J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9 – Diagramas de Bode
9.1 – Introdução aos diagramas de Bode
3
9.2 – A Função de Transferência
4
9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência
8
Equação característica
8
Pólos da Função de Transferência
8
Zeros da Função de Transferência
8
Exemplo 9.1
8
Exemplo 9.2
9
Exemplo 9.3
9
9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de
um diagrama de Bode
10
9.5 – Os factores básicos em “jω” para a construção de
um diagrama de Bode
12
9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos
14
Exemplo 9.4
14
Exemplo 9.5
15
9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos
16
O ganho de Bode (KB)
17
Factor integral (jω)-1
19
1
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n
21
Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n
23
Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1
24
Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n
28
Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ...,
..., (1 + jωT)n
32
Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1, -2, …, -n
34
Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]1, 2, …, n
39
9.8 – Factores básicos com sinais negativos
39
Exemplo 9.6
39
Exemplo 9.7
41
Exemplo 9.8
42
Exemplo 9.9
43
Exemplo 9.10
44
Exemplo 9.11
45
Exemplo 9.12
46
Exemplo 9.13
47
9.9 – Exemplos adicionais de construção diagramas de Bode (módulo e fase)
48
Exemplo 9.14
48
Exemplo 9.15
49
Exemplo 9.16
49
Exemplo 9.17
50
Exemplo 9.18
51
Exemplo 9.19
50
Exemplo 9.20
51
Exemplo 9.21
53
2
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Diagramas de Bode
9.1 – Introdução aos diagramas de Bode
Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode (“Bode plots”) que levam este
nome devido à Hendrik Wade Bode (1905-1982), um engenheiro americano que
actuava principalmente nas áreas de electrónica, telecomunicações e sistemas.
Fig. 9.1 – Hendrik Wade Bode (1905-1982), americano.
Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar
sinais no domínio da frequência.
3
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.2 – A Função de Transferência
Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s:
X(s), Y(s), etc.
como já vimos no capítulo 6 (Transformadas de Laplace, L { x(t) } = X(s) e
L { y(t) } = Y(s) ) ou por funções de jω
X(jω), Y(jω), etc.
como já vimos no capítulo 8 (Transformadas de Fourier, F { x(t) } = X(jω) e
F { y(t) } = Y(jω) ).
Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são
representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, se
substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte
real nula e parte imaginária ‘ω’,
s = 0 + jω = jω
obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace,
X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc.
Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas aplicações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais
X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω)
no domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo conforme é ilustrado na
figura 9.2.
Fig. 9.2 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saída representados no
domínio da frequência.
onde G(s) e G(jω) são a reposta impulsional do sistema conforme visto nas secções
5.10 (no capítulo 5, Transformada de Laplace) e 8.5 (no capítulo 8, Transformada de
Fourier) respectivamente.
4
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Note que lá a reposta impulsional do sistema era, de forma geral, H(s) e H(jω)
enquanto que aqui, de forma geral, será utilizado a notação G(s) e G(jω).
No capítulo 4, sobre Sistemas e no capítulo 8 sobre Transformadas de Fourier nós vimos alguns resultados clássicos sobre SLIT (sistemas lineares e invariantes no tempo). Por exemplo, no caso particular da entrada x(t) = impulso unitário,
x(t) = uo(t)
então a saída y(t) = g(t) = a “resposta impulsional do sistema”.
Sabendo-se a resposta impulsional g(t) de um sistema linear e invariante no tempo
(SLIT) podemos saber a saída y(t) para qualquer entrada x(t)
y(t) = g(t) ∗ x (t) =
= x(t) ∗ g(t) =
+∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞
g(t − τ) ⋅ x(τ) ⋅ dτ
x(t − τ) ⋅ g(τ)⋅ dτ.
Ou seja, a saída y(t) é a convolução entre a resposta impulsional g(t) e a entrada x(t).
Isso que implica que
Y(jω) = G( jω) ⋅ X( jω)
= X( jω) ⋅ G( jω).
onde
X(jω) = F { x(t) }
X(jω) = Transformada de Fourier de x(t),
Y(jω) = F { y(t) }
Y(jω) = Transformada de Fourier de y(t), e
G(jω) = F { h(t) }
G(jω) = Transformada de Fourier de g(t)
e que está ilustrado na figura 9.3 abaixo.
Fig. 9.3 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta
impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘jω’:
X(jω), Y(jω) e G(jω).
5
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Este resultado se deve ao facto que:
a transformada da convolução é o produto das transformadas.
a propriedade da Convolução para as Transformadas de Fourier, que foi vista na
secção 8.4 (no capítulo 8, Propriedades da Transformada de Fourier).
Por esta razão pode-se expressar G(jω) como a razão entre o sinal de saída tomado no
domínio da frequência [ Y(jω) ] e o sinal de entrada, também tomado no domínio da
frequência [ X(jω) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas
Y(jω)
X(jω)
G( jω) =
eq. (9.1)
que é chamada de ‘função de transferência’ do sistema.
Mas esta afirmação acima valida para as “Transformadas de Fourier”, também vale
para as “Transformadas de Laplace”, conforme visto no capítulo 5. Logo:
Y(s) = G(s) ⋅ X(s)
= X(s) ⋅ G(s).
onde
X(s) = L { x(t) }
X(s) = Transformada de Laplace de x(t),
Y(s) = L { y(t) }
Y(s) = Transformada de Laplace de y(t), e
G(s) = L { h(t) }
G(s) = Transformada de Laplace de h(t)
e que está ilustrado na figura 9.4 abaixo.
Fig. 9.4 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta
impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘s’:
X(s), Y(s) e G(s).
6
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Mais uma vez este resultado se deve ao facto que:
a transformada da convolução é o produto das transformadas,
a propriedade da Convolução, mas agora para Transformada de Laplace, vista na
secção 5.4 (no capítulo 5, Propriedades da Transformada de Laplace).
Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão entre o sinal de saída tomado no
domínio da frequência [ Y(s) ] e o sinal de entrada também tomado no domínio da
frequência [ X(s) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas
G(s) =
Y(s)
X(s)
eq. (9.2)
que também é chamada de ‘função de transferência’ do sistema.
Portanto a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo (SLIT)
representada no domínio da frequência:
G(s)
ou
G(jω),
conforme definidas nas equações eq. (9.1) e eq. (9.2), muito comummente são
fracções racionais, ou seja, fracções cujo numerador e o denominador são
polinómios, seja em ‘s’:
G(s) =
q(s)
p(s)
eq. (9.3)
G(jω) =
q(jω)
p(jω)
eq. (9.4)
ou em ‘jω’
onde q(s) e p(s) são polinómios em ‘s’ do tipo
an sn + an-1 sn-1 + ... + a1 s + ao
e p(jω) e q(jω) são polinómios em ‘s = jω’ do tipo
an (jω)n + an-1 (jω)n-1 + ... + a1 (jω) + ao
7
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência
Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema, conforme foi definida
na eq. (9.2), depois de reduzida para forma de fração racional da eq. (9.3)
G(s) =
q(s)
p(s)
e suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido canceladas
e portanto esta expressão acima está na forma irreductível.
Equação Característica:
O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico de G(s), ou o polinómio característico do sistema. A equação
p(s) = 0
é chamada de a “equação característica” do sistema.
Pólos da função de transferência:
As raízes do polinómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sistema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica.
Zeros da função de transferência:
As raízes do numerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sistema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0.
De maneira semelhante se define os pólos e zeros de uma resposta impulsional G(s).
Exemplo 9.1: Considere a função de transferência G(s) dada por
G(s) =
2 ⋅ (s + 30)
s (s+ 2)(s2 + 2s+ 2)
É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em
s = –30
e quatro pólos, respectivamente em:
8
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
s = 0,
s = –2,
e
s = –1 ± j
sendo que: 2 são reais e 2 são complexos.
Como s = 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um “pólo na
origem”.
A equação característica deste sistema é:
p(s) = s (s + 2) (s2 + 2 s + 2) = s4 + 4 s3 + 6 s2 + 4 s
Exemplo 9.2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por
105 s
G1(s) =
(s+10)(s2 +102 s +104 )
Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”, ou seja, em
s=0
e três pólos, respectivamente em
s = −10 e s = −50 ± j ⋅ 50 3
A equação característica deste sistema é:
p1 (s) = (s +10)(s2 +102 s +104 ) = s3 + 110 s2 + 11×103 s + 105
Exemplo 9.3: Considere agora a função G(s) dada por
10s2
G(s) =
,
(s+ a)2 (s+ b2 ) (s- c)
G(s) tem um “zero duplo na origem” (i.e., em s = 0) e quatro pólos, respectivamente
em
s = –a (duplo), s = –b2 e s = c.
9
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de
Bode
Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode
de G(s).
Estes factores básicos são funções racionais em ‘s’. Qualquer G(s) da forma da
eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção
de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples.
Na próxima secção apresentaremos de forma semelhante os factores básicos em ‘jω’
para a construção de um diagrama de Bode.
FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:
O ganho de Bode (KB)
G(s) = KB
Factores integrativos [pólos na origem]: (1/s)n , n = 1, 2, ...
G(s) =
1
1
1
G
(
s
)
=
G
(
s
)
=
L
,
s ,
s3 ,
s2
Factores derivativos [zeros na origem]: sn , n = 1, 2, ...
G(s) = s , G(s) = s2 , G(s) = s3, L
Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(Ts + 1)n , n = 1, 2, ...
G(s) =
1
1
1
G
(
s
)
=
G
(
s
)
=
L
(Ts+1) ,
(Ts+1)3 ,
(Ts+1)2 ,
Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (Ts+ 1)n , n = 1, 2, ...
2
3
G(s) = (Ts+1) , G(s) = (Ts+1) , G(s) = (Ts+1) , L
10
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”:
1/[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)2]n , n = 1, 2, ...
G(s) =
1

