Geometria Analítica
1. (Uerj 2015) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos
celulares apresentam em determinado instante,
respectivamente, 100% e 90% da carga total.
Considere as seguintes informações:
- as baterias descarregam linearmente ao longo do
tempo;
- para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2
leva duas horas a mais do que B1;
- no instante z, as duas baterias possuem o mesmo
percentual de carga igual a 75%.
Observe o gráfico:
As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado
nessa figura, são:
a) (3,6).
b) (4,3).
c) (8,3).
d) (6,3).
e) (3,8).
4. (Ufpr 2014) Uma reta passando pelo ponto
P(16, −3) é tangente ao círculo x2 + y 2 = r 2 em um
ponto Q. Sabendo que a medida do segmento PQ é
de 12 unidades calcule:
a) a distância do ponto P à origem do sistema
cartesiano;
b) a medida do raio r da circunferência.
O valor de t, em horas, equivale a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
5. (Pucrj 2014) Considere o quadrado ABCD como na
figura. Assuma que A = (5,12) e B = (13,6).
2. (Uepg 2014) A circunferência C1 tem equação
x2 + y 2 − 4x − 6y + m = 0 e a circunferência C2 tem
centro em (–2,6) e raio igual a 4. Sabendo que C1 e
C2 são tangentes exteriormente, assinale o que for
correto.
01) O ponto de tangência pertence ao 2º quadrante.
02) m > 10
04) A reta de equação 4x − 3y + 4 = 0 é perpendicular
à reta que passa pelos centros de C1 e C2 .
08) A circunferência C1 não intercepta os eixos
coordenados.
16) A distância entre os centros de C1 e C2 é 5.
3. (Ufpr 2014) A figura abaixo apresenta o gráfico da
reta r: 2y – x + 2 = 0 no plano cartesiano.
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a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD.
b) Determine a equação da reta que passa por C e D.
c) Determine a equação do círculo inscrito no
quadrado ABCD.
6. (Uea 2014) Num plano cartesiano, sabe-se que os
pontos A, B (1, 2) e C (2, 3) pertencem a uma mesma
reta, e que o ponto A está sobre o eixo Oy. O valor da
ordenada de A é
a) 0.
b) 3.
c) – 1.
d) 2.
e) 1.
7. (Uem 2014) Uma chapa plana, com densidade
homogênea, tem a forma de um quadrilátero cujos
vértices são os pontos A = (0,0), B = (1,1), C = (2,1) e
D = (3,0). Suponha que essa placa foi obtida pela
união de duas placas triangulares ABC e ACD.
Considerando essas placas e os conhecimentos
relativos à determinação do centro de massa de
figuras planas, assinale o que for correto.
01) Os centros de massa das placas triangulares ABC
e ACD são formados pelos seus baricentros, que
 2 5 1
são, respectivamente, os pontos  1,  e  ,  .
 3 3 3
02) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da
massa da chapa triangular ABC.
04) O centro de massa da chapa ABCD deve estar
3
sobre a reta vertical x = , pois essa reta é um
2
eixo de simetria da chapa.
08) Em qualquer quadrilátero, o centro de massa é
dado pelo ponto de interseção de suas diagonais.
16) O centro de massa de uma chapa plana formada
pela união de duas outras chapas planas é sempre
o ponto médio do segmento de reta que une seus
respectivos centros de massa.
04) Se Marina decidir colocar uma
estante de 0,75 m de altura,
encostada nessa parede, não há
chances de a estante atingir a
altura em que começa o mural.
08) A distância entre os lados A e C é 0,5 m.
8. (Ifsc 2014) Marina encomendou um mural de fotos
para a sua sala com o formato de um paralelogramo
que irá de um lado a outro de uma parede (conforme a
figura a seguir). Para garantir a colocação correta do
mural após a confecção, ela considerou a parede
parte do primeiro quadrante do plano cartesiano
limitado pelos cantos (0,0), (0,4), (3,0) e (3,4), sendo a
abscissa o comprimento e a ordenada a altura da
parede em metros.
Assim, marcou quatro pontos por onde devem passar
