matA11
retas e planos
Exercícios de testes intermédios
1.
Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz,
parte do plano ABC, de equação x  y  2 z  12 .
Tal como a figura sugere, A, B e C são os pontos de
interseção deste plano com os eixos coordenados.
1.1.
Determine uma equação cartesiana do plano que passa
no ponto D 1, 2,3  e é paralelo ao plano ABC.
1.2.
Seja M o ponto médio do segmento de reta [AC].
Determine uma condição cartesiana da reta MB.
1.3.
O plano ABC é tangente, num ponto P, a uma esfera
centrada na origem do referencial, tal como se
ilustra na figura ao lado.
Determine o valor exato do volume dessa esfera.
Nota: Tenha em conta que a reta OP é perpendicular
ao plano ABC.
Teste intermédio, 11-03-2014
2.
x  y
Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta definida por 
z  2
Qual das equações seguintes define um plano perpendicular a esta reta?
(A)
x yz 5
(C) x  y  5
(B) x  y  2 z  5
(D) x  y  5
Teste intermédio, 06-03-2013
www.matematicaonline.pt
[email protected]
1 / 12
matA11
retas e planos
3.
Na figura abaixo, está representado, num referencial o.n. Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] (o
ponto E não está representado na figura).
Sabe-se que:
 o ponto F tem coordenadas 1,3, 4 
 o vetor FA tem coordenadas  2,3,6 
3.1.
Escreva uma condição cartesiana que defina cada um dos seguintes conjuntos de pontos.
3.1.1. Plano FGH
3.1.2. Reta AF
3.1.3. Superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto G
3.2.
Sabe-se ainda que a equação 6 x  2 y  3z  25  0 define o plano HCD
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto E (vértice do cubo, não
representado na figura).
Teste intermédio, 06-03-2013
4.
Num referencial o.n. Oxyz, considere a circunferência definida por x 2  y 2  5
A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas 1, 2  .
Qual é o declive da reta r?
(A) -2
(B) 
1
2
(C)
1
2
(D) 2
Teste intermédio, 09-02-2012
www.matematicaonline.pt
[email protected]
2 / 12
matA11
retas e planos
5.
Seja a um número real.
Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta s e o plano  definidos, respetivamente, por
 x, y, z    1,0,3  k 1,1, 1 , k 
e 3x  3 y  az  1
Sabe-se que a reta s é paralela ao plano  .
Qual é o valor de a?
(A) -3
(B) 1
(C) 3
(D) 6
Teste intermédio, 09-02-2012
6.
Na figura abaixo, está representada, num referencial o.n. Oxyz, a pirâmide quadrangular
regular [ABCDE]
Seja F o centro da base da pirâmide.
Sabe-se que:
 o ponto F tem coordenadas  2,1, 1
 o vetor FE tem coordenadas  1, 2, 2 
 a reta EA é definida pela condição  x, y, z    3,3,1  k 1, 5,1 , k 
6.1.
Escreva uma condição cartesiana que defina a reta EA
Nota: Não necessita de apresentar cálculos.
6.2.
Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação x  2 y  2 z  2  0 .
6.3.
 x  y  6
Sabe-se que a condição 
define a reta ED.
y  z  2
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto D.
Teste intermédio, 09-02-2012
www.matematicaonline.pt
[email protected]
3 / 12
matA11
retas e planos
7.
Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r definida por
 x, y, z    3, 4,5  k 1,0,0  , k 
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r?
(A)
y 5 z 6
(B) x  3  y  4
(C)
 x, y, z   1,0,0   k  3, 4,5  , k 
(D)
 x, y, z    3, 4,5  k  0,1,0  , k 
Teste intermédio, 24-05-2011
8.
Na figura, está representada, num
referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide
quadrangular [ABCDE] cuja base está
contida no plano xOy.
Sabe-se que:
 o vértice A tem coordenadas 1,0,0 
 o vértice B tem coordenadas  0,1,0 
 o plano DCE é perpendicular à reta
x y
definidas pela condição   z
3 3
Determine o volume da pirâmide.
Nota: Pode ser-lhe útil determinar uma equação
do plano DCE
Teste intermédio, 24-05-2011
www.matematicaonline.pt
[email protected]
4 / 12
matA11
retas e planos
9.
Na figura ao lado, está representado, em referencial
o.n. Oxyz, o poliedro [VNOPQURST], que se pode
decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular
regular.
Sabe-se que:
 a base da pirâmide coincide com a face
superior do cubo e está contida no plano xOy
 o ponto P pertence ao eixo Oy
 o ponto U tem coordenadas  4, 4, 4 
 o plano QTV é definido pela equação
5 x  2 y  2 z  12
9.1.
Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o
defina.
9.1.1. Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial.
9.1.2. Plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V.
9.1.3. Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U.
9.1.4. Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T.
9.2.
Determine o volume do poliedro [VNOPQURST].
Teste intermédio, 27-01-2011
10. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxy, parte de um plano ABC
Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado.
O plano ABC é definido pela equação 6 x  3 y  4 z  12 .
Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano ABC.
Determine uma equação vetorial da reta r.
Teste intermédio, 06-05-2010
www.matematicaonline.pt
[email protected]
5 / 12
matA11
retas e planos
11. Considere, num referencial o.n. Oxy, as retas r e s, definidas, respetivamente, por:
r:
 x, y   1,3  k  2,0  , k 
s: y 
3
x 1
4
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas (valor arredondado às unidades)?
(A) 37º
(B) 39º
(C) 41º
(D) 43º
Teste intermédio, 27-01-2010
12. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r e o plano  , definidos, respetivamente, por:
r: x
y z

