Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN
Os números naturais surgiram da necessidade de contar objetos. Por isso, às vezes são
chamados de números de contagem. Representa-se o conjunto dos números naturais por IN.
IN = {0, 1, 2, 3, ...}
IN* = IN – {0} = {1, 2, 3, ...}
Números Naturais
I – Pares = {0, 2, 4, 6, ...} = {x ∈ IN| x = 2n e n ∈ IN}
II – Ímpares = {1, 3, 5, 7, ...} = {x ∈ IN| x = 2n +1e n ∈ IN}
III – Primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Um número natural é primo quando admite somente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo.
ATENÇÃO!
O único natural primo e par é o número 2.
Operações Fundamentais em IN:
– Adição e sua inversa, Subtração;
– Multiplicação e sua inversa, Divisão;
– Potenciação e sua inversa, Radiciação.
I – Adição
Propriedades estruturais da Adição em IN
a) Comutativa: a + b = b + a
b) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
c) Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a
II – Multiplicação
Propriedades estruturais da multiplicação em N
a) Comutativa
:a.b=b.a
b) Associativa
: (a . b). c = a . (b . c)
c) Elementos neutro
:a.1=1.a=a
d) Distributiva a (b + c) = ab + ac e a (b - c) = ab - ac
O zero na multiplicação é o fator anulador do produto:
a . b = 0 se a = 0 ou b = 0
1
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
III - Divisão
A operação divisão é usada quando a meta é repartir uma quantidade em partes iguais
ou quando deseja-se saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra quantidade.
D ∈ IN (dividendo)
d ∈ IN* (divisor)
q ∈ IN (quociente)
r ∈ IN (resto)
• Se r = 0 ⇒ Divisão exata (q ∈ IN)
d é divisor de D ou D é múltiplo de d, isto é D = q . d
• Se r ≠ 0 ⇒ Divisão não exata e neste caso q ∉ IN
É bom lembrar que, se r ≠ 0, o maior valor do resto r é uma unidade a menos que o
valor do divisor.
IV - Potenciação
an = a1.a4.a2.a.a4....
3a
n vezes
Importante:
Propriedades estruturais da potenciação em IN
a) am . ap = am + p
b) am : ap = am – p (m ≥ p)
c) (a . b)m = am . bm
d) (am)p = am . p
2
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Expressões Numéricas em IN
Uma sequência de operações matemáticas é uma expressão numérica.
Para resolver segue-se uma prioridade de símbolos (parênteses, colchetes e chaves) e de
operações.
1º Potenciações
2º Multiplicações ou divisões, obedecendo a ordem em que aparecem, da esquerda para
a direita.
3º Adições e subtrações, obedecendo a ordem em que aparecem, da esquerda para a
direita.
4º Se houver parênteses, colchetes e chaves, a simplificação começa pelas expressões
contidas no interior de cada sinal de associação, a partir do mais interno, estando um dentro
do outro.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos. Determine, o número de vezes que
essa torneira goteja em uma hora.
Solução:
1h = 3600s e 3600 : 20 = 180
180 x 7 = 1260
Resposta: 1260 vezes
[ (
)]
[ (
)
] (
)
02) Determine o valor de 53 − 102 + 42 ÷ 32 + 25 ÷ 82 − 2 ⋅ 24 + 20 − 16 + 60 ÷ 21 .
Solução:
[125 – (100 + 16)] : 9 + [32 : ( 64 – 48) + 1] – (1 + 1) : 2 =
[125 – 116] : 9 + [32 : 16 + 1] – 2 : 2 =
9 : 9 + [2 + 1] – 1 =
1+3–1=3
03) Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeição: a comum e a especial. A
refeição comum custa R$ 4,00. Num certo dia, foram servidas 32 refeições comuns e 14
refeições especiais. Nesse dia o restaurante arrecadou R$ 226,00. Calcule o preço da
refeição especial.