os lados opostos A e C do mural: P1(1, 7 3) e
Sobre essas retas, assinale o que for correto.
01) A interseção das retas r e s é o ponto (−1,2), das
retas r e t é o ponto (1,0) e das retas s e t é o
ponto (1/5,− 2/5).
02) As retas s e t são perpendiculares.
04) O ponto de interseção das retas r e t está a uma
2 5
distância igual a
da reta s.
5
08) A área do triângulo delimitado por essas retas é
6/5.
16) A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r
e s é 3.
P2 (2, 8 3) para o lado A e P3 (1, 4 3) e P4 (2, 5 3).
9. (Ufrgs 2014) Construídas no mesmo sistema de
coordenadas cartesianas, as inequações x2 + y 2 < 4
e y < x + 1 delimitam uma região no plano. O número
de pontos que estão no interior dessa região e
possuem coordenadas inteiras é
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
10. (Uem 2014) Considere as retas r, s e t no plano
cujas equações são
r : x + y =1,
s : 2x + y = 0 ,
t : x − 2y =1.
11. (Cefet MG 2014) No plano cartesiano, duas retas
r e s se interceptam num ponto S(x,0) e tangenciam a
2
2
circunferência x + y = 10 nos pontos P(3,p) e Q(3,q),
respectivamente. Os pontos P, Q, S e O, sendo O o
centro da circunferência, determinam um quadrilátero
cuja área, em unidades de área, é
5
a) .
3
10
b)
.
3
Com base nas informações, analise as proposições
abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S).
01) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde
passa o lado C pode ser equacionada como
x − 3y + 3 = 0.
02) Considerando o plano cartesiano, a reta por onde
passa o lado C pode ser equacionada como
x − 3y + 4 = 0.
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Página 2
c)
10
.
3
d)
5 10
.
9
e)
20 10
.
9
12. (Uerj 2014)
3 
c)  , 0  .
2 
d) ( 2, 0 ) .
5 
e)  , 0  .
2 
15. (Acafe 2014) Analise as proposições abaixo e
classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.
(
No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0),
B(2,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que
se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no
segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se
desloca no segmento de A até B. Nesses
deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é
igual à ordenada de Q.
Determine a medida da maior área que o triângulo
PAQ pode assumir.
(
13. (Fgv 2014) Os pontos A ( 3, −2 ) e C ( −1,4 ) do
plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD
cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da
diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas no
ponto de ordenada:
a) 2/3
b) 3/5
c) 1/2
d) 1/3
e) 0
(
) O triângulo ABC é equilátero e seu perímetro é
12cm. Sabendo que temos uma circunferência
inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC,
então, a razão entre a área da circunferência
inscrita e a área da circunferência circunscrita é
1
.
4
) Uma das diagonais de um quadrado está contida
na reta x − y − 4 = 0. Sabendo que a reta
suporte da outra diagonal passa pelo ponto de
coordenadas (5, − 3), pode-se concluir que o
perímetro desse quadrado, em unidades de
comprimento, é igual a 16 2.
) Na figura abaixo, ABCD, é um quadrado inscrito
num triângulo PRQ. Sendo RQ = 36 cm e a
altura relativa a essa base igual a 24cm, então, a
área da região hachurada vale,
2
aproximadamente, 225cm .
14. (Insper 2014) No plano cartesiano da figura, feito
fora de escala, o eixo x representa uma estrada já
existente, os pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam
duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa
uma estrada que será construída.
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) V - V - F
b) V - F - V
c) V - F - F
d) F - F - V
16. (Espcex (Aman) 2014) Sejam dados a
circunferência λ : x 2 + y 2 + 4x + 10y + 25 = 0 e o ponto