 1+

 2ζ 
s2  ,
  s + 2 
ωn 
 ωn 
G(s) =
1

 1+

2
 2ζ 
s2  ,
  s + 2 
ωn 
 ωn 
G(s) =
1
3
  2ζ 
s2  , L
1+   s + 2 
ωn 
  ωn 
Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”:
[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)2]n , n = 1, 2, ...
 2ζ 
s2
G(s) = 1 +   s + 2 ,
ωn
 ωn 

G(s) =  1 +

2
 2ζ 
s2 
  s + 2  ,
ωn 
 ωn 

G(s) =  1 +

11
3
 2ζ 
s2 
  s + 2  , L
ωn 
 ωn 
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.5 – Os factores básicos em ‘jω
ω’ para a construção de um diagrama
de Bode
Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode
de G(jω).
Estes factores básicos são na verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles
são as mesmas funções racionais em ‘s’ da secção anterior, depois de substituir-se s
por jω.
s = 0 + jω = jω
Qualquer G(jω) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores
básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais
simples.
FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:
O ganho de Bode (KB)
G(jω) = KB
Factores integrativos [pólos na origem]: (1/jω)n , n = 1, 2, ...
G( jω) =
1
1
1
G
(
j
ω
)
=
G
(
j
ω
)
=
jω ,
( jω)2 ,
( jω)3 , L
Factores derivativos [zeros na origem]: (jω)n , n = 1, 2, ...
G(jω) = jω , G(jω) = (jω)2 , G(jω) = (jω)3, L
Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(1+ jωT)n , n = 1, 2, ...
G(jω) =
1
1
1
G
(
j
ω
)
=
G
(
j
ω
)
=
L
( jωT +1) ,
( jωT+1)2 ,
( jωT+1)3 ,
Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (1+ jωT)n , n = 1, 2, ...
2
3
G(jω) = ( jωT +1) , G(jω) = ( jωT +1) , G(jω) = ( jωT +1) , L
12
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”:
1/[1+2ζ(jω/ωn)+( jω/ωn)2]n , n = 1, 2, ...
G(jω) =
1
2