Solução:
32 × R$ 4,00 = R$ 128,00
3
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
R$ 226,00 – R$ 128,00 = R$ 98,00
R$ 98,00 : 14 = 7
Resposta: R$ 7,00 cada refeição especial.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Determine o valor da expressão.
[(52 – 2 × 32)2 + (25 : 5)3 – (39 : 3)2]2 : (82 – 7 × 32)5
Resp) 25
02) Calcule o valor da expressão:
(43 + 42 + 4) : 7 + [2 . (3 + 32 + 33) – (62 + 42) : 13] : 37
Resp) 14
03) Determine a metade de 220.
Resp) 219
04) Um determinado medicamento deve ser administrado a um doente três vezes ao dia, em
dose de 5 mililitros cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100 mililitros do
medicamento, quantos frascos são necessários?
Resp) 2 frascos
TESTES
01) Numa adição de três parcelas, a primeira é 1268, a segunda tem 936 unidades a mais
que a primeira e a terceira tem 195 unidades a menos que a segunda.
A soma das três parcelas é:
a) 2204
b) 2009
c) 4018
d) 5481
4
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
14
4
02) A metade do número 3 – 27 é igual a:
2
a) 2 × 3
12
12
b) 3 × 27
7
2
4
14
c) 3 – 27
d) 2 × 3
12
e) 3 × 27
2
2
03) A afirmação correta é:
a) O resto de uma divisão é sempre maior que o divisor.
b) O resto de uma divisão é sempre igual ao divisor.
c) O resto de uma divisão é sempre menor que o divisor.
d) O resto de uma divisão é sempre zero.
04) Sejam as afirmações
I) Numa divisão, o dividendo é igual ao divisor, que é 0; então, o quociente é igual a 1.
II)Qualquer número natural elevado a expoente zero é igual a 1.
III)Qualquer potência de expoente 1 é sempre igual a 1.
Associando-se V ou F a cada afirmação, obtemos
a) V, F, V
b) V, V, F
c) V, F, F
d) F, F, F
05) A calculadora de Pedro é bem diferente. Ela tem uma tecla T que triplica o número escrito
no visor, e uma tecla D que apaga o algarismo das dezenas do número no visor. Pedro digitou
145 e, em seguida, somou este número com 2000. Depois de obtido o resultado, apertou a tecla
D, depois a tecla T e, na sequência, duas vezes a tecla D e uma vez a tecla T. A soma dos
algarismos do número obtido é igual a:
a) 0
b) 6
c) 15
d) 45
e) 195
06) Numa divisão não exata, o divisor é 4, o quociente é 12 e o resto é o maior possível.
Então, o dividendo é
a) 48
b) 49
c) 50
d) 51
5
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
07) Numa divisão exata, o divisor é 6 e o quociente é 0. Então, o dividendo é
a) 0
b) 1
c) 6
d) 12
08) O produto de um número natural de três algarismos por 3 tem como resultado um
número terminado em 907. A soma dos valores absolutos dos algarismos desse número
natural de três algarismos vale:
a) 26
b) 25
c) 24
d) 18
e) 16
09) O número pelo qual devemos multiplicar a diferença entre 382 e 190 para obter o
número 4224, é:
a) 12
b) 22
c) 24
d) 32
10) Um número natural de três algarismos inicia-se com 6. Se esse primeiro algarismo for
colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a
menos que o original. A soma desses três algarismos é:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
11) O algarismo das unidades da potência do número 9999 é:
a) 0
b) 1
c) 3
d) 9
12) O número natural representado pela expressão (82 + 62) : 102 – (42 + 32) : 52 é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
6
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
13) Considerem-se todas as divisões em que os seus termos são naturais. O divisor é 253 e
o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é:
a) 124
b) 180
c) 200
d) 240
e) 252
14) Ao copiar um problema envolvendo multiplicação de dois números naturais, um aluno
cometeu um engano e escreveu um dos números como 54 ao invés de 45. Sua resposta
estava 198 unidades maior do que deveria ser. A resposta correta para o problema de
multiplicação é:
a) 405
b) 945
c) 990
d) 1188
Instrução: Leia o texto abaixo e responda às questões de 16 e 17.