P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das
abscissas. Determine a equação da circunferência
concêntrica à λ e que passa pelo ponto P.
a) λ : x 2 + y 2 + 4x + 10y + 16 = 0
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até
a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova
estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas
1 
a)  , 0  .
2 
b) (1, 0 ) .
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Página 3
b) λ : x 2 + y 2 + 4x + 10y + 12 = 0
c) λ : x 2 − y 2 + 4x − 5y + 16 = 0
d) λ : x 2 + y 2 − 4x − 5y + 12 = 0
e) λ : x 2 − y 2 − 4x − 10y − 17 = 0
17. (Espm 2014) As coordenadas do centro e a
medida do raio da circunferência de equação
x2 − 4x + (y + 1)2 = 0 são, respectivamente:
a) (– 2, 1) e 4
b) (2, – 1) e 2
c) (4, – 1) e 2
d) ( −1, 2 ) e 2
e) ( 2, 2 ) e
2
18. (Pucrs 2014) Uma circunferência de centro em
P(c, c), com c ≠ 0, tangencia o eixo das abscissas e
o eixo das ordenadas. Sua equação é
a) x2 + y 2 = c 2
b) ( x − c ) + y 2 = c 2
2
c) x2 + ( y − c ) = c 2
2
d) ( x − c ) + ( y − c ) = c
2
2
e) ( x − c ) + ( y − c ) = c 2
2
2
PJ 
 cortes retilíneos
PK 
M − ponto médio do raio OB
N − ponto médio do raio AO
P − ponto médio do raio OC
J − intersecção da semirreta PM com a circunferência
K − intersecção da semirreta PN com a circunferência
Calcule a distância entre os pontos J e K.
19. (Pucrs 2014) Resolver a questão com base na
regra 2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de
futebol deve ter sua maior circunferência medindo de
68cm a 70cm.
Considerando essa maior circunferência com 70cm e
usando um referencial cartesiano para representá-la,
como no desenho abaixo, poderíamos apresentar sua
equação como
21. (Fgv 2014) No plano cartesiano, uma
circunferência tem centro C(5,3) e tangencia a reta de
equação 3x + 4y − 12 = 0.
A equação dessa circunferência é:
a) x 2 + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0
b) x 2 + y 2 − 10x − 6y + 36 = 0
c) x2 + y 2 − 10x − 6y + 49 = 0
d) x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0
e) x2 + y 2 + 10x + 6y + 9 = 0
22. (Upf 2014) Considere uma circunferência C
definida pela equação x2 + y 2 = 36. O ponto P de
a) x2 + y 2 =
coordenadas (x, 4) pertence a essa circunferência e
está localizado no 1º quadrante. Considerando que o
ponto O é o centro da circunferência e o ângulo α é
formado pelo segmento OP com o lado positivo do
eixo x, o cosseno dos ângulos α e (180° − α ) será
igual a:
5
5
a)
e −
6
6
2
2
b)
e −
3
3
5
4
c)
e
6
5
35
π
 35 
b) x 2 + y 2 =  
 π 
70
c) x2 + y 2 =
π
2
 70 
d) x 2 + y 2 =  
 π 
2
d)
e) x 2 + y 2 = 702
e)
20. (Uerj 2014) Um disco metálico de centro O e
diâmetro AB = 4 dm, utilizado na fabricação de
determinada peça, é representado pelo seguinte
esquema:
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2 5
2 5
e −
3
3
5
5
e −
3
3
23. (Uem 2014) Considere, no plano cartesiano, a
circunferência λ de raio 1 unidade de comprimento
com centro no ponto Q de coordenadas (1,0). Sendo
O a origem dos eixos coordenados e A o ponto de
coordenadas (2,0), assinale o que for correto.
1 2
01) O ponto de coordenadas  ,  pertence a λ.
3 3
02) Todo ponto P de coordenadas (x, y) pertencente à
circunferência e, com y positivo, satisfaz a
equação y = 1 − ( x − 1) .
2
04) A área do círculo delimitado pela circunferência λ
é de 2π unidades de área.
08) Os pontos P da circunferência para os quais o
triângulo APO possui a maior área são aqueles de
abscissa (coordenada x) igual a 1.
16) Para qualquer ponto P de coordenadas (x, y)
pertencente à circunferência e com y ≠ 0, o
triângulo APO é retângulo.
24. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º
quadrante que tem área igual a 4 π (unidades de
área) e é tangente, simultaneamente, às retas
r : 2x − 2y + 5 = 0 e s : x + y − 4 = 0 é
2
2