 jω   jω   ,
1+ 2ζ   +   

 ωn   ωn  
G(jω) =
1
2 2

 jω   jω   ,
1+ 2ζ   +   

 ωn   ωn  
G(jω) =
1
2 3 , L

 jω   jω  
1+ 2ζ   +   

 ωn   ωn  
Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”:
[1+2ζ (jω/ωn)+( jω/ωn)2]n , n = 1, 2, ...
2
 jω   jω 
G( jω) = 1+ 2ζ   +   ,
 ωn   ωn 
2
2

 jω   jω  
G(jω) = 1+ 2ζ   +    ,

 ωn   ωn  
3
2

 jω   jω  
G(jω) = 1+ 2ζ   +    , L

 ωn   ωn  
13
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos
Qualquer função transferência G(s) pode facilmente ser reescrita somente com os
factores básicos definidos acima nas duas secções anteriores.
Vamos ilustrar isso com um exemplo:
Exemplo 9.4: Considere agora a função G(s) vista no exemplo 9.1 que é dada por
G(s) =
2 (s +30)
s(s + 2)(s2 + 2s + 2)
Agora, substituindo-se (s + 30) no numerador por
s 
(s +30) = 30⋅  +1
 30 
obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico no numerador:
s 
2 ⋅ 30  +1
 30 
G(s) =
s(s + 2)(s2 + 2s + 2)
Semelhantemente, para o denominador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor
básico (integrativo, pólo na origem), substituindo-se os outros dois:
s 
(s + 2) = 2⋅  +1
2 
e
 s2

(s2 + 2s + 2) = 2⋅ + s + 1
2

obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico no denominador:
s

2 ⋅ 30  + 1
 30 
G(s) =
2

s
 s
2 ⋅ 2 ⋅ s ⋅  + 1⋅  + s + 1
2
2

14
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador), obtém-se:
KB =
2 ×⋅30
= 15
2 ×2
e podemos escrever a expressão abaixo:
s

15 ⋅  + 1
 30

G(s) =
2

s
 s
s ⋅  + 1⋅  + s + 1
2
2

que está inteiramente escrita em termos de factores básicos na forma:
G(s) =
KB ⋅ (T's + 1)

 s2
2ζ
s⋅ (Ts + 1) ⋅  2 +
s + 1
ωn
 ωn

onde:
KB = 15
ωn = 2
T = 1/2
ζ =
T’ = 1/30
1
2
=
= 0,707
2
2
Exemplo 9.5:
Para escrever a função de transferência G(s) do exemplo anterior na forma de factores
básicos em jω e então obtermos G(jω) basta substituir no resultado obtido para G(s),
s = 0 + jω,
ou seja,
s = jω
pois esta é a única diferença entre as duas formas G(s) e G(jω).
Fazendo isso, obtém-se:
15
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
 jω

