Modelagem de volatilidade via modelos GARCH
com erros assimétricos: abordagem Bayesiana
José Augusto Fioruci
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura:________________________
______
Modelagem de volatilidade via modelos GARCH com
erros assimétricos: abordagem Bayesiana
José Augusto Fioruci
Orientador: Prof. Dr. Ricardo Sandes Ehlers
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências
Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como
parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre
em Ciências - Ciências de Computação e Matemática
Computacional. VERSÃO REVISADA
USP – São Carlos
Agosto de 2012
A minha família, em especial aos meus pais,
José Airton Fioruci e Luzia Neuza Dalaqua, pelo
incentivo e o esforço pela minha formação.
Aos meus amigos do laboratório da estatística, pela amizade e apoio.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por me permitir estudar os mistérios da sua criação
e por ter me concedido saúde e sabedoria para realizar este trabalho.
A minha família, em especial aos meus pais que sempre me ajudam, apoiam e me
incentivam e a quem sempre estarei em dívida.
Ao meu orientador, Ricardo Sandes Ehlers, pela orientação, sugestões e amizade
que contribuíram no meu crescimento e na minha formação acadêmica.
Aos professores Francisco Louzada Neto e Mauricio Enrique Zevallos Herencia,
membros da banca de defesa, pelas valiosas sugestões feitas.
Aos professores Francisco Antonio Rojas Rojas e Marinho Gomes de Andrade Filho,
membros da banda de qualificação, pelas valiosas sugestões feitas.
Aos diversos amigos e colegas do ICMC, em especial aos amigos do laboratório da
estatística.
Aos professores e aos demais funcionários do ICMC pelo excelente convívio.
Por fim, agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo auxilio financeiro concedido para o desenvolvimento deste projeto.
Resumo
A modelagem da volatilidade desempenha um papel fundamental em Econometria.
Nesta dissertação são estudados a generalização dos modelos autorregressivos condicionalmente heterocedásticos conhecidos como GARCH e sua principal generalização
multivariada, os modelos DCC-GARCH (Dynamic Condicional Correlation GARCH).
Para os erros desses modelos são consideradas distribuições de probabilidade possivelmente assimétricas e leptocúrticas, sendo essas parametrizadas em função da assimetria
e do peso nas caudas, necessitando assim de estimar esses parâmetros adicionais aos
modelos. A estimação dos parâmetros dos modelos é feita sob a abordagem Bayesiana
e devido às complexidades destes modelos, métodos computacionais baseados em simulações de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) são utilizados. Para obter
maior eficiência computacional os algoritmos de simulação da distribuição a posteriori
dos parâmetros são implementados em linguagem de baixo nível. Por fim, a proposta
de modelagem e estimação é exemplificada com dois conjuntos de dados reais.
Palavras-chave: series temporais, modelagem de volatilidade, modelos GARCH,
distribuições assimétricas, inferência Bayesiana.
Abstract
The modeling of volatility plays a fundamental role in Econometrics. In this dissertation are studied the generalization of known autoregressive conditionally heteroscedastic (GARCH) models and its main principal multivariate generalization, the DCCGARCH (Dynamic Conditional Correlation GARCH) models. For the errors of these
models are considered distribution of probability possibility asymmetric and leptokurtic, these being parameterized as a function of asymmetry and the weight on the tails,
thus requiring estimate the models additional parameters. The estimation of parameters is made under the Bayesian approach and due to the complexities of these models,
methods computer-based simulations Monte Carlo Markov Chain (MCMC) are used.
For more computational efficiency of simulation algorithms of posterior distribution of
the parameters are implemented in low-level language. Finally, the proposed modeling
and estimation is illustrated with two real data sets.
Keywords: time series, volatility modeling, GARCH models, asymmetric distributions, Bayesian inference.
Sumário
1 Introdução
1
1.1
Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.1
Retornos e Volatilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.2
Métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . . . . . . .
6
1.3
Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Apresentação de Capítulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2 Distribuições Assimétricas
16
2.1
Método Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2
Método Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.1
Normal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2.2
t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2.3
GED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Modelos GARCH
27
v
SUMÁRIO
vi
3.1
Modelos Univariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2
Modelos Multivariados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.3
Estimação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 Estudo de Simulação
40
5 Aplicação
47
5.1
Modelo Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2
Modelo Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6 Considerações Finais e Conclusão
59
Bibliografia
61
A Estimativa Bayesiana dos parâmetros dos modelos
66
B Gráficos da simulação a posteriori dos parâmetros do modelo DCCGARCH com erros SST
71
Lista de Figuras
1.1
Petrobrás PN: (a) Gráfico da série, (b) Gráfico dos retornos. . . . . . .
1.2
Petrobrás PN: (a) Autocorrelação nos retornos, (b) Autocorrelação nos
4
quadrados dos retornos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1
Versão padronizada da distribuição Normal Assimétrica . . . . . . . . .
19
4.1
Gráficos das densidades utilizadas para os erros do modelo GARCH(1,1)
para gerar os dados artificiais: (a) SSN , (b) SST e (c) SSGED
5.1
. . .
41
Série do IBOVESPA de 02/01/2001 até 28/12/2007. (a) Gráfico da série;
(b) Gráfico dos retornos; (c) Gráficos das autocorrelações dos retornos
e (d) Gráfico das autocorrelações do quadrado dos retornos. . . . . . .
5.2
50
A esquerda o histograma dos resíduos com a distribuição de probabilidade dos erros sobreposta e a direita o gráfico qqplot dos resíduos do
modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
51
(a) Densidade a posteriori do parâmetro de assimetria (γ) e (b) densidade a posteriori da persistência (α1 + β1 ), para o modelo com erros
SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
52
viii
LISTA DE FIGURAS
5.4
Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo GARCH(1,1) com erros
SST e intervalo com 95% de credibilidade.
. . . . . . . . . . . . . . .
52
5.5
Gráficos da série e dos retornos dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI. .
53
5.6
Autocorrelações dos retornos (primeira coluna) e dos retornos ao quadrado (segunda coluna) dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI. . . . . . .
5.7
54
Histogramas dos resíduos com as respectivas distribuições marginais sobrepostas na coluna esquerda e gráficos qqplots dos resíduos na coluna
da direita: modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Densidade a posteriori dos parâmetros de assimetrias (γ) e das persistências (α1 + β1 ) do modelo com erros SST . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9
56
57
Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo DCC-GARCH(1,1) com
erros SST e intervalo com 95% de credibilidade. . . . . . . . . . . . . .
58
B.1 Na coluna da esquerda os traços, na centro os gráficos das densidades
aproximadas e na direita o gráfico das autocorrelações da simulação da
distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo GARCH(1,1) com
erros SST aplicado ao conjunto de dados univariado do Capítulo 5. . .
72
B.2 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a
série DAX. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto
da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
B.3 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para
a série CAC40. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . .
74
LISTA DE FIGURAS
ix
B.4 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para
a série NIKKEI. Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . .
75
B.5 Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações dos parâmetros de correlação e do parâmetro de peso nas caudas.
Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados
multivariados do Capítulo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Lista de Tabelas
2.1
Razões entre a massa de probabilidade presente a esquerda de −q com
a massa de probabilidade presente a direita de q
4.1
P (X<−q)
P (X>q)
. . . . . . .
20
Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EAIC
no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o
modelo selecionado foi o mesmo utilizado na geração dos dados. . . . .
4.2
44
Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EBIC
no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o
modelo selecionado foi o mesmo utilizado na geração dos dados. . . . .
4.3
45
Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério DIC
no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o
modelo selecionado foi o mesmo utilizado na geração dos dados. . . . .
46
5.1
Critérios para seleção dos modelos univariados. . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2
Critérios para seleção dos modelos multivariados. . . . . . . . . . . . .
55
A.1 Estimativas do GARCH univariado com erros N . . . . . . . . . . . . .
66
A.2 Estimativas do GARCH univariado com erros SSN . . . . . . . . . . . .
66
A.3 Estimativas do GARCH univariado com erros ST . . . . . . . . . . . . .
67
x
xi
LISTA DE TABELAS
A.4 Estimativas do GARCH univariado com erros SST . . . . . . . . . . . .
67
A.5 Estimativas do GARCH univariado com erros GED. . . . . . . . . . .
67
A.6 Estimativas do GARCH univariado com erros SSGED. . . . . . . . . .
67
A.7 Estimativas do GARCH multivariado com erros N . . . . . . . . . . . .
68
A.8 Estimativas do GARCH multivariado com erros SSN .
. . . . . . . . .
68
A.9 Estimativas do GARCH multivariado com erros ST . . . . . . . . . . . .
69
A.10 Estimativas do GARCH multivariado com erros SST . . . . . . . . . . .
69
A.11 Estimativas do GARCH multivariado com erros GED. . . . . . . . . .
70
A.12 Estimativas do GARCH multivariado com erros SSGED. . . . . . . . .
70
Capítulo 1
Introdução
1.1
Motivação
Modelagem de volatilidade (variância condicional) é de grande interesse em Economia.
Gráficos de dados financeiros mostram que existem períodos mais voláteis do que outros, sendo que esses períodos geralmente estão distribuídos em grupos, sugerindo assim
um grau de dependência no tempo. Outra característica que geralmente esta presente
em séries financeiras, é que, em geral choques negativos tem mais influencia na volatilidade do que choques positivos, caracterizando assim, um certo grau de assimetria na
volatilidade.
Para levar em conta a presença de grupos de volatilidade é necessário a utilização de
modelos heterocedásticos condicionais, ou seja, modelos que consideram que a variância
condicional de uma série temporal não é constante. Diversos modelos para volatilidade
foram propostos na literatura, sendo que os modelos autorregressivos condicionalmente
heterocedásticos (ARCH) propostos por Engle (1982), e sua generalização os modelos
GARCH (Bollerslev 1986), bem como os modelos de volatilidade estocástica (Taylor
1982) são os mais empregados.
1.1 Motivação
2
Variações em diversas séries financeiras podem ser correlacionadas, de forma que a
volatilidade de uma série pode sofrer influencia das volatilidades de outras séries. Com
o intuito de considerar essas correlações na estimação dos modelos GARCH, diversas
extensões multivariadas surgiram na literatura, sendo que os modelos CCC-GARCH
(Constant Conditional Correlation GARCH) proposto em Bollerslev (1990) e DCCGARCH (Dynamic Conditional Correlation-GARCH) propostos simultaneamente em
