UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
O TEOREMA DE STOKES
MARCELO DOS SANTOS
Ilhéus-Bahia
Novembro-2010
MARCELO DOS SANTOS
O TEOREMA DE STOKES
Trabalho de conclusão de curso elaborado
junto ao Colegiado do Curso de Graduação
em Matemática da Universidade Estadual
de Santa Cruz (UESC), sob orientação do
Prof. Darlan Ferreira de Oliveira, como
requisito parcial para obtenção do tı́tulo
de Bacharel em Matemática.
Ilhéus-Bahia
2010
BANCA EXAMINADORA
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e cientı́ficos, a reprodução total ou parcial
deste Trabalho de Conclusão de Curso por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:
Local e Data:
,
DEDICATÓRIA
A minha mãe Doralice Dos Santos
”Se não está em nosso poder o discernir as
melhores opiniões, devemos seguir as mais
prováveis”.(René Descartes)
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por ter me dado a coragem necessária para enfrentar os momentos difı́ceis.
A minha amada famı́lia: minha mãe Doralice dos Santos, meu pai José Augusto dos
Santos , meus irmãos João José e Rogério Augusto por sempre acreditarem em mim e
pela força ao longo de todos estes anos de minha graduação.
Ao professor Darlan Ferreira de Oliveira, meu orientador, pelas conversas matemáticas,
incentivos, ensinamentos, amizade escolha do tema e toda sua dedicação durante todo o
perı́odo de elaboração deste trabalho.
Aos meus colegas de turma: Tábita Thalita e Robson Cajueiro pelas conversas, crı́ticas
construtivas e amizade.
A professora Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana pelas sugestões nas correções desse
trabalho, pelo incentivo que me deu para estudar mais e por ser uma professora esclarecedora dos meus questionamentos.
Aos professores Nestor Felipe, Afonso Henriques, André Nagamine, José Reis Damaceno, Sérgio Álvarez, José Carlos Chagas, Erinalva Calasans, que contribuiram, de forma
significativa, na minha formação acadêmica com conversas matemáticas e não-matemáticas.
Aos meus amigos da UESC, pelas várias conversas, especialmente Thiago Campos,
Mayve Lima, Willian Monteiro e João Lúcio.
A todos que compõem o colegiado do curso de matemática em especial a nossa secretária Ana Carolina da Mata Virgem Lemos pela simpatia e atenção aos nossos pedidos.
Na tentativa de não omitir nenhum nome: a todos os amigos do Salobrinho, do colégio
CEAMEV e da UESC, pelo apoio, compreensão e carinho, pelas piadas e pela força.
RESUMO
A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associados aos nomes ilustres de Green, Gauss e Stokes. Com o uso das formas diferenciais,
especialmente da diferenciação exterior e do operador pull-back, todos esses teoremas se
reduzem a um único, conhecidoR como Teorema
de Stokes, o qual se exprime de maneira
R
concisa e elegante sob a forma C dw = ∂C w. Explicar e demonstrar a igualdade acima,
esclarecendo cada conceito nela envolvido e ilustrar sua utilidade na redemonstração dos
Teoremas Integrais é o principal objetivo deste trabalho. O primeiro capı́tulo procura dar
um tratamento elementar e conciso aos conceitos de formas diferenciais, produto exterior,
diferencial exterior e operador pull-back. No capı́tulo dois inicia-se o estudo dos teoremas
da análise vetorial do tipo Stokes, a saber: o teorema de Green, Gauss e Stokes. Antes
de demonstrar tais teoremas, são introduzidos alguns conceitos tais como, curva suave,
curva fechada, região simples, o operador (∇) e o (rot) de um campo vetorial. Por fim,
finalizamos o capı́tulo com as demonstrações dos teoremas integrais. No capı́tulo três é
definida a noção de cubos singulares, cadeias, faces e fronteira. É definido ainda, o conceito de integração em cadeias e o elemento de volume dV. Em seguida é apresentada a
demonstração do teorema de Stokes em cadeias. O capı́tulo é finalizado redemonstrando
os teoremas clássicos do cálculo utilizando o teorema de Stokes.
