DEFENSORIA PÚBLICA DO RS
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
1. Conjuntos Numéricos Q (Racionais) e R (Reais), 3
- Números Naturais e Inteiros, 3
- Números Racionais, 15
- Números Reais, 20
2. Números e Grandezas Proporcionais, 22
- Razões e Proporções, 22
- Divisão Proporcional, 26
- Regras de Três, 30
- Porcentagem, 38
3. Juros Simples e Compostos, 46
- Juros Simples, 46
- Juros Compostos, 51
4. Sistema Legal de Medidas, 59
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO
- Lógica Intuitiva (Estrutura lógica de relações arbitrárias entre
pessoas, lugares,...), 68
- Uso das funções intelectuais (raciocínio verbal, sequencial,
matemático, ...), 73
Raciocínio Lógico-Matemático
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
INTRODUÇÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS
A) NÚMEROS NATURAIS
N = { 0, 1, 2, 3, ..., }
B) NÚMEROS INTEIROS
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }
C) NÚMEROS RACIONAIS
Q= { a/b | a∈
∈Z e b∈
∈Z* }
∗∗ De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número
inteiro ou um número fracionário.
D) NÚMEROS IRRACIONAIS
I = { x | x∈
∈R e x∉
∉Q } = R – Q
E) NÚMEROS REAIS
R = { x
x∈
∈Q ou x ∈I } = Q ∪ I
N
Z
Q
R
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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Q(RACIONAIS) E R(REAIS)
NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS
►MÚLTIPLOS E DIVISORES
Múltiplo e Divisor
Se a divisão dos números naturais a e b é exata (resto zero), diz-se que:
1) a é múltiplo de b ou
2) a é divisível por b ou ainda
3) b é divisor de a.
Por exemplo, podemos dizer que 32 é múltiplo de 8, 32 é divisível por 8, ou
ainda, 8 é um divisor de 32.
Conjunto dos Múltiplos
Para obter os múltiplos de um número natural a qualquer, basta multiplicá-lo
por todos os números naturais. Notação: M(a).
Exemplos:
a) M(2) = { 0, 2, 4, 6,...} ( números pares )
b) M(3) = { 0, 3, 6, 9,...}
c) M(0) = { 0 }
Conjunto dos Divisores
Para obter os divisores de um número natural qualquer a, basta dividi-lo,
sucessivamente, pelos números naturais a partir do 1 e verificar quais são as
divisões exatas. Notação : D(a).
Exemplos:
a) D(4) = { 1, 2, 4 }
b) D(15) = { 1, 3, 5, 15 }
c) D(1) = { 1 }
d) D(0) = { 1, 2, 3, ... }.
Critérios de Divisibilidade
Podemos verificar se um número natural é divisível por outro, simplesmente
dividindo o primeiro pelo segundo. Mas para números grandes, este processo
pode ser muito trabalhoso. Por isso, veremos algumas regras práticas, ditas
Critérios de Divisibilidade, mais utilizados na prática.
∗ Um número natural é:
1º) Divisível por 2:
“Quando é par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 “.
Exemplos: 134, 280, 576.
2º) Divisível por 3:
“Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número
divisível por 3”.
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Exemplos:
a) 135 é divisível por 3.
b) 3574 não é divisível por 3.
3º) Divisível por 4:
“Quando os dois últimos algarismos da direita formarem um número divisível
por 4”.
Exemplos:
a) 4872 é divisível por 4.
b) 301 não é divisível por 4.
c) 35 700 é divisível por 4.
4º) Divisível por 5:
“Quando termina em 0 ou 5”.
Exemplos:
a) 32 570 é divisível por 5.
b) 895 é divisível por 5.
c) 1346 não é divisível por 5.
5º) Divisível por 6:
“Quando é divisível por 2 e por 3”.
Exemplos:
a) 504 é divisível por 6.
b) 2502 é divisível por 6.
c) 6718 não é divisível por 6.
5º) Divisível por 9:
“Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é um número
divisível por 9”.
Exemplos :
a) 7344 é divisível por 9
b) 5613 não é divisível por 9.
6º) Divisível por 10:
“Quando termina em zero”.
Exemplos :
a) 350, 32.700, 45.000, 62030, são divisíveis por 10.
7º) Divisível por 15:
“Quando é divisível por 3 e por 5”.
Exemplos :
a) 90, 120, 285 e 960 são divisíveis por 15.
b) 365 não é divisível por 15.
Números Primos
Um número primo é um número natural que admite exatamente dois divisores
distintos.
O conjunto dos números primos é o conjunto
P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... }
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∗ Os números naturais que admitem mais de dois divisores são ditos números
compostos ;
∗∗ O número 1 não é primo nem composto;
∗∗∗ O único número primo par é o 2.
Decomposição em Fatores Primos ( ou Fatoração )
Divide-se o número dado, sucessivamente, pelos números primos, até obter o
quociente 1.
Exemplo: decompor 90 em fatores primos.
90 2
45 3
15 3
Logo, 90 = 2 . 32 . 5
5 5
1
“Todo número natural não primo e maior que 1 pode ser escrito como um
produto de fatores primos”.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Exemplo: Obter o mínimo múltiplo comum de 6 e 9, ou seja, mmc(6,9).
M(6) = { 0, 6, 12, 18, ...}
M(9) = { 0, 9, 18, 27, ...}
Os múltiplos comuns formam o conjunto intersecção M(6) ∩ M(9) = ................
= { 0, 18, 36, ...} e o mmc(6,9) é o menor número não nulo deste conjunto, ou
seja, mmc(6,9) = 18.
Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos
Exemplo: obter mmc(6,8,15).
6, 8, 15
3, 4, 15
3, 2, 15
3, 1, 15
1, 1, 5
1, 1, 1
2
2
2
3
5
Daí, mmc(6,8,15) = 23 . 3 . 5 = 120
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
Exemplo: Obter o máximo divisor comum de 6 e 20, ou seja, mdc(6,20).
D(6)= { 1, 2, 3, 6 }
D(20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
Os divisores comuns formam o conjunto intersecção D(6) ∩ D(20) = { 1, 2 } e o
maior número deste conjunto é o mdc(6,20), ou seja, mdc(6,20) = 2.
Processo prático: Decomposição simultânea em fatores primos
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Exemplo: obter o mdc(18,60)
18, 60 2
9, 30 2
9, 15 3
3, 5 3
1, 5 5
1, 1
Os números em negrito são os divisores comuns. O produto deles é o
mdc(18,60), ou seja, mdc(18,60) = 2 . 3 = 6.
EXERCÍCIOS
01) Dois trenzinhos de um zoológico saem do ponto inicial no mesmo instante.
Se o 1º trenzinho parte de 20 em 20 minutos e o 2º de 25 em 25 minutos, após
quanto tempo ocorrerá uma nova partida simultânea?
Resp.: após 100 min
02) (ESAF) Numa corrida de automóveis, o 1º corredor dá a volta completa
na pista em 10 s; o 2º em 11s e o 3º em 12s. Quantas voltas terá dado cada
um, respectivamente, até o momento que passarão juntos na linha de saída?
Solução:
1º) mmc(10,11,12) = 660 s
2º) 660 /10 = 66 voltas; 660 / 11 = 60 voltas; 660 / 12 = 55 voltas
Resp.: 66, 60 e 55
03) (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante:
Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004
ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse
restaurante ocorrerá em
a) 9 de dezembro de 2004
b) 10 de dezembro de 2004
c) 8 de janeiro de 2005
d) 9 de janeiro de 2005
e) 10 de janeiro de 2005
Solução:
1º) mmc(15, 18) = 90 dias
2º) Contando 90 dias a partir de 10/10/2004 chegaremos ao dia 08/01/2005.
Resp.: c
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04) (FAURGS) O menor número inteiro que, ao ser dividido por 3, 5, 7 ou 9,
deixa resto 2 é:
a) um número par
b) divisível por 21
c) menor que 100
d) maior que 900
e) maior que 300 e menor que 400
Solução:
1º) mmc(3,5,7,9)= 315
2º) 315 + 2 = 317.
Resp.: e
05) (FCC) Se os trabalhadores de uma certa empresa forem organizados em
grupos de 4, 5 ou 6 pessoas, sempre sobrarão 3 trabalhadores. A empresa
pretende aumentar o número de seus trabalhadores para 80. Para isso, o
número de novos trabalhadores que ela deverá contratar é
a) 12
b) 17
c) 20
d) 25
e) 60
Solução:
1º) mmc(4,5,6) = 60
2º) 60 + 3 = 63
3º) 80 – 63 = 17.
Resp. : b
06) Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio plástico. Esses
rolos, medindo 450 cm e 756 cm, serão divididos em pedaços iguais e de maior
tamanho possível, não devendo haver sobras. Calcule:
a) o comprimento de cada pedaço; b) o número de pedaços obtidos em cada
rolo.
Solução:
1º) mdc(450, 756) = 18 cm
2º) 450 / 18 = 25 pedaços; 756 / 18 = 42 pedaços.
Resp.: a) 18 cm
b) 25 e 42 .
07)(FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132
comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuílos em recepientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de
um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recepientes
deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de
recepientes necessários para essa distribuição é
a) 24
b) 16
c) 12
d) 8
e) 4
Solução:
1º) mdc(132,156) = 12 comprimidos
2º)132/12 = 11 recepientes p/ analgésico;
antibiótico. Total = 11 + 13 = 24 recepientes.
Resp.: a
156/12 = 13 recepientes p/
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08) Determine o número de divisores de
a) 40
b) 72
c) N= am. bn, onde a e b são números primos
Resp.: a)8; b)12; c) (m+1).(n+1).
09) O número natural N= 7.82.25p tem 154 divisores. Determine p.
Resp.: p=5
10) O número natural N= 94816a, onde a é o algarismo das unidades, é
divisível por 15. O valor de a é
a)0
b)2
c)3
d)4
e)5
Solução:
Se N é divisível por 15, N é divisível por 3 e por 5. Então:
1) N é divisível por 3 ⇒ 9+4+8+1+6+a = 28+a é divisível por 3;
2) N é divisível por 5 ⇒ ou a = 0, ou a = 5.
Basta agora testar a em 28+a , para ver que, se a = 0 N não é divisível por 3,
e, se a = 5, N é divisível por 3.
Resp.: e
11) (FCC) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se
lembrar por inteiro do número de seu telefone. Lembrava-se apenas do prefixo
(constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro
algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada
que lhe deu a seguinte informação: “lembro-me apenas de dois dos algarismos
do número que você quer: o das dezenas que é 3, e o das centenas que é 4”.
Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de
possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Solução: de acordo com o enunciado do problema, os últimos 4 números do
telefone são x43y, sendo x43y um número div. Por 15. Então, x43y é div. Por
3 e por 5.
1) x43y é div. Por 3 ⇒ x+4+3+y = x+y +7 é div. Por 3;
2) x43y é div. Por 5 ⇒ ou y = 0, ou y = 5.
Se y = 0, x+y+7 = x+7 será div. Por 3 para x = 2, 5 ou 8 ( 3 possibilidades); se
y = 5, x+y+7 = x+12 será div. Por 3 para x = 0,3,6 ou 9 ( 4 possibilidades).
Assim, temos um total de 3+4 = 7 possibilidades.
Resp.: c
12) (UFRGS) O resto da divisão do produto 123456 x 654321 por 6 é
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Solução: como 123456x654321 é divisível por 6, porque o fator 123456 é
divisível por 6, o resto na divisão de 123456x654321 por 6 é zero.
Resp.: a
13) (UFRGS) O algarismo das unidades do número natural ( 610 + 1 ) é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 7
Resp.: 7
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14) (FAURGS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural
positivo:
I) 10n + 2
II) 2.10n + 1
III) 10n+3 – 10n
Quais são divisíveis por 6?
Resp.: Apenas I e III
P.M.S.
15) (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas
bobinas B1 e B2.
Comprimento(m) Largura(m) Espessura(mm)
B1 23,10
0,18
1,5
B2 18
0,18
1,5
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1
como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do
papel.
Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é
a) 135
b) 137
c) 140
d) 142
e) 149
Solução: o menor número de folhas equivale a folhas com o maior
comprimento possível. Assim, podemos usar o mdc.
1) mdc(2310, 1800) = 30 cm (transformamos m em cm);
2) 2310 / 30 = 77 folhas ; 1800 / 30 = 60 folhas.
Total = 77 + 60 = 137 folhas.
Resp.: b
16) (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas
esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi
incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote
contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor.
Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor
quantidade de pacotes que ele poderá obter é
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
Solução:
Problema semelhante ao anterior (“Pega ratão”). A menor quantidade de
pacotes equivale a pacotes com o maior número possível de canetas em
cada um.
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1) mdc(224,160)= 32
2) 224 / 32 = 7; 160 / 32 = 5
3)Total 7 + 5 = 12 pacotes.
Resp.: c
17) (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade
possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento,
150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a
mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um
único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar?
a) 33
b) 48
c) 75
d) 99
e) 165
Resp.: a
18) (FCC) Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições X, Y e Z
realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de
2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três
realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá
em
a) julho de 2015
b) junho de 2014
c) julho de 2013
d) janeiro de 2012
e) fevereiro de 2011
Resp.: d
19) (FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite
dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira
correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o
que representa uma dessas quantidades é o
a) 8
b) 12
c) 18
d) 22
e) 24
Resp.: c
20) (FCC) Suponha que num banco de investimento, o grupo responsável pela
venda de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período,
cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos
vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Solução:
1) Como cada um dos 3 elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, temos as
seguintes possibilidades: (4,4,4), (7,7,7), (4,4,7) ou (7,7,4) (não estamos
considerando a ordem);
2) Totais de títulos vendidos pelo grupo: 12, 21, 15 e 18, respectivamente.
Vemos que os totais são todos múltiplos de 3.
Resp.: a
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►OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS
Adição
Para quaisquer números inteiros a, b e c valem as seguintes propriedades :
A1) Fechamento: (a+b) é um número inteiro
A2) Associativa: (a+b) +c = a+ (b+c)
A3) Elemento neutro: a + 0 = a ( zero é o elemento neutro na adição)
A4) Elemento oposto ( ou simétrico ): a + (-a) = 0 (-a é o oposto de a)
A5) Comutativa: a+b = b+a
Subtração
A subtração é a operação inversa da adição. Assim, por definição, a diferença
entre dois números inteiros é igual a soma do primeiro com o oposto do
segundo, ou seja, a – b = a + (-b).
Multiplicação
O sinal do produto de dois números inteiros segue a seguinte regra:
sinais iguais ⇒ produto positivo;
sinais diferentes ⇒ produto negativo.
Exemplos
(+5). (+10) = 50
(-3).(-15) = 45
(+6).(-8) = -48
Propriedades
Para quaisquer números inteiros a, b, e c valem as seguintes propriedades:
M1) Fechamento: (a . b) é um número inteiro
M2) Associativa: a(b.c) = (a.b)c
M3) Elemento neutro: a.1 = a ( 1 é o elemento neutro )
M4) Comutativa: a.b = b.a
M5) Distributiva: a(b ± c) = a.b ± a.c
Divisão
O sinal do quociente de dois números inteiros segue a mesma regra de sinais
dada na multiplicação, ou seja,
sinais iguais ⇒ quociente positivo;
sinais diferentes ⇒ quociente negativo.
Exemplos
(+8) : (+4) = 2
(-15) : (-3) = 5
(-60) : (+10) = -6
Propriedades
Nenhuma das propriedades da multiplicação de inteiros vale na divisão.
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Observação: cuidado com o zero !
Para qualquer número inteiro a ≠ 0, temos 0 : a = 0. Mas a : 0 é impossível .
Por exemplo, 0 : 3 = 0, mas 3 : 0 é impossível.;
Potenciação
Sendo a um número inteiro diferente de zero e n um número natural diferente
de zero, define-se a potência an por
an = a.a.a.a…..a ( produto com n fatores )
O sinal da potência an pode ser obtido pela seguinte regra prática :
quando o expoente é par, a potência é um número positivo;
quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.
Exemplos
(-4)2 = 16
25 = 32
(-2)3 = -8
(-1)100 = 1
(-1)201 = -1
Notas
1ª) a0 = 1 ( a ≠ 0 ).
2ª) (-a)2 ≠ - a2 ( a ≠ 0)
Por exemplo, (-3)2 = 9 e –32 = -9.
Propriedades
A potenciação de números inteiros goza das seguintes propriedades:
P1) Fechamento: an é um número inteiro
P2) Produto de potências de mesma base: am. an = am+n
P3) Quociente de potências de mesma base : am: an = am-n
P4) Potência de potência: (am)n = amn
P5) Potência de um produto: (a.b)n = an. bn
P6) Potência de um quociente: (a : b)n = an: bn
EXERCÍCIOS
01) (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é igual a 7. O resto da divisão de n por 4
é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resp.: d
“Dica” para os testes : 02, 03 e 04
Algoritmo de Euclides
Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e
b, tem-se sempre 0 ≤ r < b.
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02) (TJ) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem
apenas um algarismo, os divisores possíveis são
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) 4, 5, 6
c) 7
d) 7, 8, 9
e) 8, 9
Solução : a = bq + 7, onde a= dividendo, b= divisor, q = quociente e resto = 7.
De acordo com o Algoritmo de Euclides (dado acima), 7< b, ou seja, b> 7.
Como o divisor deve ter apenas 1 algarismo, b = 8 ou 9.
Resp.: e
03) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por
17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas
divisões é?
Resp.: 10
04) Numa divisão de inteiros, a soma do dividendo com o divisor é 62. O
quociente é 5 e o resto é o maior possível. A diferença entre o dividendo e o
divisor é
a) 44
b) 45
c) 46
d) 57
e) 59
Resp.: a
3+ x
05) (FAURGS) A soma dos números inteiros que tornam a fração
positiva
2− x
é
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
Resp.: a
06) Dividindo o número inteiro x pelo número inteiro y, obtém-se quociente 1 e
resto 5. Se o quádruplo de y dividido por x dá quociente 2 e resto 8, então:
a) x+y = 32
