Atividades de Investigação - Médias e desvio Padrão
Comparando dados
Dado um conjunto de dados, na maioria das vezes é complicado trabalhar com todos os valores
apresentados, seja por sua complexidade, seja por sua quantidade. Por exemplo: se seu chefe
encontrar você no elevador e perguntar como foram as vendas no mês passado, ele
provavelmente deseja que você lhe diga alguns números que lhe deem uma ideia das vendas.
Ele não precisa de detalhes, mas de valores que resumam, sintetizem e caracterizem o conjunto
total de dados. Dessa forma, com esse tipo de "informação gerencial" que você proporcionará,
seu chefe estará melhor preparado para tomar decisões. Além do mais, apenas no tempo de uma
viagem de elevador não é possível discorrer sobre um relatório detalhado.
Do mesmo modo, quando o INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio
Teixeira) realiza o ENEM, em momento algum, por mais formal que ele seja, as notas serão
divulgadas individualmente. Pense bem o que seria um relatório com milhões de notas;
provavelmente nada poderia ser inferido dele. O que pode interessar nesses milhões de notas,
por exemplo, é a constatação de que houve ou não uma melhoria no nível dos estudantes. Como
se pode ver, novamente faltam alguns números que resumam os milhões de notas dos alunos.
Neste sentido, a Estatística tem uma contribuição fundamental, fornecendo ferramentas para
organizar, analisar, interpretar e apresentar dados. Por exemplo: a Estatística criou medidas que
dão a ideia do comportamento de diversos conjuntos de dados. As mais importantes e,
consequentemente, as utilizadas com maior frequência, são as medidas de posição e as medidas
de dispersão (ou variabilidade). Aqui serão trabalhadas apenas duas dessas medidas: a média e
o desvio padrão.
A média
Define-se média como um conjunto de valores que tem como resultado a divisão da soma desses
valores pela quantidade deles.
Exemplo: Em uma determinada prova, que valia 10 pontos, os alunos de uma certa turma
obtiveram as seguintes notas:
8,7
3,4
5,2
5,3
9,8
9,7
8,7
6,4
2,5
3,1
7,1
6,4
7,2
8,3
8,7
4,1
3,2
5,7
8,9
8,7
6,2
6,8
7,2
7,3
5,1
A nota média, então, será
8,7  3,4  5,2  5,3  ...  7,2  7,3  5,1 163,7

 6,548 pontos.
25
25
Esse valor significa que, se todas as notas atribuídas fossem igualmente repartidas entre os
alunos (quem tem nota alta dá seus pontos para quem tem notas mais baixas), então, o equilíbrio
seria atingido, atribuindo-se 6,548 pontos para cada um dos 25 alunos.
Interpretação da média
Como explicado no exemplo acima, a média pode ser interpretada como o valor que deve ser
atribuído a cada elemento (aluno) que compõe a turma, retirando de quem tem muito e
aumentando de quem tem pouco, atingindo-se o equilíbrio, ou seja, igual valor a todos.
Nem sempre essa interpretação é levada a termo e interpretações matematicamente incorretas
normalmente surgem. Uma das mais comuns, que é muito difundida em comerciais, diz respeito
ao estar acima da média ou abaixo da média. Por sua própria natureza, é usual que vários dos
valores fiquem acima da média e que outros tantos fiquem abaixo da média, não
necessariamente metade acima e metade abaixo, como muitos pensam. Desse modo, o aluno
que obteve nota 6,8 pode afirmar que conseguiu uma nota acima da média (isto é correto), mas
jamais pode considerar que isso é um feito extraordinário.
Uma característica da média que necessita ser levada em conta para evitar interpretações
errôneas é que ela é muito influenciada por valores extremados, ou seja, valores que são muito
diferentes dos demais. Observe a tabela abaixo, que mostra o número de óbitos registrados no
último ano, em um hospital de uma cidade do interior, com 10.000 habitantes:
Mês
Óbitos
Mês
Óbitos
Mês
Óbitos
janeiro
12
maio
7
setembro
11
fevereiro
8
junho
12
outubro
9
março
10
julho
144
novembro
10
abril
9
agosto
8
dezembro
12
O dado de julho justifica-se pelo fato de que, nesse mês, houve um acidente aéreo no município e
os feridos, muitos em estado gravíssimo, foram levados para o hospital. Para se ter uma ideia,
132 óbitos de julho foram devidos a esse acidente. Porém, independente dessa fatalidade, vamos
determinar a média mensal de óbitos:
m=
12  8  10  9  7  12  144  8  11  9  10  12
 21.