Palavras-chave: Formas Diferenciais; Teorema de Stokes; Teoremas clássicos da
análise vetorial; operador diferencial; operador pull-back; n-cadeias.
Abstract
The Vector Analysis classic revolves around so-called Integral Theorems, associated
with the illustrious names of Green, Gauss and Stokes. With the use of differential forms,
especially the exterior differentiation operator and the pull-back, all these theorems are
reduced
known as Stokes’ theorem, which is expressed in a concise and elegant
R to a single,
R
form C dw = ∂C w. Explain and demonstrate the equality above, explaining each concept involved in it and illustrate its usefulness in redemonstração Theorems of Integral is
the main objective of this work. The first chapter seeks to provide a concise treatment and
elementary concepts of differential forms, exterior product, exterior differential operator
and pull-back. In Chapter Two begins the study of the theorems of vector analysis of the
Stokes type, namely the theorem of Green, Gauss and Stokes. Before demonstrating these
theorems are introduced concepts such as gentle curve, closed curve, simple region, the
operator del (∇) and rot of a vector field. Finally, we’ve closed the chapter with the full
proofs of the theorems. In chapter three is defined the notion of natural hubs, chains, and
boundary faces. It also defined the concept of integration in chains and volume element
dV. Next is presented a demonstration of Stokes’ theorem in chains. The chapter ends
redemonstrando the theorems of calculation using Stokes’ theorem.
Keywords: Differential Forms; Stokes’theorem; classical theorems of vector analysis,
differential operator, operator pull-back, n-chains.
Sumário
Introdução
Este trabalho trata do Teorema de Stokes em cadeias. George Stokes, matemático
e fı́sico britânico nascido em Skreen, Sligo, Irlanda, 13 de agosto de 1819, faleceu em
Cambridge, Inglaterra, 1o de fevereiro de 1903.
No capı́tulo 1, estão as noções preliminares, que envolve os conceitos de formas diferenciais, campos vetoriais, diferencial exterior e operador pull-back. Enquanto no capı́tulo 2
apresentamos o Teorema de Stokes na versão do Cálculo Vetorial , ao lado dos inseparáveis
companheiros, o Teorema de Green e o da Divergência. No capı́tulo 3, apresentaremos o
tema central de nosso trabalho que é o Teorema de Stokes em cadeias, abrindo uma breve
introdução sobre k−cubos, cadeias, integração em cadeias e o elemento de volume. A
história desse resultado, o Teorema de Stokes, tem aspectos curiosos, e o próprio teorema
tem passado por metamorfoses que impressionam.
Foi ele mencionado pela primeira vez em 2 de julho de 1850, num adendo a uma
carta de Sir Willian Thomson (Lord Kelvin) a Stokes. Ele se torna de domı́nio público
como a questão número 8 do Smith’s Prize Examination, ano de 1854. Esse exame era
parte de uma competição anual a qual concorriam os melhores alunos da Universidade
de Cambridge. Stokes organizou-a de 1849 a 1882 e, na ocasião de seu falecimento, esse
resultado já era conhecido por toda a comunidade como ”O Teorema de Stokes”’.
11
Capı́tulo 1
Formas Diferenciais
Este capı́tulo visa dar uma noção de alguns dos principais conceitos e resultados da Geometria Diferencial, necessários para compreensão dos resultados que pretendemos demonstrar.
1.1
Formas Diferenciais em Rn
A noção de formas diferenciais engloba idéias tais como elementos de área e de volume
de uma superfı́cie, o trabalho exercido por uma força, o fluxo de um fluido, a curvatura
de uma superfı́cie no espaço, etc. Uma importante operação sobre formas diferenciais é a
derivação exterior, a qual generaliza os operadores divergente, gradiente e rotacional do
cálculo vetorial. O estudo de formas diferenciais, o qual foi iniciado por E. Cartan por
volta do ano 1900, é as vezes denominado de Cálculo diferencial exterior.
