Projeto rumo ao ita
3
11. Para quais valores a desigualdade x +
Matemática
1
1
> x 2 + 2 é falsa?
x3
x
12. (ITA/2012) Sejam r 1 , r 2 e r 3 números reais tais que
r1 – r2 e r1 + r2 + r3 são racionais. Das afirmações:
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional;
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,
Revisão de Álgebra
é(são) sempre verdadeira(s):
A)apenas I.
B) apenas II.
C)apenas III.
D)apenas I e II.
E) I, II e III.
Exercícios de Fixação
01. Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x3 + ax2 + bx + c.
02. Se f(x)f(y) – f(xy) = x + y, "x,y ∈ R, determine f(x).
03. Encontre x real satisfazendo
1+ 1+ 1+ x = x.
04. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final
podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação
era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos
foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito
alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77.
Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma
questão havia sido mal reformulada e decidiu atribuir 5 pontos
a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos
aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
A)Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes
da atribuição dos cinco pontos extras.
B) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos,
inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
05. Encontre todas as soluções reais positivas da equação
 x   x   2x 
x +   =   +   , onde k denota o maior inteiro menor
6  2  3 
que ou igual ao número real k.
Sugestão: analise o resto da divisão de x por 6).
06. A função f, definida sobre o conjunto dos pares ordenados de
inteiros positivos, satisfaz as seguintes propriedades: f(x, x) = x,
f(x, y) = f(y, x) e (x + y) f(x, y) = yf(x, x + y). Calcule f(14, 52).
1 
1 
1
 1 
07. Simplifique a expressão 1+  1+ 2  1+ 4  ... 1+ 2100
a
a
a






a

sendo a ≠ 1.

,

08. A soma dos algarismos de um número é 12. Invertendo-se a
4
ordem dos algarismos, tem-se um novo número igual a
7
do original. Determine o número sabendo que ele tem dois
algarismos.
09. Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes
propriedades:
I. Em sua representação, tem 6 como último dígito.
II. Se o último dígito (6) é apagado e colocado na frente dos
dígitos restantes, o número resultante é quatro vezes maior
que o número original n.
10. I. Ache todos os inteiros positivos com dígito inicial 6, tal que o
1
inteiro formado apagando-se este 6 é
do inteiro original.
25
II. Mostre que não existe inteiro, tal que a retirada do primeiro
1
dígito produz um novo inteiro que é
do inteiro original.
35
13. (ITA/2013) Seja n > 6 um inteiro positivo não divisível por 6.
Se, na divisão de n2 por 6, o quociente é um número ímpar,
então o resto da divisão de n por 6 é
A)1
B) 2
C)3
D)4
E) 5
Exercícios Propostos
01. D e m o n s t r a r q u e s e
A B C
= = ,
a b c
então ocorre
Aa + Bb + Cc = ( A + B + C)(a + b + c ), sendo a, b, c,
A, B, C ∈ R+*
02. Mostre que se
a1 a2 a3
e p1, p2, p3 não são todos nulos,
=
=
b1 b2 b3
n
p an + p2an2 + p3an3
a 
, para todo inteiro positivo n.
então  1  = 1 1n
p1b1 + p2bn2 + p3bn3
 b1 
03. (IME/2007) Sejam a, b e c números reais não nulos. Sabendo que
a+b b+c c +a
a+b
=
=
, determine o valor numérico de
.
c
a
b
c
04. Se x é um número satisfazendo a equação
então x2 está entre:
A)55 e 65
B) 65 e 75
C)75 e 85
D)85 e 95
E) 95 e 105
3
x + 9 − 3 x − 9 = 3,
05. Considere todas as retas que encontram o gráfico da função
f(x) = 2x4 + 7x3 + 3x – 5 em quatro pontos distintos, digamos
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4). O valor de x1 + x 2 + x 3 + x 4 é:
4
7
A)2
B)
8
7
C) D) independente da reta.
2
E) NDA
06. Qual das sentenças seguintes não é verdadeira para a equação
ix2 – x + 2i = 0, sendo i = −1?
A)A soma das raízes é 2.
B) O discriminante é 9.
C)As raízes são imaginárias.
D)As raízes podem ser encontradas usando a fórmula
quadrática.
E) As raízes podem ser encontradas por fatoração, usando
números imaginários.
ITA/IME – Pré-Universitário
1
Projeto rumo ao ita
07. Se a parábola y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (–1, 12), (0, 5)
e (2, –3), então o valor de a + b + c é:
A)–4
B) –2
C)0
D)1
E) 2
18. Suponha que um número inteiro n é a soma de dois números
a2 + a b2 + b
. Mostre que 4n + 1 pode ser
+
triangulares n =
2
2
08. (IME/2007) Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 + (m – 15)x + m = 0.
Sabendo que x1 e x2 são números inteiros, determine o conjunto
de valores possíveis para m.
19. Ache todos os inteiros positivos x, y tais que:
y2 – x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1
1+ 1996
, então 4x3 – 1999x – 1997 é igual a:
2
A)0
B) 1
C)–1
D)2
E) –2
09. Se x =
10. (EUA) Para quais valores de K a equação x = K2(x – 1)(x – 2)
tem raízes reais?
A)Nenhum
B) –2 < K < 1
C) −2 2 < K < 2 2 D)K > 1 ou K < –2
E) Todos
11. (Romênia/2006) Encontre todos os números reais a e b
satisfazendo 2(a 2 + 1)(b 2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1).
(Sugestão: Equação do 2º grau em a).
12. Suponha que a função f: R → R satisfaz f(xy) = xf(y) + yf(x) para
todos x, y e R. Podemos afirmar que:
A)f(1) = 0
B) f(1) = 1
C)f é uma função constante D)f(4) = 2f(2)
E) NDA
 1
sen  
 x  . Mostre que
13. Seja f: R* → R a função definida por f( x ) =
1
1+ 2x
existem números reais b 0 , b 1 , b 2 , ..., b k , ... tais que
1


