202
CAPÍTULO 4
4.7 – EXERCÍCIOS – pg. 127
1.
Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) f ( x) = x 2 − 1; x = 1, x = 0, x = a, a ∈ R.
m( x) = lim
∆x → 0
( x + ∆x) 2 − 1 − x 2 + 1
∆x
2
x + 2 x∆x + (∆x) 2 − x 2
lim
∆x → 0
∆x
∆x (2 x + ∆x )
lim
= 2x
∆x → 0
∆x
m (1) = 2.1 = 2
y − y1 = m ( x − 1)
y − 0 = 2 ( x − 1)
y = 2x − 2
m (0) = 2.0 = 0
y + 1 = ( x − 0)
y +1 = 0
y = −1
m ( a ) = 2a
y − a 2 + 1 = 2a ( x − a )
y − a 2 + 1 = 2ax − 2a 2
y = 2ax − a 2 − 1
As figuras que seguem mostram as retas tangentes para os pontos x = 1 e
x = 0 . Como o valor de a é genérico o gráfico só pode ser apresentado com
o valor definido.
203
f(x)
f(x)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
2
3
4
(b) f ( x) = x 2 − 3 x + 6; x = −1, x = 2.
( x + ∆x) 2 − 3 ( x + ∆x) + 6 − x 2 + 3 x − 6
∆x → 0
∆x
2
2
x + 2 x∆x + (∆x) − 3 x − 3∆x − x 2 + 3 x
= lim
∆x → 0
∆x
∆x (2 x + ∆x − 3)
= 2x − 3
= lim
∆x → 0
∆x
Temos:
m (−1) = 2(−1) − 3 = −2 − 3 = −5
y − 10 = −5 x − 5
y = −5 x + 5
m ( x ) = lim
m (2) = 2.2 − 3 = 4 − 3 = 1
y − 4 = 1 ( x − 2)
y = x−2+4
y= x+2
Seguem os gráficos.
f(x)
f(x)
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
204
1
(c) f ( x) = x(3 x − 5); x = , x = a, a ∈ IR.
2
f ( x) = 3 x 2 − 5 x
3 ( x + ∆x) 2 − 5 ( x + ∆x) − 3 x 2 + 5 x
∆x → 0
∆x
2
3 x + 6 x∆x + 3(∆x) 2 − 5 x − 5∆x − 3 x 2 + 5 x
= lim
∆x → 0
∆x
∆x (6 x + 3∆x − 5)
= 6x − 5
= lim
∆x → 0
∆x
m ( x ) = lim
1
1
m   = 6. − 5 = 3 − 5 = −2
2
2
Temos:
7
1

y + = −2  x − 
4
2

7
y + = −2 x + 1
4
4 y + 7 = −8 x + 4
8x + 4 y + 3 = 0
m ( a ) = 6a − 5
y − 3a 2 + 5a = (6a − 5)( x − a )
y − 3a 2 + 5a = 6ax − 6a 2 − 5 x + 5a
y = (6a − 5) x − 3a 2 .
Segue o gráfico, para x = 1/2.
11
f(x)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
205
2.
Em cada um dos itens do exercício (1), determine a equação da reta normal à
curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) f ( x) = x 2 − 1
x =1
Temos que:
m (1) = 2
mnormal = −
Assim,
1
2
−1
( x − 1)
2
2 y = − x + 1 ou x + 2 y − 1 = 0
y−0=
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
f(x)
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
x=0
m ( 0) = 0
Neste caso a reta tangente é horizontal e a reta normal coincide com o eixo
dos y, ou seja, x = 0 .
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
206
f(x)
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
x=a
m ( a ) = 2a
mn = −
1
2a
Assim,
−1
( x − a)
2a
2ay − 2a 3 + 2a = − x + a
( y − a 2 + 1) =
x + 2ay − 2a 3 + a = 0
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização e
usando-se o valor de a = −2 .
f(x)
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
b)
f ( x) = x 2 − 3 x + 6;
x = −1
Temos:
x = −1, x = 2.
2
3
4
207
m (−1) = −5
mn =
Assim,
1
5
1
( x + 1)
5
5 y − 50 = x + 1
x − 5 y + 51 = 0
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
y − 10 =
f(x)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
x=2
Temos:
m ( 2) = 1
mn = −1
Assim,
y − 4 = −1 ( x − 2)
y − 4 = −x + 2
x + y − 6 = 0.
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
f(x)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
208
c)
1
x = , x = a, a ∈ R.
2
f ( x) = x(3 x − 5);
Temos:
m (1 / 2) = −2
mn =
Assim,
1
2
7 1
1
= x − 
4 2
2
4 y + 7 = 2x − 1
y+
2x − 4 y − 8 = 0
x − 2 y − 4 = 0.
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Temos:
m ( a ) = 6a − 5
mn =
Assim,
1
1
5
=
,a ≠
6a − 5 5 − 6a
6
1
( x − a)
5 − 6a
(5 − 6a ) y − 3a 2 (5 − 6a ) + 5a (5 − 6a ) = ( x − a )
y − 3a 2 + 5a =
x − (5 − 6a ) y − 18a 3 + 45a 2 − 26a = 0
Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização, usando-se
como exemplo valor de a = 1 .
209
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
3.
Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x 2 , que seja paralela
à reta y = 1 − x. Esboçar os gráficos da função, da reta dada e da reta tangente
encontrada.
1 − ( x + ∆x ) 2 − 1 + x 2
∆x → 0
∆x
2
1 − x − 2 x∆x − (∆x) 2 − 1 + x 2
= lim
∆x → 0
∆x
= −2 x
m ( x) = lim
y = 1 − x ⇒ m = −1
− 2 x = −1
2
1
1 3
1
x = ⇒ y = 1−   =1− =
2
4 4
2
Assim,
3
1

