b
10. Dois vetores ; e
possuem intensidades iguais de 12,7
unidades. Eles estao orientados segundo e mostrado na Fig.
2-30 e 0 vetor soma e ;. Determine
(a)
as componentes
...,
x
e
y de ;, (b) a intensidade de r, e (c) 0 angulo que r faz com
oeixox+.
EXERCfcIOS
2-1 Cinematica
com Vetores
2-2 Propriedades
dos Vetores
1. Considere dois deslocamentos, urn com 3 m de intensidade
e 0 outro com 4 m. Mostre como os vetores deslocamentos
podem ser combinados para dar urn deslocamento resultante de intensidade (a) 7 m, (b) 1 rn e (c) 5 ill.
2. Uma pessoacaminhacomo seguinte padrao: 3,1 km para norte, 2,4 kmpara oeste e, finalmente, 5,2 kmpara suI. (a) COIlstma urn diagrama vetorial que represente este movimento. (b)
Qual a distancia e qual a direr;ao que urn passaro ao voar em
linha reta percorrera para chegar ao rnesmo ponto final?
3. 0 vetor ; possui 5,2 unidades de intensidade e esta na di-
b
rer;ao leste. 0 vetor
possui uma intensidade de 4,3 unidades e sua direr;ao esta a 35° noroeste. A partir da construr;ao
de diagramas vetoriais, determine as intensidades e direr;6es
~
+
de (a) a
~
-?---7
b, e (b) a -
b.
...,
4.
(a) Quais sao as componentes de urn vetor a no plano xy se
sua direr;ao e de 252°, medida a partir do eixo positivo de x
no sentido anti-horario, e sua intensidade e de 7,34 unidades? (b) A componentex de urn certo vetor e de -25 unidades e sua cornponente y, +43 unidades. Qual e a intensidade deste vetor equal e 0 angulo entre sua direr;ao e 0 sentido positivo do eixo x?
5. Uma pessoa deseja alcanr;ar urn ponto que esta a 3,42 km
de sua localizacao atual e em uma direyao de 35,0° a
nordeste. Todavia, ela deve percorrer mas que estao tanto
na direr;ao norte-suI quanta 1este-oeste. Qual e a distancia
minima que esta pessoa pode percorrer para atingir seu destino?
6. Uma embarcar;ao parte para velejar para urn ponto que
esta 124 km ao norte. Uma ternpestade inesperada leva
o barco para urn ponto 72,6 krn ao norte e 31,4 km a leste
de seu ponto de partida. Qual a distancia, e em que direr;ao sedeve velejar agora para atingir 0 destino original?
7.
Vetores Posi<;ao, Velocidade
e Ace1era<;ao
_. 0 >1('
N::.JtJ/C ...-
Uma mulher caminha 250 rn na direr;ao 35° para noroeste, e
entao 170 m diretamente a 1este. (a) Com a utilizayao de
metodos graficos, encontre seu deslocamento final, avaliado desde 0 ponto de partida. (b) Compare a intensidade de
seu deslocamento com a distancia percorrida.
Urn carro e dirigido para 0 leste por uma distfmcia de 54 km
e, entao, para norte por mais 32 km e, fina1mente, para uma
direr;ao 28° a noroeste por 27 kID. Desenhe 0 diagrama de
vetores e determine 0 deslocamento total do caITO a partir
de seu ponto de partida.
o ponteiro dos minutos de urn relogio de parede possui 11,3
cm medidos des de 0 eixo ate a extremidade. Qual e 0 vetor
deslocamento ate a sua extremidade (a) desde 1/4 de hora ate
meia hara, (b) na proxima meia hora e (c) na proxima hora?
Uma particula passa par tres deslocarnentos sucessivos em urn
plano, como se segue: 4,13 ma sudoeste, 5,26 rn aleste e 5,94
m na direr;ao 64,0° a nordeste. Escolha 0 eixo x apontando
para 0 leste e 0 eL'\.oy apontando para 0 norte e determine (a)
as cornponentes de cada deslocamento, (b) as componentes
do deslocamento resultante, (c) a intensidade, e a direr;ao do
deslocamento result ante e (d) 0 des10carnento necessario para
levar a paItfcula de volta ao ponto de partida.
15. Urn radar detecta urn missil se apro.x:imandodesde a leste. No
primeiro contato, a distanciado missil e de 12.000pes a 40,0° sobre
o horizonte. 0 missil e seguido e, no contato final, ele esta a25 .800
pes a 123° no plano leste-oeste (vel' Fig. 2-31). Detennine 0 deslocamento do missil durante 0 periodo de contato do radar.
