- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Referências Bibliográficas:
1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books,
1995.
2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning
3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e
Científicos, 2000.
Observações:
1- O presente texto é baseado nas referências citadas.
2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.
Capítulo1
Tensão Normal
Pontos importantes
Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas que atuam em
um corpo e a intensidade das cargas internas no interior desse corpo
As forças externas podem ser aplicadas a um corpo como cargas de superfícies
distribuídas ou concentradas ou como forças de corpo que atuam em todo o volume
do corpo.
Cargas lineares distribuídas produzem uma força resultante com grandeza igual à
área sob o diagrama de carga e com localização que passa pelo centróide dessa área.
Um apoio produz uma força em uma direção particular sobre seu elemento acoplado,
se ele impedir a translação do elemento naquela direção, e produz momento binário
no elemento se impedir a rotação.
As equações de equilíbrio
∑F =0 e ∑M =0
devem ser satisfeitas a fim de impedir
que o corpo se translade com movimento acelerado e que tenha rotação.
Quando se aplicam as equações de equilíbrio, é importante primeiro desenhar o
diagrama de corpo livre do corpo a fim de considerar todos os termos das equações.
O método das seções é usado para determinar as cargas internas resultantes que atuam
sobre a superfície do corpo secionado. Em geral, essas resultantes consistem em uma
força normal, uma força de cisalhamento, um momento de torção e um momento
fletor.
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PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
O método das seções é usado para determinar a resultante das cargas internas em um
ponto localizado na seção de um corpo. A aplicação do método das seções requer os
seguintes passos para obter tais resultantes.
Reações de Apoios
Decidir primeiro qual segmento do corpo será considerado. Se esse segmento tiver um
apoio ou elemento de ligação com outro corpo (tipo rótulo), então antes de secionar o
corpo será necessário determinar as reações que atuam sobre o segmento escolhido.
Diagrama de corpo livre
Manter todas as cargas externas distribuídas, momentos binários, torques e forças que
atuam sobre o corpo em suas localizações exatas; traçar então uma seção imaginária
através do corpo no ponto em que a resultante das cargas internas será determinada.
Se o corpo representa o elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a seção é,
em geral, perpendicular ao eixo longitudinal do elemento.
Desenhar o diagrama de corpo livre de um dos segmentos “cortados”, indicando as
resultantes desconhecidas
N, V, M e T na seção. Essas resultantes normalmente
são colocadas no ponto que representa o centro geométrico ou centróide da área
secionada.
Se o elemento está submetido apenas a um sistema de forças coplanares, somente N,
V e M atuam sobre o centróide.
Definir os eixos de coordenadas x, y, z com origem no centróide e mostrar os
componentes da resultante que atuam ao longo dos eixos.
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Equações de equilíbrio
Os momentos em torno de cada eixo de coordenadas, na seção em que as resultantes
atuam devem ser somados, assim é possível eliminar as forças desconhecidas N e V,
permitindo uma solução direta de M e T.
Se a solução das equações de equilíbrio resulta em um valor negativo para uma
resultante, o sentido de direção da resultante adotado no diagrama de corpo livre é
oposto ao sentido mostrado no caso real.
Exercícios propostos (revisão) – Exercícios do Hibbeler páginas 8 e 9.
1) O guindaste da Figura 1 consiste na viga AB, das roldanas acopladas, do cabo
e do motor. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção
transversal em C se o motor levanta a carga W de 500 lb com velocidade
constante. Desprezar o peso das roldanas e da viga.
Figura 1.
Resposta: Nc=-500 lb, Vc=-500 lb, Mc=-2000 lb.pés
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2) Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal em
G da viga de madeira mostrada na Figura 2. Supor que as articulações A, B, C,
D e E sejam acopladas por pinos.
Figura 2.
Resposta: NG=-6200 lb, VG=3150 lb, MG=6300 lb.pés
Convenção de sinais
→ +
↑ +
+
Nota: As figuras utilizadas neste texto são do livro, são do livro de Resistência dos
Materiais de R. C. Hibbeler e Mecânica dos Materiais de James M. Gere.
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Tensão
Figura 3.
Resistência dos Materiais: Determinar a distribuição das cargas internas.
Figura 3.a – Seção da área subdividida em áreas pequenas, tal como ΔA .
Hipóteses em relação às propriedades do material
1- Contínuo → distribuição uniforme de matéria, sem vazios.
2- Coeso → Suas partes bem unidas, sem trincas, falhas e etc.
Definição: A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico
(área) que passa por determinado ponto.
Tensão Normal: É a intensidade da força que atua no sentido perpendicular a ΔA por
unidade de área (σ).
ΔF z
dF
⇒σz = z
ΔA→0 ΔA
dA
σ z = lim
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(1)
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Tipos:
1- Tensão de tração
2- Tensão de compressão
Tensão de Cisalhamento: É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que
atua tangente a ΔA (τ).