π
.
1+ 2bk  f(bk ) = −


2 3


n +1
,
n+2
onde N e o R são, respectivamente, o conjunto dos números
naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico
1
de
.
f(2006)
n
14. (IME/2007) Seja f: N → R uma função tal que ∑ f(k ) = 2008 ⋅
k =0
15. Seja f: Z → Z uma função satisfazendo f(n2) = f(n + m) f(n –m)
+ m2, "m, n ∈ Z. Então f(0) pode ser:
A)0
B) 1
C)0 e 1
D)4
E) NDA
16. Se f(x) = ax2 – c satisfaz –4 ≤ f(1) ≤ –1 e –1 ≤ f(2) ≤ 5, então:
A)7 ≤ f(3) ≤ 26
B) –1 ≤ f(3) ≤ 20
28
35
≤ f(3) ≤
C)–4 ≤ f(3) ≤ 15
D) −
3
3
E)
8
13
≤ f(3) ≤
3
3
escrito como a soma de dois quadrados em termos de a e b.
20. Para quantos inteiros positivos n entre 1 e 100 é possível fatorar
x2 + x – n como produto de dois fatores lineares com coeficientes
inteiros?
A)0
B) 1
C)2
D)9
E) 10
21. Defina a operação o por xoy = 4x – 3y + xy, "x, y ∈ R.
Para quantos números reais y tem-se 3oy = 12?
A)0
B) 1
C)3
D)4
E) mais que 4
...9
22. (Latvian/1997) Quantos dígitos de n = 9 + 99 + 999 + ... + 99
2001
são iguais a 1?
A)1997
B) 1998
C)1999
D)2000
E) 2001
23. Seja n > 1 um inteiro. Prove que o número
não é racional.
24. A) Se tg
11...1 44...4
n
2n
α
é um número racional (a ≠ kp, k ∈ Z), prove que
2
cosa e sena são números racionais.
B) Reciprocamente, se cosa e sena são números racionais,
α
prove que tg é um número racional.
2
25. Considere as afirmativas.
I. Entre dois números racionais sempre existe um outro número
racional;
II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional;
III.O produto de dois números irracionais é sempre irracional;
IV.Existe sempre um número racional entre dois números
inteiros;
V. Existe sempre um número inteiro entre dois números
racionais.
Conclua que:
A)1 ,3, 4 são verdadeiras.
B) 1, 2, 3 são verdadeiras.
C)Somente 1 e 4 são verdadeiras.
D)Somente 2 e 4 são verdadeiras.
E) Somente 3 e 5 são falsas.
26. O número de soluções reais da equação:
17. I. Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é quadrado perfeito,
mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos
sucessivos.
II. Se 3n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a
soma de três quadrados.
x 2 − 1 + 2x =
A)0
C)2
E) maior que 3
ITA/IME – Pré-Universitário
x 2 − 2x + 1 é:
x −1
B) 1
D)3
2
Projeto rumo ao ita
27. Sendo |x| + x + y = 10 e x + |y| – y = 12, encontre x + y.
A)–2
B) 2
18
D) 22
C)
5
3
E) 22
36. São dados a, b, c ∈ . Sabe-se que a + b + c > 0, bc + ca + ab > 0
e abc > 0. Prove que a > 0, b > 0, c > 0.
28. (ITA/2007) Sobre a equação na variável real x, |||x – 1| –3| –2| = 0,
podemos afirmar que:
A)ela não admite solução real.
B) a soma de todas as suas soluções é 6.
C)ela admite apenas soluções positivas.
D)a soma de todas as soluções é 4.
E) ela admite apenas duas soluções reais.
38. Se x e y são reais tais que x + x 2 + 1 y + y 2 + 1 = 1, prove
que x + y = 0.
29. Qual é o produto das raízes da equação:
x 2 + 18x + 30 = 2 x 2 + 18x + 45 ?
A)10
C)30
E) NDA
B) 20
D)40
30. Um número primo e positivo é formado por 2 algarismos
não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o
número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a
soma desses 2 algarismos pode ser:
A)8
B) 7
C)6
D)9
E) 10
31. ( E U A ) N o s i s t e m a d e n u m e r a ç ã o d e b a s e 1 0 , o
número 526 representa 5 ·10 2 + 2 · 10 + 6. Em Terras
Brasilis, entretanto, os números são escritos na base r.
Wellington compra um automóvel lá por 440 unidades monetárias
(abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de
1000u.m. e recebe de troco 340u.m. A base r é:
A)2
B) 5
C)7
D)8
E) 12
32. (EUA) O número 695 é escrito no sistema de numeração de
base fatorial, isto é, 695 = a1 + a2 ⋅ 2! + a3 ⋅ 3! + ...+an ⋅ n!,
onde a1, a2, ..., an são inteiros tais que 0 ≤ ak ≤ k, e n! representa
n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1. Encontre a4.
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) 4
33. (EUA) O número 121b, escrito na base inteira b, é o quadrado
de um inteiro para:
A) b = 10, apenas
B) b = 5 e b = 10, apenas
C)2 ≤ b ≤ 10
D)b > 2
E) Nenhum valor de b
34. Se as igualdades a3 + b3 + c3 = a2 + b2 + c2 = a + b + c = 1 são
satisfeitas, então abc =
A)0
B) –1
C)1
D) 6 2
E) NDA
35. O número de alunos prestando vestibular para o ITA era, em
um dado ano, um quadrado perfeito. No ano seguinte, com
um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos passou
a ser um quadrado perfeito mais 1. Um ano depois, com mais
um acréscimo de 100 participantes, o número de alunos passa
a ser novamente um quadrado perfeito. A quantidade inicial
de alunos é um múltiplo de:
A)3
B) 7
C)9
D)11
E) 17
3
37. Sejam a, b, c, d reais tais que a2 + b2 = c2 + d2 = 1, ac + bd = 0.
Calcular ab + cd.
(
)(
)
39. (ITA/2007) Sendo c um número real a ser determinado,
decomponha o polinômio 9x2 – 63x + c numa diferença de
dois cubos (x + A)3 – (x + B)3. Neste caso, |a + |b| – c| é igual a:
A)104
B) 114
C)124
D)134
E) 144
40. Para x e y números reais distintos, seja M(x, y) o maior
número entre x e y e seja m(x, y) o menor número entre x e y.
Se a < b < c < d < e, então M(M(a, m(b, c)), m(d, m(a, e))) =
A)a
B) b
C)c
D)d
E) e
41. (EUA)
2 6
2+ 3+ 5
é igual a:
A) 2 + 3 − 5 B) 4 − 2 − 3
C) 2 + 3 + 6 − 5 D) 2 + 5 − 3
2
E)
3+ 5− 2
3
42. (EUA) O número de soluções distintas da equação:
|x – | 2x + 1 || = 3 é:
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) 4
43. (EUA) O número de triplas (a, b, c) de inteiros positivos que
satisfazem simultaneamente as equações:
ab + bc = 44
ac + bc = 23, é
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) 4
44. (EUA) Seja S a seguinte sentença: Se a soma dos dígitos
do número inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6.
Um valor de n que mostra que S é falsa é:
A)30
B) 33
C)40
D)42
E) NDA
45. (EUA) Qual dos seguintes números está mais próximo de
65 − 63 ?
A)0,12
C)0,14
E) 0,16
B) 0,13
D)0,15
21n + 4
46. Prove que a fração
é irredutível para todo número
14
n+3
natural n.
ITA/IME – Pré-Universitário
Projeto rumo ao ita
1 
1 
1 
1 

