Equação da Onda
Para estabelecer a equação da onda vamos tomar uma onda transversal que
se propaga na direção do eixo X do referencial considerado e no mesmo sentido
desse eixo, com velocidade de módulo v (Fig.12).
O padrão espacial da onda se desloca no espaço com o passar do tempo. Na
Fig.12, representamos a onda no instante de tempo considerado como inicial (t = 0) e
num instante posterior genérico (t ≠ 0). Como estamos estudando ondas harmônicas,
em qualquer instante de tempo, o padrão espacial da onda é dado por uma função
harmônica (seno ou cosseno).
Assim, para t = 0, escrevemos:
y ( x,0) = A sen bx
em que A representa a amplitude da onda e b, uma constante que devemos
determinar. O padrão espacial da onda repete-se periodicamente ao longo do eixo X.
O período espacial é, por definição, o comprimento de onda. Assim, temos:
y ( x + λ,0) = y( x,0)
Usando a expressão acima:
sen [b ( x + λ )] = sen bx
e, como, da Trigonometria, sabemos que:
sen ( x + 2π) = sen x
podemos concluir, dessas duas últimas expressões, que bλ=2π, ou seja, que b é o
número de onda. Por isso, a expressão para o padrão espacial da onda em t = 0 pode
ser escrita:
y ( x,0) = A sen kx
Por outro lado, tomando os pontos x’ e x de modo que x − x’ = vt, ou seja, de
modo que x − x’ representa a distância percorrida pela onda durante o intervalo de
tempo t, temos:
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y ( x, t ) = y ( x' ,0)
ou:
y ( x, t ) = y ( x − vt,0)
e usando a expressão acima para y(x,0)
y(x, com v = ω/k vem:
y ( x, t ) = A sen (kx − ω t )
Esta equação representa uma situação particular porque, nela, está implícita a
condição y = 0 para x = 0 e t = 0.
0 A equação geral da onda que se propaga sobre o
eixo X no mesmo sentido que aquele considerado positivo para esse
esse eixo é:
y ( x, t ) = A sen (kx − ω t + δ)
A grandeza δ é chamada de fase inicial.
Repetindo a demonstração acima substituindo v por − v, obtemos a equação da
onda que se propaga em sentido contrário àquele considerado positivo para o eixo X:
y ( x, t ) = A sen (kx + ω t + δ)
Para estabelecer estas equações tomamos, por questões didáticas, o caso de
uma onda transversal.. Contudo, as equações valem também para ondas longitudinais.
Exercício 1
A Fig.13 representa um instantâneo de uma corda em que se propaga uma
onda transversal cuja velocidade tem módulo de 6 m/s num referencial fixo no solo.
solo
Determine a equação dessa onda.
Exercício 2
Num dado referencial, a onda transversal progressiva que se desloca em certa
corda é descrita pela expressão:
y( x, t ) = 10 sen [ π(0,01 x − 2 t )]
com x e y dados em centímetros e t em segundos. Calcule (a) o módulo da
d velocidade,
(b) a freqüência e (c) o comprimento de onda dessa onda.
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