Solução Comentada Prova de Matemática
10 questões
11. Sejam a, b e c os três menores números inteiros positivos, tais que 25a = 75b = 100c. Assinale
com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
1(
2(
3(
4(
)
)
)
)
A soma a + b + c é igual a 19
A soma a2 + b2 + c2 é igual a 361
O produto abc é igual a 96
a>b>c
Questão 11
Assunto: Número real: operações com números reais
Comentário: Essa questão é uma aplicação de conceitos básicos, como mínimo múltiplo comum e
operações elementares com números inteiros positivos.
Solução:
Conforme o enunciado da questão, devemos ter 25 a = 75 b = 100 c onde a, b e c devem ser os
menores inteiros positivos que satisfazem à igualdade. O número correspondente a esta igualdade é
um múltiplo comum de 25, 75 e 100 e, portanto, o menor valor positivo assumido por ele é 300 =
mmc (25, 75, 100)
Neste caso, teremos 25 a = 75 b = 100 c = 300 e, portanto, a = 12, b = 4 e c = 3
Análise dos itens :
Como a = 12 , b = 4 e c = 3, temos:
1)
2)
3)
4)
A 1ª proposição é VERDADEIRA. A soma: a + b + c = 12 + 4 + 3 = 19
A 2ª proposição é FALSA. A soma: a2 + b2 + c2 = 122 + 42 + 32 = 144 + 16 + 9 = 169 ≠ 361
A 3ª proposição é FALSA. O produto: a .b.c = 12 . 4 . 3 = 144 ≠ 96
A 4ª proposição é VERDADEIRA. Como 12 > 4 > 3 temos a > b > c
Conclusão : 1) V
2) F
3) F
4) V
12. Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 4 cm e a bissetriz do ângulo reto mede
Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
2
cm.
4 10
3
4
A medida do outro cateto é
3
1(
) A medida da hipotenusa é
2(
)
3(
4(
) O triângulo é isósceles
) A soma das medidas dos catetos é 19/4
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10 questões
Questão 12
Assunto: Geometria plana
Comentário: Esssa questão requer conhecimento de conceitos e definições básicos da geometria
plana e tem como ferramentas principais para sua solução o teorema de Pitágoras e resultados que
envolvem semelhança de trângulos.
C
Solução:
E
1
1
2
3
A
F
1
1
D
x
z
B
y
O triângulo ABC é retângulo. AC = 4 é um cateto e
CD =
2 é a bissetriz do ângulo reto Ĉ .
Seja DE é perpendicular a AC e DF é perpendicular a BC.
CD =
2 é a diagonal do quadrado DFCE, logo:
DE = DF = EC = CF = 1.
(1) Pela semelhança dos triângulos:
ADE e DBF , temos:
x 3 1
1
= =
⇒ x = 3y e z =
y 1 z
3
(2) O triângulo BFD é retângulo, então, pelo teorema de Pitágoras, y2 = 12 + z2 .
Segue: de (1) z =
1
e pela condição (2) y =
3
10
3
, e pela relação (1), x =
10
Análise dos itens:
1) A 1ª proposição é VERDADEIRA. A hipotenusa AB = x + y =
10 +
2) A 2ª proposição é VERDADEIRA. O outro cateto CB = 1 + z = 1 +
10
4 10
=
3
3
1 4
=
3 3
3) A 3ª proposição é FALSA. Os catetos AC e BC têm medidas diferentes, logo o triângulo não é
isósceles.
4) A 4ª proposição é VERDADEIRA. A soma das medidas dos catetos é igual a 4 +
Conclusão : 1) V
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2) V
3) F
3
19
=
4
4
4) V
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10 questões
13. Considerando n e k números inteiros positivos, com n ≥ k. Assinale com V (verdadeiro) ou F
(falso) as opções abaixo.
 n +1   n   n 
 =  + 
 k   k   k −1 
1(
) 
2(
3(
4(
) n(n-1)...(n-k+1) é divisível por k!
) Se n ≥ 21 então nenhum dos números n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, ... , n!+21 é primo
) n! + k > (n+1)!
Questão 13
Assunto: Análise combinatória
Comentário: A questão apresenta afirmações envolvendo a teoria de análise combinatória as quais, a
partir do conhecimento de fórmulas e propriedades, o candidato deve avaliar para concluir a respeito
da sua validade
Solução e análise dos itens:
1) A 1a proposição é verdadeira
(n − k + 1)n! + kn! = (n + 1)! =  n+1
n  n 
n!
n!
  +   =
+
=
(n − k + 1)! k! (n + 1 − k )! k!  k 
 k   k −1  (n − k )! k! (n − k + 1)! (k − 1)!
2) A 2a proposição é verdadeira
n(n − 1). ... .(n − k + 1)
n
n!
  =
=
∈ Z .Logo n(n-1)...(n-k+1) é divisível por k!
(
)
n
−
k
k
k!
!
!
k
3) A 3a proposição é verdadeira.