47. O produto 1− 2  1− 2  ... 1− 2  1− 2  é igual a:
 2   3   9   10 
5
1
A)
B)
12
2
11
2
D)
C)
20
3
7
E)
10
48. Seja n um inteiro não negativo. O polinômio Tn(x) é definido,
para –1 ≤ x ≤ 1, por T0(x) = 1 e Tn(x) = cos n (arccos x), n ≥ 1.
Considere as afirmações sobre Tn(x):
I. Seu grau é n;
II. Seu coeficiente líder é 2n;
III.T4(x) = 8x4 – 8x2 +1;
IV.A soma de seus coeficientes é 1.
Quantas são verdadeiras?
A)0
C)2
E) 4
B) 1
D)3
49. O número de pares ordenados (x, y) com x, y ∈ Z, satisfazendo
2x2 – 3xy – 2y2 = 7 é:
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) maior que 3
50. Q u a n t o s p a re s d e n ú m e ro s re a i s ( a , b ) e x i s t e m
tais que a função f(x) = ax + b satisfaz a desigualdade
1
( f( x ))2 − cos x ⋅ f( x ) < sen2x, ∀x ∈ [0, 2π]?
4
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais que 3
51. Dada a equação x ⋅ {x} + x = 2{x} + 10, sendo x a parte inteira
de x e {x} a parte fracionária de x (0 ≤ {x} < 1):
A)mostre que ( x –1)({x} + 1) = 9;
B) encontre todas as soluções dessa equação.
52. Analise as sentenças a seguir:
I. Existem exatamente 10 números naturais de 4 dígitos que
são cubos perfeitos;
II. A soma dos cubos de três números inteiros positivos e
consecutivos é divisível pelo número do meio e por 9;
III.O cubo de um número natural ou é múltiplo de 8 ou deixa
resto 1 na divisão por 4;
IV.A soma dos quadrados de dois números ímpares consecutivos
é um número par não múltiplo de 4.
Quantas são verdadeiras?
A)0
C)2
E) 4
B) 1
D)3
55. (ITA/2008) Dado o conjunto A = { x ∈ / 3x 2 + 2x < x 2 },
expresse-o como união de intervalo da reta real.
56. a x b representa a operação sobre dois números a e b que
seleciona o maior dos dois números, com a x a = a. Além disso,
a + b representa a operação sobre dois números a e b que
seleciona o menor dos dois números, com a + a = a. Qual das
seguintes regras é(são) correta(s)?
I. a x b = b x a
II. a x (b x c) = (a x b) x c
III.a + (b x c) = (a + b) x (a + c)
A)I apenas.
B) II apenas.
C)I e II apenas.
D)I e III apenas.
E) I, II e III.
57. Seja f(x) = x2 + 3x + 2 e S, o conjunto de inteiros {0, 1, 2, ..., 25}.
O número de elementos s de S tais que f(s) deixa resto 0 (zero)
na divisão por 6 é:
A)25
B) 22
C)21
D)18
E) 17
58. Se p é um inteiro positivo, então
3p + 25
pode ser um inteiro
2p − 5
positivo para quantos valores de p?
A)0.
B) 1.
C)2.
D)3.
E) mais que 3.
59. Calcule a soma dos valores inteiros positivos de n de modo que
n + 26 seja um inteiro.
n+2
A)20
B) 22
C)43
D)45
E) 52
60. (Cone Sul) Existem números inteiros ímpares a1, a2, ..., a2010 tais
2009
que
4
?
∑ iai4 = 2010 ⋅ a2010
i =1
61. (Baltijos Kelias) Denote por d(n) a quantidade de todos os
divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n).
n
é um inteiro
Prove que existem infinitos n tais que
d(n)
positivo.
53. Seja A = 77 ... 77 um número em que o dígito 7 aparece 1001
vezes. Determine o quociente e o resto da divisão de A por
1001.
62. A expressão 2n + 1 é o quadrado de um inteiro para exatamente
quantos números naturais n?
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
x4 − 1
54. O conjunto solução da inequação
< 0 é:
4
− x + 3x 3 − 2x 2
A)(–∞, –1) ∪ (2, ∞)
B) (–∞, –1) ∪ (1, 2)
C)(–∞, –1) ∪ (0, 2)
D)(–∞, –1) ∪ (1, 2)
E) (–∞, –1) ∪ (–1, 0)
63. Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois
algarismos aa, bc e cb são números primos e aa + bc + cb = aa2.
Se b < c, então bc é igual a:
A)19
B) 17
C)37
D)29
E) 59
ITA/IME – Pré-Universitário
4
Projeto rumo ao ita
64. O crescimento da quantidade de coelhos do professor Fabrício
Maia obedece, mês a mês, a sequência de Fibonacci, isto é,
ao final do primeiro mês ele tinha c1 = 2 coelhos, ao final
do segundo, c2 = 3 coelhos e, a partir do terceiro mês, para
desespero do professor Fabrício, o número de coelhos ao final
do n-ésimo mês satisfazia cn = cn – 1 + cn – 2, n ≥ 3. Se após um
ano e meio ele tinha 6.765 coelhos e nos dois meses seguintes
nasceu um total de 10.946 coelhos, quantos comedores de
cenoura o professor Fabrício possuía ao final do 20º mês?
A)17.711
B) 10.946
C)6.766
D)5.473
E) n.d.a.
65. (OBM) Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas
incorretas desta questão?
A)quarenta e oito.
B) quarenta e nove.
C)cinquenta.
D)cinquenta e um.
E) cinquenta e quatro.
66. Quantos inteiros positivos N de três dígitos existem tais que N
e a soma de seus dígitos são divisíveis por 11?
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
67. O valor da soma S = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + 2008 ⋅ 2009 é:
2008 ⋅ 2009 ⋅ 2010
A) 2008 ⋅ 2009 ⋅ 2010 B)
6
3
C)
2007 ⋅ 2008 ⋅ 2009
3
D)
2008 ⋅ 2009 ⋅ 2010
6
E) n.d.a.
68. Dada a sequência de equações x1 + 1 = 1, x2 + 2 = 4, x3 + 3 = 9,
..., xn + n = n2, calcule o valor de x1 + x2 + x3 + ... + xn.
n2 − 1
n(n2 − 1)
B)
A)
3
3
2
C) n + 1 3
E) n.d.a
D)
A)4
C)7
E) 9
32010 + 22010
é igual a:
32008 + 22008
B) 6
D)8
73. Sejam a, b, c, d inteiros distintos tais que a equação (x – A)
(x – b) (x – c) (x – d) – 4 = 0 tem uma raiz inteira r. Então:
A)4r = a + b + c + d
B) r = a + b + c + d
C)a + b + c + d = 0
D)r = 0
E) n.d.a.
74. Quantas soluções x, y, z inteiras a equação 3x2 + y2 + z2 =
2x(y + z) possui?
A)0
B) 1
D)2
C)3
E) mais de 3
75. Sejam x, y, z números naturais. Se x é um número primo e
x2 + y2 = z2, então y é igual a:
2
x2 + 1
B)
A) x − 1 2
2
2
C)x
D)x – 1
E) x2 + 1
76. Seja p um número primo ímpar dado. Quantos valores de k
2
inteiro positivo existem tais que k − pk é também um inteiro
positivo?
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
77. Para quais valores de a as duas raízes de x2 – ax + 2 = 0
pertencem ao intervalo [0; 3]?
78. Sendo l um parâmetro real, –1 ≤ l ≤ 1, resolva a inequação
quadrática x2 – lx + 1 < 0.
79. D e t e r m i n e t o d a s a s s o l u ç õ e s re a i s d a i n e q u a ç ã o
x3 – 2x2 – 4 x+ 3 < 0.
n(n2 + 1)
3
69. (EUA) Seja N = 21002 + 20992 – 20982 – 20972 + 20962 + ... + 20042
+ 20032 – 20022 – 20012, com somas e subtrações alternando-se
em pares. O resto de N na divisão por 1000 é:
A)0
B) 100
C)200
D)300
E) 400
70. Se x12 + 2x6 (1 – 2y2) + 1 = 0 e x ∈ r–,então:
A)y < 1
B) y ≤ –2
C)y ∉ r
D)x6 – 2x3y + 1 = 0
E) n.d.a.
x + y + z =6

.
80. Resolva em R o sistema de equações  x y = −2
yz = 3

81. São dados os números reais a 1, a 2. Se a desigualdade
x2 – (a1 + a2) x + a1 ⋅ a2 > 0 tem como conjunto solução R – {a},
α
é igual a:
a ≠ 0, então
a1 + a2
1
A)2
B)
2
C)3
D)
1
3
E) 1
82. (EUA) Defina na! para n e a positivos como na! = n(n – a)(n – 2a)
(n – 3a) ... (n – ka), sendo k o maior inteiro para o qual n > ka.
71. Encontre todos os a reais tais que a4 + b4 + 2aa2b2 ≥ (a + 1)
(a3b + ab3), sempre que a e b são reais.
Sugestão: Mostre que a desigualdade dada é equivalente a
(a – b)2 (a2 + ab – aab + b2) ≥ 0.
5
72. (OBM) O maior inteiro que não supera
Então, o quociente
A)45
C)48
E) 412
ITA/IME – Pré-Universitário
728 !
é igual a:
182 !
B) 46
D)49
Projeto rumo ao ita
83. O número de soluções reais distintas da equação
é igual a:
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) 4
3
x + 3 7−x = 3
84. Se x é um número satisfazendo 3 x + 9 − 3 x − 9 = 3, então x2
está entre:
A)55 e 65
B) 65 e 75
C)75 e 85
D)85 e 95
E) 95 e 105
85. Considere as afirmações:
I. A função f associa a cada real x o menor elemento do
16
15 − x 