3
3 


b)  x −  +  y −  2 2 +   = 4.
4
4 



2
2
2
2
2
2
26. (Epcar (Afa) 2013) Sejam a e b dois números
reais positivos.
As retas r e s se interceptam no ponto (a, b)
a 
 b
Se  , 0  ∈ r e  0,  ∈ s, então uma equação para a
2 
 2
reta t, que passa por (0, 0) e tem a tangente do ângulo
agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é
a) 3abx + ( 2a2 – b2 ) y = 0
b) 3bx – b ( a2 + b2 ) y = 0
c) 3ax – a ( a2 + b2 ) y = 0
d) 3abx – 2 ( a2 + b2 ) y = 0
27. (Uem 2013) Sobre a reta r de equação
3x − 2y + 5 = 0, assinale o que for correto.
01) O ponto ( 2, 5 ) pertence a r.
02) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser
ambos racionais.
04) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das
abscissas é superior a 45°.
08) A reta de equação 6x − 3y + 3 5 = 0 é paralela à
reta r.
16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto

5
 0,
.
 2 
2
3
10 


a)  x −  +  y −
 = 4.
4
4 


2
b) calcule a equação da
circunferência.
c) determine a área correspondente
aos triângulos idênticos.

3 
10 


c)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4
4 





3 
13 


d)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4 
4 




3 
11 


e)  x −  2 2 +   +  y −  = 4.
4
4




28. (Uern 2013)
25. (Uema 2014) O proprietário de um lote, visando a
sua ornamentação, dividiu-o em área circular, tendo
subdividido-o em dois triângulos idênticos opostos,
inscritos no círculo, cujos vértices são A( − 14,9),
B( − 4,9) e C( − 9,14); sendo AB o diâmetro da
circunferência.
Considerando as condições descritas e as medidas
em metros,
a) faça a ilustração gráfica desse lote no sistema
cartesiano ortogonal do plano.
A área do triângulo retângulo formada pela
sobreposição das retas r e s, no gráfico, é igual a 36
unidades. Logo, a equação da reta r é
a) y = x + 12
b) y = – x + 16
c) y = – 2x + 16
d) y = – 2x + 12
29. (Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os
teores percentuais dos macronutrientes N, P e K,
associados respectivamente a nitrogênio, fósforo e
potássio, são representados por x, y e z.
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Página 5
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte
sistema de equações lineares:
3x + y − z = 0,20

2y + z = 0,55


z = 0,25

Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as
relações
24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10%.
Indique no plano cartesiano abaixo a região de
teores (x, y) admissíveis para tal fertilizante.
30. (Unioeste 2013) Os valores de k para que as retas
2x + ky = 3 e x + y = 1 sejam paralelas e
perpendiculares entre si, respectivamente, são
3
a) − e 1.
2
b) −1 e 1.
c) 1 e −1.
d) −2 e 2.
e) 2 e −2.
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Resolução das Questões
y−3 =
6−3
3
9
⋅ (x − 2) ⇔ y = − x + .
−2 − 2
4
2
Seja T = (x t , y t ) o ponto de tangência
Resposta da questão 1:
[D]
de C1 e C2 . É fácil ver que −2 < x t < 2. Desse modo,
suuuuur
como T pertence à reta A1A 2 , vem
2
9
9
 3

(x t − 2)2 +  − x t + − 3  = 1 ⇔ (x t − 2)2 + (x t − 2)2 = 1
 4
2

16
16
⇔ (x t − 2)2 =
25
6
⇒ xt = .
5
 6 18 
Portanto, segue que T =  ,
 , ou seja, T pertence
5 5 
ao primeiro quadrante.
[01] Incorreto. O ponto de tangência pertence ao
primeiro quadrante.
[02] Correto. m = 12 > 10.
[04] Correto. O coeficiente angular da reta
4
r : 4x − 3y + 4 = 0 é . Assim, como o coeficiente
3
suuuuur
3
angular da reta A1A 2 é − , segue-se que
4
suuuuur
4  3
⋅  −  = −1 e, portanto, r ⊥ A1A 2 .
3  4
Fazendo (I) = (II), temos:
t t+2
=
⇒ 6t = 4t + 8 ⇒ t = 4.
4
6
Resposta da questão 2:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
Completando os quadrados, encontramos
x2 + y 2 − 4x − 6y + m = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y − 3)2 = 13 − m.
Logo, se A1 e r1 são, respectivamente, o centro e o
raio de C1, então A1 = (2, 3) e r1 = 13 − m.
Seja A 2 = (−2, 6) o centro de C2 . Assim, a distância
entre os centros de C1 e C2 é igual a
[16] Correto. Tem-se que d(A1, A 2 ) = 5.
Resposta da questão 3:
[C]
O ponto P possui coordenadas (x, 3), logo:
2 ⋅ 3 − x + 2 = 0 ⇒ x = 8 ⇒ P ( 8,3 ) .
d(A1, A 2 ) = ( −2 − 2)2 + (6 − 3)2
= 16 + 9
= 5.
Resposta da questão 4:
a) A distância do ponto P à origem O do sistema
cartesiano de eixos é dada por
Sendo r2 = 4 o raio de C2 , e dado que as
circunferências C1 e C2 são tangentes exteriormente,
temos
dP, O = 162 + ( −3)2 = 265.
suur
b) Como a reta PQ é tangente à circunferência em Q,
segue-se que o triângulo OPQ é retângulo em Q.
d(A1, A 2 ) = r1 + r2 ⇔ 5 = 13 − m + 4
⇔ m = 12.
Daí, sabendo que PQ = 12 u.c., pelo Teorema de
Pitágoras, vem
suuuuur
A reta A1A 2 tem para equação
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[08] Correto. Como A1 = (2, 3) e r1 = 1, concluímos
que a circunferência C1 não intersecta os eixos
coordenados.
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2
2
2
c) O centro do círculo é o ponto médio
da diagonal AC, ou seja,
 5 + 19 12 + 14 
,