“(...) Objetos inanimados também representavam o rei, em especial suas moedas, que
traziam sua imagem e por vezes, seu nome (o Louis de ouro valia cerca de 15 libras). No
mesmo caso estava o seu brasão e seu emblema pessoal, o sol. E também seu leito, ou a
mesa posta para sua refeição, mesmo que ele estivesse ausente. Era proibido, por exemplo,
portar chapéu na sala em que a mesa do rei estava posta. (...) Os soberanos eram ‘imagens
vivas’ de Deus, os ‘representantes da majestade divina’. (...)”
Fonte: BURKE, Peter. A fabricação do Rei. Rio de Janeiro: Jorge Zahar editor, 1994,
p.20 e 21.
Antigamente, os impostos eram cobrados por um súdito do rei, chamado de coletor de
impostos, que ia para a vila dos aldeões recolher as moedas de ouro. Para responder às
questões abaixo, suponha que a moeda vigente seja o Louis.
15) Supondo que o coletor de impostos deposite 6 moedas por minuto em uma caixa,
enchendo-a em 4 horas, quanto tempo levará, em horas, para encher a mesma caixa se
depositar 8 moedas por minuto?
a) 2,0
b) 2,4
c) 3,0
d) 5,3
7
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
16) Suponhamos que um coletor de impostos consiga, em uma tarde, coletar 600 moedas.
Destas, ele resolve doar 80 para um mendigo, que passava na rua. Chegando ao castelo,
ele conta ao rei o que havia feito. O rei acha o gesto nobre e resolve ficar com apenas
4/5 do que sobrou e dar o restante para o coletor de impostos. Então, o número de
moedas que o coletor ganhou foi
a) 104
b) 120
c) 416
d) 480
17) O valor da expressão {[14+(6 x 2³ – 5 x 5 + 2 x 7²) : 11] : 5²} – 1 é:
28
a) –
55
b) 0
c) 1
336
d)
25
18) Um número natural n foi divido por 12 e deu resto 5. A soma dos restos das divisões de
n por 4 e por 3 é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
19) Ana e Carlos são atletas profissionais que correm sempre a uma velocidade constante:
Ana corre 6km/h, enquanto Carlos corre 8km/h. Se Carlos corresse por 3 horas seguidas,
quanto tempo Ana deveria correr de modo a percorrer a mesma distância que Carlos?
a) 1h
b) 3h
c) 2h
d) 4h
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
D
A
C
C
B
6) D
7) A
8) C
9) B
10) B
11)
12)
13)
14)
15)
D
A
E
C
C
16)
17)
18)
19)
8
A
B
B
D
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Múltiplos e Divisores em IN
Conceito de Múltiplo e Divisor
Se b . k = a
b é divisor ou fator de a
K é divisor ou fator de a
a é múltiplo de b e de k.
I – Múltiplos
Dizemos que a é múltiplo de b se existe c natural tal que a = b.c.
Ex: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, ...}
Propriedades dos Múltiplos
– Todo número natural é múltiplo dele mesmo.
– 0 (zero) é múltiplo de todo número natural.
– Todo número natural é múltiplo de 1 (um).
– O conjunto dos múltiplos de um número (diferente de zero) é infinito.
II – Divisores
Dizemos que a é divisor de b se b é múltiplo de a.
Ex: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Propriedades dos Divisores
– Todo número natural diferente de zero é divisor dele mesmo.
– Todo número natural diferente de zero é divisor de zero.
– 1 (um) é divisor de qualquer número natural.
– O conjunto dos divisores de um número é finito.
Ex: Determine o conjunto dos divisores de 24, em IN.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6 , 8, 12, 24}
Ex: Determine o conjunto dos divisores primos de 24, em IN.
24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3 ⇒ {2,3}
III – Fatoração de Um Número Natural
Fatorar um número natural é decompor este número no produto de seus fatores primos.