;
conjunto x + 1,
 . O valor máximo de f(x) é
3
2 

II. Existe apenas um valor real de x que satisfaz a inequação
1
x+
≤ 2;
x
III.A soma das raízes reais de x3 + 3x2 + 3x – 1 = 0 é –3;
x + 99
IV.Há exatamente 20 valores inteiros de x para os quais
x + 19
também é um número inteiro.
Quantas são verdadeiras?
A)0
C)2
E) 4
B) 1
D)3
86. Considere o polinômio quadrático P(x) = ax2 – bx + c, abc ≠ 0.
Se uma de suas raízes está no intervalo de (–2; –1) e a outra
no intervalo (2; 3), analise as seguintes sentenças e marque o
item correto.
I. P(0) < 0
II. abc < 0
 1
III. P(1) ⋅ P  −  > 0  2
A)V – V – V
C)V – F – F
E) F – F – V
B) V – F – V
D)F – V – V
91. Se a soma das soluções inteiras da inequação (x – n) (x – n – 3)
(x – n – 6) (x – n – 9) (x – n – 12) (x – n – 15) < 0 é 39, indique
o valor inteiro de n.
A)5
B) 1
C)–2
D)–1
E) 3
92. Determine a quantidade de pares ordenados de números reais
que verificam a equação 5x2 – 2xy + 2y2 – 2x – 2y + 1 = 0.
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
93. (China-Adaptado) Seja n um número inteiro positivo e d(n),
a quantidade de divisores positivos de n. Encontre todos
os inteiros c não negativos tais que existe n satisfazendo
d(n) + j(n) = n + c, sendo j a função de Euler.
94. (IME/2010) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que
r t
< . Considere as seguintes relações:
s v
I. (r + s ) < ( t + v )
s
v
r
t
<
II.
(r + s ) ( t + v )
III. r < (r + t )
s (s + v )
IV. (r + t ) < (r + t )
s
v
O número total de relações que estão corretas é:
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) 4
95. (Putman) Sejam x, y, z números reais distintos dois a dois.
x2
87. Considere a expressão matemática f( x ) =
tal que f(α) = b,
x +6
{a, b} ⊂ Z. Indique o número de valores diferentes que a pode
assumir.
A)18
B) 20
C)28
D)36
E) 40
88. O valor mínimo da função real e de variável real dada por
f(x) = x + 3 + x – 2 + x – 4 é:
A)0
B) 1
C)2
D)4
E) 7
89. Qual é a soma das soluções da equação:
x + 3– x – 2– x – 1= 0 ?
A) 6
B) 8
C) 10
D) –14
E) 0
90. Considere os conjuntos A = { x – 1 ∈ r / x 2 < 1 } ,
B = {x∈ z / x2 < 1}, C = {x∈ z /|x| > x}, então A – (B ∪ C) é o
conjunto:
A) ∅
B) (1; 2)
C)(–2; 0) – {1}
D)(–2; 0) – {–1}
E) (–1; 1)
Prove que
3
x−y +
3
y−z +
3
z − x ≠ 0.
Sugestão: a + b + c = 0 implica a3 + b3 + c3 = 3abc.
96. (EUA) Existe um único par de inteiros positivos x e y
satisfazendo a equação x2 + 84x + 2008 = y2. Encontre x + y.
97. (AustráliA) Se x, y, z são números positivos satisfazendo
1
1
1 7
x + = 4 , y + = 1 e z + = , então xyz é igual a:
y
z
x 3
A)
2
3
B) 1
C)
4
3
D)2
E)
7
3
98. Sejam x e y números inteiros tais que x3 + y3 + (x + y)3 +
+ 30xy = 2000. O valor de x + y é:
A)10
B) 20
C)30
D)40
E) 50
ITA/IME – Pré-Universitário
6
Projeto rumo ao ita
99. (OBM) Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
1
1
x+
y − x−
y = 1. Qual das alternativas apresenta
2
2
um possível valor de y?
A)5
B) 6
C)7
D)8
E) 9
100.Para quantos valores inteiros de a as duas raízes de
x2 – 2ax + 3 = 0 pertencem ao intervalo [–1; 2]?
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
101.Para quantos valores inteiros do parâmetro p as raízes de
x2 – 2px + p2 – 2 = 0 pertencem ao intervalo (0; 2)?
A)0
B) 1
C)2
D)3
E) mais de 3
102.(Torneio Harvard-MIT) Determine todos os números reais a
tais que a inequação |x2 + 2ax + 3a| ≤ 2 tem exatamente uma
solução em x.
103.Um número complexo ζ é uma raiz primitiva n-ésima da unidade
se, e somente se, ζn = 1 mas ζk ≠ 1 para cada inteiro k com
1 ≤ k ≤ n – 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual a
potência de ζ é 1.
O n-ésimo polinômio ciclotômico Qn(t) é o produto de todos
os polinômios lineares (t – ζ), sendo ζ raiz n-ésima primitiva
da unidade.
Analise as seguintes afirmações.
I. O grau de Qn é ϕ(n) e sempre é par, em que ϕ é função de Euler.
II. Toda raiz n-ésima da unidade é uma raiz de Qn.
III.Q6(t) = t2 – t + 1.
IV.Se p é um número primo, então Qp(t) = tp – 1 + tp – 2 + ... + t + 1.
Assim, somente:
A)IV é verdadeira.
C)II é falsa.
E) NDA.
B) I e IV são verdadeiras.
D)III e IV são verdadeiras.
É(São) possível(is) apenas a(s) situação(ões):
A)I
B) II
C)III
D)I e III
E) II e III
107.A)Mostre que se a e b são números reais, então [a] + [b] ≤ [a + b].
B) Seja p um número primo e f(k) a quantidade de fatores
p em k!. Sendo m e n números naturais, mostre que
f(m) + f(n) ≤ f(m + n).
108.Se n é um número natural maior que 1, então, de quantas
maneiras podemos escrever n como soma de dois números
naturais primos entre si?
109.Mostre que a soma dos quadrados de três inteiros consecutivos
não pode terminar em 1 ou em 6.
110.Se as raízes da equação x2 + px + q = 0 são positivas,
mostre que o mesmo ocorre com as raízes da equação
qy2+ (p – 2rq)y + 1 – pr = 0, onde r é um número positivo.
111.Na equação x2 – px + q = 0, os números p e q são inteiros
positivos. Mostre que se essa equação tem duas raízes reais e
iguais, então p é par.
112.(Torneio Harvard-MIT) Encontre a(s) solução(ões) real(is) da
equação (x + y)2 = (x + 1)(y – 1).
113.(OCM) Prove que não existem inteiros positivos a e b tal que
b2 + b = 4.
a2 + a
2
105.U m quadrado é cortado em 49 quadrados menores.
Todos esses quadrados têm as medidas de seus lados, em
centímetros, expressas por números inteiros positivos.
Há exatamente 48 quadrados com área igual a 1 cm2.
O número de resultados possíveis para expressar, em cm2, a
medida da área do quadrado original é exatamente igual a:
A)1
B) 2
C)3
D)4
E) 5
106.Para selecionar um recruta dentre 225 voluntários, o sargento
de determinado batalhão os dispõe em um quadrado de
15 linhas por 15 colunas e, a princípio, manda sair o mais alto
de cada linha e denomina de A o mais baixo, dentre esses 15.
Em seguida, faz com que todos retomem suas posições no
quadrado e, agora, manda sair o mais baixo de cada coluna e
denomina de B o mais alto, dentre esses 15.
2
 x 3 + 3x( x + 1) + 1 +  x 3 − 3x( x − 1) − 1
114.O valor de 
2
2
 x 3 + 3x( x + 1) + 1 −  x 3 − 3x( x − 1) − 1
104. Se as raízes da equação x2 – 2ax + a2 + a – 3 = 0 são reais e
menores que 3, então:
a)a < 2
b) 2 ≤ a ≤ 3
c)3 < a ≤ 4
d)a > 4
e) NDA
7
Analise as seguintes situações:
I. A ser mais alto do que B;
II. B ser mais alto do que A;
III.A e B serem a mesma pessoa.
quando x =
A)1
C)12/5
E) NDA
3
2 +1
3
2 −1
é:
B) 3/5
D)5/3
115.Quantos dígitos (base 10) possui S = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + 1002?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
116.O resto na divisão por 1000 de 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ...
+ 2010 · 2011 é:
A)140
B) 240
C)340
D)440
E) NDA
117.Quantos inteiros positivos menores que 1000 são iguais a 6
vezes a soma de seus dígitos?
A)0
B) 1
C)2
D)4
E) 12
ITA/IME – Pré-Universitário
Projeto rumo ao ita
125.Se x + y + z = 2, x2 + y2 + z2 = 3 e x3 + y3 + z3 = 4, então o valor
de x5 + y5 + z5 é:
1
A)6
B) −
3
35
26
C)
D)
6
3
118.Para quantos valores inteiros de x a função
2010
está definida?
f(x) =
9 − | 5 − | 2x − 3 |
A)0
C)8
E) mais de 12
B) 4
D)12
E) NDA
119.Que números a seguir são racionais?
I.  2 2 