Engle (2002) e Tse & Tsui (2002) estão entre os mais conhecidos.
Muitas vezes a utilização da distribuição de probabilidade Normal Padrão para os
erros dos modelos GARCH não é suficiente para adequar as características de caudas
pesadas e assimetria dos retornos financeiros. Assim, tanto para os erros dos modelos
GARCH como para os erros dos modelos DCC-GARCH, nesta dissertação é estudado
a utilização de distribuições de probabilidade com caudas mais pesadas do que a distribuição Normal Padrão e também consideramos uma forma de tornar possivelmente
assimétrica (skew) essas distribuições. A estimação é feita sob o enfoque Bayesiano o
que possibilita analisar essas características através da distribuição a posteriori dos parâmetros, uma vez que as distribuições de probabilidade utilizadas são parametrizadas
em função de parâmetros de peso nas caudas e de assimetria.
Na literatura poucos trabalhos surgiram utilizando o enfoque Bayesiano, mesmo
para os modelos univariados. Isto ocorre devido a complexidade desses modelos e ao
custo computacional da utilização de métodos computacionais baseados em simulação de Monte Carlos via Cadeias de Markov (MCMC). Nesta dissertação, os métodos
MCMC são utilizados, mas para obter maior eficiência computacional os algoritmos de
simulação da distribuição a posteriori são implementados em linguagem de baixo nível.
As principais contribuições metodológicas deste trabalho são: o estudo de distribuições possivelmente leptocúrticas e assimétricas para o termo do erro, tanto em modelos
univariados GARCH como nos modelos multivariados DCC-GARCH; abordagem Baye-
3
1.2 Conceitos Básicos
siana para estimação desses modelos; avaliação da adequação de alguns critérios para
seleção entre os modelos aqui estudados através de um estudo de simulação.
1.2
Conceitos Básicos
Nesta seção apresentamos alguns conceitos que serão utilizados nesta dissertação. Os
conceitos relacionados a séries temporais podem ser vistos detalhadamente em Morettin (2008). Um excelente texto introdutório sobre os conceitos relacionados a inferência
Bayesiana e métodos computacionais pode ser encontrado em Lynch (2007). Estudos
mais avançados sobre os algoritmos Amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings podem
ser encontrados em Casella & George (1992) e Chib & Greenberg (1995), respectivamente.
1.2.1
Retornos e Volatilidade
Considere Pt como sendo o preço de um ativo no instante t e pt como sendo o logaritmo
na base e do preço deste ativo (pt = log(Pt )). Assim o log-retorno ou simplesmente,
retorno no instante t, é definido como sendo:
Pt
yt = log
Pt−1
!
= pt − pt−1 .
Como exemplo, a Figura 1.1 (a) apresenta o gráfico da série diária dos fechamentos
da ação da Petrobrás PN, no período de 2 de janeiro de 1995 à 27 de dezembro de
2000, e a Figura 1.1 (b) apresenta o gráfico dos retornos da mesma série.
Pela Figura 1.1 podemos notar algumas das principais propriedades dos retornos,
como por exemplo estacionaridade. Isto faz com que em geral, seja preferível trabalhar
com retornos do que com o preço dos ativos.
4
1.2 Conceitos Básicos
10000 50000
Observações
(a)
0
500
1000
1500
1000
1500
Tempo
0.1
−0.2
Retornos
(b)
0
500
Tempo
Figura 1.1: Petrobrás PN: (a) Gráfico da série, (b) Gráfico dos retornos.
Outra características comum em séries de retornos financeiros consiste na existência
de autocorrelação nos quadrados dos retornos, enquanto que os retornos não possuem
autocorrelação ou em alguns casos possuem autocorrelação apenas nos primeiros lags.
Essa característica é exemplificada na Figura 1.2, onde para a mesma série da Petrobrás,
temos no gráfico (a) as autocorrelações dos retornos e no gráfico (b) as autocorrelações
dos quadrado dos retornos. Observe que no gráfico (a) existe autocorrelação apenas
para o lag 1, enquanto que no gráfico (b) existe autocorrelação para diversos lags.
Considerando uma série de retornos {yt , t = 1, . . . , T }, podemos escrever a distribuição conjunta dos retornos como o produto das distribuições de cada retorno,
condicionado os retornos anteriores:
p(y1 , . . . , yT ) = p(y1 )p(y2 |I2 )p(y3 |I3 ) . . . p(yT |IT ),
(1.1)
5
1.2 Conceitos Básicos
0.6
0.0
ACF
(a)
0
5
10
15
20
25
30
20
25
30
Lag
0.6
0.0
ACF
(b)
0
5
10
15
Lag
Figura 1.2: Petrobrás PN: (a) Autocorrelação nos retornos, (b) Autocorrelação nos
quadrados dos retornos.
sendo It = {yt−1 , yt−2 , . . .} a informação prévia até o instante t.
A variância das distribuições condicionais da equação (1.1) convencionou-se chamar
de Volatilidade e será o objetivo da modelagem. O formato de escrever distribuição
conjunta dos retornos apresentado em (1.1) é muito utilizada nos modelos para volatilidade, pois nessa modelagem sempre estaremos interessados na informação disponível
no instante t com relação ao que ocorreu nos instantes anteriores.
Algumas das características que geralmente são encontradas em séries de retornos
financeiros são:
• Retornos são em geral não autocorrelacionados;
• A distribuição incondicional dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que
a distribuição Normal;
6
1.2 Conceitos Básicos
• Os quadrados dos retornos são em geral autocorrelacionados;
• A volatilidade aparece em grupos de maior, ou menor, volatilidade;
• A volatilidade reage de modo diferente a valores positivos e negativos da série;
Os modelos que serão vistos no Capítulo 3 assumirão que a esperança de cada
distribuição condicional da equação (1.1) é zero, enquanto que a variância (volatilidade) é uma função da informação passada.
Ou seja, estes modelos assumi-
rão heterocedasticidade. Para fixar a notação, considere a volatilidade como ht =
V ar(yt |It ) = E(yt2 |It ), sendo It a informação prévia até o momento t, ou seja,
It = (yt−1 , yt−2 , . . . , ht−1 , ht−2 , . . .).
A seguir apresentaremos uma breve descrição de alguns dos principais métodos de
simulação computacional baseados em Monte Carlo via Cadeias de Markov.
1.2.2
Métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov
Suponha que temos interesse em obter características (por exemplo: média e a variância) de uma distribuição a posteriori π(θ|y), mas não podemos obter essa informação
diretamente. Entretanto, suponha que podemos construir uma Cadeia de Markov,
com espaço de estados no espaço paramétrico Θ (conjunto de todos valores possíveis
de θ), que é simples para simular e cuja distribuição de equilíbrio seja dada por π(θ|y).
Por fim, sob algumas condições de regularidade, o Teorema 1.1 garante que podemos
utilizar os valores simulados da cadeia como base para sumarizar características da
posteriori π(θ|y). A demonstração do Teorema 1.1 pode ser encontrada em Tierney
(1994).
Teorema 1.1. Suponha que {Y (t) }M
t=1 é uma Cadeia de Markov irredutível, aperiódica
com núcleo de transição P (., .) e distribuição invariante π. Se P (y, .) é absolutamente
7
1.2 Conceitos Básicos
continua com respeito a π para todo y, então π é a única distribuição invariante de
P(.,.) e para toda função h que toma valores nos reais e integrável em relação a π,
temos
Z
M
1 X
(t)
h(Y ) −→ h(y)π(y)dy,
M t=1
quando M → ∞, q.c.
Recentemente, com a evolução computacional, os métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) vem sendo cada vez mais utilizados, por conta da facilidade
na utilização e pela possibilidade de trabalhar com modelos complexos.
A seguir serão apresentados os dois métodos MCMC mais empregados, o Amostrador de Gibbs e o Metropolis-Hastings.
Amostrador de Gibbs
Considere θ = (θ1 , . . . , θk ) um vetor de variáveis aleatórias. O Amostrador de Gibbs
consiste em um algoritmo para gerar uma Cadeia de Markov da distribuição conjunta π(θ) a partir das distribuições condicionais de θi |θ−i , i = 1, . . . , k, sendo
θ−i = (θ1 , . . . , θi−1 , θi+1 , . . . , θk ).
As distribuições condicionais são obtidas a partir de:
π(θi |θ−i ) = R
π(θ)
∝ π(θ).
π(θ) dθi
Assim, a menos de uma constante, para obter a distribuição condicionais de θi |θ(i) ,
basta considerar apenas os termos da distribuição conjunta π(θ) que dependem de θi .
A seguir é apresentado o esquema do algoritmo Amostrador de Gibbs:
1. Determine valores iniciais para θ (0) e faça j = 0.
8
1.2 Conceitos Básicos
2. Obtenha um novo valor de θ (j+1) a partir de θ (j) , através da geração sucessiva
dos valores:
(j+1)
∼ π(θ1 |θ2 , θ3 , . . . , θk )
(j+1)
∼ π(θ2 |θ1
θ1
θ2
(j)
(j)
(j)
(j+1)
, θ3 , . . . , θk )
(j+1)
, θ2
(j)
(j)
..
.
(j+1)
θk
∼ π(θk |θ1
(j+1)
(j+1)
, . . . , θk−1 )
3. Faça j = j + 1 e volte ao Passo 2.
Os passo 2 e 3 devem ser repetidos até que a distribuição estacionária seja alcançada.
Em geral, as primeiras simulações são descartadas como uma amostra de aquecimento.
Pode-se considerar apenas os últimos valores gerados a cada bloco de k-simulações,
com k > 1.
Observe que não é necessário conhecer a distribuição conjunta, mas é necessário
conhecer as distribuições condicionais completas. Se as distribuições condicionais completas coincidirem com alguma distribuição de probabilidade conhecida na literatura,
então deve-se gerar valores diretamente dessa distribuição. No caso, de uma ou mais
distribuições condicionais completas não coincidirem com alguma distribuição de probabilidade conhecida, pode-se utilizar o algoritmo Metropolis-Hastings para simular da
distribuição conjunta. O algoritmo Metropolis-Hastings é apresentado a seguir.
Metropolis-Hastings
No algoritmo Metropolis-Hastings um valor é gerado de uma distribuição auxiliar (ou
distribuição proposta) e aceito com uma dada probabilidade. Este mecanismo de correção garante a convergência da cadeia para a distribuição de probabilidade de equilíbrio.
9
1.2 Conceitos Básicos
Considerando θ = (θ1 , . . . , θk ), suponha que deseja-se gerar valores da distribuição
conjunta π(θ) e a cadeia esteja no estado θ, um valor θ 0 é gerado de uma distribuição
proposta q(·|θ). Note que a distribuição proposta pode depender do estado atual da
cadeia, por exemplo q(·|θ) poderia ser uma distribuição multivariada centrada em θ.
O esquema geral do algoritmo Metropolis-Hastings é apresentado a seguir:
1. Inicialize o contador j = 0 e determine um valor inicial θ (0) .
2. Gere θ 0 da distribuição proposta q(·|θ (j) ).
3. Gere u ∼ U (0, 1).
4. Se u < p(θ 0 , θ (j) ) então faça θ (j+1) = θ 0 . Caso contrário, faça θ (j+1) = θ (j) .
5. Faça j = j + 1 e volte para o Passo 2.
No passo 4 a probabilidade de aceitação p(θ 0 , θ (j) ) é dada por:
π(θ 0 ) q(θ (j) |θ 0 )
.
p(θ , θ ) = min 1,
π(θ (j) ) q(θ 0 |θ (j) )
(
0
)
(j)
(1.2)
Observe, que a probabilidade de aceitação não depende de constantes normalizadoras,
ou seja, π(θ) pode ser conhecido a menos de uma constante. Os passo 2−5 devem ser
repetidos até que seja obtida a distribuição estacionária π(θ).
Na inferência Bayesiana o algoritmo Metropolis-Hastings é bastante utilizado para
gerar amostras da distribuição a posteriori, neste caso, a distribuição pretendida é
a posteriori π(θ|y) ∝ L(θ)π(θ), sendo L(θ) e π(θ) a função de verossimilhança e a
distribuição a priori de θ, respectivamente. Assim, se considerarmos como distribuição
proposta a priori π(θ), surge um caso especial, no qual a probabilidade de aceitação
10
1.3 Revisão Bibliográfica
apresentada em (1.2) fica resumida na razão de verossimilhanças:
L(θ 0 )
p(θ , θ ) = min 1,
.
L(θ (j) )
(
(j)
)
0
Um caso mais geral do Metropolis-Hastings e que em alguns casos pode ser mais
eficiente computacionalmente, consiste em dividir θ = (θ1 , . . . , θk ) em p
blocos
{θ1 , . . . , θp }, sendo que cada bloco contém um ou mais elementos, assim dentro de
cada iteração teremos o algoritmo aplicado p vezes. Por exemplo, definindo o vetor θ−i = (θ1 , . . . , θi−1 , θi+1 , . . . , θp ) que contém todos os elementos de θ exceto θi ,
suponha que na iteração j + 1 os blocos 1, 2, . . . , i − 1 já foram atualizados, isto é
(j)
(j+1)
θ−i = (θ1
(j+1)
(j)
, . . . , θi−1 , θi+1 , . . . , θp(j) ). Assim, para atualizar a i-ésima componente,
(j)
(j)
um valor θi0 é gerado da distribuição proposta q(·|θi , θ−i ) e este valor candidato é
aceito com probabilidade:
(j)


