FÍSICA – 9ª CLASSE
TEMA A - MOVIMENTO
CINEMÁTICA
JOSÉ CAMBINDA DALA
2012
SINOPSE:
Este trabalho é um resumo que fiz do tema A do manual do aluno (Física da 9ª Classe)
– Angola.
Fi-lo com o objectivo de facilitar os alunos na obtenção do conteúdo, uma vez que os
manuais são caros de adquirir. Pude acrescentar também alguns conteúdos tirados na
Internet, sobretudo em Wikipédia. Quero com isso pedir desculpas aos autores pelo
atrevimento que tive em fazer essa compilação, que vou oferecer aos meus alunos. E agradeço
a todos que o lerem no sentido de puderem me corrigir caso notarem algum erro.
Assim, apresento-vos abaixo os temas aqui resumidos.
1. Movimento
1.1. Introdução
1.2. Movimento Translacional dos Corpos. Corpo Pontual
1.2.1.Relatividade do Movimento. Definição de Repouso e Movimento
1.3. Posição de um Corpo Pontual nos Espaço
1.4. Deslocamento de um corpo. Definição de trajectória. Tipos de Trajectória
1.5. Movimento Rectilíneo Uniforme (MRU)
1.5.1. Velocidade
1.5.2.Unidades da Velocidade
1.6. Movimento Rectilíneo Não Uniforme (MRNU)
1.6.1. Velocidade Média
1.6.2. Rapidez Média
1.6.3. Velocidade Instantânea
1.6.4. Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
1.6.4.1.
Aceleração
1.6.4.2.
Gráfico v(t) no MRUV
1.6.4.3.
Deslocamento no MRUV
1.6.4.4.
Função Horária dos Espaços
1.6.4.5.
Velocidade Média no MRUV
1.6.5.Queda Livre
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Prof. Cabinda, pelo ensino e qualidade
Tema A: Movimento
Subtema A.1 – Introdução
A Física, em conjunto com outras ciências materiais, estuda as propriedades objectivas
do mundo material que nos rodeia.
O ar, a água, os corpos celestes, as plantas, os animais, em resumo, tudo o que nos
rodeia, constitui o mundo, a Natureza.
Matéria é tudo o que, actuando sobre os nossos órgãos sensoriais, produz impressões.
Uma das propriedades mais importantes da matéria é o seu movimento. Com efeito à nossa
volta vemos uns corpos em movimento e outros não. O edifício da escola parece-nos igual ao
que era ontem; os móveis em nossa casa, as árvores, as estrelas e tantos outros objectos
parecem-nos fixos. Em todos estes casos, esta invariabilidade é aparente. Na realidade, tudo o
que nos rodeia está em constante movimento. Na Natureza não há um só corpo que não sofra
transformações.
A matéria desenvolve-se e muda constantemente, quer dizer, encontra-se em
constante movimento, entendendo-se por movimento toda a transformação, e não só, o
deslocamento de um corpo de um lugar para outro. O mundo é matéria em movimento.
A matéria e as suas variações estão estreitamente relacionadas com o espaço e o
tempo, pois as transformações da matéria ocorrem nalgum lugar e num determinado tempo.
De todas as variações, a mais simples e conhecida, é o movimento mecânico, que não
é mais do que a variação da posição de um corpo em relação a outros corpos no decorrer do
tempo.
A parte da Física que estuda os fenómenos do movimento dos corpos chama-se
Mecânica.
O problema fundamental da Mecânica consiste em determinar a posição do corpo em
movimento a qualquer instante.
Subtema A.2 – Movimento Translacional dos corpos. Corpo Pontual
Denomina-se movimento translacional ou movimento de translação, àquele
movimento em que todos os pontos do corpo percorrem distâncias idênticas e descrevem
trajectórias paralelas idênticas.
Ex.: o movimento de uma gaveta que se abre, o movimento de uma caixa que desliza
por um plano inclinado ou de uma mala que levantamos do chão.
3
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Para estudar o movimento translacional dos corpos, quer dizer, a sua mudança de
posição no espaço, não é necessário determinar a posição de cada uma das partículas do corpo
nos casos em que as suas dimensões são muito pequenas em relação à distância entre ele e os
outros corpos. Nestes casos, as dimensões do corpo podem ser desprezadas.