15 ⋅  + 1
 30

G(jω) =
=
2


 jω
 ( jω)
jω⋅  + 1⋅ 
+ jω + 1
2
 2

ω

15 ⋅ 1 + j⋅ 
30

=

ω 
ω2 


jω⋅ 1 + j⋅ ⋅ 1 −  + jω 
2  
2


9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos
Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferência G(jω) e são
dois:
diagramas de Bode de módulo
e
diagramas de Bode de fase.
Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de
| G(jω) | em dB (| G(jω) |dB)
×
ω (com escala logarítmica)
enquanto que os diagramas de Bode de fase são gráficos de
∠ G(jω) em graus
×
ω (com escala logarítmica)
Sabendo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los na construção dos diagramas de Bode de qualquer outra função de transferência G(jω) que
desmembrarmos em termos dos factores básicos.
16
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos
que apresentamos aqui nesta secção, a construção dos diagramas de Bode das demais
funções de transferência fica facilitada, como veremos nos exemplos da próxima secção.
Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um
dos factores básicos vistos na secção anterior.
O ganho de Bode (KB)
Como G(jω) = KB é uma constante (não varia com ω), temos que |KB| em dB é dado
por:
KB
dB
= 20⋅ log10 KB
enquanto que ∠ KB é 0 ou – 180º, ∀ω, isto é:
∠ KB = 0º se KB é uma constante positiva,
ou
∠ KB = – 180º se KB é uma constante negativa.
Logo, como já dito acima na definição de diagramas de Bode da fase, o normal é
representar a fase de KB (i.e., o ângulo ∠ KB) em graus (em vez de radianos).
 0º ,
G( jω) = ∠ KB = 
−180º ,
se KB > 0
se KB < 0
É claro que o ângulo de fase para KB negativo, – 180º é o mesmo que +180º que é na
verdade é π. No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendência de
adoptar ∠ KB = – 180º nestas situações.
Isso se deve ao facto de que, como G(jω) tem um número de pólos superior (ou no
máximo igual) ao número de zeros, então o ∠ G(jω) irá sempre tender para a parte
negativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º).
O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = ∠ KB está esboçado na figura 9.5.
17
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
módulo [dB]
KB >1
0dB
0.1
1
KB = 1
ω
[rad/s]
10
0 < KB < 1
fase [graus º]
90º
K
0º
0.1
1
10
-90º
B
> 0
B
< 0
ω
[rad/s]
K
-180º
Fig. 9.5 – Diagrama de Bode (módulo e fase). O ganho de Bode G(jω) = KB.
Note que no diagrama de Bode de módulo acima foi levado em consideração que:
Se KB>1, então
G(jω)
dB
>0
G(jω)
dB
=0
G(jω)
dB
<0
Se KB=1, então
Se 0<KB<1, então
O efeito que uma variação do ganho KB em um diagramas de Bode com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se KB > 0) ou para
baixo (se KB < 0) e não afecta a curva do ângulo de fase.
18
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Isto é, aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo
“subir” enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode
de módulo “descer”.
Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado às variações de KB se
KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180º, no caso de KB < 0.
Factor Integral (jω)-1
Para G(jω) = (jω)-1, temos que | G(jω)| em dB é dado por:
G( jω) dB = 20⋅ log10
1
jω
= − 20⋅ log10 ω [dB]
que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20 dB/década pois ω está
representado na escala logarítmica.
Para se ver isto, primeiramente note que
|G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1,
eq. (9.5)
um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço.
Na verdade temos que, olhando-se para algumas décadas consecutivas, temos que, no
diagrama de Bode de módulo de G(jω) (|G(jω)|dB):
M
⇒
M
para
ω = 0,01
⇒
G(jω) = 40 dB
para
ω = 0,1
⇒
G(jω) = 20 dB
para
ω=1
⇒
G(jω) = 0 dB
para
ω = 10
⇒
G(jω) = – 20 dB
para
ω = 102
⇒
G(jω) = – 40 dB
M
⇒
M
o que permite se ver claramente que trata-se de uma recta com declive – 20
dB/década (como pode ser visto na figura 9.6).
19
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
módulo [dB]
declive: -20dB/década
(ou -6dB/oitava)
20dB
0dB
0.1
1
10
0.1
1
10
ω
[rad/s]
fase [graus º]
-20dB
ω
[rad/s]
0º
-90º
Fig. 9.6 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor integral G(jω) = 1/ jω.
Também é costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de décadas)
do diagrama de Bode de módulo de G(jω) (| G(jω)|dB). Isto é: uma oitava corresponde
à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda /
aumentando-se / ou diminuindo-se).
M
⇒
M
para
ω = 0,5
⇒
G(jω) = 6 dB
para
ω=1
⇒
G(jω) = 0 dB
para
ω=2
⇒
G(jω) = – 6 dB
para
ω=4
⇒
G(jω) = – 12 dB
M
⇒
M
que é uma forma alternativa de olhar para esta recta pois o declive de – 20 dB/década
é equivalente a – 6 dB/oitava.
20
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita
ou para esquerda; aumentando-se / ou diminuindo-se).
Assim como o termo “harmónico”, que aparecia nas séries de Fourier (capítulo 5),
vem da música, também este termo “oitava” vem da música. Corresponde à oitava
nota, ou seja, a mesma nota mas no harmónico seguinte / ou no anterior, pois as notas
são apenas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequència. É
como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semana, mas na semana seguinte / ou na
anterior.
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ (1/ jω) =
= – ∠ jω =
= – 90º ,
∀ω.
Observe que, como ω está representado numa escala logarítmica, então ω é sempre
positivo (ω > 0) e portanto ∠ jω = 90º, e logo – ∠ jω = – 90º.
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a – 90º:
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = 1/ jω está esboçado na figura 9.6.
O efeito do factor básico G(jω) = 1/jω em um diagrama de Bode de fase com vários
factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º.
Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n
Para G(jω) = (jω)-n, temos uma situação bastante semelhante aos factores (jω)-1 que
vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:
G(jω) dB = 20⋅ log10
1
( jω)n
= 20⋅ n ⋅ log10
1
jω
= − 20⋅ n ⋅ log10 ω [dB]
21
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20n dB/década pois ω está
representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.7).
Equivalentemente esta recta tem o declive de – 6n dB/oitava.
Note também que, assim como antes [na eq. (9.5)],
|G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1,
eq. (9.6)
um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode.
Fig. 9.7 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores integrativos G(jω) = (1/ jω)n.
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =
= – n (∠ jω) =
= – 90º × n,
22
∀ω.
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a
– 90º × n:
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (1/ jω)n está esboçado na
figura 9.7.
O efeito do factor básico G(jω) = (1/ jω)n em um diagrama de Bode de fase com
vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º × n.
Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n
Para G(jω) = (jω)n, temos uma situação um pouco semelhante aos factores (jω)-n que
vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:
G(jω) dB = 20⋅ log10 ( jω)
n
= 20⋅ n ⋅ log10 jω
= 20⋅ n ⋅ log10 ω [dB]
que é a equação de uma recta com declive +20n dB/década pois ω está representado
na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.8).
Equivalentemente esta recta tem o declive de +6n dB/oitava.
Note também que aqui novamente, assim como antes [na eq. (9.5) e (9.6)],
|G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1,
que nos facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.
Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =
= – n (∠ jω) =
= – 90º × n,
23
∀ω.
eq. (9.7)
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a +90º × n:
Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (jω)n está esboçado na figura 9.8.
O efeito do factor básico G(jω) = (jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários
factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º × n.
Fig. 9.8 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(jω) = (jω)n.
Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1
Para G(jω) = 1/ (1 + jωT), temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:
G(jω) dB = 20⋅ log10
1
(1+ jωT)
= − 20⋅ log10 ⋅ 1+ (ω⋅ T)
24
2
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
que vamos dividir em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências
baixas e altas.
No intervalo, ω << 1/T (frequências baixas), observamos que:
ω⋅ T << 1 ⇒ 1+(ω⋅ T) ≅ 1
2
G(jω) dB = −20⋅ log10 ⋅ 1+(ω⋅ T) ≅ −20⋅log10 ⋅ (1) = 0 dB
⇒
2
enquanto que no intervalo, ω >> 1/T (frequências altas), observamos que:
ω⋅ T >> 1 ⇒ 1+ (ω⋅ T) ≅ (ω⋅ T)
2
2
⇒
G(jω) dB = − 20⋅ log10 ⋅ 1+(ω⋅ T) ≅ − 20⋅ log10 (ω⋅ T)
2
e portanto:
G(jω) dB