(j)
(j)
(j)
π(θi0 |θ−i ) q(θi |θi0 , θ−i ) 

π(θi |θ−i ) q(θi0 |θi , θ−i ) 
p(θi0 , θi ) = min 1,

(j)
(j)
(j)
(j)
.
(1.3)
Aqui, π(θi |θ−i ) é a distribuição condicional completa do bloco θi .
Note que o Amostrador de Gibbs é um caso especial do algoritmo MetropolisHastings, no qual os elementos de θ são atualizados um de cada vez (ou em blocos),
tomando a distribuição condicional completa como proposta e neste caso, a probabilidade de aceitação é igual a 1.
1.3
Revisão Bibliográfica
Os modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) foram introduzidos
por Engle (1982) e têm como ideia básica que a volatilidade (variância condicional) em
um instante t não é constante e depende dos retornos passados. Bollerslev (1986) propôs
1.3 Revisão Bibliográfica
11
uma classe de modelos que considera que a volatilidade depende, além dos valores
passados dos retornos, também dos valores passados da volatilidade, estes modelos são
os considerados GARCH (Generalized ARCH ). Os modelos GARCH são considerados
mais parcimoniosos do que os ARCH, no sentido que, em geral descrevem a volatilidade
com menos parâmetros.
Desde a criação dos modelos GARCH diversas extensões multivariadas foram propostas na literatura, uma revisão sobre vários desses modelos pode ser encontrada em
Bauwens et al. (2006). Os modelos multivariados mais utilizados foram propostos pelos
mesmos criadores dos modelos ARCH e GARCH, primeiramente foi proposto o modelo
CCC-GARCH (Constant Conditional Correlation GARCH) em Bollerslev (1990), esse
modelo considera correlação constante ao longo do tempo entre as séries de retornos.
Uma extensão do CCC-GARCH que hoje é mais utilizada é o modelo DCC-GARCH
(Dynamic Conditional Correlation GARCH) o qual foi proposto simultaneamente em
Engle (2002) e Tse & Tsui (2002), este modelo considera que a correlação entre as
volatilidades varia com o tempo através de um processo GARCH. Os modelos CCCGARCH e DCC-GARCH serão apresentados em detalhes na Seção 3.2.
Atualmente vem surgindo algumas abordagens Bayesianas para estimação dos modelos GARCH. Ardia (2006) propõe um algoritmo para estimação Bayesiana do modelo
GARCH(1,1) com erros normais. O algoritmo consiste em amostrar valores da distribuição posteriori conjunta dos parâmetros, construindo assim, uma Cadeia de Markov
para ser utilizada na estimação dos parâmetros. Nos modelos GARCH as condicionais
completas da posteriori, em geral, não coincidem com funções de densidades de probabilidade conhecidas na literatura, e assim, o algoritmo Metropolis-Hastings é utilizado.
Ainda no mesmo artigo, para melhorar o desempenho do algoritmo a amostragem é
feita por uma abordagem sugerida por Nakatsuma (1998), a qual utiliza uma transformação paramétrica e uma aproximação normal.
1.3 Revisão Bibliográfica
12
Devido a evidências na literatura de que muitas séries temporais financeiras tendem
a ter a curtose observada maior do que aquela considerada por um modelo GARCH
com erros normais, Ardia (2008) propõe a estimação Bayesiana do modelo GARCH(1,1)
com erros t-Student através de um algoritmo MCMC. A implementação em R de ambos algoritmos, pode ser encontrada no pacote bayesGARCH (Ardia 2011). Além da
distribuição t-Student, outra distribuição de probabilidade possivelmente leptocúrtica
que vem sendo usada para os erros do modelo GARCH é a GED (Generalized Error
Distribution), que pode ser encontrada na forma univariada e com uma das extensões
multivariada em Gómez et al. (1998).
Uma das preocupações atuais, tem sido com a evidência empírica de assimetria
nos retornos financeiros, não tratada pelos modelos GARCH, isto levou alguns pesquisadores a proporem extensões para o modelo. Nelson (1991) introduziu os modelos
EGARCH (Exponential GARCH), Glosten et al. (1993) introduziram os modelos GJR,
mas uma das extensões que mostrou-se mais promissora foi a APARCH (Asymmetric
Power ARCH) introduzidas por Ding et al. (1993). Os modelos APARCH generalizam
vários modelos GARCH assimétricos, entre eles, os EGARCH e os GJR (veja, Laurent
(2004)).
Outra forma de tratar a assimetria nos retornos através dos modelos GARCH consiste em assumir algum grau de assimetria na distribuição dos erros. Em Pipien (2006)
são revisados diversos métodos para inserir assimetria em qualquer distribuição de probabilidade univariada, continua, unimodal e simétrica. Na literatura o método para
inserir assimetria que vem sendo mais explorado é o proposto em Fernandez & Steel
(1998) para distribuições de probabilidade univariadas e generalizado para as distribuições multivariadas em Bauwens & Laurent (2005). O método de Fernandez e Steel
transforma a distribuição de probabilidade simétrica em uma distribuição possivelmente assimétrica acrescentado apenas um parâmetro, o qual pode ser interpretado
como um parâmetro de assimetria, que no caso igual a 1 torna a distribuição simétrica,
1.3 Revisão Bibliográfica
13
se menor que 1, então a distribuição terá maior massa a esquerda da moda e se maior
que 1 terá maior massa a direita da moda. O método de Fernandez & Steel (1998) e
sua generalização multivarida de Bauwens & Laurent (2005) será explicada em detalhes
no Capítulo 2.
Outras propostas recentes para modelar características não captadas pelos modelos
GARCH usuais são: modelos com mudança de regime estocástica (Markov switching,
Bauwens et al. (2008), Ardia (2009)), e misturas de distribuições para os erros (ver
por exemplo Ausin & Galeano (2007)).
Outra classe de modelos para volatilidade são os modelos de Volatilidade Estocástica
(VE), propostos por Taylor (1982), os quais tem sido uma alternativa aos modelos da
família GARCH. Em alguns casos, estes modelos são conhecidos por modelarem melhor
a volatilidade do que os modelos GARCH (veja, Kim et al. (1998), Barossi-Filho
et al. (2010)), mas são considerados de difícil estimação, isso porque nesses modelos
não é possível obter a função verossimilhança de forma analítica, pois as volatilidades
aparecem como variáveis latentes. Iniciado, por Jacquier et al. (1994) os métodos
MCMC tem sido usados para estimar os parâmetros e as log-volatilidades do modelo
de VE do ponto de vista Bayesiano. Na classe de modelos VE também tem surgido
propostas na literatura para relaxar a hipótese de normalidade dos erros introduzindose distribuições com caudas mais pesadas bem como distribuições assimétricas (ver
por exemplo, Liesenfeld & Jung (2000) e Cappuccio et al. (2004)). A utilização das
distribuições de probabilidade que serão obtidas no Capítulo 2 para os erros dos modelos
VE nos casos univariados e multivariados ficará como proposta futura de pesquisa nesta
dissertação.
1.4 Apresentação de Capítulos
1.4
14
Apresentação de Capítulos
No Capítulo 1 foi apresentada a motivação para o projeto e alguns conceitos básicos,
incluindo uma introdução aos conceitos de retornos e volatilidade em séries temporais e aos principais métodos computacionais baseados em Monte Carlo via Cadeias
de Markov (Amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings). Ainda neste capítulo, também é feita uma revisão bibliográfica de alguns trabalhos referentes a distribuições
assimétricas e modelos GARCH.
O Capítulo 2 define o conceito de simetria em distribuições de probabilidade univariadas e multivariadas e apresenta um método para obter uma generalização possivelmente assimétrica (dependendo do valor do parâmetro de assimetria) dessas distribuições, desde que estas sejam, contínuas e unimodais. O método é então aplicado
a três distribuições de probabilidade comumente utilizadas para os erros dos modelos
GARCH.
Os modelos GARCH, foco do estudo dessa dissertação, são apresentados no Capítulo 3.
Inicialmente, são introduzidos os modelos univariados conhecidos como
GARCH(p,q), em seguida são apresentadas duas de suas generalizações multivariadas, os modelos CCC-GARCH e DCC-GARCH. Ainda, neste capítulo, é apresentado
dois algoritmos para simulação da distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo
DCC-GARCH. Lembrando que o modelo DCC-GARCH generaliza o modelo GARCH
univariado e portanto o mesmo algoritmo pode ser utilizado para o GARCH univariado.
No Capítulo 4 é apresentado um estudo de simulação para avaliar se alguns critérios para seleção de modelos conhecidos na literatura são adequados para distinguir
entre os modelos aqui estudados. No Capítulo 5 os modelos estudados são aplicados a
dois conjuntos de dados reais, uma para os modelos univariados e outro para os modelos multivariados, a estimação é feita utilizando uma implementação dos algoritmos
1.4 Apresentação de Capítulos
15
apresentados no Capítulo 3. Estes, então são comparados via critérios de seleção de
modelos e é feita a análise de resíduo para o modelo selecionado.
Por fim, no Capítulo 6 temos as considerações finais e a conclusão da dissertação.
Em seguida, são apresentadas as referências bibliográficas e o Apêndice A com as
estimativas a posteriori de todos os modelos utilizados no Capítulo 5.
Capítulo 2
Distribuições Assimétricas
Neste capítulo apresentaremos o método de Fernandez & Steel (1998) para inserir
assimetria em qualquer função de distribuição de probabilidade contínua, simétrica,
unimodal e definida nos reais. Em seguida apresentaremos o método de Bauwens
& Laurent (2005), o qual generaliza o método de Fernandez & Steel (1998) para as
distribuições multivariadas.
2.1
Método Univariado
Diversas propostas para introduzir assimetria em distribuições simétricas surgiram na
literatura, dentre elas podemos citar, Azzalini (1985), Fernandez & Steel (1998), Branco
& Dey (2001), Azzaline & Capitanio (2003), Jones & Faddy (2003). Mas devido a simplicidade e generalidade neste capítulo nos concentraremos na proposta de Fernandez
& Steel (1998). Neste método os momentos são mais fáceis de serem calculados e não
é necessário obter a função de distribuição acumulada. Ainda, no contexto Bayesiano,
o método facilita a especificação das distribuições a priori separando os efeitos dos
parâmetros de assimetria e de cauda.
16
2.1 Método Univariado
17
Considere p(x) uma função de densidade unimodal, definida na reta e simétrica em
torno do zero. Neste caso, consideramos p(x) simétrica se p(x) = p(−x), para todo
x ∈ R. O método proposto em Fernandez & Steel (1998) é conhecido como método de
escala inversa de fatores. Este obtêm uma função de densidade s(x|γ) a partir de p(x)
a qual é assimétrica e possui o grau de assimetria indexado pelo parâmetro adicional
γ > 0. Quando o valor da variável aleatória é menor que zero então s(x|γ) ∝ p(xγ), caso
contrário, s(x|γ) ∝ p( γx ). A função de densidade de probabilidade s(x|γ) é apresentada
a seguir:
n
o
2
p(xγ)I
(x)
+
p(x/γ)I
(x)
(−∞,0)
[0,∞)
γ + γ −1
2
p(xγ −sign(x) ),
=
γ + γ −1
s(x|γ) =
sendo IA (x) a função indicadora no conjunto A e sign(x) é igual a −1, se x < 0 e igual
a +1 , se x ≥ 0.
Algumas das principais características de s(x|γ) são apresentadas a seguir:
1. Se γ = 1 então obtemos o caso simétrico, isto é, s(x|γ = 1) = p(x).
2. s(x|γ) mantém a mesma moda da p(x). Como p(x) é unimodal e simétrica em
torno do zero, a moda sempre é no zero.
3. A massa de probabilidade a esquerda e a direita de zero é independente de p(x):
γ2
2γ Z ∞
p(x/γ)dx
=
,
P (X ≥ 0) =
1 + γ2 0
1 + γ2
1
P (X ≤ 0) = 1 − P (X ≥ 0) =
,
1 + γ2
P (X ≥ 0)
= γ 2.
P (X ≤ 0)
4. Assimetria a direita (esquerda) corresponde a γ > 1 (γ < 1).
18
2.1 Método Univariado
5. A existência dos momentos de s(x|γ) depende unicamente dos momento absolutos
de p(x). O r-ésimo momento é dado por:
γ r+1 + (−1)r /γ r+1
E(X |γi ) =
Mr ,
γ + 1/γ
r
sendo
Mr = 2
Z ∞
xr p(x) dx
0
(2.1)
o r-ésimo momento absoluto de p(x).
6. A média e a variância são dados por:
µ = M1 (γ − 1/γ)
(2.2)
σ 2 = (M2 − M12 )(γ 2 + 1/γ 2 ) + 2M12 − M2
(2.3)
7. A versão padronizada da função de densidade s(x|γ) é a distribuição de probabilidade da variável aleatória Z = (X − µ)/σ, a qual é dada por:
p(z|γ) = s(zσ + µ|γ)
=
sendo,
z∗ =
dx
= s(zσ + µ|γ)σ
dz
2σ
p(z ∗ ),
γ + γ −1
(2.4)




(zσ + µ)γ, se z < −µ/σ



(zσ + µ)/γ, se z ≥ −µ/σ
(2.5)
e p(z ∗ ) a função de densidade simétrica calculada em z ∗ .
Como exemplo, se aplicarmos o método apresentado em (2.4) na distribuição de
probabilidade Normal Padrão, obtemos:
(2/π)1/2
(x∗ )2
p(x|γ) =
exp
,
γ + γ −1
2
(
)
(2.6)
19
2.1 Método Univariado
sendo, x∗ dado como em (2.5). No caso da função de distribuição simétrica p(x) ser
padronizada temos o segundo momento absoluto será dado por M2 = 1. Neste exemplo
então, temos M2 = 1 e aplicando (2.1) obtemos M1 = (2/π)1/2 . Desta forma, das
expressões (2.2) e (2.3) obtemos a média a variância da versão assimétrica da Normal
Padrão:
µ = (2/π)1/2 (γ − 1/γ)
σ 2 = (γ 2 + γ −1 − 1) − µ2 .
A função de densidade (2.6) será referenciada no texto como SSN (0, 1, γ) (Standard
Skew Normal). A Figura 2.1 apresenta o gráfico dessa distribuição nas versões com
parâmetro de assimetria igual a 1, 0, 0, 7 e 1, 3, sendo respectivamente a versão simétrica, uma versão assimétrica a esquerda e uma versão assimétrica a direita. Observe
0.4
que no caso padronizado a função de densidade não possui moda igual a zero.
0.2
0.0
0.1
p(x|γ)
0.3
γ = 1.0
γ = 0.7
γ = 1.3
−4
−2
0
2
4
x
Figura 2.1: Versão padronizada da distribuição Normal Assimétrica.
A assimetria torna-se mais evidente quando quando comparamos a massa de pro-
20
2.2 Método Multivariado
babilidade presente nas caudas da distribuição. Como exemplo, para a função de
densidade (2.6), a Tabela 2.1 apresenta os valores de P (X < −q)/P (X > q), isto é,
a razão entre a massa de probabilidade presente a esquerda de −q com a massa de
probabilidade presente a direita de q, sendo q ≥ 0. Observe que mesmo com γ = 0, 9,
o que graficamente seria próximo de simetria, a massa de probabilidade presente na
cauda esquerda não é próxima da massa de probabilidade presente na cauda direita.
Note que o valor desta razão aumenta quando aumentamos o valor de q.
Tabela 2.1: Razões entre a massa de probabilidade
presente
a esquerda de −q com a
P (X<−q)
massa de probabilidade presente a direita de q P (X>q) .
γ = 0, 9
γ = 0, 7
2.2
q=1
1,0192
1,0584
q=2
1,5183
4,9009
q=3
3,3238
119,7992
Método Multivariado
O conceito de distribuições simétricas em torno do zero apresentado na Seção 2.1 é
generalizado para distribuições multivariadas na definição a seguir (Bauwens & Laurent
(2005)):
Definição 2.1. Uma distribuição de probabilidade unimodal p(x) definida em Rm ,
com E(X) = 0 e V ar(X) = Im é simétrica se, e somente se, para qualquer x,
p(x) = p(Qx) para qualquer matriz diagonal Q cujos elementos da diagonal são iguais
a 1 ou −1.
Considerando p(x) como na Definição 2.1 o método para inserir assimetria de
Bauwens & Laurent (2005) generaliza para o caso multivariado o método de Fernandez
21
2.2 Método Multivariado
& Steel (1998) apresentado na Seção 2.1. Este método é dado por:
m
Y
!
γi
p(x∗ ),
2
i=1 1 + γi
s(x|γ) = 2
m
(2.7)
sendo, x∗ = (x∗1 , . . . , x∗m )0 , x∗i = xi /γi se xi ≥ 0 e x∗i = xi γi se xi < 0. Os parâmetros
de assimetria são dados por γ = (γ1 , . . . , γm )0 , com γi > 0. Se γi = 1 então a marginal
correspondente é simétrica.
Os momentos de p(x|γ) podem ser obtidos em função dos momentos absolutos das
distribuições marginais de p(x) como em Fernandez & Steel (1998). Isto é,
E(Xir |γi ) =
γir+1 + (−1)r /γ r+1
Mr ,
γi + 1/γi
(2.8)
sendo
Mr = 2
Z ∞
0
xri p(xi ) dxi,
para qualquer r ∈ N.
Em geral, mesmo p(x) sendo padronizada a distribuição resultante s(x|γ) não será
padronizada. Mas desde que o primeiro momento absoluto da distribuição marginal
p(xi ) seja conhecido podemos utilizar a expressão (2.8) para obtermos o vetor de médias
2 0
) de s(x|γ). Como p(x)
µ = (µ1 , . . . , µm )0 e o vetor de variâncias σ 2 = (σ12 , . . . , σm
é padronizada, é fácil ver que M2 = 1, logo da expressão (2.8) temos as médias e as
variâncias de p(x|γ):
µi = E(Xi |γi ) = (γi − γi−1 )M1 ,
σi2 =
γi3 + γi−3
M2 − µ2i = (γi2 + γi−2 − 1) − µ2i ,
γi + γi−1
(2.9)
(2.10)
para i = 1, . . . , m.
Assim, a versão padronizada da função de densidade (2.7) é a distribuição de pro-
22
2.2 Método Multivariado
babilidade do vetor aleatório Z = (Z1 , . . . , Zm )0 , no qual Zi = (Xi − µi )/σi , a qual é
dada por:
p(z|γ) = 2
sendo,
zi∗ =
m
"m
Y
#
γi
σ p(z ∗ ),
2 i
i=1 1 + γi