Um corpo que em determinadas condições se pode desprezar as suas dimensões,
chama-se Corpo Pontual.
Há corpos que em determinadas condições podem ser consideradas pontuais e
noutras condições não.
Ex.: se considerarmos o movimento de uma criança a ir da sua casa para a escola, num
percurso de 1 km, a criança, neste movimento, pode ser considerada como um corpo pontual.
As suas dimensões são pequenas em relação à distância que percorre. Mas, se a mesma
criança se desloca da sua carteira para o quadro preto já não podemos considerar o seu corpo
como um corpo pontual.
Actividades:
1. «Quando todas as partes de um corpo variam da mesma forma a posição, no espaço e
no tempo, em relação a outro corpo, dizemos que o movimento é…».
A) Caótico.
B) translacional.
C) simétrico.
Escolhe a opção correcta que completa a frase.
2. Em qual dos seguintes casos os corpos podem ser considerados pontuais:
a) Um avião que voa do Namibe ao Lubango.
b) Um avião que realiza uma acrobacia, por exemplo, uma espiral.
c) Um disco de lançamento ao ser construído no torno.
d) O mesmo disco, depois de lançado pelo desportista, voa 55 metros.
e) A nave é observada por um cosmonauta que realiza uma função no cosmos.
Subtema A.2.1 – Relatividade do Movimento. Definição de Repouso e Movimento
Imagine que você esteja sentado(a) dentro de um comboio.
Será que você está em repouso ou em movimento?
De outra forma. Em relação ao passageiro sentado ao seu lado você está em repouso
ou em movimento?
Mas e em relação as montanhas, na paisagem, você está em repouso ou em
movimento?
Pois é, sempre que você ouvir falar que algo está em movimento ou em repouso, este
movimento ou repouso será em relação a algum outro corpo, adoptado como referencia. Um
corpo pode muito bem estar em movimento em relação a algum objecto e em repouso em
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relação a outro, e em Física chamamos este corpo, adoptado como referencia, de referencial
ou corpo de referencia.
No seu caso, sentado no comboio, se o referencial for as montanhas você estará em
movimento, mas se o referencial for a pessoa sentada ao seu lado, você estará em repouso.
O conceito de movimento ou de repouso é relativo, uma vez que depende do
referencial escolhido.
Considera-se que um corpo está em movimento quando a sua posição muda no
decorrer do tempo, isto é, quando ocupa sucessivamente diferentes posições no espaço.
Quando esse corpo não muda de posição diz-se que ele está em repouso.
Subtema A.3 – Posição de um Corpo Pontual nos Espaço
Para determinar a posição de um corpo no espaço podemos fazê-lo unicamente em
relação a qualquer parte de um corpo de referência. O referencial é escolhido arbitrariamente,
podendo ser o automóvel em que viajamos, o Sol, as estrelas, etc.
A posição de um corpo numa linha é determinada por uma coordenada, ou seja, a
distância ao longo da linha medida desde a origem das coordenadas até à posição final do
corpo em questão.
P (X;0)
0
X
Se o corpo se mover nos limites de um plano, como por exemplo, um barco num lago,
a partir do corpo tomado como referência, traçamos duas rectas perpendiculares entre si,
conforme vem representado na fig. abaixo, 0X e 0Y, que se chamam simplesmente eixos X e Y
e formam o sistema de coordenadas rectangulares X0Y.
y
A
4
3
2
1
0
11
2
3
x
-1
B
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A posição é dada pelas coordenadas, medidas a partir da origem de coordenadas 0, ao
longo dos eixos X e Y. no ponto A da fig. acima, por exemplo, X=3, Y=4; no ponto B, X=2 e Y=1,5.
Para indicar a posição de um corpo no espaço, como por exemplo, um avião no ar, é
necessário traçar mentalmente três (3) rectas perpendiculares entre si (três eixos de
coordenadas), representadas habitualmente por 0X, 0Y e 0Z, como na fig. abaixo, e através
deles determinaremos a posição do corpo no espaço.
