DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO
Uma carga de prova q0 colocada num campo eléctrico
Sofre a acção de uma força


Fe  q0 E
Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobrea carga
de prova, num deslocamento infinitesimal ds é

 

WE  Fe  ds  q0 E.ds
É similar ao trabalho feito por um campo
gravitacional sobre um corpo em queda livre
1
.
O trabalho feito por uma força conservativa é igual ao simétrico da variação da energia
potencial
 
dU  dWE  q0 E  ds
Para um deslocamento finito de uma carga de prova q0 entre os pontos A e B, a
variação da energia potencial do sistema campo – carga é
 
U  U B  U A  q0  E  ds
B
A
A integral acima é calculada ao longo da trajectória na qual a partícula se desloca de A
para B  denominada integral da trajectória ou integral de linha.
Como a força é conservativa, essa integral não depende da trajectória entre A e B
Por definição, V  VB  VA , a diferença de potencial entre os pontos A e B e é igual
à variação da energia potencial dividida pela carga de prova q0
U B U A
VB  VA 
q0

B 

U
V 
  E  ds
q0
A
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Observações
A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial
Diferença de potencial ≠ Energia potencial
As duas grandezas estão relacionadas por
U = q0 V
U  WE  K
Por conveniência, a função V é tomado muitas vezes considerada nula num
determinado ponto. Usualmente escolhemos um ponto no infinito (∞) como o ponto de
potencial nulo
Com essa escolha podemos dizer que : o potencial eléctrico num ponto arbitrário
é igual ao trabalho necessário, por unidade de carga, para trazer uma carga de prova
positiva do infinito até o ponto considerado.
 
VP   E  ds
P
VA  0 no 

3
 
VP   E  ds
P
onde

E
é o campo eléctrico estabelecido pelas cargas – fonte

Na realidade, VP representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no
infinito
A unidade SI do potencial: joule por coulomb, denominada volt (V): 1 V  1 J / C
Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o electrão – volt (eV):
19
19
1 eV = (1 e)(1 V) = 1.6 10 C (1J / C)  1.6 10 J
 um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo
acelerada por uma diferença de potencial de valor 1 V
EXEMPLO: Um electrão no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma
7
16
velocidade de 3.5  10 m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de 5.6  10 J,
que é equivalente a 3.5  103 eV. Tal electrão tem de ser acelerado do repouso com uma
diferença de potencial de 3.5 kV para atingir essa velocidade.
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DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
(a) Quando o campo eléctrico E está
direccionado para baixo, o ponto B está num
potencial eléctrico mais baixo que o ponto A.
Quando uma carga positiva de prova se
desloca de A par B, o sistema carga-campo
perde energia potencial eléctrica.
(b) Quando o corpo com massa m se desloca para
baixo na direcção do campo gravitacional g, o
sistema corpo-campo perde energia potencial
gravitacional.
B
  B
VB  VA  V   E  ds   E cos0 ds   Eds
B
A
A
A
Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:
B
V   E  ds   Ed
A
 o sinal negativo resulta do facto de que o ponto
B está num potencial mais baixo do que o ponto A
ou seja VB < VA
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Quando a carga de prova q0 se desloca de A para B
A variação da energia potencial eléctrica do sistema
campo – carga é
U  q0V  q0 Ed
Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então
U é negativa
Se q0 for negativa, então U na equação acima é
positiva e a situação está invertida.
O sistema campo - carga perde energia potencial
eléctrica quando uma carga negativa se desloca na
direcção oposta à do campo eléctrico.
Não temos nenhum análogo para essa
situação no caso gravitacional porque
nenhuma massa negativa foi observada
até o momento.
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Exemplo
O sistema campo - carga perde energia
potencial eléctrica quando uma carga
positiva se desloca na direcção do campo
eléctrico.
O sistema campo - carga perde energia
potencial eléctrica quando uma carga
negativa se desloca na direcção oposta à
do campo eléctrico.
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Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois
pontos quaisquer num campo eléctrico uniforme
   B 
 
V    E  ds  E   ds  E  r
B

r
A
A
representa o vector deslocamento entre os
pontos A e B

r
A variação na energia potencial eléctrica do
sistema campo - carga é
 
U  q0 V  q0 E  r
Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo eléctrico
uniforme estão no mesmo potencial
Da figura, obtemos:
 