(zi σi + µi )/γi , se zi ≥ −µi /σi



(zi σi + µi )γi , se zi < −µi /σi .
(2.11)
(2.12)
A seguir aplicaremos o método para as distribuições de probabilidade Normal, tStudent e GED multivariadas. Vale lembrar que para obter o caso univariado das
distribuições a seguir, basta utilizar m = 1.
2.2.1
Normal
A distribuição Normal m-Variada denotada por N (0, Im ) é definida como produto de
m distribuições Normais Padrão N (0, 1), logo possui distribuições marginais N (0, 1).
A distribuição N (0, Im ) é dada por:
m
1X
1
exp
−
x2 .
p(x) =
(2π)m/2
2 i=1 i
(
)
(2.13)
Calculando o momento absoluto da N (0, 1), temos:
2 Z∞
x2i
=
x
exp
−
dxi
i
(2π)1/2 0
2
2
=
.
(2π)1/2
(
M1
)
(2.14)
Logo, substituindo (2.14) em (2.9) obtemos as médias marginais da versão assimétrica da função de densidade (2.13):
µi = (2/π)1/2 (γi − γi−1 ).
23
2.2 Método Multivariado
Para i = 1, . . . , m. As variâncias marginais são obtidas diretamente da expressão
(2.10). Por fim, da expressão (2.11) obtemos a distribuição de probabilidade Normal
Assimétrica e Padronizada (SSN (0, Im , γ), Standard Skew Normal).
p(z|γ) =
2
π
m/2
m
Y
γi σi
2
i=1 1 + γi
!
m
1X
exp −
zi∗ 2 ,
2 i=1
(
)
sendo, zi∗ dado pelas expressões (2.12).
2.2.2
t-Student
Uma generalização multivariada da distribuição t-Student é definida como:
x0 x
Γ((ν + m)/2)
1+
p(x|ν) =
Γ(ν/2)[π(ν − 2)]m/2
ν−2
!−(m+ν)/2
.
(2.15)
Essa distribuição de probabilidade será denotada por ST (0, Im , ν) (Standard tStudent), sendo essa padronizada e com distribuições marginais ST (0, 1, ν). A distribuição ST (0, Im , ν) satisfaz a Definição 2.1 e portanto, podemos aplicar o método
de Bauwens & Laurent (2005).
Calculemos inicialmente o primeiro momento absoluto da distribuição ST (0, 1, ν):
M1
!− ν+1
Z ∞
2
x2i
2Γ((ν + 1)/2)
=
x
1
+
dxi
i
Γ(ν/2)(π(ν − 2))1/2 0
ν−2
=
2Γ((ν + 1)/2) (ν − 2)
Γ(ν/2)(π(ν − 2))1/2 (ν − 1)
√
Γ((ν − 1)/2) ν − 2
√
=
.
Γ(ν/2) π
(2.16)
Substituindo (2.16) na expressão (2.9) temos que o vetor de médias da versão assi-
24
2.2 Método Multivariado
métrica da função de densidade (2.15) são formados pelos elementos:
µi = (γi −
Γ((ν
γi−1 )
√
− 1)/2) ν − 2
√
.
Γ(ν/2) π
Por fim, da expressão (2.12) obtemos a distribuição de probabilidade t-Student
assimétrica e padronizada (SST (0, Im , γ, ν), Standard Skew t-Student).
p(z|γ, ν) =
2
√
π
!m
m
Y
γi σi
2
i=1 1 + γi
!
Γ( ν+m
)
z∗ z∗
2
1
+
Γ( ν2 )(ν − 2)m/2
ν−2
0
!− m+ν
2
,
(2.17)
sendo, σi e zi∗ dado pelas expressões (2.10) e (2.12), respectivamente.
2.2.3
GED
A distribuição GED (Generalized Error Distribution) padronizada é escrita no caso
univariado como:
"
p(x|k) =
Γ(3/k)
Γ(1/k)
#1/2
exp −
h
i
Γ(3/k) 2 k/2
x
Γ(1/k)
2Γ((k + 1)/k)
.
(2.18)
Essa distribuição generaliza a distribuição Normal podendo ter caudas mais leves
(k > 2) ou mais pesadas (k < 2) do que a Normal Padrão (N (0, 1)) e se k = 2 obtemos
a distribuição Normal.
Algumas generalizações multivariadas da distribuição GED foram propostas na literatura, como por exemplo em Gómez et al. (1998) e Giller (2005), mas as marginais
dessas distribuições são difíceis de obter, assim como os momentos absolutos das marginais. Por este motivo, neste trabalho optou-se por utilizar a distribuição conjunta de
m variáveis aleatórias independentes, garantindo assim, que as marginais serão a distribuição apresentada em (2.18). Desta forma, a distribuição de probabilidade conjunta
25
2.2 Método Multivariado
do vetor aleatório X = (X1 , . . . , Xm )0 é dada por:
"
p(x|k) =
Γ(3/k)
Γ(1/k)
#m/2
exp −
h
i
Γ(3/k) k/2
Γ(1/k)
Pm
k
i=1 |xi |
[2Γ((k + 1)/k)]m
(2.19)
.
Como a distribuição (2.18) é padronizada, teremos E(X) = 0 e V ar(X) = Im
e assim podemos utilizar o método de Bauwens & Laurent (2005) para inserir assimetria. Para facilitar a notação referiremos a distribuição GED Multivariada como
GED(0, Im , k) e a distribuição resultante da aplicação do método e padronizada como
SSGED(0, Im , γ, k) (Standard Skew GED).
Calculemos inicialmente o primeiro momento absoluto da distribuição GED(0, 1, k):
Γ(3/k)
= 2
Γ(1/k)
"
M1
"
=
=
Γ(3/k)
Γ(1/k)
#1/2
#1/2

Z ∞

1
Γ(3/k) 2
x exp −
x

2Γ((k + 1)/k) 0
Γ(1/k)
"
#k/2 

dx

1
Γ((k + 1)/k)Γ(2/k)
Γ((k + 1)/k)
Γ(3/k)
Γ(2/k)
.
[Γ(1/k)Γ(3/k)]1/2
(2.20)
Logo, substituindo (2.20) na expressão (2.8) temos que o vetor de médias da versão
assimétrica da função de densidade (2.19) é formado pelos elementos:
µi = (γi − γi−1 )
Γ(2/k)
,
[Γ(1/k)Γ(3/k)]1/2
(2.21)
para i = 1, . . . , m.
Por fim, substituindo (2.19) em (2.11) temos a distribuição de probabilidade GED
26
2.2 Método Multivariado
Assimétrica e Padronizada (SSGED(0, Im , γ, k), Standard Skew GED):
p(z|γ) = 2m
"m
Y
γi
σ
2 i
i=1 1 + γi
#"
Γ(3/k)
Γ(1/k)
#m/2
exp −
h
i
Γ(3/k) k/2
Γ(1/k)
Pm
∗ k
i=1 |zi |
(2/k)m [Γ(1/k)]m
,
(2.22)
sendo µi , σi2 e zi∗ dados por (2.21), (2.10) e (2.12), respectivamente.
Assim, como a distribuição SSN consiste em caso particular da SST , também
consiste em um caso particular da SSGED, com k = 2.
As distribuições de probabilidade apresentadas neste capítulo serão aplicadas no
contexto de modelos GARCH univariados e multivariados, os quais serão apresentados
em detalhes no Capitulo 3.
Capítulo 3
Modelos GARCH
Na modelagem estatística paramétrica de volatilidade, os modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) estão entre os principais modelos
empregados. O sucesso desses modelos deve-se principalmente à incorporação de certas características de dados financeiros em suas estruturas, tais como acomodação de
caudas pesadas e autocorrelação entre os quadrados de retornos financeiros.
É uma extensão natural considerar-se a modelagem simultânea de um conjunto de
séries de retornos definindo-se modelos GARCH multivariados. Podemos estar interessados por exemplo em estudar as relações entre as volatilidades e co-volatilidades
de vários mercados. Claramente, a construção de medidas de risco de um portfólio de
ativos financeiros será influenciada pela estrutura de dependência entre as séries que
compõem o portfólio.
Neste capítulo serão apresentados o modelo GARCH univariado de Bollerslev (1986)
e duas das principais extensões multivariadas, o CCC-GARCH de Bollerslev (1990) e
o DCC-GARCH de Engle (2002).
27
28
3.1 Modelos Univariados
3.1
Modelos Univariados
Considere y = {yt , t = 1, . . . , T } como uma série de retornos. O modelo GARCH(p,q)
é definido como:
q
yt = t ht , t ∼ D(0, 1)
ht = ω +
p
X
i=1
2
αi yt−i
+
q
X
βj ht−j ,
(3.1)
(3.2)
j=1
sendo os t independentes e identicamente distribuídos e D(0, 1) uma distribuição de
probabilidade com média zero e variância 1. Então ht é a variância condicional (não
observável) de yt dada a informação prévia It = {yt−1 , yt−2 , . . . }. As restrições suficientes de positividade e estacionaridade de ht são ω > 0, αi ≥ 0, i = 1, . . . , p, βj ≥ 0,
j = 1, . . . , q e
Pp
i=1
αi +
Pq
j=1
βj < 1.
Considerando a esperança e a variância de yt dado It , temos:
E[yt |It ] =
q
ht E[t |It ] =
q
ht E[t ] = 0
V ar[yt |It ] = E[yt2 |It ] = ht V ar[t ] = ht .
(3.3)
(3.4)
Logo, podemos utilizar a equação (3.3) para calcular a esperança incondicional:
E[yt ] = E[E[yt |It ]] = E[0] = 0.
Considerando agora a equação (3.4) para calcular variância incondicional, temos:
V ar[yt ] = E[yt2 ] = E[E[yt2 |It ]] = E[ht ].
(3.5)
29
3.1 Modelos Univariados
Assumindo que a série y seja estacionária das equações (3.2) e (3.5) é fácil ver que
E[yt2 ] =
ω
P
1−
p
i=1
αi +
Pq
j=1 βj
.
(3.6)
Da equação (3.6), temos que, para existir a variância incondicional de yt é necessário
que
Pp
i=1
αi +
Pq
j=1
βj < 1, justificando assim a restrição de estacionaridade do modelo.
√
Como da expressão (3.1) temos que t = yt / ht , podemos escrever a fdp condicional
do retorno yt em função da fdp de t . Obtemos assim,
p(yt |It ) = (ht )
−1/2
q
p (yt / ht ),
(3.7)
sendo p a função de densidade de probabilidade de t . Agora, podemos obter a função
de verossimilhança do modelo substituindo (3.7) em (1.1). Logo, a função de verossimilhança do modelo será dada por:
L(θ) =
T
Y
q
(ht )−1/2 p (yt / ht ),
t=1
sendo θ = (ω, α1 , . . . , αp , β1 , . . . , βq )0 o conjunto de todos os parâmetros.
Vale notar que mesmo se t ∼ N (0, 1) a distribuição incondicional de yt não é
a Normal, em particular tendo caudas mais pesadas do que a Normal. No entanto,
existe evidência na literatura de que muitas séries temporais financeiras tendem a ter a
curtose observada ainda maior do que aquela implicada por um modelo GARCH com
erros normais. Sendo assim, alguns autores têm proposto distribuições com caudas
mais pesadas do que a Normal para os erros t . Por exemplo, a distribuição t-Student
com ν graus de liberdade (Baillie & Bollerslev (1989), Ardia (2008)).
Identificar a ordem de um modelo GARCH a ser ajustado a uma série pode ser
difícil. Em Morettin (2008) recomenda-se a utilização de modelos de ordem baixa (por
30
3.1 Modelos Univariados
exemplo: (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2)) e escolhe-se o modelo com base em critérios, como
o AIC (Akaike 1974) e o BIC (Schwarz 1978), entre outros. O autor também afirma,
que na maioria das series financeiras um modelo GARCH(1,1) é o mais parcimonioso
para descrever a volatilidade.
Nesta dissertação, o desenvolvimento do algoritmo de estimação será focado no
modelo GARCH(1,1), já que modelos GARCH de outras ordens podem ser estimados
de forma semelhante. A distribuição de probabilidade dos erros será considerada na
forma assimétrica apresentada no Capítulo 2, lembrando que para obter o caso simétrico
basta fixar γ = 1.
Sob o enfoque Bayesiano é necessário determinar a distribuição a priori dos parâmetros do modelo. Para os parâmetros do GARCH(1,1) utilizaremos as distribuições
a priori propostas em Ardia (2006). Estás são normais truncadas no espaço paramétrico de cada um dos parâmetros, também assumiremos independência a priori entre
os parâmetros, desta forma obtemos: ω ∼ N (µω , σω2 )I(ω>0) , α1 ∼ N (µα , σα2 )I(0<α<1)
e β1 ∼ N (µβ , σβ2 )I(0<β<1) , sendo µω , µα , µβ , σω2 , σα2 e σβ2 hiperparâmetros. A notação
N (µ, σ 2 )I(a<x<b) , com b > a, representa a função densidade de probabilidade:
1
(x − µ)2
1
×√
,
exp −
φ(b) − φ(a)
2σ 2
2πσ 2
!
x ∈ (a, b),
sendo φ(.) a função de densidade acumulada da distribuição normal com média µ e
variância σ 2 .
No caso, de utilizamos uma distribuição assimétrica, como as apresentadas no Capítulo 2, será necessário estimar o parâmetro assimetria, neste caso Fernandez & Steel
(1998) propuseram usar uma distribuição a priori Gama(a, b) para γ 2 . A idéia é esco-
31
3.1 Modelos Univariados
lher os valores de a e b de modo que E(γ) = 1.
ba Z ∞
2
1 = Eγ 2 (γ) =
γ (γ 2 )a−1 e−bγ dγ 2
Γ(a) 0
ba Z ∞ 2 (a+0,5)−1 −bγ 2 2
=
(γ )
e
dγ
Γ(a) 0
ba Γ(a + 0.5)
=
,
Γ(a) ba+0.5
o que implica,

b=
Γ a+
1
2
2
Γ(a)

