ANÁLISE DE RISCO E EFEITOS DA INCERTEZA NA
CARTEIRA DE INVESTIMENTOS
Diogo Rafael de Arruda∗
RESUMO
Constam, neste trabalho, conceitos relacionados aos riscos e as incertezas existentes nas carteiras de investimento
financeiro, apoiando-se em métodos estatísticos e princípios básicos ligados a investimentos financeiros.
Conceitos estes que foram extraídos a partir de pesquisa bibliográfica, visando sempre o melhor investimento a
ser feito para facilitar as tomadas de decisões dos investidores, ao longo do ciclo de vida financeiro.
Palavras-chave: Risco. Incerteza.
1. INTRODUÇÃO
A impossibilidade de conseguir prever com exatidão o futuro, é algo que intriga a
humanidade. Os riscos e as incertezas a que estamos inerentes, principalmente quando estamos
tratando com unidades monetárias, que é o combustível de movimentação do planeta. Por isso,
o cuidado natural que se tem ao analisar cada passo a ser tomado ao longo de um
investimento, passou a ter a necessidade de um padrão, uma mensuração facilitadora para as
tomadas de decisões. Assim, matematicamente, o tal processo analítico financeiro capaz de
diferenciar a viabilização de um investimento, tem sua fundamentação em procedimentos
estatísticos tais como: desvio padrão, variância, coeficiente de variação, covariância e
coeficiente de correlação.
A maior parte dos riscos que possam afetar o desenvolvimento das finanças, tanto pessoais
quanto empresariais, além da caracterização estatística, podem ainda estar suscetíveis a
princípios chamados fundamentais para formação de carteiras, nos quais relacionam a
existência do risco com a rentabilidade proposta pela carteira. Contudo, o principal objetivo do
trabalho é identificar, financeiramente, como se define o risco e suas relações com um certo
capital disponível, de modo a abrir um leque de opções para que o gestor possa lidar com
situações teóricas e reais, partindo do pressuposto que o maior retorno alcançado é o mais
atratível.
2. TERMINOLOGIA BÁSICA
Inicialmente, alguns conceitos devem ser abordados para facilitar o desenvolvimento do
trabalho. Assim, definiremos capital como sendo tudo aquilo que se detém e seja passível de
negociação. Ativo, é o capital próprio existente. Passivo, é o capital de terceiros com que se
pode contar. Carteira, é a coleção ou grupo de ativos. Retorno é total de ganhos ou prejuízos
de um investimento durante um período de tempo. Por fim, investimento como sendo a
transação financeira visando algum retorno.
Assim, faremos um panorama sobre a administração do risco relacionado a um investimento
(ou a um conjunto de investimentos) com seus processos analíticos de avaliação e
∗
Licenciando do curso de matemática da Universidade Católica de Brasília.
administração desse risco. Assim, devemos começar com a distinção primitiva entre duas
palavras bastante relacionadas ao assunto: incerteza e risco.
A incerteza é o fato de não se poder prever um dado acontecimento futuro.
O risco é a ameaça a existência dos interesses de uma pessoa provocado por alguma incerteza,
sendo que, normalmente, causa algum prejuízo ou dano.
Financeiramente, quando tratamos de uma situação de risco as conseqüências são verificadas
por meio de perdas ou ganhos. Comumente, a possibilidade descendente do risco é chamado
prejuízo e a ascendente como um ganho. Logo, dependendo da expectativa do investimento,
desvios do valor esperado para o retorno podem ser “bons” ou “ruins”.
Devemos levar em consideração que as características de cada individuo estão relacionadas
com a aceitação ou aversão ao risco. Portanto, uma pessoa ao avaliar a relação custo benefício
(ligado ao risco) pode optar entre o menor risco com menor retorno ou não, por exemplo. Esse
processo de compensação e avaliação das decisões financeiras tomadas é chamado
administração do risco.Vale ressaltar que o retorno esperado não é o retorno que os
investidores acreditam que necessariamente ganharão, e sim o resultado da precificação de
todos os resultados possíveis, reconhecendo que alguns resultados são mais prováveis que
outros.
