CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
CAPÍTULO 7
DISTÂNCIAS E ÂNGULOS
1 DISTÂNCIAS
Todos os conceitos vetoriais que são necessários para o cálculo de distâncias
e ângulos, de certa forma, já foram estudados nos capítulos anteriores. Apenas
vamos
utilizá-los
demonstradas
são
para
desenvolver
consequências
este
da
capítulo.
aplicação
As
destes
fórmulas
que
conceitos.
serão
Portanto,
acreditamos que a memorização de tais fórmulas não seja necessária, mas sim a
compreensão dos conceitos aplicados.
É importante lembrar que, considera-se como sendo a distância entre dois
objetos quaisquer a menor distância entre eles e, geometricamente, a menor
distância entre dois objetos é sempre a perpendicular.
1.1 Distância entre dois pontos
Sejam A(x1, y1, z1) e B(x2 , y2 , z2 ) dois pontos quaisquer do ℜ3. A distância
dAB , entre os pontos A e B, coincide com o módulo do vetor AB , ou seja:
dAB =| AB | . Assim: AB = B − A = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) . Portanto:
dAB =| AB | = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
A
dAB = | AB |
B
1.2 Distância de um ponto a uma reta
r
Sejam P um ponto e (r) : X = A + tv uma reta qualquer no ℜ3. A distância do
ponto P a reta (r) coincide com a altura relativa ao vértice P do triângulo
r
determinado pelos vetores AP e v . Então dP(r) = h . Vamos determinar esta altura
h da seguinte forma. Da geometria plana a área do triângulo é dada por
r
base ⋅ altura | v | ⋅h
AT =
=
. Do cálculo vetorial a área do triângulo é dada por
2
2
r
r
r
r
| v | ⋅h | AP × v |
| AP × v |
| AP × v |
AT =
⇒
=
. Portanto: dP(r) =
r
2
2
2
|v|
P
AP
(r)
A
dP(r) = h
r
v
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1.3 Distância de um ponto a um plano
Sejam P(xo , yo , zo ) um ponto não contido no plano (π) : ax + by + cz + d = 0 ,
r
cujo vetor normal é n = (a, b, c) . Pela figura abaixo, a distância do ponto P ao plano
(π), denotada por DP(π) , coincide com a distância entre os pontos P e Q, que é igual
ao módulo do vetor QP , onde Q é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano
(π) e, portanto, Q ∈ (π) . Seja Q(x,y,z), então: QP = (xo − x, yo − y, zo − z) . Os
r
vetores QP e n são paralelos, logo o ângulo entre eles é 0o. Então:
r
r
QP ⋅ n = | QP | ⋅ | n | ⋅ cos 0o
DP(π) =
⇒
(xo − x, yo − y, zo − z) ⋅ (a, b, c) = DP(π) ⋅ a2 + b2 + c2
axo + byo + czo − (ax + by + cz)
(*).
a2 + b2 + c2
Da
equação
do
plano
vem
⇒
que
ax + by + cz = −d . Substituindo a expressão (*) e tomando seu módulo (distância
não pode ser negativa) tem-se: DP(π) =
| axo + byo + czo + d |
a2 + b2 + c2
r
n
P
QP = DP(π)
(π)
Q
1.4 Distância entre duas retas
r
r
Sejam duas retas (r) : X = A1 + tv1 e (s) : X = A2 + tv2 . Se as retas forem
coincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre elas será adotada
com sendo igual a zero.
a) Reta Paralelas: A distância entre duas retas paralelas é constante e pode ser
determinada calculando-se a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra,
como foi feito no item (1.2) para calcular a distância de um ponto a uma reta.
r
| A 2 A1 × v 2 |
drs =
r
A1
(r)
| v2 |
A 2 A1
A2
drs
r
v2
(s)
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b) Reta Reversas ou Ortogonais: A distância entre as retas (r) e (s) reversas ou
ortogonais, coincide com a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores
r
r
diretores v1 e v2 e pelo vetor A1 A 2 . Na figura abaixo temos:
(r)
A1
r
v1
r drs = h
v1
⊡
r
v2
A2
(s)
Da geometria espacial, o volume do paralelepípedo é igual a VP = Ab ⋅ h e do cálculo
r r
vetorial: VP =|[A1A2 , v1, v2 ]| . A
r
determinado pelos vetores v1 e
área da base Ab é a área de um paralelogramo
r
v2 e a altura h = drs . Então:
r r
r
r
r r
Ab ⋅ h =|[A1A2 , v1, v2 ]| ⇒ | v1 × v2 | ⋅drs =|[A1A2 , v1, v2 ]| ⇒
drs =
r r
|[A1A2 , v1, v2 ]|
r
r
| v1 × v2 |
1.5 Distância entre dois planos
Sejam (π1 ) e (π1 ) dois planos de equações (π1 ) : a1 x + b1 y + c1z + d1 = 0 e
(π 2 ) : a2 x + b 2 y + c 2 z + d2 = 0 . Se os planos forem coincidentes, concorrentes ou
perpendiculares a distância entre eles será adotada com sendo igual a zero. No
caso em que eles forem paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer
ponto de um deles ao outro. Assim: Dπ1π2 =
| axo + byo + czo + d |
(π 1 )
a2 + b2 + c2
P
D π1π2
(π 2 )
1.6 Distância entre uma reta e um plano
r
Sejam (r) : X = A + tv uma reta e (π) : ax + by + cz + d = 0 um plano. Caso
a reta esteja contida no plano, ou for concorrente ou perpendicular ao plano a
distância entre eles e adotada como sendo zero. No caso em que a reta é paralela
ao plano, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta (r) ao plano
( π ). Assim:
A
(r)
drπ
drπ =
| axo + byo + czo + d |
2
2
2
a +b +c
(π)
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Exemplo
(1):
(r) : x − 3 =
y +1 z −2
x −1
z −1
=
e (s) :
= y −1 =
, ao plano (π) : 2x − y + 2z − 3 = 0 .
3
−2
3
−1
Determine
a
distância
do
ponto
P,
interseção
das
retas
Solução: Fazendo P=(r)∩(s), temos: de
y +1

