(Tóp. 1 - Texto Complementar) MOVIMENTO RETILÍNEO 1
MOVIMENTO RETILÍNEO
O limite da definição de m Po (dada no tópico 1 desta aula) também ocorre no
movimento retilíneo de uma partícula, isto é, uma partícula se deslocando ao longo de uma
reta. Considere um eixo coordenado na horizontal, convencione que a distância seja
negativa se a partícula está à esquerda da origem e positiva se a partícula está à direita da
origem. O eixo coordenado pode estar em qualquer outra posição, contudo é indispensável
convencionar o sentido de crescimento.
Seja f uma função que dá a distância orientada s da partícula no instante t, então
s é uma função de t definida por s = f ( t ). A equação s = f ( t ), chama-se uma equação
de movimento da partícula.
Se ∆s = f ( t + ∆t ) − f ( t ) é o espaço percorrido pela partícula do instante t ao
instante t + ∆t , então a velocidade média v m da partícula no intervalo de tempo ∆t é
definida por
v m = ∆s .
∆t
A velocidade média de uma partícula num período de tempo ∆t, não dá uma
informação precisa da velocidade que a partícula está desenvolvendo exatamente no tempo
t 0 ou em qualquer outro instante entre t 0 e t 0 + ∆t , mas apenas uma média das
velocidades nos instantes de t 0 a t 0 + ∆t. Assim é natural pensar que quanto menor for
∆t, melhor será a aproximação da velocidade da partícula em t 0 com a velocidade média
no intervalo de tempo ∆t. Isto sugere que se defina a velocidade da partícula em t 0 , como
a seguir.
Seja s = f ( t ) a equação de movimento de uma partícula que se desloca em
movimento retilíneo, então a velocidade que a partícula no tempo t 0 é chamada de
velocidade instantânea (ou simplesmente, velocidade) da partícula em t 0 e é definida por
f ( t 0 + ∆t ) − f ( t 0 )
,
∆t → 0
∆t
v I = lim
desde que este limite exista.
Exemplo Resolvido 2. Se s = t 2 − 2t + 2 é a distãncia percorrida por uma partícula no tempo
t, supondo que o deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de zero, mostrar
que a partícula no instante:
(a) t = 1 está em repouso;
(b) t = 0,5 se desloca para esquerda.
Solução. Nos instantes em que a partícula está em repouso, a velocidade instantânea é
2 (Aula 4) RETAS TANGENTE E NORMAL, TAXA DE VARIAÇÕES E DERIVADAS DE FUNÇÕES
zero. Assim entre esses instantes a velocidade é menor ou maior que zero e a partícula
estará se movendo para esquerda ou para direita. Para verificar tal fato, suponha que
f (t 0 + ∆t ) − f (t 0 )
< 0,
∆t
∆t → 0
v I = lim
então (pelo corolário 1b do teorema 5 do texto complementar indicado no final do
tópico 2 da aula 3),
f (t 0 + ∆t) − f (t 0 )
<0
∆t
para valores de ∆t em algum intervalo aberto contendo zero, exceto ∆t = 0 ; mas ∆t > 0,
logo f ( t 0 + ∆t ) − f ( t 0 ) < 0, ou seja, f ( t 0 + ∆t ) < f ( t 0 ). Portanto se v( t 0 ) < 0, em t 0
a partícula estará se movendo para esquerda. Analogamente, prova-se que se v( t 0 ) > 0,
em t 0 a partícula estará se movendo para direita.
(a) Seja s = f ( t ) = t 2 − 2 t + 2, calculando vI no tempo t = 1, tem-se
(1 + ∆t)2 − 2(1 + ∆t) + 2 − (12 − 2.1 + 2)
∆t →0
∆t
2
1 + 2(∆t) + (∆t) − 2 − 2( ∆t) + 2 − 1
= lim
∆t →0
∆t
2
(∆t)
= lim
∆t →0 ∆t
= lim (∆t) = 0.
v I = lim
∆t →0
Isto prova que a partícula está em repouso no tempo t = 1.
(b) Calculando vI no tempo t = 0,5 = 12 , obtém-se
2
− 2( 12 + ∆t) + 2 −  12 − 2 12 + 2 


v I = lim
∆t →0
∆t
1 + ( ∆t) + (∆t) 2 − 1 − 2( ∆t) + 2 − 5
4
= lim 4
∆t →0
∆t
−(∆t) + ( ∆t)2
= lim
∆t →0
∆t
= lim (−1 + ∆t) = −1.
( 12 + ∆t )
2
( )
∆t →0
Como v I < 0 em t = 0,5 , a partícula nesse instante se move para esquerda.
(Tóp. 1 - Texto Complementar) MOVIMENTO RETILÍNEO 3
Exemplo Proposto 2. Se s = t 3 − 12t + 1 é a distância percorrida por uma partícula no
tempo t ao longo de uma reta e o tempo começa a ser medido de zero, provar que a
partícula no instante:
(a) t = 2 está em repouso;
(b) t = 3 se desloca para direita.
Se uma partícula se desloca em movimento retilíneo, com velocidade instantânea
v ( t ) num tempo t qualquer, define-se:
(a) A aceleração média da partícula no intervalo de tempo ∆t, por
am = ∆ v ;
∆t
(b) A aceleração instantânea da partícula no tempo t, por
aI = lim
∆t → 0
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
desde que este limite exista.
Em 2.2.1 (exemplo resolvido 5 do tópico 3 da aula 4) será feito um exemplo
envolvendo aceleração de uma partícula em movimento retilíneo.
EXERCITANDO
Nos exercícios 1 e 2, a equação dada é de uma partícula que se desloca s
quilômetros em t horas, ao longo de uma reta horizontal. Determine se nos instantes
indicados a partícula: (a) Está em repouso; (b) Se move para esquerda; (c) Se move para
direita.
1. s = −2t 3 + 12t 2 − 10, t = 1, t = 2 e t = 3;
2. s =
t , t = 1 , t = 1 e t = 2.
2
t +1
2
3. Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir de um metro do solo, de acordo
com a equação de movimento s = −2t 2 + 8t + 1, onde s é em metros e t em segundos.
Supondo que o sentido positivo da distância é para cima, determine:
(a) A velocidade da bola após 3 segundos e se nesse instante a sua altura está
diminuindo ou aumentando;
(b) O tempo para a bola alcançar a altura máxima e essa altura.
4. Um objeto é projetado verticalmente para cima a partir da altura s0 e com velocidade
inicial v0 . Se o objeto alcança s metros em t segundos e está apenas sob a
aceleração da gravidade g (isto é, a aceleração em que a Terra atua no movimento de
um objeto), então s(t) = s0 + v0 t − 12 gt 2 . Mostre que a:
4 (Aula 4) RETAS TANGENTE E NORMAL, TAXA DE VARIAÇÕES E DERIVADAS DE FUNÇÕES
v2
(a) Maior altura alcançada pelo objeto é s0 + 2g0 e é atingida no tempo
v0
g
;
(b) Velocidade do objeto está decrescendo na subida e crescendo na descida.
(c) Velocidade do objeto na descida é menos a velocidade inicial na altura s0 .
RESPOSTAS (Exercícios Ímpares)
1. (c) em t = 1, (a) em t = 2 e (b) em t = 3;
3. (a) − 4 m / s e diminuindo, (b) 2s e 9 m;