Um estudo matematicamente rigoroso de formas diferenciais requer o conhecimento
das ferramentas de álgebra multilinear. Felizmente, é perfeitamente possı́vel adquirir um
conhecimento sólido de formas diferenciais, sem entrar neste formalismo. Esse é o objetivo
deste capı́tulo.
Para fixarmos ideias, vamos inicialmente introduzir as definições em R3 .
Seja p um ponto do R3 . O conjunto de vetores aplicados em p, chama-se espaço tangente de R3 em p, e será denotado por Tp R3 . Com as operações usuais Tp R3 é um espaço
vetorial.
Definição 1.1.1 Um campo de vetores em R3 é uma aplicação v : R3 → Tp R3 que a cada
ponto p ∈ R3 associa v(p) ∈ Tp R3 onde v(p) pode ser escrito na forma
v(p) = a1 (p)e1 + a2 (p)e2 + a3 (p)e3 ,
12
sendo {e1 , e2 , e3 } a base canônica do R3 . O campo de vetores v diz-se diferenciável quando
as funções ai : R3 → R para 1 ≤ i ≤ 3, são diferenciáveis.
Para cada espaço tangente Tp R3 , consideremos o espaço dual (Tp R3 )∗ , que é o conjunto
dos funcionais lineares f : Tp R3 → R. Uma base para (Tp R3 )∗ , é obtida tomando dxi (p),
1 ≤ i ≤ 3, onde xi : R3 → R é a projeção na i-ésima coordenada. De fato, o conjunto
dxi (p), 1 ≤ i ≤ 3, forma uma base, pois dxi (p) ∈ (Tp R3 )∗ , e
∂xi
(p) =
dxi (p)(ej ) =
∂xj
0, se i 6= j
1, se i = j
isto é, {dx1 (p), dx2 (p), dx3 (p)} é a base de (Tp R3 )∗ dual da base {e1 (p), e2 (p), e3 (p)} de
Tp R3 .
Definição 1.1.2 Um campo de formas lineares ou forma exterior de grau 1 em R3 é uma
aplicação w que a cada p ∈ R3 associa w(p) ∈ (Tp R3 )∗ . w pode ser escrita na forma
w(p) = a1 (p)dx1 (p) + a2 (p)dx2 (p) + a3 (p)dx3 (p),
onde ai são funções definidas em R3 e tomando valores em R. w chama-se forma exterior
continua quando as funções ai são continuas. Se as funções ai forem diferenciáveis, w
passa a ser chamada de forma diferencial de grau 1.
Seja ∧2 (Tp R3 )∗ o conjunto das aplicações ϕ : Tp R3 ×Tp R3 → R bilineares (isto é, linear
em cada variável) e alternadas (isto é, ϕ(u, v) = −ϕ(v, u)). Com as definições usuais de
soma e produto por escalar ∧2 (Tp R3 )∗ se torna um espaço vetorial.
Definição 1.1.3 Sejam ϕ1 , ϕ2 ∈ (Tp R3 )∗ funcionais lineares. Podemos obter um elemento ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ ∧2 (Tp R3 )∗ definindo
ϕ (v ) ϕ1 (v2 )
ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 ) = det(ϕi (vj )) = 1 1
ϕ2 (v1 ) ϕ2 (v2 )
.
