- 1 -
EC1 - LAB - CIRCÚITOS INTEGRADORES E DIFERENCIADORES
Pr o f : M A S S I M O A R G EN TO
C ON SI D ER A Ç ÕE S TE Ó R I CA S I NI CI AI S: Im a gi ne mos u m c i rc ui t o c o mp os to po r
uma
sé rie R - C , al i me nt a do po r u ma t e n s ã o d o t i p o :
A . H( t ), e a i n d a
conside remos que no insta nte 0 - o c a p a c i t o r p o s s u í a u ma tensão resid ual i nicial
V 0 . Mos tra mos a baixo o circ uito , b e m como o seu e qui valen te e m do mínio “S”;
Va m o s d e t e r m i n a r a t e n s ã o s o b re o r e s i s t o r e s o b re o c a p ac i t o r. Te m o s
+
-
A.H(t)
+ ++
Vo
-- - --
C
O equacionamento fornece: I(S) =
Como : V R (S) = R.I(S) ⇒
= RC ⋅
V C (S) =
V R (S)
=
V R (S)
A − VO
S + 1 / RC
A − VO
A
−
;
S
S + 1 / RC
+
A
S
iv C (t)
VO
A
−
S
S
1
R +
SC
ainda:
1
SC
IV R
Iv R (t)
; como
I(S)
-
Vo
S
+ IV C
-
A − VO
=
A − VO
S
;
= C ⋅
SRC + 1
SRC + 1
SC
A − VO
SRC + 1
V C (S)
=
=
A − VO
RC
⋅
RC
S + 1 / RC
A
− VR ( S )
S
;
ou
teremos :
Antitransformando V R (S) e V C (S) e denominando o
produto RC = τ , iremos ter :
V R (t) = ( A
- V 0 )e - t /
τ
;
v C (t) =
A - ( A - Vo ) e - t /
τ
Que são as Equações Gerais da carga ou descarga de um circuito R-C , onde
τ é denominado de constante de tempo do circuito, e representa em termos
físicos o tempo necessário à carga , ou à descarga do capacitor.
- 2 ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS:
a) Fazendo a constante de tempo : τ pequena :
Se fizermos τ suficientemente pequeno, significará que o capacitor levará pouco
tempo para se carregar, e para se descarregar totalmente. Vamos então em
primeira análise supor que V 0 = 0 ; teremos:
V R (t) =
A .e - t /
τ
;
v C (t) =
Em t = 0 teremos : V R (t) =
τ concluiremos que: V R (t) ≅
A
0
A
-
A.e - t /
e v C (t) =
e
τ
;
0
v C (t) =
( Com: v C (t) + v R (t) = A )
;
Após um certo tempo t >>
A . Em termos de diagrama
no tempo poderemos visualizar:
iv g (t)
A
It 0
Iv C (t)
A
It 0
Iv R (t)
A
It 0
Se ainda, num determinado instante t 0 ,
onde percebemos que v R (t)
=
0, e que
v C (t) = A , fizermos: A = 0 , perceberemos que o capacitor irá se descarregar
a partir de uma tensão inicial : V 0
=
A
;
em termos de equações
(supondo como ponto de partida agora o momento t 0 ):
V R (t) = 0 - A .e - t /
τ
;
v C (t) =
0 - ( 0 - A ) e-t/
τ
; ou ainda :
teremos
- 3 V R (t) = - A .e - t /
τ
;
v C (t) =
A e-t/
τ
;
( Com: v C (t) + v R (t) = 0 )
Em termos de diagrama no tempo poderemos visualizar:
iv g (t)
A
It 0
Iv C (t)
A
It 0
Iv R (t)
A
It 0
-A
Se alimentarmos então o circuito, com uma onda quadrada de período
suficientemente grande, e tomarmos a tensão sobre o resistor, facilmente
perceberemos que a forma de onda da tensão sobre o mesmo nos lembra a
derivação das função H(t ) , - H(t - T/2) , + H( t - T) , etc. (lembre-se que a
derivada de H(t) é δ(t)) . Em resumo:
CIRCUITO DIFERENCIADOR:
•
A tensão deverá ser tomada sobre o resistor:
+
If(t)
-
C
Iv R (t)
=
If(t)
id
idt
Idf(t)
idt
- 4 •
A constante de tempo RC
= τ
deverá ser muito menor do que o período
T
) ; visualizando
da função a ser diferenciada ( na prática fazemos τ ≤
10
a diferenciação no caso de termos uma onda quadrada como sendo a
tensão de entrada:
iv g (t)
A
T
2
T
3T
2
2T
It
Iv C (t)
A
It
Iv R (t) = v g (t) Dife renciada
A
It
-A
Para medirmos a constante de tempo, bastará ampliar um ciclo da tensão sobre o
resistor durante uma “descida” ou uma “subida” por exemplo. Lembrando que a
τ