b) y-x = 5
c) x-y = 5
d) x.y = 76
e) x = 2y
Resp.: c
07) (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos
para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários.
Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a
cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de
ingressos entregues a cada funcionário presente foi
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Resp.: c
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08) (FCC) Bento e Caio tinham juntos R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a
Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente,
Bento tinha
a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d) R$ 52,00 e) R$ 50,00
Resp.: d
09) (FCC) Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos
em x caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em
quantidades iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas x-3
caixas e, com isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto
inicialmente. Nessas condições, o número de processos colocado em cada
caixa foi
a) 24
b) 22
c) 21
d) 17
e) 15
Resp.: a
10) (FCC) Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram
formadas duas filas diante de um balcão, onde dois técnicos judiciáriosCasimiro e Domitila- prestariam atendimento ao público externo. Para que,
naquele momento,as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas,
foram adotados os seguintes procedimentos:
- primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas
tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila;
- em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas
pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro.
Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas,
então, inicialmente, o número de pessoas na fila de
a) Casimiro era 18
b) Domitila era 14
c) Casimiro era 20
d) Domitila era 15
e) Casimiro era 24
Resp.: c
11) Usando os produtos notáveis (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
calcule:
a) 1012
b) 992
Resp.: a) 10.201
b) 9.801
12) Calcule mentalmente, usando o produto notável (a+b)(a-b)= a2 – b2 :
b) 212 – 202
c) 512 – 502
d) 432 – 422
a) 62 – 52
Resp.: a) 11 b) 41
c) 101
d) 85
13) Calcule a2 + 2ab + b2 sabendo que a+b = 10.
Resp.: 100
14) (FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seu produto é igual
a 20, a soma de seus quadrados é igual a
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 80
Resp.: d
14
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NÚMEROS RACIONAIS
Obs.: Ao ler o texto que segue, lembre sempre que número racional é um
número inteiro ou fracionário.
►OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
Adição
A adição de números racionais goza das mesmas propriedades da adição de
números inteiros: Fechamento, Associativa, Elemento neutro, Elemento oposto
e Comutativa ( veja em Números Inteiros ).
Multiplicação
A multiplicação de números racionais goza das mesma propriedades da
multiplicação de números inteiros, ou seja: Fechamento, Elemento neutro,
Comutativa e Distributiva (veja em Números Inteiros), mais a propriedade do
elemento inverso:
M6) Elemento inverso: para todo número racional a ≠ 0, existe um número
1
racional a-1 =
tal que a. a-1 = 1.
a
1
O número a-1 =
é dito inverso de a.
a
Potenciação
A potenciação de números racionais goza das mesmas propriedades da
potenciação de números inteiros ( veja Números Inteiros ).
∗∗ Expoente negativo
Para todo número racional
a
≠ 0, temos:
b
-n
a
b
  = 
b
a
n
Exemplos:
5
a)  
6
3
b)  
7
−2
−1
6
= 
5
2
1
7
7
=  =
3
3
3
c) 3-4 =  
1
−4
4
1
1
=  = 4
3
3
15
Raciocínio Lógico-Matemático
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EXERCÍCIOS
01. Efetue:
a) 2/5 + 3/5 – 1/5
Resp.: a) 4/5
b) 2/3 – 3/5 – ½ c) 4 – 3/2 + 2/3 d)3 –1/4 +2 + 1/5
b)-13/30
c) 19/6
d) 99/20
02. Efetue:
a) 2/3 x 1/5
b) 2/5 x 4/3
Resp.: a) 2/15
c) 3/5 x (-2/7)
b) 8/15
c) –6/35
03. Efetue:
a) 2/3 : 4/5
b) (-1/4) : (-1/5)
Resp.: a) 5/6
b) 5/4
04. Efetue:
a) (3/5)2
b) (-1/2)3
Resp.: a) 9/25
b)-1/8
d) 1/24
c) 2/3 : (-2/3)
c) -1
d) (-1/6) x (-1/4)
d) (-3) : (-1/2)
d) 6
c) (-1/2)5
c)-1/32
d) (3/7)0
d) 1
05.(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por
a) 1,25
b) 12,5
c) 1/80
d) 80
e) 125/100
Resp.: d
06. (FCC) Dividir certo número por 0,00125 equivale a multiplicá-lo por um
número inteiro
a) maior que 5 000
b) menor que 100
c) compreendido entre 100 e 400
d) compreendido entre 400 e 1 000
e) compreendido entre 1 000 e 5 000
Resp.: d
07. (FCC) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo que cada
uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa
recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi
a) R$ 729,99
b) R$ 882,00
c) R$ 918,00
d) R$ 1 089,00
e) R$ 1 260,00
Resp.: d
08. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se
que : 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e ¼ numa segunda. Se os 9
processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de
processos era
a) 18
b) 24
c) 27
d) 30
e) 34
16
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Resp.: b
09. (FCC) Certo dia, durante o almoço, o restaurante de uma empresa
distribuiu aos usuários 15 litros de suco de frutas, que vem acondicionado em
1
pacotes que contêm, cada um,
de litro. Se todos os freqüentadores tomaram
3
suco, 17 dos quais tomaram cada um 2 pacotes e os demais um único pacote,
o total de pessoas que lá almoçaram nesse dia é
a) 23
b) 25
c) 26
d) 28
e) 32
Resp.: d
10. (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos
gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as
velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora,
era
a) 11,475
b) 39,25
c) 40,5
d) 42,375
e) 45,5
Resp.: c
11. Há 19 anos, uma pessoa tinha ¼ da idade que terá daqui a 14 anos. A
idade da pessoa, em anos está hoje entre
a) 22 e 26
b) 27 e 31
c) 32 e 36
d) 37 e 41
e) 42 e 46
Resp.: b
12. (FCC) Considere as seguintes equivalências de preços, em reais:
O de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de ao de 5
cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser
comprados com R$ 32,00?
a) 102
b) 100
c) 98
d) 96
e) 94
Resp.: b
13. (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo
número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos,
adotando o seguinte procedimento:
- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia
página;
- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais
meia página;
Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia
página.
Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um
número compreendido entre
a) 5 e 8
b) 8 e 11
c) 11 e 14
d) 14 e 17 e) 17 e 20
Resp.: a
17
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►REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS RACIONAIS
Todo número racional pode ser representado por uma forma decimal exata ou
1
= 0,5
são decimais exatas e
periódica. Por exemplo, 7 = 7,0 e
2
1
= 0,33333... é uma decimal periódica ou uma dízima periódica.
3
A fração que origina uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima
periódica.
A determinação da geratriz de uma dízima periódica é importante, já que não
podemos operar diretamente com uma dízima periódica. Isso tiraria a
precisão do nosso cálculo.
Uma dízima periódica pode ser simples ou composta. Veremos através dos
exemplos a seguir, como determinar a fração geratriz de uma dízima periódica
qualquer( simples ou composta).
Exemplo 1- Determine a geratriz das dízimas periódicas simples:
a) 0,555...
b) 0,2323...
c) 1,222...
d) 1,4545...
Solução:
a) x= 0,555... ⇒ 10x = 5,555...
10x – x = 5,555... – 0,555... , ou seja, 9x = 5 ⇒ x =
5
9
b) x= 0,2323... ⇒ 100x = 23,2323...
100x – x = 23,2323… - 0,2323…, ou seja, 99x = 23 ⇒ x =
23
99
Regra Prática
Para obter a geratriz de uma dízima periódica do tipo 0, PPP... , onde P é o
período , basta dividir o período P por 9, 99, 999, etc, conforme o número
de algarismos do período seja, respectivamente, 1, 2, 3, etc.
c) Basta fazer 1,222... = 1 + 0,222 = 1 + 2/9 = 11/9.
d) Fazer 1,454545... = 1 + 0,454545 = 1 + 45/99 = 16/11 .
Exemplo 2- Determine a geratriz das dízimas periódicas compostas:
a) 0,2555...
b) 0,5333...
c) 1,2444...
d) 3,74151515...
Solução:
a) Basta fazer 0,2555... =
b) Fazer 0,5333... =
2,555... 2 + 0,555...
=
= ... = 23/90
10
10
5,333... 5 + 0,333...
=
= ... = 8/15
10
10
18
Raciocínio Lógico-Matemático
c) Fazer 1,2444... =
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12,444... 12 + 0,444...
=
= ... = 56/45
10
10
d) 3,74151515...=
374,151515... 374 + 0,151515...
=
=
100
100
15
5
374 +
99 =
33 = 12.347
100
100
3.300
374 +
►OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Os exercícios dados a seguir, tem por objetivo fazer uma breve revisão de
como operar com números racionais representados na forma decimal.
01) Determine as somas:
a) 0,004 + 1,006
b) 15,2 + 1,45
e)2,35 + 1,483 + 1
c) 1,0005 + 2,9995
Resp.: a) 1,01
d) 20
b) 16,65
c) 4
d) 0,12 + 5 + 14,88
e) 4,833
02) Determine as diferenças:
a) 0,4 – 0,008
b) 5,76 – 3
c) 2,547 – 1,5
d) 5 – 1,32
e) 8 – 3,6
f) 1- 0,042
Resp.: a) 0,392
b) 2,76
c) 1,047
d)3,68
e) 4,4
f) 0,958
03) Efetue:
a) 2,43 + 0,625 – 1,8
b) 3,65 + 2,35 – 5,095
d) 1 – 0,4771 – 0,301
e) 10 + 4,2 + 6,5 – 0,8
Resp.: a) 1,255
b) 0,905
c)0,823
c) 0,87 – 0,5 + 1,413 – 0,96
d) 0,2219
e)19,90
04) Determine os produtos:
a) 3,2 x 0,1
b) 6 x 1,5
0,002
f) 1,24 x 0,3 x 6
Resp.: a) 0,32
g) 7,84
b) 9
c) 2,7 x 1,8
d) 7,68 x 0,054
g) 0,28 x 3,5 x 8
h) 0,4020 x 5
c) 4,86
d) 0,41472
e) 0,2 x 0,02 x
e) 0,000008
f) 2,232
h) 2,01
05) Determine os quocientes exatos:
a) 213 : 15
b) 24 : 200
c) 1 : 40
f) 1,2 : 0,05
g) 0,0972 : 0,08
d) 2,4 : 0,8
h) 13 : 325
e) 25,872 : 12
I) 0,284 : 142
j) 79,3 : 26
k) 24,036 : 12
Resp.: a) 14,2
b) 0,12
c) 0,025
d) 3
h) 0,04
I) 0,002
j) 3,05
k) 2,003
e) 2,156
f) 24
g) 1,215
19
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06) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,1
(precisão de décimos):
a) 3 : 4
b) 1,25 : 0,4
c) 0,372 : 0,03
d) 1 : 3
e) 0,3407 : 0,42
f) 443,36 : 81,2
Resp.: a) 0,7
b) 3,1
c) 12,4
d) 0,3
e) 0,8
f) 5,4
07) Determine os quocientes com aproximação por falta a menos de 0,01
(precisão de centésimos) :
a) 8 : 3
b) 0,0132 : 0,3
f) 16,58 : 8
c) 0,188 : 1,2
d) 3,8797 : 1,5
e) 1,7153 : 0,9
g) 51,6 : 15
Resp.: a) 2,66
b) 0,04
c) 0,15
d) 2,58
e) 1,90
f)2,07
g) 3,44
NÚMEROS REAIS
Os números que não admitem representação decimal exata nem periódica, ou
seja, os números reais que não são racionais, são chamados de números
irracionais. Por exemplo:
2 = 1,4142135623... , π = 3,14159265... , e=2,718282... (Nº de Euler).
De um modo geral, o número do tipo p , onde p é um número primo sempre
é um número irracional. Por exemplo, 3 , 5 , 7 , são números irracionais.
A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais é o conjunto dos números reais, ou seja,
R = { x
x∈
∈Q ou x ∈I } = Q ∪ I
Observação:
As propriedades das operações de Adição, Multiplicação e Potenciação de
números reais são as mesmas dos números racionais.
►INTERVALOS
01) Defina usando a notação de conjuntos e represente geometricamente (na
reta orientada) os intervalos seguintes:
a) [2, 5] =
b) (1, 4) =
c) [0, 3) =
d) (-1, 5] =
e) [0, +∞) =
f) (-∞, 1] =
g) (-2, +∞) =
h) (-∞, 7) =
20
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02) Dados os intervalos A = [1, 4] e B = [2, 7], determine:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
Resp.: a) [2, 4]
b) [1, 7]
c) [1, 2)
c) A – B
► RADICAIS
01) Propriedades da Radiciação no conjunto R:
n
P1)
a m = am/n
mn
P5)
a=
mn
P2)
n
a.b =
n
a .n b
P3)
n
a
=
b
n
n
a
b
P4) ( n a )m =
n
am
a
02) Simplifique:
1)
2)
3)
4)
5)
3
212
3
a 3b 2
5
215.a 6
4
512x 6
27x 2 y 5
Resp.: 1) 16
2) a 3 b 2
3) 8a 5 a
4) 4x 4 2 x 2
5) 3xy2 3 y
03) Simplifique:
1) 2 3 + 4 3
2) 5 + 5 5 - 7 5
3) 8 + 18 +
4) 2 .
50
3
21
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2
5) 5 .
6)3 2 . 2 3
7) 2 .
3
3
8) 2 .
3
2.
4
2
Resp.: 1) 6 3
7) 6 72
2) - 5
3) 10 2
4) 6
5) 10
6) 6 6
8) 2 12 2 .
2. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
►RAZÕES
Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chama-se razão entre a e b ao
a
quociente
.
b
a
Na razão
(ou a : b) a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo
b
termo ou consequente.
Exemplos:
1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades
10 5
de Tiago e de Rodrigo é
= .
14 7
2
3
2. A razão entre
e
é
5 10
2
5 = 2 x 10 = 4
3
5 3 3
10
1
3. A razão entre um trimestre e um ano é .
4
60 5
4. A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é
=
24 2
22
Raciocínio Lógico-Matemático
1. Determine a razão entre
6
a) 3 e
7
1 1
b) e
2 3
c) 1,5 e 5
1
d) 7 e 3
2
7
3
b) ;
Resp.: a) ;
2
2
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EXERCÍCIOS
c)
3
;
10
d) 2
2. Numa razão igual a 2/5 o antecedente é 8. Determine a razão.
8
Resp.:
20
3. O triplo do conseqüente de uma razão igual a 3/7 é 63. Determine o
antecedente e a razão inversa.
21
Resp.: 9 e
9
4. Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e
Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de
pontos por arremessos?
Resp.: André
5. O perímetro de um triângulo é 28m e o lado de um quadrado mede 0,09hm.
Qual é a razão entre os perímetros dessas figuras?
Solução: como 0,09 hm = 9 m, o perímetro do quadrado é 4x9= 36m e a
28 7
razão entre os perímetros do triângulo e do quadrado é
= .
36 9
7
Resp.:
9
6. Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que
fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto?
Resp.: 1/5 e 1/6.
7. Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades.
Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão
original é
a) 54/57
b) 30/33
c) 33/36
d) 42/45
e) 18/21
Resp.: d
23
Raciocínio Lógico-Matemático
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►PROPORÇÕES
Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões.
a c
= ou a : b : : c : d
b d
(lê-se “a está para b assim como c está para d”), sendo a e d os extremos e b
e c os meios.
Uma proporção com duas razões é representada por
Propriedade Fundamental
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a c
= ⇒
b d
Isto é:
ad = bc
3 x +1
=
.
5
20
Pela propriedade fundamental, temos
5 (x+1) = 20.3 ⇒ 5 (x+1) = 60 ⇒ x+1 = 12 ⇒ x = 11.
Aplicação: Calcular x na proporção
• Nota: Como consequência da propriedade fundamental, temos que, se
a c
=
então:
b d
a)
a b
d c
=
e
= (troca dos meios ou dos extremos);
c d
b a
b)
b d
= (inversão das razões).
a c
EXERCÍCIOS
Calcule o valor de x nas proporções:
2
x
01. =
5 6,25
02.
03.
x
4
=
3 − 0,75 2 − 1
8
3
3
2−
4
Resp.:
=
2+
3
4
x
1) 2,5
2)
24
5
3)
55
48
24
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04. Uma foto de dimensões 3cm x 4cm foi ampliada passando o seu
comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura?
Resp.: 21cm
05. A soma dos perímetros de dois quadrados é 52m. Determine esses
3
perímetros sabendo que a razão entre eles é
.
10
Resp.: 12m e 40m
06. A idade de um pai e a de seu filho estão na razão de
cada um, sabendo que a diferença entre elas é de 24 anos?
Resp.: 36 anos e 12 anos
3
. Qual a idade de
1
4
da soma das idades de seus
5
dois filhos. Quais as idades dos filhos, sabendo-se que elas estão entre si como 4
está para 5?
07.(FDRH)Um pai tem 36 anos e sua idade é
4
 5 ( x + y ) = 36
Solução: 
x = 4
 y 5
Resolvendo este sistema obtemos x = 20 e y = 25.
Resp.: 20 anos e 25 anos.
08. (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5,
respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros
dessa mistura?
a) 135 000
b) 32 400
c) 1 350
d) 324
e) 135
1
Solução: Numa mistura com 6 litros, a razão entre álcool e gasolina é
e a
5
5
razão entre a gasolina e o total da mistura é
. Assim, podemos escrever a
6
5
x
proporção:
=
, donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3.
6 162
Resp.: a
25
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09. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si
assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do
salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários
dos dois?
a) R$ 200,00
b) R$ 250,00
c) R$ 300,00
d) R$ 350,00
e) R$ 400,00
Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo
A 3
 =
B 4
3 A + 2 B = 6800
obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400.
Resp.: e
10. (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de
uma unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão:
h
= 3−
m
1
3−
1
, em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o
1
3
total de participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto
afirmar que :
a) h+m=158
b) h-m=68
c) 70<h<100
d) 50<m<70
e) m.h<4000
Resp.: b
3−
►DIVISÃO PROPORCIONAL
01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são
sucessões de números
a) diretamente proporcionais;
b) inversamente proporcionais.
Solução:
a) Os números serão diretamente proporcionais se
2 a 6 c 10
= = = =
= k ( no caso, k=2).
1 2 b 4 d
A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5.
b) Os números serão inversamente proporcionais se
2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2).
A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5.
26
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02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6.
Solução:
1) x = 9k, y = 8k, z = 6k.
2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e
z=6.4=24.
Resp.: 36, 32 e 24.
03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3
e 4.
Solução:
k
k
k
1) x = , y = , z = ;
2
3
4
2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39.
Resp.: 78, 52 e 39
04) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles,
sabendo que a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60.
Solução: Substituíndo
 x = 3k