(3.8)
.
Considerando b como em (3.8) podemos fixar o valor de a controlando a variância
a priori e a probabilidade a priori de γ ∈ (0, 1). Fixando a = 0, 5 obtemos b ≈ 0, 32,
o que nos leva a V ar(γ) = π/2 − 1 ≈ 0, 57 e P (0 < γ < 1) ≈ 0, 58 o que parece ser
uma escolha razoável. Além disso, esta particular escolha é equivalente a especificar
γ ∼ N (0, 0, 64−1 )I(γ>0) , pois considerando Πγ e Πγ 2 como as densidades a priori de γ
e γ 2 , respectivamente, temos:
Πγ (γ|a = 0, 5, b = 0, 32) = 2γ × Πγ 2 γ 2 |a = 0, 5, b = 0, 32
∝ γ (γ 2 )1/2−1 exp(−0, 32 γ 2 )
1
0, 64 γ 2
2
(
)
γ2
∝ exp −
, γ ∈ (0, ∞).
2 (0, 64)−1
∝ exp −
Ainda, quando utilizarmos a distribuição SST (0, 1, γ, ν) apresentada em (2.17)
ou SSGED(0, 1, γ, k) apresentada em (2.22) devemos estimar o parâmetro de cauda
ν ou k, respectivamente.
Neste caso, será utilizado ν ∼ N (µν , σν2 )I(ν>2) e k ∼
N (µk , σk2 )I(k>0) , sendo µν , µk , σν2 e σk2 hiperparâmetros.
Vale lembrar que a utilização da distribuição de probabilidade Normal para as
32
3.2 Modelos Multivariados
prioris, facilita a inserção de informação em uma determinada região de interesse através dos parâmetros µ e σ 2 da distribuição Normal (N (µ, σ 2 )), mesmo que no caso de
truncamento esses hiperparâmetros não representem a média e a variância, mas ainda
controlam a região de maior massa de probabilidade. A seguir apresentaremos os modelos multivariados e logo, em seguida apresentaremos dois algoritmos de simulação
da distribuição a posteriori dos parâmetros que pode ser tanto usado para o modelo
multivariado quando para o modelo univariado.
3.2
Modelos Multivariados
Considere yt = (yt1 , . . . , yt,m )0 como sendo um vetor de retornos no instante t para m
séries temporais. Assim, as extensões multivariadas dos modelos GARCH podem ser
escritas como:
1/2
yt = Ht t ,
(3.9)
1/2
sendo Ht a matriz de covariâncias condicionais e Ht
a matriz m×m positiva definida,
obtida pela decomposição de Cholesky da matriz Ht . O vetor dos erros t tem ordem
m × 1 e tem média e variância dado por:
E(t ) = 0
V ar(t ) = Im ,
sendo, Im a matriz identidade de ordem m.
Assim, temos que a média e a variância do vetor yt condicionado na informação
33
3.2 Modelos Multivariados
prévia até o momento t (It = {yt−1 , yt−2 , . . .}), são dados por:
1/2
1/2
E(yt |It ) = E(Ht t |It ) = Ht E(t ) = 0
1/2
1/2
1/2
V ar(yt |It ) = V ar(Ht t |It ) = Ht V ar(t )(Ht )0 = Ht .
Diversas formas de especificar a matriz Ht foram propostas na literatura. Neste
trabalho, concentraremos em uma forma não linear de combinar GARCH univariados,
os modelos CC-GARCH (Conditional Correlation GARCH). Outros modelos conhecidos na literatura são os modelos VEC de Bollerslev et al. (1988) e os modelos BEKK
de Engle & Kroner (1995). Uma revisão das diversas formas de modelar a matriz de
covariâncias condicionais pode ser encontrada em Bauwens et al. (2006).
A primeira classe dos modelos CC-GARCH foi proposta em Bollerslev (1990), os
modelos CCC-GARCH (Constant Condicional Correlation GARCH), os quais definem
a matriz Ht como:
Ht = Dt RDt ,
sendo,
1/2
1/2
Dt = diag(h11,t , . . . , hmm,t ),
(3.10)
e hii,t é definido como em um GARCH univariado de qualquer ordem. Assim, se
especificarmos um GARCH(1,1) para cada variância condicional de Dt , teremos, hii,t =
2
ωi + α1,i yi,t−1
+ β1,i hii,t−1 , com ωi > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0 e αi + βi < 1, para i = 1, . . . , m.
A matriz de correlações R = {ρij }j=1,...,m
i=1,...,m é simétrica e positiva definida com ρii = 1.
Obviamente, ρij = ρji , logo, os parâmetros adicionais desse modelo serão todos ρij com
i > j, para i, j = 1, . . . , m. Logo, é fácil ver que o número total de parâmetros desse
modelo é m(m + 5)/2. Desta forma, o número de parâmetros cresce rapidamente de
acordo com o número de séries, note que para 3 séries (m = 3), teremos 12 parâmetros,
enquanto que para 5 séries (m = 5), teremos 25 parâmetros.
34
3.2 Modelos Multivariados
Alguns modelos mais parcimoniosos foram propostos na literatura, sendo que Engle
(2002) e Tse & Tsui (2002) independentemente propuseram um modelo CC-GARCH
que considera que a matriz de correlações condicionais varie no tempo, este modelo é
conhecido como DCC-GARCH (Dynamic Conditional Correlation GARCH). Adotando
a abordagem de Engle (2002) a matriz de covariâncias é escrita como:
Ht = Dt Rt Dt ,
sendo que, Dt é especificado como em (3.10) e Rt como:
Rt = diag(Qt )−1/2 Qt diag(Qt )−1/2
Qt = (1 − a − b)R + aµt−1 µ0t−1 + bQt−1 ,
sendo µt = Dt−1 yt , R a matriz de covariâncias incondicionais de µt . As restrições de
estacionaridade dos parâmetros adicionais são a > 0, b > 0 e a + b < 1.
Além de modelar a correlação condicional com variação no tempo, o modelo DCCGARCH também possui a vantagem de acrescentar apenas dois parâmetros independentemente do número séries escolhidas. Sendo assim, se considerarmos o modelo
GARCH(1,1) para cada variância condicional em Dt , o número de parâmetros do modelo será 3m + 2. Logo, se considerarmos 3 séries (m = 3) teremos 11 parâmetros e se
considerarmos 5 séries (m = 5), teremos 17 parâmetros.
Assim como nos modelos univariados a função densidade de probabilidade dos retornos nos modelos CC-GARCH pode ser obtida em função da densidade de probabilidade
escolhida para os erros t . Considerando θ como o conjunto de todos os parâmetros
do modelo, podemos escrever a distribuição conjunta dos retornos como produto das
35
3.2 Modelos Multivariados
distribuições condicionais (θ foi omitido para simplificar a notação):
p(y1 , . . . , yT |θ) = p(y1 )p(y2 |y1 )p(y3 |y2 , y1 ) . . . p(yT |IT ).
(3.11)
Da expressão (3.9), obtermos as distribuições condicionais dos retornos em função da
distribuição dos erros:
−1/2
p(yt |It ) = |Ht |−1/2 pt (Ht
yt ), t = 1, . . . , T.
(3.12)
Assim, substituindo (3.12) em (3.11), obtemos a função de verossimilhança, que é dada
por:
L(θ) = p(y1 , . . . , yT ) =
T
Y
−1/2
|Ht |−1/2 pt (Ht
yt ).
t=1
Para o modelo DCC-GARCH é fácil ver que:
L(θ) =
T
Y
t=1
"m
#
Y −1/2
hii,t
|Rt |−1/2 pt (Dt Rt Dt )−1/2 yt .
i=1
Sob o enfoque Bayesiano é necessário determinar a distribuição a priori dos parâmetros do modelo. A proposta adotada neste trabalho consiste em estender para os
modelos multivariados a abordagem apresentada para os modelos univariados dos parâmetros da volatilidade (ω, α1 e β1 ) e para o parâmetro de assimetria (γ), apresentada
na Seção 3.2. Para isso, assumiremos independência a priori estre os parâmetros do
modelos. Desta forma obtemos:
ωi ∼ N (µωi , σω2 i )I(ωi >0) ,
α1,i ∼ N (µαi , σα2 i )I(0<αi <1) ,
β1,i ∼ N (µβi , σβ2i )I(0<βi <1) ,
γi ∼ N (0, 0.64−1 )I(γ>0) ,
36
3.3 Estimação dos Parâmetros
para i = 1, . . . , m. Ainda nos resta determinar as prioris para os parâmetros da correlação a e b e no caso de assumirmos a distribuição dos erros do modelo SST (0, Im , γ, ν)
ou SSGED(0, Im , γ, k), devemos determinar as prioris para os parâmetros de peso nas
caudas. Seguindo, a mesma abordagem anterior utilizaremos as prioris:
a ∼ N (µa , σa2 )I(0<a<1) ,
b ∼ N (µb , σb2 )I(0<b<1) ,
ν ∼ N (µν , σν2 )I(ν>2) , se t ∼ SST (0, Im , γ, ν),
k ∼ N (µk , σk2 )I(k>0) , se t ∼ SSGED(0, Im , γ, k).
Vale lembrar, que para m = 1, o modelo DCC-GARCH resulta no modelo GARCH
1/2
univariado. Pois neste caso, teríamos Dt = {h11,t } e Rt = {1}, resultando em Ht =
{h11,t }. A seguir apresentaremos dois algoritmos para simulação da distribuição a
posteriori dos parâmetros do modelo DCC-GARCH.
3.3
Estimação dos Parâmetros
Neste trabalho serão considerados duas formas do algoritmo Metropolis-Hastings (apresentado na Seção 1.2.2) para simulação dos parâmetros da distribuição a posteriori do
modelo DCC-GARCH(1,1), lembrando que, no caso particular m = 1 obtemos o modelo univariado GARCH(1,1). No primeiro algoritmo consideraremos que a atualização
da cadeia é feita com um parâmetro por bloco e na segundo, consideraremos apenas
um bloco contendo todos os parâmetros. Para podemos simular na reta, consideramos
transformações em todos os parâmetros, tornando os reais como o espaço paramétrico de todos os parâmetros. A distribuição candidata será a distribuição Normal
centrada no ultimo valor da cadeia, obtemos assim algoritmos Metropolis-Hastings do
tipo passeio-aleatório.
37
3.3 Estimação dos Parâmetros
Para simular da distribuição posteriori dos parâmetros consideramos as seguintes
transformações paramétricas: Se a distribuição dos erros for a SST então φ1 = log(ν −
2) e se for a SSGED então φ1 = log(k), para os demais parâmetros, teremos φ2 =
log(a/(1 + a)), φ3 = log(b/(1 + b)), φ4 = log(γ1 ), φ5 = log(ω1 ), φ6 = log(α1 /(1 + α1 )),
φ7 = log(β1 /(1 + β1 )),. . ., φ4m = log(γm ), φ4m+1 = log(ωm ), φ4m+2 = log(αm /(1 + αm )),
φ4m+3 = log(βm /(1 + βm )). A simulação na escala original dos parâmetros pode ser
obtida facilmente tomando as transformações inversas.
O primeiro caso do algoritmo Metropolis-Hastings que apresentaremos, consiste em
um caso particular do algoritmo apresentado na Seção 1.2.2. Aqui consideraremos cada
parâmetro como um bloco e todas as distribuições propostas como sendo a distribuição
Normal centrada no estado atual da cadeia. Desta forma, podemos utilizar a variância
de cada distribuição proposta para ajustar a taxa de aceitação do parâmetro correspondente. A esse caso particular, chamaremos de MH np-Blocos e será apresentado a
seguir, considere np = 4m + 3 como o número de parâmetros.
MH np-Blocos
(0)
1. Fixar ou especificar valores iniciais para φi , para i = 1, . . . , np e faça j = 0.
2. Para i = 1 até i = np faça:
Gere φ0i ∼ N (φ(j) , σφ2 i ) e u ∼ U (0, 1).
(j)
(j+1)
Se u ≤ pφi (φ0i , φi ), então faça φi
(j+1)
= φ0i . Caso contrário, faça φi
(j)
= φi .
3. Faça j = j + 1 e volte para 2.
(j)
Sendo a probabilidade de aceitação pφi (φ0i , φi ) é dada como em (1.3), mas com a
simplificação que neste caso, a razão da distribuição proposta se cancela. Lembramos,
que neste caso a distribuição em questão é a posteriori de φi |φ(−i) a qual é proporcional
38
3.3 Estimação dos Parâmetros
ao produto da função de verossimilhança com a priori de φi (π(φi )), isto é,
(j)
pφi (φ0i , φi )