9
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Ex: Fatorando o número 24, tem-se:
24 = 2 × 2 × 2 × 3 ou 24 = 23 × 3
Critérios de Divisibilidade em IN
• Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando terminar em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, isto é,
quando for par.
Exemplos:
126 é divisível por 2 (termina em 6).
460 é divisível por 2 (termina em 0).
943 não é divisível por 2 (termina em 3).
• Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos
for um número divisível por 3.
Exemplos:
147 é divisível por 3 (1 + 4 + 7 = 12 e 12 é divisível por 3).
648 é divisível por 3 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 é divisível por 3).
2 153 não é divisível por 3 (2 + 1 + 5 + 3 = 11 e 11 não é divisível por 3).
• Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando terminar em dois zeros ou quando o número
formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplos:
1 300 é divisível por 4 (termina em dois zeros).
624 é divisível por 4 (24 é divisível por 4).
738 não é divisível por 4 (38 não é divisível por 4).
• Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5, quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos:
320 é divisível por 5 (termina em 0).
765 é divisível por 5 (termina em 5).
623 não é divisível por 5 (não termina em 0 ou 5).
• Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo.
10
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Exemplos:
642 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo).
596 não é divisível por 6 (é divisível por 2, mas não por 3).
963 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não por 2).
• Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando terminar em três zeros ou quando o número
formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
3 000 é divisível por 8 (termina em três zeros).
1 672 é divisível por 8 (672 é divisível por 8).
2 516 não é divisível por 8 (516 não é divisível por 8).
• Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos
for um número divisível por 9.
Exemplos:
648 é divisível por 9 (6 + 4 + 8 = 18 e 18 é divisível por 9).
2 356 não é divisível por 9 (2 + 3 + 5 + 6 = 16 e 16 não é divisível por 9).
• Divisibilidade por 10, 100, 1 000 ...
Um número é divisível por 10, 100, 1 000 .... quando terminar em um zero, dois zeros,
três zeros, ..., respectivamente.
• Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos
dos algarismos de ordem ímpar e par for igual a zero ou for um número divisível por 11.
Exemplos:
1 892 é divisível por 11 (2 + 8 = 10 e 9 + 1 = 10 e 10 – 10 = 0).
8 371 é divisível por 11 (1 + 3 = 4 e 7 + 8 = 15 e 15 – 4 = 11).
6 247 não é divisível por 11 (7 + 2 = 9 e 4 + 6 = 10 e 10 – 9 = 1).
• Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4, ao mesmo tempo.
Exemplos:
528 é divisível por 12 (é divisível por 3 e por 4).
2 361 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não por 4).
11
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
• Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e por 5, ao mesmo tempo.
Exemplos:
1860 é divisível por 15 (é divisível por 3 e por 5).
365 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não por 3).
Divisores de Um Número Em IN
Técnicas para determinar:
• Conjunto dos divisores de um número natural.
Seja determinar todos os divisores de 180.
• Quantidade de divisores de um número natural não-nulo
O número de divisores de a é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos de a,
acrescidos de uma unidade.
Ex: Determine o número de divisores de 180.
180 = 22 × 32 × 51 ⇒ (2 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) =
3 × 3 × 2 = 18
O número 180 tem 18 divisores.
Máximo Divisor Comum (m.d.c.)
Conceito
a) Consideremos os conjuntos dos divisores dos números 20 e 30.
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
12
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
b) Os divisores comuns de 20 e 30 são: 1, 2, 5, 10
c) O maior divisor comum de 20 e 30 é 10.
Então, o número 10 é denominado máximo divisor comum de 20 e 30, e que
representamos por:
m.d.c. (20, 30) = 10
Logo, podemos dizer que:
Dados dois ou mais números, não nulos, denomina-se máximo divisor comum (m.d.c.)
desses números o maior dos seus divisores comuns.
Técnicas para o cálculo do m.d.c.
• Decomposição em fatores primos
1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos.
2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns, cada um deles com o menor expoente. O
produto assim obtido será o m.d.c. procurado.
