9. TRIGONOMETRIA
9.1. MEDIDAS DE ÂNGULOS
O grau é uma medida de ângulo. Um grau, notado por 1o , equivale a 1/180 de um
ângulo raso ou 1/360 de um ângulo correspondente a uma volta completa em torno de
um eixo.
Outra medida de ângulo é o radiano. Um radiano, denotado por 1 rad, equivalente ao
ângulo central quando o comprimento de arco equivale ao raio da circunferência em
questão (veja figura abaixo).
(fonte da imagem: http://www.sofisica.com.br/conteudos/dicionario/figuras/radiano.jpg)
Há uma equivalência entre grau e radiano: π radianos equivalem a 180 graus (π é
uma constante numérica equivalente a 3,14159...).
9.2. TRIÂNGULOS RETÂNGULOS E O TEOREMA DE PITÁGORAS
Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto, isto
é, possui 90 graus. Os lados menores de um triângulo retângulo são chamados
catetos, e o lado menor é chamado hipotenusa (ver figura logo abaixo).
A relação entre catetos e hipotenusa é dada pelo Teorema de Pitágoras: o quadrado do
valor da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos valores dos catetos. Isto é, se
a é o valor da hipotenusa e b e c são os valores dos catetos de um triângulo retângulo,
então
a2 = b2 + c2
(Teorema de Pitágoras)
Nota: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus.
Exercício resolvido:
Se um cateto de um triângulo retângulo tem comprimento 7 e a hipotenusa tem
comprimento 11, qual é o valor do outro cateto?
Resolução:
Se x é o cateto desconhecido, temos, pelo Teorema de Pitágoras:
112 = 72 + x2
Segue que
x2 = 112 – 72 = 121 – 49 = 72
Logo,
x =  72 = 6  2 ≈ 8,5
9.3. MEDIDAS TRIGONOMÉTRICAS
As principais medidas trigonométricas associadas um ângulo são definidas a partir do
triângulo retângulo, como na figura abaixo.
(fonte da imagem: http://cabelovivaolinux.files.wordpress.com/2009/08/fig_tri-6.jpg?w=284&h=353 )
Exercício resolvido:
Um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 8 possui um ângulo
interno de 30o. Sabendo que sen 30o = ½, determine:
a) o valor dos catetos dos triângulos
b) o valor de cos 30o e tg 30o.
Resolução:
a) Se chamarmos b o cateto oposto ao ângulo de 30o, pela definição de seno
temos que
sen 30o = (cateto oposto a 30o) / (hipotenusa) = b / 8
Como sen 30o = ½, logo b/8 = ½. Segue que b = 8/2 = 4. Se chamarmos c o
cateto adjacente a 30o, pelo Teorema de Pitágoras temos
82 = 42 + c2
Logo c2 = 82 – 42 = 64 – 16 = 48. Segue que c =  48 = 2  12 .
Nota:  48 =  4.12 =  4  12 = 2  12
b) Por definição, temos
cos 30o = (cateto adjacente a 30o) / (hipotenusa) = c / 8 =
2  12
=
8
tg 30o = (cateto oposto a 30o) / (cateto adjacente a 30) = b / c =
Nota:
4
2
2  12
2 12
12
=
=
.
=  =
12
6
2  12  12  12  12
9.4. LEI DOS SENOS
Considere o triângulo genérico da figura abaixo:
12 e
4
4
=
2  12
12
6
(fonte da imagem:
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/img2068.png)
Nesta figura, a, b e c são lados, e A, B e C são os ângulos opostos, respectivamente.
Para qualquer triângulo, valem as relações
a
b
c
=
=
,
sen A
sen B
sen C
conhecidas como Lei dos Senos. Decorre da lei que, para determinar as dimensões de
um triângulo é necessário conhecer dois lados e um ângulo interno ou um lado e dois
ângulos internos.
Exercício resolvido:
Dois dos lados de um triângulo têm valor  3 e 1 e o ângulo oposto a este último é de 60 graus. Quais são os valores do lado e dos ângulos desconhecidos?
Resolva empregando a Lei dos Senos.
Resolução:
Vamos adotar a = 1 e b =  3 . Segue do enunciado que o ângulo oposto a b é
B = 60o. Pela lei dos senos, temos
a
b
=
sen A
sen B
Sabendo que sen 600 =  3/2 , isolamos sen A e obtemos
sen A =
a
1
1 3 1
sen B =
sen 60 o =
=
b
3
3 2 2
Ocorre que o ângulo cujo seno dá 1/2 é 30 graus. Logo, temos A = 30o. Como a
soma dos ângulos internos de um triângulos qualquer é sempre 180o, isto é,
A + B + C = 180o, então temos que
C = 180o – A – B = 180o – 30o – 60o = 90o
Aplicando novamente a lei dos senos, determinamos o lado incógnito:
a
c
=
;
sen A
sen C
sabendo que sen 900 = 1 , decorre que
c=
a
a
1
sen C =
sen90 o =
1= 2
o
sen A
1/2
sen 30
Logo, o lado desconhecido vale 2 e os ângulos desconhecidos são A = 30o e
C = 90o. Note que se trata de um triângulo retângulo já que um dos ângulos
internos é reto (de fato, 2 2 = 1 2 32 ).
9.5. LEI DOS COSSENOS
Considerando o mesmo triângulo genérico da figura acima, também valem as relações
a 2 = b2 c 2−2 b c cos A
2
2
2
b = a c −2 a c cos B
c 2 = a 2b 2−2 a b cos C ,
conhecidas como Lei dos Cossenos. Note que o ângulo que serve de argumento ao
cosseno é sempre aquele oposto ao lado do triângulo que está à esquerda da igualdade.
Exercício resolvido:
Considere o mesmo triângulo do exercício resolvido anterior. Determine o lado e os
ângulos desconhecidos empregando a Lei dos Cossenos.
Resolução:
Aplicando a Lei dos Cossenos nos lados e ângulo disponíveis temos
b 2 = a2 c 2−2 a c cos B ,
isto é,
2
  3 = 12c 2−2 1 c cos 60o ;
como cos 60 0 = 1 /2 temos
3 = 1c 2−2 c 1/2 , que simplificado nos dá
c 2−c−2 = 0
Isto é uma equação de 2o. grau, que pode ser resolvida pela conhecida fórmula
de Baskara. Desprezando a solução negativa para c nesta equação, determinamos c = 2.
Para obter um dos ângulos desconhecidos, por exemplo C, empregamos
2
2
2
c = a b −2 a b cos C ;
substituindo os valores a, b e c agora conhecidos, temos
2
2 2 = 1 2  3 −2  3cos C ;
simplificando temos
2  3 cos C = 0 ,
isto é, cos C = 0, o que ocorre somente para C = 90 o. Como a soma dos ângulos
internos de um triângulo é sempre 180o, determina-se o ângulo A facilmente.
Imagens: acesso em agosto de 2010 (primeira e segunda) e maio de 2011 (terceira).