y − = −1 x − 
4
2

4 y − 3 = −4 x + 2
4 x + 4 y − 5 = 0.
210
f(x)
2
1
x
-2
-1
1
2
-1
-2
4.
Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x 2 − 2 x + 1 no
ponto (−2,9).
( x + ∆x) 2 − 2 ( x + ∆x) + 1 − x 2 + 2 x − 1
∆x → 0
∆x
2
2
x + 2 x∆x + (∆x) − 2 x − 2∆x + 1 − x 2 + 2 x − 1
= lim
∆x → 0
∆x
= 2x − 2
m ( x ) = lim
m (−2) = 2 (−2) − 2 = −4 − 2 = −6
mn =
1
6
Equação da reta tangente:
y − 9 = −6 ( x + 2)
y − 9 = −6 x + 12
6x + y + 3 = 0
Equação da reta normal:
1
y − 9 = ( x + 2)
6
6 y − 54 = x + 2
x − 6 y + 56 = 0
5. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por
f (t ) = 16t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h] , 0 ≤ b < 8 .
211
f (t ) = 16t + t 2 , 0 ≤ t ≤ 8
f (b + h) − f (b)
h
16 (b + h) + (b + h) 2 − 16 b − b 2
=
h
2
16 b + 16h + b + 2bh + h 2 − 16 b − b 2
=
h
2
16 h + 2bh + h
h(16 − 2b + h)
=
=
h
h
v m = 16 + 2b + h;
0≤b<8
vm =
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3;3,1], [3;3,01] e [3;3,001].
v m = 16 + 2b + h
[3;3,1]
v m = 16 + 2.3 + 0,1
= 16 + 6 + 0,1
= 22,1 m seg
[3;3,01]
v m = 16 + 2.3 + 0,01
= 16 + 6 + 0,01
= 22,01 m seg
[3;3,001]
v m = 16 + 2.3 + 0,001
= 16 + 6 + 0,001
= 22,001 m seg
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
v(t ) = lim v m
h→0
= lim (16 + 2t + h)
h →0
v(t ) = 16 + 2t
212
(d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
v(3) = 16 + 2.3
= 16 + 6
= 22 m seg
(e) Determinar a aceleração no instante t.
v (t + ∆t ) − v(t )
∆t
16 + 2(t + ∆t ) − 16 − 2t
= lim
∆t → 0
∆t
2∆t
= 2m / seg 2
= lim
∆t → 0 ∆t
a (t ) = lim
∆t →0
6. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a
b
equação de seu movimento retilíneo é y = + ct , onde y é o deslocamento e t o
t
tempo.
(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 ?
b
b
+ c(t + ∆t ) − − ct
−b
t
= 2 +c.
v = lim t + ∆t
∆t → 0
∆t
t
v ( 2) =
−b
+ c unidade de velocidade.
4
(b) Qual é a equação da aceleração?
−b
b
+c− 2 −c
2
(t + ∆t )
2b
dv
t
= lim
= 3 unidades de aceleração.
a (t ) =
∆
t
→
0
dt
∆t
t
7. Dadas as funções f ( x) = 5 − 2 x e g ( x) = 3 x 2 − 1, determinar:
(a) f ′(1) + g ′(1).
213
5 − 2( x + ∆x) − 5 + 2 x
∆x
5 − 2 x − 2∆x − 5 + 2 x
= lim
∆x → 0
∆x
= −2
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
3 ( x + ∆x) 2 − 1 − 3 x 2 + 1
∆x → 0
∆x
2
3 x + 6 x∆x + 3 (∆x) 2 − 1 − 3 x 2 + 1
= lim
∆x → 0
∆x
(6 x + 3∆x)∆x
= 6x
= lim
∆x → 0
∆x
g ′ ( x) = lim
f ′(1) + g ′(1) = −2 + 6.1 = −2 + 6 = 4 .
(b) 2 f ′(0) − g ′(−2).
2 (−2) − 6 (−2) = −4 + 12 = 8 .
(c) f (2) − f ′(2).