Exemplo:
Seja determinar o m.d.c. (60,24)
60
30
15
5
1
2
2
3
5
24
12
6
3
1
2
2
2
3
60 = 22 . 3 . 5
24 = 23 . 3
m.d.c (60,24) = 22 . 3 = 4.3 = 12
• Divisões sucessivas (ou algorítmo de Euclides)
Divide-se o maior número pelo menor; a seguir, divide-se o menor pelo primeiro resto;
a seguir, divide-se o primeiro resto pelo segundo resto; e assim por diante, até obter-se uma
divisão exata.
O último divisor é o m.d.c. procurado.
13
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Exemplo:
Calcular m.d.c. (60, 24)
m.d.c. (60,24) = 12
Observação:
Para calcular o m.d.c. de 3 números, por exemplo, calcula-se o m.d.c. de 2 deles e
depois calcula-se o m.d.c. do terceiro número com o m.d.c. dos 2 números tomados
inicialmente.
Exemplo: Calcular o m.d.c. (52, 39, 65)
Logo, m.d.c. (52, 39, 65) = 13
• Propriedade
Dados dois ou mais números, se um deles for divisor comum dos outros dois, então esse
número será o m.d.c. dos números dados.
Exemplo:
Seja determinar m.d.c. (9, 18, 36)
Observa-se que 9 é divisor comum de 18 e 36.
14
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Números primos entre si
Exemplos:
Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c
entre eles é igual a 1
Logo:
16 e 9 são primos entre si.
32 e 25 são primos entre si.
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.)
Conceito
Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6.
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...}
Os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12, 24, 36, ...
O menor múltiplo comum de 4 e 6, diferente de zero, é 12.
Então, o número 12 é denominado mínimo múltiplo comum de 4 e 6, que representamos
por
m.m.c. (4, 6) = 12
Podemos dizer então que:
Dados dois ou mais números, diferentes de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum
(m.m.c.) desses números o menor de seus múltiplos comuns, diferente de zero.
15
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Técnicas para o cálculo do m.m.c.
• Podemos determinar o m.m.c. de dois ou mais números diferentes de zero por meio da
decomposição em fatores primos:
1º) Decompõe-se cada número em seus fatores primos.
2º) Calcula-se o produto dos fatores comuns e não comuns cada um deles elevado ao
maior expoente.
O produto assim obtido será o m.m.c., procurado.
Exemplo:
Calcular m.m.c. (60, 24)
m.m.c. (60, 24) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120
• De modo prático, as decomposições podem ser feitas simultaneamente, pois desta
maneira já se obtém os fatores comuns e não comuns com o maior expoente.
Exemplo:
Calcular o m.m.c. (60, 24)
m.m.c. (60, 24) = 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120
Propriedades
a) Dados dois ou mais números diferentes de zero, se um deles for múltiplo de todos os
outros, então esse número será o m.m.c. dos números dados.
16
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 6, 12)
b) Dados dois ou mais números que são primos entre si, então o m.m.c. entre eles será o
produto dos números dados.
Exemplo: Seja calcular o m.m.c. (4, 9)
Observa-se que 4 e 9 são números primos entre si.
RELAÇÃO ENTRE O M.M.C E M.D.C
O produto de dois números, diferentes de zero, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c.
dos mesmos números.
.
Exemplo: Sejam os números 60 e 24.
Temos:
• m.m.c. (60, 24) = 120
• m.d.c. (60, 24) = 12
a) O produto dos números dados: 60 x 24 = 1440
b) m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24) = 12 x 120 = 1440
Observamos que: 60 x 24 = m.d.c. (60, 24) x m.m.c. (60, 24)
• m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b) = a . b
(a ≠ 0 e b ≠ 0)
17
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Determine o maior elemento do conjunto
A = {x ∈ IN| x < 5000} que é divisível por 7.
Solução:
Resposta) 4998
02) Decompondo 240 em fatores primos obtém-se
2x.3y.5z
Determine o valor de x + y + z
Solução:
240 = 24.3.5 = 2x.3y.5z
⇓
x = 4, y = 1 e z = 1
Logo, x + y + z = 6
Resposta) 6
03) Se x é o número de divisores de 40, determine o valor de x2.