12
Observe que, nesse caso, a média foi muito influenciada pelo resultado de julho, não retratando o
que realmente ocorreu, ao longo do ano. Apesar disso, seu significado continua sendo o que foi
dito anteriormente: se os óbitos fossem igualmente distribuídos, ao longo dos meses,
aumentando nos valores baixos e reduzindo nos valores altos, então, o equilíbrio seria atingido,
quando, em todos os meses, ocorressem 21 óbitos.
Atividades
1) Suponha que você é o Secretário Municipal de Saúde da cidade
retratada no exemplo anterior. Escreva um relatório para a autoridade de
saúde estadual, informando a média de óbitos, em sua localidade,
acompanhado de gráficos e tabelas que o ilustrem. Como o acidente aéreo seria informado?
2) Vários pais, principalmente os que têm um único filho, são muito influenciados por informações
sobre o crescimento de suas crianças. Assim, se em algum livro está escrito que uma criança
começa a falar, em média, aos 14 meses de idade, é comum que os pais se orgulhem, se seus
filhos começam a falar com um ano de idade e procurem o pediatra, se a criança de 15 meses
não fala ainda.
a) Critique matematicamente esse comportamento dos pais.
b) Que outra informação você precisaria para saber se uma criança está falando muito cedo
ou muito tarde ?
c) Critique matematicamente o comportamento do editor desse livro.
O desvio padrão
A média apenas é insuficiente para representar ou caracterizar uma sequência de valores. Além
dessa medida de posição central, precisa-se de mais informações sobre esse conjunto de dados,
a saber, ao menos, uma informação sobre a distribuição (dispersão, variabilidade) desses valores
para uma análise mais correta e apurada deste conjunto de dados. Observe a tabela abaixo:
Produção de cada máquina da indústria X (em milhares de peças)
Máquina
Jan
Fev
Mar
1
12000
12000
12000
2
11000
12000
13000
3
5000
6000
25000
Um cálculo rápido mostra que a produção mensal média de cada máquina é a mesma: 12000
peças. Porém, pelos dados apresentados, a produção da primeira máquina foi constante, a
segunda máquina teve uma pequena variabilidade e a terceira máquina foi muito instável, ou seja,
obteve valores muito discrepantes. A média é incapaz de detectar e representar essas variações.
Como já visto, a Estatística desenvolveu o que se denomina de medidas de dispersão. Uma
medida fácil para representar a variabilidade de um conjunto de dados é calcular sua amplitude.
A amplitude é definida como a diferença entre o maior dado e o menor. No exemplo acima, a
amplitude da máquina 1 é zero, da máquina 2 é 2000 e da máquina 3 é 20000. Observe que o
fato de se conhecer essas amplitudes já dá uma idéia geral do comportamento das máquinas,
principalmente o conhecimento de qual é a mais estável. Apesar disso, só a amplitude ainda é
muito pouco para mostrar o comportamento dos valores.
Há uma medida mais precisa para expressar a variabilidade dos dados, o desvio padrão. Ele é
definido como a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios da média. Complicado, não?
Melhor: cada dado tem um desvio da média, ou seja, se calculamos a diferença entre o dado e a
média, temos uma medida de quão afastado da média esse dado está.
Exemplo: para a máquina 2, mostrada na tabela acima, a produção média foi 12000 peças. O
desvio da produção de janeiro foi de 11000 – 12000 = - 1000 peças (1000 peças abaixo da
média). O desvio da produção de fevereiro foi 12000 – 12000 = 0 (a média) e o de março foi
13000 – 12000 = 1000 (1000 peças acima da média).