 = (12, 13), e seu raio
2 
 2
mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5.
Portanto, a equação pedida é
2
OP = OQ + PQ ⇒ 265 = OQ + 144
⇒ OQ = 11u.c.
Portanto, r = OQ = 11u.c.
Resposta da questão 5:
a) A medida do lado do quadrado é igual a
(x − 12)2 + (y − 13)2 = 25.
Resposta da questão 6:
[E]
d(A, B) = (13 − 5)2 + (6 − 12)2
= 64 + 36
= 10 u.c.
suur
b) O coeficiente angular da reta AB é igual a
suur =
m AB
6 − 12
3
=− .
13 − 5
4
suur suur
Como ABCD é quadrado, segue que AB ⊥ BC.
suur denota o coeficiente angular da reta
Logo, se mBC
suur
suur = 4 .
BC, então mBC
3
O ponto A é da forma (0, k), como os pontos A, B e C
estão alinhados, temos:
0 k 1
1 2 1 = 0 ⇒ 2k + 3 − 4 − k = 0 ⇒ k = 1
2 3 1
Resposta da questão 7:
01 + 02 + 04 = 07.
Seja C = (α, β), com α > 13 e β > 6, de acordo com
a figura abaixo.
[01] Verdadeira.
Baricentro da placa ABC:
 0 + 1 + 2 0 + 1+ 1  2 
,

 =  1,  .
3
3   3

Baricentro da placa ACD:
 0 + 2 + 3 0 + 1+ 0   5 1 
,

 =  , .
3
3

 3 3
$ tem-se
suur = tgPBC,
Sabendo que mBC
$ = PC ⇔ PC = 4 ⋅ PB.
tgPBC
3
PB
Por (a) vem que BC = 10. Agora, pelo Teorema de
Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos
que PB = 6, o que implica em PC = 8. Donde
obtemos C = (19, 14).
Finalmente, segue que a equação da reta que
passa por C e D é
3
3
113
y − 14 = − (x − 19) ⇔ y = − x +
.
4
4
4
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[02] Verdadeira, pois a razão entre as áreas é 3.
3 ⋅1
SΔ(ACD)
= 2 =3
SΔ(ABC) 1⋅ 1
2
[04] Verdadeira, pois x = 3/3 é a mediatriz do
segmento BC.
[08] Falsa. O centro de gravidade do quadrilátero
abaixo não é a intersecção de suas diagonais.
[16] Falsa. Observe a figura abaixo.
A representação da região ao lado nos mostra que
existem apenas 6 pontos com coordenadas inteiras
nesta região.
São eles:
(1,1); (0,0); (1,0); (1,-1); (0,-1); (-1,-1)
Baricentro do triângulo AOB: (-2,1)
Resposta da questão 10:
01 + 02 + 04 + 08 = 15.
Baricentro do triângulo: AOC: ( 1,1)
Resolvendo os sistemas e determinando o ponto de
encontro entre as retas:
Ponto médio de G1G2: ( -1/2,1)
Baricentro do triângulo ABC: (-3/2,1)
 x + y = 1 (r)

