Notas de aulas 1 – IFSP – Mecânica Técnica
1. Revisão de trigonometria. Sistemas de unidades. Algarismos significativos.
2. Conceito de vetor. Soma de vetores. Decomposição de forças.
3. Equilíbrio de um ponto material.
4. Diagrama de corpo livre.
5. Força normal. Vínculos estruturais.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Aula 1 - Revisão de trigonometria. Sistemas de unidades. Algarismos Significativos
RESUMO DOS CONHECIMENTOS DE TRIGONOMETRIA
A) Em um triângulo qualquer (inclusive o triângulo retângulo)
1. A soma dos ângulos em qualquer triângulo é 180º.
2. A razão entre dois lados correspondentes de triângulos semelhantes são iguais.
a2
b2
a1
b1
c1
c2
b1 b 2
b1
a1
=
⇒
=
a1 a 2
b2 a 2
ou
c1 c 2
c1
a1
=
⇒
=
a1 a 2
c2 a2
ou
b1 b 2
b1
c1
=
⇒
=
c1 c 2
b2 c2
Observação: Dois triângulos são semelhantes se têm a mesma forma mas tamanhos diferentes, isto
é, um é uma versão ampliada do outro. Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos
correspondentes forem iguais.
B) Em um triângulo retângulo
1. Teorema de Pitágoras
a 2 = b 2 + c 2 , isto é, o
quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados
dos catetos.
β
a
b
α
c
2. Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Seja α a medida de um ângulo agudo de um triângulo agudo. Então:
b
a
•
Seno de α é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa: sen α =
•
Cosseno de α é a razão entre o cat. adjacente a esse ângulo e a hipotenusa: cos α =
•
Tangente de α é a razão entre os catetos oposto e adjacente a essa ângulo: tg α =
c
a
b
c
Lei dos Senos e Lei dos Cossenos para um triângulo qualquer:

A
Lei dos cossenos: c 2=a 2b 2−2∗a∗b∗cos C
Lei dos senos:
 sen B
 sen C
sen A
=
=
a
b
c
Identidades trigonométricas:
sen 2 cos2 =1
c