em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72.
 y = 4k
 z = 6k

Resp.: 72.
05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2,
3, 4 e 6. Calcule esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°.
Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°.
06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem
arquivar 340 processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total
entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades.
Sabe-se que:
-Alberico tem 36 anos;
-Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais
jovem em 12 anos;
-caberá a Corifeu arquivar 90 processos.
Nessas condições, é correto afirmar que
a) as idades dos três somam 105 anos.
b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos.
c) Corifeu tem 28 anos.
d) Alberico deverá arquivar 120 processos.
e) Benivaldo tem 35 anos.
Resp.: d
07) Decomponha 520 em partes inversamente proporcionais a 8/5, 12/5 e 16/5.
Resp.: 240, 160 e 120.
27
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08) O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobre com 3 de zinco. Quantos
gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão?
Solução:
c = 7 k
substituindo 
em c+z = 150 obtemos k = 15. Daí, c= 105 e z= 45.
 z = 3k
Resp.: 105g de cobre e 45g de zinco.
09) Um pai tem 4 filhos na escola. No final do ano, como todos foram
aprovados, distribuiu $3.700,00 entre eles, de maneira inversamente
proporcional às suas faltas. Se o primeiro teve 2 faltas, o segundo 4, o terceiro
8 e o quarto 20, quanto recebeu cada um?
Resp.: $2.000,00, $1.000,00, $500,00 e $200,00.
10) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z.
Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do
maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais
a
a) 1, 3 e 6.
b) 1, 4 e 6.
c) 1, 5 e 6.
d) 1, 6 e 7.
e) 1, 7 e 8.
Resp.: c
11) (FCC) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153
documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas
idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem
foi
a) 87
b) 85
c) 70
d) 68
e) 65
Resp.: b
FCC
Atenção: Para responder às duas questões a seguir, use os dados do texto
seguinte.
Sabe-se que Julião tem 30 anos de idade e Cosme tem 45 e que ambos
são Técnicos Judiciários de uma mesma unidade do Tribunal Regional do
Trabalho da 4ª Região há 6 e 15 anos, respectivamente.
12) Certo dia, Julião e Cosme foram incumbidos de arquivar alguns
documentos e dividiram o total entre si na razão inversa de suas respectivas
idades. Considerando que os dois executaram a sua parte da tarefa com a
mesma capacidade operacional, então, se Julião levou duas horas e 30
minutos para arquivar sua parte, Cosme arquivou a sua em
a) 1h30min
Resp.: b
b) 1h40min
c) 1h50min
d) 2h10min
e) 2h40min
28
Raciocínio Lógico-Matemático
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13) (FCC) Suponha que as quantidades de horas extras cumpridas por Julião e
Cosme ao longo de certo mês eram diretamente proporcionais aos seus
respectivos tempos de serviço no Tribunal. Assim sendo, se, juntos, eles
cumpriram o total de 28 horas extras, é correto afirmar que
a) Cosme cumpriu 4/7 do total de horas extras
b) Julião cumpriu 12 horas extras a menos que Cosme
c) Julião cumpriu 8 horas extras a mais que osme
d) O número de horas extras cumpridas por Julião era 30% do de Cosme
e) o número de horas extras cumpridas por Cosme era 62% do de Julião
Rep.: b
“Dica” : Se x é um número
1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ;
k
2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x =
;
ab
3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo
ak
tempo, escrevemos x = .
b
14) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas
participado com R$ 11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra
participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3 dias por semana. Após algum
tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas
proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma.
Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior
capital é
a) R$ 2.200,00
b) R$ 4.400,00
c) R$ 5.400,00
d) R$ 6.600,00
e) R$ 7.400,00
Solução:
 x = 11000.2.k = 22 000 k

 y = 9000.3 .k = 27 000 k
Substituíndo
=4.400,00.
em x + y = 9 800 obteremos k =
1
1
e daí, x = 22 000. =
5
5
15) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente
proporcionais a 5, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 6,3 e 4.
5k
8k
10k
5k
Solução: x =
, y=
, z=
=
. Substituindo em x + y + z = 360,
6
3
4
2
obtemos k = 60. A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150.
Resp.: 50,160 e 150.
29
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16) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente
proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do
segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma
franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de
60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é
f) 4 meses
g) 4 meses e meio
h) 5 meses
i) 5 meses e meio
j) 6 meses
Resp.: a
17) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois
técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição
judiciária.
Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos)
João
36
8
Maria
30
12
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo.
Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de
seus tempos de serviço no tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas
do processo era
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
Resp.: c
18) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de
arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas
respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público.
Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e
está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números
de processos que cada um arquivou é
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
Resp.: c
►REGRAS DE TRÊS
São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais.
Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP)
quando os valores numéricos assumidos por elas são, respectivamente,
números direta ou inversamente proporcionais.
30
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Exemplos:
1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y:
A
B
20
4
30
6
40
x
A
10
2,5
8
x
14
y
B
Resp.: x = 8
Resp.: x=2, y=3,5
2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais. Determine x:
A
B
6
24
12
x
Resp.:x=12
A
B
8
10
x
16
Resp.: x=5
REGRA DE TRÊS
Simples:
Direta: envolve duas GDP
Inversa: envolve duas GIP
Composta: envolve mais de duas grandezas
Exemplos
1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?
5m  600
8m 
x
Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:
5 600
8.600
=
⇒x=
= 960
8
x
5
Resp.: $ 960
2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em
quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro
fosse de 64km/h?
80km/h  4h
64km/h  x
Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:
80 x
80.4
= ⇒x=
=5
64 4
64
Resp.: 5 horas
31
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3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças.
Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças?
GIP
GDP
4 máquinas

8 dias

600 peças
2 máquinas

x dias

900 peças
Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada
uma das outras. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças”
são GDP. Assim, temos:
8 2 600
= ⋅
⇒ x = 24
x 4 900
Resp.: 24 dias
4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda.
Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que
apresenta uma dificuldade igual aos ¾ da primeira?
10d

8h

1000 m
 dif. 4
xd

6h

2000 m
 dif. 3
10 6 1000 4
= ⋅
⋅ ⇒ x = 20
x 8 2000 3
Resp.: 20 dias
EXERCÍCIOS
01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de
farinha que se obtém com 480 kg de trigo?
Resp.: 408 kg
02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no
mesmo instante, é 0,9 m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara
tem 2 m de comprimento.
Resp.: 10m
03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas
para avançar 77 mm?
Resp.: 14
04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são
escoados em 8 minutos?
Resp.: 160
32
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05. (FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O
número de hectares necessários para se plantar 200 mil sementes é...
Resp.: 4
06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B
faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto
tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?
a)2h7min
b)2h5min
c)1h57min
d)1h43min
e)1h36min
Solução:
1) Em 1h, A e B limpam juntos:
2)
1 1 7
+ =
do salão.
4 3 12
7

1h..........
12

 x............1
Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x
1.1 12
=
= h, ou seja x = 1h43min aproximadamente.
7 / 12 7
Resp.: d
07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir
certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5
horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o
esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente,
a) 1 hora e 40 minutos
b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos
c) 2 horas e 20 minutos
d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos
e) 2 horas e 54 minutos
Resp.: b
08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a
primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se
apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48
horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em
quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
Resp.: e
09. Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os
dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho. Dois
dias após a saída deste, Carlos também o abandona. Antônio, sozinho,
consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho,
Antônio levaria ?
Resp. : 50 dias
33
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10. (FCC) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender,
em média, 54 pessoas por dia. Espera-se que seis técnicos, com a mesma
capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por dia, a
quantas pessoas?
a) 71
b) 75
c) 78
d) 81
e) 85
Resp.: d
11. (FAURGS) Para se fazer a estimativa do número de pessoas presentes na
apresentação de um conjunto musical, considerou-se que cada metro
quadrado, do local da apresentação, foi ocupado por 5 pessoas. Se o conjunto
apresentou-se em uma praça de 0,80 hectares, completamente lotada, o
número estimado de pessoas presentes na praça é
a) 4000
b) 4500
c) 25000
d) 40000
e) 45000
Resp.: d
12. (FAURGS) Em média, a massa de um grão de certo feijão é 2,4.10-2 g. Em
6 kg desse feijão, existem, portanto,
a) 2.500 grãos
b) 20.000 grãos
c) 25.000 grãos
d) 150.000 grãos
e) 250.000 grãos
Resp.: e
13.(FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O
número de horas correspondente a esse tempo é
a) 0,25.10-3
b) 2,5.10-3
c) 25.10-3
d) 2,5.10-1
e) 0,25.10
Resp.: b
14 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão
de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos
essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha
igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo
comprimento?
a) 36
b) 35,5
c) 34
d) 33,3
e) 32
Resp.: a
15. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de
voltas da primeira, quando a segunda dá 600 voltas por minuto?
Solução:
34
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40dentes.........600v / min