Z
A
z
1
C
1
0
X
y
x
B
Y
Em resumo:
- A posição de um corpo sobre uma linha, no plano ou no espaço (ar) é determinada,
respectivamente, por um, dois ou três números coordenados.
- Para determinar a posição de um corpo no espaço devemos ter em conta o seguinte:
1. corpo de referência (um corpo cuja sua localização seja bem conhecida); 2. sistema de
coordenadas e 3. instrumento para medir o tempo. Ao conjunto desses três elementos
chamamos de sistema de referência.
Actividades:
1. Represente num sistema de coordenadas os seguintes pares numéricos: A(3;2), B(1;2), C(0;3), D(3;-2), E(-2;-1) e F(3;0).
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Subtema A.4 – Deslocamento de um corpo. Definição de trajectória. Tipos de Trajectória
Suponhamos que no instante inicial, um corpo em movimento ocupa uma posição dada, x0
e depois de um certo intervalo de tempo ocupa outra posição a uma distância «S», da posição
inicial.
Como determinar esta nova posição?
Para isso, não é suficiente conhecer o comprimento «S» porque não se sabe a direcção
nem o sentido desse movimento.
Para achar a posição final (x) do corpo é necessário conhecer a direcção e o sentido do
segmento «S» que une as posições inicial e final do corpo. Este segmento rectilíneo dirigindo,
representa o deslocamento.
Em Física, o deslocamento de um corpo é definido como a variação da posição de um
móvel dentro de uma trajectória determinada. O deslocamento representa a porção da
trajectória pela qual o móvel se deslocou; pode ser expresso na forma escalar -S ou na forma
vectorial - 𝑺
No espaço cartesiano, o vector deslocamento une o ponto de partida ao ponto de
chegada.
y
y0
S
Sy
1y
Sx
x
x
1
x0
Para determinação do deslocamento escalar pode ser necessário utilizar o cálculo:
𝑆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 (na horizontal ou abcissa)
𝑆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 (na vertical ou ordenada)
Pode-se atribuir o sinal negativo ou positivo ao deslocamento escalar (Sx ou Sy),
conforme se tenha convencionado a orientação da trajectória, considerando um certo
intervalo de tempo. Quer dizer, o deslocamento escalar é positivo se a posição final (x ou y) for
maior que a posição inicial (x0 ou y0), e é negativo para o caso contrário.
Portanto, chama-se deslocamento de um corpo à medida do segmento de recta que
une a posição inicial ocupada pelo corpo com a sua posição final.
Não deve, no entanto, confundir-se deslocamento com trajectória.
7
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Trajectória é uma linha imaginária formada pelas sucessivas posições tomadas pelo
corpo em movimento. Existem dois tipos de trajectórias, ou movimentos. A trajectória curva e
a trajectória recta. Chamamos estas trajectórias de movimento curvilíneo e movimento
rectilíneo.
Obs: nesta classe estudaremos apenas as grandezas escalares, a começar pelo
deslocamento escalar (S).
Em Física, há grandezas tais como o deslocamento que são definidas pelo seu valor,
direcção e sentido. A essas grandezas denominamos grandezas vectoriais ou simplesmente
vectores.
As grandezas que não possuem nem direcção nem sentido tomam o nome de
grandezas escalares, como por exemplo, o tempo, a temperatura, etc.
Actividades:
1. Um corpo, em movimento, desloca-se da posição de coordenadas (-1;3) para a posição
(-4;1). Calcula o valor do deslocamento escalar.
Recorde-se que as coordenadas são sempre (x;y).
2. Observando os movimentos de um jogador de futebol demonstrou-se que, durante o
jogo, percorreu aproximadamente 12km.
Como se classifica a grandeza percorrida: deslocamento ou trajectória?
3. Um motorista de táxi ao regressar à garagem, ao fim do dia, verificou um aumento de
300km em relação ao que marcava no início do seu trabalho. Sabendo que a
trajectória do movimento é de 300km, qual é o valor do módulo do deslocamento?
4. Um homem realiza os seguintes deslocamentos: 3m para este; 2m para norte; 3m para
oeste. Determina o deslocamento total do homem.
5. Um em movimento desloca-se da posição de coordenadas (2;1)m, de forma que a
projecção do vector deslocamento Sx=3m e Sy=2m. Determina as coordenadas da
posição final do corpo.