x − 3 = 3 ⇒ y = 3x − 10 (*)
.
(r) : 
x − 3 = z − 2 ⇒ z = −2x + 8 (**)
−2

Substituindo (*) e (**) em (s), tem-se:
x −1
= 3x − 10 − 1 ⇒ x = 4 . Portanto,
3
P(4,2,0). Usando a fórmula da distância de um ponto a um plano tem-se:
DP(π) =
| axo + byo + czo + d |
a2 + b2 + c2
r
, onde o vetor normal n = (a, b, c) = (2,−1,2) e o ponto
P(xo , yo , zo ) = (4,2,0) . Então: DP(π) =
|2 ⋅ 4 − 2 + 2 ⋅ 0 − 3|
22 + (−1)2 + 22
=
|8 − 2 − 3|
9
⇒ DP(π) = 1 u.c.
(u.c. = unidades de comprimento).
Exemplo (2): Determine a distância entre as retas (r) :
(s) :
x y −1 z + 2
=
=
3
2
−1
e
x −1
y
z +1
=
=
.
−6
−4
2
A (0,1,−2)
Solução: Note que as retas (r) e (s) são paralelas e de (r) :  r 1
e de
v1 = (3,2,−1)
A (1,0,−1)
(s) :  r 2
. Vamos calcular a distância do ponto A1 à reta (s) usando a
v2 = (−6,−4,2)
r
r
r
i
j
k
r
r
r
r
r
| A1 A 2 × v 2 |
expressão drs =
. Então: A1 A 2 × v 2 = − 1
1 − 1 = −2 i + 8 j + 10k ⇒
r
| v2 |
−6 −4
2
r
2 42
| A 2 A1 | = 2 42 e | v2 | = 2 14 . Voltando a expressão: drs =
⇒ drs = 3 u.c.
2 14
2 ÂNGULOS
2.1 Ângulo entre dois vetores:
r
r
O ângulo entre dois vetores u = AB e v = CD , não nulos, é o ângulo
)
r r
θ = ang(u, v) = BPD entre os segmentos orientados que representam os vetores,
com a restrição 0o ≤ θ ≤ 180o , quando os vetores são transportados para um
mesmo ponto de origem P.
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D
A
B
r
u
D
r
v
C
r
v
A ≡C
θ
r
u
B
Através da expressão do produto escalar entre dois vetores, podemos
determinar o ângulo θ entre eles em função do valor do cosθ. Assim, sempre
usaremos a expressão abaixo para determinar o ângulo entre dois vetores.
r r
r r
r
r
u⋅v
Portanto, u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ ⇒ cos θ = r
r . Como 0o ≤ θ ≤ 180o , neste
|u|⋅| v |
intervalo temos que cos θ = − cos(180 o − θ) ⇒ cos θ =| cos θ |=| cos(180 o − θ) |.
2.2 Ângulo entre duas retas
r
r
Sejam duas retas (r) : X = A1 + tv1 e (s) : X = A2 + tv2 . O ângulo α entre as
duas retas é sempre o menor ângulo formado por elas, donde podemos concluir
que 0 o ≤ α ≤ 90 o .
Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é adotado
com sendo 0o. Se as retas forem perpendiculares ou ortogonais, por definição, o
ângulo entre elas já está definido e é igual a 90o.
No caso em que as retas são concorrentes ou reversas, podemos determinar
o ângulo entre elas através do ângulo entre seus vetores diretores. Assim, seja α o
ângulo entre as retas (r) e (s) e seja θ o ângulo entre seus vetores diretores.
r
r
v1 ⋅ v 2
Como vimos anteriormente temos que cos θ = r
. Então:
r
| v1 | ⋅ | v 2 |
a) se 0 o ≤ θ ≤ 90 o ⇒ α = θ
b)
se
90o < θ ≤ 180o ⇒ α = 180o − θ
(s)
r
v2
θ=α
r
v1
(r)
r
v1
θ
r
v2
α
(s)
(r)
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Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: cos α =| cos θ |=| cos(180 o − θ) | ⇒
r
r
v1 ⋅ v 2
.
cos α =
r
r
| v1 | ⋅ | v 2 |
2.3 Ângulo entre dois planos
Considere dois planos de equações gerais (π1 ) : a1 x + b1 y + c1z + d1 = 0 e
r
r
(π 2 ) : a2 x + b 2 y + c 2 z + d2 = 0 com seus respectivos vetores normais n1 e n2 . O
ângulo α entre os dois planos é sempre o menor ângulo formado por eles e
0 o ≤ α ≤ 90 o .