Se tentássemos utilizar a média dos desvios dos dados para termos uma ideia da dispersão, não
teríamos sucesso, pois a soma dos desvios da média de todos os dados sempre é zero (Por
que?). Por isso, tomamos os quadrados desses desvios, que temos certeza que são todos
positivos (Por que?). No nosso exemplo, (-1000)2, 02 e 10002, ou seja, 1000000, 0 e 1000000
novamente. Calculamos, então, a média desses valores, obtendo
1000000  0  1000000
= 666666,667. O desvio padrão é definido como sendo a raiz quadrada
3
desse resultado, no nosso exemplo, 816,4966. Observe que calculamos a raiz quadrada da
média dos quadrados dos desvios da média dos valores.
O significado do desvio padrão
O desvio padrão dá uma ideia de como se distribuem os valores a partir da média, sendo um
padrão de comparação de quanto um valor está afastado da média (daí seu nome: desvio
padrão).
Em geral, a maioria dos dados não se afasta mais que um desvio padrão da média (para mais ou
para menos). Na realidade, na maioria dos exemplos, mais de 60% dos valores não se afastam
mais que um desvio padrão da média. Assim, se dissermos que uma criança fala, em média, aos
14 meses de idade, com desvio padrão de 2 meses, significa que mais de 60% das crianças fala
entre 12 e 16 meses, ou seja, não se afastam mais que 2 meses (um desvio padrão) da média.
Dados com desvio padrão pequeno são mais homogêneos, ao passo que dados com um desvio
padrão elevado são mais heterogêneos. Por isso, se diz que, naqueles conjuntos com baixo
desvio padrão, a média é uma medida muito representativa dos dados apresentados. Por
exemplo: se você quer comprar uma lâmpada e observa que a duração média da marca A é de
12000 horas, com desvio padrão de 2500 horas, e a duração média da marca B é de 11500
horas, com desvio padrão de 200 horas, saberá que as lâmpadas da marca A têm uma faixa de
duração muito longa, pois mais de 60% das lâmpadas dessa marca duram entre 9500 e 14500
horas. Por outro lado, a mesma quantidade de lâmpadas da marca B duram entre 11300 e 11800
horas. Se você quer confiabilidade, peça a marca B. Se você pode, ou quer, se dar ao luxo de
arriscar, prefira a marca A, pois a duração de sua lâmpada pode ser muito maior; ou muito menor,
dependendo do ponto de vista.
Calcule o desvio padrão dos dados da máquina 1 na tabela acima. Um desvio padrão zero só
ocorre, quando os dados são exatamente iguais, ou seja, quando não há variabilidade entre os
valores do conjunto de dados.
Atividades
1) Márcia é a diretora de uma escola secundária que tem convênio com uma
Faculdade que admite que seus alunos, com as melhores médias nos três
anos do Ensino Médio, entrem na escola superior sem exame vestibular.
Nesse momento, Márcia tem uma lista, mostrada abaixo, de 10 alunos que estão competindo
para entrar na escola superior sem vestibular. As notas estão dadas por semestre e indicam a
média obtida pelo aluno, em todas as disciplinas, durante esse semestre:
Aluno
1
Semestre
2
Semestre
3
Semestre
4
Semestre
5
Semestre
6
Semestre
Paulo
8.5
9.25
10
9.75
7.25
8
Roberto
10
10
9.75
9.75
9.5
10
Walter
7
7.5
8
8.75
8.5
8.5
Brian
7.25
7.5
8.75
7.25
7
7.25
Cristina
9
7.5
7.75
7.5
7.5
9
Evelyn
8
8.75
8.5
10
9.25
9.5
Joao
7
8.25
9.5
7.25
8.5
9.75
Augusto
9.25
9.75
9.75
9.5
9.75
10
Judith
6.5
6
7.5
6.25
7
6.5
Ema
9.25
8
7.5
8
9
8.75
a) Calcule a média das notas de cada aluno para os três anos apresentados na tabela.
b) Interprete a tabela para determinar quais alunos poderão ingressar na Faculdade, sem
exame de vestibular.
2) Projeção de fluxo de caixa.