 0 ,
=
− 20⋅ log (ω⋅ T),
10

ω <<
1
T
ω >>
1
T
Logo, temos 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)|dB, ambas rectas, às
quais chamamos de
“rectas assímptotas”
para frequências altas e baixas, que podem ser vistas na figura 9.9.
A expressão de G(jω)|dB para ω >> 1/T (frequências altas) é de facto uma recta com
declive de – 20 dB/década, (ou – 6 dB/oitava), pois ω está representado na escala
logarítmica.
Note que:
a recta assímptota para frequências altas
intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T,
eq. (9.8)
em vez de em ω = 1, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7).
Este é um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de
módulo.
Na verdade, este ponto:
0 dB para ω = 1/T
é onde as duas rectas assímptotas se interceptam (como pode ser visto na figura 9.9).
25
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
1
é chamada de frequência de “canto” (“corner”
T
frequency), às vezes também chamada de frequência de “corte” (em processamento
de sinais quando envolvem filtros).
Por esta razão a frequência ωc =
1
T
1
10T
10
T
Fig. 9.9 – Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem
G(jω) = 1/ (1 + jωT).
A curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando
ω >> ωc, que na prática corresponde a
ω<
10
1
(para frequências baixas) e ω <
(para frequências altas)
(10⋅ T)
T
Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto
ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da
frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).
Na verdade mostra-se facilmente que tanto para ω = 1/10T (uma década abaixo de
ωc), como também para ω = 10T (uma década acima de ωc), a curva de módulo
G(jω)|dB apresenta erro desprezível, praticamente nulo:
G(jω)|dB = – 0,04 db ≅ 0 dB
para ω = 1/(10T)
ou
para ω = 10T.
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da
curva real de G(jω)|dB.
26
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
O erro máximo é de 3 dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o
ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,
1
1
= − 20⋅ log10⋅
=−
(1+ j)
2
dB
3333
G(jω) dB = 20⋅ log10
para ω = ωc =
,
1
T
(como pode ser visto na figura 9.9).
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT) =
= – ∠ (1 + jωT)
= – arctg (ωT)
Aqui também pode-se pensar nos intervalos: ω << 1/T e
frequências baixas e altas.
eq. (9.9)
ω >> 1/T, ou seja, para
Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:
ω⋅T << 1 ⇒ 1+(ω⋅T) ≅ 1
⇒
∠ G(jω) = ∠1 ≅ 0º
enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:
ω⋅ T >> 1 ⇒ 1+ j ⋅ (ωT) ≅ j ⋅ (ωT) ⇒
∠ G( jω) = − ∠ j ⋅ (ωT) ≅ − 90º
resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) com
ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois
arctg (0) = 0º
e
– arctg(∞) = – 90º.
e portanto:

 0,


∠ G(jω) = − arctg (ωT) ,

 −90º ,

ω <<
1
T
T
< ω < 100T
100
1
ω >>
T
Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º, logo, na frequência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:
27
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º em ω = 1/T,
eq. (9.10)
isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase.
Ou seja diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à
esquerda) e para – 90º (à direita).
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a – 90º enquanto a frequência ω
varia
ωc
de
até 10⋅ ωc .
10
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota
para frequências altas).
fase [graus º]
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-1 está esboçado na figura 9.10.
1
T
1
10 T
10
T
Fig. 9.10 – Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem
G(jω) = 1/ (1 + jωT).
Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n
Para G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:
28
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
G(jω) dB = 20⋅ log10
1
(1+ jωT)n
= − 20⋅ n ⋅ log10 ⋅ 1+ (ω⋅ T)
2
[ dB]
e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas
e altas, observamos que:
G( jω) dB

 0 ,
=
− 20⋅ n ⋅ log10 (ω⋅ T),

1
T
1
ω >>
T
ω <<
que pode ser vista na figura 9.11.
Portanto, temos novamente 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)n| dB,
por duas “rectas assímptotas” em frequências baixas e altas (esta última com declive
de – 20 dB/década ou – 6 dB/oitava).
Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“corner” frequency), ωc = 1/T, e assim como na secção anterior, eq. (9.8), aqui também:
a recta assímptota para frequências altas
intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T,
eq. (9.11)
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.
1
10T
10
T
1
T
Fig. 9.11 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos
G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …
29
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Novamente, a curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc
ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a
ω<
10
1
(para frequências baixas) e ω <
(para frequências altas)
(10⋅ T)
T
Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto
ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da
frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da
curva real de G(jω)|dB.
O erro máximo agora é de 3×n dB e ocorre exactamente na frequência de canto
ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,
G(jω) dB = 20⋅ log10
1
(1+ j)n
= − 20⋅ n ⋅ log10⋅
1
= − 3⋅ n dB ,
2
para ω = ωc =
1
T
(como pode ser visto na figura 9.11).
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT)n =
= – ∠ (1 + jωT)n
= – n × arctg (ωT)
eq. (9.12)
Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:
∠ G(jω) ≅ 0º
enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:
∠ G(jω) ≅ − 90º × n
resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.12) com
ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois
arctg (0) = 0º
– arctg (∞) × n = – 90º × n,
e
e portanto:
30
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode

 0,


∠ G( jω) = −n×arctg (ωT) ,

 −90º × n,

ω <<
1
T
T
< ω < 100T
100
1
ω >>
T
Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º × n, logo, na frequência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:
a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º × n em ω = ωc = 1/T,
eq. (9.13)
isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao
fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase.
Ou seja, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à
esquerda) e para –90º × n (à direita).
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a –90º × n enquanto a frequência
ω varia
ωc
de
até 10⋅ ωc .
10
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota
para frequências altas).
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.12.
1
10 T
1
T
10
T
Fig. 9.12 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos
G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …
31
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., (1 + jωT)n
Para G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1,2, …, n a situação é análoga aos casos de pólos simples e múltiplos nas duas secções anteriores. Temos que o módulo |G(jω)| em dB é
dado por:
G(jω) dB = 20⋅ log10 (1+ jωT)
n
= 20⋅ n ⋅ log10 ⋅ 1+ (ω⋅ T)
2
e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas
e altas, observamos que:
G(jω) dB