2
126.(Torneio Harvard-MIT) Sejam a, b, c números reais não
nulos tais que a + b + c = 0 e a3 + b3 + c3 = a5 + b5 + c5.
Encontre o valor de a2 + b2 + c2.
11
... 122 ... 25 , n ∈ N
II.
n
n+1
127.(Torneio Harvard-MIT/2008) Seja P(x) um polinômio mônico com
grau 2008 tal que P(0) = 2007, P(1) = 2006, P(2) = 2005, ... ,
P(2007) = 0. Determine o valor de P(2008). Você pode usar
fatoriais em sua resposta.
Sugestão: Crie o polinômio Q(x) = P(x) + x – 2007
3
III. 9
IV. log35
A)I
B) I e II
C)I, II e III
D)I, II, III e IV
E) NDA
128.(Usamo) Determine todas as soluções inteiras de
n41 + n42 + ... + n414 = 1599. (Sugestão: Divisão por 16)
n
120.(EUA) Encontre o menor inteiro positivo n tal que
é um
2
n
n
quadrado perfeito,
é um cubo perfeito e
é uma quinta
3
5
potência perfeita.
121.(EUA) Seja n um inteiro positivo tal que 2n tem 28 divisores
positivos e 3n tem 30 divisores positivos. Quantos divisores
positivos tem 6n?
122.Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “n fatorial”) como o
produto de todos os inteiros positivos menores que ou iguais
a n. Por exemplo, 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6. Se n! = 215 · 36 ·
53 · 72 · 11 · 13, então n é igual a:
A)13
B) 14
C)15
D)16
E) 17
123.Analise as afirmações:
I. x +
x2 + 1 e
x 2 + 1 − x são inversos, ∀x ∈ R.
II. x +
x2 − 1 e x −
x 2 − 1 são inversos, ∀x ∈ R.
III.x2 + x + 1 e x2 – x + 1 são inversos, ∀x ∈ R.
IV.Todo número racional possui inverso.
p
130. Se a razão entre as raízes da equação mx2 + nx + n = 0 é ,
q
p
q
n
+
+
então mostre que
= 0.
q
p
m
131. Se a e b são as raízes de x2 – 10cx – 11d = 0, e c e d são
as raízes de x2 – 10ax – 11b = 0, então encontre o valor de
a + b + c + d sabendo que a, b, c, d são números distintos.
132. O número a é racional se:
A) a4 é racional.
C) a8 e a6 são racionais.
E) NDA
B) a3 e a11 são racionais.
D) a 2 é irracional.
133. Sejam m, n, p números inteiros tais que m + n 2 + p 3 = 0.
Mostre que m = n = p = 0.
134. Mostre que se α é uma raiz da equação 4x2 + 2x – 1 = 0, então
4α3 – 3α é a outra raiz.
135. Determine o conjunto solução da equação 4 x 2 – 36
 x  + 45 = 0, onde  a  representa a parte inteira de a.
São verdadeiras:
A)I
B) I e II
C)I, II e III
D)NDA
2
1
124.Seja x um número real ou complexo para o qual x + = 1.
x
1
O valor de x 6 + 6 é:
x
A)1
B) 2
C)3
D)4
E) 5
129. O produto dos números que aparecem nas alternativas
incorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assinale a
alternativa correta.
A)4
B) 8
C)18
D)54
E) 192
999...995
136. A soma dos algarismos do número é:
100 algarismos
A) 925
B) 905
C) 916
D) 898
E) 998
137. Sejam a, b e c números ímpares. Qual dos valores a seguir
pode ser raiz da equação ax2 + bx + c = 0?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) NDA
ITA/IME – Pré-Universitário
8
Projeto rumo ao ita
138. Quantos pares de números inteiros m e n satisfazem
m2 – n2 = 2011?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) mais de 3
n n − 1) ... (n − k + 1)
, sendo k um número natural.
139. Defina  n  = (
1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
k 
1 
Assim, o menor valor de a tal que 2a ⋅  2  é um número
 4 
inteiro é:
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) NDA
140. Se a, b e c são números naturais não nulos tais que c = 5a e
b + 3c = 60, os possíveis valores de c são em número de:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
141. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, sendo N
um número inteiro, é:
A) 1050
B) 1260
D) 7350
C) 12602
E) NDA
142. Seja r um número real positivo tal que
1
O valor máximo de 4 r − 4 é:
r B) –14
A) 14
6
r+
1
= 6.
r
6
3
C) 12
E) NDA
D) 6 2 143. O número de maneiras de escrever 2010 como soma de dois
números inteiros positivos primos entre si é:
A) 2009
B) 1004
C) 502
D) 528
E) 264
144. Suponhamos que p e q sejam os catetos de um triângulo
retângulo e h, a altura relativa à hipotenusa do mesmo.
Nessas condições, podemos afirmar que a equação
2 2 2
1
x − x + = 0:
p
h
q
A) não admite raízes reais.
B) admite uma raiz da forma m −1, sendo m real positivo.
C) sempre admite raízes reais.
D) admite uma raiz da forma −m −1 sendo m real positivo.
E) NDA
145. A notação x significa o maior inteiro não maior que x.
Por exemplo, 3, 5 = 3 e 5 = 5. O número de inteiros x entre
146. Determine o conjunto solução da equação x = 1 – x, onde
a representa a parte inteira de a.
147. Determine todas as triplas de números reais (x, y, z) que são
solução da equação
4x4 – x2 ⋅ (4y4 + 4z4 – 1) – 2xyz + y8 + 2y4z4 + y2z2 + z8 = 0
9
149. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a
1000 que são múltiplos de 5 e não são múltiplos de 7 é:
A) 172
B) 171
C) 58
D) 57
E) NDA
150. Suponha que f seja uma função tal que, para todo número
real x:
I. f(x) + f(1 – x) = 11;
II. f(1 + x) = 3 + f(x).
Então, f(x) + f(-x) deve ser igual a:
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
151. Seja f : Z+ → Z+ tal que f(mn) = mf(n) + nf(m), f(10) = 19,
f(12) = 52 e f(15) = 26. Então, f(8) é igual a:
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
E) 60
152. A função f é definida para todos os pares ordenados
(x, y) de inteiros positivos e tem as seguintes propriedades:
f(x, x) = x, f(x, y) = f(y, x) e (x + y)f(x, y) = yf(x, x+ y). Qual é o
valor de f(22, 55)?
A) 11
B) 22
C) 55
D) 110
E) NDA
153. O número de pares ordenados (m, n) de números inteiros
4
2
+ = 1 é:
positivos que são soluções da equação
m n
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) mais de 4
154. Sejam p e q números inteiros e positivos tais que
x2 – px + 2q = 0 tem duas raízes reais e iguais. Então, podemos
afirmar que:
A) p é par
B) p = q
C) q é ímpar
D) p e q são primos entre si
E) NDA
2
0 e 500 para os quais x −  x 2  = 10 é:
 