50dentes..........x
Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos
40
x
=
e daí obtemos x = 480 v/min.
50 600
Resp.: 480
16. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12
horas. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o
número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resp.: e
17. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma
solução salina(água e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a
3%(sal) é
a) 90g
b) 94g
c) 97g
d) 98g
e) 100g
Resp.: e
18. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo,
empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são
necessárias?
Resp.: 250
19. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram
necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão
pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para
fazer o mesmo serviço?
Resp.: 16
20. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por
dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5
horas por dia?
Resp.: 18 dias
21. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2
máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3
máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias
serão embalados 108.000 bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e)5
Resp.: c
22. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8
horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores,
trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os
primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
Resp.: c
35
Raciocínio Lógico-Matemático
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23. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em
quantos dias faria uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia?
Resp.: 4
24. Se
2
de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6
3
horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando
10 horas por dia em...
Resp.: 2 dias
25. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras.
Utilizando-se os mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas
ele terá com 45 linhas por página e 50 letras por linha?
Resp.: 288
26. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade
e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e
meio. Aumentando de 400 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10
horas por dia, em quanto tempo os operários construiriam um outro canal com
o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura dupla do primeiro?
Resp.: 42 dias
27. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de
comprimento, trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte
operários, com capacidade 4, trabalhando 12 horas por dia, num terreno de
dificuldade 2, abririam uma vala de quantos metros de comprimento?
Resp.: 576m
28. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em
200 dias e 8 horas de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre
gando 45 homens. Em quantos dias de trabalho concluirá a preparação de
outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10 máquinas e 48 homens
4
em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é
5
da do trecho concluído?
Resp.: 144 dias
29. (FCC) Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um
livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo,
outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um
livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de
a) 2 minutos e 30 segundos
b) 5 minutos
c) 6 minutos e 15 segundos
d) 7 minutos
e) 7 minutos e 30 segundos
Resp.: b
36
Raciocínio Lógico-Matemático
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30. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em
quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas?
Solução:
1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min
9 gatos..............18 sardinhas.......... x min
1,5 9 1,5
=
.
e daí, obtemos x = 3.
x 1,5 18
Resp.: 3 minutos
31. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come
uma galinha em
a) 20 minutos
b) 40 minutos
c) 60 minutos
d) 80 minutos
e) 100 minutos
Resp.: e
37
Raciocínio Lógico-Matemático
►PORCENTAGEM
Uma porcentagem é uma razão na qual o
Simbologia: %
Exemplos:
5

1) 5% = 100 = 0,05

27

= 0,27
2) 27% =
100

147

3)147% = 100 = 1,47

a) Aumento (acréscimo)
Vo = valor inicial

⇒
Vf = valor final
i =taxa de aumento

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squecendo
é 100.
Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fator de aumento.
Exemplo:
Vo = $ 50
i = 35% (aumento)
Vf = ?
⇒
Vf = 50 x 1,35 = 67,50
b) Diminuição (desconto)
Vo = valor inicial