= min 1,
(j)
π(φ0i |φi , y) 
(j)
(j)
π(φi |φi , y) 
,
sendo,
(j)
(j+1)
π(φ0i |φi , y) ∝ L(φ1
(j+1)
(j)
0
, . . . , φi−1 , φ0i , φi+1 , . . . , φ(j)
np ) π(φi ).
Considerando φ = (φ1 , . . . , φnp )0 , temos que o espaço paramétrico é Rnp , lembrando
que np é o número de parâmetros. Logo, podemos utilizar uma das formas mais
eficientes computacionalmente do Metropolis-Hastings, o passeio aleatório com apenas
um bloco (Chib & Greenberg 1995) , ou seja, a simulação de φ é feita gerando valores
diretamente da distribuição Normal np-Variada com média no estado anterior da cadeia
e matriz de covariâncias Σφ . Esse algoritmo é apresentado a seguir e referiremos a ele
nos capítulos seguintes, como MH 1-Bloco.
MH 1-Bloco
(0)
1. Fixar ou especificar valores iniciais para φi , para i = 1, . . . , np e faça j = 0.
2. Gere φ0 ∼ Nnp (φ(j) , Σφ ) e u ∼ U (0, 1).
3. Se u ≤ pφ (φ0 , φ(j) ), então faça φ(j+1) = φ0 . Caso contrário, faça φ(j+1) = φ(j) .
4. Faça j = j + 1 e volte para 2.
Como a distribuição geradora de φ0 escolhida é a Normal Multivariada com média
φ(j) e a densidade em questão é a posteriori de φ, substituindo em (1.2) resultará em:
π(φ0 |y)
pφ (φ , φ ) = min 1,
,
π(φ(j) |y)
(
0
(j)
)
39
3.3 Estimação dos Parâmetros
sendo,
π(φ|y) = L(φ)
np
Y
π(φi ).
i=1
Em geral o algoritmo MH 1-Bloco além de mais eficiente computacionalmente,
também gera resultados melhores do que o MH np-Bloco, mas este necessita da matriz
de covariâncias Σφ . Apesar da escolha de Σφ ser livre, a convergência do algoritmo será
mais rápida se utilizar a matriz de covariância dos parâmetros. Assim, uma estimativa
para Σφ consiste no inverso da matriz de Informação de Fisher, mas no caso dos
modelos GARCH essa matriz é difícil de ser obtida mesmo que numericamente. Deste
modo, uma alternativa consiste em utilizaremos o algoritmo MH np-Bloco para obter
uma amostra piloto da posteriori e com essa amostra estimar a matriz Σφ para em
seguida utilizarmos o algoritmo MH 1-Bloco.
As restrições de estacionaridade podem ser tratadas em ambos os algoritmos inserindo uma restrição na distribuição priori. Mas em geral mesmo que a simulação seja
feita sem restrições o número de elementos da cadeia que não atende a restrição é baixo,
de forma que um tratamento mais simples consiste em apenas retirar da simulação da
posteriori os elementos que não atendem as restrições de estacionaridade.
Tendo a Cadeia de Markov gerada da distribuição a posteriori dos parâmetros, as
estimativa de Monte Carlo para uma característica g(.) de um determinado parâmetro
θi é dada por:
nc
1 X
(j)
[
g(θi ),
g(θ
)
=
i
nc j=1
sendo nc o tamanho da cadeia.
A seguir apresentaremos um exemplo de aplicação dos modelos GARCH e DCCGARCH com as diferentes distribuições de probabilidade estudadas no Capítulo 2.
Capítulo 4
Estudo de Simulação
Neste capítulo será feito um estudo de simulação para verificar se alguns critérios conhecidos na literatura são adequados para selecionar o melhor modelo entre aqueles que
estamos estudando nesta dissertação. Por conta do alto custo computacional envolvido
neste processo, nós restringiremos o estudo aos modelos univariados. Para gerar os
conjuntos de dados artificiais foi utilizado a linguagem R (R Development Core Team
2011) e para implementação do algoritmo de estimação foi utilizado a linguagem C.
Para geração dos conjuntos de dados artificiais, foram considerados os modelos
GARCH(1,1) com distribuição de probabilidade para os erros SSN , SST e SSGED,
essas densidade foram apresentados no Capítulo 2. Para cada modelo, foram gerados
conjuntos de dados de tamanho 500, 1000 e 2000. Para avaliarmos se os critério para
seleção de modelos são capazes de distinguir entre modelos com erros simétrico e modelos com erros assimétricos, mesmo quando o grau de assimetria é pequeno, utilizamos
na simulação dois valores para o parâmetro de assimetria γ = 0, 9 (pouco assimétrico)
e γ = 0, 7 (mais assimétrico), veja a Figura 4.1. Os demais parâmetros foram fixados, os parâmetros da volatilidade foram fixados nos valores: ω = 0, 05, α1 = 0, 07 e
β1 = 0, 88; para os modelos com erros SST o parâmetro ν foi fixado no valor 8 e para os
40
41
modelos com erros SSGED o parâmetro k foi fixado em 1, 3. Para cada configuração
do modelo, foram geradas 200 replicas.
(a)
(b)
−2
0
x
2
4
0.5
0.4
0.3
0.1
0.0
0.1
0.0
−4
γ = 1,0
γ = 0,9
γ = 0,7
0.2
p(x|γ)
0.3
0.4
0.5
γ = 1,0
γ = 0,9
γ = 0,7
0.2
p(x|γ)
0.3
0.0
0.1
0.2
p(x|γ)
0.4
0.5
γ = 1,0
γ = 0,9
γ = 0,7
(c)
−4
−2
0
x
2
4
−4
−2
0
2
4
x
Figura 4.1: Gráficos das densidades utilizadas para os erros do modelo GARCH(1,1)
para gerar os dados artificiais: (a) SSN , (b) SST e (c) SSGED
Para cada conjunto de dados artificiais foram ajustados os modelos GARCH(1,1)
com erros assimétricos (SSN , SST e SSGED) e também com as respectivas distribuições simétricas, as quais serão referenciadas no texto como N , ST e GED. O ajuste foi
feito utilizando o algoritmo MH np-Blocos, apresentado no Capítulo 3, foram geradas
Cadeias de Markov de tamanho 30 mil, sendo que as primeiras 10 mil foram descartadas
como amostra de aquecimento, com o restante foram obtidos os valores dos critérios
para seleção de modelos. Os valores escolhidos para os hiperparâmetros das distribuições a priori são: µν = µk = µω = µα1 = µβ1 = 0 e σν2 = σk2 = σω2 1 = σα2 1 = σβ21 = 100.
Desta forma, obtemos prioris com informação vaga em quase todo espaço paramétrico,
exceto para o parâmetro de assimetria, para o qual foi utilizado a priori descrita no
Capítulo 3.
Os critérios para seleção de modelos avaliados foram 3, sendo que os dois primeiros
consistem na média a posteriori dos critérios de informação de Akaike (EAIC) e do
Bayesiano (EBIC), o terceiro é o Desvio de Informação (DIC). Esses critérios "penalizam" a função de verossimilhança do modelo de acordo com a sua complexidade, de
42
forma que os melhores modelos possuem maior valor da função de verossimilhança e
menos parâmetros. Os critérios de Akaike (AIC) e Bayesiano (BIC) foram proposto
em Akaike (1974) e Schwarz (1978), respectivamente, e são dados por:
AIC(M ) = −2 log(LM (θ̂)) + 2npM ,
BIC(M ) = −2 log(LM (θ̂)) + npM log(n),
sendo, M o modelo em questão, LM (θ̂) a função de verossimilhança de M calculado
no vetor de parâmetros estimado θ̂, npM o número de parâmetros do modelo e n o
número de observações da amostra. Valores menores do AIC e do BIC indicam o melhor
modelo. Os critérios AIC e BIC são bastante utilizados para abordagens clássica. Sob a
abordagem Bayesiana é preferível utilizarmos a estimativa da esperança a posteriori da
\
função de verossimilhança (E(L
M (θ))) no lugar da função de verossimilhança calculada
no ponto estimado (LM (θ̂)), esses critérios são conhecidos como EAIC (Brooks 2002)
e EBIC (Carlin & Louis 2001).
O Critério de Desvio de Informação (DIC) foi proposto em Spiegelhalter et al.
(2002) e é amplamente utilizado em inferência Bayesiana, especialmente quando métodos MCMC são considerados. O desvio é definido como D(θ) = −2 log(LM (θ)) e D̄
como a esperança a posteriori de D(θ), essa esperança é utilizada como uma medida
da qualidade do ajuste do modelo com relação aos dados, quanto maior é o D̄, pior é o
ajuste. O número efetivo de parâmetros é definido como pD = D̄ − D(θ̂). Desta forma,
o critério DIC de um modelo M é calculado como:
DIC(M ) = pD + D̄,
valores menores do DIC indicam melhores modelos.
As Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3 apresentam a porcentagem de vezes que cada modelo foi
43
selecionado pelos critérios EAIC, EBIC e DIC, respectivamente. Nessas tabelas estão
destacados em negrito a porcentagem de vezes que o modelo selecionado foi o mesmo
que gerou os dados artificias.
Note que em todas as linhas os valores em negrito sempre são os maiores, mas
quando consideramos os conjuntos de dados de tamanho 500 a porcentagem de acertos
dos critérios é menor do que ocorre para os conjuntos de dados de tamanhos 1000 e 2000.
Durante o estudo nós notamos que para alguns conjuntos de dados de tamanho 500 a
Cadeia de Markov gerada não convergia, o que sugere que deve-se utilizar conjuntos
de dados maiores, o que em geral não é um problema quando trabalhos com séries
temporais. Possivelmente, isto influenciou no desempenho dos critérios para seleção
de modelos quando foram considerados conjuntos de dados de tamanho 500. Para os
demais conjuntos de dados, não foi notado problemas de convergência.
Descartando os conjuntos de dados de tamanho 500, podemos notar que todos os
critérios tiveram bom desempenho para os conjuntos de dados provindos das distribuições com parâmetro de assimetria γ = 0, 7. Para os conjuntos de dados gerados com
γ = 0, 9 os critérios também mostraram-se adequados, mas a sensibilidade para distinguir entre o modelo simétrico e o assimétrico mostrou-se aumentar quando o tamanho
dos conjuntos de dados aumentam.
44
Tabela 4.1: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EAIC
no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionado
foi o mesmo utilizado na geração dos dados.
Dados Artificiais
Modelos Ajustados
Modelos
N
N
ST
GED
SSN
SST
SSGED
SSN
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
95,0%
93,0%
92,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,5%
5,0%
5,5%
SSN
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
23,5%
11,5%
1,0%
1,5%
0,5%
0,5%
1,0%
0,5%
1,0%
69,0%
81,5%
92,0%
2,5%
4,0%
2,5%
2,5%
2,0%
3,0%
SST
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
12,5%
1,0%
0,0%
77,5%
91,0%
96,5%
10,0%
8,0%
3,5%
SST
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
5,5%
0,0%
0,0%
17,0%
12,5%
0,5%
2,5%
0,0%
0,0%
8,5%
1,5%
0,0%
58,5%
76,0%
93,5%
8,0%
10,0%
6,0%
SSGED
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,5%
0,0%
0,0%
22,5%
11,5%
6,0%
77,0%
88,5%
94,0%
SSGED
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
5,5%
1,0%
0,0%
14,0%
1,5%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
21,0%
11,5%
4,0%
59,5%
86,0%
96,0%
45
Tabela 4.2: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério EBIC
no estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionado
foi o mesmo utilizado na geração dos dados.
Dados Artificiais
Modelos Ajustados
Modelos
N
N
ST
GED
SSN
SST
SSGED
SSN
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
100,0%
100,0%
98,5%
0,0%
0,0%
1,0%
0,0%
0,0%
0,5%
SSN
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
25,0%
12,5%
2,5%
0,0%
0,0%
0,0%
0,5%
0,0%
0,5%
73,0%
87,5%
97,0%
1,0%
0,0%
0,0%
0,5%
0,0%
0,0%
SST
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
40,0%
11,0%
0,5%
51,5%
81,5%
96,0%
8,5%
7,5%
3,5%
SST
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
9,5%
0,5%
0,0%
12,5%
11,5%
0,5%
2,5%
0,0%
0,0%
24,5%
6,5%
0,0%
44,5%
72,5%
93,5%
6,5%
9,0%
6,0%
SSGED
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
5,0%
0,5%
0,0%
21,0%
11,5%
6,0%
74,0%
88,0%
94,0%
SSGED
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
1,5%
0,0%
0,0%
4,5%
1,0%
0,0%
12,5%
1,5%
0,0%
5,5%
0,5%
0,0%
18,5%
11,5%
4,0%
57,5%
85,5%
96,0%
46
Tabela 4.3: Porcentagem de vezes que cada modelo foi selecionado pelo critério DIC no
estudo de simulação. Em destaque a porcentagem de vezes que o modelo selecionado
foi o mesmo utilizado na geração dos dados.
Dados Artificiais
Modelos Ajustados
Modelos
N
N
ST
GED
SSN
SST
SSGED
SSN
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
84,5%
88,5%
88,5%
8,5%
5,0%
4,5%
7,0%
6,5%
7,0%
SSN
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
36,0%
17,5%
4,0%
6,0%
1,0%
1,0%
2,0%
1,5%
2,0%
47,5%
67,5%
83,5%
6,0%
9,0%
4,0%
2,5%
3,5%
5,5%
SST
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
7,0%
0,0%
0,0%
85,5%
92,5%
96,5%
7,5%
7,5%
3,5%
SST
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
4,0%
0,0%
0,0%
30,0%
17,0%
1,5%
3,5%
1,0%
0,0%
5,5%
1,0%
0,0%
52,0%
72,5%
93,5%
5,0%
8,5%
5,0%
SSGED
(γ = 0, 7)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,0%
0,5%
0,0%
0,0%
32,5%
13,5%
6,0%
67,0%
86,5%
94,0%
SSGED
(γ = 0, 9)
500
1000
2000
0,0%