6. Um corpo moveu-se a partir de um ponto de coordenadas x0=1m e y0=4m até ao ponto
de coordenadas x=5m e Y=1m. determine as projecções do vector deslocamento sobre
o eixo x.
7. Um automóvel, sobre uma estrada, parte da cidade A(10km); passa pela cidade
B(410km) e chega à cidade C(310km).
A
C
B
x
a) Entre as cidades A e B, determine a posição inicial.
b) Entre as cidades B e C, detrmine a posição final.
c) Entre as cidades A e C, determine o deslocamento.
Subtema A.5 - Movimento Rectilíneo Uniforme (MRU)
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Anteriormente foi referido que a trajectória de um corpo é a linha que une as
sucessivas posições ocupadas pelo corpo ao longo do tempo, em relação a um dado
referencial.
A trajectória do movimento de um corpo pode ser rectilínea ou curvilínea. E conforme
essa trajectória, os movimentos dos corpos dividem-se em rectilíneos e curvilíneos.
Independentemente da sua trajectória, os movimentos dividem-se em uniforme e
variados.
Movimento Rectilíneo Uniforme (MRU) é aquele em que o corpo sofre deslocamentos
iguais em intervalos de tempos iguais.
Ex.:
x (m)
50
40
30
20
10 1
1
1
2
3
4
5
t (s)
Subtema A.5.1 – Velocidade
Sabendo-se o deslocamento de um móvel, de um ponto X0 até um ponto S, por
exemplo, podemos medir o quão rápido foi este deslocamento. Assim, a “rapidez” deste
deslocamento é definida como velocidade escalar (ou apenas velocidade).
Portanto, velocidade é uma grandeza física vectorial que caracteriza a rapidez com que
um corpo varia de posição no decorrer do tempo. E é numericamente igual a relação entre a
distância realizada pelo corpo e o intervalo de tempo que o corpo demorou a realizar a
referida distância:
𝑆
𝑣=
𝑡
9
(Equação escalar da velocidade)
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A velocidade indica-nos o deslocamento que o corpo realiza na unidade de tempo.
Então, o deslocamento do corpo pode ser caracterizado pela equação:
𝑆=𝑣∙𝑡
E o tempo:
𝑡=
𝑆
𝑣
Obs.: No MRU a velocidade é constante, quer dizer que não varia.
v (m/s)
10
v = Constante
8
6
4
2 1
1
1
2
3
4
5
t (s)
Subtema A.5.2 – Unidades da Velocidade
A unidade em que se exprime a velocidade, no SI, é o m/s. Vulgarmente, quando nos
referimos à velocidade de um automóvel, fazemo-lo em km/h.
A trajectória do MRU é uma linha recta; por isso, orienta-se o eixo de coordenadas ao
longo desta linha e se, por exemplo, nos referimos ao movimento de queda de um corpo,
então é lógico orientar o eixo verticalmente (eixo y); se se observa o movimento de um
automóvel por uma estrada recta e nivelada, orienta-se ao longo dela o eixo de coordenadas
(eixo x). Ao longo deste eixo estão orientados o vector deslocamento e o vector velocidade.
Sabendo que:
𝑆 = 𝑣 ∙ 𝑡 e 𝑆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
Temos:
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑥 ∙ 𝑡 → 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝒙 ∙ 𝒕
10
(1)
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Nesta equação, as grandezas x, x0 e vx podem ser positivas ou negativas.
A unidade no SI, característica da posição de um corpo no espaço, é o metro (m).
Se o vector v tem sentido igual ao eixo x, a projecção da velocidade no eixo x é
positiva, por isso: 𝑣𝑥 = |𝑣|
Assim,
𝑥 = 𝑥0 + |𝑣| ∙ 𝑡
(1.a)
Se o sentido do vector v for contrário ao eixo x, a projecção da velocidade no eixo x
será negativa e: 𝑣𝑥 = −|𝑣|
Assim,
𝑥 = 𝑥0 − |𝑣| ∙ 𝑡
(1.b)
As equações (1.a) e (1.b) permitem determinar a projecção do corpo pontual em
qualquer instante, num movimento rectilíneo uniforme. Para isso, é necessário conhecer a
posição inicial do corpo pontual, x0, e a velocidade.