⇒
Vf = valor final
i =taxa de desconto

Exemplo:
Vo = $ 120
i = 10% (desconto)
Vf= ?
⇒
Vf= Vo (1 – i) , onde 1 – i = fator de desconto.
Vf = 120 x 0,90 = 108
c) Aumentos sucessivos
Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in)
Exemplo:
Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual
o valor final da mercadoria?
Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121
d) Descontos sucessivos
Vf = Vo (1 – i1) (1 – i2)... (1 – in)
Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos
sucessivos de 30% e 5%. Qual o valor líquido da fatura?
Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133
38
Raciocínio Lógico-Matemático
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EXERCICIOS
01) Calcule: a) 20% de 800
b) 12% de 200
c) 3,5% de 150
d) 4,7% de 600
Solução:
20
12
3,5
4,7
× 800 = 160 ; b)
× 200 = 24 ; c)
× 150 = 5,25 ; d)
× 600 = 28,2
a)
100
100
100
100
02) A quantos por cento representa
a) 15 de 150
b) 40 de 50
Solução:
15.100
40.100
= 10% ; b)
= 80% ;
a)
150
50
c) 17 de 200
c)
17.100
= 8,5% ;
200
03) Escreva na forma de porcentagem os números
a) 2/5
b) ¾
c) 4/5
d) 3/2
e) 1,5
d) 65 de 1000
d)
65.100
= 6,5%
1000
f) 7/4
g) 5
Solução:
2
4
a) × 100 = 40% ; c) × 100 = 80% ; e) 1,5 × 100=150%; g) 5 × 100= 500%.
5
5
04) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a
a) 2
b) 5
c) 20
d) 40
e) 80
Resp.: c
05) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram
por realizar um curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz
localizada na capital. Possui também duas filiais, uma em Ouro Preto e outra
em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de
Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos
empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos
empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem
dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual
a?
Resp.: 60 %
06) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De
quantos por cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por
igual?
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
Resp. : e
39
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07) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote.
Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total
existente inicialmente no lote era
a) 110
b) 120
c) 140
d) 150
e) 180
Resp.: d
08) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de
20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o
preço de custo e o preço de venda é
a) 1/5
b) 2/5
c) 2/3
d) ¾
e) 5/6
Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120.
Daí:
C 100 5
=
=
V 120 6
Resp.: e
09) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que
apresentam, entre si, a razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de
y nessa mistura é
a) 43,75%
b) 47,55%
c) 56,25%
d) 65,25
e) 87,53
Resp.: c
10) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de
seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele
prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80 % ao preço de custo,
porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de
tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10%
b) 15%
c) 20%
d) 25%
e) 36%
Resp.: c
40
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11) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25
mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de
mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência
que são homens ou fumantes é
a) 42
b) 43
c) 45
d) 48
e) 49
Resp.: b
12) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou
5%. A nova produção de trigo foi de?
Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t
13) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o
seu tempo. O seu novo tempo é de?
Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s
14) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de
gorjeta para o garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de?
Solução:
165
Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo =
= 150
1,1
Resp.: $ 150,00
15) Uma escola tem atualmente 4.600 alunos. Sabendo que no último ano, o
número de alunos aumentou 15%, o número de alunos no ano anterior era ?
Resp.: 4.000
16) Comprei uma mercadoria por $120.000,00 e desejo vendê-la com um lucro
de 40% sobre o preço de custo. Por quanto devo vendê-la?
Solução: Vf = 120. 000(1,4) = $168.000
17) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma
empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto
com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do
produto
a) baixará de 2%.
b) aumentará de 3,2%.
c) baixará de 1,8%.
d) aumentará de 1,2%.
e) permanecerá inalterado.
Resp.: a
18) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública,
sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem,
é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então,
relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários
concursados do sexo
41
Raciocínio Lógico-Matemático
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a) feminino é maior que 42%.
b) masculino está compreendida entra 45% e 52%.
c) feminino é menor que 35%.
d) masculino é maior que 50%.
e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%.
Resp.: b
19) (ESAF) Um terreno foi vendido por $16.500,00 com um lucro de 10%. Em
seguida foi revendido por $ 20.700,00. O lucro total das duas transações,
representa ,sobre o custo inicial do terreno, um percentual de?
Resp.: 38%
20) (PUCRS) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%.
Em quantos por cento aumenta a área do quadrado?
Resp.: 21%
21) (FAURGS) Um volume Vo sofre um aumento de 20%, resultando no
volume V1. O volume V1 sofre uma diminuição de 20%, resultando no volume
V2. A razão entre os volume V2 e V0 é? (“Dica” : suponha Vo = 100).
Resp.: 96%
22) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º
até o dia 15 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o
dia 25, sofreu uma queda de 7%. Qual a cotação da ação no dia 25 ?
Solução: Vf = 20 x 1,15 x 0,93 = $21,39.
23) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles
deu 20% de lucro em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao
custo. Na venda de ambos, João
a) ganhou $1.000,00
b) perdeu $ 1.000,00
c) não perdeu nem ganhou
d) perdeu $ 400,00
e) ganhou $ 400,00
Resp.: b
24) (ULBRA) A mensalidade de uma escola é, neste mês, 70. Para o mês
seguinte, aumentará 4/5 dos 80% da inflação ocorrida nos últimos 30 dias, que
foi de 25%. O valor da mensalidade reajustada será
a) 82,00
b) 81,20
c) 87,50
d) 84,00
e) 80,00
Solução:
1)Aumento da mensalidade=
2) Vf = 70 × 1,16 = 81,20.
Resp.: b
4 80 25
×
×
= 0,16 ou 16%
5 100 100
25) (FAURGS) Uma nota fiscal se compõe de duas parcelas: valor dos serviços
e 5% deste, como encargos de ISS. Se o total da nota é N, o valor dos serviços
é
42
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a) 1,05N
Resp.: d
b) 0,95N
c) N/0,95
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d) N/1,05
e) N/1,5
26) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um
trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse
trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário
já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer um reajuste de
a) 10%
b) 12%
c) 16%
d) 20%
e) 32%
1,32
Solução: (1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i =
= 1,1 ⇒ i = 0,1 ou 10%.
1,20
27) (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só
possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse
concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 para que
eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é
a) R$ 254,00
b) R$ 242,00
c) R$ 237,00
d) R$ 220,00
e) R$ 210,00
Solução:
1) Tenho 70% de P. Faltam 30% de P;
2) Com o abatimento de 12% de P, ainda faltam 30%-12%= 18% de P, que
correspondem a R$ 54,00;
3)Fazendo-se uma regra de três:
18% de p.................54
70% de P...............x
70.54
obtemos x =
= 210,00. A resposta correta é a letra e.
18
18
Obs.: para calcular P (que não foi pedido), basta fazer
.P = 54 , donde
100
P=R$ 300,00.
28) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou ¼ do
número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser
digitadas é
a) 20%
b) 25%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
Resp.: e
29) (FAURGS) Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram
mulheres. Depois de transferido um certo número de funcionários do sexo
masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários.
O número de homens transferidos foi
a) 5
b) 10
c)15
d)35
e) 45
43
Raciocínio Lógico-Matemático
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Solução:
1º) 25% de 60 = 15 mulheres;
2º) Sendo t o total de funcionários após a transferência dos x homens,teremos:
30
t = 15 e daí obtemos t = 50;
100
3º) x = 60 – 50 = 10 homens
Resp.: b
30) (FAURGS) Em um Tribunal, 30% dos funcionários eram mulheres. Após
um concurso, o total de funcionários aumentou 20% e o número de mulheres
aumentou 40%. Portanto, o percentual do total de funcionários representado
por mulheres, após o concurso, é
a) 20%
b) 35%
c) 45%
d) 55%
e) 60%
Resp.: b
31) (FAURGS) Em 3 kg de arroz, existem 135 g de gordura. O percentual de
gordura, nesse tipo de arroz, é, portanto,
a) 4,0%
b) 4,5%
c) 4,8%
d) 5,0%
e) 5,5%
Solução: 3kg = 3.000 g e
Resp.: b
135.100
= 4,5%
3000
32) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua
produção. Se, em determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado
produto, então, 3 anos após, o número de unidades desse produto produzido
pela empresa é estimado em
a) 50%(1000)3
b) 3(0,5)1000
c) 1,5(1000.3)
d) 1000(1,5)3
e) 1000(0,50)3
Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3
Resp.: d
33) (FAURGS) Certo produto, cujo preço de compra é c, foi vendido por p,
com um prejuízo de 40%. Se esse produto fosse vendido por 3p, haveria, em
relação ao preço de compra c, um lucro de
a) 40%
b) 60%
c) 80%
d) 120%
e) 180%
Resp.: c (“Dica”: suponha c = 100)
44
Raciocínio Lógico-Matemático
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34) (FCC) Se y é diferente de zero, e se
x
= 4 , então a razão de 2x – y para x,
y
em termos percentuais, é igual a
a) 75%
b) 25%
c) 57
Solução: 1º) Supondo x=4 e y=1, teremos
2º)
Resp.: d
d) 175%
e) 200%
2x − y 7
=
x
4
7
.100 = 175%
4
35) (FCC) Alguns técnicos judiciários foram designados para prestar serviços
de segurança em alguns setores da Justiça Eleitoral: X deles para executar a
fiscalização de material para votação e, os Y restantes, junto aos órgãos
3
apuradores. Se X é igual aos
de Y, então, em relação ao total de agentes
5
designados, X corresponde a
a) 25%
Resp.: b
b) 37,5%
c) 40%
d) 60%
e) 62,5%
36) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de
uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa
empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma
desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se
valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do
investimento foi de
a) 20%
b) 18,4%
c) 18%
d) 15,2%
e) 15%
Resp.: d
37) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, ¼ dos participantes
são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em
geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, ¼ dos
participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados
em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras
graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais
graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de
participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 57%
d) 50%
e) 25%
45
Raciocínio Lógico-Matemático
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Resp.: c
38. (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área
de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências
exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da
universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam
física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual
a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que
estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%
b) 21,67%
c) 25,00%
d) 11,00%
e) 33,33%
Resp.: c
3. JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS
► JUROS SIMPLES
Simbologia:
C = capital inicial (principal);
i =taxa unitária de juros;
n = nº de períodos (prazo);
J = total de juros em n períodos;
M = montante no final de n períodos = C + J
No regime de Juros Simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial C,
originando um juro igual a Ci, em todos os períodos. Assim, o total de juros no
final de n períodos é:
}
J = Ci + Ci +... +Ci = Cin
n parcelas
Logo, J = Cin
e
M = C + J ou
M = C(1 + in)
Observação: Nas fórmulas acima, a taxa (i) e o prazo (n) devem usar a
mesma unidade de tempo.
Exemplos:
1) Calcule os juros simples obtidos nos seguintes casos:
46
Raciocínio Lógico-Matemático
Capital
a) $ 2.000
b) $15.000
c) $18.000
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Taxa
1% a.m.
18% a.a.
0,2% a.d.
Prazo
5 meses
8 meses
3 meses e 10 dias
a) J = 2.000 × 0,01 × 5 = $ 100
b) J = 15.000 u.m. × 0,18 × 8/12 = $ 1.800
c) J = 18.000 × 0,002 × 100 = $ 3.600 .
{
2) Qual o capital que produz o montante de $ 17.500, em um ano e meio, à
taxa de 50% a.s.?
C=?
M = $17.500,00
n = 1 ano e meio = 3 semestres
I = 0,50 a.s.
M
17.500
=
M = C(1 + in) ⇒ C =
1 + in
1+0,50×3
= 7.000. Logo, C= $7.000,00.
TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
De um modo geral, dizemos que duas taxas de juros (simples ou
compostos) são Equivalentes, quando, aplicadas ao mesmo capital, durante
o mesmo tempo, produzem juros iguais.
Seja i = taxa de juros simples no período inteiro, k = nº de períodos nos
quais subdividiu-se o período inteiro e ik = taxa em cada um dos k subperíodos.
Tomemos um capital C qualquer e o prazo n = 1. Para que i e ik sejam
taxas equivalentes, devemos ter
C · i · 1 = C · ik · k ⇒
i = k · ik
ou
ik =
i
k
.
que é a fórmula das taxas equivalentes em Juros Simples.
Nota: Quando i é a taxa anual (i = ia), os valores mais usuais de k são:
k=2
⇒
taxa semestral = is
k=3
⇒
taxa quadrimestral = iq
k=4
⇒
taxa trimestral = it
k=6
⇒
taxa bimestral = ib
k = 12
⇒
taxa mensal = im
k = 360 ⇒ taxa diária = id
47
Raciocínio Lógico-Matemático
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Para estes valores de k, a fórmula acima desdobra-se em:
ia = 2is = 3iq = 4it = 6ib = 12im = 360id
Vemos que no Juros Simples, as Taxas Equivalentes são Taxas
Proporcionais.
CAPITAIS EQUIVALENTES (CONCEITO GERAL)
O conceito geral de capitais equivalentes, aplicável tanto ao regime de juros
simples quanto ao regime de juros compostos é o seguinte:
“Dois capitais são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando
os seus valores atuais (ou futuros), calculados numa mesma data (data
focal), à mesma taxa de juros, são iguais”.
Exemplo:
O capital de $ 980,00 daqui a 4 meses equivale ao capital de $ 700,00
hoje(data zero), considerada a taxa de juros simples de 10% a.m.
980
De fato, na data focal 0, o capital de $ 980,00 valerá
= $ 700,00.
1 + 0,10.4
EXERCÍCIOS
01. (FMP) Uma aplicação de R$ 4.000,00, a taxa de juros simples de 4% ao
mês, após 90 dias, obteve um rendimento de
a) R$ 480,00
b) R$ 499,60
c) R$ 4.480,00
d) R$ 4.499,60
e) R$ 4.521,12
02.(CESGRANRIO)- Uma pessoa pretende fazer um empréstimo a juros
simples de 3% a.m. No final de 4 meses, ela poderá pagar, no máximo,
$1.400,00. Nessas condições, essa pessoa poderá tomar emprestado, por 4
meses, o valor máximo de
a) $1.200,00
d) $1.250,00
b) $1.225,00
e) $1.274,00
c) $1.232.00
03.(CESGRANRIO)- A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um
capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado?
a) 10%
b) 60%
c) 100%
d) 120%
e) 150%
04.(CESGRANRIO)- Um capital de $15.000,00 foi aplicado a juros simples à
taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de $19.050,00, o
prazo dessa aplicação deverá ser de
48
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a) 1 ano e 10 meses
b) 1 ano e 9 meses
c) 1 ano e 8 meses
d) 1 ano e 6 meses
e) 1 ano e 4 meses
05. (FDRH) Um funcionário público fez uma aplicação a juros simples, com
taxa nominal de 12% ao trimestre. Após um período de 12 meses, ele obteve
um rendimento de R$ 3.600,00. O capital que foi inicialmente aplicado
corresponde a
a) R$ 1.500,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 15.000,00
e) R$ 30.000,00
06.(ESAF) Indique nas opções abaixo, qual a taxa anual unitária equivalente à
taxa de juros simples de 5% ao mês.
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5, 0
07. Aplicar um capital a juros simples de 5% a.m. por 10 meses equivale a
investir o mesmo capital, por 15 meses, à taxa de ...
08.(FDRH) Um indivíduo aplica 3/5 de seu capital à taxa de juros simples de
24% ao ano, e o restante a juros simples de 12% ao trimestre. Decorridos 10
meses, da aplicação, ele ganha R$ 5.600,00 de juros.
Qual o valor do seu capital inicial?
a) R$ 10.752,00
b) R$ 15.680,66
c) R$ 18.000,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 23.333,33
09.(FDRH) Um investidor aplicou, a juros simples, um certo capital. Após 8
meses de aplicação, ele faz uma consulta a seu saldo e verifica que já existe o
montante de R$ 7.500,00. Finda a aplicação, quatro meses após essa consulta,
ele encontra um saldo de R$ 8.200,00. Qual foi o valor da taxa de juros
utilizada, sabendo que a mesma ficou inalterada ao longo de todo o período de
aplicação?
a) 3,28%
b) 2,86%
c) 2,34%
d) 2,08%
e) 1,82%
10. (CESGRANRIO)- Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em
duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda,
dois meses após, no valor de R$ 880,00.
Qual a taxa mensal de juros simples utilizada?
a) 6%
b) 5%
c) 4%
d) 3%
e) 2%
11. (CESGRANRIO)- Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar
um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de
seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de
49
Raciocínio Lógico-Matemático
a) 2%
b) 2,2%
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
c) 2,5%
d) 2,6%
e) 2,8%
12. (ESAF) – Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de
10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais
principal, é de $1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento
deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no
valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do
quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos
pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. 0 valor que mais se
aproxima do valor financiado é:
a) $ 816,55
b) $ 900,00
c) $ 945,00
d) $ 970,00
e) $ 985,00
13. (ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma
multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de
permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples,
sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do
mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
c) R$ 2.088,00
d) R$ 2.096,00
e) R$ 2.100,00
14. (FCC) Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juros simples,
produzindo, ao fim de um trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de
juro dessa aplicação foi
a) 48%
b) 50%
c) 54%
d) 56%
e) 63%
3
dessa
4
quantia a juro simples, à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento
mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de
a) 1%
b) 2%
c) 3%
d) 4%
e) 5%
15. (FCC) Uma pessoa tem R$ 2 000,00 para investir. Se aplicar
16. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade
1
à taxa de 2% ao mês por um
à taxa de 1% ao mês por um bimestre,
5
trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante um quadrimestre. O juro
total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era
a) R$ 5 800,00
b) R$ 8 300,00
c) R$ 10 000,00
d) R$ 10 200,00
e) R$ 10 800,00
50
Raciocínio Lógico-Matemático
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GABARITO – JUROS SIMPLES
01. a
02. d
03. d
04. d
05. c
06. d
07. 3,33%
08. d
09. b
10. b
11. c
12. b
13. a
14. c
15. c
16. c
►JUROS COMPOSTOS
No regime de Juros Compostos os juros de cada período são calculados da
seguinte maneira:
J1 = Ci
J2 = (C + J1)I = M1 · I
J3 = (C + J1 + J2)I = M2 · I
etc.
Jn = (C + J1 + J2 + + Jn-1)i = Mn-1 · i
Ou seja: no fim de cada período, o juro é somado ao capital que o
produziu (capitalização dos juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial
para o período seguinte.
Sendo J = J1 + J2 + ... + Jn (total dos juros) e M = Montante no fim de n
períodos, teremos:
M = C( 1 + i )n e
{
J=M–C
(1 + i)n é o fator de capitalização
1
(1 + i)n
= (1 + i )-n é o fator de descapitalização (ou de desconto).
51
Raciocínio Lógico-Matemático
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Exemplo:
Coloquei $ 2.000,00 em um banco, a juros compostos de 6% a.a.,
capitalizados anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos?
M = C(1 + i)n
M = 2.000 (1 + 0,06)8
M = 2.000 × 1,593849 = 3.187,69
Resp.: $ 3.187,69
TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS
Seja
i = taxa de juros compostos no período inteiro
k = nº de capitalizações no período inteiro
ik = taxa de juros compostos em cada um dos k subperíodos
{
i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos
C(1 +i)1 = C(1 + ik)k ⇒ 1 + I = (1 + i)k
Exemplos:
a) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?
{
k=2
1 + 0,06 = (1 + is)2
I = ia = 0,06 a.a.
⇒
is = ?
is =
(1 + is)2 = 1,06 ⇒ 1 + is =
– 1 = 0,0295 a.s.
Logo, is= 0,0295 a.s. (ou 2,95% a.s.)
b) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?
{
1 + ia = (1+ 0,04)12
k = 12
ia = ?
im = 0,04 a. m.
⇒
ia = (1,04)12 – 1 = 0,60103 a.a.
Logo, ia = 60,103% a.a.
52
Raciocínio Lógico-Matemático
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TAXAS EFETIVA E NOMINAL
Taxa Efetiva: quando o período de capitalização é o mesmo ao qual se refere a
taxa.
Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período ao
qual se refere a taxa.
Exemplos:
80% a.a. capitalizados trimestralmente;
135% a.a. capitalizados mensalmente;
10% a.m. capitalizados diariamente
CÁLCULO DA TAXA EFETIVA
Sendo
{
i = Taxa Efetiva no período inteiro;
iN = Taxa Nominal correspondente a i;
k = nº de capitalizações no período inteiro,
proceder assim:
1º) Calcular a taxa efetiva por período: ik = iN / k (Taxa Proporcional)
2º) Usar a fórmula 1 + i = (1 + ik)k para obter i = (1 + ik)k – 1 que é a
taxa efetiva correspondente a iN.
Exemplo:
Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% a.a.,
capitalizados trimestralmente?
{
IN = 0,08 a.a., k = 4
ia = ?
0,08
⇒
1º) it =4
= 0,02 a.t.
2º) 1 + ia = (1 + it)4 ⇒ ia = (1 + it)4 – 1 =
= (1 + 0,02)4–1= 0,08243 a.a. ou 8,243% a.a.
TABELAS
A tabela dada a seguir tem por objetivo mostrar o tipo de tabela financeira que
geralmente é dado em provas. Ela poderá ser útil em algumas questões de
juros compostos propostas adiante. Para valores que não constem na tabela,
sugerimos que o estudante utilize uma calculadora (científica ou financeira).
53
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Tabela do fator de capitalização para pagamento único
(1 + i )n
Taxas de juros
Prazos
0,5%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
1
1,0050
1,0100
1,0200
1,0300
1,0400
2
1,0100
1,0201
1,0404
1,0609
1,0816
3
1,0151
1,0303
1,0612
1,0927
1,1249
4
1,0202
1,0406
1,0824
1,1255
1,1699
5
1,0253
1,0510
1,1041
1,1593
1,2167
6
1,0304
1,0615
1,1262
1,1941
1,2653
7
1,0355
1,0721
1,1487
1,2299
1,3159
8
1,0407
1,0829
1,1717
1,2668
1,3686
9
1,0459
1,0937
1,1951
1,3048
1,4233
10
1,0511
1,1046
1,2190
1,3439
1,4802
11
1,0564
1,1157
1,2434
1,3842
1,5395
12
1,0617
1,1268
1,2682
1,4258
1,6010
5,0%
1,0500
1,1025
1,1576
1.2155
1,2763
1,3401
1,4071
1,4775
1,5513
1,6289
1,7103
1,7959
EXERCÍCIOS
01.(FAURGS) O valor dos juros que será obtido na aplicação de um capital de
R$ 15.000,00 no período de 9 (nove) meses, à taxa de juros composta de 4%
a.m., desprezando os centavos na identificação da resposta, equivale a
a) R$ 6.349.
(Dado: (1,04)9= 1,4233 )
b) R$ 5.400.
c) R$ 6.320.
d) R$ 5.796.
e) R$ 16.850.
02.(FAURGS) Qual o capital que um investidor deve aplicar, hoje, a taxa de
juros composta de 2% a.m., para que, no prazo de 2 (dois) anos, produza o
montante de R$ 26.800,00, desconsiderando os centavos para identificação da
resposta?
a) R$ 25.759
d) R$15.879
(Dado: (1,02)24= 1,6084 )
b) R$ 19.456
e) R$16.850
c) R$ 16.662
03. Qual a taxa de juros efetiva anual que equivale à taxa de juros composta de
4% a.m., se o resultado, em termos percentuais, for dado com duas casas
decimais? (Dado: (1,04)12 = 1,6010 )
a) 60,10%
b) 48,00%
c) 51,80%
d) 59,60%
e) 53,00%
04.(FDRH) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros
nominal de 8% ao ano com capitalização semestral (Dado: (1,04)2 = 1,0816 ).
a) 8, 20 %
b) 8,16%
c) 8,10%
d) 8,05%
e) 8,00%
54
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05.(CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros
compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,
capitalizada bimestralmente?
a) 75,0%
b) 72,8%
c) 67,5%
d) 64,4%
e) 60,0%
06. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje à taxa de juros compostos de 36%
ao ano com capitalização mensal para obter o montante de R$ 2.500,00 após
10 meses? (Dado: (1,03)10 = 1,3439)
a) R$ 1.573,00
b) R$ 1.630,12
c) R$ 1.750,00
d) R$ 1.860,26
e) R$ 1.923,08
07. (FUNDATEC) A taxa de juros compostos sobre o crédito do cheque
especial de um banco é de 30% ao mês com capitalização diária. Um cliente
que utilizar um crédito de R$ 120,00 pagará de juros após10 dias , o total de
a) R$ 2,55
(Dado: (1,01)10 = 1,1046)
b) R$ 12,55
c) R$ 52,55
d) R$ 92,55
e) R$ 132,55
08. (FAURGS) Um empresário contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00, por 6
anos, com juros compostos de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente.
Passados 4 anos ele decide resgatar a dívida, e o desconto concedido é de
24% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate?
a) R$ 128.659,04
(Dados: (1,06)24= 4,0489 e (1,12)4= 1,5735 ).
b) R$ 129.341,82
c) R$ 129.930,28
d) R$ 130.720,25
e) R$ 131.001,10
09. (CESGRANRIO) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco
do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% a.m.. Considerando
o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo
aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são,
respectivamente:
a) 10.200,00 e 2,35%
b) 10.240,00 e 2,35%
c) 10.240,00 e 2,40%
d) 10.240,00 e 2,45%
e) 10.300,00 e 2,40%
10. (CESGRANRIO) Um investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar.
Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no Banco Alfa, à
taxa de 8% a.m., e outra parte no Banco Beta, à taxa de 6% a.m., ambas em
juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este
prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de
aplicação, em reais, em cada banco, foram,
55
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a) 148.598,13 e 151.401,87
b) 149.598,13 e 150.401,87
c) 150.598,13 e 149.401,87
d) 151.598,13 e 148.401,87
e) 152.598,13 e 147.401,87
11. Os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a taxa de juros compostos de
5% ao período.
O valor de x é, aproximadamente, de
a) $ 60,00
b) $ 72,00
c) $ 77,18
d) $ 84,18
e) $ 144,00
12. (FDRH) Uma loja oferece duas opções na compra de um produto:
• à vista com 10% de desconto;
• dois pagamentos mensais iguais, sem desconto, o 1º no ato da compra.
Calcular a taxa de juros compostos cobrada na compra a prazo.
13. Para uma taxa de 5% a.m., juros compostos, qual a melhor opção na
compra de um computador:
a) à vista, com 20% de desconto;
b) dois pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º um mês
após a compra;
c) três pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º no ato da
compra.
14. (CESGRANRIO) Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou
pago em 3 parcelas anuais de $ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra.
Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor.
Nessas condições, o preço v é ?
a) R$ 75.000,00
b) R$ 88.000,00
c) R$ 91.000,00
d) R$ 95.000,00
e) R$ 97.000,00
15. (CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros
compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o
devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida.
Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,063, conclui-se
que esse último pagamento foi superior a R$ 11.000,00.
56
Raciocínio Lógico-Matemático
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16. (CESPE) Uma letra de câmbio vence daqui a um ano, com valor nominal de
R$ 15.000,00. A pessoa detentora desse título propõe a sua troca por outro,
que vence daqui a 3 meses e tem valor nominal de R$ 12.000,00.
Nessa situação, se a taxa de juros compostos corrente é de 3% ao mês e se
1,3 é tomado como valor aproximado para 1,039, então a troca será
financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro título.
17. (CESPE) O capital de R$ 20.000,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por
um período de 3 anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também
por 3 anos. Nesse caso, para o investidor, a primeira forma de aplicação é
financeiramente mais vantajosa que a segunda.
18. (CESPE) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de
resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de
resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação,
se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros
compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no
dia de hoje, então ele terá que pagar um valor que, em reais, pode ser
8.000 ×1,02 5 + 6.000
.
expresso por
1,0210
19. (FDRH) Um eletrodoméstico custa R$ 1.000,00 para pagamento a vista em
uma loja de varejo. Como não possuía essa quantia, um comprador decidiu
parcelar o valor do produto, nas seguintes condições: 40% de entrada mais
uma parcela única para 60 dias, com capitalização mensal. Sabendo-se que
essa parcela foi de R$ 864,00 qual é a taxa de juros compostos mensal do
parcelamento?
a) 4% a.m.
b) 14% a.m.
c) 20% a.m.
d) 22% a.m.
e) 25% a.m.
20. (CESPE) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos
pagam juros compostos de 3% ao mês.
I. Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro
feito no dia 1º/3/2009.
II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro
feito no dia 1º/3/2009.
Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das
aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I,
assinale a opção correta.
a) M2-M1= R$ 90,90
b) M2-M1= R$ 45,45
c) M2=M1
d) M1-M2= R$ 45,45
e) M1-M2= R$ 90,90
57
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Gabarito – Juros Compostos
01. a
02. c
03. a
04. b
05. b
06. d
07. b
08. a
09. c
10. a
11. c
12. 25%
13. a
14. c
15. Certo
16. Certo
17. Errado
18. Errado
19. c
20. a
4. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
► MEDIDAS DE TEMPO
Para transformar uma unidade de medida de tempo em outra, basta saber as
relações mostradas no quadro abaixo:
Unidade
Símbolo
Valor
s
-
min
60s
Hora
h
60min
Dia
d
24h
Mês (comercial)
me
30d
Ano (comercial)
a
12me = 360d
Segundo
Minuto
Veremos por meio de exemplos, como trabalhar com estas medidas.
1 – Transformar 2h15min10s em segundos:
2 x 60 = 120min
+ 15min
135min
Resp.: 8.110s
135 x 60 = 8100s
+ 10s
8110s
2 – Transformar 935 dias em anos, meses e dias:
935d 360
215d 30
215 2a
5d 7me
Resp.: 2a7me5d
3 – Calcule:
a) 3h20min10s + 2h25min20s
b) 4h35min15s + 3h40min
a) 3h20min10s
+2h25min20s
5h45min30
b) 4h35min15s
+3h40min --7h75min15s, ou seja, 8h15min15s.
58
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4 – Calcule:
a) 4h50min – 2h10min20s
b) 6me – 3me20d
a) 4h50min ---2h10min20s
?
b) 6me ---3me20d
?
4h49min60s
-2h10min20s
2h39min40s
5me30d
-3me20d
2me10d
5 – Efetue:
a) 1h25min12s x 3
b) 6h31min10s ÷ 5
a) 1h25min12s
x3
3h75min36s, ou seja, 4h15min36s
b) 6h 5
1h 1h
31min
1h
+ 60min
91min 5
1min 18min
10s
+ 60s
1min
70s 5
0 14s
Logo, temos 1h18min14s.
1 – Complete:
a) 1h40min = .......... min
b) 3h10min20s = .......... s
c) 2d10h = .......... h
d) 4me20d = .......... d
Resp.: a) 100;
b) 11.420;
EXERCÍCIOS
c) 58;
d) 140;
e) 550
2 – Complete:
a) 350min = ..........h .......... min
b) 73820s = ..........h ..........min ..........s
c) 80h = ..........d ..........h
d) 135d = ….......me ….......d
e) 940d = ..........a ..........me ..........d
Resp.: a) 5h50min; b) 20h30min20s; c) 3d8h; d) 4me15d; e) 2a7me10d
3 – Calcule:
a) 2h10min20s + 3h40min15s
b) 3h40min + 6h35min
c) 1a 9me 25d + 1a 6me 15d
d) 5h 40min – 2h 20min 30s
e) 5me – 2me 20d
f ) 4a8me 10d – 2a 6me 20d
59
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Resp.: a) 5h50min35s; b) 10h15min;
e) 2me10d; f) 2a1me20d
c) 3a4me10d;
d) 3h19min30s;
4 – Calcule:
a) (1h20min18s) x 4
b) (25h27min20s) ÷ 2
c) (3a5me10d) ÷ 2
Resp.: a) 5h21min12s;
b) 12h43min40s;
c) 1a8me20d
5- (FCC) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2
horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa tarefa
quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às
a) 13h40min
b) 13h20min
c) 13h
d) 12h20min
e) 12h10min
Solução:
11
33
33
x 24 = h = x 60 = 990 min
16
2
2
2) X + 170 = 990 ⇒ X = 820 min
3) 820 / 60 = 13h40min.
Resp.: a
1)
6- (FCC) Um funcionário de uma Repartição Pública iniciou seu trabalho às
7h50min, executando ininterruptamente três tarefas que tiveram a seguinte
duração: 1 hora e 15 minutos, 3/5 de uma hora e 95 minutos, Nessas
condições, ele terminou a execução das três tarefas às
a) 11h16min
b) 11h12min
c) 10h48min
d) 10h46min
e) 10h18min
Solução:
3
h + 95 min = 75min + 36min + 95min = 206 min
5
2) 7h50min + 206 min = 470min + 206 min = 676 min= 11h16min.
1) 1h15min +
Resp.: a
60
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► SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida são dados através de
prefixos que indicam quantas vezes eles são maiores ou menores que a
unidade fundamental.
Listamos a seguir os prefixos mais utilizados, com os seus respectivos
símbolos e valores no Sistema Internacional de Unidades (SI):
u = unidade fundamental
deca = da = 10u
hecto = h = 100u = 102u
quilo = k = 1000u = 103u
mega = M = 106u
giga = G = 109
tera = T = 1012u
deci = d = 0,1u = 10-1u
centi = c = 0,01u = 10-2u
mili = m = 0,001u = 10-3u
micro = µ = 10-6u
nano = n = 10-9u
pico = p = 10-12u
Medidas de Comprimento
1
da
10.000.000
distância de um pólo ao equador, medida sobre um meridiano. Esse
comprimento está indicado entre dois traços feitos numa barra de platina-irídio
que se encontra no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França.
A unidade fundamental é o metro (m). Um metro é igual a
Múltiplos
quilômetro
km
U.F.
hectômetro decâmetro
hm
dam
Submúltiplos
metro
decímetro
centímetro
milímetro
m
dm
cm
mm
Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior, isto é, as unidades variam de 10 em 10 (de uma em uma casa).
Exemplo: Efetue a operação abaixo, dando o resultado em metros:
0,52km + 2,46dm + 0,005hm + 247,5dam.
Solução: basta fazer a tabela abaixo
km
hm
dam
0,52km
0
5
2
2,46dm
0,005hm
0
0
247,5dam
2
4
7
Total:
2
9
9
m
0
0
0
5
5
dm
cm
mm
2
5
4
6
7
4
6
Resp.: 2995,746m
61
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Perímetro de polígono: É a soma da medida dos lados do polígono.
Exemplo: As medidas dos lados de um triângulo são 2,5m, 0,15dam e 400cm.
Qual o perímetro, em dm?
2,5m = 25dm; 0,15dam = 15dm; 400cm = 40dm
Logo, o perímetro é P= 25dm + 15dm + 40dm = 80dm
Comprimento da circunferência: Retificando-se uma circunferência de raio r
obtém-se um segmento de comprimento igual a 2π , onde π ≅ 3,14 . Assim, o
comprimento da circunferência é dado por
C = 2π r
Exemplo: A circunferência de raio r = 3 cm
C = 2π.3 = 6π cm.
tem comprimento
Medidas de Superfície (Áreas)
A unidade fundamental é metro quadrado (m²), que é a área de um quadrado
com 1m de lado:
1m
1m
1m²
Múltiplos
km² hm² dam²
U.F.
m²
Submúltiplos
dm²
cm²
mm²
1m
● Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior, isto é, as unidades variam de 100 em 100 (de duas em duas casas).
Exemplo: Efetue a operação 20cm² + 0,9dm² + 1,8dam² dando o resultado em
m².
km² hm² dam² m²
dm² cm² mm²
20cm²
20
0,9dm²
00
90
1,8dam²
01
80
Total:
01
80
01
10
Resp.: 180,0110m²
Medidas Agrárias
1hectare (ha) = 1hm²
1 are (a) = 1dam²
1 centiare (ca) = 1m²
62
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Exemplo: Quantos m² há em 1.537ha?
km²
hm² (ha)