2x + y = 0 (s)
Resposta da questão 8:
01 + 04 = 05.
Determinando a equação da reta suporte do lado C do
paralelogramo.
5 4
−
1
Cálculo do coeficiente angular: m = 3 3 =
2 −1 3
Ponto de encontro de r e s.(-1,2)
 x + y = 1 (r)

 x − 2y = 1 (t)
Ponto de encontro de r e t (1,0)
 2x − y − 1 (t)

2x + y = 0 (s)
Equação da reta suporte do lado C:
4 1
y − = (x − 1) ⇒ x − 3y + 3 = 0
3 3
Ponto de encontro de s e t (1/5, -2/5)
Portanto:
[01] Verdadeira.
[02] Falsa.
[04] Verdadeira. O coeficiente linear da reta suporte de
C é 1, portanto não há chance da estante atingir a
altura do início do mural.
[08] Falsa, pois a distância entre as retas paralelas
será dada pela distância de P1 até a reta suporte
do lado C.
7
1− 3 ⋅ + 3
3
3
d=
=
2
10
12 + ( −3 )
Resposta da questão 9:
[B]
[01] Verdadeira.
[02] Verdadeira, pois o produto dos coeficientes
 1
angulares das retas é -1, ou seja, −2 ⋅   = −1.
2
[04] Verdadeira, pois a distância de (1,0) até s é dada
2 ⋅1+ 0
2
2 5
por d =
=
=
.
2
2
5
5
2 +1
−1
2
1
[08] Verdadeira, pois D = 1
0
1 = −12 / 5.
1/ 5 −2 / 5 1
Portanto, a área será A =
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1
1 12 6
⋅D = ⋅−
= .
2
2
5
5
[16] Falsa. tgθ =
mr − ms
1
−1 − ( −2)
=
= .
1 + mr ⋅ ms
1 + ( −1) ⋅ ( −2) 3
Resposta da questão 11:
[B]
A = −a 2 + a
Valor da Área máxima:
Δ
1
1
A máx = −
=−
= .
4⋅a
4 ⋅ ( −1) 4
Como P e Q pertencem à circunferência, vem
Resposta da questão 13:
[D]
32 + y2 = 10 ⇔ y = ±1.
suur
O coeficiente angular da reta AC é igual a
suur
suur
suur = 4 − ( −2) = − 3 . Daí, como AC e BD são
m AC
−1 − 3
2
perpendiculares, segue-se que
suur ⋅ m suur = −1 ⇔ m suur = 2 , com m suur sendo o
m AC
BD
BD
BD
3
suur
coeficiente angular da reta BD.
Daí, podemos tomar P(3, 1) e Q(3, − 1).
suur
É fácil ver que o coeficiente angular da reta OP é
suur
1
igual a . Logo, como r ⊥ OP, segue-se que a
3
equação da reta r é
Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos
 3 + ( −1) −2 + 4 
M=
,
 = (1, 1).
2 
 2
y − 1 = −3(x − 3) ⇔ y = −3x + 10.
Sabendo que M é o ponto de interseção das retas
suur
suur
suur
AC e BD, concluímos que a equação de BD é
y −1=
2
2
1
⋅ (x − 1) ⇔ y = x + .
3
3
3
Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto
suur
1
de interseção de BD com o eixo Oy é igual a .
3
Em consequência, impondo y = 0 na equação da reta
 10 
r, vem S  , 0  .
 3

Seja M o ponto médio do segmento de reta AB.
Se dA, r = dB, r = d, então M pertence à reta r. Logo,
Portanto,
 8 + 3 2 + 6   11 
M=
,
=
,4
2   2 
 2
(OPSQ) = 2 ⋅ (OPS)
1 10
= 2 ⋅ ⋅ ⋅1
2 3
10
=
.
3
e, portanto, a equação de r é
11 
3