Com isso, o processo de administração do risco, que é uma gestão (uma análise), é dividido
em:
• Identificação do risco: tem como fundamento descobrir quais são as exposições ao risco
mais peculiares que estão ligados ao investimento em análise e que, eventualmente possam
afetar a regularidade do investimento.
• Avaliação do risco: trata-se da quantificação dos riscos, avaliando informações sobre a
exposição financeira (estimativas e probabilidades de acontecimentos).
• Seleção de técnicas para administração do risco: inicialmente pode-se evitar o risco não
se expondo a ele. Pode-se reter o risco absorvendo-o e cobrindo com recursos próprios, ou
por último, transferir os riscos repassando-os para terceiros.
• Implementação: coloca-se em ação as técnicas selecionadas reduzindo os custos.
• Revisão: como a cada momento sua expectativa pode mudar quanto ao investimento,
então se deve reavaliar todo o processo para evitar retratações tardias que possam
ocasionar perdas.
Há também um critério para transferência do risco, dividido em três partes:
• Hedge: o individuo abre mão da possibilidade de ganho para evitar uma perda.
• Seguro: é pagar um prêmio para evitar uma perda certa.
• Diversificação: assimilação de ativos evitando concentrar seu investimento num só
(bastante usado na teoria da carteira).
Quanto à diversificação inicialmente diremos que não se pode reduzir o risco de exposição,
mas cria-se um leque de possibilidades para evitar a perda total do investimento. Trazendo
para a linguagem popular, poderíamos dizer: “Deve-se pensar muito bem antes de se colocar
todos os ovos numa única cesta”.
3. O RISCO DE UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS
O risco quando relacionado à carteira de investimentos é normalmente ligado às medidas de
dispersão variância e desvio padrão, relacionado com as possibilidades de ocorrência de
resultados.
3.1 O desvio padrão como medida do risco de uma carteira de investimentos
O desvio padrão é o indicador estatístico de risco mais comum a ser usado, medindo a
dispersão ou variabilidade em torno do valor esperado de retorno. Então, é interessante além
de considerarmos os resultados, que com sua dispersão fiquem abaixo do valor esperado,
também os que com sua dispersão fiquem acima, pois como sabemos, quanto maior a
variabilidade menor confiança podemos deter sobre resultados associados ao investimento.
Assim, o valor esperado de um retorno (k) é o mais provável do investimento feito, e usa-se
sua fórmula quando todos os resultados k i são conhecidos e supondo que suas probabilidades
sejam também conhecidas:
(k) =
n
i =1
k i ⋅ P(k i )
Sendo:
k i : retorno associado com o i-ésimo resultado.
P(k i ) : probabilidade de ocorrência do i-ésimo resultado.
n: número de resultados considerados.
Assim, para aplicação e validação da fórmula, se considerarmos um ativo A no qual o quadro
1 mostra os valores associados a P(k i ) (probabilidades) e os valores associados a k i
(retornos) com três situações de mercado, teremos 15% de retorno esperado para o ativo A.
Quadro 1: Valores esperados de retornos para o ativo A.
Situações de
Probabilidade:
Retorno (%): k i
mercado
P(k i )
0,25
13
Recessão
0,50
15
Estável
0,25
17
Expansão
1,00
Total
Retorno esperado:
µ (k i )
13 ⋅ 0,25 = 3,25
15 ⋅ 0,5 = 7,50
17 ⋅ 0,25 = 4,25
15,00
(k) = k1 ⋅ P(k1 ) + k 2 ⋅ P(k 2 ) + k 3 ⋅ P(k 3 ) = 3,25 + 7,25 + 4,25 = 15%
Contudo, indicaremos para o desvio padrão de retornos a equação abaixo:
σ (k )
=
n
i =1
[k i − µ (k )]2 ⋅ P(k i )
Desenvolvendo o quadrado na expressão dada para o desvio padrão, temos:
σ (k ) = µ (k 2 ) − [ µ (k )]2
De modo geral, quanto maior o desvio padrão, maior o risco.