dam²(a)
m² (ca)
15
37
00
00
Resp.: 15.370.000m²
Medidas de Volume
A unidade fundamental de volume é o metro cúbico (m³), que é o volume
de um cubo com 1m de aresta.
Múltiplos
km³
hm³
dam³
U.F.
m³
Submúltiplos
dm³
cm³
mm³
• Cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior, isto é, as unidades variam de 1.000 em 1.000 (de três
em três casas).
Exemplo: Efetuar a operação 0,002dam³ + 3.000dm³ dando o resultado em m³.
Solução:
km³
hm³
0,002dam³
3.000dm³
Total:
dam³
0
m³
002
003
005
dm³
cm³
mm³
000
000
Resp.: 5m³
Nota: 1 estéreo = 1st = 1m³ (usado para medir lenha)
Medidas de Capacidade
As unidades de capacidades servem para medir o volume de líquidos e gases.
A unidade fundamental é o litro ( l ), que equivale a 1dm³.
kl
Múltiplos
hl
da l
U.F.
l
Submúltiplos
dl
cl
ml
• Cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior, isto é, as unidades variam, de 10 em 10 (de uma em
uma casa).
Exemplo: Converter 45,73d l em h l
Pela tabela, vemos que 45,73d l = 0,04573h l
63
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Medidas de Massa
Apesar da unidade fundamental ser o quilograma (kg), usa-se na prática
o grama (g) como unidade básica.
kg
Múltiplos
hg
dag
U.F.
g
Submúltiplos
dg
cg
mg
• Aqui também, cada unidade é 10 vezes maior que a unidade
imediatamente inferior, ou seja, as unidades variam de 10 em 10 (de uma em
uma casa).
Exemplo: 0,0025 hg = 25 cg
Unidades especiais de massa:
1 tonelada (t) = 1.000 kg = 103 kg
1 megaton = 1.000.000 t = 106 t
1 quilate = 0,2g (usado p/medir a massa de pedras e metais preciosos)
1 arroba = 15 kg
Relação Fundamental (Volume x Capacidade x Massa)
Para a água pura, a 4°C vale a seguinte relação:
1 dm³ = 1 l = 1 kg
Com base na relação acima temos a tabela (incompleta):
kl
t
m³
hl
-
da l
-
l
kg
dm³
dl
hg -
cl
dag
-
ml
g
cm³
• Observação
A relação 1dm3 = 1 l = 1kg vale só para a água a 4ºC e pressão de 1 atmosfera.
Mas
1dm3 = 1 l
vale para qualquer líquido.
Exemplos:
1 – A massa de água contida em um tanque cheio é de 1,8t. Qual é a
capacidade do tanque, em m l ?
Ora, 1,8t = 1.800kg = 1.800 l = 1.800.000m l (pode-se também resolver esse
problema pela tabela anterior).
2 – A massa de um diamante é 243 quilates. Qual a sua massa em dg?
243 quilates = 243 x 0,2 = 48,6g = 486dg
64
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EXERCÍCIOS
01) Converter:
a) 3,125 km em dam
b) 15,21 dam em dm
c) 6,2 m em cm
d) 12,3 km em m
e) 0,0002 hm em cm
Resp.: a) 312,5
b) 152l
c) 620
02) Converter:
a) 2,48 há em ca
b) 0,0015 há em a
c) 2,53 dam2 em a
d) 2345,9 dm2 em ca
e) 20000 ca em km2
Resp.: a) 24800
b) 0,15
d) 12300
c) 2,53
03) Converter:
a) 2.5 dm3 em m3
b) 15,8 cm3 em dm3
c) 5 hm3 em km3
d) 1 000 000 mm3 em m3
e) 1758,42 mm3 em cm3
Resp.: a) 0,0025
b) 0,0158
c) 0,005
04) Converter:
a) 1,52 dl em ml
b) 0,002 kl em dal
c) 2l em ml
d) 0,002 dal em ml
e) 8,302 hl em ml
Resp.: a) 152 b) 0,2
d) 20
05) Converter:
a) 1,25 hg em g
b) 3,18g em mg
c) 0,0025 hg em cg
d) 2 g em dag
e) 0,5g em hg
Resp.: a) 125 b) 3180
c) 2000
c) 25
d) 0,2
d) 23,459
d) 0,001
e) 2
e) 0,02
e) 1,75842
e) 830200
e) 0,005
06) Um tanque, quando cheio, contém 3,6t de água. Qual a sua capacidade, em
ml?
Solução: 3,6 t = 3,6 x 1000 = 3.600 kg que equivalem a 3.600 litros = 3.600.000
ml.
Resp.: 3.600.000
07) Um caminhão transporta 10 caixas idênticas que contém 20 hl de água
cada uma. Qual é a massa total, em kg, da água contida nessas caixas?
Resp.: 20 000
65
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08) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = .......... m3
Resp.: 1
09) Um vidro de xarope contém 21 doses de 3ml. A quantidade de xarope, em
litros, que o vidro contém é ?
Resp.: 0,063
10) Um quadrado de 1 km de lado, tem área, em há, igual a?
Resp.: 100
11) Uma indústria possui em seu reservatório 0,25 dam3 + 150 m3 + 22 000
dm3+3 000 000 cm3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto
em latas de 900 ml. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda
de 1% do líquido, o número de latas de soja que a indústria produzirá é?
Resp.: 467.500
12) O lado de um quadrado mede 0,05 m. Qual a sua área em cm2 ?
Resp.: 25
13) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 0,08 dam, 400 mm e
0,0003 km, O seu volume, em dm3, é?
Resp.: 96
14) O lado de um pentágono regular mede 40 dm. O seu perímetro, em mm, é?
Resp.: 20.000
15) (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois
veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000
quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem,
equivale a
a) 0,0075 %
b) 0,65 %
c) 0,75 %
d) 6,5 %
e) 7,5 %
Solução:
A = 2,4 t = 2.400 kg; B = 32.000 kg.
A 2.400
3
3
=
=
e
x 100 = 7,5%
B 32.000 40
40
Resp.: e
66
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RACIOCÍNIO LÓGICO – MATEMÁTICO
►LÓGICA INTUITIVA (Estrutura lógica de relações...)
Neste capítulo, veremos alguns problemas que podem ser resolvidos
com um raciocínio lógico intuitivo, ou seja, um raciocínio que não exige o
conhecimento dos símbolos e das regras da lógica simbólica (ou lógica
matemática). Chamaremos esses problemas de questões de lógica intuitiva.
Para ajudar na solução dessas questões daremos duas “dicas“ gerais.
1ª dica) Escrever todas as possibilidades lógicas da questão e analisar uma
por uma, utilizando
o significado do ou exclusivo para eliminar as
possibilidades que contrariam as hipóteses do enunciado (contradições).
Exemplo 1
(ESAF) Três amigas,Tânia,Janete e Angélica,estão sentadas lado a lado em
um teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e
Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: ”Tânia é
quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”.
Finalmente,a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no
meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que
está sentada à direita, são, respectivamente,
a) Janete,Tânia e Angélica
b) Janete,Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica,Tânia e Janete
e) Tânia,Angélica e Janete
Solução:
Vamos descobrir a posição da Tânia (que sempre fala a verdade).
Temos 3 possibilidades: Tânia está à esquerda, ou no meio ou à direita.
Analisamos a seguir, cada uma das possibilidades:
1°) Tânia não está sentada à esquerda, pois a que está sentada à esquerda
disse:” Tânia é quem está sentada no meio” (Tânia não mente! );
2°) Tânia também não está sentada no meio, pois a que está sentada no meio
disse “Eu sou Janete” (Tânia não mente!) ;
Logo, Tânia está sentada à direita. Como a que está sentada à direita ( que é
a Tânia) disse “Angélica é quem está sentada no meio” , Angélica está
sentada no meio realmente e Janete (que sobrou) está sentada à esquerda.
Assim, a resposta correta é (b) .
Exemplo 2
(CESPE) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo
de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre
quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: “Sou inocente”
Celso: “Edu é o culpado”
Edu: “Tarso é o culpado”
Juarez: “Armando disse a verdade”
Tarso: “Celso mentiu”
67
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Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros
disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é :
a)Armando
b)Celso
c)Edu
d)Juarez
e)Tarso
Solução: Ou Celso mentiu ou Edu mentiu, pois só há 1 culpado. Os demais, ou
seja, Armando, Juarez e Tarso disseram a verdade. Então, de acordo com
Tarso, Celso mentiu, donde se conclui que Edu falou a verdade, ou seja,
Tarso é o culpado.
Resp.: e
Exemplo 3 (CESPE)
No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica
Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm
como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte
desafio inspirado nos enigmas de Smullyan.
“Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira
pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando
carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a
segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando
carrega a ficha preta, fala somente verdades.”
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor “e a segunda
pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a
segunda pessoa está dizendo a verdade.
Resp.: Certo
2ª dica) Fazer uma pergunta chave do tipo “você é mentiroso ?”, “ você
fala a verdade ? “ , “você é culpado?”, etc.
Nos exemplos 1 e 2 que seguem, suponhamos que A e B são duas pessoas
que sempre falam a verdade ou sempre mentem.
Exemplo 1) A perguntou a B: você é mentiroso? B repondeu “clug”. O que
significa “clug” ?
Deduzimos que “clug” significa “não “. De fato:
- se B fala a verdade, B disse “não”;
- se B é mentiroso, B também disse “não”.
Logo, sabemos que B respondeu “não”, mesmo sem saber se B fala a verdade
ou é mentiroso.
Exemplo 2) A perguntou a B: você fala a verdade? B respondeu “plug”.
O que significa “plug” ?
Podemos deduzir que “plug” significa “sim”. De fato:
- se B fala a verdade, B disse “sim”;
- se B é mentiroso, B também disse “sim”.
Descobrimos então, que B disse “sim”, mesmo sem saber se B fala a verdade
ou é mentiroso.
68
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Resumo
Se perguntarmos a uma pessoa que sempre fala a verdade ou sempre mente
1º) Você é mentiroso? A resposta será sempre NÃO;
2º) Você fala a verdade? A resposta será sempre SIM.
Exemplo 3 (ESAF) Uma empresa possui andróides de dois tipos: os de tipo V,
que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing,
um especialista em Inteligência artificial, está examinando um grupo de cinco
andróides rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon, fabricados por essa
empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a
Alfa: “Você é do tipo M ? “ Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a
resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “ Alfa respondeu que sim “.
Gama: “ Beta está mentindo” .
Delta: “ Gama está mentindo” .
Épsilon: “ Alfa é do tipo M “.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, o Dr. Turing pôde, então,
concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era
igual a :
a) 1
b) 2
c)3
d) 4
e) 5
Solução:
1º) Ou Alfa é do tipo V ou Alfa é do tipo M. Se ele for do tipo V, respondeu
NÃO. Se for do tipo M, também respondeu NÃO.
2º) Analisando as declarações dos demais andróides e não squecendo que
Alfa respondeu NÃO, deduzimos que:
Beta é do tipo M, Gama é do tipo V (1º do tipo V), Delta é do tipo M. E Épsilon
será do tipo V se Alfa for do tipo M e do tipo M se Alfa for do tipo V. Em
qualquer um dos casos, teremos 2 andróides do tipo V: Gama (1º) e Épsilon
ou Alfa (um deles será o 2º do tipo V).
Resp.: b.
EXERCICIOS
01.(ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente
nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza,
um outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é
o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da
Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente,
a) cinza, verde e azul
b) azul, cinza e verde
c) azul, verde e cinza
d) cinza, azul e verde
e) verde, azul e cinza
Resp.: d
02.(ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma
rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de
estimação de raças diferentes e cores também diferentes. Sabe-se que o cão
mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem
um animal de duas cores: branco e laranja; a cobra vive na casa do meio.
69
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Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:
a) cão, cobra, calopsita.
b) cão, calopsita , cobra.
c) calopsita, cão, cobra.
d) calopsita, cobra, cão.
e) cobra, cão, calopsita.
Resp.: a
03.(FUNDATEC) Ana, Bia e Carla têm, cada uma, um único animal de
estimação. Uma delas tem um cachorro, outra tem um gato e a terceira, um
jabuti. Sabe-se que:
- Ana não é a dona do cachorro;
- Carla é a dona do gato.
Com base nas informações acima, é correto afirmar que:
a) Ana é dona do gato
b) Ana é dona do jabuti
c) Bia não é dona do cachorro
d) Bia é dona do jabuti
e) Carla é dona do cachorro
Resp.: b
04. (ESAF)- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos
carros é branco, o outro é preto , e o outro é azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol é
branco, ou o Fiesta é branco; 2)ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3)ou
o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4)ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é
preto.
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
Resp.: e
05. (ESAF)- Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é
professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou
Renato é médico; 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou
Renato é músico ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor ou
Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato
são, respectivamente,
a) professor, médico, músico
b) médico, professor, músico
c) professor, músico, médico
d) músico, médico, professor
e) médico, músico, professor
Resp.: e
70
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06.(ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Denis obtiveram os quatro
primeiros lugares em um concurso de oratória, julgado por uma comissão de
três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas
colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa.
Juiz 1: ”André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.
Juiz 2: “André foi o segundo; Denis foi o terceiro”.
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Denis foi o quarto”.
Sabendo que não houve empates,o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto
colocados foram, respectivamente,
a) André, Caio, Beto , Denis
b) Beto, André, Caio, Denis
c) Beto, André, Denis, Caio
d) André, Caio, Denis, Beto
e) Caio, Beto, Denis, André
Resp.: d
09.(ESAF) Três amigos –Luís, Marcos e Nestor- são casados com Teresa,
Regina e Sandra(não necessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os
nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:
Nestor: “Marcos é casado com Teresa”
Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”
Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra”
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a
verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são,
respectivamente:
a)Sandra, Tereza, Regina
b)Sandra, Regina, Teresa
c)Regina, Sandra, Teresa
d)Teresa, Regina, Sandra
e)Teresa, Sandra, Regina
Resp.: d
07. (ESAF) Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas
de verde, azul e rosa. Em cada uma das três salas encontra-se uma e somente
uma pessoa. Em uma delas encontra-se Luís; em outra, encontra-se Carla; em
outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma
inscrição, a saber:
Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”
Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”
Sala rosa: “Luís está aqui”.
Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser
verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla
se encontra é falsa, e que a inscrição na porta da sala em que Diana se
encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana conclui corretamente que
nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente,
a) Diana, Luís, Carla
b) Luís, Diana, Carla
c) Diana, Carla, Luís
d) Carla, Diana, Luís
e) Luís, Carla, Diana
Resp.: c
71
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►USO DAS FUNÇÕES INTELECTUAIS
Na resolução dos exercícios apresentados a seguir são utilizadas as funções
intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio sequencial, raciocínio
matemático, orientação espacial, formação de conceitos e discriminação
de elementos.
01. Resolva mentalmente as equações seguintes: a)
Resp.: a) x = 26
b) x = 3
27
=1
x +1
b)
6
=1
x+3
02. AMOR está para ROMA, assim como 5232 está para
a) 2523
b) 3252
c) 2325
d) 3225
e) 5223
Resp.: c
03. REFRIGERANTE está para GARRAFA, assim como CARTA está para
a) selo
b) caneta
c) livro
d) correio
e) envelope
Resp.: e
04. Qual dos cinco objetos abaixo se parece menos com os outros quatro?
a) bolsa
b) meia
c) calça
d) sapato
e) vestido
Resp.: a
05. Qual das cinco letras se parece menos com as outras quatro?
a) A
b) E
c) F
d) N
e) Z
Resp.: b
06.(FCC) Note que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a
palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda segundo um
determinado critério.
acatei - teia
assumir - iras
moradia - ?
72
Raciocínio Lógico-Matemático
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Se o mesmo critério for usado para completar a terceira linha, a palavra que
substituirá corretamente o ponto de interrogação é
a) amor
b) adia
c) ramo
d) rima
e) mora
Resp.: a
07. (FCC) Esta sequência de palavras segue uma lógica:
- Pá
- Xale
- Japeri
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequência poderia ser
a) Casa
b) Anseio
c) Urubu
d) Café
e) Sua
Resp.: b
08. Determine os valores de x e y nas sequências a seguir:
a) 3, 6, 10, 15, 21, 28, x
b) 0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, x
c) 1, 8, 27, 64, x, y
Resp.: a)36
b)196
c)125 e 216
09. Determine o valor de x nas sequências a seguir:
a) 16, 15, 13, 12, 10, 9, x,...
b) 3, 8, 5, 10, 7, x,...
c) 10, 8, 16, 13, 39, 35, x,...
d) 30, 15, 45, 15, 60, x,...
e) 4, 7, 9, 11, 14, 15, 19, x,...
f ) 0, 3, 8, 15, x,...
Resp.: a)7
b)12
c)140
d)15
e)19
f)24
10. Determine o próximo termo da sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
Resp.: 34
11.(FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13,...)
obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos
dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre
a) 70 e 90
b) 90 e 110
c) 110 e 130
d) 130 e 150
e) 150 e 170
Solução:
A lei de formação da sequência é composta por duas leis aplicadas
alternadamente, que são “mais um” e “vezes três”. De fato, observe:
1º termo: 0
2º termo: 0+1=1
73
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3º termo: 1 × 3=3
4º termo: 3+1=4
5º termo: 4 × 3=12, e assim por diante.
Escrevendo os dez primeiros termos da sequência, teremos:
0, 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, 120, 121,... e a soma do oitavo com o décimo
termos é
40 + 121 = 161.
Resp.: e
12. (CESGRANRIO)
a1 = 2