VB - VA =  E  r  Er cos = - Ed = VC - VA
 VB = VC
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O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição
contínua de pontos que têm o mesmo potencial eléctrico.
Observe que, como U  q0 V , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de
prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.
U  WE  K
As superfícies equipotenciais dum campo eléctrico uniforme consistem numa família de planos,
todos perpendiculares ao campo.
Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo eléctrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo eléctrico
sobre uma partícula carregada quando se
move de um extremo a outro.
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EXEMPLO
Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto X até um ponto Y.
O trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos X e Y.
WE  0.6 μJ

 q  2 C
U  WE  K
Y
V 
U

q
0.6 106
V 
 0.3 V
6
2 10
X
10
POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos
eléctricos que não são uniformes.
Considere uma carga pontual positiva isolada q
 
VB  V A   E  ds
B
mas
A
 
q  
E  ds  k e 2 rˆ  ds
r
onde
 
rˆ  ds  ds cos  dr
Substituindo na integral fica
rB
rB
rB
 
k
q
q
dr

VB  VA    E  ds    ke 2 dr  ke q  2  e 
r
r
r  rA
A
rA
rA
B
1 1
 ke q  
 rB rA 
Os dois círculos tracejados representam
secções transversais das superfícies
equipotenciais esféricas
 esta equação expressa o importante
resultado de que a diferença de
potencial entre quaisquer dois pontos
A e B depende somente das
coordenadas radiais rA e rB
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Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em rA = 
Com essa escolha, o potencial eléctrico
devido a uma carga pontual a qualquer
distância r da carga é
q
q
V  ke
r
V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual
O potencial eléctrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da
sobreposição
Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma
qi
V   ke
ri
i
Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma
soma vectorial (que é utilizada para calcular o campo eléctrico de um conjunto de cargas)
Além disso é muito mais fácil calcular V para muitas cargas do que calcular o campo eléctrico
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ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Energia potencial eléctrica de interacção de um sistema de partículas carregadas
Se V2 for o potencial eléctrico no ponto P devido à carga q2, o trabalho (de um agente externo) necessário para
trazer uma segunda carga q1 do infinito ao ponto P será
W  q1V2
esse trabalho representa uma transferência de energia para o
sistema na forma de energia potencial U
U  q1V2  k e
r12
q1
q2
r23
r13
r12
q
V2  k e 2
r
P
q2
q1 q 2
r12
q1
Se tivermos três cargas:
q3
qq
qq
qq
U  ke 1 2  ke 1 3  ke 2 3
r12
r13
r23
q2
r12
P
13
OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉCTRICO PELO POTENCIAL ELÉCTRICO
B
 
V    E  ds  V    dV
B
A
A
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um
do outro como sendo
Para
 
E  Ex
temos que
 
dV   E  ds
 
E  ds  Ex dx
ou

dV   E x dx
Ex  
dV
dx
 o campo eléctrico é igual a menos derivada do potencial eléctrico com respeito a alguma
coordenada
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A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo eléctrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:
Campo eléctrico uniforme
Carga pontual
Distribuição de carga tem simetria esférica

Dipolo eléctrico
dV
 
Er  
dV  E  ds  E
r dr
dr
Em geral, o potencial eléctrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais  V ( x, y, z )
Ex  
dV
dx
Ey  
é uma equação diferencial, onde
dV
dy
(
Ez  
dV
dz
 
 
 
ex  e y  ez )
x
y
z
e

E  V

o
operador
gradiente
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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é
dq
dV  ke
r
O potencial total será
V  ke 
dq
r
Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição
contínua de carga é utilizar
B 

U
V 
  E  ds
q0
A
Esse procedimento é útil para quando o campo eléctrico já é conhecido a partir de outras
considerações, tais como a lei de Gauss.
Substituímos E e escolhemos, V como zero em algum ponto conveniente.
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Exemplo: Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro
de um anel de raio a e carga Q
dq
V  ke 

r
como
r  x2  a2
dq
V  ke 
V 
x2  a2
ke
x a
2
2
 dq
 V 
keQ
x2  a2
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POTENCIAL ELÉCTRICO DUM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
A densidade superficial de carga não é uniforme
O condutor está em equilíbrio electrostático 
- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do
condutor
- o campo eléctrico na face externa do condutor é perpendicular à
superfície
Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor
carregado em equilíbrio electrostático está no mesmo potencial
eléctrico
E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos
da superfície. Então
 
E  ds  Edscos90  0
 
V  V B  V A    E  d s  0
B
A

 como o campo eléctrico é zero dentro do condutor,
concluímos que o potencial é constante em todo lugar
dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.
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