Actividades:
1. Um ciclista desloca-se uniformemente por uma trajectória rectilínea uma distância de
50k durante o tempo de 120min.
a) Calcula a velocidade do ciclista em km/h.
b) Calcula a velocidade do ciclista em m/s.
2. Por uma estrada se move um automóvel animado de um MRU com uma velocidade
igual a 60km/h. Determinar a posição do automóvel 30min depois da sua partida.
3. Dois automóveis partem simultaneamente de uma bomba de gasolina e seguem por
uma estrada que vai de oeste a este, um com a velocidade de 60km/h e outro a
90km/h. Determina a posição dos automóveis, e a distâncias entre eles, 30 minutos
depois da sua partida, se:
a) Ambos se movem no mesmo sentido.
b) Ambos se movem em sentidos contrários.
4. Dada a equação do movimento de um corpo, 𝑥 = 20 + 10𝑡. Determina:
a) A posição inicial do corpo e sua velocidade.
b) O deslocamento realizado do primeiro ao quarto segundo.
5. Um automobilista viajando a 30km/h, percorre metade do trajecto, a partir do ponto
de origem, em 2h. A que velocidade deve continuar o movimento se no mesmo tempo
tiver de terminar o percurso e regressar ao ponto de origem?
Subtema A.6 – Movimento Rectilíneo Não Uniforme (MRNU)
Conforme vimos anteriormente, o MRU é aquele em que o deslocamento depende
linearmente do tempo segundo a equação 𝑆 = 𝑣 ∙ 𝑡
Na vida prática, em geral, os movimentos que conhecemos não são uniformes.
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Em intervalos de tempo iguais, os corpos podem ter deslocamentos diferentes. Isto
significa que a velocidade do corpo varia no decorrer do tempo.
O movimento rectilíneo no qual a velocidade varia com o tempo chama-se movimento
rectilíneo não uniforme ou variado.
Subtema A.6.1 – Velocidade Média
No MRNU utilizamos a chamada «velocidade média».
Se o corpo sofre um certo deslocamento, S, num intervalo de tempo, ∆𝑡, para calcular a
velocidade média, vm, dividimos S por ∆𝑡:
𝑣𝑚 =
𝑆
∆𝑡
(1)
A velocidade média dá-nos o deslocamento de um corpo, em média, por unidades de
tempo.
Se, por exemplo, um automóvel percorrer 600km durante 10h, isto significa que em
média percorreu 60km em cada hora.
𝑣𝑚 =
𝑆
600𝑘𝑚
=
= 60𝑘𝑚/ℎ
∆𝑡
10ℎ
Como em intervalos de tempo iguais, os corpos podem ter deslocamentos diferentes,
então:
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆𝑛
∆𝑡 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛
Substituindo essas duas equações em (1), temos:
𝑣𝑚 =
𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆𝑛
𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡𝑛
(2)
E como:
𝑆=𝑣∙𝑡
Então, substituindo S em (2), teremos:
𝑣𝑚 =
12
𝑣1 ∙ 𝑡1 + 𝑣2 ∙ 𝑡2 + ⋯ + 𝑣𝑛 ∙ 𝑡𝑛
𝑡1 + 𝑡2 + ⋯ + 𝑡𝑛
(3)
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Subtema A.6.2 – Rapidez Média
Frequentemente, usa-se a grandeza rapidez média, que não é um vector, mas sim uma
grandeza escalar determinada pelo comprimento da trajectória que o corpo percorre em
média por unidade de tempo:
𝑟𝑚 =
𝑆
∆𝑡
A unidade da rapidez média no SI é a mesma que da velocidade, ou seja, m/s.
Se a direcção e o sentido do movimento não variam, a rapidez média coincide com o
módulo do vector deslocamento.
No caso em que o corpo se move com uma trajectória não uniforme, estas grandezas
não coincidem.
Subtema A.6.3 – Velocidade Instantânea
A velocidade que o corpo possui num dado instante e num determinado ponto da
trajectória chama-se velocidade instantânea. E é igual ao quociente do deslocamento,
suficientemente pequeno sobre uma parte do segmento da trajectória tomado adjacente a
esse ponto, pelo intervalo de tempo adequadamente pequeno, no decurso do qual se realiza o
deslocamento.
