Fundamentos de Álgebra Moderna
Profª Ana Paula
Números racionais
ℕ = 1, 2, 3, … = conjunto dos números naturais
ℤ = 0, ±1, ±2, ±3, …  = conjunto dos números inteiros
p
ℚ = q /p ∈ ℤ e q ∈ ℤ ∗ = conjunto dos números racionais
Os números racionais positivos são conhecidos desde a antiguidade. O papiro de Ahmes,
datado de 1700 a.C., ilustra vários problemas envolvendo frações de números naturais. Após
a aceitação dos números inteiros negativos os matemáticos também passaram a considerar
frações de um número negativo.
De um modo geral, podemos dizer que um número x é um número racional se podemos
multiplicá-lo por algum número natural não-nulo e obter como resultado um número intiero.
Definição 1: Um número racional é um número que pode ser colocado na forma
p
irredutível de quociente de dois inteiros, isto é, na forma de q , onde p e q são inteiros primos
entre si e q é diferente de zero.
Exemplo: 5 = 51 = −10
, assim, 5 ∈ ℚ
−2
Propriedades:
1. Dois números racionais ab e dc são iguais se, e somente se, a × d = b × c.
2. Todo número racional pode ser representado na forma ab em que b é um número
natural diferente de zero.
Comparando dois números racionais
Para comparar dois números racionais, basta reduzi-los a um mesmo denominador. Pois,
dois números racionais que possuem o mesmo denominador são iguais se, e somente se, os
numeradores são iguais. Além disto, se dois números racionais possuem um mesmo
denominador (positivo), o maior entre eles será aquele que possuir o maior numerador.
a×d
c×b
De um modo geral, dados dois números racionais ab e dc temos ab = b×d
e dc = b×d
.
Logo, sempre é possivel reescrever dois números racionais usando um mesmo denominador.
Neste caso, o denominador, a ser obtido, será um múltiplo comum dos dois denominadores.
Observe que como b e d são diferentes de zero, então o mmcb, d é o menor número natural
diferente de zero que é múltiplo de b e de d, logo sempre é possível multiplicar o numerador e
o denominador de ab e, analogamente, de dc , por números inteiros, de forma que o
denominador das duas razões seja mmcb, d.
1
Ordenando os racionais
Se os números racionais ab e dc têm denominadores positivos, então o número racional
é maior do que o número racional dc se, e somente se, a × d é maior do que c × b.
a
> dc se, e somente se, a × d > c × b.
b
Exercício: Coloque os números racionais abaixo em ordem crescente:
−1 −2 2 3 87 11 100 −10
, 3 , 4 , 7 , 2 , 23 , 3 , 4
5
Operações aritméticas com números racionais
Definição 2: Dados dois números racionias
a
b
e
c
d
temos:
a
b
+
c
d
=
a×d+b×c
b×d
.
Propriedade: A soma de números racionais tem as seguintes propriedades:
1) Comutativa: ab + dc = dc + ab .
2) Associatividade: ab + dc + xy = ab + dc + xy .
3) Existência de elemento neutro: Para todo número racional ab , existe um número
racional 0, tal que ab + 0 = ab .
4) Existência de elemento oposto: Para cada número racional ab , existe um número
racional dc , tal que ab + dc = 0.
Definição 3: Dados dois números racionias
a
b
e
c
d
temos:
a
b
×
c
d
=
a×c
b×d
.
Propriedade: O produto de números racionais tem as seguintes propriedades:
1) Comutativa: ab × dc = dc × ab .
2) Associatividade: ab × dc × xy = ab × dc × xy .
3) Existência de elemento neutro: Para todo número racional ab , existe um número
racional 1, tal que ab × 1 = ab .
4) Existência de elemento oposto: Para cada número racional ab com a ≠ 0, existe um
número racional dc , tal que ab × dc = 1.
5) Distributiva da multiplicação em relação a adição:
a
c
×
+ xy = ab × dc + ab × xy .
b
d
Definição 4: A subtração de números racionais é definida a seguir:
a×d−b×c
a
+ − dc = ab − dc =
.
b
b×d
Definição 5: A divisão de um número racional ab por outro número racional
de zero, é definida a seguir:
a
÷ dc = ab × dc .
b
2
c
d
, diferente
a
b
OBS: Dizemos a adição e a multiplicação de números racionais são operações fechadas,
isto é:
- A soma de dois números racionais é um número racional
- O produto de dois números racionais é um número racional.
