CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
07
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
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Teorema de Pitágoras
Quem foi Pitágoras?
Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador,
Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.C., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou,
segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua
juventude, a não ser que conquistou prêmios nos Jogos Olímpicos.
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Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos
adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar,
visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua
peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egito,
Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas
informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como
os conhecimentos exotéricos neles disponíveis.
Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento
amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os
seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição
do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de
uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que
era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.
Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que
se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na
Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que
havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egito,
do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e
magos caldeus.
Durante cerca de quarenta anos ele lecionou para os seus discípulos e exibiu os
seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio
foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em
decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris;
ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou
menos em 500 a.C..
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A escola de Pitágoras
A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era
obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito
silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem
animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta
no seu mestre e fundador da Escola.
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é
o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte
secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e
ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe
superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registrar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta,
e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de
Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos
de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos
seus sucessores.
Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das
doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se
investigam as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes
divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões
incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida
também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou
da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas
doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as idéias numéricas e
simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as
Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas
Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias
realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das
Realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos
sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas,
porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as idéias matemáticas que
formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e
seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos
títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.
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 História e lenda do teorema de Pitágoras
Os geómetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o
estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras
semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos
incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por retas, ou de
volumes de sólidos limitados por planos.
Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes (isto é, da mesma forma)
é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados
correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos
que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por
uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras
semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema: Num triângulo retângulo, a
área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu
tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o
sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria.
Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem
revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem
revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e
séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na história de
Pitágoras. Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois,
mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode
ser só lenda.
Mas que um estudioso da Grande Grécia (com esta expressão incluíam-se a Itália
Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.C., tenha mostrado com um
raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados
dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo retângulo, acreditamos que
seja verdade.
Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande
Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como
aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios
gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.C., que a soma dos quadrados
dos dois catetos, num triângulo retângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao
quadrado da hipotenusa.
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Demonstrações do teorema de Pitágoras
Existem inúmeras demonstrações do teorema de Pitágoras. Em 1940 o
matemático americano Elisha Scott Loomis compilou 367 demonstrações
diferentes para o seu livro 'The Pythagorean Proposition';
Abaixo estão alguns estratos de demonstrações para o teorema de Pitágoras,
dadas ao longo do tempo:
Grego, 800 a.C.
Latino, 1120 a.C.
Arábico, 1250 a.C.
Francês, 1564 a.C.
Inglês, 1570 a.C.
Chinês, 1607 a.C.
Observe o espaço ao seu redor. Identifique ângulos retos nos objetos e
construções.
Desde muito cedo em sua história, a humanidade utiliza ângulos retos para
demarcar terras, construir casas, templos etc.
Sabemos que um triângulo é retângulo quando tem um ângulo reto.
Os antigos egípcios, usando uma corda com 12 nós, parecem ter construído um
triângulo retângulo particular para obter “cantos” em ângulos retos. Esse
triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de
comprimento. Neste triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é
um ângulo reto.
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Baseado no triângulo retângulo particular dos egípcios, e construindo
quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter a figura a seguir, que
nos permite estabelecer uma relação entre medidas dos lados desse triângulo
particular.
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Num triângulo retângulo, chamaremos os lados que formam o ângulo reto de
catetos. O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida) chama-se
hipotenusa.
Lados que formam o ângulo reto = CATETOS
Lado oposto ao ângulo reto = HIPOTENUSA
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Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual à soma das medidas dos quadrados dos catetos.
Ou seja:
( Hipotenusa ) 2 = ( Cateto ) 2 + ( Cateto ) 2
EXEMPLO 1:
A
hip 2  cat 2  cat 2
x 2  32  4 2
cateto
3
hipotenusa
x
x
B
C
4
cateto
x 2  9  16
x 2  25
x  25
x5
EXEMPLO 2:
cateto
E
x
F
hip 2  cat 2  cat 2
52  x 2  4 2
25  x 2  16
4
cateto
5
hipotenusa
25  16  x 2
9  x2
x 9
G
x3
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Exercícios
Questão 01:
Calcule o valor desconhecido nos triângulos retângulos.
a)
d)
12
x
8
x
20
6
b)
e)
b
y
12
15
15
9
9
c)
f)
a
5
c
12
16
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Questão 02:
Berlinde ou bola-de-gude, bolinha-de-gude ou simplesmente gude também
conhecido como búlica, bolita, entre outros tantos nomes, é uma pequena bola
de vidro maciço, pedra, ou metal, normalmente escura, manchada ou
intensamente colorida, de tamanho variável, usada em jogos de criança. Outros
nomes são: baleba, bilosca, biloca, bila, birosca, bolita, bugalho, búraca, búrica, bute,
cabiçulinha, clica, firo, guelas, nica, peteca, pirosca, ximbra, boleba e bolega.