A velocidade instantânea é uma grandeza vectorial, cujo sentido coincide com o
sentido do deslocamento realizado nesse instante.
Actividades:
1. Um automóvel desloca-se durante 6 horas. No decurso da primeira hora o movimento
foi rectilíneo e teve uma velocidade média de 80km/h e nas restantes 5h também foi
rectilíneo mas em direcção diferente, com velocidade média de 50km/h. calcula a
rapidez média do automóvel durante todo o tempo do movimento.
2. Que diferença existe entre velocidade média e rapidez média?
3. Um automóvel percorreu a distância de 50km em 2h. Calcula a velocidade média.
4. Um homem, movendo-se numa trajectória rectilínea, percorre durante 2h uma
distância de 12km, percorrendo depois 9km em 1h. Calcula a velocidade média.
5. Um automóvel passou pelo marco 30km de uma estrada ás 12 horas. A seguir, passou
pelo marco 150km da mesma estrada às 14 horas. Qual é a velocidade média desse
automóvel entre as passagens pelos dois marcos?
6. No verão, andorinhas migram do hemisfério norte para o hemisfério sul numa
velocidade média de 25km/h. Se elas voam 12 horas por dia, qual a distância
percorrida por elas num dia?
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Subtema A.6.4 – Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
MRUV é aquele que um corpo seguindo por uma trajectória rectilínea a sua velocidade
varia uniformemente (quer dizer, em um mesmo valor) em iguais intervalos de tempo.
Ex.:
1
15
30
45
60
75
v (m/s)
90
1
1
2
3
5
4
6
t (s)
Subtema A.6.4.1 – Aceleração
Aceleração é uma grandeza física (vectorial) constante que caracteriza a rapidez da
variação da velocidade dum corpo em movimento. E é igual ao quociente da variação da
velocidade do corpo pelo intervalo de tempo no decorrer do qual esta variação ocorre:
𝑎=
∆𝑣
∆𝑡
→𝑎=
𝑣−𝑣0
𝑡−𝑡 0
→
𝑎=
𝑣 − 𝑣0
𝑡
No SI a aceleração expressa-se em m/s2
Graficamente:
Ou
A aceleração permite-nos conhecer a velocidade do corpo para qualquer instante de
tempo.
- Se 𝒗 > 𝒗𝟎 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ∆𝒗 = 𝒗 − 𝒗𝟎 > 0.
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Neste caso diz-se que o corpo move-se com um movimento rectilíneo uniformemente
acelerado (MRUA). O sentido da aceleração será igual a da velocidade e a aceleração é igual a
uma constante positiva.
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕
v(m/s)
(1)
MRUA
a>0
1
1
t(s)
- Se 𝒗 < 𝒗𝟎 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ∆𝒗 = 𝒗 − 𝒗𝟎 < 0.
Neste caso diz-se que o corpo move-se com um movimento rectilíneo uniformemente
retardado. O sentido da aceleração é contrário a da velocidade e a aceleração é igual a uma
constante negativa.
𝒗 = 𝒗𝟎 − 𝒂 ∙ 𝒕
(2)
v(m/s)
1
MRUR
a<0
1
t(s)
A equação (1) e (2) servem para calcular a velocidade instantânea e chamam-se
equação horária da velocidade.
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Subtema A.6.4.2 - Gráfico v(t) no MRUV
v(m/s)
7
6
5
v=v0+at
v0=0
a=1,5
4
3
2
11
1
1
2
3
4
5
t(s)
v(m/s)
7
6
5
v=v0+at
v0=2
a=1,5
4
3
2
11
1
1
2
3
4
5
t(s)
Actividades:
1. Partindo de repouso e seguindo por uma trajectória rectilínea, um automóvel adquiriu
uma velocidade de 100m/s em 50s. Determinar a aceleração supostamente constante.
2. Um autocarro no troço do seu percurso move-se com uma aceleração constante de
1,5m/s2. Em que tempo alcançará a velocidade de 54km/h se a velocidade inicial é
igual a zero (0).