Como o determinante de uma matriz 2x2 é uma função bilinear de suas linhas e colunas,
ou seja,
ϕ1 (v1 + u) ϕ1 (v2 ) ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 + u, v2 ) = ϕ2 (v1 + u) ϕ2 (v2 ) = ϕ1 (v1 + u)ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 + u)
= ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) + ϕ1 (u)ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (u)
= ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 ) + ϕ1 (u)ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (u)
13
ϕ1 (v1 ) ϕ1 (v2 ) ϕ1 (u) ϕ1 (v2 )
+
= ϕ2 (v1 ) ϕ2 (v2 ) ϕ2 (u) ϕ2 (v2 )
= ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 ) + ϕ1 ∧ ϕ2 (u, v2 )
Analogamente, ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 + u) = ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 ) + ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , u)
e
ϕ1 (v1 ) ϕ1 (λv2 ) ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , λv2 ) = ϕ2 (v1 ) ϕ2 (λv2 ) = ϕ1 (v1 )ϕ2 (λv2 ) − ϕ1 (λv2 )ϕ2 (v1 )
= λϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) − λϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 )
= λ(ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 ))
ϕ1 (v1 ) ϕ1 (v2 ) = λϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 ),
= λ
ϕ2 (v1 ) ϕ2 (v2 ) quaisquer que sejam v1 , v2 , u ∈ Tp R3 e λ ∈ R. E alternada,
ϕ1 ∧ ϕ2 (v1 , v2 ) = ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ) − ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 )
= −(ϕ1 (v2 )ϕ2 (v1 ) − ϕ1 (v1 )ϕ2 (v2 ))
= −ϕ1 ∧ ϕ2 (v2 , v1 ),
segue-se que ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ ∧2 (Tp R3 )∗ .
Segue da definição acima que:
dxi (p) ∧ dxj (p) = −dxj (p) ∧ dxi (p)
e
dxi (p) ∧ dxi (p) = 0.
Mostraremos na proposição ??, de uma maneira mais geral, que o conjunto
{dxi (p) ∧ dxj (p), i < j} forma uma base para o espaço ∧2 (Tp R3 )∗ .
Definição 1.1.4 Um campo de formas bilineares alternadas ou forma exterior de grau 2
em R3 é uma aplicação w que a cada p ∈ R3 associa w(p) ∈ ∧2 (Tp R3 )∗ ; w pode ser escrito
na forma
w(p) = a12 (p)dx1 (p) ∧ dx2 (p) + a13 (p)dx1 (p) ∧ dx3 (p) + a23 (p)dx2 (p) ∧ dx3 (p).
As funções aij : Rn → R, cujos valores em cada ponto p ∈ Rn são as coordenadas do
funcional w(p). Se as funções coordenadas aij forem diferenciáveis, w é chamada uma
forma diferencial de grau 2 .
Passamos agora a generalizar a noção de formas diferenciais a Rn . Sejam p ∈ Rn ,
Tp Rn o espaço tangente de Rn em p, (Tp Rn )∗ o seu espaço dual. Com as operações usuais
(Tp Rn )∗ é um espaço vetorial.
14
Definição 1.1.5 Seja ∧k (Tp Rn )∗ o conjunto das aplicaçõe ϕ : Tp Rn × · · · × Tp Rn → R k{z
}
|
k−vezes
lineares, isto é, seus valores ϕ(v1 , · · · , vk ) dependem linearmente de cada uma das variáveis
(v1 , · · · , vk ) ∈ Tp Rn , ou seja,
ϕ(v1 , v2 · · · , vi + ui , · · · , vk ) = ϕ(v1 , v2 · · · , vi , · · · , vk ) + ϕ(v1 , v2 · · · , ui , · · · , vk )
e
ϕ(v1 , v2 · · · , λvi , · · · , vk ) = λϕ(v1 , v2 · · · , vi , · · · , vk )
quaisquer que sejam (v1 , · · · , vk ) ∈ Tp Rn e λ ∈ R.
As operações usuais de soma de aplicações e produto de um aplicação por uma escalar fazem do conjunto ∧k (Tp Rn )∗ um espaço vetorial. Diremos que uma aplicação
ϕ ∈ ∧k (Tp Rn )∗ é alternada se ϕ(v1 , v2 , · · · , vk ) = 0 sempre que a sequência (v1 , v2 , · · · , vk )
possuir repetições, ou seja, se existirem i 6= j com vi = vj e diremos que é anti-simétrica
se
ϕ(v1 , v2 , · · · , vi , · · · , vj , · · · , vk ) = −ϕ(v1 , v2 , · · · , vj , · · · , vi , · · · , vk )
para quaisquer (v1 , v2 , · · · , vk ) ∈ Tp Rn .