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
1
148. Se f(x) = px2 + qx + r, sendo p, q, r números racionais e
f : Z → Z, sendo Z o conjunto dos números inteiros.
Então, p + q é:
A) inteiro negativo
B) um inteiro
C) racional não inteiro
D) r
E) NDA
155. (EUA) Seja N o número de 0s consecutivos no final (à direita)
da representação decimal do produto 1! 2! 3! 4! … 99! 100!.
Encontre o resto quando N é dividido por 1000.
A) 124
B) 126
C) 348
D) 485
E) NDA
156. A quantidade de inteiros positivos menores que ou iguais a
1000 que são múltiplos de 3 e não múltiplos de 7 é:
A) 191
B) 277
C) 286
D) 312
E) NDA
ITA/IME – Pré-Universitário
Projeto rumo ao ita
157. A soma dos algarismos do número 9 + 99 + 999 + ... + 99
...9 é:
A) 2032
C) 2034
E) NDA
2011
B) 2033
D) 2035
158. Qual dos números a seguir não é um quadrado perfeito?
A) 4044121
B) n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1, n ∈ Z
...122
25
...
, n ∈ Z
C) 11
n
n+1
166. Seja n o menor inteiro positivo tal que n é divisível por 20,
n2 é um cubo perfeito e n3 é um quadrado perfeito. Qual é a
quantidade de dígitos de n?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
167. Para a, b, c distintos, o valor da expressão
1
1
1
+
+
é:
( a − b ) ( a − c ) (b − a) (b − c ) ( c − a) ( c − b )
A) a + b + c.
C) abc.
1
E)
a+b+c
...144
...
4,n∈Z
D) 11
n
2n
E) NDA
159. A soma de todos os inteiros positivos n ≤ 100 para os quais
n (n − 1)
é um quadrado perfeito é:
2
A) 61
B) 60
C) 12
D) 62
E) 53
1
160. Em relação à equação do segundo grau x 2 − 1995x +
= 0,
1995
de raízes α e β, podemos afirmar que:
A) se α > β, então 1990 é o maior inteiro não maior que a.
1
1
B) n + n nunca é inteiro, para todo inteiro n ≥ 1.
α β
C) α3 + β3 é um inteiro que deixa resto 2 ao ser dividido por 5.
D) αn + βn é inteiro para todo n natural.
E) NDA
3 +2
é:
161. O maior inteiro menor que ou igual a 29
3 + 229
A) 4
B) 6
31
C) 7
E) 9
31
D) 8
162. Se a + b + c = 0, então a equação quadrática
3ax2 + 2bx + c = 0 tem:
A) pelo menos uma raiz em (0, 1).
B) uma raiz em (2, 3) e a outra em (–2, –1).
C) raízes imaginárias.
D) raízes iguais.
E) NDA
163. Sejam a e b dois números inteiros não negativos.
Então (2 a + 2b)2 pode expressar-se como soma de duas
potências distintas de 2, sempre que:
A) a = b
B) a = 0 ou b = 0
C)|a – b| = 1
D) a e b são ambos potências de 2
E) nunca
164. Mostre que não existem números naturais distintos a, b, c, d
tais que a3 + b3 = c3 + d3 e a + b = c + d.
1− x + x 2
≤ 3 , ∀x∈R, então o valor máximo de
1+ x + x 2
1+ 2x + 4 x 2
é:
1− 2x + 4 x 2
A) 9
B) 6
3
C) 3
D)
2
E) NDA
165. Se f ( x ) =
B) sempre 0.
D) 3(a + b + C).
168.
A) O s Polinômios de Tchebyshev de 1ª espécie são
definidos por Tn = cos[(n(arccosx)], n ≥ 1. Mostre que
T1(x) = x, Tn+1(x) = 2x ⋅ Tn(x) – Tn–1(x), para n ≥ 1.
B) Os Polinômios de Tchebyshev de 2ª espécie são definidos
sen (n + 1)( arccos x ) 
, n ≥ 1. Mostre que
por Un ( x ) =
sen ( arccos x )
U1(x) = 2x, Un+1(x) = 2x ⋅ Un(x) – Un–1(x), para n ≥ 1.
Sugestão:
A) Use Tn(cos q) = cos(nq)
B) Use Un ( cos θ ) =
sen (n + 1) θ 
senθ
169. Se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 é igual
ao quadrado da outra, então:
a)a3 + bc(b + c) = 3abc
b) b3 + ac(a + c) = 3abc
c)c3 + ab(a + b) = 3abc
d)b3 + ac(a + c) = abc
170. A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois
números anteriores). A notação fn significa o n-ésimo termo
dessa sequência. Por exemplo, f4 = 3 e f7 = 13. Quantos dos
termos f38, f51, f150, f200, f300 são ímpares e quantos dos termos
f48, f75, f196, f379, f1000 são divisíveis por 3, respectivamente?
a)2 e 3
b) 2 e 4
c)3 e 3
d)3 e 4
171. O menor inteiro positivo x para o qual 1260x = N3, onde N
é um inteiro, é:
a)1050
b) 1260
c)12602
d)7350
e) 44100
172. O número de soluções inteiras positivas para 2(x + y) = xy + 7 é:
a)1
b) 2
c)3
d)4
e) NDA
173. Dizemos que N é um número automórfico se o valor de
N 2 termina com a mesma sequência de dígitos que N.
Por exemplo, 6 é automórfico pois 6 2 termina em 6.
Quantos números automórficos de 2 dígitos (base 10) existem?
a)0
b) 1
c)2
d)3
e) mais de 3
ITA/IME – Pré-Universitário
10
Projeto rumo ao ita
174. Se |x2 – 4| < N para todo x real tal que |x – 2| < 1, então:
a)o menor valor possível de N é 3.
b) o maior valor possível de N é 3.
c)o menor valor possível de N é 5.
d)o maior valor possível de N é 5.
e) N pode assumir qualquer valor.
183. Se as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 são da forma
e
k +1
k
k+2
, então (a + b + c)2 é igual a:
k +1
a)b2 – 4ac
c)2b2 – ac
e) NDA
b) b2 – 2ac
d)a2 + b2 + c2
175. O menor inteiro positivo n para o qual a diferença
n + 1 − n − 1 fica menor que 0,02 é:
a)51
b) 2500
c)2501
d)2502
e) NDA
184. A soma de todos os inteiros positivos n tais que 1 + 22 + 33 + 4n
é um quadrado perfeito é:
a)1
b) 2
c)3
d)4
e) maior que 4
176. Sejam a e b números reais não nulos tais que b > 2a. A respeito
da inequação ax2 – bx + b – a > 0 podemos garantir que:
b−a

; +∞  .
a)sua solução é ( −∞;1) ∪ 
a


185. Quantos inteiros de 10 a 99 (incluindo 10 e 99) tem a
propriedade que a soma de seus dígitos é igual ao quadrado
de um inteiro?
a)13
b) 14
c)15
d)16
e) 17
b−a

∪ (1; +∞ ) .
b) sua solução é  −∞;
a 

186. Seja n um inteiro não negativo. Definimos os Polinômios
de Tchebyshev por T n(x) = cos[n(arccosx)], –1 ≤ x ≤ 1.
Podemos afirmar que:
b−a 
;1 .
c)existe a tal que a solução é 
 a

a)T5(x) = 16x5 – 20x3 + 5x.
 b−a
.
d)existe a tal que a solução é 1;
a 

e) NDA
b) todas as raízes de T3(x) têm módulo menor que
177. Se x ∈ R e 4y2 + 4xy + x + 6 = 0, então o conjunto completo
dos valores de x para os quais y ∈ R é:
a)(–∞; –2] ∪ [3; +∞)
b) (–∞; 2] ∪ [3; +∞)
c)(–∞; –3] ∪ [2; +∞)
d)[–3; 2]
e) [–2; 3]
178. Se p e q são primos e x2 – px + q = 0 tem raízes inteiras
positivas e distintas, então quais das seguintes sentenças são
verdadeiras?
I. A diferença entre as raízes é ímpar;
II. Pelo menos uma raiz é um número primo;
III.p2 – q é primo;
IV.p + q é primo.
a)I apenas.
c)II e III apenas.
e) todas.
b) II apenas.
d)I, II e IV apenas.
180. Determine todos os valores de x para os quais (1999x – 99)3 =
= (1234x – 56)3 + (765x – 43)3.
181. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe
pelo menos um número real x satisfazendo 1 − 4 x 2 ≥ a + x 2.
11
 2 
;∞  .
c)o conjunto-solução de T2(x) ≥ 0 é 