0,0%
0,0%
12,0%
2,0%
0,0%
17,5%
5,0%
0,5%
0,0%
0,0%
0,0%
22,5%
10,5%
4,0%
48,0%
82,5%
95,5%
Capítulo 5
Aplicação
Apresentaremos nesse capítulo dois exemplos de aplicação do modelo DCCGARCH(1,1), um univariado e um multivariado, lembrando que no caso univariado
o modelo DCC-GARCH(1,1) corresponde ao modelo GARCH(1,1). Para o termo
de erro do modelo são consideradas as distribuições de probabilidade SSN (0, Im , γ),
SST (0, Im , γ, ν) e SSGED(0, Im , γ, k) apresentadas no Capítulo 2, sendo m o número
de séries modelas. Também utilizaremos os casos simétricos dessas distribuições, considerando apenas γi = 1 para i = 1, . . . , m. As distribuições simétricas serão referidas
como N , ST e GED.
A inferência dos modelos é feita sob a abordagem Bayesiana utilizando MCMC.
As Cadeias de Markov são geradas em 2 etapas utilizando os algoritmos apresentados
na Seção 3.3. Na primeira etapa é utilizado o algoritmo MH np-Blocos para gerar
uma Cadeia de Markov inicial, essa cadeia é então utilizada para estimar a matriz de
covariâncias dos parâmetros Σnp . A segunda etapa consiste em utilizar o algoritmo
MH 1-Bloco para gerar uma segunda Cadeia de Markov. Dessa segunda cadeia são
obtidas as estimativas de Monte Carlo. A implementação dos algoritmos de simulação
foi feita em linguagem C e as análises das Cadeias de Markov foram feitas no software
47
48
R (R Development Core Team 2011). Todas as simulações foram feitas utilizando um
computador equipado com processador core 2 duo de 2,0 GHz, 3 GB de memória RAM
e utilizando o sistema operacional Windows 7.
Os valores escolhidos para os hiperparâmetros das distribuições a priori são: µν =
µk = µa = µb = µωi = µαi = µβi = 0 e σν2 = σk2 = σa2 = σb2 = σω2 i = σα2 i = σβ2i = 100,
para i = 1, . . . , m. Desta forma, obtemos prioris com informação vaga em quase todo
espaço paramétrico, exceto para os parâmetros de assimetria, os quais utilizam as
prioris descritas no Capítulo 3.
As Cadeias de Markov geradas na primeira etapa são de tamanho 15 mil, sendo
as primeiras 5 mil descartadas como amostra de aquecimento. Na segunda etapa para
os modelos univariados são geradas cadeias de tamanho 50 mil, sendo as primeiras 20
mil descartadas, nos modelos multivariados são geradas cadeias de tamanho 200 mil,
sendo as primeiras 30 mil descartadas. As cadeias resultantes são considerados com
intervalos de 5 em 5, obtendo assim as simulações finais de tamanho 6 mil para os
modelos univariados e de 34 mil para os modelos multivariados. Para o conjunto de
dados univariado, o tempo computacional de cada modelo foi inferior a 1 minuto e para
o conjunto de dados multivariado o tempo computacional de cada modelo foi inferior
a 10 minutos. Para seleção dos melhores modelos são considerados os critérios EAIC,
EBIC e DIC, apresentados em detalhes no Capítulo 4.
A seguir utilizaremos as distribuições simétricas e assimétricas para os erros dos
modelos GARCH(1,1) e os aplicaremos a um conjunto de dados reais para assim selecionaremos o melhor modelo com base nos critérios mencionados.
49
5.1 Modelo Univariado
5.1
Modelo Univariado
O conjunto de dados utilizado consiste nos retornos diários do Índice da Bolsa de
Valores de São Paulo (IBOVESPA), os retornos considerados foram multiplicados por
100 e partem do dia 02/01/2001 até o dia 28/12/2007, totalizando 1750 observações. Os
gráficos da série, dos retornos, das autocorrelações dos retornos e das autocorrelações
dos retornos ao quadrado são apresentados na Figura 5.1. Observe que mesmo tendo
uma forte tendencia de crescimento na série (gráfico (a)) os retornos (gráfico (b)) não
apresentaram autocorrelações (gráfico (c)). Por outro lado, os retornos ao quadrado
possuem autocorrelação para algumas defasagens (gráfico (d)), vimos no Capítulo 1
que essas características são comuns em retornos de séries temporais financeiras.
As estimativas das médias a posteriori dos parâmetros de cada modelo estão disponíveis nas Tabelas de A.1 à A.6 do Apêndice A.
A Tabela 5.1 apresenta a média a posteriori dos critérios de Akaike e Bayesino
(EAIC e EBIC) e o critério de desvio de informação (DIC). Pela Tabela 5.1, temos que
o modelo com erros SST foi selecionado pelos três critérios. Tendo o modelo SST sido
selecionado como o melhor modelo, nas próximas análises será utilizado apenas este
modelo.
Tabela 5.1: Critérios para seleção dos modelos univariados.
Modelo
N
ST
GED
SSN
SST
SSGED
EAIC
6913,49
6889,27
6891,98
6895,22
6877,23
6880,98
EBIC
6929,89
6911,14
6913,85
6917,09
6904,57
6908,32
DIC
6910,09
6884,76
6887,54
6890,93
6871,63
6875,72
Para testar as hipóteses de não autocorrelação dos resíduos assim como dos resíduos
50
5.1 Modelo Univariado
(b)
5
−5
−10
1000
1500
0
5
10
1000
Tempo
Tempo
(c)
(d)
ACF
0
500
15
Lag
20
25
30
1500
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
500
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
ACF
0
Retornos
50
40
30
10
20
Observações
60
(a)
0
5
10
15
20
25
30
Lag
Figura 5.1: Série do IBOVESPA de 02/01/2001 até 28/12/2007. (a) Gráfico da série;
(b) Gráfico dos retornos; (c) Gráficos das autocorrelações dos retornos e (d) Gráfico
das autocorrelações do quadrado dos retornos.
ao quadrado é comum a utilização do teste de Box-Ljung. Aplicando esse teste com
defasagem igual a 20 aos resíduos do modelo com erros SST obtivemos a estatística
χ2 = 20, 50, resultando em um p-valor igual 0, 42. O mesmo teste foi aplicado aos resíduos ao quadrado, a estatística foi χ2 = 19, 55 e o p-valor igual a 0, 48. Desta forma,
com nível de significância 0, 05 a hipótese dos resíduos serem não autocorrelacionados
não foi rejeitada, assim como a hipótese dos resíduos ao quadrado serem não autocorrelacionados. A Figura 5.2 apresenta no gráfico da esquerda o histograma dos resíduos
com a distribuição de probabilidade sobreposta, no gráfico da direita é apresentado o
qqplot dos quantis dos resíduos com os quantis teóricos da densidade SST , utilizando
os valores estimados para os parâmetros de peso nas caudas (ν) e de assimetria (γ).
51
0.0
2
0
−4
−2
Quantis Teóricos
0.4
0.3
0.2
0.1
f(x)
●
4
0.5
5.1 Modelo Univariado
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
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●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
● ●
●
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
−4
−2
0
2
Quantis amostrais
Figura 5.2: A esquerda o histograma dos resíduos com a distribuição de probabilidade
dos erros sobreposta e a direita o gráfico qqplot dos resíduos do modelo com erros SST .
Uma das vantagens na utilização da abordagem Bayesiana é que podemos analisar
a distribuição a posteriori dos parâmetros ou mesmo de uma função dos parâmetros.
Assim podemos analisar a distribuição da persistência da volatilidade (α + β). A Figura 5.3 apresenta no gráfico direito a distribuição da persistência da volatilidade e no
gráfico esquerdo a distribuição do parâmetro de assimetria (γ) para o modelo GARCH
com erros SST . Nestes gráficos, temos que os retornos da série do IBOVESPA apresentaram assimetria a esquerda, veja que praticamente toda a massa de probabilidade
do γ está a esquerda do 1,0 (valor de simetria). A série também apresentou um alto
grau de persistência na volatilidade, observe que aproximadamente toda a massa de
probabilidade está entre 0,90 e 1,0, sendo 1,0 o valor máximo. Os traço da Cadeia
de Markov, as densidades aproximadas e os gráficos das autocorrelações de todos os
parâmetros do modelo GARCH(1,1) com erros SST podem ser observados na Figura
B.1 do Apêndice B.
A Figura 5.4 apresenta o gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo com erros
SST , lembre que estamos utilizando os retornos multiplicados por 100 e portanto as
volatilidades estão multiplicadas por 10000.
52
5.1 Modelo Univariado
(b)
0
0
2
5
4
6
8
10 15 20 25
12
(a)
0.80
0.90
1.00
0.85
gamma
0.90
0.95
1.00
alpha_1 + beta_1
10
8
6
2
4
Volatilidades
12
14
Figura 5.3: (a) Densidade a posteriori do parâmetro de assimetria (γ) e (b) densidade
a posteriori da persistência (α1 + β1 ), para o modelo com erros SST .
0
500
1000
1500
tempo
Figura 5.4: Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo GARCH(1,1) com erros
SST e intervalo com 95% de credibilidade.
53
5.2 Modelo Multivariado
5.2
Modelo Multivariado
Como exemplo de aplicação do modelo multivariado serão utilizados os retornos diários
do índices das bolsas de valores de Frankfurt(DAX), Paris(CAC40) e Tokio(Nikkei) no
período de 04/10/1991 à 30/12/1997, totalizando 1627 dias observados. Esses dados
estão disponíveis em http://robjhyndman.com/tsdldata/data/FVD1.dat. Na Figura
5.5 são apresentados os gráficos das séries na primeira coluna e dos respectivos retornos
na segunda coluna. Os retornos considerados neste exemplo estão multiplicados por
100.
DAX
5
0
−5
Retornos
3000
1500
Observações
4500
DAX
1000
1500
0
500
1000
Tempo
Tempo
CAC40
CAC40
1500
2
−4
0
Retornos
4
6
3000
500
2000
Observações
0
500
1000
1500
0
500
1000
Tempo
Tempo
NIKKEI
NIKKEI
1500
2
−6
−2
Retornos
20000
14000
Observações
6
0
0
500
1000
Tempo
1500
0
500
1000
1500
Tempo
Figura 5.5: Gráficos da série e dos retornos dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI.
54
5.2 Modelo Multivariado
A Figura 5.6 apresenta na primeira coluna as autocorrelações dos retornos e na
segunda coluna as autocorrelações no quadrado dos retornos. Observe que, assim como
ocorreu com índice IBOVESPA no exemplo do modelo univariado, aqui também temos
as series dos retornos sem autocorrelação, mas as séries dos retornos ao quadrado com
autocorrelação.
0.0
5
10
15
20
0
10
Lag
CAC40
CAC40
20
15
20
15
20
0.8
15
0.0
0.4
ACF
0.4
0.0
10
15
20
0
5
10
Lag
Lag
NIKKEI
NIKKEI
0.0
0.0
0.4
ACF
0.8
5
0.8
0
0.4
ACF
5
Lag
0.8
0
ACF
0.4
ACF
0.4
0.0
ACF
0.8
DAX
0.8
DAX
0
5
10
Lag
15
20
0
5
10
Lag
Figura 5.6: Autocorrelações dos retornos (primeira coluna) e dos retornos ao quadrado
(segunda coluna) dos índices DAX, CAC40 e NIKKEI.
As estimativas dos modelos estão nas Tabelas de A.7 à A.12 do Apêndice A. A
Tabela 5.2 apresenta os critério de seleção de modelos obtidos pelo modelo multivariado
para cada uma das distribuições de probabilidade para os erros estudadas. Nesta tabela
podemos notar que os critérios EAIC e DIC selecionaram o modelo com erros SST como
55
5.2 Modelo Multivariado
sendo melhor e o critério EBIC selecionou o modelo com erros ST . Como o modelo
com erros SST foi selecionado pela maioria dos critérios, nas próximas análises será
utilizado apenas esse modelo.
Tabela 5.2: Critérios para seleção dos modelos multivariados.
Modelos
N
ST
GED
SSN
SST
SSGED
EAIC
13969,37
13823,24
13841,78
13962,56
13819,53
13839,34
EBIC
14028,71
13887,97
13906,52
14038,09
13900,45
13920,25
DIC
13957,53
13810,36
13828,97
13947,62
13803,32
13823,48
Aplicando o teste de Ljung-Box com defasagem igual a 20 aos resíduos marginais
ao quadrado para cada uma das séries, obtivemos as estatísticas 9, 44, 25, 81 e 6, 97
resultando em p-valores iguais a 0, 97, 0, 17 e 0, 99 para as séries DAX, CAC40 e
NIKKEI, respectivamente. Desta forma, com nível de significância 0, 05 a hipótese
nula de não autocorrelação nos resíduos ao quadrado não foi rejeitada para nenhuma
série. A Figura 5.2 apresenta na coluna esquerda os histogramas dos resíduos com o
gráfico da distribuição de probabilidade marginal sobreposta, na coluna da direita são
apresentados os gráficos qqplots dos quantis dos resíduos com os quantis teóricos das
respectivas distribuições de probabilidade maginais.
A distribuição da posteriori da assimetria presente em cada uma das séries podem
ser analisadas na coluna esquerda da Figura 5.8, juntamente com as respectivas persistências na coluna direita. Neste caso, temos que apenas os retornos da série DAX
apresentaram um significativo grau de assimetria, observe que o 1, 0 está fora da massa
de probabilidade. Para todas as série, a volatilidade apresentou um alto grau de persistência, observe que a massa de probabilidade concentrou-se acima de 0, 90 nos três