Se ϕ1 , · · · , ϕk são funcionais lineares, podemos obter um elemento ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ∈
∧k (Tp Rn )∗ definido por:
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk (v1 , · · · , vk ) = det(ϕi (vj )).
Decorre das propriedades de determinantes que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk é de fato k-linear e alternada.
Em particular,
dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p) ∈ ∧k (Tp Rn )∗ .
Proposição 1.1.6 O conjunto {dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p)}, i1
ij ∈ {1, · · · , n}, forma uma base para (Tp Rn )∗ .
<
...
<
ik , onde
Demonstração . Mostremos que os elementos do conjunto são LI e geram (Tp Rn )∗ .
De fato, se
X
ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0, ij ∈ {1, · · · , n}
i1 <···<ik
então aplicando a (ej1 , · · · , ejk ), j1 < · · · < jk e jl ∈ {1, ..., n} obteremos:
aj1 ···jk =
X
ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik (ej1 , · · · , ejk )
=
X
ai1 ···ik det(dxik (ejn )) = 0,
{z
}
|
=0
15
para todo j1 , · · · , jk . Logo os coeficientes aj1 ···jk são nulos e {dxi1 ∧ · · · ∧ dxik } são LI.
Vamos agora mostrar que se f ∈ ∧k (Tp Rn )∗ , então f é uma combinação linear da
forma
X
ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
f=
i1 <···<ik
Tomemos
g=
X
f (ei1 , · · · , eik )dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
i1 <···<ik
um elemento de ∧k (Tp Rn )∗ temos, g(ei1 , · · · , eik ) = f (ei1 , · · · , eik ) para todo i1 , · · · , ik
segue que f = g. Com efeito, provemos por indução sobre k, sejam f, g : Tp Rn → R,
funcionais lineares.
P
n
Dado
u
∈
T
R
arbitrário,
logo
podemos
escrever
u
=
aik eik . Então f (u) =
p
P
P
aik f (eik ) = aik g(eik ) = g(u), portanto f = g.
Supondo agora que a igualdade seja válida para aplicações k−lineares , e provemos
que vale para aplicações (k + 1)−lineares. Sejam f, g ∈ ∧k+1 (Tp Rn )∗ , tais que
g(ei1 , · · · , eik+1 ) = f (ei1 , · · · , eik+1 )
Para cada u ∈ Tp Rn , definamos as aplicações k−lineares fu , gu ∈ ∧k (Tp Rn )∗ pondo
fu (ei1 , · · · , eik ) = f (ei1 , · · · , eik , u)
e
gu (ei1 , · · · , eik ) = g(ei1 , · · · , eik , u).
Então, para todo ∈ G (onde G é o conjunto de geradores de Tp Rn ), temos fu = gu .
Obsevando que u 7−→ fu , u 7−→ gu são funcionais lineares de Tp Rn em ∧k (Tp Rn )∗ , pela
primeira parte temos f = g.
Fazendo f (ei1 , · · · , eik ) = ai1 ···ik obtemos,
X
f (ei1 , · · · , eik ) ∧ · · · ∧ dxik =
i1 <···<ik
X
ai1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik = f.
i1 <···<ik
Portanto o conjunto {dxi1 ∧ · · · ∧ dxik } forma uma base para (Tp Rn )∗ .
Definição 1.1.7 Uma k-forma exterior em Rn , (k ≥ 1) é uma aplicação w que a cada
p ∈ Rn associa w(p) ∈ ∧k (Tp Rn )∗ . Assim w pode ser escrito como:
X
w(p) =
ai1 ···ik (p)dxi1 (p) ∧ · · · ∧ dxik (p), ij ∈ {1, · · · , n}.
i1 <···<ik
ai1 ···ik são aplicações de Rn em R. Se as funções ai1 ···ik forem diferenciáveis, w é chamada
uma k-forma diferencial.