Componentes:
ΔFx
dF
⇒ τ zx = x
ΔA
dA
ΔF y
dF y
= lim
⇒ τ zy =
ΔA→0 ΔA
dA
τ zx = lim
ΔA→0
τ zy
(2)
Figura 4.
Significado dos índices:
1- z em σz – Indica a direção que se afasta da reta normal, que específica a
orientação da área ΔA.
2- τ zx e τ zy - z indica a orientação da área. x e y indicam às retas de direção das
tensões de cisalhamento
Unidades: No Sistema Internacional de Normas ou SI: Pa = N
Mpa = N
mm 2
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= MN
m2
m2
ou psi = pounds square inch = libras polegada quadrada
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Estado Geral de Tensão
Figura 5.
Suposições:
1- Corpo seccionado por planos paralelos ao plano x-z e ao plano y-z →Corta-se
um elemento cúbico do volume do material.
2- Esse elemento cúbico representa o estado de tensão que atua em torno do
ponto escolhido do corpo
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Distribuição média de Tensão que atua na Seção Transversal de uma Barra
prismática com carga axial
Figura 6.
Barra prismática: Membro estrutural reto, tendo a mesma seção transversal ao
longo de seu comprimento.
Carga axial: carga direcionada ao longo do eixo do membro.
Seção Transversal: É a seção tomada perpendicularmente ao eixo longitudinal da
barra.
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Hipóteses:
1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seção
transversal deve permanecer plana durante a deformação.
Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se
uniformemente quando a barra está submetida a carga.
Obs. 2: Desconsiderar as regiões da barra próximas a sua extremidade, pois as
cargas externas podem provocar distorções localizadas.
2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal.
Material deve ser homogêneo e isotrópico.
Material homogêneo: Mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o
seu volume.
Material Isotrópico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direções
Distribuição da Tensão Normal Média
Figura 6.d
+ ↑ FRz =
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∑F ;
z
∫ dF = ∫ σdA ⇒ P = σA ⇒ σ = A
P
(3)
A
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σ - Tensão normal média em qualquer ponto da área da seção transversal
P – Resultante da força normal interna, aplicada no centróide da área da seção
transversal. P é determinada pelo método das seções e pelas equações de
equilíbrio.
A- Área da seção transversal da barra
Importante!!!! A carga P deve passar pelo centróide
(M R )x = ∑ M z ;
0=
∫ ydF = ∫ yσdA = σ ∫ ydA
A
A
A
(4)
(M R ) y = ∑ M y ;
∫
∫
∫
0 = − xdF = − xσdA = −σ xdA
A
A
A
Equilíbrio:
Figura 7.
∑F
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z
= 0;
σ (ΔA) − σ ' (ΔA) = 0 ⇒ σ = σ '
(5)
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Exemplo:
Figura 8 - Membros estruturais submetidos a carregamentos axiais. (A barra do
reboque está em tração e o suporte de trem de pouso está em compressão)
Figura 9 - Barra prismática em tração: (a) Diagrama de corpo livre de um
segmento da barra. (b) Segmento da barra antes do carregamento, (c) Segmento da
barra após o carregamento. (d) Tensões normais na barra.
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Tensão Normal Média Máxima:
1. A barra pode ser submetida a várias cargas externas ao longo de seu eixo.
2. Pode ocorrer uma mudança na área de sua seção transversal
Procedimento de Análise
A equação σ =
P
fornece a tensão normal média na área da seção transversal de
A
um elemento quando a seção está submetida à resultante interna da força normal
P. Em elementos com carga axial, a aplicação da equação exige os passos a seguir:
1- Carga Interna – Seccionar o elemento perpendicular ao seu eixo longitudinal
no ponto em que a tensão normal será determinada e usar o diagrama de corpo
livre necessário e a equação de equilíbrio de força para obter a força axial
interna P na seção.
2- Tensão Normal Média – Determinar A e calcular σ = P A
Exercícios
1- A barra da Figura 10 tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm.
Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao
carregamento mostrado.
Figura 10.
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Figura 11- Distribuição de tensão normal
Resposta: σ bc = 85 ,7 MPa
2- Uma haste circular de aço de comprimento L e diâmetro d é pendurada em um poço
e segura um balde de minério de peso W na sua extremidade inferior (Figura 12). (a)
Obtenha uma fórmula para a tensão máxima σ maz na haste, levando em conta o peso
próprio da haste. (b) Calcule a tensão máxima se L=40 m, d=8 mm e W = 1,5 kN
Dados: Peso específico do aço = 77,0 kN
m3
Figura 12.
3- A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a Figura
13. Se AB tem diâmetro 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, determinar a tensão
normal média em cada haste.
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Figura 13.
Figura 14. (c) Distribuição da tensão normal média que atua na seção transversal da
haste AB. (d) Elemento de material tensionado.
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