B
b
a

C
sen =sen  cos cos  sen 
cos =cos cos −sen  sen 
Sistemas de unidades
Toda grandeza física é expressa por um número dimensional, isto é, um número cujo valor depende das
unidades utilizadas. As unidades são de dois tipos: fundamentais e derivadas. As unidades fundamentais
são aquelas que, escolhidas arbitrariamente, determinam o sistema. As unidades derivadas podem ser
obtidas a partir das fundamentais. Por exemplo: no Sistema Internacional de Unidades, as grandezas
fundamentais e suas unidades são massa, em quilograma; comprimento, em metro; tempo, em segundo; e
temperatura, em Kelvin.
Todas as equações teóricas das Ciências e da Engenharia são dimensionalmente homogêneas, isto é, as
dimensões do lado esquerdo e do lado direito são iguais e todos os termos separados da equação tem a
mesma dimensão. Se isto não for verdadeiro, estaremos igualando quantidades físicas diferentes, o que
não faz sentido.
Precisão e algarismos significativos
Regras práticas
A precisão de um número é determinada pela quantidade de algarismos significativos que ele contém.
Algarismo significativo é qualquer algarismo, inclusive o zero, desde que não seja usado para especificar
a localização doo ponto decimal do número. Por exemplo, 5604 e 34,52 têm, cada um, quatro algarismos
significativos.
Como regra geral, para garantir a precisão do resultado final, ao executar cálculos, deve-se manter sempre
um número de dígitos maior do que os dados do problema e do resultado final. Nos cálculos técnicos,
costuma-se arredondar a resposta final com três algarismos significativos e, por isso, os cálculos
intermediários são realizados com quatro algarismos significativos.
Significado
A precisão de qualquer medida corresponde mais ou menos à metade do último algarismo significativo do
número usado para indicar o valor da medida. Por exemplo, considere o valor 18,5 unidades em
comprimento. Esse número possui três algarismos significativos e seu valor representa todos os
comprimentos entre 18,45 e 18,55 unidades. Se o valor for 18,50 unidades, representa todos os
comprimentos entre 18,495 e 18,505 unidades.
EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 2 13 e 3 13 . Calcule:
a)
a hipotenusa;
b)
as projeções dos catetos;
c)
a altura relativa à hipotenusa.
2. ABC é um triângulo isósceles em que AB=AC=10 e BC=12.
a)
calcule a altura relativa ao lado BC;
b)
calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC.
3. Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado L?
4. Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado L.
5. Calcule seno, cosseno e tangente de α e β em cada um destes triângulos.
β
21
α
20
24
β
α
25
6. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20º. Qual será a altura atingida após percorrer
2 km em linha reta?
7. Se os raios solares formam um ângulo 36,9º com o solo, qual é o comprimento da sombra de um
edifício de 10 m de altura?
8. Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa
sobe essa rampa inteira. Quantos metros ela se elevou?
9. Duas rodovias A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na
rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à
rodovia B. Qual é a distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C?
10. Dois pontos A e B, situados no chão, distam 11,25 m e 20 m, respectivamente de um poste. Do
topo do poste até A e B foram esticados dois fios com inclinações de 58º e 42º, em relação à
horizontal. Determine a altura do poste e o comprimento de cada fio.
11. Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém
um ângulo de 30º, em relação à horizontal. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo,
qual é a altura da torre?
12.
Uma escada com 10 m de comprimento foi apoiada em uma parede que é perpendicular ao
solo. Sabendo que o pé da escada está afastado 6 m da base da parede, determine a altura alcançada
pela escada.
EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
Dizer, justificando, qual das fórmulas abaixo tem possibilidade de estar correta:
F=
onde
m∗v 2
R
ou
F =m∗v 2∗R
F = força;
m = massa;
v = velocidade escalar;
R = raio de círculo.
Dizer, justificando, qual das fórmulas abaixo tem possibilidade de estar correta:
m
p=h∗ ∗g
V
onde
ou
m
p=h∗ ∗g 2
V
p = pressão;
h = altura;
m = massa;
V = volume;
g = aceleração da gravidade.
Determine a relação entre:
a) km/h e m/s
b) rpm e rad/s
c) rps e rad/s
d) rps e rpm
A velocidade de 54 km/h corresponde a:
a) 10 m/s
b) 15 m/s
c) 20 m/s
d) 25 m/s
e) 30 m/s
Qual é, em km/h, a velocidade média de um corredor que percorre 100 m em 11,25 s?
A massa específica do ar é aproximadamente igual a 1,3 g/L. Exprima-a em kg/m3.
Quantos algarismos significativos são utilizados para expressar os seguintes valores:
a) a massa de um corpo, de 2,305 x 103 mg?
b) o comprimento de 0,000 000 000 080 65 cm?
c) o comprimento de 5,03 x 10-5 m?
d) a massa de 0,000 42 kg?
Determine o número de algarismos significativos dos seguintes valores medidos:
a) 23 cm
b) 3,589 s
c) 4,67 x 103 m/s
d) 0,0032 m
Um especialista em medidas, ao determinar o comprimento de um eixo de aço com uma régua
milimetrada encontrou o valor de dois mil milímetros. No sistema de unidades SI, como tal medida
deve ser escrita?
------------------------------------------------------------------------------------------------------Aula 2 - Conceito de vetor. Soma de vetores. Decomposição de forças.
Grandezas vetoriais e grandezas escalares
Uma grandeza escalar é caracterizada apenas por um valor, e respectiva unidade.
Uma grandeza vetorial é caracterizada por um valor, uma direção e um sentido. Uma grandeza
vetorial é representada por vetores – segmentos de reta orientados – que informam, pelo tamanho e
para onde apontam, qual é o valor, a direção e o sentido da grandeza. Força é a grandeza vetorial
que será considerada.
Soma de vetores
A resultante da soma de dois vetores pode ser unindo a origem de segundo vetor à extremidade do
primeiro vetor; a resultante é o vetor que vai da origem do primeiro vetor à extremidade do segundo
vetor. A resultante da soma de dois vetores pode ser obtida, também, a partir da regra do
paralelogramo.
Decomposição de forças
Para a soma de vetores, muitas vezes, é mais fácil determinar os componentes dos vetores em eixos
especificados, adicionar algebricamente esses componentes e depois gerar a resultante. Para isso,
pode-se definir um sistema de coordenadas retangulares, caracterizado por dois eixos,
perpendiculares uma ao outro, e a origem, que é o ponto de encontro desses eixos. Usualmente, um
eixo é horizontal e o outro, vertical, que podem ser orientados em qualquer sentido. Neste curso,
adota-se o sentido para direita, no eixo horizontal, como o sentido positivo, enquanto que para
esquerda como o sentido negativo. Analogamente, para o eixo vertical, o sentido para cima
corresponde ao sentido positivo e o sentido para baixo, ao sentido negativo.
EXERCÍCIOS
Determine, pelo processo algébrico das componentes, a resultante (módulo e direção) de cada um
dos sistemas de força a seguir:
y
y
80 N
40 N
30 N
60º
70º
x
100 N
x
y
10 N
53º
8N
x
6N
20º
y
100 N
100 N
30º
30º
x
100 N
As componentes de
 sobres os eixos x e y valem:
F
y
Fy

F
θ
F x
As componentes de
x
 sobres os eixos x e y valem:
F
y
F y
ϕ

F
x
x decomposta
Uma força F = 20 N deveFser
em duas componentes ortogonais (horizontal e vertical)
cujas intensidades estão na razão 3 para 4. Quais são as intensidades das componentes e qual é o
ângulo entre a força e a direção horizontal, sabendo que a componente horizontal é maior que a
componente vertical?
Um corpo de peso 200 N é abandonado sobre um plano inclinado de 30º, em relação à direção
horizontal. Qual é o módulo da componente do peso que arrasta o corpo?