Mais uma vez, para exemplificação, compara-se os dados do quadro 1 com os dados do
quadro 2 relativos a um ativo B, sendo que, o retorno esperado também é de 15% .
Quadro 2: Valores esperados de retornos para o ativo B.
Situações de
Probabilidade:
Retorno (%): k i
mercado
P(k i )
0,25
7
Recessão
0,50
15
Estável
0,25
23
Expansão
1,00
Total
_
Retorno esperado:
µ (k i )
7 ⋅ 0,25 = 1,75
15 ⋅ 0,5 = 7,50
23 ⋅ 0,25 =5,75
15,00
(k) = k1 ⋅ P(k1 ) + k 2 ⋅ P(k 2 ) + k 3 ⋅ P(k 3 ) = 1,75 + 7,50 + 5,75 = 15%
Usando a fórmula apresentada para o desvio padrão nos dois casos, e indicando σ (k A ) o valor
associado ao ativo A e σ (k B ) o associado a B, teremos:
σ (k A ) =
3
i =1
[k i − µ (k i )] 2 ⋅ P(k i ) =
4 ⋅ 0,25 + 0 ⋅ 0,50 + 4 ⋅ 0,25 =
2 = 1,4142 ≅ 1,41%
σ (k b ) = 64 ⋅ 0,25 + 0 ⋅ 0,50 + 64 ⋅ 0,25 = 5,6569 ≅ 5,66%
Donde B é o mais arriscado, pois tem o maior desvio padrão.
3.2 Coeficiente de variação como medida de risco na carteira de investimentos
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa usada na comparação do risco de
ativos que diferem nos retornos esperados. Usa-se a expressão abaixo para determinar o
coeficiente de variação (CV):
CV =
σ (k )
µ (k )
Sendo que, quanto maior o valor de CV, maior o risco do investimento.
Ilustremos uma situação que facilite a visualização do uso de CV.
Situação: A empresa PKTA (nome fictício) tenta selecionar entre dois ativos, A e B, o menos
arriscado. O retorno esperado, o desvio padrão e o coeficiente de variação de cada retorno dos
ativos são dados na quadro 3 abaixo:
Quadro 3: Expectativas de valores apresentados pelas empresas A e B.
Estatísticas
A
12%
Retorno esperado
9%
Desvio padrão
0,75
Coeficiente de variação
B
20%
10%
0,50
Se a empresa tivesse que comparar os ativos com base somente nos desvios padrões, a escolha
possivelmente seria por A, pois tem o menor índice de dispersão. Entretanto, comparando os
coeficientes de variação dos ativos, vemos que a administração cometeria um erro relevante
escolhendo A, visto que a dispersão relativa, conforme nos mostra o coeficiente de variação,
em B é o menor. Logo, o uso do coeficiente de variação para comparar o risco do ativo é
melhor porque também considera o tamanho relativo, ou o retorno esperado dos ativos.
Retomando os dados obtidos nos quadros 1 e 2, veremos que:
σ (k A ) 1,41%
=
= 0,0904 ;
µ (k A)
15%
σ (k B ) 5,66%
CVB =
=
= 0,3773 .
σ (k B ) 15%
CV A =
Verificando, mais uma vez, que B é o mais arriscado.
3.3 A variância como medida do risco de uma carteira de investimentos
A variância é uma medida estatística usada para avaliar a dispersão da rendibilidade do
mercado.
O uso desta medida está associado quando ao usarmos os desvios padrão, os valores negativos
contrabalançam com os positivos resultando que o valor do desvio esperado seja zero. Assim,
os desvios ao quadrado são necessariamente positivos. Note que, elevando ao quadrado,
teremos uma transformação não linear que exagera os grandes desvios (positivos ou negativos)
tirando a ênfase dos resultados dos pequenos desvios. Outro resultado é que a variância terá
dimensão de unidades de medida ao quadrado. Será usada para o cálculo da variância a
seguinte fórmula:
2
n
(k) =
i =1
[k i − µ (k )]2 ⋅ P (k i )
Usando os dados dos quadros 1 e 2, temos:
Quadro 4: Cálculo da variância dos ativos A e B.