(a) Qual e a soma, usando a notar;ao dos vetores unitarios,
dos dois vetores ;
e a intensidade
=
5i + 3J e
...,
b =..., -3i
+ 2J? (b) Qual
e a direr;ao de a + b?
-7
A
-?
A
8. Dois vetores saG dados por a = 4i - 3j + k e b = -i
A"
-?
--')
---7
---7
+ j + 4k. Determine (a) a + b, (b) a -}
-t
---7
vetor c tal que a - b + c
-7
b e (c) urn
---7
A
=
O.
Fig. 2-31. Exercicio 15.
/'\---7
"
A
9. Dados dois vetores, a = 4,Oi - 3, OJ e b = 6,Oi + 8, OJ,
determine as intensidades e as direr;6es (avaliadas a partir
.
---7
---7
-7
---7
do sentido positivo do eixo x) de (a) a, (b) b, (c) a + b,
---7
(d) b -
-?
-?
a, (e) a-b.
---?
16.' Urn aviao voa 410 mi para leste, desde a cidade A ate a cidade E, em 45 min e entao voa mais 820 mi para suI, des de
a cidade B ate a cidade C, em 1 h 30 min. (a) Qual e a intensidade e a direyao do vetor deslocamento que representa a
viagern total? Qual e (bro vetor velocidade media e (c) a
media da intensidade da velocidade durante a viagem?
17. A posic;:aode urna particula que se movimenta no plano xy e
dada por ;
S4)
f]
j.
=
[(2 rnls3)
(3 -
(5 mls) (]
i + [(6 m)
Calcule (a) ;, (b) ~, e (c) ; quando (
- (7 rnI
= 2 s.
18. Em 3 h 24 min urn balao flutua 8,7 km para norte, 9,7 km
para leste, e eleva-se 2,9 km em relac;:aoa seu ponto de partida no solo. Determine (a) a intensidade de sua velocidade media e (b) 0 angulo que sua velocidade faz com a
horizontal.
19. A velocidade de uma particula que se move no plano xy e
dada par ~ = [(6,0 mls2) ( - (4,0 mls3) rZ] i + (8,0 mls) j.
Assuma que ( > O. (a) Qual e a acelerac;:aoquando ( = 3 s?
(b) Quando (se acontecer) a acelerac;:ao e nula? (c) Quando
(se acontecer) a velocidade e nula? (d) Quando (se aconteeel') a intensidade da velocidade e de 10 mls?
26. Maurice Greene coneu os 100 rn rasos em 9,81 s (0 vento
estava a seu favor), e Khalid Khannouchi correu a maratona (26 mi, 385 yd) em 2:05:42. (a) Qual e a media da intensidade da velocidade deles? (b) Se Maurice Greene conseguisse manter 0 seu ritmo durante a rnaratona, em quanta
tempo ele chegaria ao fim?
27. A velocidade maxima permitida em u~a estrada e modificada de 55 mi/h (= 88,5 krn/h) para 65 mi/h (104,6
km/h). Quanto tempo e economizado
em uma viagem
desde a entrada de Buffalo ate a cidade de Nova York,
saida do Estado de Nova York, pOl' alguem que viaja no
limite da velocidade permitida por todo a percurso de 435
mi (= 700 km) da estrada?
28. Urn aviao de alto desempenho, que esta praticando uma manobra para nao ser detectado por radares, esta em urn vao horizonta135 m acima do nivel do solo. De repente a aviao encontra urn teneno que esta suavemente inclinado em 4,3 sendo
dificil de detectar; veja a Fig. 2- 33. Quanto tempo 0 piloto possui para fazer uma correc;:aono vao de forma a evitar que 0 aviao
colida com 0 solo? A velocidade e de 1300 kmIh.
0
,
2-4 Cinernatica Unidimensional
21. Urn aviao faz urn vao "circular" entre Los Angeles e
Namulevu, Vanuavinaka. 0 aviao decola as 12 h 50 min
no horario de Los Angeles e pousa as 18 h 50 min, horario
de Namulevu. Na viagem de retorno, ele decola a 1 h 50
min, horario de Namulevu, e pousa as 18 h 50 min, horario
de Los Angeles. Se for estabelecido que 0 horario do aviao
eo mesmo nos dois trechos da viagem, e que 0 aviao viaja
em linha reta com uma media de intensidade de velocidade de 520 rni/h: (a) Quanto tempo dura 0 vao (urn trecho,
conforme medido pelos passageiros)? (b) Qual a diferenca de horario entre Namulevu e Los Angeles? (c) Aproxi~adamente em que local Namulevu esta localizado no glo-
~---f---0
4,3
35 m
bo terrestre?