Se os planos forem coincidentes ou paralelos o ângulo entre eles é adotado
com sendo 0o. Se os planos forem perpendiculares, por definição, o ângulo entre
eles já está definido e é igual a 90o.
No caso em que os planos são concorrentes, podemos determinar o ângulo
entre eles através do ângulo entre seus vetores normais. Assim, seja α o ângulo
entre os planos (π1) e (π2) e seja θ o ângulo entre seus vetores normais. Então:
a) se 0 o ≤ θ ≤ 90 o ⇒ α = θ
b)
se
r
90o < θ ≤ 180o ⇒ α = 180
n2o −αθ= θ
r
n1
r
n1
r
n2
α
r
n1
r
n2
θ
(π 2 )
α
r
n1
(π 2 )
α
(π1 )
r
n2
(π1 )
Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: cos α =| cos θ |=| cos(180 o − θ) | ⇒
r
r
n1 ⋅ n2
.
cos α =
r
r
| n1 | ⋅ | n2 |
2.4 Ângulo entre uma reta e um plano
r
r
Considere uma reta de equação vetorial (r) : X = A + tv , cujo vetor diretor é v
r
e um plano de equação geral (π) : ax + by + cz + d = 0 , cujo vetor normal é n . O
ângulo α entre a reta e o plano e o menor ângulo formado por eles e 0 o ≤ α ≤ 90 o .
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Caso a reta seja paralela ao plano, em particular, se ela estiver contida no
plano o ângulo entre eles é adotado como sendo 0o. Se a reta for perpendicular ao
plano, por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o.
No caso em que a reta é concorrente ao plano, podemos determinar o ângulo
entre eles através do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao
plano. Assim, seja α o ângulo entre a reta (r) e o plano (π) e seja θ o ângulo entre
o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano. Então:
a) se 0o ≤ θ ≤ 90o ⇒ α = 90o − θ
r
n
(r)
r
θ
v
α
(π)
b) se 90o < θ ≤ 180o ⇒ α = θ − 90o
(r)
r
v
α
(π)
θ
r
n
Nestes casos devemos determinar o ângulo θ entre o vetor diretor da reta e o
r r
v ⋅n
e,
vetor normal ao plano entre através do valor de cos θ = r
r
| v|⋅|n|
posteriormente,
determinar
o
ângulo
α,
uma
vez
que:
a)
se
0o ≤ θ ≤ 90o ⇒ α = 90o − θ e b) se 90o < θ ≤ 180o ⇒ α = θ − 90o .
Exemplo (3): Determine o ângulo entre os planos (π1) : 2x + y − z + 3 = 0
e
(π2 ) : x + y − 4 = 0 .
Solução: Estamos interessados em determinar o ângulo α entre os planos, em
r
r
função do ângulo θ entre os vetores normais que são n1 = (2,1,−1) e n2 = (1,1,0) .
r r
r r
Note que: como {n1, n2} LI e n1 ⋅ n2 ≠ 0 , logo os planos são concorrentes. Então:
cos α =| cos θ |=
cos α =
r
r
n1 ⋅ n2
r
r
n1 ⋅ n2
⇒ cos α =
2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 0
2 2 + 12 + (−1)2 ⋅ 12 + 12 + 02
=
3
6⋅ 2
⇒
3
. Portanto, α = 30o .
2
Exemplo (4): Sejam a reta (r) : x =
y −1 z −2
=
e o plano (π) : x − y + 5z + 3 = 0 .
−2
3
Qual é o ângulo entre eles?
Solução: Queremos determinar o ângulo α entre a reta e o plano em função do
r
ângulo θ entre o vetor diretor da reta v = (1,−2,3) e o vetor normal ao plano
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r
n = (1,−1,5) . Note que a reta é concorrente ao plano. Vamos determinar θ usando a
r r
1 ⋅ 1 + (−2) ⋅ (−1) + 3 ⋅ 5
v ⋅n
⇒
expressão cos θ = r
r . Então: cos α =
| v|⋅|n|
12 + (−2)2 + 32 ⋅ 12 + (−1)2 + 52
cos θ =
42
.
7
cos θ > 0
Como
⇒
0 o ≤ θ ≤ 90 o
⇒
α = 90o − θ .
Portanto,
 42 
.
α = 90 o − arccos 
 7 