Solução:
40 = 23 × 5 ⇒ x = (3 + 1).(1 + 1) = 8
Se x = 8, então x2 = 64
Resposta) 64
04) Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e tamanho maior possível.
Se uma delas tem 196cm e a outra tem 140cm, determine a medida de cada pedaço e o número
de pedaços obtidos após essa operação
Solução:
Medida de cada pedaço m.d.c. (140, 196)
m.d.c. (140, 196) = 28cm
18
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
2º) 196 ÷ 28 = 7 pedaços e 140 ÷ 28 = 5 pedaços
Total de pedaços obtidos: 7 + 5 = 12 pedaços
Resposta) Cada pedaço mede 28cm e o total de pedaços é 12.
05) Um colecionador possui um número de moedas antigas compreendido entre 150 e 200.
Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Determine
o número de moedas desse colecionador.
Solução:
m.m.c. (12, 15, 36) = 180
180 + 10 = 190
Resposta) 190 moedas
06) Se o m.d.c. (a, 120) = 24 e m.m.c. (a, 120) = 480, determine o valor do número a.
Solução:
m.d.c. (a, 120). m.m.c. (a, 120) = a.120
Logo, 120a = 24 x 480
a = 96
Resposta) a = 96
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Sejam os números A = 23.52.7n e B = 23.52.75. Determine o menor valor de n para que A seja
divisível por B.
Resposta) n = 5
02) O número 2m.32 tem 15 divisores. Determine o valor de m.
Resposta) m = 4
03) Um terreno de forma retangular tem as dimensões de 24m de frente por 56m de fundo. Calcule
o valor da maior medida, em metros, de uma corda que sirva para medir exatamente as
dimensões desse terreno.
Resposta) 8m
04) Três fios têm comprimentos de 36 m, 48 m e 72 m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores,
cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros, e sem que haja perda
de material. Calcule o menor número total possível de pedaços.
Resposta) 13
19
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
05) Um certo planeta possui dois satélites naturais: lua A e lua B. O planeta gira em torno do sol e
os satélites em torno do planeta, de forma que o alinhamento sol-planeta-lua A ocorre a cada 18
anos, e o alinhamento sol-planeta-lua B ocorre a cada 48 anos. Se o ano em que estamos ocorrer
o alinhamento sol-planeta-lua A-lua B, determine daqui a quantos anos esse fenômeno se
repetirá.
Resposta) 144 anos.
TESTES
01) Sejam as afirmações:
I) Todo número que não é divisível por 2 é divisível por 3.
II) Todo número divisível por 9 é também divisível por 3.
III) Todo número que termina em 5 é divisível por 3.
São verdadeiras:
a) I e II.
c) somente a II.
b) I e III.
d) somente a III.