Como n ≥ 21 n! é divisível por 2,3,4, ... , 21. Conseqüentemente, n!+2 é divisível por 2, n!+3 é
divisível por 3, n!+4 é divisível por 4, n!+5 é divisível por 5, ... , e n!+21 é divisível por 21 e,
portanto, nenhum dos números n!+2, n!+3, n!+4, n!+5, ... , n!+21 é primo.
4) A 4a proposição é falsa.
Tomando n = 3 e k = 1, temos n! + k = 3! +1 = 7 e (n+1)! = (3+1)!=24 e, portanto, para estes
valores de n e k, temos n! + k < (n+1)!
Conclusão: 1) V
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2) V
3) V
4) F
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10 questões
14. Sejam x, y e a números reais positivos com x < y. Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as
opções abaixo.
1(
2(
) Log 3 ax < Log 3 ay
) Log 1 (a + x) < Log 1 (a + y )
3(
) e <e
4(
) xLog 2 a + y Log 2 a ≠ 0
3
ax
3
ay
Questão 14
Assunto: Logaritmos e exponenciais
Comentário: Basicamente, essa questão requer conhecimentos sobre propriedades das funções
logaritmos e exponenciais, especialmente envolvendo o conceito de base e sua influência no
crescimento ou decrescimento destas funções.
Solução e análise dos ítens:
Temos que x, y e a são números reais positivos com x < y:
1) Se x < y e a > 0 temos ax < ay e, então, Log 3(ax)< Log 3(ay) pois a função Log 3 (x) é
crescente já que a base é maior que um. A 1ª proposição é, portanto, VERDADEIRA.
2) Se x < y temos x + a < y + a e, então, L og 1 ( x + a ) > L og 1 ( y + a ) pois a função Log 1 (x)
3
3
3
é decrescente, já que a base é menor que um. A 2ª proposição é, portanto, FALSA.
3) Se x < y e a > 0 temos ax < ay e então eax < eay , pois f(x) = ex é crescente. A 3ª proposição é,
portanto, VERDADEIRA.
4) Fazendo a = 1 em xLog 2 a + y Log 2 a temos xLog 2 a + y Log 2 a = xLog 2 1 + y Log 2 1 = x.0 + y.0 = 0
A 4ª proposição é, portanto, FALSA.
Conclusão: 1) V
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2 F
3) V
4) F
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10 questões
15. Dado o polinômio p(x)= x3-x2-2x+2. Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
1(
2(
3(
4(
)
)
)
)
Todas as raízes são reais.
Apenas uma raiz é real.
Todas as raízes são inteiras.
p(x) é divisível por x+1
Questão 15
Assunto: Polinômios
Comentário: Essa questão visa testar o conhecimento do candidato sobre a teoria dos polinômios,
envolvendo análise das raízes e fatoração de um polinômio
Solução:
Temos p( x) = x 3 − x 2 − 2x + 2 =
x 2 ( x −1) − 2( x −1) = ( x −1) ( x 2 − 2 ) = ( x −1)( x − 2 )( x +
2 ) . Com base nesta fatoração,
podemos verificar a validade das quatro afirmações acima.
Análise dos itens :
1) A 1ª proposição é VERDADEIRA. Os números reais 1 ,
2e−
2 são as raízes do p(x).
2) A 2ª proposição é FALSA. O polinômio p(x) tem três raízes reais distintas: 1 , 2 e − 2 .
3) A 3ª proposição é FALSA. O polinômio p(x) tem apenas uma raiz inteira (que é igual a 1), as duas
outras são raízes irracionais ,
2, −
2 .
4) A 4ª proposição é FALSA. Por substituição direta em p(x), p( − 1) ≠ 0 , logo p(x) não é divisível
por
x + 1.
Conclusão : 1) V
2) F
16. Considere a seqüência infinita
3) F
4) F
1 2 3 4
, , , , ...
3 9 27 81
Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as
opções abaixo.
1(
) A seqüência é uma progressão geométrica.
2(
) A seqüência é decrescente.
3(
) A soma dos termos desta seqüência é igual a 3/4
4(
) A soma dos termos desta seqüência é igual a 1
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10 questões
Questão 16
Assunto: Seqüência
Comentário: Essa questão requer do candidato maturidade ao trabalhar com seqüências; em primeiro
lugar, reconhecendo se a seqüência é uma progressão geométrica; em seguida, identificando se a
seqüência é decrescente ou não e, por último, visualizando que pode ser feita uma decomposição de
cada um dos termos da seqüência de forma que se obtenha uma forma de somar seus termos lidando
com soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão positiva menor que 1 (um).
Solução:
Observando a seqüência
1 2 3 4

