UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
GEOMETRIA ANALÍTICA
ASSUNTO: CÔNICAS
1. Usando a definição de parábola determinar, em cada um dos itens a seguir, a equação da parábola
a partir dos elementos dados.
(a) Foco (3, 4), diretriz x − 1 = 0.
(b) Foco (3, -5), diretriz y − 1 = 0.
(c) Vértice (2, 0), foco (0, 0).
(d) Foco (-1, 1), diretriz x + y − 5 = 0.
2. Determine a equação da parábola cujo vértice e foco são, respectivamente, os pontos (3, 3) e (3, 1).
Determinar também a equação de sua diretriz e o comprimento de seu latus rectum.
3. Em cada um dos itens a seguir, determinar as coordenadas do vértice e do foco, as equações da
diretriz e do eixo focal e o comprimento do latus rectum.
(a) 4y 2 − 48x − 20y = 71.
(b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0.
(c) y 2 + 4x = 7.
(d) 4x2 + 48y + 12x = 159.
4. Um cometa se desloca numa órbita parabólica tendo o Sol como o foco. Quando o cometa está
a 4.107 km do sol (figura 1), a reta que os une forma um ângulo de 60o com o eixo da órbita.
Determine a menor distância que o cometa se encontra do Sol.
C
y
60o
S
x
Figura 1
1
5. Determinar a equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo X e que passa pelos pontos (0, 0),
(8, -4) e (3, 1).
6. Diz-se que uma reta é tangente a uma parábola quando tem um único ponto em comum com ela e
não é paralela ao eixo focal. Mostre que a reta y = 7x − 3 é tangente à parábola y = x2 + 3x + 1
no ponto (2, 11).
7. Seja P = (m, am2 ) um ponto da parábola y = ax2 . Prove que a única reta não-vertical (portanto
não-paralela ao eixo focal da parábola) que tem apenas o ponto P em comum com essa curva é
y = am2 + 2am(x − m).
8. Dados um ponto F, uma reta ∆ quem não contém o ponto F e um no positivo e, seja X o conjunto
dos pontos do plano tais que:
d(P ,F )
d(P ,∆)
= e. Prove:
(a) Se 0 < e < 1 então X é uma elipse.
(b) Se e > 1 então X é uma hipérbole.
(c) Se e = 1 então X é uma parábola.
9. Determinar a expressão para a famı́lia de funções quadráticas de x cada uma das quais tendo um
valor máximo 4 quando x = −2.
10. A soma dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo é constante e igual a 14 polegadas.
Determinar os comprimentos dos catetos se a área do triângulo deve ser máxima.
11. A soma de dois números é 8. Determinar estes números se a soma de seus quadrados deve ser
mı́nima.
12. O perı́metro de um retângulo é 20 polegadas. Determinar suas dimensões se sua área deve ser
máxima.
13. Determinar o número que excede seu quadrado pela maior quantidade possı́vel.
14. Mostrar que dentre todos os retângulos, tendo um perı́metro fixo, o de maior área é o quadrado.
15. Determinar em cada equação dada da elipse, as coordenadas dos vértices e focos, as coordenadas do centro, os comprimentos dos eixos maior e menor, a excentricidade e o compriemnto
do latus rectum. Desenhar e discutir o lugar geométrico.
(a) 4x2 + 9y 2 = 36.
(b) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0.
(c) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0.
16. Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices é o ponto (0, 7). Se a elipse passa pelo
√
ponto ( 5, 14
3 ), determinar sua equação e excentricidade.
2
17. Determinar os comprimentos dos raios focais do ponto (3, 74 ) sobre a elipse 7x2 + 16y 2 = 112.
18. Determinar em cada um dos itens a seguir, usandoa definição de elipse, a equação da elips e a partir
dos elementos dados.
(a) Focos (3, 8) e (3, 2); comprimento do eixo maior igual a 10.
(b) Vértices (-3, -1) e (5, -1); excentricidade igual a 34 .
(c) Vértices (2, 6) e (2, -2); comprimento do latus rectum igual a 2.
(d) Vértices (4, 0) e (-4, 0); focos (3, 0) e (-3, 0).
(e) Centro (2, -4); vértice (-2, -4); foco (-1, -4).
19. Para cada equação da hipérbole dada a seguir, determinar as coordenadas dos vértices e dos focos,
as coordenadas do centro, os comprimentos dos eixos transverso e conjugado, a excentricidade e o
comprimento do latus rectum.
(a) 9x2 − 4y 2 = 36.
(b) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0.
(c) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0.
(d) 3x2 − y 2 + 30x + 78 = 0.
20. Determinar e identificar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que
sua distância ao ponto (3, 2) é sempre igual a três vezes sua distância à reta y + 1 = 0.
21. A base de um triângulo é fixa, sendo seus extremos os pontos (3, 0) e (-3, 0).
Determinar e identificar a equação do lugar geométrico do vértice oposto se o produto das declividades dos lados variáveis é sempre igual a 4. Traçar o lugar geométrico.
′
′
′
22. Uma hipérbole em relação ao sistema x Oy (figura 2) tem equação
(x −2)
4
2
′2
−
y
4
= 1.
Determine, em relação ao sistema xOy:
y
(a) as coordenadas dos vértices e focos;
y
′
3
(b) as equações das assı́ntotas;
√
3
(c) a sua equação.
′
c
b
c
b
c
b
−3 −2 −1
Figura 2
3
1 2 3 4
x
x
RESPOSTAS
1. (a) y 2 − 4x − 8y + 24 = 0; y
′2
′
− 4x = 0.
′2
′
(b) x2 − 6x + 12y + 33 = 0; x + 12y = 0.