3. Um autocarro passa por um observador com uma velocidade de 10m/s. Neste instante
o motorista aplica os travões e o automóvel começa mover-se com aceleração de
3m/s2. Que tempo demora o automóvel até parar?
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Subtema A.6.4.3 – Deslocamento no MRUV
Para calcular o deslocamento no movimento com aceleração constante, utilizamos a
seguinte fórmula:
𝑣0 + 𝑣
𝑆=
×𝑡
2
Por vezes acontece ser necessário calcular o deslocamento de um corpo que se move
com aceleração constante, sem se saber o tempo das velocidades inicial e final do corpo. Para
tal utilizamos a Equação de Torricelli:
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑆
Subtema A.6.4.4 - Função Horária dos Espaços
A função horária dos espaços para o movimento uniformemente variado é
representado por uma equação do 2º grau, como indicamos a seguir:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
𝑎𝑡 2
2
Subtema A.6.4.5 – Velocidade Média no MRUV
No Movimento Uniformemente Variado é válido afirmarmos que a velocidade média
num dado intervalo de tempo é igual à média aritmética das velocidades instantâneas. Isto é, é
igual à semi-soma da velocidade inicial e da velocidade final.
𝑣𝑚 =
𝑣0 + 𝑣
2
Actividades:
1. Um avião ao levantar, rola sobre a pista durante 15s e no momento de descolar,
possui uma velocidade de 100m/s. Calcula:
a) A aceleração com que se moveu o avião.
b) O espaço percorrido pelo avião na pista.
2. Um foguetão move-se com uma aceleração de 45m/s2 e num determinado instante
alcança uma velocidade de 900m/s. que distância percorrerá nos 2,5s seguintes?
3. A que distância da Terra se encontrará uma nave cósmica depois de 30 minutos do
lançamento, supondo que durante todo o tempo se movimentou rectilineamente e
com aceleração constante, igual a 98m/s2?
4. O maquinista de um comboio, ao aproximar-se da estação, desligou o motor da
locomotiva. O movimento decorreu com uma aceleração constante a=0,1m/s2 em
sentido contrário ao do movimento.
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a) Que deslocamento realizou o comboio, se no momento de desligar o motor, a
velocidade era de 72km/h?
b) Quanto tempo demorou o comboio a parar?
5. Um autocarro com uma aceleração constante de 1,5m/s2, que distância terá
percorrido quando a velocidade for igual a 54km/h?
Subtema A.6.5 – Queda Livre
Quando um corpo é somente deixado cair ou lançado na vertical (eixo y) e, se se
considerar que a resistência do ar é desprezável, os corpos ficam sujeitos apenas à força
gravítica. Por este motivo, estes corpos são chamados graves e o seu movimento é designado
por queda livre, independentemente de o corpo estar a cair ou a subir.
Assim, desprezando a resistência do ar, os corpos que estejam a cair ou a subir, variam a sua
velocidade devido à força gravítica. A aceleração a que estes corpos estão sujeitos é a
aceleração da gravidade, a qual nas proximidades da superfície da Terra tem o valor de
g=9,8m/s2.
A queda livre é um movimento uniformemente variado de aceleração constante. Deste modo,
as expressões analíticas para x(t) e v(t) são as seguintes:
e
𝑔𝑡 2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 +
2
(1)
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
sendo x0 e v0, a posição inicial e a velocidade inicial no instante t=0s e g a aceleração
da gravidade.
Como neste tipo de movimento o deslocamento (S) é igual a altura (h), então de (1)
resulta:
𝑔 ∙ 𝑡2
ℎ=
2
e da Equação de Torricelli, teremos:
𝑣=
2𝑔ℎ
Neste tipo movimento (movimento uniformemente variado), o gráfico x(t) é uma
parábola e o gráfico v(t) é uma recta, como se mostra na figura seguinte:
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x(m)
x(m)
t(s)
1
1
t(s)
v(m/s)
v(m/s)
t(s)
t(s)
Actividades:
1. Um pára-quedista cai de um avião de uma altura de 1200m. se o seu movimento for
uniformemente variado, calcula:
a) O tempo que o pára-quedista demora a atingir o solo.
b) A velocidade a que o pára-quedista chega ao solo.
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