y − 4 = tg 45° ⋅  x −  ⇔ y = x − .
2
2

Resposta da questão 12:
Equação da reta AC: y = -x + 1
Equação da reta AQ: y = x – 1
P(a, a-1) e Q(a+1, a)
Em consequência, tomando y = 0, segue-se que
3 
C =  , 0 .
2 
Cálculo da área do triângulo APQ:
1
0 1
1
A=
a 1 − a 1 = a2 − a
2
a +1 a 1
Resposta da questão 15:
[B]
Sejam r e R, respectivamente, o raio da
circunferência inscrita e o raio da circunferência
Como 0 < a < 1, temos:
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Resposta da questão 14:
[C]
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circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que
r 1
= ,
R 2
vem
2
πr 2
2
1
r 
 1
=  =  = .
2
R
2
4
πR
[E]
Existem duas possíveis posições para
a circunferência citada no enunciado
da questão e, nos dois casos, o raio
das circunferências é dado por | c | .
Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas
a equação da reta suporte da outra diagonal. Portanto,
nada se pode afirmar sobre o perímetro do quadrado.
Seja l a medida do lado do quadrado ABCD. Como
os triângulos PRQ e PAB são semelhantes por AA,
tem-se que
24 − l
l
72
=
⇔l=
cm.
24
36
5
Por conseguinte, a área hachurada é dada por
2
36 ⋅ 24  72 
−   ≅ 225cm2 .
2
 5 
Logo, a equação da circunferência será:
( x − c )2 + (y − c)2 =| c |2 ⇒ ( x − c )2 + (y − c)2 = c 2 .
Resposta da questão 16:
[B]
Determinando o centro C da circunferência dada:
2
Considerando R o raio da maior circunferência, temos:
2
x + 4x + 4 + y + 10y + 25 = 25 + 4 + 25
2
70 35
=
2π
π
Portanto, a equação da circunferência será dada por:
2 πR = 70 ⇒ R =
2
(x + 2) + (y + 5) = 4
Logo, o centro é C(–2,–5).
2
O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao
eixo x é P (–1, –1).
Portanto, o raio R da circunferência pedida será a
distância entre os pontos P e C. Temos,
2
2
2
R = (–1 – (–2)) + (–1 – (–5)) = 17
Logo, a equação da circunferência pedida será dada
por :
2
2
Resposta da questão 19:
[B]
2
2
(x + 2) + (y + 5) = 17 ⇒ x + y + 4x + 10y + 29 – 17
2
2
= 0 ⇒ x + y + 4x + 10y + 12 = 0
 35 
x2 + y 2 =   .
 π 
Resposta da questão 20:
Equação da reta PJ: y = x − 1
 y = x − 1
Determinando a abscissa do ponto J:  2
2
 x + y = 4
Logo, x2 + ( x − 1) = 4 ⇒ x J =
2
1+ 7
= 1 + 7 dm.
2
Resposta da questão 17:
[B]
Portanto, KJ = 2 ⋅
Completando o quadrado, vem
Resposta da questão 21:
[A]
x2 − 4x + (y + 1)2 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22.
Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, − 1)
e seu raio é 2.
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32 + 4 2
Página 11
(
)
O raio da circunferência corresponde à distância de
C(5, 3) à reta 3x + 4y − 12 = 0, isto é,
| 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3 − 12 |
Resposta da questão 18:
1+ 7
.
2
= 3.
[08] Verdadeira. AP = 1 (maior valor
possível para AP é 1, ou seja a
medida do raio).
Portanto, a equação da circunferência é
(x − 5)2 + (y − 3)2 = 32 ⇔ x 2 + y2 − 10x − 6y + 25 = 0.
Resposta da questão 22:
[E]
[16] Verdadeira. Todo um ângulo
inscrito, que determina um arco de 180° numa
circunferência, é reto.
Resposta da questão 24:
[D]
Fazendo y = 4, temos a seguinte equação:
x 2 + 4 2 = 36 ⇒ x 2 = 20 ⇒ x = ±2 5
Como P está no primeiro quadrante, temos:
x=2 5
As retas são perpendiculares, pois
Portanto,
cos α =
(
)
2 5
5
5
=
e cos 180o − α = − cos α = −
.
6
3
3
mr ⋅ ms = 1⋅ ( −1) = −1.
Considerando o ponto C centro da circunferência de
raio 2, pois sua área é 4 π.
A reta PC é paralela ao eixo x, logo:
Resposta da questão 23:
02 + 08 + 16 = 26.
yP = y c e x c = xP + k
Para determinar as coordenadas do ponto P basta
resolver o sistema abaixo:
2 x + 2 y + 5 = 0

 x+y−4=0
 3 13 
Portanto, P  ,

4 4 
Determinando o valor de k no triângulo assinalado,
temos:
2
[01] Falsa, pois
2
1 
2

