função contínua 2 -periódica. Dado um número real a, mostre
que:
Z
a+
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx:
Exercícios Complementares
4.6A. Para a função do Exercício 4.3E(d), escreva a identidade de Parseval correspondente e,
usando o resultado, deduza que:
1
4
X
1
=
:
4
n
90
n=1
30
SÉRIES DE FOURIER
CAP. 4
4.6B. Considere a função 2 -periódica f : R ! R tal que:
8
< 1, se 0 x
f (x) =
: 1, se
x < 0;
cujos coe…cientes de Fourier foram calculados no Exemplo 4.1.1.
(a) determine PN (x) de modo que o erro quadrático seja mínimo;
(b) determine o menor inteiro N para o qual E (PN ; f )
(c) usando a identidade de Parseval (4.15), deduza que:
1
X
(2n
n=1
2
1
1)2
=
8
:
0:26;
SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MPMATOS
Respostas e Sugestões
Exercícios 4.4
4.4A. T = ;
T = 1;
4.4E.
1 ( 1)n+1 sen nx
P
(a) 2
n
n=1
2 =1
(c) 2[
2
(d)
(g)
(h)
+4
3
2
6=13 sen x
1 ( 1)n cos nx
P
n2
n=1
2 sen x
P1
n=1
2
2
T = 2 =n;
T = k;
2
(b)
3
2 =2
1+4
2
3
2
2 =3
1 sen nx
P
n
n=1
1
4 ) sen 3x
2
4
4 cos (2n 1) x 2 sen (2n 1) x
+
2n 1
(2n 1)2
+
4.4I. (a)
1 ( 1)n+1 sen(n x=2)
4 P
n
n=1
(b) 1
6=33 sen 3x
(f)
2
+
sen 4x +
(i)
1 ( 1)n+1 sen nx
1 [( 1)n
P
P
1] cos nx
+
2
4 n=1
n
n
n=1
sen 2x 2 sen 3x sen 4x 2 sen 5x
2
+
+
(l) sen x +
2
9
4
25
1 cos 2nx
2
4 P
4.4H.
2
1
n=1 4n
(j)
4.4C. Tg = T =a e Th = T b:
1 ( 1)n cos nx
P
n2
n=1
6=23 sen 2x +
(e)
sen 2x + (
T = k=n
1 ( 1)n+1 cos 2nx
4 P
4n2 1
n=1
1 cos (2n
4 P
1) x
(2n 1)2
n=1
(k)
1 ( 1)n
4 P
1 cos(2n
8 P
2
(2n
n=1
n=1
1) x=2
:
1)2
1
cos (2n
2n 1
1) x
31