A Gerência Financeira de uma empresa dedicada à produção de autopeças está preparando uma
projeção de créditos e débitos para os primeiros três meses do ano fiscal. A fim de obter a
informação de que necessita, emitiu um comunicado interno à Gerência do Departamento de
Vendas, pedindo que este prepare uma estimativa de vendas para os próximos três meses, com
sua respectiva data estimada do ingresso efetivo do dinheiro. Logo que recebeu este informe, a
Gerência Financeira elabora uma projeção de pagamentos para os próximos três meses. Veja os
relatórios:
Vendas Estimadas por Semana (do Departamento de Vendas)
Semana
4 Fev – 9 Fev
11 Fev – 16 Fev
18 Fev – 23 Fev
25 Fev – 2 Mar
4 Mar – 9 Mar
11 Mar – 16 Mar
18 Mar – 23 Mar
25 Mar – 30 Mar
2 Abr – 7 Abr
9 Abr – 14 Abr
16 Abr – 21 Abr
23 Abr – 28 Abr
Quantidade de vendas
(unidades)
112.540
107.989
167.981
181.277
132.736
143.645
119.852
114.324
109.477
163.629
104.631
130.420
Preço unitário
(R$)
1,55
1,55
1,55
1,55
1,59
1,59
1,59
1,59
1,59
17,70
1,70
1,70
Projeção de pagamentos por semana (Gerência Financeira)
Semana
4 Fev – 9 Fev
11 Fev – 16 Fev
18 Fev – 23 Fev
25 Fev – 2 Mar
4 Mar – 9 Mar
11 Mar – 16 Mar
18 Mar – 23 Mar
25 Mar – 30 Mar
2 Abr – 7 Abr
9 Abr – 14 Abr
16 Abr – 21 Abr
Gastos Estimados (R$)
130.787
116.509
167.902
175.400
149.771
152.026
124.980
112.464
127.908
171.811
113.353
23 Abr – 28 Abr
129.094
Com base nos dados apresentados e sabendo que, hoje, a empresa possui um saldo de R$
568.457,35, determine o fluxo de fundos projetado e o respectivo saldo semanal, durante os
próximos três meses.
3) Folha de pagamento.
Suponha que você trabalha na área de contabilidade de uma empresa e está preparando, neste
instante, as folhas de custo por empregado para apresentar em uma reunião. A ideia é que a
folha de custo deve mostrar o custo real de cada empregado para a empresa. Os custos por
empregado são constituídos por salário, os custos de espaço de escritório e máquinas utilizadas,
além de outros gastos diversos. A seguir, vemos os dados de custos que você obteve.
Custos Fixos
Empregado Número
Salário Anual
Espaço Escritórios R$ 41.540 019
R$ 12.290
Uso de Máquinas R$ 20.263
106
R$ 13.804
Diversos R$ 13.798
204
R$ 15.468
233
R$ 11.065
552
R$ 18.004
a) Supondo que o critério dessa empresa é distribuir igual quantidade de custos fixos a cada
empregado, calcule o custo médio por empregado de espaço, uso de máquinas e diversos.
Organize os dados para elaborar uma tabela de custos anuais por empregado, em que se
mostre os componentes de salários, espaço, uso de máquinas, diversos e o custo total.
b) Apresente um gráfico que mostre apropriadamente esta distribuição de custos.
c) Sugira um método alternativo de distribuição de custos fixos para esta empresa,
defendendo que o que se usa, atualmente, não é adequado.
4) Chefe de pessoal.
Suponha que você é o chefe de pessoal (ou de recursos humanos) de uma empresa e é sua
função o processamento de informação referente a todos os empregados da empresa. Uma de
suas tarefas mais importantes é a preparação de contra cheques a cada quinze dias.
a) Qual é a informação básica que você necessita para poder determinar os salários a pagar
aos empregados (incluído seu próprio salário). Pesquise em algumas empresas de sua
cidade.
b) Como você poderia obter essa informação de que necessita? A quem pediria informação,
relatórios, etc?
c) Que departamentos da empresa devem ser contactados para que o tratamento desta
informação seja adequado e tenha a seriedade e privacidade necessárias? (Por que a
privacidade?)
d) Que tipo de informação deve ser recebida de fora da empresa para se conseguir que o
tratamento da informação dentro da empresa seja o correto?
e) Prepare um relatório (trabalhando em grupo) sobre o que você coletou, incluindo os
gráficos e as tabelas que sejam necessários.