 3 − 1 +  3 − 0  ≠ 1.




sen 45° =
[02] Verdadeira, pois a equação da circunferência com
y positivo é y = 1 − ( x − 1) .
2
Portanto, xc =
3
13
+ 2 2 e yc =
.
4
4
Logo, a equação da circunferência será dada por:
[04] Falsa, pois a área é A = π ⋅ 12 = π.
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2
⇒k =2 2
k
Página 12
2
2

3 
13 


= 4.
 x − 2 2 +  +  y −
4
4 




Calculando os coeficientes angulares
das retas r e s
Resposta da questão 25:
a) Considere a figura.
mr =
b − 0 b 2b
= =
a a
a
a−
2 2
b b
2 = 2 = b
ms =
a − 0 a 2a
b−
Calculando a tangente do ângulo agudo formado pelas
reatas r e s.
b) Dado que AB é diâmetro, o centro da
circunferência, que chamaremos de M, é o ponto
médio de AB, ou seja,
 −14 − 4 9 + 9 
M=
,
 = ( −9, 9).
2
2 

tgθ =
3ab
2 ⋅ (a2 + b2 )
Portanto, a reta t passa pelo ponto (0, 0) e tem
Além disso, o raio r da circunferência é dado por
r=
2b b
−
a 2a
tgθ =
2b b
1+
⋅
a 2a
coeficiente angular mt =
3ab
2 ⋅ (a2 + b2 )
Logo, sua equação será dada por
d(A, B) 10
=
= 5 m.
2
2
y −0 =
3ab
2 ⋅ (a 2 + b 2 )
( x − 0 ) ⇒ 3 a b x − 2 ⋅ (a 2 + b 2 ) ⋅ y = 0 .
Por conseguinte, a equação pedida é
(x + 9)2 + (y − 9)2 = 25.
c) Como as abscissas dos pontos C e M são iguais e
AB é paralelo ao eixo OX, é imediato que o triângulo
ABC é isósceles e retângulo em C. Daí, sendo D o
simétrico de C em relação a AB, tem-se que o
quadrilátero ABCD é um quadrado de diagonal 10 m.
Portanto, a área pedida é igual a
102
= 50 m2 .
2
Resposta da questão 26:
[D]
Resposta da questão 27:
02 + 04 + 16 = 22.
[01] Falsa, pois 3 ⋅ 2 − 2 5 + 5 ≠ 0.
[02] Verdadeira, pois a soma de 3x – 2y dever ser
− 5.
[04] Verdadeira, pois a tangente desse ângulo é
3
−
> 1, portanto, este ângulo é maior que 45°.
( −2)
[08] Falsa, pois seus coeficientes angulares são
distintos.
[16] Verdadeira, substituindo zero em x temos
y=
5
.
2
Resposta da questão 28:
[C]
Sabendo que a área do triângulo é igual a 36
unidades, vem
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Para que r seja paralela a s:
2
mr = ms ⇒ − = −1 ⇒ k = 2
k
Para que r seja perpendicular a s:
2
mr ⋅ ms = −1 ⇒ − ⋅ ( −1) = −1 ⇒ k = −2
k
1
⋅ (k − 4) ⋅ (6 − 0) = 36 ⇔ k − 4 = 12
2
⇔ k = 16.
Portanto, a equação da reta r é dada por
y=−
12
x + 16 = −2x + 16.
6
Resposta da questão 29:
a)
3x + y − z = 0,20

2y + z = 0,55


z = 0,25

2y + 0,25 = 0,55 ⇒ y = 0,15
3x + 0,15 − 0,25 = 0,20 ⇒ x = 0,10
b)
Como z = 10%.
24% ≤ x + y + 10% ≤ 54% ⇒ 14% ≤ x + y ≤ 44%
temos então o sistema reprsentado no plano ao abaixo
 x + y ≤ 44%
 x + y ≥ 14%


 x ≥ 10%
 y ≥ 20%
Resposta da questão 30:
[E]
(r) 2x + ky = 3 ⇒ mr = −
2
k
(s) x + y = 1 ⇒ ms = −1
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