Qual é a distância percorrida pelo berlinde?
Questão 03:
O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:
50 cm
120 cm
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 50 cm.
Qual o comprimento do balance?
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Questão 04:
Qual a distância percorrida, em linha reta, por um avião do Ponto A até o ponto
B, quando ele alcança a altura indicada na figura abaixo?
Questão 05:
Durante um incêndio de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada
Magirus de 50m para atingir a janela do apartamento sinistrado. A escada
estava colocada sobre o caminhão que se encontrava afastado 40m do edifício.
Qual é a altura do apartamento sinistrado em relação ao chão?
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Questão 06:
Visando a diminuição de acidentes no transito no país, a apelidada “Lei Seca”
que alterou também o Código de Trânsito Brasileiro, tem como símbolo, o
temido bafômetro (temido, é claro, para aqueles que sabem que se excederam
no consumo de álcool), além da proibição da venda de bebidas alcoólicas ao
longo das rodovias. A Lei foi efetivada pela grande comoção social que se dá
perante a inúmeras mortes ocorridas pela combinação fatal : álcool + volante.
Segundo a OMS (Organização Mundial de Saúde) 1,8 milhões de mortes no
planeta estão diretamente ligados ao consumo de álcool, em 1998, entre as
vítimas de acidente de trânsito, cerca de dois terços apresentaram taxa de
alcoolemia superior a 0,6 g/l.
Durante muito tempo o governo foi questionado quanto à segurança no trânsito
e agora que uma lei destas foi aprovada e diversos policiais estão realizando
uma fiscalização eficaz nas estradas do país, algumas pessoas começam a
questioná-la. Correta ou não, o fato é que o número de acidentes de trânsito
causados por motoristas embriagados caiu drasticamente. Muitos deixaram de
morrer e outros tantos de se machucar. Diminuíram as cenas absurdas de
motoristas que bebem e não conseguem assoprar o bafômetro.
Se você costuma dirigir após um pileque coloque-se no lugar de seus pais. Toda
vez que o filho sai de casa para uma balada eles não dormem de tanta
preocupação. Dirigir é antes de tudo sinônimo de responsabilidade. Não queira
ser mais um número na estatística de mortes no trânsito. Queira ser um
exemplo a ser seguido pelos seus amigos.
Agora veja o exemplo abaixo de um jovem que bebeu e depois dirigiu, com os
reflexos não tão apurados não deu outra, o carro chocou-se contra o poste. Com
base na figura determine a altura do poste.
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Questão 07:
Lars Schmidt Grael é um velejador brasileiro.
Como atleta, Grael é titular de duas medalhas de bronze, uma nos Jogos
Olímpicos de Seul e outro em Atlanta. Tendo sido campeão mundial da classe
snipe em 1983 na cidade do Porto, decacampeão brasileiro e pentacampeão
sul-americano da classe tornado.
Em setembro de 1998, Grael sofreu um grave acidente em Vitória, causado
pela imperícia e irresponsabilidade do comandante de um iate, o que causou
a mutilação de uma das pernas do atleta. O velejador teve que se afastar da
prática esportiva por algum tempo, dedicando-se, todavia, ao fomento do
desporto a partir de uma outra perspectiva: a política, exercendo cargos nos
governos federal e de seu estado natal.
Atualmente, Lars Grael voltou a dedica-se exclusivamente à vela. Voltou a
velejar na classe Star e continua ativo na vela.
Determine a altura do mastro do barco à vela representado abaixo.
x
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Gabarito
Questão 1:
a) x = 10
c) a = 20
e) b = 12
b) y = 15
d) x = 16
f) c = 12
Questão 2: 65cm
Questão 3: 130cm = 1,30m
Questão 4: x =1,3km
Questão 5: 30m
Questão 6: 9m
Questão 7: Aproximadamente 4,96m
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Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010
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