5) Cultivo de trigo.
Mauro e Antônio são irmãos e têm quatro pequenos campos para cultivo. Hoje em dia, eles têm
trigo, pois é época de colheita.
- O campo número 1 é de 72 hectares e rende 9 toneladas por hectare.
- O campo número 2 tem 128 hectares e rende 11 toneladas por hectare.
- O campo número 3 tem 36 hectares e rende 8,8 toneladas por hectare.
- O campo número 4 tem 64 hectares e também rende 8,8 toneladas por hectare.
O preço de venda que Mauro e Antônio esperam obter é de R$ 300,00 por tonelada.
a) Organize os dados do problema em uma tabela, indicando a área e o rendimento de cada
campo.
b) Prepare outra tabela, indicando, campo por campo, a quantidade estimada de colheita e o
total de dinheiro a receber por Mauro e Antônio, se eles venderem todo o trigo.
c) Com o preço obtido, Mauro afirmou que a margem de lucro sobre é de 30%. Qual é o custo
aproximado de todo o trigo?
d) Prepare gráficos que você considera convenientes para mostrar as situações relativas de
cada campo e a relação custo-preço-lucro.
6) Temperatura e uso de água para irrigação.
Você é o responsável operacional de uma represa de água para irrigação. Nessa função, de você
depende a vazão de água que abastece o vale do rio São Francisco, mediante a abertura das
comportas da represa. Normalmente as comportas estão abertas a um décimo de sua abertura
total. Quando a temperatura máxima da água supera os 25 graus centígrados, durante dois dias
seguidos, no terceiro dia, você deve abrir as comportas a 25% de sua abertura total, mantendo-as
abertas a esse ritmo, até que volte a ter um dia de temperaturas menores que 25 graus
centígrados.
Na tabela a seguir estão os dados de temperatura máxima registrados durante o mês passado:
Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
26,5
25,5
22,3
23,7
23,8
27,1
27,4
27,4
31,2
29,5
22,5
21,9
22
25,7
24,5
23,5
23,1
21,1
26,7
26,9
29,9
31,4
28,7
25,6
23,7
23,1
25,3
25,9
28
30,6
a) Faça um gráfico com os dados da tabela acima para mostrar a evolução da temperatura
durante este mês.
b) Elabore algum tipo de gráfico onde sejam mostrados os dias em que a comporta esteve
aberta a 10% e os dias em que a comporta esteve aberta a 25% de sua capacidade.
c) Se a cada hora em que a comporta está aberta a 10% se liberam 400 metros cúbicos de
água, e a cada hora que a comporta está aberta a 25% se liberam 1000 metros cúbicos de
água, determine de quantos litros de água foi a vazão do mês passado.
d) Quantos metros cúbicos de água se liberariam como máximo e como mínimo, de acordo
com a informação que você tem da represa?
e) Para que é necessária esta informação?
7) Composição das parcelas em planos de financiamento.
Todos sabemos que, quando compramos algum produto financiado, temos o pagamento de juros
nas prestações. Aprendemos em Matemática como determinar a taxa de juros desses planos de
financiamento com prestações constantes.
Podemos dizer que, dentro de cada pagamento fixo, há o pagamento dos juros do período
anterior e uma amortização do saldo devedor. Por exemplo, se um produto custa R$ 120,00 e é
comprado em duas prestações, sem entrada, de R$ 65,00, então (use sua HP 12C) os juros
cobrados são de 5,5064 % ao mês. Assim, no seu primeiro pagamento de R$ 65,00, você está
pagando R$ 6,61 (5,5064% de R$ 120,00) de juros, e os R$ 58,39 restantes amortizam sua
dívida, que passa a ser de R$ 61,61 após esse pagamento.