 0 ,
=
+ 20⋅ n ⋅ log10 (ω⋅ T),

ω <<
1
T
ω >>
1
T
que pode ser vista na figura 9.13.
1
10T
10
T
1
T
Fig. 9.13 – Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos
G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …
32
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“corner” frequency), ωc = 1/T, e assim como nas secções anteriores, eq. (9.8) e eq. (9.11), aqui
também:
a recta assímptota para frequências altas
intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T,
eq. (9.14)
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.
Novamente, para a curva real de G(jω)|dB, as assímptotas são válidas para uma
década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da
assímptota para frequências altas).
Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da
curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 3×n dB que ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram.
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:
∠ G(jω) = ∠ (1 + jωT)n =
= n × arctg (ωT)
e portanto:

 0,


∠ G( jω) =  n×arctg (ωT) ,

 90º × n,

ω <<
1
T
T
< ω < 100T
100
1
ω >>
T
Note que para ωc = 1/T, a frequência de “canto” ou de “corte”, temos que:
a curva do ∠ G(jω) passa por 45º × n em ω = ωc = 1/T,
eq. (9.15)
isto é, na metade do intervalo entre 0º e 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao
fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase.
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 90º × n enquanto a frequência ω
varia
ωc
de
até 10⋅ ωc .
10
33
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota
para frequências altas).
fase [graus º]
O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.14.
1
10 T
1
T
10
T
Fig. 9.14 – Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos
G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …
Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …, 0 ≤ ζ ≤ 1 .
Note que a função de transferência G(jω)
2

jω  jω 
G(jω) = 1 + 2 ζ ⋅
+  
ωn  ωn  


−1
=
1
2

jω  ω  
1 + 2 ζ ⋅
−   
ω

 ωn  
n
tem um par de pólos que serão:
a) pólos complexos
b) pólos duplos
c) pólos reais e distintos
se
se
se
0≤ ζ <1
ζ =1
ζ >1
Os factores quadráticos que tratamos nesta secção fazem parte dos casos (a) e (b)
acima, isto é 0 ≤ ζ ≤ 1, pois o caso (c), pólos reais e distintos ( ζ > 1), já estão cobertos nos factores básicos anteriores.
34
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situação limite de ζ = 1, então
G(jω) =
1
2

jω  ω  
1 + 2⋅
−   
ω

n
 ωn  
=
1

1 +

2
 jω
 
 ωn 
que corresponde a pólos duplos e iguais a jω/ ωn , um caso que também já está abrangido nos factores básicos anteriores.
Portanto as técnicas que serão apresentadas nesta secção para 0 ≤ ζ ≤ 1 vão coincidir
com outras já apresentadas anteriormente no caso particular de ζ = 1.
Para G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1,2, …, n temos que o módulo |G(jω)|
em dB é dado por:
G(jω) dB = −20⋅ log10
2

 jω  jω 
1 + 2ζ⋅   +   

 ωn   ωn  
= −20⋅ n⋅ log10 ⋅
n
  ω 2   jω2
1 −    + 2ζ 
  ωn    ωn 
e dividindo em 2 intervalos: ω << ωn e ω >> ωn , ou seja, para frequências baixas e
altas, observamos que:
G(jω) dB

0,


  ω 2   jω2

= − 20⋅ n ⋅ log10 ⋅ 1−   + 2ζ 
  ωn    ωn 



− 40⋅ n ⋅ log10 (ω⋅ T),

ω << ωn
0,1⋅ ωn < ω <10⋅ ωn
ω >> ωn
Note que, assim como nas secções anteriores tinha ωc em eq. (9.8), eq. (9.11) e
eq. (9.14), aqui também tem-se uma frequência ωn que é chamada de
ωn = frequência natural do sistema,
que separa as frequências “altas” e “baixas” e
a recta assímptota para frequências altas
intercepta 0 dB em ω = ωn,
eq. (9.16)
um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.
35
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
ωn
10
Fig. 9.15 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos
G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, ζ = 1, n = 1.
Nas proximidades da frequência natura ωn as assímptotas apenas aproximam da curva
real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 6×n dB que ocorre exactamente na
frequência de canto ωn , o ponto onde as duas assímptotas se encontram.
A curva G(jω)|dB para o caso particular que falamos acima, ζ = 1, está representado
na figura 9.15.
A medida que o valor de ζ diminui, ζ < 1 as curvas de G( jω) dB vão ficando mais altas
e vão criando picos (a partir de ζ < 2 / 2 = 0,707) que vão se tornando cada vez mais
altos a medida que ζ → 0.
Estas curvas de G( jω) dB estão ilustradas na figura 9.16 para o caso geral de 0 ≤ ζ ≤ 1.
Estes picos ocorrem nas frequências ωr chamadas
ωr = frequência de ressonância
que assume valores
ωr = ωn ⋅ 1− 2ζ2 ,
para 0 ≤ ζ ≤
2
2
Note que para ζ = 0, ωr = ωn. A medida que ζ aumenta a frequência de ressonância ωr
diminui ligeiramente até que, quando
36
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
ζ =
2
= 0,707
2
então a frequência de ressonância ωr = ωn/2.
ζ=0.1
14 dB
ζ=0.2
ζ=0.3
módulo [dB]
8dB
5dB
0dB
ωn
ωn
10
ζ=0.5
ζ=0.6
10ωn
ζ=0.707
ζ=0.8
ζ=1
ω
[rad/s]
-40 dB
Fig. 9.16 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos
G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …
Por outro lado, estes picos atingem valores Mr
Mr = pico de ressonância
que tem os valores
Mr =
1
para 0 ≤ ζ ≤
,
2
2
2ζ ⋅ 1−ζ2
Note que para 0,707 ≤ ζ ≤ 1 não há pico de ressonância. Em particular, se ζ = 0,707,
então
Mr = 1 = 0 dB
(também não há pico de ressonância).
37
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
A medida que ζ diminui, o pico de ressonância Mr aumenta. Por exemplo,
quando ζ = 0,5 ⇒ Mr = 1,155 ≅ 1,25dB,
quando ζ = 0,25 ⇒ Mr = 2,133 ≅ 6,6 dB,
quando ζ = 0,1 ⇒ Mr = 5,025 ≅ 14dB,
quando ζ = 0,05 ⇒ Mr = 10,01 ≅ 20dB.
A figura 9.16 ilustra estes picos de ressonância.
Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:

 ω 
 2ζ ⋅   


 ωn  
 = − n ⋅ arctg 
2



ω
1 −   
ω  

 n 
2 −n

 jω  jω
∠ G( jω) = ∠ 1 − 2ζ⋅   +  

 ωn   ωn 
ζ=0.1
ωn
0º ωn
ζ=0.5
ζ=1
10
10ωn
ω
[rad/s]
-90º
-180º
Fig. 9.17 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos
simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …
Portanto:
ω→ 0
 0º,

∠ G( jω) =  − 90º ⋅ n ,

−180º ⋅ n,
ω = ωn
ω→ ∞
conforme esboçado a figura 9.17.
38
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 180º × n enquanto a frequência
ω varia
ωn
de
até 10⋅ ωn .
10
isto é, desde uma década antes da frequência de natural ωn (assímptota para frequências baixas) até uma década depois da frequência de natural ωn (assímptota para frequências altas).
O diagrama de Bode de fase de G(jω) se torna mais íngreme (com declive mais
acentuado) a medida que ζ → 0 e isto está ilustrado na figura 9.17.
Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]n, n = 1, 2, …
Os factores zeros quadráticos que têm a função de transferência G(jω)
2

jω  jω 
G(jω) = 1 + 2 ζ ⋅
+ 
ωn  ωn  


n
são em tudo análogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva
de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas invertendo-se
o sinal das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos
As principais diferenças são que os picos de ressonância são para baixo em vez de
para cima e as curvas de fase vão de 0º a 180º em vez de 0º a – 180º.
9.8 – Factores básicos com sinais negativos
No caso de factores básicos com sinais negativos do tipo
G(s) =
ou
1
1
1
G
(
s
)
=
L
, G(s) =
,
(Ts−1)
(Ts−1)3 ,
(Ts−1)2
2
3
G(s) = (Ts−1) , G(s) = (Ts−1) , G(s) = (Ts−1) , L
é fácil mostrar que o diagrama de Bode de módulo é idêntico ao factor básico correspondente com sinal “+” , entretanto para a construção do diagrama de Bode de fase é
necessário um cuidado maior na análise.
39
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Nos próximos exemplos ilustramos como fazer nestas situações.
Exemplo 9.6:
1
(s +1)
(s +1)
100
G( jω) =
=
( s +100 )
 s


+ 1 
100

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB e G(jω) tem mais dois factores básicos:
−1
( s +1)
e
 1

 ⋅s + 1 
100

Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = ∠(1+ jω) − ∠(1+ jω/100)
Fig. 9.18 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.6.
40
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.7:
1
( s −1)
( s −1)
100
G( jω) =
=
( s +100 )
 s

+ 1

100

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois
factores básicos:
−1
( s −1)
e
 1

 ⋅s + 1 
100

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.6).
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = ∠(−1+ jω) − ∠(1+ jω/ 100 ) = 180 º + ∠( 1− jω) − ∠( 1+ jω/100 )
Fig. 9.19 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.7.
41
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.8:
1
(s +1)
(s +1)
100
G( jω) =
=
( s −100 )
 s

− 1

100

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois
factores básicos:
(s +1)
 1

 ⋅s − 1 
100

e
−1
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos
9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = ∠(1+ jω) − ∠(−1+ jω/100) = ∠( 1+ jω) + 180 º − ∠( 1− jω/100 )
0.1
1
0.1
1
100
10
1000
ω
0db
-40dB
10
100
1000
ω
0º
-90º
-180º
Fig. 9.20 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.8.
42
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.9:
1
(s −1)
(s −1)
100
G(jω) =
=
( s −100 )
 s

− 1

100

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais os 2
factores básicos:
−1
(s −1)
e
 1

 ⋅s − 1 
100

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos
9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = ∠(−1+ jω) − ∠(−1+ jω/100 ) = 180 º + ∠( 1− jω) − 180 º − ∠( 1− jω/ 100 )
= ∠( 1− jω) − ∠( 1− jω/ 100 )
Fig. 9.21 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.9.
43
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.10:
G( jω) =
100
=
( s +1) ( s +100 )
1
(s + 1 )  s + 1 
100

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:
( s +1)
−1
 1

 ⋅s + 1 
100

e
−1
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = −∠( 1+ jω) − ∠( 1+ jω/100 )
Fig. 9.22 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.10.
44
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.11:
G(jω) =
100
=
( s +1) ( s −100)
1
(s + 1 )  s − 1 
100

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores
básicos:
−1
−1
( s +1)
 1

 ⋅s − 1 
100

e
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10).
Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = −∠( 1+ jω) − ∠( −1+ jω/100 ) = −∠ ( 1+ jω) + 180 º − ∠( 1− jω/100 )
Fig. 9.23 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.11.
45
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.12:
G(jω) =
100
=
( s −1) ( s +100 )
1
(s − 1 )  s + 1 
100

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores
básicos:
( s −1)−1
 1

 ⋅s + 1 
100

e
−1
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos anteriores (Exemplos
9.10 e 9.11). Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = −∠( −1+ jω) − ∠( 1+ jω/100 ) = 180 º − ∠( 1− jω) − ∠( 1+ jω/100 )
Fig. 9.24 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.12.
46
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.13:
G(jω) =
100
=
( s −1) ( s −100 )
1
(s − 1 )  s − 1 
100

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores
básicos:
−1
−1
( s −1)
 1