Ativo
Desvio padrão (%): σ (k )
A
B
1,41
5,66
Variância (% 2 ): σ 2 (k )
1,99
32,04
Uma pequena observação, e um tanto interessante, é responder qual medida (desvio padrão ou
variância) devemos utilizar. Então, dado que o desvio padrão está expresso nas mesmas
unidades que a taxa de rendibilidade, geralmente é mais conveniente usar o desvio padrão.
Porém, quando tratamos da proporção do risco resultante de algum fator, normalmente é mais
prático usar a variância.
3.4 Correlação como medida de risco na carteira de investimentos
Esta medida estatística define uma relação (se houver) entre séries de números representando
dados de qualquer tipo. Se duas séries movimentam-se em mesma direção, então estão
correlacionadas positivamente; se este movimento tem direções opostas, então são
negativamente correlacionados. O grau de correlação varia de +1 (correlação positiva perfeita)
à –1 (correlação negativa perfeita). Caso a correlação seja zero, diz-se que os ativos não são
correlacionados.
Ao combinar dois ativos de risco, a correlação é determinante sobre o desvio-padrão,
sendo que a estatística usada para medir o grau de covariação entre duas taxas de retorno é o
coeficiente de correlação. A covariação média (probabilidade ponderada da soma) dos
produtos dos desvios-padrão sobre todos os estados da economia, dando-nos assim uma
tendência média de como os retornos variam (mesmo sentido ou sentidos opostos), daí vem a
covariância. Matematicamente, a covariância entre dois ativos, A e B, é dada por:
COV AB = µ (k A , k B ) − µ (k A ) ⋅ µ (k B )
Sendo:
µ (k A , k B ) =
k Ai ⋅ k B j ⋅ P(k Ai , k B j ) .
Assim, pode-se definir o grau de correlação entre os ativos A e B ( ρ AB ) como sendo:
ρ AB =
COV AB
σ A ⋅σ B
Então, para os ativos dos quadros 1 e 2, teremos:
Quadro 5: Valores calculados para o ativo A.
Situações Probabilidade: Retorno
Retorno
de mercado
esperado:
P(k i )
(%): k i
µ (k i )
0,25
13
3,25
Recessão
0,50
15
7,50
Estável
0,25
17
4,25
Expansão
µ (k i 2 )
µ (k i 2 ) − [ µ (k i )]2
42,25
112,50
72,25
31,688
56,250
54,188
Dos valores associados ao quadro 1, na seção 3.1, σ (k A ) = 1,41% .
Quadro 6: Valores calculados para o ativo B.
Situações de Probabilidade: Retorno
Retorno
mercado
esperado:
P(k i )
(%): k i
µ (k i )
0,25
7
1,75
Recessão
0,50
15
7,50
Estável
0,25
23
5,75
Expansão
µ (k i 2 )
µ (k i 2 ) − [ µ (k i )]2
12,250
112,50
132,25
9,188
56,250
99,188
Dos valores associados ao quadro 2, na seção 3.1, σ (k B ) = 5,66% .
Cálculo do µ (k A , k B ) :
µ (k A , k B ) = 13 ⋅ 7 ⋅ 0,25 + 15 ⋅ 15 ⋅ 0,50 + 17 ⋅ 23 ⋅ 0,25 = 22,75 + 112,50 + 97,75 = 233,00%
Cálculo da covariância entre os ativos A e B:
COV AB = 233,00 − (15 ⋅ 15) = 8%
Cálculo de ρ AB :
ρ AB =
8
( 2 ) ⋅ (5,66)
≅ 0,9994
4. DIVERSIFICAÇÃO
Significa deter de quantidades de ativos de múltiplo risco, evitando concentrar todo o
investimento em um único somente. Isto eliminará sua exposição ao risco de qualquer ativo
individual. Pode-se reduzir o nível de exposição ao risco, mas não se reduz a incerteza no
conjunto devido à possibilidade de variabilidade do mercado (risco único ou nãodiversificável).