16
Indiquemos por I a k-upla (i1 , · · · , ik ), i1 < · · · < ik , ij ∈ {1, · · · , n} e tomemos para
w a notaçao
X
w=
aI dxI
I
⇒ w(p) =
X
aI (p)dxI (p).
I
Convencionaremos que uma 0-forma diferencial em Rn é uma aplicação diferenciável
f : Rn → R .
Exemplo 1.1.8 Em R4 temos os seguintes tipos de formas diferenciais, onde ai são
funções diferenciáveis em R4 .
1 − f ormas : a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3 + a4 dx4 ;
2 − f ormas : a12 dx1 ∧ dx2 + a13 dx1 ∧ dx3 + a14 dx1 ∧ dx4 + a23 dx2 ∧ dx3 +
a24 dx2 ∧ dx4 + a34 dx3 ∧ dx4 ;
3 − f ormas : a123 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a124 dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + a134 dx1 ∧ dx3 ∧ dx4 +
a234 dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ;
4 − f ormas : a1234 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ;
De agora em diante só trataremos de formas diferenciais.
Se w e ϕ são duas k-formas:
w=
X
I
aI dxI , ϕ =
X
bI dxI I = (i1 , ..., ik ), i1 < ... < ik
I
podemos definir a soma
w+ϕ =
X
=
X
aI dxI +
I
X
bI dxI
I
(aI + bI )dxI .
I
Na definição ?? vimos o produto de funcionais em (Tp Rn )∗ . Agora vamos definir o que
seja o produto de uma k−forma por uma s−forma.
Se w é uma k-forma e ϕ uma s-forma é possı́vel definir uma operação, chamada produto
exterior w ∧ ϕ obtendo uma ( k + s )-forma definida como segue:
17
X
Definição 1.1.9 Sejam w =
aI dxI , I = (i1 , · · · , ik ), i1 < · · · < ik e
I
X
ϕ=
bJ dxJ , J = (j1 , · · · , js ), j1 < · · · < js . Por definição
J
w∧ϕ=
X
aI bJ dxI ∧ dxJ .
I,J
A operação de produto exterior goza das seguintes propriedades :
Proposição 1.1.10 Se w é uma k - forma, ϕ uma s-forma e θ uma r-forma temos:
(i) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ)
(ii) w ∧ ϕ = (−1)ks ϕ ∧ w
(iii) w ∧ (ϕ + θ) = w ∧ ϕ + w ∧ θ
Demonstração . (i) Seja w =
X
aI dxI , ϕ =
X
X
aI dxI ) ∧ (
X
X
=
X
=
X
cH dxH , temos que
X
cH dxH )
bJ dxJ )] ∧ (
aI bJ dxI ∧ dxJ ) ∧
I,J
X
H
H
J
I
= (
bJ dxJ e θ =
J
I
(w ∧ ϕ) ∧ θ = [(
quando r = s
X
cH dxH
H
aI bJ cH dxI ∧ dxJ ∧ dxH
I,J,H
X
bJ cH dxJ ∧ dxH )
aI dxI ∧ (
J,H
I
= w ∧ (ϕ ∧ θ)
(ii) Seja w =
X
aI dxI e ϕ =
I
w∧ϕ =
X
X
bJ dxJ , onde I = (i1 , · · · , ik ) e J = (j1 , · · · , js )
J
aI bJ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs
I,J
=
X
bJ aI (−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxj1 ∧ dxik dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs
I,J
=
X
bJ aI (−1)k dxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs
I,J
18
Repetindo o mesmo raciocı́nio para cada dxjl , jl ∈ J, e como J tem s elementos
obtemos
X
w∧ϕ=
bJ aI (−1)ks dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
I,J
Portanto
w ∧ ϕ = (−1)ks ϕ ∧ w.