f (2) − f ′(2). = 5 − 2.2 + (−2) = 5 − 4 − 2 = −1
2
(d) [g ′(0)] +
1
g ′(0) + g (0).
2
[g ′(0)]2 + 1 g ′(0) + g (0) = [6.0]2 + 1 .6.0 + 3.02 − 1 = −1.
2
2
 5  f ′(5 / 2)
(e) f   −
.
 2  g ′(5 / 2)
5
f −
2
8.
2
2
f ′(5 / 2)
5 −2
= 5 − 2. −
=0+ = .
5
′
15 15
g (5 / 2)
2 6.
2
Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:
(a) f ( x) = 1 − 4 x 2 .
214
1 − 4 ( x + ∆x) 2 − 1 − 4 x 2
∆x → 0
∆x
2
1 − 4 x − 8 x∆x − 4 (∆x) 2 − 1 + 4 x 2
= lim
∆x → 0
∆x
= lim = (−8 x − 4∆x) = −8 x
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
(b) f ( x) = 2 x 2 − x − 1.
2 ( x + ∆x) 2 − ( x + ∆x) − 1 − 2 x 2 + x + 1
∆x → 0
∆x
2
2 x + 4 x∆x + 2 (∆x) 2 − x − ∆x − 2 x 2 + x
= lim
∆x → 0
∆x
= 4x − 1
f ′ ( x) = lim
(c) f ( x) =
1
.
x+2
1
1
−
f ′ ( x) = lim x + ∆x + 2 x + 2
∆x → 0
∆x
x + 2 − x − ∆x − 2 1
= lim
.
∆x →0 ( x + ∆x + 2)( x + 2) ∆x
−1
= lim =
∆x →0
( x − 2) 2
(d) f ( x) =
1− x
.
x+3
1 − x − ∆x 1 − x
−
f ′ ( x) = lim x + ∆x + 3 x + 3
∆x → 0
∆x
( x + 3) (1 − x − ∆x) − ( x + ∆x + 3) (1 − x) 1
= lim
.
∆x → 0
( x + ∆x + 3) ( x + 3)
∆x
x + 3 − x 2 − 3 x − x∆x − 3∆x − x + x 2 − ∆x + x∆x − 3 + 3 x
∆x → 0
( x + ∆x + 3) ( x + 3) ∆x
∆x (− x − 3 − 1 + x)
= lim
∆x → 0 ∆x ( x + ∆x + 3) ( x + 3)
−4
= lim =
∆x → 0
( x + 3) 2
= lim
(e) f ( x) =
1
.
2x − 1
215
1
1
−
2( x + ∆x) − 1
2x − 1
∆x
2 x − 1 − 2( x + ∆ x ) − 1 1
.
2( x + ∆x) − 1 2 x − 1 ∆x
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
= lim
∆x → 0
= lim
∆x → 0
(
= lim
2 x − 1 − 2( x + ∆x) + 1 1
.
2 x − 1 2( x + ∆x) − 1 ∆x
)
2x − 1
∆x → 0
= lim =
∆x → 0
(
−2
2x − 1 + 2x − 1
)
−1
(2 x − 1) 2 x − 1
(f) f ( x) = 3 x + 3.
3
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
x + ∆x + 3 − 3 x + 3
∆x
Fazendo:
x + ∆x + 3 = t 3
x + 3 = a 3 ⇒ ∆x = t 3 − a 3
Temos:
t−a
f ′( x) = lim 3
t →a t − a 3
t−a
= lim
t → a (t − a ) (t 2 + at + a 2 )
=
1
1
=
2
3
3a
3 ( x + 3) 2
1
e g ( x) = 2 x 2 − 3, determinar os itens que seguem
x −1
e, usando uma ferramenta gráfica, fazer um esboço do gráfico das funções obtidas,
identificando o seu domínio.:
9.
Dadas as funções
f ( x) =
(a) f 0 f ′
1
1
−
f ′( x) = lim x + ∆x − 1 x − 1
∆x → 0
∆x
( x − 1) − x − ∆x + 1 1
= lim
.
∆x →0 ( x + ∆x − 1) ( x − 1) ∆x
−1
=
( x − 1) 2
216
 −1 
=
f 0 f ′ = f [ f ′] = f 
2
 ( x − 1) 
=
1
−1
−1
( x − 1) 2
1
( x − 1) 2
( x − 1) 2
=
=
− 1 − ( x − 1) 2 − 1 − x 2 + 2 x − 1 2 x − x 2 − 2
( x − 1) 2
fof'
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
(b) f ′ 0 f
 1 
f ′[ f ] = f ′ 
 x − 1
−1
−1
=
=
=
2
2
 1