± A .e - t / , se fizermos t = τ
tensão sobre o resistor é dada por : V R (t) =
teremos V R (t) = ± A .e - 1 ⇒ V R (t) = ± A . 0,368 ; ou seja: a constante de
tempo é o tempo necessário para que a tensão sobre o resistor se torne
aproximadamente 37% da amplitude Máxima; Visualizando:
Iv R (t)
A
iτ
iτ
-A
It
- 5 b) Fazendo a constante de tempo : τ Grande :
Se fizermos τ suficientemente Grande, significará que o capacitor leva muito
tempo para se carregar, e para se descarregar totalmente . Supondo que a tensão
de entrada continue sendo uma onda quadrada poderemos raciocinar em termos
de que a carga e a descarga total não são atingidas (não há tempo suficiente
para tal) . Nestas condições facilmente percebemos que ao tensão no capacitor
irá se situar entre um valor Máximo e um valor Mínimo após alguns ciclos:
iv g (t)
A
T
2
T
3T
2
2T
It
Iv C (t)
Vmáx
Vmín
It
Em termos de equacionamento, após alguns ciclos, ou ainda após o regime ter
sido atingido concluiremos que:
a) Na carga: Sai do valor Vmín e “quer ir” para o valor de “A” ;
b) Na descarga: Sai do valor Vmáx, e “quer ir para o valor de 0 ; portanto:
Carga: v C (t) =
A - ( A - Vmin ) e - t /
Descarga: v C (t) = Vmáx e - t /
τ
Mas : Na carga : Quando: t = T/2 ⇒
Na descarga: Quando: t = T/2 ⇒
Vmáx
Vmáx
=
=
τ
v C (t) = Vmín ; portanto:
A - ( A - Vmin ) e - T / 2
A - ( A - Vmáx e - T / 2
τ
v C (t) = Vmáx ; e ainda :
τ
e ainda :
) e-T/2
τ
Vmín
= Vmáx e - T / 2
⇒ Vmáx - Vmáx e - T /
τ
τ
; logo:
τ
= A - Ae - T / 2 ;
- 6 -
τ
τ
Vmáx(1 - e - T / ) = A ( 1 - Ae - T / 2 )
⇒
Vmáx =
1 − e
A
−
T
2τ
−
T
τ
1 − e
fatorando-se o denominador: Vmáx =
1
A
1 + e
determinar Vmín tem-se:
Vmín =
e
A
−
pico a pico sobre o capacitor será dada por:
VC(PP)
=
A
1 + e
−
-
T
2τ
e
A
−
1 + e
;
T
2τ
VC(PP)
T
2τ
−
−
;
T
2τ
T
2τ
1 + e
1
−
⇒
T
2τ
ou ainda,
substituindo-se
para
logo a tensão de
=
VC(PP)
Vmáx
=
A
-
Vmín
1 − e
1 + e
−
T
2τ
−
T
2τ
;
Note que quanto maior for τ melhor será o efeito de integração, porém menor
será a tensão de pico sobre o capacitor;
Escrevendo-se “A” como sendo o valor pico a pico da tensão de entrada , em
onda quadrada ; ou seja: A = V E P P iremos ter:
VC(PP)
=
VEPP
1 − e
1 +
−
T
2τ
τ
e-T/2 ( VE(PP) + VC(PP)) =
−
T
2τ
= Ln
⇒
T
−
e 2τ
τ
VE(PP) -
V E ( PP ) − V C ( PP )
V E ( PP ) + V C ( PP )
τ
⇒
T
2τ
VC(PP)
= Ln
⇒
e-T/2
τ
V E ( P P ) (1 - e - T / 2 ) ⇒
=
V E ( PP ) + V C ( PP )
V E ( PP ) − V C ( PP )
T
=
2 ⋅ Ln
V E ( PP ) + V C ( PP )
V E ( PP ) − V C ( PP )
Em resumo:
CIRCUITO INTEGRADOR:
•
τ
V C ( P P ) (1 + e - T / 2 ) =
A tensão deverá ser tomada sobre o Capacitor:
V E ( PP ) − V C ( PP )
V E ( PP ) + V C ( PP )
⇒
; e finalmente :
- 7 -
+
If(t)
•
Iv C (t)
C
-
=
If(t) d t
If(t)
A constante de tempo RC = τ deverá ser muito maior do que o período
da função a ser integrada ( na prática fazemos τ ≥ 10T ) ; visualizando a
integração no caso de termos uma onda quadrada como sendo a tensão de
entrada:
iv g (t)
A
V E(PP)
T
2
T
3T
2
2T
It
Iv C (t) = v g (t) In tegrad a
Vmáx
Vmín
V C(PP)
It
•
Para medirmos a constante de tempo, bastará medirmos a tensão de pico a
pico de entrada, e a tensão pico a pico
sobre o capacitor; como já
anteriormente visto, determinamos a constante de tempo pela fórmula:
τ
T
=
2 ⋅ Ln
V E ( PP ) + V C ( PP )
V E ( PP ) − V C ( PP )
- 8 c) ESTUDO DE ATENUADOR COMPENSADO:
Consideremos o circuito abaixo, onde queremos determinar a relação
de saída Vs em função da tensão de entrada Ve :
Vs
Ve
Temos: Vs
=
a tensão
Ve .