Neste processo, para reduzir o risco total, é aconselhável combinar na carteira, ativos que
tenham correlação negativa ou positiva baixa, sendo que, quanto mais baixa for a correlação
existente, menor o risco resultante.
A diversificação reduz a variabilidade dos dados, o que estatisticamente, está relacionado com
a correlação imperfeita. Diz-se que para cada par de ativos, deve haver uma combinação que
resultará no menor risco possível (desvio padrão). E também, que somente uma combinação
de um número infinito de possibilidades pode minimizar o risco1.
A idéia principal do uso da diversificação na carteira de investimentos é combinar ativos de
modo que esta combinação diminua a variabilidade dos dados. Assim, ativos que tenham a
menor correlação possível, não iram variar da mesma forma em situações econômicas iguais,
diminuindo a possibilidade de perda de todo o capital investido.
A exemplificação desse processo é dada do seguinte modo: Sabe-se que um investidor deseja
formar uma carteira com dois ativos, com a intenção de investir metade de seu capital em um e
o restante no outro, devendo escolher entre os ativos A (quadro1), B (quadro 2) e C (quadro
7). Por motivo pessoal (o que é claramente possível neste trabalho), ele fixou o ativo A como
certo. Então, agora, basta achar o ativo que tenha, juntamente com A, a menor variabilidade de
dados2. Usando os processos descritos anteriormente, teremos:
Quadro 7: Valores esperados de retorno e cálculos relacionados ao ativo C.
Retorno
Situações Probabilidade: Retorno
µ (k i 2 )
µ (k i 2 ) − [ µ (k i )]2
esperado:
de mercado
P(k i )
(%): k i
µ (k i )
0,25
17
4,25
72,25
54,188
Recessão
0,50
15
7,50
112,50
56,250
Estável
0,25
13
3,25
42,25
31,688
Expansão
1,00
15,00
142,126
Total
σ (k C ) = (72,25 + 112,50 + 42,25) − (4,25 + 7,50 + 3,25) 2 = 1,41%
Cálculo do µ (k A , k C ) :
µ (k A , k C ) = 17 ⋅ 13 ⋅ 0,25 + 15 ⋅ 15 ⋅ 0,50 + 13 ⋅ 17 ⋅ 0,25 = 223,00%
1
Algumas pesquisas revelam que se pode ter uma boa diversificação com uma carteira contendo de 15 a 20
títulos.
2
Neste exemplo, não está sendo considerado que o risco de mercado afeta a carteira a ser formada.
Cálculo da covariância entre os ativos A e C:
COV AC = 223,00 − (15 ⋅ 15) = −2%
Cálculo de ρ AC :
ρ AC =
−2
( 2)2
≅ −1 (correlação negativa perfeita).
Da correlação encontrada, pode-se achar o desvio padrão de uma carteira que contenha os
ativos i e j, por meio de:
σ ij =
f i ⋅ σ i + f j ⋅ σ j + 2 ⋅ f i ⋅ f j ⋅ ρ ij ⋅ σ i ⋅ σ j
2
2
2
2
Sendo:
f i , f j : proporção do capital investida no ativo i e no j.
Então, temos:
σ AC = (50) 2 ⋅ (1,41) 2 + (50) 2 ⋅ (1,41) 2 + 2 ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ (−1) ⋅ 1,41 ⋅ 1,41 = 9940,5 − 9940,5 = 0%
Como o desvio padrão da carteira que contém os ativos A e C é 0 (zero), logo seu risco é nulo.
Assim, AC é a melhor combinação possível, visto que, o grau de correlação entre A e B é
+0,9994.
Se todo o risco da carteira pode ser eliminado (rico total) por meio da diversificação, diz-se
que esta carteira era afetada somente pelo risco não-sistemático ou diversificável. Mas há
também o risco sistemático ou não diversificável que está relacionado com as variações de
mercado que afetam o ativo individual ou a carteira em si. Este risco não pode ser minimizado,
mas previsto. Assim, o risco total existente em uma carteira é a soma do risco sistemático com
o não-sistemático.