23. Qual a distancia percorrida pelo seu carro, movendo-se
a 70 mi/h (= 112 km/h), durante 0 intervalo de 1 s em
que voce observa urn acidente ocorrido na beira da estrada?
24. 0 arremessador do New York Yankees Roger Clemens lanc;:auma bola rapida com uma velocidade horizontal de 160
kmIh, como verificado par urn radar. Qual 0 tempo necessario para que essa bola alcance uma placa que esta a 18,4
m de distancia?
25. A Fig. 2-32 mostra a relac;:ao entre a idade do sedimento
mais antigo, em milh6es de anos, e a distancia, em quil6metros, de uma deterrninada montanha submarina. 0 material do fundo do mar e extrudado desta montanha e movimenta-se para longe a uma velocidade aproximadamente constante. Determine a intensidade da velocidade, em
centimetros pOl' ano, com que este material se afasta da
montanha.
29. Urn CaITOsobe uma rnontanha com uma velocidade constante de 40 kmIh e retoma para baixo com uma velocidade
de 60 krnIh. Calcu1e a media da intensidade da velocidade
para toda a viagem.
30. A valie sua media da intensidade de velocidade nos dois casas
seguintes. (a) Voce carninha 240 pes com uma velocidade
de 4,0 pests e entao cone 240 pes com uma velocidade de
10 pes/s par uma estrada reta. (b) Voce carninha par 1 min
com uma velocidade de 4,0 pes/s e enta~ cone por 1,0 min
com uma velocidade de 10 pests por uma estrada reta.
31. Qual a distancia perconida por urn corredor, cujo grafico.
velocidade-tempo aparece na Fig. 2-34, durante a intervalode16s?
35. 0 grafico x versus t da Fig. 2-36a e de uma partfcula com
movimento em linha reta. (a) Estabelec;:a, para cada interva10, quando a velocidade Vx e +, -, ou 0, e quando a acelerac;:aoax e +, -, ou O. Os intervalos sac OA, AB, BC, e CD.
(b) A partir da curva, avalie se existe urn intervalo no qual a.
acelera~ao e, obviamente, variavel? (Ignore 0 comportamento nas extremidades dos intervalos.)
36. Responda as quest6es anteriores para urn movimento descrito pelo grafico da Fig. 2-36b.
43. Urn muon (uma partfcula elementar) e lan~ado com uma
velocidade inicial de 5,20 X 106 m1s em uma regiao onde
urn campo eletrico produz uma acelerac;:ao de 1,30 X 1014
m/s2 em sentido oposto a velocidade inicial. Qual a distancia percorrida pelo muon antes de atingir 0 repouso?
44. Urn eletron com velocidade inicial Va = 1,5 X 105 m1s entra
em uma regiao de 1,2 em de comprimento onde e eletricamente acelerado (veja Fig. 2-38). Ele sai dessa regiao com.
uma velocidade v = 5,8 X 106 mls. Qual e a sua acelera~ao,
assumida constante? (Este processo ocone em urn feixe de
eletrons de urn tuba de raio cat6dico, utilizado em aparelhos
de televisao e monitores de computadores.)
Regiao sem
acelerac;:ao
I
~
Regiao com
acelerac;:ao
II:
I
I
~1'2,m1-4
------~---.----~
Trajet6ria
dos eletrons
l~
Fonte de alta
voltagem
39. A posi~ao de uma particula ao longo do eixo x depende do
tempo de acordo com a equa~ao x = At2 - Bt3, onde x esta
em metros e t em segundos. (a) Em quais unidades 51 devem estar A e B? A partir de agora, admita que os valores
numericos,em unidades SI, sac 3,0 e 1,0, respectivamente.
(b) Em quanta tempo a particula alcan~a sua maxima posi~ao x positiva? (c) Qual 0 comprimento total da trajet6ria
percorrida pela partfcula nos primeiros 4 segundos? (d) Qual
eo seu deslocamento durante os primeiros 4 segundos. (e)
Qual e a velocidade da partfcula ao final de cada urn dos 4
primeiros segundos? (j) Qual e a acelerac;:ao da partfcula ao
final de cada urn dos 4 primeiros segundos? (g) Qual e a
velocidade media para 0 intervale de tempo compreendido
entre t =2 e t = 4 s?
2-5 Movimento
com Acelerai;ao
Constante
40. Umjumbo necessita atingir uma velocidade de 360 km/h (=
224 mi/h) para decolar. De acordo com uma acelerac;:aoconstante e uma pista de 1,8 Ian (= 1,1 mi) de comprimento, qual
a acelerac;:ao minima necessaria partindo do repouso?