Representação decimal
Os números racionais podem gerar, quando se efetua a divisão de p por q, decimais
exatos (finitos), ou então, decimais infinitos porém periódicos, denominadas dízimas
periódicas.
Exemplos:
432
a) 1000
= 0, 432 é um número racional que pode ser expresso como um número decimal
finito, isto é, com uma quantidade finita de casas decimais.
b) 23 = 0, 666… = 0, 6 e 312
= 0, 936936936 = 0, 936 são números racionais que
333
correspondem a números decimais infinitos periódicos simples, onde os períodos são,
respectivamente, o 6 e a sequência de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica
simples.
c43
= 1, 4333… = 1, 4 3 é uma dizima periódica composta onde 1, 4 é o não-período
30
(anteperíodo) e 3 é o período.
Um número racional pode ser expresso como um número decimal finito quando em
alguma etapa do processo de divisão do numerador pelo denominador o resto é zero.
Um número racional pode ser expresso como um número decimal infinito e periódico
quando em nenhuma etapa do processo de divisão do numerador pelo denominador o resto é
zero.
Quando dividimos p por q só há um número finito de possibilidades para o resto. Este tem
que ser um dos números 1, 2, 3, … , q − 2 ou q − 1, pois o resto tem que ser um inteiro positivo
menor que o divisor q.
Como o processo de divisão vai ocorrer indefinidamente, podemos estar certos de que
haverá repetição do resto no decorrer do processo de divisão. Quando esta ocorrer, um novo
ciclo se inicia (resto e dígitos no quociente), e ai temos uma dízima períodica.
Nos exemplos acima, as frações são geratrizes de dízimas periódicas. Quer-se saber,
como, dado um número decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua geratriz.
A seguir apresentamos um artifício para encontrar um número racional que corresponde a
uma dízima.
Seja o número decimal periódico.
1) Primeiro verificamos qual a sequência de algarismos que se repete infinitamente.
Ex: 1, 32222222. . . . . . . .
2) Contamos quantos algarismos têm na sequência que se repete.
Ex: 1, 32222222. . . . . . . . tem um algarismo (2)
3) Chamamos da dízima de x.
Ex:x = 1, 3 2
4) Multiplicamos por 10 até que a sequência que se repete comece, imediatamente, após
a vírgula. Chamemos este valor de ax.
Ex:x = 1, 3 2 = 1, 32222222. . . . . . . .
3
10x = 13, 2 = 13, 2222222. . . . . . . .
5) Multiplicamos x por múltiplo de 10 até que desloque a vírgula para a segunda sequência
de algarismos. Chamemos este valor de cx.
Ex100x = 132, 2 = 132, 2222222. . . . . . . .
6) O valor cx − ax é um número inteiro. Chamemos este número de n.
Ex100x − 10x = 90x = 132, 2222222. . . . −13, 2222222. . . .
90x = 132 − 13 = 119
x = 119
90
REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples com a parte inteira igual a zero, é
uma fração cujo numerador é o período e o denominador é um numeral formado por tantos
dígitos nove quantos são os algarismos do período e de tantos zeros quantos são as casas
decimais nulas logo após a vírgula.
OBS:
p
Toda fração irredutível q , quando convertido à forma decimal, resulta numa decimal finita
ou periódica, ocorrendo este último caso se o denominador q contiver algum fator primo
diferente de 2 e 5.
Exercícios
1. Encontre os números racionais que representam as seguintes dízimas períodicas:
a) 1, 25422222222222…
b) 0, 3232323232…
c) −0, 3232323232…
d) 2, 155555555555555…
e) 3, 132132132132132…
f) −1, 12121212121212…
g) 0, 1353232323232323232…
h) 0, 250
i) 0, 825
j) 2, 9999999999999…
k) 0, 999999999999…
2) Verifique se n é um número natural, então n, 9 = n + 1.
3) Encontre o resultado das expressões abaixo e escreva o resultado como uma dízima
periódica:
a) 3 ÷ 6
b) 1 − 3, 3
c) 0, 32 × 10
d) 0, 9 − 15
e) 0, 45 × 23
f) 2, 13 ÷ 1, 31
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