(iii) Seja w =
X
aI dxI , ϕ =
I
X
bJ dxJ e θ =
J
X
cH dxH , como ϕ e θ são r− formas
H
podemos tomar J = H. Então
w ∧ (ϕ + θ) =
X
X
X
aI dxI ∧ (
bJ dxJ +
cJ dxJ )
=
X
I
J
=
X
aI (bJ + cJ )dxI ∧ dxJ
I
J
J
X
aI dxI ∧ ( (bJ + cJ )dxJ )
I,J
=
X
=
X
(aI bJ + aI cJ )dxI ∧ dxJ
I,J
aI bJ dxI ∧ dxJ +
I,J
X
aI cJ dxI ∧ dxJ
I,J
= w ∧ ϕ + w ∧ θ.
Em geral, o produto exterior de uma k-forma e uma s-forma é uma (k+s)-forma. Visto
que uma 0-forma é meramente uma função diferenciável, a multiplicação por uma 0-forma
não afeta o grau de uma forma.
O produto exterior de uma k-forma e uma s-forma será zero em Rn se k + s é maior
que n, visto que existirão repetições.
Exemplo 1.1.11 Para as formas diferenciais no R3 com (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) α =
xdx − ydy e β = xdx − zdy + y 2 dz, temos:
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0 , dy ∧ dx = −dx ∧ dy e dx ∧ dz = −dz ∧ dx, logo
α ∧ β = (xdx − ydy) ∧ (xdx − zdy + y 2 dz)
= x2 dx ∧ dx − xydy ∧ dx − xzdx ∧ dy + yzdy ∧ dy + xy 2 dx ∧ dz − y 3 dy ∧ dz
= x(y − z)dx ∧ dy − y 3 dy ∧ dz − xy 2 dz ∧ dx.
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Embora dxi ∧ dxi = 0, pode ocorrer que para alguma forma diferencial w tenhamos
w ∧ w 6= 0. Por exemplo, se w = x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 , é um 2−forma no R4 teremos
w ∧ w = (x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 ) ∧ (x1 dx1 ∧ dx2 + x2 dx3 ∧ dx4 )
= x1 2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx1 ∧ dx2 + x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 +
+ x2 x1 dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2 + x2 2 dx3 ∧ dx4 ∧ dx3 ∧ dx4
= x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
= 2x1 x2 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
6= 0
1.2
A Diferencial Exterior
A diferencial exterior de uma forma w é definida de tal modo que os vários teoremas
do Cálculo, conhecidos sob os nomes de Green, Gauss, Stokes e até mesmo o Teorema
fundamental do Cálculo
Z
b
df = f (b) − f (a),
a
sejam resumidos numa única fórmula, que se escreve
Z
Z
dw =
w
S
∂S
a qual é conhecida como Teorema de Stokes. Nosso próximo passo, a caminho desta
fórmula, será a definição e o estabelecimento de propriedades básicas sobre dw.
Definição 1.2.1 Seja w =
X
wI dxI uma k-forma diferencial. Definimos uma (k +
I
1)-forma diferencial dw que chamaremos a diferencial exterior de w, como sendo
X
dw =
dwI ∧ dxI
I
=
X ∂wI
I,j
∂xj
dxj ∧ dxI .
Teorema 1.2.2 Sejam w, η formas diferencias de classe C 2 definidas em Rm . Então:
(1) d(w + η) = dw + dη , onde w, η são k−formas
(2) Sendo w, η formas diferenciais de ordem k, l, respectivamente. Tem-se:
d(w ∧ η) = dw ∧ η + (−1)k w ∧ dη
20
(3) d(dw) = 0, ou seja, d2 = 0.
Demonstração . (1) Sejam w =
X
wI dxI e η =
X
I
ηI dxI duas k-formas. Então
I
X
w+η =
(wI + ηI )dxI
I
e
d(w + η) =
X
=
X
=
X
d(wI + ηI ) ∧ dxI
I
(dwI + dηI ) ∧ dxI
I
dwI ∧ dxI +
I
X
dηI ∧ dxI
I
= dw + dη
X
X
(2) Seja w =
wI dxI uma k-forma e η =
ηJ dxJ uma s-forma. Então
I
J
w∧η =
X
wI ηJ dxI ∧ dxJ
I,J
Portanto,
d(w ∧ η) =
X
=
X
d(wI ηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ
I,J
(dwI ηJ + wI dηJ ) ∧ dxI ∧ dxJ
I,J
= dw ∧ η + (−1)k w ∧ dη
Observemos que se w, η são 0−formas (aplicações difenciáveis), então d(wη) = wdη +dwη,
ou seja, basta aplicar a regra do produto para funções diferenciáveis.