R1 ⋅
Z2
;
Z1 + Z 2
Z2
analogamente teremos:
sendo :
Z1
=
R1
=
R2
SR 2 C 2 + 1
;
1
SC 1
1
+
SC 1
=
R1
SR 1 C 1 + 1
;
portanto iremos ter:
R2
SR 2 C 2 + 1
Vs = Ve ⋅
R1
SR 1 C 1 + 1
+
R2
; se fizermos na expressão : R 1 C 1 = R 2 C 2
SR 2 C 2 + 1
notaremos que o efeito capacitivo será anulado, ou seja: Vs = Ve ⋅
R2
R1 + R 2
e
a expressão se torna um divisor resistivo ; nestes condições a tensão de saída
será diretamente proporcional à tensão de entrada sem nenhuma distorção;
visualizando o circuito teremos:
Ve
Vs = Ve
Note que C 1 com R 2 forma um diferenciador, ao passo que R 1 com C 2 forma um
integrador ; tal montagem é utilizada na prática na ponta de prova do
osciloscópio, quando não se quer distorção no sinal de entrada.
- 9 PARTE EXPERIMENTAL:
a) CIRCUITO DIFERENCIADOR: Monte o circuito abaixo:
Gerador
de Onda
Quadrada
Entrada
Vertical
10KpF
10KΩ
METODOLOGIA: Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na
tela do osciloscópio uma forma de onda correspondente à diferenciação da onda
quadrada – OBS: Note que quanto mais baixa a freqüência, ou quanto maior o
período da onda quadrada melhor será o efeito de diferenciação.
Ajustar então a varredura e o ganho do osciloscópio de modo a se obter na tela
do mesmo, uma boa forma de se fazer a leitura da constante de tempo. Faça a
medida conforme visto anteriormente:
Iv R (t)
A
iτ
iτ
It
-A
Comparar o valor teórico de τ , com o valor medido.
b) CIRCUITO INTEGRADOR: Monte o circuito abaixo:
Entrada
Vertical “X”
10KΩ
Gerador
de Onda
Quadrada
10KpF
Entrada
Vertical “Y”
- 10 METODOLOGIA: Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na
tela do osciloscópio uma forma de onda correspondente à integração da onda
quadrada – OBS: Note que quanto mais alta a freqüência, ou quanto menor o
período da onda quadrada melhor será o efeito de integração.
Ajustar então a varredura e o ganho do osciloscópio de modo a se obter na tela
do mesmo, uma boa forma de se fazer a leitura da constante de tempo. Faça a
medida conforme visto anteriormente; ou seja : Meça a tensão de pico a pico
sobre o capacitor, a tensão pico a pico da onda quadrada, e ainda meça o seu
período :
iv g (t)
A
V E(PP)
It
T
Iv C (t)
Vmáx
V C(PP)
Vmín
It
Determine τ pela da formula anteriormente vista: τ
T
=
2 ⋅ Ln
V E ( PP ) + V C ( PP )
V E ( PP ) − V C ( PP )
Comparar o valor teórico de τ , com o valor medido.
c) ATENUADOR COMPENSADO: Monte o circuito abaixo:
DÉCADA
CAPACITIVA
Entrada
Vertical
Gerador
de Onda
Quadrada
PLAQUETA
- 11 METODOLOGIA: Monte o circuito acima com valores adequados de R 1 , R 2 e C 2 e
um certo valor de C ajustado na Década Capacitiva;(Discuta com o professor).
Variar a freqüência do gerador de onda quadrada, até obter na tela do
osciloscópio uma forma de onda não quadrada, mas sim distorcida.
Vá alterando então a capacitância da Década capacitiva, até se verificar o efeito
de compensação; ou seja : que sem a alteração da freqüência, mas sim pela
alteração da capacitância, a forma de onda vista no osciloscópio torne a ser
quadrada novamente. Quando isto ocorrer, verifique se realmente: R 1 C 1 = R 2 C 2
RELATÓRIO:
Apresente detalhadamente e conceitualmente, todos os passos e medidas de
cada item da experiência, bem como os comentários sobre os valores obtidos
experimentalmente.Comente eventuais discrepâncias