Exercícios Propostos
1) Sejam o plano (π) : 3x + 5y + 5z − 15 = 0 . Ao "passar" pelo ℜ3 ele deixa traços e
intercepta os eixos coordenados em pontos P, Q e R, cujo esboço do plano (π) é o
triângulo PQR. Determine o ângulo do vértice R do triângulo PQR.
 3 17 

Resp: θ = α = arccos 
 34 


r
2) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores são v1 = (f1, g1, h1) e
r
r r
r
r
v2 = (f2 , g2 ,2h1) , sabendo-se que AB = v1 + v2 , com A(2,3,-1) e B(4,-3,5), v1 ⋅ i = 1
r
r r
r
e v2 × k = −8 i − j .
Resp:
 7 
θ = arccos 

 27 
3) Sejam A(2,3,0), B(2,1,4) e C(4,1,4) vértices de um triângulo ABC. Sejam M e N
pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Determine o ângulo entre as
 30 

Resp: θ = arccos 
 6 


retas suportes do lado AC e do segmento MN.
4)
Determine
(s) :
x −1 y −2
=
e z = 2.
4
2
5)
Determine
a
distância
a
(π) : x + 2y − 5z − 30 = 0 .
distância
entre
as
retas
(r) :
x −1
= y − 2 e z = −1
2
e
Resp: d = 3 u.c.
da
reta
(r) :
x
= y −5 = z −2
3
ao
plano
Resp: d = 30 u.c.