5. SELEÇÃO DE CARTEIRAS
Este processo é o estudo de como e quando se deve investir compensando risco e retorno
esperado. Neste projeto, deve-se levar em consideração o ciclo de vida do investimento, a
melhor estratégia de negociação até a decisão final.
O objeto principal é encontrar a carteira que ofereça aos investidores a mais alta taxa de
retorno para um grau de risco razoável. O processo de otimização é feito encontrando a melhor
combinação de ativos de risco, e combinando os ativos arriscados ótimos com ativos sem
risco. O ativo livre de risco é um título que oferece uma taxa de retorno previsível a qualquer
tempo do investimento.
Suponhamos a existência de um ativo livre de risco com retorno esperado de 4% ao ano (a.a.)
e um ativo de risco D com retorno esperado de 15% a.a. e desvio padrão 2%. O quadro 8
mostra as alternativas para combinarmos os ativos.
Note que à medida que procuramos o maior retorno enfrentamos uma taxa de risco crescente.
Veja que os dados podem ser ordenados em forma linear, portanto para qualquer composição
da carteira podemos encontrar seu respectivo ponto nesta linha.
Quadro 8: Dados com proporções de investimentos.
Carteira
Proporção
Proporção
investida em D
investida no
ativo sem risco
(%): f Di
(%): f Si
100
0
K
75
25
L
50
50
M
25
75
N
0
100
O
Retorno
esperado da
carteira(%):
µ (k C i )
15
12,25
9,5
6,75
4
Desvio padrão
da carteira
(%): σ (k C i )
0,02
0,015
0,01
0,005
0
Gráfico 1: Ilustração da relação retorno-desvio padrão do quadro 8.
Relação retorno-desvio padrão
20
15
Retorno(%)
10
Linear
(Retorno(%))
5
0
0
0,01
0,02
0,03
Por exemplo, suponha a taxa de retorno de 10% a.a.. Primeiro, relacionando o retorno
esperado da carteira à proporção investida no ativo de risco e sabendo que o retorno esperado
em qualquer carteira, µ (k C i ) , é dado por:
µ (k C i ) = f i ⋅ µ (k i ) + (1 − f i ) ⋅ r f = r f + f i ⋅ [ µ (k i ) − r f ]
Sendo:
r f : a taxa de retorno do ativo livre de risco.
Fazendo µ (k i ) = 0,15 e r f = 0,04, temos:
µ (k C i ) = 0,04 + 0,11 ⋅ f D i
Então, para a carteira de retorno 10%a.a., temos:
0,10 = 0,04 + 0,11 ⋅ f Di
f Di = 54,545%
Ou seja, 54,5455 do investimento é feito no ativo de risco. O desvio padrão da carteira
σ (k C i ) , é o desvio padrão do ativo vezes o peso desse ativo na carteira:
σ (k C i ) = σ (k i ) ⋅ f D i = 0,02 ⋅ f D i
Para f D i = 54,545% , temos:
σ (k C i ) = 0,02 ⋅ 0,545 = 0,0109
Note que f D i =
σ (k C i )
, então a equação que representa a linha de compensação da carteira é:
σ (k i )
µ (k C i ) = r f + f Di ⋅ [ µ (k i ) − r f ] = r f +
[ µ (k i ) − r f ]
σ (k i )
⋅ σ (k C i ) = 0,04 + 5,5 ⋅ σ (k C i )
Analisando a equação, percebe-se que o retorno esperado da carteira pode ser expresso por
uma função que relaciona o desvio padrão, sendo um linha reta interceptando o eixo y em r f
e, tem um declive
µ (k i ) − r f
que mede o retorno extra esperado.
σ (k i )
Assim, se um investidor está analisando um investimento que está abaixo da linha de
compensação, caberia uma analise à linha , pois ela representa a mais alta taxa de retorno
esperado para um dado risco.