2 3
 : 3x  z  0
Qual é a interseção da reta r com o plano  ?
(A) É o ponto  0, 2,3 
(B) É o ponto  0,0,0 
(C) É o conjunto vazio.
(D) É a reta r
Teste intermédio, 27-01-2010
13. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz, a
circunferência de equação
 x  4
2
  y  1  25
2
O ponto C é o centro da circunferência.
13.1. O ponto A, de coordenadas
circunferência.
 0, 2  ,
pertence à
A reta t é tangente à circunferência no ponto A.
Determine a equação reduzida da reta t.
Teste intermédio, 27-01-2010
14. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz,
uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] cuja base
está contida no plano xOy.
Sabe-se que:
 o ponto A pertence ao eixo Ox
 o ponto B tem coordenadas  5,3,0 
 o ponto V pertence ao plano de equação z  6
 6 x  18 y  5 z  24 é uma equação do plano ADV
 18 x  6 y  5 z  72 é uma equação do plano ABV
www.matematicaonline.pt
[email protected]
6 / 12
matA11
retas e planos
14.1. Determine o volume da pirâmide.
14.2. Determine as coordenadas do ponto V, sem recorrer à calculadora.
14.3. Seja S o ponto de coordenadas  1, 15,5 
Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV.
Averigue se a reta r contém o ponto B.
Teste intermédio, 27-01-2010
15. Na figura ao lado está representado um
referencial o.n. Oxy.
Cada um dos pontos A, B e C pertence a um
eixo coordenado.
O ponto P pertence ao plano ABC.
O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal
modo que é sempre vértice de um prisma
quadrangular regular, em que os restantes
vértices pertencem aos planos coordenados.
O plano ABC é definido pela equação
x  2 y  3z  9 .
15.1. Seja a a abcissa do ponto P  a  0,3 
Mostre que o volume do prisma é dado, em função de a, por V  a   3a 2  a 3
15.2. Seja r a reta que contém o ponto A e é perpendicular ao plano ABC.
Determine uma equação vetorial da reta r.
Teste intermédio, 07-05-2009
16. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica de equação
x2  y 2   z  2  4
2
A interseção desta superfície com o plano xOy é
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferência
(D) um circulo
Teste intermédio, 29-01-2009
www.matematicaonline.pt
[email protected]
7 / 12
matA11
retas e planos
17. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r de equação y  
1
3
x
2
5
Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas 1, 4  .
Qual é a equação reduzida da reta s?
(A)
y  2x  2
(C)
y  2 x 
5
3
(B)
y  2 x  6
(D)
y  2x 
3
5
Teste intermédio, 29-01-2009
18. Na figura, está representado, em referencial o.n.
Oxyz, um cone de revolução. Sabe-se que:
 A base do cone está contida no plano  de
equação x  2 y  2 z  11
 o vértice V do cone tem coordenadas 1, 2,6 
 o ponto C é o centro da base do cone
18.1. Determine uma equação do plano  que contém
o vértice do cone e que é paralelo ao plano 
18.2. Seja  o plano
2x  y  z  3
definido
pela
equação
Averigue se os planos  e  são perpendiculares.
18.3. Seja W o ponto simétrico do ponto V, em relação ao plano xOy. Indique as coordenadas do
ponto W e escreva uma condição que defina o segmento de reta [VW].
18.4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a 3, determine o volume do cone.
Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a reta que contém o vértice do
cone e que é perpendicular ao plano  e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto
C.
Teste intermédio, 29-01-2009
19. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r definida por
 x, y, z   1, 2,3  k  0,0,1 , k 
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r?
(A)
(B)
 x, y, z   1, 2,3  k  0,1,0  , k 
 x, y, z    0,0,1  k 1, 2,3 , k 
(C) x  2  y  1
(D) x  2  z  1
Teste intermédio, 06-05-2008
www.matematicaonline.pt
[email protected]
8 / 12
matA11
retas e planos
20. Na figura está representada, em referencial o.n.
Oxyz, uma pirâmide quadrangular.
Admita que o vértice E se desloca no semieixo
positivo Oz, entre a origem e o ponto de cota 6, nunca
coincidindo com qualquer um destes dois pontos.
Com o movimento do vértice E, os outros quatro
vértices da pirâmide deslocam-se no plano xOy, de
tal forma que:
 a pirâmide permanece sempre regular
 o vértice A tem sempre abcissa igual à
ordenada
 sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre
xc6
20.1. Seja V  x  o volume da pirâmide, em função de x  x  0,6  .
Mostre que V  x   8 x 2 
4 3
x
3
20.2. Admita agora que x  1 . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos A, B e E e
determine uma equação cartesiana do plano ABE.
Teste intermédio, 06-05-2008
21. Num referencial o.n. Oxyz, sejam  e  os planos definidos pelas equações:
 : x  y  z 1 e
 : 2x  2 y  2z  1
A interseção dos planos  e  é
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
Teste intermédio, 24-01-2008
22. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy,
uma reta AB e uma circunferência com centro na origem
e raio igual a 5.
Os pontos A e B pertencem à circunferência.
O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta AB é igual a
1
, resolva
2
as três alíneas seguintes.
22.1. Mostre que uma equação da reta AB é x  2 y  5  0
www.matematicaonline.pt
[email protected]
9 / 12
matA11
retas e planos
22.2. Mostre que o ponto B tem coordenadas  3, 4 
22.3. Seja C o ponto de coordenadas  3,16 
Verifique que o triângulo [ABC] é retângulo em B.
Teste intermédio, 24-01-2008
23. Na figura está representado, em referencial o.n.
xOy, um cubo [OPQRSTUV] de aresta 5.
O vértice O do cubo coincide com a origem do
referencial.
Os vértices P, R e S do cubo pertencem aos
semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respetivamente.
O triângulo escaleno [MNQ] é a secção produzida
no cubo pelo plano  de equação
10 x  15 y  6 z  125
23.1. Escreva uma condição que defina a reta que passa
por U e é perpendicular ao plano  .
23.2. Seja  a amplitude, em graus, do ângulo MQN. Determine  .
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Sugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos M e N
Teste intermédio, 24-01-2008
24. Considere, em referencial o.n. xOy, o ponto P  0, 4,3
24.1. Seja  o plano que contém o ponto P e é perpendicular à reta de equação vetorial
 x, y, z    0,1, 3  k 1,0, 2  , k 
Determine a área da secção produzida pelo plano  na esfera definida pela condição
 x  2
2
  y  1   z  4   3
2
2
Sugere-se que:
 Determine uma equação do plano 
 Mostre que o centro da esfera pertence ao plano 
 Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção
www.matematicaonline.pt
[email protected]
10 / 12
matA11
retas e planos
24.2. Admita que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo Oz,
nunca coincidindo com a origem O do referencial.
Seja f a função que faz corresponder, à cota z do ponto Q, o perímetro
do triângulo [OPQ].
24.2.1. Mostre que f  x   z  5  z 2  6 z  25
24.2.2. Sem recorrer à calculadora, determine a cota do ponto Q de
modo que o perímetro do triângulo [OPQ] seja igual a 16.
Teste intermédio, 10-05-2007
25. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz,
uma pirâmide regular.
Sabe-se que:
 a base [RSTU] é um quadrado de área 4 com
centro na origem do referencial;
 a aresta [RS] é paralela ao eixo Oy;
 o vértice V tem coordenadas  0,0, 2 
Mostre que a reta definida pela condição
x  0  y  2 z é perpendicular ao plano STV e escreva
uma equação deste plano.
Teste intermédio, 19-05-2006
Bom trabalho!!
www.matematicaonline.pt
[email protected]
11 / 12
matA11
retas e planos
Principais soluções
1.
1.1.
1.2.
1.3.
x  y  2z  9
x y  12 z