 ⋅s − 1 
100

e
Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos anteriores (Exemplos
9.10, 9.11 e 9.12). Além disso, a fase de G(jω) é dada por
G(jω) = −∠( −1+ jω) − ∠(−1+ jω/ 100 ) = 180 º − ∠( 1− jω) − 180 º − ∠( 1− jω/ 100 )
= −∠( 1− jω) − ∠( 1− jω/100 )
Fig. 9.25 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.13.
47
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
9.9 – Exemplos adicionais de construção de diagramas de Bode (módulo e fase)
Nesta secção apresentamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase)
que foram esboçados usando quase sempre o auxílio dos factores básicos apresentados aqui.
Exemplo 9.14:
1

0,1  ⋅ s +1 
1000 (s + 4 )
4

G(jω) =
=
2
2
s ( s +100 ) ( s +5 s + 400)

5
 1
 s
s  ⋅ s +1  
+
⋅ s + 1
100
  400 400

Fig. 9.26 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.14.
48
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.15:
1

0,1  ⋅s +1 
1000 (s + 4 )
4

G(jω) =
=
2
2
s ( s +100 ) ( s −5 s + 400 )

5
 1
 s
s  ⋅ s +1  
−
⋅ s + 1
400
100
  400

O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.14). O
diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.27.
ωn = 20
= 0,125
180º
90º
0º
0.1
1
10
100
1000
ω
-90º
-180º
-270º
Fig. 9.27 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.15.
Exemplo 9.16:
1

0,1  ⋅ s +1 
1000 (s + 4 )
4

=
G(jω) =
2
2
s ( s −100 ) ( s +5 s + 400 )

5
 1
 s
s  ⋅ s −1  
+
⋅ s + 1
400
100
  400

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos
9.14 e 9.15). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.28.
49
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Fig. 9.28 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.16.
Exemplo 9.17:
1

0,1  ⋅ s −1 
1000 (s − 4 )
4

G(jω) =
=
2
2
s ( s +100 ) ( s +5 s + 400 )

5
 1
 s
s  ⋅ s +1  
+
⋅ s + 1
400
100
  400

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos anteriores (Exemplos
9.14, 9.15 e 9.16). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.29.
Fig. 9.29 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.17.
50
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
Exemplo 9.18:
1

0,1  ⋅s − 1 
1000 (s −4 )
4

G(jω) =
=
2
2
s ( s −100 ) ( s +5 s + 400 )

5
 1
 s
s  ⋅ s − 1  
+
⋅s + 1
400
100
  400

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos anteriores
(Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17). O diagrama de Bode de fase está esboçado na
figura 9.30.
Fig. 9.30 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.18.
Exemplo 9.19:
G(jω) =
10 6 ( s + 0,1)
=
s ( s +10 ) ( s2 +10 2 s +10 4 )
( 10⋅s + 1 )
2

1
1
 s
s  ⋅ s + 1   4 + 2 ⋅ s + 1
10
10
  10

Note que
KB = 1 = 0 dB
ωr = ωn ⋅ 1− 2ζ2 = 70,71
ωn = 100
Mr =
T1 =10 (zero)
1
1− ζ2
T2 =
51
ζ = 0,5
= 1,155 = 0,897 dB
1
(pólo)
10
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
KB = 0 dB
80dB
Mr = 1.155 = 0,9 dB
ωn = 100
ωr = 70,7
= 0,5
60dB
40dB
-20
dB
/de
c
0dB/dec
20dB
0.01
0
0.1
1
-20
dB
/de
c
10
10000
1000
ω
100
-20dB
-40dB
-6
-60dB
B
0d
ec
/d
-80dB
-100dB
0º
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
ω
-90º
-180º
-270º
Fig. 9.31 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.19.
Exemplo 9.20:
G(jω) =
10 ( s + 0,1)
0,1 ( 10⋅ s + 1 )
=
s ( s +10 ) ( s2 + s +1 )
s (0,1⋅s + 1 ) s2 + s + 1
(
)
Note que
ωn = 1
KB = 0,1 = − 20 dB
ωr = ωn ⋅ 1− 2ζ2 = 0,707
Mr =
T1 =10 (zero)
1
1− ζ2
T2 =
52
ζ = 0,5
= 1,155 = 0,897 dB
1
(pólo)
10
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
80dB
ωn = 1
KB = -20 dB
-20
dB
10
dB
0.1
1
0.01
0.1
1
100
1000
100
1000
10000
c
0.01
e
/d
0
/de
c 0dB/dec
0
-4
20dB
ωr = 0,707
= 0,5
60dB
40dB
Mr = 1.155 = 0,9 dB
ω
-20dB
-40dB
-60dB
-80dB
0
-6
/d
dB
-100dB
ec
0º
10
10000
ω
-90º
-180º
-270º
Fig. 9.32 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.20.
Exemplo 9.21:
1

80  s + 
2

G(jω) =
=
2
s ( s + 20 ) ( s + s + 2 )
( 2⋅s + 1 )
2

s
 s
 s
s
+ 1   + + 1
 20
 2 2

Note que
KB = 1 = 0 dB
ωn = 2 = 1,414
53
ζ = 0,354
J. A. M. Felippe de Souza
9 – Diagramas de Bode
ωr = ωn ⋅ 1−2ζ2 = 1,224
Mr =
T1 = 2 (zero da F.T.)
80dB
T2 =
ωn = 1,41
KB = 0 dB
1
1−ζ2
= 1,069 = 0,58 dB
1
(pólo da F.T.)
20
Mr = 1.07 = 0,58 dB
ωr = 1,224
= 0,354
60dB
40dB
-20d
B/
dec
20dB
0 dB
9.8dB
0.01
0.1
0.5 1
10.7dB
20
10
2
-20dB
100
ω
-40
dB
/de
-29.5dB
c
-40dB
-60dB
B/
0d
-6
c
de
-80dB
-100dB
0º 0.01
-90º
0.1
0.5 1
2
10
-74º
20
100
-82º
-111º
-180º
-250º
-258º
-270º
Fig. 9.33 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.21.
54
ω