1− x +1
− 1



 x −1 
 x −1 
( x − 1) 2
 x −1 
=−
= −

2
(2 − x)
2−x
2
2
3
217
f'of
2
1
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
(c) g 0 f ′
g 0 f ′ = g [ f ′]
 −1 
=g
2
 ( x − 1) 
2
 −1 
 −3
= 2 
2 
 ( x − 1) 
1
=2
−3
( x − 1) 4
2
=
−3
( x − 1) 4
gof'
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
218
(d) g ′ 0 f ′
2 ( x + ∆x) 2 − 3 − 2 x 2 + 3
∆x → 0
∆x
2
2 x + 4 x∆x + 2(∆x) 2 − 2 x 2
= lim
∆x → 0
∆x
= lim 4 x
g ′ ( x) = lim
∆x → 0
 −1 
g ′ 0 f ′ = g ′ [ f ′] = g ′ 
2
 ( x − 1) 
−1
−4
= 4.
=
.
2
( x − 1)
( x − 1) 2
g'of'
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Obs.:É inadequado visualizar o domínio através do gráfico das funções compostas. No
item (a) − x 2 + 2 x − 2 não tem raízes reais, induzindo o aluno a achar que o domínio é R
 x − 1, x ≥ 0
10. Dada a função f ( x) = 
, verificar se existe f ′(0). Esboçar o gráfico.
 x, x < 0
Não existe f ′ (0) , porque f não é contínua em x = 0 . Veja o gráfico a
seguir.
219
f(x)
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
11. Dada a função f ( x) =
1
, verificar se existe f ′(3). Esboçar o gráfico.
2x − 6
Não existe f ′ (3) , porque f não é contínua (não é definida) em x = 3 . Veja
o gráfico a seguir.
f(x)
4
3
2
1
x
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
12. Dada a função f ( x) = 2 x 2 − 3x − 2, determinar os intervalos em que:
(a) f ′( x) > 0.
(b) f ′( x) < 0.
220
f ′ ( x) = lim
∆x → 0
2( x + ∆x) 2 − 3( x + ∆x) − 2 − 2 x 2 + 3 x + 2
= 4x − 3
∆x
4x − 3 > 0
4x − 3 < 0
4x > 3
4x < 3
x>
3
4
x<
(a)
3

 ,+∞ 
4

(b)
3

 − ∞, 
4

3
4
13. Simular graficamente diferentes tangentes à curva y = x 2 . Supondo que
existem duas retas tangentes que passam pelo ponto P(0,−4) , encontrar o ponto de
tangência e as equações das retas.
A declividade das retas tangentes em x = a são dadas por:
y′ = 2 x
y′(a ) = 2a = m
O gráfico que segue mostra a simulação para a assumindo os valores: -2, -1, 1/2, 0, ½, 1 e 2.
f(x)
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Observamos as duas retas que passam pelo ponto P(0,−4) . A equação
da reta tangente é obtida fazendo-se:
221
y − y 0 = m ( x − x0 )
y + 4 = 2a ( x − 0 )
y + 4 = 2a x
(
)
A reta passa, também em, a, a 2 :
a 2 + 4 = 2a . a ⇒ a 2 = 4, a = ±2
Assim temos:
Ponto de tangência: (2, 4)
a = 2 ⇒ y = 4x − 4
Ponto de tangência: (− 2, 4 )
a = −2 ⇒ y = −4 x − 4
2x
passam pelo ponto P(−4,0) ? Em
x +1
quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
14. Quantas retas tangentes à curva y =
O gráfico a seguir mostra uma simulação na qual podemos observar duas retas
tangentes que passam por P(−4,0) .
f(x)
7
6
5
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
Para encontrar o ponto de tangência temos:
′
2
 2x 
y′ = 
 =
(x + 1)2
 x −1
Supor (x1 , y1 ) o ponto de tangência.
A equação da reta tangente é:: y − y 0 = m ( x − x0 )
2
3
222
y−0 =
2
(x1 + 1)2
(x + 4)
Precisamos encontrar x1 . No ponto de tangência: y1 =
2 x1
2
e y1 =
(x + 4) .
x1 + 1
(x1 + 1)2 1
Então:
2 x1
2 x1 + 8
=
x1 + 1 ( x1 + 1)2
x +4
x1 = 1
x1 + 1
x1 ( x1 + 1) = x1 + 4
2
x1 + x1 − x1 = 4
 x1 = 2
 '
 x1 = −2

P1 =  2,

4

3
P2 = (− 2, 4 )
Equações das retas tangentes: y =
2
(x + 4) e y = 2 (x + 4) .
9