Para utilizarmos somente ativos de risco, suponha um ativo E de risco cujo retorno esperado é
de 9%a.a. e desvio padrão 0,03. Suponhamos, também, que o coeficiente de correlação entre D
e E seja zero.
Quadro 9: Proporções investidas nos ativos A e E.
Carteira
Proporção
Proporção
investida em A
investida no
ativo E (%):
(%): f Di
f Ei
100
0
P
75
25
Q
50
50
R
25
75
S
0
100
T
Retorno
esperado da
carteira(%):
µ (k C i )
15
13,5
12
10,5
9
Desvio padrão
da carteira
(%): σ (k C i )
0,02
0,168
0,18
0,0230
0,03
Gráfico 2: Ilustração da relação retorno-desvio padrão do quadro 9.
Retorno esperado
Relação retorno-desvio padrão
20
15
10
Retorno(%)
5
0
0
0,1
0,2
Desvio padrão
Combinando os dados dos quadros 8 e 9, haverá um ponto I chamado ponto de tangência entre
os dados, correspondendo a combinação ótima de ativos de risco, ou seja, é a carteira mais
eficiente.
Gráfico 3: Confronto de dados dos gráficos 1 e 2.
Retorno esperado
Confronto de dados dos gráficos 1 e 2.
20%
15%
retorno
10%
retorno
5%
0%
0
0,1
0,2
Desvio padrão
Esse ponto terá uma proporção de investimento de D dado por:
Linear
(retorno)
fDi =
ψ −τ
(ψ + ξ ) − δ
f Ei = 1 − f Di
Sendo:
ψ = [ µ (k D i ) − r f ] ⋅ σ 2 (k E i ) ;
τ = [ µ (k E i ) − r f ] ⋅ ρ DE ⋅ σ (k Di ) ⋅ σ (k Ei ) ;
ξ = [ µ (k E i ) − r f ] ⋅ σ 2 (k Di ) ;
δ = [ µ (k D i ) − r f + µ (k E i ) − r f ] ⋅ ρ DE ⋅ σ (k Di ) ⋅ σ (k Ei ) .
Ou seja, 83,193% em D e 16,8067 em E.
Também temos:
µ (k I i ) = 13,99%
σ (k I i ) = 0,0174
Reajustando a linha de compensação:
0,1399 − 0,04
⋅ σ (k C i ) = 0,04 + 5,7414 ⋅ σ (k C i )
0,0174
Suponha que o investidor deseje investir 50% na carteira I e 50% em ativos sem risco.
Chamando de W este investimento, então:
µ (k C i ) = 0,04 +
µ (kW ) = 0,04 + 0,5 ⋅ (0,0999) = 0,09 = 9%
σ (kW ) = 0,5 ⋅ 0,0174 = 0,0087
Sabendo que a carteira I tem 83,1933% de D e 16,8067% de E, a composição de W é:
Quadro 9: Distribuição de pesos para W.
0,5
Peso em ativos sem risco
Peso no ativo D
0,5 ⋅ 0,871933 = 0,41160
Peso no ativo E
0,5 ⋅ 0,168067 = 0,0840
1,00
Total
Interpretando os dados, se tivermos um investimento de R$ 10000,00 na carteira W, R$
5000,00 serão em ativos sem risco e R$ 4160,00 no ativo D e 840,00 no E.
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Por fim, após uma definição financeira do risco e de suas relações matemáticas, verifica-se
que um investimento financeiro pode ser previsível a medida que já se tenha formulado o nível
de aversão ao risco. O quanto se está disposto para assumir um dado risco com o intuito de
aumentar a rentabilidade do retorno.
Assim sendo, tanto o caráter pessoal quanto o matemático, devem ressaltar-se no ciclo de vida
financeiro pois, se de um lado os números podem mostrar possíveis caminhos através da
proporcionalidade do investimento, por outro a tomada da decisão final (que mesmo final pode
ser reavaliada a qualquer tempo) será sempre do investidor.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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