(c) y 2 + 8x − 16 = 0; y
′2
′
+ 8x = 0.
(d) x2 − 2xy + y 2 + 14x + 6y − 21 = 0; y
′′ 2
√ ′′
+ 5 2x = 0.
2. (x − 3)2 = −8(y − 3); d : y = 5; med(LR) = 8 u.c..
3. (a) (y − 52 )2 = 12(x + 2); V = (−2, 25 ); F = (1, 52 ); d : x = −5, eixo focal: y = 52 , med (LR) = 12
u.c..
−4
(b) (x + 34 )2 = −8y; V = ( −4
3 , 0); F = ( 3 , −2); d : y = 2, eixo focal: x =
(c) y 2 = −4(x − 74 ); V = ( 47 , 0); F = ( 34 , 0); d : x =
11
4 ;
−4
3 ,
med (LR) = 8 u.c..
eixo focal: y = 0; med(LR) = 4 u.c..
7
−3 1
(d) 4(x + 32 )2 = −12(y − 27 );V = ( −3
2 , 2 ); F = ( 2 , 2 ); d : y =
13
2 ;
eixo focal ; med(LR) = 12 u.c..
4. 107 Km
5. y 2 − x + 2y = 0.
6. Use a definição de reta tangente.
7. Use a definição de reta tangente.
8. Ver LEMANN, Charles. Geoemtria Analı́tica.
9. ax2 + 4ax + 4a + 4 e a < 0.
10. Cada cateto tem 7 polegadas de comprimento.
11. 4 e 4.
12. Quadrado de 5 polegadas de lado.
13.
1
2.
14. Seja a ∈ R∗+ e R um retângulo cujos lados medem l1 u.c e l2 u.c.. onde 2l1 + 2l2 = 2a,
Considere AR = área do retângulo R.
AR = l1 (a − l1 ) = −l12 + al1 .
Observe que o gráfico de AR é um parábola e seu vértice é o ponto com coordenadas ( a2 , a4 ). Daı́ o
valor máximo para a função área é atingido quando l1 =
a
2
portanto l1 = l2 = a2 .
√
√
15. (a) Vértice (3, 0) e (-3, 0); focos ( 5, 0) e (− 5, 0); Centro (0, 0); 2a = 6; 2b = 4; e =
√
5
3 ;
med(LR) = 38 u.c..
(b)
(x−3)2
4
√
√
2
+ (y+2)
= 1; Centro (3, -2); Vértices (5, -2) e (1, -2); focos (3 + 3, −2) e (3 − 3, −2);
1
2a = 4; 2b = 2; e =
√
3
2 ;
med(LR) = 1u.c..
4
(c)
(x)2
4
√
√
2
+ (y−1)
= 1; Centro (0, 1); Vértices (0, 4) e (0, -2); focos (0, 1 + 5) e (0, 1 − 5); 2a = 6;
9
2b = 4; e =
y2
49
16.
x2
9
+
17.
25
4
e 74 .
√
5
3 ;
=1ee=
med(LR) = 38 u.c..
√
2 10
7 .
x
16
(b) 7x2 + 16y 2 − 14x + 32y − 89 = 0;
y
7
(c) 4x2 + y 2 − 16x − 4y + 4 = 0;
(d)
(e)
2
x
16
2
y
7
+
(x−2)
16
2
′2
x
4
′2
x
16
′2
′2
18. (a) 25x2 + 16y 2 − 150x − 160y + 225 = 0 ;
+
y
25
= 1.
′2
+
= 1.
′2
+
y
16
= 1.
= 1.
+
(y+4)2
7
= 1.
√
√
19. (a) Vértices (2, 0) e (-2, 0); focos ( 13, 0) e (− 13, 0); 2a = 4 e 2b = 6; e =
√
13
2 ;
med(LR) =
9u.c..
(b) assı́ntotas: x + 2y − 1 = 0 e x − 2y − 1 = 0
(c)
(x−2)2
9
+ (y − 2)2 = 1; Centro (2, 2); Vértices (5, 2) e (-1, 2); focos (2 +
2a = 6; 2b = 2; med(LR) = 23 u.c.; e =
√
10
3 ;
√
10, 2) e (2 −
√
10, 2);
assı́ntotas :x + 3y − 8 = 0 e x − 3y + 4 = 0.
√
√
√
(d) y3 − (x + 5)2 ; Centro (-5, 0); Vértices (−5, 3) e (−5, − 3); focos (-5, 2) e (-5, -2); 2a = 2 3;
√
√
√
√
√
√
2b = 2; med(LR) = 2 3 3 u.c. e e = 2 3 3 ; assı́ntotas; 3 + y + 5 3 = 0 e 3 − y + 5 3 = 0
2
20. x2 − 8y 2 − 6x − 22y + 4 = 0.
21. 4x2 − y 2 = 36.
√
√
√
√
√
√
√
a) V1 (2 3, 2); V2 (0, 0); F1 ( 3(1 + 2), 1 + 2); F2 ( 3(1 − 2), 1 − 2)
√
√
√
√
22.
b) r: (1 − 3)y + (1 + 3)x − 4 = 0; s:(1 + 3)y + ( 3 − 1)x − 4 = 0
c)
√
( 3x+y−4)2
16
−
√
( 3y−x)2
16
=1
BIBLIOGRAFIA
1.LEMANN, Charles. Geoemtria Analı́tica.
2.LIMA, Elon Lages. Geometria Analı́tica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária.
SBM.
3. Lista de exercı́cos: Geometria Analı́tica. UFBA.
Esta lista foi elaborada e confeccionada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (UESCDCET).
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