,
, ... vemos que podemos escrevê-la na forma
 , ,
 3 9 27 81

n
1 2 3 4

 , 2 , 3 , 4 , ... e, assim, podemos ver que o termo geral desta seqüência é n
3
3
 3 3 3

Podemos também escrever os termos da seqüência na forma
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1

 , 2 + 2 , 3 + 3 + 3 , 4 + 4 + 4 + 4 , ... 
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3


1
3
1
2
3
1
3
3
1
3
4
+
+
+
1
32
1
3
3
1
3
4
+
+
1
33
1
3
4
+
1
34
Cada coluna, da esquerda para a direita, forma uma progressão geométrica de razão
1
. Logo, para
3
calcular a soma dos termos da seqüência dada, basta somar todos os termos de cada uma das colunas,
da esquerda para a direita, e no final observar que as somas resultantes também formam uma
progressão geométrica infinita de razão
1
1
e primeiro termo igual a . Assim, temos que a soma dos
3
2
termos da seqüência é:
1
3
1
9
1
1
1
1 1
1
1
3
+
+ 27 + 81 + .... =
+ +
+
+ ... = 2 =
1
1
1
1
1
2 6 18 54
4
1−
1−
1−
1−
1−
3
3
3
3
3
Análise dos itens:
Temos que os quatro primeiros termos da seqüência infinita são :
1 2 3
4
,
,
e
3 9 27 81
1) A 1ª proposição é FALSA. Observe que o resultado da divisão do segundo termo pelo primeiro é
diferente do resultado da divisão do terceiro pelo segundo, ou seja:
2 1 3 2
: ≠ :
.
9 3 27 9
Então, a
seqüência não é uma progressão geométrica.
2) A 2ª proposição é VERDADEIRA. Observe que
1
2
3
4
n −1
n
>
>
>
> ... > n − 1 > n > ...
3
3
3
9
27
81
1 2 3 4

, ,
,
, ... é decrescente.
 3 9 27 81

Logo, a seqüência 
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10 questões
1 1
1
1
3
+
+
+
+ ... =
3 9 27 81
4
1 1
1
1
3
4) A 4ª proposição é FALSA. A soma
+
+
+
+ ... =
≠1
3 9 27 81
4
3) A 3ª proposição é VERDADEIRA. A soma
Conclusão : 1) F
2) V
3) V
4) F
1
3 
3
1 
+
i  −
+ i  . Assinale com V (verdadeiro)
2
2  
2
2 

17. Considere o número complexo v = 
ou F (falso) as opções abaixo.
1(
)
v
2(
)
v=−
3(
) v 2 = cos
4(
) 2v=
=1
3 1
+ i
2 2
7π
7π
+ i sen
3
3
1
3
−
i
2 2
Questão 17
Assunto: Números complexos
Comentário: Essa questão reúne conhecimentos sobre propriedades, módulo e forma trigonométrica
de um número complexo.
Solução:
1
3 
3
1 
3 1
3
3
3 1
+
i  −
+ i = − + i − i + i2 = − − i
2
4 4
4
4
2 2
2  
2
2 