a 2 = 3
a = a − a
n −1
n−2
 n
Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima?
a) 2
b) 1
c) -1
d) -2
e) -3
Resp.: d
13.(CESGRANRIO) Complete a série: B, D, G, L, Q, ...
a) R
b) T
c) V
d) X
e) Z
Resp.: d
14.(CESGRANRIO)
82
81
b)
90
100
Resp. : b
a)
1 16 25 64 ...
, ,
,
,
4 9 36 49 ...
c)
100
72
d)
99
72
e)
100
81
15. Determine o próximo termo da sequência C3, 6G, M10, ...
Resp.: 15S
16. (FUNRIO) O N-ésimo termo da sucessão (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...) é
representado por AN, sendo N um número inteiro maior do que zero. O valor de
(A50 - A48) é:
a) 4804
b) 5101
c) 5000
d) 4901
e) 5225
Resp.: d
17. O próximo termo da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é
a) 20
b) 24
c) 32
d) 120
e) 200
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Solução: todos os números da sequência dada começam com a letra “D”. O
próximo número seria “Duzentos”.
Resp.: e
18.(CESGRANRIO) Em um edifício de apartamentos, exatamente 1/3 dos
apartamentos são de três dormitórios e, exatamente 1/7 dos apartamentos
de três dormitórios são apartamentos de frente. Um valor possível para o
número total de apartamentos do edifício é
a) 42
b) 50
c) 51
d) 56
e) 57
Solução: como 1/3 e 1/7 dos apartamentos devem ser números inteiros, o
número total de apartamentos deve ser múltiplo de 3 e de 7. A única
alternativa na qual isso ocorre é a alternativa a.
Resp.: a
19.(FCC) Considere os seguintes pares de números:
(3,10)
(1,8)
(5,12)
(2,9)
(4,10)
Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único
par que não apresenta tal característica é
a) (3,10)
Resp.: e
b) (1, 8)
c) (5,12)
d) (2, 9)
e) (4,10)
20.(FCC) Considere os conjuntos de números :
8 3
10 2
7 3
25
64
x
Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas
operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número
abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é
a) 9
b) 16
c) 20
d) 36
e) 40
21.(ESAF) Uma pessoa ao fazer um cheque inverteu o algarismo das dezenas
com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de $ 270. Sabese que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2. O algarismo,
no cheque, que está na casa das dezenas é?
Solução:
1º) A pessoa pensou em escrever um número do tipo cdu (centenas,
dezenas, unidades). Como c está para d assim como 1 está para 2, ou seja,
d=2c, temos as seguintes possibilidades ( tomamos u=0, já que u é um
algarismo qualquer de 0 a 9):
120,
240,
360,
ou 480.
2º)Mas a pessoa escreveu no cheque o número dcu, ou seja, escreveu no
cheque um dos números seguintes:
75
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210,
420,
630, ou 840.
Como dcu = cdu+270, vemos que o número que está no cheque é 630 e, o
algarismo da casa das dezenas é 3.
Resp.: 3
22.(FCC) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três
algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos
algarismos de N é
a) 11
b) 13
c) 14
d) 16
e) 18
Solução: seja abc o número N. Como abc . 9 = X.824 , então X.824 é
divisível por 9, ou seja, X+8+2+4 = X+14 é divisível por 9 (pelo critério de
divisibilidade por 9). Como o primeiro número divisível por 9, após o 14, é
18, concluímos que X=4. Logo, abc . 9 = 4.824 e daí , abc = 4.824 : 9 =
536, isto é, N=536 e 5+3+6= 14.
Resp.: c
23. (FCC) O esquema abaixo apresenta a subtração de dois números inteiros e
maiores que 1 000, em que alguns algarismos foram substituídos por letras.
A 1 5 B
-2 C D 3
4 2 1 8
Se a diferença indicada é correta, os valores A, B, C e D são tais que
a) D<A<B<C
b) A<B<C<D
c) B<A<D<C
d) B<D<A<C
e) D<A<C<B
Resp.: d
24.(FCC) Um painel circular contém 48 lâmpadas na sua moldura, numeradas
em ordem crescente. Quando o painel é ligado, são acesas as lâmpadas de
números 1, 5, 9, 13, ..., 45. Na seqüência, a cada segundo, apagam-se as
lâmpadas acesas e acendem-se as lâmpadas seguintes a elas. Se o painel for
ligado às 19h30min, às 20h10s estarão acesas as lâmpadas
a) 1, 5, 9, 13, ..., 45
b) 2, 6, 10, 14, ..., 46
c) 3, 7, 11, 15, ..., 47
d) 4, 8, 12, 16, ..., 48
e) 5, 10, 15, 20, ..., 45
Resp.: c
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25.(FCC) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número
natural em que todos os algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de
Né
a) 27
b) 29
c) 33
d) 37
e) 45
1111...11111
Solução: como Nx9 = 1111...11111, então N =
= 12345679 e
9
1+2+3+4+5+6+7+9 = 37.
Resp.: d
26. (FCC) Um técnico, responsável pela montagem de um livro, observou que,
na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número
de páginas desse livro era
a) 137
b) 139
c) 141
d) 143
e) 146
Solução: pelas alternativas dadas para a resposta, vemos que o livro tem no
máximo 146 páginas. Então, podemos seguir o seguinte raciocínio:
1) Nas páginas de 1 a 9 temos: 9 páginas, cada uma com 1
algarismo, ou seja, temos 9.1 = 9 algarismos;
2) Nas páginas de 10 a 99 temos: 90 páginas, cada uma com 2
algarismos, ou seja, temos 90.2 = 180 algarismos;
3) Nas páginas de 100 até o final do livro temos: p páginas, cada
uma com 3 algarismos, ou seja, temos p .3 = 3p algarismos.
Como 9 + 180 + 3p = 321, obtemos p = 44 páginas . O número total de páginas
do livro será: 9 + 90 + 44 = 143 páginas.
Resp.: d
27.(ESAF) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela
encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três
vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O
número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado
ao menos duas blusas da mesma cor é
a) 6
b) 4
c) 2
d) 8
e) 10
Solução:
Temos 5 cores de blusas: Azul, Amarela, Preta, Verde e Vermelha.
Ora, para Ana pegar pelo menos duas blusas da mesma cor, ela deve pegar
no mínimo 6 blusas.
Resp.: a
77
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“ Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da
semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que
freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras
e falava a verdade nos demais dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas,
sextas e sábados e falava a verdade nos demais dias da semana” .
Com base no texto acima, resolva a questão seguinte.
28. Um dia, Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa e o Lobo Mau
descansando à sombra de uma árvore e perguntou-lhes qual era o dia da
semana. Eles responderam:
Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
A partir dessas respostas, Chapeuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da
semana. Qual era o dia da semana?
Solução:
Na tabela a seguir, resumimos as respostas da Raposa e do Lobo Mau
2ª 3ª 4ª 5ª 6 Sáb Dom
Raposa M M M V V V
V
Lobo Mau V V V M M M
V
Analisando a tabela acima, vemos que:
de acordo com a Raposa poderia ser 2ª ou 5ª;
de acordo com o Lobo Mau poderia ser 5ª ou dom.
O dia comum, 5ª feira, é a resposta.
Resp.: 5ª feira.
29.(ESAF) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo
dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos
castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia,
consideradas as idades em números de anos completados, são iguais a
números primos. Segue-se que a idade de Ana - a filha de olhos azuis -, em
número de anos completados, é igual
a) à idade de Júlia mais 7 anos
b) ao triplo da idade de Júlia
c) à idade de Júlia mais 5 anos
d) ao dobro da idade de Júlia
e) à idade de Júlia mais 11 anos
Resp.: d
30.(FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada
eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o
número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o
número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores
votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato
foi
- 22 para A
- 18 para B
- 20 para C.
78
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Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15
Solução:
1) Soma dos números atribuídos por cada pessoa= 1 + 2 + 3 = 6
2) Soma dos números atribuídos por todas as pessoas= 22 + 18 + 20 = 60.
3) Número de pessoas = 60 / 6 = 10.
Resp.: c
31. O valor de x em
4 6 3 8
2 8 4 4
6 5 x 10
é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução:
Os produtos dos números das duas primeiras colunas são iguais aos
produtos dos números das duas últimas colunas, ou seja: 4.6=3.8, 2.8=4.4,
6.5=10.x
Da última igualdade, 30 = 10x tiramos x= 3.
Resp.: c
32.(FCC) Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e,
certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se
que :
- os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;
37
- ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos
do dia e
96
trabalharam juntos ininterruptamente até concluí-la;
- Floriano gastou 1hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de
seu lote;
- Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de
Peixoto foi 60% da de Floriano.
- Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às
a)
b)
c)
d)
e)
11 horas e 15 minutos.
11 horas e 20 minutos.
11 horas e 50 minutos.
12 horas e 10 minutos.
12 horas e 25 minutos.
Solução:
37
37
× 24 =
h = 9h15min ( ou 555 min );
96
4
2º) Tempo gasto por Peixoto para realizar sua tarefa:
Cap.Operacional 100 (Floriano).........105 min
Cap.Operacional 60 (Peixoto)............x min
Como as grandezas são inversamente proporcionais ( GIP), escrevemos
100
x
=
⇒ x = 175 min ( ou 2h 55min );
60 105
1º) Início das tarefas:
79
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3º) 9h 15min + 2h 55min = 12h 10 min (ou 555min + 175 min= 730 min=
12h10min).
Resp.: d
33.(FCC) Sabe-se que um número X é diretamente proporcional a um número
Y e que, quando X=8, tem-se Y=24. Assim, quando X = 5/6, o valor de Y é
a) 1/3
b) 2/3
c) 3/2
d) 5/3
e) 5/2
Resp.: e
34.(FCC) Considere a seguinte sucessão de multiplicações :
5 x 5 = 25
35 x 35 = 1 225
335 x 335 = 112 225
3 335 x 3 335 = 11 122 225
A análise dos produtos obtidos em cada linha permite que se conclua
corretamente que, efetuando 33 333 335 x 33 333 335, obtém-se um número
cuja soma dos algarismos é igual a
a) 28
b) 29
c) 31
d) 34
e) 35
Resp. a
35.(UNICAMP) Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 larguem juntos num
determinado circuito e completem, respectivamente, cada volta em 72 s e 75 s
pergunta-se: quantas voltas (contadas a partir da largada) terá dado o piloto
mais rápido quando ele estiver
a) uma volta na frente do outro?
b) duas voltas na frente do outro?
Resp.: a) 25
b) 50
36.(FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em uma
estrada, um em direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km.
Se a velocidade de um deles é de 105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após
quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa estrada?
a) 1 hora e 40 minutos
b) 1 hora e 55 minutos
c) 2 horas
d) 2 horas e 20 minutos
e) 2 horas e 24 minutos
Solução:
d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro;
d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro.
Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos:
d1= 105t e d2= 95t.
80
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Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t=
Resp.: e
12
h ou 2h24min.
5
37.(ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade
constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e
voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros
por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas, que o avião YPS , após sua
decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas
b) x / (y-x) horas
c) 1 / 2x horas
d) 1 / 2y horas
e) x / 2(y-x) horas
Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O
avião YPS levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro
( pois XIS decolou meia hora antes de YPS).
Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida
1
x
por XIS em t+1/2 horas, teremos: yt = x(t + ) ⇒ yt = xt+ ⇒.......................
2
2
.............⇒ (y-x)t =
x
x
⇒ t=
horas.
2
2( y − x )
Resp. : e
38.(ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma
altura são acesas simultaneamente. Suponha que:
- as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas
totalmente;
- ambas as velas queimam em velocidades constantes;
- uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4
horas.
Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a
altura de uma vela será o dobro da altura da outra?
a) 2 horas e minutos
b) 2 horas e 30 minutos
c) 3 horas e 10 minutos
d) 3 horas e 20 minutos
e) 3 horas e 30 minutos
Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas.
Para simplificar, tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento).
Então:
1) Após 1 h:
1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 1-1/5 = 4/5;
2ª vela: queimou 1/4 de H= 1/4 e sua altura será 1-1/4 = 3/4.
81
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2) Após t horas:
5−t
;
5
4−t
2ª vela queimou t/4 de h = t/4 e sua altura será 1 – t/4 =
.
4
10
5−t
4−t
Fazendo-se
h, ou seja, t = 3h20min.
= 2
 obteremos t =
5
3
 4 
39. (ESAF) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual
aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é
substituído por 2x+1.
Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x-1. Se, no
visor, está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter,
apertando-se qualquer sequência das teclas A e B, é:
a) 87
b) 95
c) 92
d) 85
e) 96
1ª vela queimou t/5 de H= t/5 e sua altura será 1 – t/5 =
Solução
Apertando a tecla A, sucessivamente, obteremos os seguintes valores:
11, 23, 47, 95, 191,... e vemos que o maior número de dois algarismos (95)
aparece na quarta vez em que apertamos a tecla A;
Apertando a tecla B, sucessivamente, obteremos os seguintes valores:
14, 41, 122,... e vemos que o maior número de dois algarismos (41) aparece na
segunda vez em que apertamos a tecla B.
Logo, o maior número de dois algarismos que se pode obter,é 95, que aparece
na quarta vez em que apertamos a tecla A.
Resp.: b
40. (ESAF) O número x tem três algarismos. O produto dos algarismos de x é
126 e a soma dos dois últimos algarismos de x é 11. O algarismo das centenas
de x é
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9
Resp. : d
P.M.S.
41.(FCC) Uma propriedade comum caracteriza o conjunto de palavras
seguintes:
MARCA - BARBUDO – CRUCIAL – ADIDO – FRENTE - ?
De acordo com tal propriedade, a palavra que, em sequência, substituiria
corretamente o ponto de interrogação é
a) FOFURA
b) DESDITA
c) GIGANTE
d) HULHA
e) ILIBADO
Resp.: a
82
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42. Um mercador dispunha de 8 pérolas iguais, na forma, no tamanho e na cor.
Dessas 8 pérolas, sete tinham o mesmo peso; a oitava, entretanto, era um
pouco mais leve que as outras. Como poderia o mercador descobrir a pérola
mais leve, com segurança, efetuando apenas duas pesagens (com a sua velha
balança de 2 pratos)?
43. (FCC) Dado um número inteiro e positivo N, chama-se persistência de N a
quantidade de etapas que são necessárias para que, através de uma
sequência de operações preestabelecidas efetuadas a partir de N, seja obtido
um número de apenas um dígito. O exemplo seguinte mostra que a
persistência do número 7 191 é 3:
7191
7x1x9x1
63
6x3
18
1x8
8
Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a
persistência do número 8 464 é
a) menor que 4
b) 4
c) 5
d) 6
e) maior que 6
Resp.: c
44. Um lógico queria saber as idades dos três filhos de uma enigmática
senhora. Ela disse: vou lhe dar apenas 3 pistas.
1ª) O produto de suas idades é 36.
-Ainda não é possível saber, disse o lógico.
2ª) A soma das idades é igual ao número da casa aí em frente.
-Ainda não descobri, falou o lógico.
3ª) O filho mais velho toca piano.
-Agora já sei, afirmou o lógico.
Qual é a idade dos três filhos?
Resp.: 2 anos, 2 anos e 9 anos.
45. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a
seguinte proposta: se você disser uma mentira , será queimado. Se disser uma
verdade, será afogado. De que maneira você prefere morrer?
A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo.
Qual foi a resposta do matemático?
a) Jamais morrerei.
b) Morrerei afogado.
c) Morrerei queimado.
d) Morrerei enforcado.
e) Vocês são mesmo uns canibais !
Resp.: c
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46. Um caracol indeciso começa a escalar um muro de 3m de altura. De dia,
ele sobe 30 cm, mas, à noite, cheio de dúvidas, ele desce 20 cm. Quantos dias
levará o caracol para chegar em cima do muro?
a) 31
b) 30
c) 29
d) 28
e) 27
Resp.: d
47. (FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única
sobre uma mesa. Sabe-se que:
- os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7;
- a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6;
- os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais.
Sendo verdadeiras as 3 afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha,
mais afastada da mesa
a) necessariamente tem um número de pontos ímpar;
b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par;
c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for [impar;
d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par;
e) necessariamente tem um número par de pontos.
Resp.: b
48. (FCC) Considere que os números dispostos em cada linha e em cada
coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer determinado padrão.
7 9 2
10 ? 5
3 ? 3
Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é
a)
14
7
b)
13
9
c)
15
7
d)
16
9
e)
15
6
Resp.: e
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