 2

d)o coeficiente líder de T2012(x) é 22012.
e) NDA
187. Seja n um inteiro não negativo. Definimos os Polinômios
de Tchebyshev por T n(x) = cos[n(arccosx)], –1 ≤ x ≤ 1.
Analise as afirmações:
I. T6(x) = 32x6 – 49x4 + 19x2 - 1;
II. Todas as raízes de T4(x) são números irracionais;
 2 
;∞  ;
III. O conjunto-solução de T3(x) ≥ 0 é 

 2

IV. O coeficiente líder de T2012(x) é 22011.
179. O menor valor de k tal que k! termina em 100 zeros é:
a)399
b) 401
c)403
d)405
e) NDA
182. Encontre todas as soluções reais de
1
.
2
4 13
+x +
4
4 − x = 3.
Quantas são verdadeiras?
a)0b) 1
c)2d)3
e) 4
188. Os Polinômios de Tchebyshev de 1ª espécie são definidos por
Tn(x) = cos[n(arc cos x)] e os Polinômios de Tchebyshev de 2ª
sen (n + 1) ( arc cos x ) 
espécie são definidos por Un(x) =
,
sen ( arc cos x )
n ≥ 1. Prove que Tn + 1(x) = x · Tn (x) – (1 – x2) · Un – 1(x) e
Un(x) = x · Un – 1 (x) + Tn (x), para n ≥ 1.
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Projeto rumo ao ita
189. Um número complexo ζ é uma raiz primitiva n-ésima da
unidade se, e somente se, ζn = 1 mas ζk ≠ 1 para cada inteiro
k com 1 ≤ k ≤ n – 1. Isto é, n é o menor expoente para o qual
a potência de ζ é 1.
O n-ésimo polinômio ciclotômico Qn(t) é o produto de todos
os polinômios lineares (t – ζ), sendo ζ raiz n-ésima primitiva
da unidade.
Analise as seguintes afirmações.
I. O grau de Qn é ϕ(n);
II. Toda raiz de Qn é uma raiz n-ésima da unidade;
III.Q4(t) = t2 + 1;
IV.t6 – 1 = Q6(t)Q3(t)Q2(t)Q1(t).
Assim:
a)somente I e II são verdadeiras.
b) somente I, II e III são verdadeiras.
c)somente I, II e IV é falsa.
d)todas são verdadeiras.
e) NDA
195. A respeito da equação 3x 2 – 4x +
podemos dizer que:
3x 2 − 4 x − 6 = 18
2±
70
são raízes.
3
b) a única raiz é x = 3.
a)
c)a única raiz é x = 2 + 10 .
d)tem 2 raízes reais e 2 imaginárias.
e) NDA
2
196. A respeito das raízes reais da equação x + 3 −
x
podemos afirmar que:
x
3
= ,
x2 + 3 2
a)são 3 e –3.
b) são 3 e 3.
c)são 3 e 3.
e) NDA
d)elas não existem.
190. O grau do 2012o polinômio ciclotômico é:
a)um número ímpar.
b) 2012.
c)1506.
d)1004.
e) NDA
197. A soma de todos os inteiros positivos n ≤ 150 para os quais
n ( n − 2)
é um quadrado perfeito:
3
a)é um múltiplo de 6.
b) é um número primo.
c)é menor que 17.
d)não é possível de calcular, pois não existem tais inteiros
positivos.
e) NDA
191. Para quantos valores inteiros do parâmetro p as raízes de
x2 – 2px + p2 – 2 = 0 pertencem ao intervalo (0; 2)?
a)0
b) 1
c)2
d)3
e) mais de 3
198. Dois conjuntos finitos têm m e n elementos. O número total
de subconjuntos do primeiro conjunto é 56 a mais que o
número total de subconjuntos do segundo conjunto. Os valores
de m e n são:
a)3 e 6
b) 6 e 3
c)5 e 1
d)8 e 7
e) NDA
1
192. Seja y = ax 2 − 2bx − ( a + 2b )  2 . Em qual dos casos abaixo
y é real e diferente de zero?
a)a > 0, b > 0, –1 < x <
a+b
a
a)3
a + 2b
b) a > 0, b < 0, x =
a
c)a > 0, b = 0, –1 < x < 1
39
7 99
e)
10
c)
d)a < 0, b = 3a, x < –1
e) a < 0, b = 2a, – 1 < x <
a+b
a
b)
33
7
d)9
200. Encontre todas as soluções da equação (x – 1)3 + (x – 2)3 +
+ (x – 3)3 + (x – 4)3 + (x – 5)3 = 0.
193. Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade
199. Sejam x e y inteiros positivos de dois dígitos com média 60.
x
Qual é o valor máximo da razão ?
y
x 2 − ax − 2a2
< 0:
2
x − (a + 2)x + 2a
a)a < 0, x < 2a
b) a = 0, x > –a
c)a > 2, 2 < x < a
d)a > 2, –a < x < 2
e) a > 2, x > 2a
194. O conjunto solução da desigualdade | x + 1 | – | x | ≤ x + 2 é:
a)[–3, 0] ∪ [1, 73]
b) {x ∈ R / x ≤ 0} ∪ [3, 15]
c) [–3, 0] ∪ {x ∈ R/ x ≥ 0}
d){x ∈ R / – 5 < x < –1} ∪ {x ∈ R / 1 < x < 17}
e) [– 4, 2] ∪ [–2, 1]
201.Seja f : R → R uma função definida por f(x) = (x – a) (x – b) +
+ (x – b) (x – c) + (x – c) (x – a), sendo 0 < a < b < c.
Mostre que o valor mínimo de f não pode ser um número
positivo.
202. O número de maneiras de escrever 2010 como soma de dois
números inteiros positivos primos entre si é:
a)2009
b) 1004
c)502
d)528
e) 264
203.a)Escreva 4 3 como soma de quatro números ímpares
consecutivos.
b) Demonstre que, para todo número inteiro positivo n, nk é
a soma de n números ímpares consecutivos, sendo k um
inteiro maior que ou igual a 2.
ITA/IME – Pré-Universitário
12
Projeto rumo ao ita
204. O intervalo de valores de m para os quais a equação
(m – 5)x2 + + 2(m – 10)x + m + 10 = 0 tenha raízes reais com
o mesmo sinal é dado por:
a)m > 10
b) –5 < m < 5
c)m < –10 ou 5 < m ≤ 6 d)m < 10
e) NDA
205. Se 1 está entre as raízes da equação 3x2 – 3x · sen α – 2cos2
α = 0 e α ∈ [0, 2π], então α está no intervalo:
215. Determine para quais valores reais de x é verdadeira a
desigualdade | x2 – 10x + 21 | ≤ | 3x – 15 |.
 π
 π π
a)  0,  b)  , 
 2
 12 2 
 π 5π 
 π π   π 5π 
c)  ,  d)  ,  ∪  , 
6
6


