UFPB/CCEN/Departamento de Matemática
Cálculo Vetorial e Geometria Analı́tica - 2013.1
1 Lista de Exercı́cios
1. Determine as seguintes matrizes.
a) A = (aij )2×2 , tal que aij = (i + j)2 .
b) B = (bij )3×3 , tal que bij = (i − j)3 .
2, se i = j
c) C = (cij )2×3 , tal que cij =
i + j se i 6= j
2
i − j 2 , se i + j se i + j é par
d) D = (dij )3×3 , tal que dij =
.
i2 − j 2 se i + j é ı́mpar
2. Calcule o produto dos elementos da segunda linha da matriz A = (aij )4×3 com aij =
i, se i ≥ j
j se i < j
3. Calcule a soma dos elementos da terceira coluna da matriz A = (aij )3×3 com aij = 2i − 2j .
i + j, se i ≥ j
4. Dada a matriz A = (aij )3×3 em que aij =
. Calcule a diferença entre o produto dos
0 se i < j
elementos da diagonal principal e o da diagonal secundária.
5. Quantos elementos possui uma matriz 3 × 4? E uma matriz quadrada de ordem 6?
Quais podem ser os tipos de matrizes que possuem 4 elementos? E das que possuem 12 elementos?
6. Uma matriz A do tipo n × n é chamada anti-simétrica se A = −At . Sabendo que a matriz


1+x
b
c
2−y a
M =  −1
0
2
3z
é uma matriz anti-simétrica, calcule o valor da expressão (x + y + z)(a + b + c).
 2  
a
1
7. Determine a, b e c tais que M = |b| = 2
c
9
a−1 3
2 3
8. Determine a, b e c tais que M =
=
b−2 4
1 4
2
x − 3x
−2
9. Determine x tal que
=
4
x2

  
log2 x
3
10. Determine x e y tais que  |y|  =  5 
x2
64
11. Sendo B = (bij )5×5 tal que bij = i − j, calcule a soma dos elementos da diagonal principal.
2
x −1
0
x
0 0 0
12. Calcule x, y e z tais que
=
.
0
y2 − 4 1
0 0 z
13. Obtenha a matriz transposta de
a) A = (aij )3×2 com aij = i2 − j 2 ;
b) B = (bij )1×4 com bij =
i+j
;
2
1+a
b
3
14. Dadas duas matrizes A =
eB=
2c
2+d
2
1 0 2
3 0 1
15. Sendo A =
eB=
calcule:
4 1 3
4 2 −1
−1
4
calcule a, b, c e d para que A = B t .
a) A + B;
b) A − B;
c) B − A;
2x
x−y
16. Calcule x, y, z ∈ R tais que
z
1
=
1
7
7
3
=
1
4
2z
.
0
17. Sendo A = (aij )3×2 com aij = 2i − j e B = (bij )3×2 com bij = i2 + j, calcule:
a) A + B;
b) B − A;
c) (A + B)t ;
18. Dadas as matrizes A =
2
0
3
0
,B=
1
3
4
2
eC=
15
0
14
. Calcule:
18
a) 3(A − B) + 3(B − c) + 3(C − A);
b) 2(A + B) − 3(B − C) − 3C;
c) A matriz X, tal que 3(X − A) + 2B = 4(X − A + 2C);

2 3
1
1 0 e B = −2A, determine a matriz X, tal que 2X − 3A = B
19. Sendo A =
2
1 1
1 1
1 2
20. Resolva a equação 2A − 5X = B t , sendo dadas as matrizes A =
eB=
.
1 9
−2 0
2
0

−1
3
,B= 0
1
2
21. Seja A = (aij )2×2 com aij = (2i + j)2 e B = (bij )2×2 com bij = aji . Calcule A − B.
1 0
−1 2
X +Y =A
22. Dadas as matrizes A =
eB=
calcule as matrizes X e Y no sistema
.
1 1
2 2
X −Y =B
23. Calcule, caso existir, cada produto abaixo:
3 2
4
a)
;
5 −1
6
5 1
3
2
b)
;
2 4
−1 −2

2
c) 2
2

5 1 2

5
;
2 4
5
 
1
d) 1 2 3 2;
3
4
0 2
e)
;
5
4 8

 
1
2
3
1
5
7   0 ;
f)  4
−4 −5 −7
−1
0 1
1 0
24. Se
eB=
, para que valores de x e y é verdadeira AB = BA?
x 0
0 y
2
4
1
25. Se A =
eB=
, encontre a matriz X tal que AX = B.
−4 −2
1
2 −1
0 2
26. Para as matrizes A =
eB=
. Mostre que
4 −2
2 0
a) AB 6= BA
b) A2 = 0;
c) b2 6= 0.
a 0
calcule a e b sabendo que X 2 − 2X = 0.
0 b
3 1
5 1
Verifique se A =
eB=
são comutáveis.
1 2
−1 6
1 1
−1 2
Para que valores de x e y as matrizes A =
e
são comutáveis?
0 3
x y
2 2
Sendo A =
calcule A2 + 4A − 5Id2 .
1 2


0
1
0
Sendo A = −1 −1 −1, calcule:
0
0
0
27. Sendo X =
28.
29.
30.
31.
a) A16 .
b) A18 .

2
32. Dada uma matriz A = 3
1
a) Calcule A + At ;
3
4
2

1
2.
0
b) Calcule AAt ;
c) As matrizes resultantes dos itens a e b são também simétricas.
33. Verifique se a matriz A =
1
1
0
é invertı́vel.
0
34. Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
4 2
a) A =
;
7 6
2 1
b) A =
;
1 0
−1 2
c) A =
2 −4


1 0 0
d) A = 2 1 0
3 2 1
35. Calcule a e b de modo que B =
1
b
b
1
seja a inversa da matriz A =
a
0
0
.
a
cos(α) sen(α)
36. Dada A =
. Conclua que A−1 = A.
cos(α) −sen(α)
0, se i + j é par
37. Seja A = (aij )2×2 tal que
. Calcule a inversa da matriz B = A + 2Id2 .
1, se i + j é ı́mpar


1
m


−1
38. Dada A =  2
1  calcule m de modo que A = A.
−m −
2
 1

1
√
√
0
 2

2


1
39. Dada A = − √1
calcule AAt . É possı́vel concluir que A é invertı́vel? Qual é a matriz
√
0


2
2
0
0
1
inversa de A?