02) O m.d.c. dos números 23 . 32 . 5 e 2n . 34 . 7 é 36. O valor de n é:
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
03) Sendo A = 2 . 102 e B = 32 . 5, o m.m.c. de A e B é
a) 23 . 32 . 52
c) 32 . 52
2
b) 2 . 3 . 5
d) 23 . 32 . 5
04) O número 2n-1 . 34 . 5 tem 50 divisores. O valor de n é
a) 1
c) 3
b) 2
d) 5
05) Considere-se o número composto de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e
todos os demais são iguais a 2, isto é, o número 22222222 n. O menor valor de n a fim de que
este número seja divisível por 3 é
a) 0
c) 2
b) 1
d) 3
06) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 e por todos os divisores de 15. Então, o
conjunto A tem
a) 6 elementos
c) 8 elementos
b) 7 elementos
d) 9 elementos
07) Sabendo-se que a x b = 10 584 e que m.m.c. (a, b) = 504, então m.d.c. (a, b) é igual a
a) 21
c) 31
b) 26
d) 36
20
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
08) Seja A o conjunto dos múltiplos de 6 e seja B o conjunto dos múltiplos de 15. Então, A B é o
conjunto de todos os múltiplos de
a) 30
c) 60
b) 45
d) 90
09) O m.m.c. e o m.d.c. dos números 14 e 42 são, respectivamente
a) 7 e 42
c) 42 e 14
b) 42 e 7
d) 14 e 42
10) Duas peças de tecidos devem ser cortadas em pedaços de tamanhos iguais, sendo esse tamanho
o maior possível. Se uma peça mede 90 m e a outra 70 m, cada pedaço mede, em metros,
a) 10
c) 2
b) 5
d) 1
11) Um carro e uma moto partem juntos do ponto inicial de um autódromo. O carro percorre o
circuito em 210 segundos e a moto em 280 segundos. O carro e a moto passarão juntos
novamente no ponto inicial depois de
a) 360 segundos
c) 720 segundos
b) 480 segundos
d) 840 segundos
12) O produto de dois números naturais, a e b, é 25 × 33 e o m.d.c (a, b) = 22 × 3. Então, o
m.m.c.(a, b) é:
a) 6
c) 72
b) 64
d) 96
13) O número m = 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas.
Sabendo-se que m é divisível por 45, (a + b) é igual a:
a) 7
c) 16
b) 9
d) 18
14) Três cidades brasileiras A, B e C realizam grandes festas. Na cidade A, estas festas ocorrem de
15 em 15 meses; em B, de 8 em 8 meses; e, finalmente, em C, de 9 em 9 meses.
Se essas festas coincidiram em setembro de 1982, coincidirão novamente em setembro de:
a) 2018
b)1994
c) 2012
d) 2018
e) 2030
15) Das afirmativas abaixo, a única verdadeira é
a) o número 1 é primo
b) Se m = 24 . 3b .5, n = 23 . 32 e m é múltiplo de n, então b> 2
c) mdc(258,204) < 6
d) o número x = 74 . 132 . 19 tem 30 divisores
21
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
16) Para que o número n = 22 . 14x tenha 15 divisores, o valor de x deverá ser igual a:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
17) Sendo s e y inteiros positivos e primos entre si, pode-se afirmar que
a) 3y é múltiplo de 2x.
b) o m.d.c de 2x e 3y é 1.
c) O m.m.c de 2x e 3y é 6
d) O produto entre 2x e 3y é impar.
18) Em um treinamento da equipe de atletismo do COLTEC, três atletas correm em uma pista. Eles
partem ao mesmo tempo do ponto de largada e combinam parar de correr quando passarem juntos
novamente pela marca de largada.
Sabendo-se que o atleta A leva sempre 60 segundos, para dar uma volta na pista, que o atleta B,
para dar a mesma volta, sempre gasta 70 segundos, e o atleta C dá uma volta em 90 segundos.
Então, o número de voltas que o atleta mais rápido deu foi
A) 2.
B) 6.
C) 12.
D) 21.
19) Um subconjunto A de números naturais contém os dez menores múltiplos de 4, os oito menores
múltiplos de 6, os seis menores múltiplos de 12 e sete números ímpares. O número de elementos de
A é:
a) 23
b) 24
c) 25
d) 26
20) Se A e B são dois números naturais e primos entre se, então o mínimo comum entre A e B vale:
a) A
b) A x B
c) B
d) A + B
21) Numa loja de material elétrico, existem três rolos de fio, cujos comprimentos são 180 m, 240m
e 330m. Deseja-se recortar todo o fio em pedaços com o maior comprimento possível, sem deixar
sobrar. O número de pedaços obtido é
a) 20
b) 25
c) 30
d) 36
22
Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
22) Seja o número a = 83 41m, onde m é o algarismo das unidades. Sabendo-se que a é divisível
por 15, o valor de m é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
GABARITO
1) C
2) B
3) A
4) D
5) C
6) A
7) A
8) A
9) C
10) A
11) D
12) C
13) A
14) C
15) D
16) E
17) B
18) D
19) A
20) B
21) B
23