41. Urn foguete no espac;:omovimenta-se com acelerac;:ao constante de 9,8 m1s2• (a) 5e de parte desde 0 repouso, quanta
tempo e necessario para que atinja uma velocidade de 1/10
da velocidade da luz? (b) Qual a distancia percorrida desta
forma? (A velocidade da luz e 3,0 X 108 m1s.)
42. A cabec;:a de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 ao atacar
uma vftima. Se urn cano pudesse fazer 0 mesmo, quanto
tempo ele levaria par,,! atingir a ve10cidade de 100 km/h,
partindo do repouso?
45. A maior velocidade ja registrada em Tena foi alcan~ada
pelo Coronel John P. Stapp quando, em 19 de mar~o de
1954, foi tripulante de urn acento jato-propulsado, sobre
trilhos, que se movia para baixo a 1020 km/h. Ele e 0 foguete sac freiados em 1,4 s (ver Fig. 2-28). Qual a acelera~ao experimentada por ele? Expresse sua resposta em
termos de g (= 9,8 m/s2), a acelerac;:ao devida a gravida' .. de. (Observe que seu corpo age como urn acelerometro e
nao como urn velocfmetro.)
46. Os freios de seu cano sac capazes de criar uma desacelera<;ao de 17 pes/s2, Se voce esta andando a 85 mi/h e, de
repente, ve a policia, qual 0 tempo mfnimo necessario para
levar 0 seu carro para baixo do limite de velocidade de
55 mi/h?
48. Uma flecha e atirada para cima, no ar, e retorna direto ao
solo a 260 pests, penetrando 9,0 polegadas no solo. Determine (a) a acelera<;ao (assumida constante) necessaria para
parar a flecha, e (b) 0 tempo necessario para que 0 solo leve
a flecha ao repouso.
50. Urn cano que viaja a 35 mi/h (= 56 km/h) esta a 110 pes (=
34 m) de uma baneira quando 0 motorista pisa no freio.
Quatro segundos depois, 0 carro bate na baneira. (a) Qual
era a desacelera<;ao con stante do cano antes do impacto? (b)
Qual a velocidade do cano antes do impacto?
2-6 Corpos em Queda Livre
51. Pingos de chuva eaem de uma nuvem ate 0 solo a 1700 m
acima da superffeie da Terra. Se a rapidez deles nao for reduzida pela resistencia do ar, quae Tlipido os pingos movimentam-se quando tocam 0 solo? Seria seguro caminhar ao
ar livre durante uma tempestade?
52. 0 dnieo cabo que sustenta urn elevador de uma construyao
desoeupada quebra quando 0 elevador esta em repouso no
alto de urn predio de 120 m de altura. (a) Qual a velocidade
com que 0 elevador toea 0 solo? (b) Por quanta tempo ele
cai? (c) Qual a veloeidade do elevador quando ele passa no
pontona metade do carninho de queda? (tl) Por quanta tempo 0 elevador estava caindo quando passou no ponto na
metade do carninho?
53. Em uma construyao, uma ehave inglesa eai no solo eomuma
velocidade de 24,0 mls. (a) De qual altura a chave foi inadvertidamente largada? (b) Por quanto tempo ela esteve eaindo?
54.
(a) Com que velocidade uma bola deve ser jogada verticalmente para cima para atingir uma altura maxima de 53,7 m?
(b) Por quanto tempo a bola estara no ar?
55. Uma roeha e lanyada de urn penhasco de 100 m de altura.
Quanto tempo ela leva eaindo (a) os primeiros 50,0 m e (b)
os Ultimos 50,0 m?
57. Uma bola lanyada para eima leva 2,25 s para atingir uma
altura de 36,8 m. (a) Qual e a intensidade da velocidade inicial? (b) Qual e a intensidade da veloeidade nessa altura?
(c) Qual e a altura que a bola atinge?
59. Dois objetos iniciam uma queda livre desde 0 repouso, de uma
mesma altura, e defasados' de 1,00 s. Quanta tempo ap6s 0 Ian"
yamento cioprimeiro objeto os dois objetos estarao separados
. de 1O,Om?
60. Urn balao esta subindo a 12,4 mls a uma altura de 81,3 m acima do myel do solo, quando urn pacote e lanyado. (a) Com que
veloeidade 0 pacote toea 0 solo? (b) Quanto tempo leva para
que ele atinja 0 solo?
61. Urn cachorro ve urn vaso de plantas passar subindo e a seguir descendo por uma janela com 1,1 m de altura. Se 0 tempo total em que 0 vaso e visto e de 0,54 s, determine a que
altura acima dajanela 0 vaso subiu.