Temos v = 
Análise dos itens:
Sendo v = −
3
2
−
1
i:
2
2
2

3
 1
−
 + −  =
 2 
 2


1) A 1ª proposição é VERDADEIRA. | v | =
2) A 2ª proposição é FALSA. v = −
3
2
−
3 1
+
=
4 4
4
=1
4
3 1
1
i ≠−
+ i
2
2
2
3) A 3ª proposição é VERDADEIRA. O vetor v pode ser expresso na forma trigonométrica como
3
7π
7π
1
7π
7π
7π
7π
v = cos
+ i sen
, já que −
= cos
e − = sen
. Daí v 2 = cos
+ i sen
6
6
2
4) A 4ª proposição é FALSA. v = −
Conclusão : 1) V
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2) F
3) V
6
2
3
6
3 1
− i ⇒ 2v = − 3 − i
2 2
≠
1
−
2
3
2
3
i
4) F
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10 questões
18. Sejam f e g funções reais de variável real definidas por f(x) = 3sen(2x) – 2
0, se x = kπ , k inteiro
1, se x ≠ kπ , k inteiro
e g(x)= 
Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
1(
2(
3(
4(
)
)
)
)
As funções f e g têm o mesmo período.
Os gráficos de f e g não se interceptam.
g(x) ≥ f(x) para todo número real x
f e g são funções crescentes.
Questão 18
Assunto: Funções
Comentário: Essa questão cobra o conteúdo relativo a funções, explorando mais precisamente
representações gráficas, período de funções, crescimento e decrescimento, comparação entre os
valores assumidos por duas funções.
Solução e análise dos itens:
Os gráficos de f e g são, respectivamente:
y
y
1o
1
π/2
2π
π
o
π
•
x
•
o
2π
•
x
1) A 1ª proposição é VERDADEIRA. O período da função seno é 2π e portanto sen2x = sen(2x +
2kπ)= sen(2(x + kπ)) e, assim, 3sen(2x)-2 = 3sen(2(x+kπ))-2 o que significa que f(x) = f(x+kπ) e
o período de f é π. Segue-se, da definição de g , que seu período também é π.
2) A 2ª proposição é FALSA. Se representarmos os dois gráficos em um mesmo sistema de
coordenadas, veremos que eles se intersectarão para os valores de x da forma kπ, k∈Z e para os
π
valores de x da forma + kπ
4
3) A 3ª proposição é VERDADEIRA. Para x da forma kπ temos f(x)=g(x)=0 e para os outros
valores de x temos f(x) ≤ 1 e g(x) = 1. Portanto, temos g(x) ≥ f(x) para todo número real x.
π
π
π
4) A 4ª proposição é FALSA. Temos f( )=1>0= f( ) e g( )=1>0= f( π ) e, então, as funções não
4
2
4
são crescentes
Conclusão : 1) V
2) F
3) V
4) F
19. Considere as curvas planas C1 e C2 dadas respectivamente pelas equações
x2 – 4x + y2 – 6y +12 = 0
e
x2 –10x + 4y2 – 24y + 57 = 0.
Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
1(
2(
3(
4(
)
)
)
)
Estas curvas são tangentes.
As duas curvas são circunferências.
Estas curvas têm o mesmo centro.
As duas curvas são elipses.
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10 questões
Questão 19
Assunto: Geometria analítica
Comentário: Esta questão cobra do candidato o conhecimento relativo às cônicas, particularmente
explorando circunferência e elipse, onde ele deve demonstrar habilidade em trabalhar com suas
equações, bem como com suas representações gráficas.
Solução :
Completando-se os quadrados em cada um das equações, chega-se à forma canônica das curvas C1 e
C2 :
C1 : x2-4x+y2-6y+12=0
2, 3 ) e raio = 1
( x – 2 )2 + ( y – 3 )2 = 1 Ö C1 é uma circunferência de centro (
Ù
C2 : x2-10x+4y2-24y+57=0 Ù
( x − 5) 2
( y − 3) 2
+
=1
22
12
semi-eixos a = 2 e b = 1 .
Ö C2 é uma elipse de centro ( 5, 3 ) e
y
3
O
2
3
5
x
Representação gráfica das curvas C1 e C2
Análise dos itens:
1) A 1ª proposição é VERDADEIRA. O gráfico mostra que as curvas C1 e C2 se tangenciam em (3, 3).
2) A 2ª proposição é FALSA. Apenas a curva C1 é uma circunferência.
3) A 3ª proposição é FALSA. Os centros das curvas C1 e C2 são, respectivamente, ( 2, 3 ) e ( 5, 3 ).
Portanto, C1 e C2 têm centros distintos.
4) A 4ª proposição é FALSA. Apenas a curva C2 é uma elipse.
Conclusão : 1) V
UFPI – PSIU 2003
2) F
3) F
4) F
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10 questões
20. Seja f uma função real de variável real. Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo.
1(
2(
) Se f é contínua num ponto, então é derivável neste ponto.
) Se Lim f (x ) existe então f é contínua em a
3(
) Se
4(
) Se f é derivável em um ponto então f é contínua neste ponto.
x→ a
f
é descontínua então
f
também é descontínua.
Questão 20
Assunto: Diferenciabilidade e continuidade
Comentário: Essa questão aborda os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de uma função
real de variável real, destacando as relações entre estes conceitos.
Solução e análises dos itens:
f é uma função real de variável real
1) A 1ª proposição é FALSA. Se f for contínua em um ponto, nada garante que sua derivada possa
existir nesse ponto. Tome-se como exemplo a função f(x) = | x | que é contínua em 0, todavia, a
derivada em 0 não existe.
2) A 2ª proposição é FALSA. A condição de existência do limite lim f (x) não garante a continuidade
x →a
f em a. Pode ocorrer do lim f (x) existir e ser diferente de f(a ), portanto, f é descontínua em a.
x →a
3) A 3ª proposição é FALSA. Seja f (x) = 1 , se x ≠ 0 e f(x) = -1 se x = 0. Essa função é descontínua
em 0. Agora, seja a função g(x) = | f(x) |, logo g(x) = 1 para todo x. Então g é contínua para todo
x.
Portanto, a descontinuidade de f não implica na descontinuidade de | f |.
4) A 4ª proposição e VERDADEIRA. Sabemos que, se uma função não é contínua em um ponto, ela
não é derivável neste ponto, o que é equivalente a dizer que , se f é derivável em um ponto, então f é
contínua neste ponto.
Conclusão : 1) F
UFPI – PSIU 2003
2) F
3) F
Específica
4) V
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