6
12
3
3
4
   24
3


2. (D)
3.
3.1.
3.1.1. 2 x  3 y  6 z  13  0
x 1 y  3 z  4


3.1.2.
2
3
6
3.1.3.
 x  1
2
  y  3   z  4   49
2
2
3.2.  5,1, 1
4. (B)
5. (D)
6.
x  3 y  3 z 1


6.1.
1
5
1
6.2.
6.3.  6,0, 2 
15.2.  x, y, z    9,0,0   k 1, 2,3  , k 
16. (B)
17. (A)
18.
18.1. x  2 y  2 z  7  0
18.2. Não são perpendiculares
18.3. x  1  y  2  6  z  6
18.4. 18
19. (C)
20.
20.1.
20.2. A 1,1,0  ; B  1,1,0  ; E  0,0,5 
ABE : 5 y  z  5  0
21. (A)
22.
22.1.
22.2.
22.3.
23.
23.1.
 x, y, z    5,5,5   k 10,15,6  , k 
23.2. 37º
24.
24.1. 3
24.2.
24.2.1.
24.2.2. 6
25. 2 y  z  2
7. (A)
8. 2
9.
9.1.
9.1.1. 5 x  2 y  2 z  0
9.1.2. x  2
x4 y4 z4


9.1.3.
5
2
2
9.1.4.  x  4    y  4    z  4   16
9.2. 80
10.  x, y, z    2,0,0   k  6,3, 4  , k 
11. (A)
12. (D)
13.
4
13.1. y   x  2
3
14.
14.1. 20
14.2. V  3, 2,6 
2
2
2
14.3. A reta r contém o ponto B
15.
15.1.
www.matematicaonline.pt
[email protected]
12 / 12