6 2 2 6 
e) NDA
206. Se as raízes da equação x2 – 12kx + k2 + k – 5 = 0 são reais e
menores que 5, então k está no intervalo:
a)(–∞, 4)
b) [4, 5]
c)[5, 6]
d)(6, +∞)
e) NDA
207. Sobre o número x = 17 − 12 2 − 2 2 é correto afirmar que:
a)x é racional.
b) x2 é um número ímpar.
2
2
2
208. Sejam a, b, c ∈ Z*
+ . Prove que a + b + c é divisível por 4 se,
e somente se, a, b, c são pares.
1
y
2
=
=
.
xy z − x + 1 z + 1
Prove que um desses números é a média aritmética dos
outros dois.
209. Sejam x, y, z números reais tais que
3
20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 = 4 .
22 − 1 32 − 1 42 − 1
20122 − 1
·
...
·
211. Simplificando S = 2 · 2 ·
,
2
3
42
20122
obtemos:
a)
2013
4024
b)
1
2
c)
2011
4024 d)
1
4024
217. Uma companhia telefônica oferece aos seus clientes 2
planos diferentes de tarifas. No plano básico, a assinatura
inclui 200 minutos mensais de ligações telefônicas.
Acima desse tempo, cobra-se uma tarifa de R$ 0,10 por minuto.
No plano alternativo, a assinatura inclui 400 minutos mensais,
mas o tempo de cada chamada desse plano é acrescido de
4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos adicionais no
plano alternativo custam R$ 0,04. Os custos de assinatura dos
dois planos são iguais e não existe taxa de conexão no plano
básico. Supondo que todas as ligações durem 3 minutos, qual
o número máximo de chamadas para que o plano básico tenha
um custo menor ou igual ao do plano alternativo?
2012
219. Para quantos inteiros m o número 2
é um número
m
− 26
inteiro?
a)1
b) 2
c)3
d)4
e) mais que 4
220. Sejam a1, a2, ..., an números reais. A expressão (a1 + a2 + ... + an)2
é igual a:
n
n  n
n
n



a)
ai2 + 4
aj
b)
ai2 +
aa
i j

i=1
i=1  j=1
i=1
i=1

∑
n
c)
∑
n
ai2 +  
 2
i=1
∑
∑
∑
i=1



i=1 
n
n
aj
d)
∑∑

n
∑ ∑ aa 
i j
j=1

e) NDA
221. Se a + 2b + 5c = 0, a ≠ 0, então mostre que a equação
3ax2 + 4bx + 5c = 0 sempre possui raízes reais distintas.
212. Se uma raiz da equação quadrática ax2 + bx + c = 0 é igual
ao quadrado da outra, então:
a)a3 + bc(b + c) = 3abc
b) b3 + ac(a + c) = 3abc
3
c)c + ab(a + b) = 3abc
d)b3 + ac(a + c) = abc
213. Se o gráfico de f(x) = || x – 2 | – a | – 3 tem exatamente três
interseções com o eixo x, então a é igual a:
a)3
b) 4
c)0
d)–3
13
216. Determine a soma dos naturais positivos que, divididos por
37, dão resto igual ao cubo do quociente.
218. Os valores de a para os quais a equação 2x2 – 2(2a + 1)x +
a(a – 1) = 0 tem raízes a e b tais que a < a < b satisfazem:
a)a ≥ 0
b) a < 0
c)–3 < a < 0
d)–2 < a < 0
e) NDA
c)x + 4 2 é racional.
d)x é positivo.
e) NDA
210. Mostre que
214. A sequência de Fibonacci começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, ... (cada número a partir do terceiro é a soma dos dois
números anteriores). A notação fn significa o n-ésimo termo
dessa sequência. Por exemplo, f4 = 3 e f7 = 13. Quantos dos
termos f38, f51, f150, f200, f300 são ímpares e quantos dos termos
f48, f75, f196, f379, f1000 são divisíveis por 3, respectivamente?
a)2 e 3
b) 2 e 4
c)3 e 3
d)3 e 4
222. Prove que a equação an + 2010 · bn = cn + 1 tem infinitas soluções
naturais a, b, c para todo inteiro positivo n.
223. Um palíndromo, como 83438, é um número que permanece
o mesmo quando seus dígitos são invertidos. Os números
x e x + 32 são palíndromos de 3 e 4 dígitos, respectivamente.
Qual é a soma dos dígitos de x?
a)20
b) 21
c)22
d)23
e) 24
ITA/IME – Pré-Universitário
Projeto rumo ao ita
GABARITO – EXERCÍCIOS de fixação
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Aula 1 – Revisão de Álgebra
D
*
*
D
C
D
B
E
B
*
01
02
03
04
05
06
07
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
*
*
*
*
*
*
*
35
D
B
B
D
*
*
*
D
*
08
09
10
11
12
13
14
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
*
*
*
*
E
C
*
B
*
*
*
D
E
E
A
B
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
D
A
E
C
B
*
*
B
A
A
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
C
D
D
A
A
C
C
D
D
C
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
D
E
C
*
C
E
B
*
B
A
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
D
B
C
C
C
C
A
E
D
*
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
*
*
A
A
E
A
C
*
D
D
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
A
E
D
C
E
D
A
B
B
*
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
*
E
*
C
D
A
C
*
*
*
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
A
B
A
A
*
258
200
E
D
D
221
222
223
*
*
E
*01:a = b = c = 0; a = 1, b = –2, c = 0; a = 1, b = c = –1
02:f(x) = x + 1
1+ 5
03:
2
04:a) 72,2
b) 3
05:x ∈ , x ≠ 6k + 1
06:364
07:
1
1−
101
a2 , se a ≠ 1; 2101, se a = 1
1
1−
a
08:84
09:153846
10:I. 2k – 2 ⋅ 5k + 2, k ≥ 2
11:(–∞, 0] ∪ {1}
GABARITO – EXERCÍCIOS propostos
Aula 1 – Revisão de Álgebra
*01:Demonstração
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
*
*
*
C
D
A
C
*
E
E
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
*
A
*
*
A
B
*
*
*
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
E
B
*
*
C
C
C
D
B
B
14:2007
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
17:Demonstração
02:Demonstração
03:2 ou –1
08:{0, 7, 9, 25, 27, 34}
11:a = b = 1
13:Demonstração
D
D
D
A
B
*
0
*
B
B
18:Demonstração
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
19:y = x(x + 3) + 1
A
C
C
B
B
*
C
D
C
A
23:Demonstração
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
24:Demonstração
*
C
*
A
*
E
E
E
D
*
36:Demonstração
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
38:Demonstração
*
B
C
A
D
E
A
B
B
E
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
*
D
A
B
A
B
*
∅
*
*
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
B
D
C
C
D
E
A
E
A
D
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
D
B
*
D
*
80
B
A
C
A
46:Demonstração
58
; 9, 125; 10
51:B) 6, 8; 7, 5;
7
53:q = 777 ⋅ A ⋅ 105 + 77, sendo A = 1000001000001...1
(com 166 1’s) e r = 700
2

55: ( −∞; − 1) ∪  −1; −  ∪ (2, + ∞ )
3

60:Não
k−1
61: pp
, p primo, k ∈ IN
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
71:–1 ≤ a ≤ 3
A
*
D
A
B
D
*
*
*
*
77: 2 2 ≤ a ≤
11
3
ITA/IME – Pré-Universitário
14
Projeto rumo ao ita

1− 5   5 − 1 
, 3
79:  −3,
∪

2   2



−3   −2
−3  
2
80: ( 2, − 1, − 3) , ( −2, − 1, − 3) ,  , − 5,
 ,  5 , − 5, 5  
5
5

 


93: c = 0 ou 1
95: Demonstração
102:a = 1 ou a = 2
107:Demonstração
ϕ(n)
108:
, se n > 2 e 1, se n = 2.
2
109: Mostre que S só pode terminar em 0, 2, 4, 5, 7 ou 9.
110: Demonstração
111: Demonstração
112: x = –1 e y = 1
113: Demonstração
120: n = 215 · 310 · 56
6
126:
5
127: 2008! – 1
128: Não há solução inteira.
130: Demonstração
131: 1210
133: Demonstração
134: Demonstração
135: S = ∅
146: S = ∅
147: (t2, t, t) ou (–t2, t, –t), t ∈ R
164: Demonstração
180: 99/1999, 43/765, 56/1234
181: a ≤ 1
182: 3 e –12
188: Demonstração
{
200: x – 3 = y · S = 3, 3 ± i 6
201: Demonstração
203: a) 13 + 15 + 17 + 19
208: Demonstração
209: Demonstração
210: Demonstração
215: [1, 4] ∪ [6, 9]
221: Demonstração
222: Demonstração
}
Anotações
AN – 15/03/13 – Rev.: TM
OSG.: 69250/13
15
ITA/IME – Pré-Universitário
Projeto rumo ao ita
ITA/IME – Pré-Universitário
16