gráficos. Os traço da Cadeia de Markov, as densidades aproximadas e os gráficos das
autocorrelações de todos os parâmetros do modelo DCC-GARCH(1,1) com erros SST
56
5.2 Modelo Multivariado
DAX
DAX
−6
−4
−2
0
2
4
2 4
−2
−6
f(x)
0.0
0.2
0.4
Quantis Teóricos
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●
6
−4
−2
0
2
x
Quantis amostrais
CAC40
CAC40
4
−6
−4
−2
0
2
4
4
2
0
−4
f(x)
0.0
0.2
0.4
Quantis Teóricos
●
●●
●
●●
●●
●
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6
−4
−2
0
2
x
Quantis amostrais
NIKKEI
NIKKEI
4
4
2
0
●
●
−4
f(x)
0.0
0.2
0.4
Quantis Teóricos
●
●
●
●●
●
●●●
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●●
●●
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●●
●●
●
−6
−4
−2
0
x
2
4
6
−6
−4
−2
0
2
4
6
Quantis amostrais
Figura 5.7: Histogramas dos resíduos com as respectivas distribuições marginais sobrepostas na coluna esquerda e gráficos qqplots dos resíduos na coluna da direita: modelo
com erros SST .
podem ser observados nas Figuras B.2 a B.5 do Apêndice B.
5.2 Modelo Multivariado
57
Figura 5.8: Densidade a posteriori dos parâmetros de assimetrias (γ) e das persistências
(α1 + β1 ) do modelo com erros SST .
58
5.2 Modelo Multivariado
12
8
4
0
Volatilidades
DAX
0
500
1000
1500
1000
1500
1000
1500
tempo
4
3
2
1
Volatilidades
5
CAC40
0
500
tempo
8
4
0
Volatilidades
12
NIKKEI
0
500
tempo
Figura 5.9: Gráfico das volatilidades estimadas pelo modelo DCC-GARCH(1,1) com
erros SST e intervalo com 95% de credibilidade.
Capítulo 6
Considerações Finais e Conclusão
Nesta dissertação estudamos o modelo GARCH e uma de suas generalizações multivariadas, o modelo Dynamic Condicional Correlation GARCH (DCC-GARCH). Na
literatura, as distribuições de probabilidade mais utilizadas para os erros do modelo
GARCH, assim como as versões multivariadas para os erros do modelo DCC-GARCH,
são a Normal, a t-Student e a GED, em suas versões padronizadas. Para essas distribuições de probabilidade no Capítulo 2 aplicamos o método apresentado em Bauwens
& Laurent (2005) para inserir assimetria e obtivemos assim versões assimétricas dessas
distribuições. A utilização de distribuições de probabilidade assimétricas para os erros
dos modelos GARCH consiste em uma alternativa para modelar o grau de assimetria
presente na volatilidade dos retornos de uma determinada série.
A abordagem Bayesiana para estimação desses modelos traz algumas vantagens,
como facilidade de interpretação e possibilidade de inserir informação a priori para
os parâmetros, mas está é pouco utilizada na literatura. Assim, como contribuição,
no Capítulo 3 fizemos o desenvolvimento de dois algoritmos Metropolis-Hastings para
simular da distribuição a posteriori dos parâmetros. Pela grande quantidade de cálculos
matemáticos e loops envolvidos nesses algoritmos foi necessária a utilização de uma
59
60
linguagem de baixo nível para a implementações. Optou-se então pela linguagem C, a
qual é considerada uma das linguagens mais eficientes para este tipo de aplicação. O
programa e o código fonte podem ser solicitados diretamente ao autor.
No Capítulo 4 foi feito um estudo de simulação com dados univariados, no qual pudemos obter um indicativo de que os critérios EAIC, EBIC e DIC são adequados para
distinguir entre os diversos modelos que trabalhamos nesta dissertação. Um exemplo
de aplicação do modelo GARCH e do modelo DCC-GARCH utilizando todas as distribuições de probabilidade estudadas nessa dissertação foi apresentada no Capítulo 5.
Neste exemplo e em outros testes preliminares os algoritmos com implementação em
linguagem C mostraram-se eficientes para gerar amostras da distribuição a posteriori,
gerando Cadeias de Markov longas (no Capítulo 5 foram geradas 50 mil para o GARCH
e 200 mil para o DCC-GARCH) em tempos computacionais aceitáveis (inferior a 1 minuto para o GARCH e inferior a 10 minutos para o DCC-GARCH).
Pelos critérios de seleção de modelos pudemos notar a melhor adequação dos modelos quando utilizam uma distribuição de probabilidade assimétrica para os erros, sendo
que nesses exemplos os modelos GARCH e DCC-GARCH selecionados, foram os que
utilizavam a distribuição de probabilidade SST (Standard Skew t-Student).
Como proposta de trabalhos futuros destacamos:
1. Estudo de simulação com os modelos multivariados;
2. Comparação dos modelos utilizando a estimava do VaR (Valor em Risco);
3. Utilização das distribuições assimétricas obtidas no Capítulo 2 para os modelos
de Volatilidade Estocástica Multivariados.
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Apêndice A
Estimativa Bayesiana dos
parâmetros dos modelos
Tabela A.1: Estimativas do GARCH univariado com erros N .
Parâmetros Média
ω
0,1478
α
0,0591
β
0,8944
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0559
0,0663
0,0119
0,0387
0,0253
0,8363
Mediana
0,1384
0,0581
0,8974
Perc. (97,5%)
0,2793
0,0850
0,9353
Tabela A.2: Estimativas do GARCH univariado com erros SSN .
Parâmetros
γ
ω
α
β
Média
0,8651
0,1380
0,0557
0,9014
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0285
0,8095
0,0498
0,0612
0,0119
0,0360
0,0237
0,8468
66
Mediana
0,8642
0,1308
0,0544
0,9039
Perc. (97,5%)
0,9242
0,2568
0,0822
0,9403
67
Tabela A.3: Estimativas do GARCH univariado com erros ST .
Parâmetros Média Desv. Pad.
ω
0,1271
0,0552
α
0,0550
0,0130
β
0,9060
0,0260
ν
10,4553
2,2843
Perc. (2,5%)
0,0491
0,0336
0,8415
7,0148
Mediana
0,1158
0,0536
0,9099
10,1673
Perc. (97,5%)
0,2609
0,0869
0,9450
16,1046
Tabela A.4: Estimativas do GARCH univariado com erros SST .
Parâmetros Média Desv. Pad.
γ
0,8797
0,0298
ω
0,1242
0,0536
α
0,0541
0,0124
β
0,9088
0,0244
ν
11,3308
2,8419
Perc. (2,5%)
0,8219
0,0472
0,0343
0,8496
7,2843
Mediana
0,8794
0,1145
0,0528
0,9125
10,8319
Perc. (97,5%)
0,9387
0,2551
0,0821
0,9457
18,1619
Tabela A.5: Estimativas do GARCH univariado com erros GED.
Parâmetros
ω
α
β
k
Média
0,1433
0,0582
0,8976
1,5064
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0627
0,0551
0,0136
0,0351
0,0282
0,8319
0,0731
1,3625
Mediana
0,1318
0,0572
0,9013
1,5056
Perc. (97,5%)
0,2910
0,0876
0,9409
1,6521
Tabela A.6: Estimativas do GARCH univariado com erros SSGED.
Parâmetros
γ
ω
α
β
k
Média
0,8948
0,1373
0,0562
0,9023
1,5642
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0283
0,8387
0,0576
0,0537
0,0137
0,0326
0,0263
0,8472
0,0769
1,4157
Mediana
0,8953
0,1272
0,0550
0,9056
1,5663
Perc. (97,5%)
0,9481
0,2714
0,0863
0,9437
1,7105
68
Tabela A.7: Estimativas do GARCH multivariado com erros N .
Parâmetros
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
Média
0,0354
0,0781
0,8843
0,0459
0,0450
0,9160
0,0567
0,0886
0,8840
0,0381
0,5860
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0093
0,0202
0,0137
0,0541
0,0196
0,8415
0,0144
0,0256
0,0096
0,0285
0,0183
0,8728
0,0148
0,0321
0,0139
0,0645
0,0179
0,8454
0,0137
0,0138
0,1749
0,1493
Mediana
0,0344
0,0771
0,8858
0,0433
0,0441
0,9186
0,0553
0,0875
0,8852
0,0374
0,6192
Perc. (97,5%)
0,0565
0,1076
0,9188
0,0810
0,0661
0,9437
0,0898
0,1189
0,9149
0,0671
0,8394
Tabela A.8: Estimativas do GARCH multivariado com erros SSN .
Parâmetros
γ (DAX)
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
γ (CAC40)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
γ (NIKKEI)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
Média
0,8917
0,0359
0,0762
0,8861
1,0345
0,0468
0,0443
0,9161
1,0225
0,0569
0,0890
0,8840
0,0387
0,5801
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0273
0,8390
0,0095
0,0204
0,0134
0,0527
0,0196
0,8436
0,0332
0,9724
0,0149
0,0259
0,0095
0,0282
0,0184
0,8726
0,0294
0,9662
0,0150
0,0321
0,0139
0,0649
0,0179
0,8444
0,0140
0,0135
0,1729
0,1610
Mediana
0,8912
0,0349
0,0752
0,8875
1,0334
0,0442
0,0435
0,9189
1,0220
0,0552
0,0879
0,8854
0,0379
0,6110
Perc. (97,5%)
0,9462
0,0577
0,1054
0,9206
1,1030
0,0832
0,0653
0,9439
1,0815
0,0902
0,1195
0,9146
0,0683
0,8366
69
Tabela A.9: Estimativas do GARCH multivariado com erros ST .
Parâmetros
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
ν
Média
0,0270
0,0678
0,9065
0,0426
0,0393
0,9279
0,0374
0,0849
0,8998
0,0424
0,6624
8,1332
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0092
0,0125
0,0141
0,0442
0,0201
0,8618
0,0153
0,0213
0,0098
0,0227
0,0180
0,8847
0,0127
0,0171
0,0138
0,0611
0,0161
0,8647
0,0147
0,0157
0,1408
0,3132
0,8491
6,6453
Mediana
0,0258
0,0665
0,9085
0,0398
0,0384
0,9306
0,0360
0,0838
0,9012
0,0417
0,6862
8,0770
Perc. (97,5%)
0,0484
0,0990
0,9400
0,0801
0,0611
0,9551
0,0660
0,1147
0,9273
0,0738
0,8669
9,9646
Tabela A.10: Estimativas do GARCH multivariado com erros SST .
Parâmetros
γ (DAX)
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
γ (CAC40)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
γ (NIKKEI)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
ν
Média
0,8989
0,0276
0,0675
0,9071
1,0450
0,0442
0,0392
0,9270
1,0079
0,0378
0,0853
0,8997
0,0433
0,6495
8,1533
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0292
0,8425
0,0093
0,0129
0,0138
0,0439
0,0198
0,8634
0,0336
0,9803
0,0166
0,0225
0,0096
0,0230
0,0187
0,8827
0,0308
0,9486
0,0127
0,0173
0,0138
0,0614
0,0162
0,8639
0,0148
0,0163
0,1426
0,2938
0,8477
6,6878
Mediana
0,8985
0,0265
0,0662
0,9088
1,0443
0,0409
0,0383
0,9299
1,0072
0,0364
0,0842
0,9009
0,0426
0,6747
8,0850
Perc. (97,5%)
0,9571
0,0488
0,0978
0,9405
1,1119
0,0848
0,0606
0,9539
1,0691
0,0667
0,1154
0,9275
0,0741
0,8548
9,9988
70
Tabela A.11: Estimativas do GARCH multivariado com erros GED.
Parâmetros
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
k
Média
0,0367
0,0742
0,8889
0,0477
0,0432
0,9187
0,0538
0,0929
0,8812
0,0386
0,6473
1,3849
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0114
0,0188
0,0158
0,0477
0,0232
0,8376
0,0180
0,0239
0,0106
0,0251
0,0211
0,8693
0,0166
0,0269
0,0165
0,0651
0,0207
0,8352
0,0128
0,0158
0,1446
0,2707
0,0390
1,3095
Mediana
0,0352
0,0728
0,8912
0,0443
0,0421
0,9220
0,0519
0,0915
0,8831
0,0380
0,6735
1,3846
Perc. (97,5%)
0,0634
0,1091
0,9278
0,0908
0,0668
0,9496
0,0919
0,1293
0,9164
0,0659
0,8525
1,4629
Tabela A.12: Estimativas do GARCH multivariado com erros SSGED.
Parâmetros
γ (DAX)
ω (DAX)
α (DAX)
β (DAX)
γ (CAC40)
ω (CAC40)
α (CAC40)
β (CAC40)
γ (NIKKEI)
ω (NIKKEI)
α (NIKKEI)
β (NIKKEI)
a
b
k
Média
0,9078
0,0361
0,0729
0,8916
1,0352
0,0476
0,0425
0,9195
1,0145
0,0544
0,0932
0,8809
0,0392
0,6355
1,3923
Desv. Pad. Perc. (2,5%)
0,0284
0,8537
0,0114
0,0181
0,0156
0,0467
0,0231
0,8402
0,0296
0,9816
0,0172
0,0244
0,0105
0,0245
0,0204
0,8721
0,0278
0,9612
0,0170
0,0275
0,0169
0,0645
0,0212
0,8345
0,0132
0,0155
0,1472
0,2500
0,0398
1,3152
Mediana
0,9074
0,0347
0,0714
0,8939
1,0336
0,0445
0,0416
0,9225
1,0140
0,0523
0,0917
0,8828
0,0384
0,6606
1,3922
Perc. (97,5%)
0,9640
0,0622
0,1073
0,9307
1,0963
0,0890
0,0660
0,9496
1,0707
0,0935
0,1301
0,9170
0,0672
0,8476
1,4721
Apêndice B
Gráficos da simulação a posteriori
dos parâmetros do modelo
DCC-GARCH com erros SST
71
72
Figura B.1: Na coluna da esquerda os traços, na centro os gráficos das densidades
aproximadas e na direita o gráfico das autocorrelações da simulação da distribuição a
posteriori dos parâmetros do modelo GARCH(1,1) com erros SST aplicado ao conjunto
de dados univariado do Capítulo 5.
73
Figura B.2: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações
do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série DAX. Modelo
ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo
5.
74
Figura B.3: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série CAC40.
Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do
Capítulo 5.
75
Figura B.4: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações
do parâmetro de assimetria e dos parâmetro da volatilidade para a série NIKKEI.
Modelo ajustado: GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do
Capítulo 5.
76
Figura B.5: Traços da simulação a posteriori, densidades aproximadas e autocorrelações
dos parâmetros de correlação e do parâmetro de peso nas caudas. Modelo ajustado:
GARCH(1,1) com erros SST ao conjunto da dados multivariados do Capítulo 5.