Suponha que você quer comprar um televisor em uma loja e o vendedor lhe apresenta o seguinte
plano de financiamento:
Preço do televisor
R$1.000,00
Prestação mensal
R$178,53
Quantidade de prestações
Seis (6)
Taxa de Juro mensal
2%
Sem entrada
a) Determine a composição de cada pagamento mensal de R$178,53, ou seja, quanto de
juros e quanto de amortização do capital contém cada uma das seis parcelas. Mostre seus
resultados graficamente.
b) Que efeito teria, se você pagasse, junto com a terceira parcela, um adicional de R$100,00
e refinanciasse o restante em pagamentos iguais à mesma taxa? Faça uma tabela e um
gráfico representando isto.
8) Estudo de solos.
Você acaba de receber os resultados da análise que um engenheiro agrônomo fez em um campo
de sua propriedade, onde você pretende plantar amendoim. Os resultados da análise são os
seguintes:
Nitrogênio
34 Kg/hectare
Fósforo
31 Kg/hectare
Potássio
265 Kg/hectare
Com esta informação, você deverá decidir se, para plantar amendoim, é necessário, ou não, fazer
algum tipo de fertilização do campo.
Os requerimentos técnicos necessários para plantar amendoim são os seguintes:
Nitrogênio: de 11 a 23 kg/hectare no início da fertilização
Fósforo:
Há no solo (kg/hectare)
Porcentagem suficiente
P2 O5 (kg/hectare)
0 – 11
40
68 – 91
12 – 23
60
45 – 68
24 – 45
80
23 – 45
46 – 74
95
Solo al inicio
75 +
100
Nada
Potássio:
Há no solo (kg/hectare)
Porcentagem suficiente
K2O (kg/hectare)
0 – 85
40
68 – 91
86 – 142
60
45 – 68
143 – 227
75
34 – 45
228 – 284
90
23 – 34
285 +
100
Nada
a) Interprete os requerimentos técnicos para que se possa determinar quanto de fósforo e de
potássio deve haver no solo para se plantar amendoim (por exemplo, o que nas tabelas
figura como 100% suficientes).
b) Determine se é necessário fertilizar o campo para plantar amendoim.
c) Pesquise, nas lojas especializadas, qual é a apresentação comercial deste tipo de produto
(por exemplo, bolsas de XX kg que contienen x% de nitrogênio, E% de fósforo e Z% de
potássio) e elabore um relatório a ser apresentado à classe.
9) Impacto de novas informações nas finanças de um clube de futebol.
O responsável financeiro de um clube de futebol está analisando as finanças para determinar a
prestação anual que se deve cobrar de seus 28.900 associados.
A escala de partidas para o ano que vem compreende as 40 partidas do campeonato oficial mais
10 partidas amistosas.
A média de arrecadação por partida oficial jogada em casa é de R$300.000,00 e as jogadas como
visitante é de R$125.000 por partida. Suponhamos que a metade das partidas é em casa e a
outra metade, como visitante.
As partidas amistosas são contratadas à parte e, por isso, não geram custos adicionais ao clube.
Os gastos do clube são os seguintes:
a) Salários dos jogadores: plantel de 30 jogadores com uma média mensal de
R$10.000,00 por jogador.
b) Salários com pessoal de manutenção e limpeza: R$200.000,00 anuais
c) Salários administrativos: R$160.000,00 anuais
d) Energia e outros (partidas em casa): R$500.000,00 por partida
e) Reforma e manutenção de instalações (vestiários, etc.): R$140.000,00 anuais
f) Dívida a pagar este ano a um ex-jogador do clube: R$3.000.000,00
Quanto se deverá cobrar, como prestação anual, a cada associado para balancear as contas do
clube?
As novas informações são as seguintes:



Como consequência do problema de energia no país, o custo originalmente estimado será
incrementado em 38%.
Foi vendido um jogador muito importante do clube por US$1.250.000
Como consequência da realização do campeonato mundial de futebol neste ano, acreditase que as arrecadações, por partidas oficiais, serão reduzidas em 10%.
Perguntas:
a) Analise estas novas informações e apresente tabelas e gráficos, indicando os efeitos de
cada uma delas na informação financeira feita para determinar a prestação anual a se
cobrar de cada sócio do clube. Indique se será necessário ajustar a prestação anual e faça
uma carta comunicando esse fato aos sócios.