(3) Seja w =
X
wI dxI , então dw =
I
X ∂wI
I,j
∂xj
dxj ∧ dxI . Daı́
X ∂wI
X ∂ 2 wI
d(dw) = d(
dxj ∧ dxI ) =
dxk ∧ (dxj ∧ dxI )
∂xj
∂xk ∂xj
I,j
k,I,j
"
#
X X ∂ 2 wI
=
dxk ∧ dxj ∧ dxI
∂x
k ∂xj
I
k,j
#
"
X X ∂ 2 wI
∂ 2 wI
=
−
dxk ∧ dxj ∧ dxI
∂xk ∂xj
∂xj ∂xk
I
k<j
= 0,
pelo teorema de Schwarz.
21
1.3
O Operador Pull-Back
Passaremos agora a definir um aplicação que leva k-formas sobre o espaço Rm em
k-formas sobre o espaço Rn .
Definição 1.3.1 Seja f : Rn → Rm uma função diferenciável. A aplicação linear
df (p) : Tp Rn → Tf (p) Rm induz uma transformação linear fp∗ : ∧k (Tf (p) Rm )∗ → ∧k (Tp Rn )∗
que para cada ϕf (p) ∈ ∧k (Tf (p) Rm )∗ associa fp∗ (ϕf (p) ), definida da seguinte maneira
fp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , vk ) = ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk ), v1 , · · · , vk ∈ Tp Rn .
Aqui, a transformação linear df (p) : Tp Rn → Tf (p) Rm é a derivada de f no ponto p.
Fazendo o ponto p variar em Rn , obteremos uma aplicação f ∗ que leva k-formas de Rm
em k-formas de Rn , denoninada Pull-Back . ϕ 7→ f ∗ ϕ define uma transformação linear,
isto é, f ∗ (a · ϕ + b · ω) = a · f ∗ ϕ + b · f ∗ ω se a, b ∈ R.
Observemos que fp∗ (ϕf (p) ) assim definida é um elemento de ∧k (Tp Rn )∗ . Com efeito,
fp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , vi + ui , · · · , vk ) =
=
=
+
=
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · (vi + ui ), · · · , df (p) · vk )
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · vi + df (p) · ui , · · · , df (p) · vk )
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · vi , · · · , df (p) · vk )
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · ui , · · · , df (p) · vk )
fp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , vi , · · · , vk ) + fp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , ui , · · · , vk )
e
fp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , λvi , · · · , vk ) =
=
=
=
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · (λvi ), · · · , df (p) · vk )
ϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , λdf (p) · vi , · · · , df (p) · vk )
λϕf (p) (df (p) · v1 , · · · , df (p) · vi , · · · , df (p) · vk )
λfp∗ (ϕf (p) )(v1 , · · · , vi , · · · , vk ),
logo, fp∗ (ϕf (p) ) é k− linear.
Convenciona-se que f ∗ (g) = g ◦ f se g é uma 0-forma. Por simplicidade de notação,
ao longo deste texto, usaremos f ∗ ao invés de fp∗ .
Proposição 1.3.2 Se f : Rn → Rm é diferenciável então:
(i) f ∗ (ω1 + ω2 ) = f ∗ (ω1 ) + f ∗ (ω2 ), onde ω1 e ω2 são k-formas sobre Rm .
(ii) f ∗ (gω) = f ∗ (g)f ∗ (ω), onde g é uma 0-forma e ω uma k-forma sobre Rm .
(iii) f ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = f ∗ (ω1 ) ∧ f ∗ (ω2 ), onde ω1 e ω2 são 1-formas sobre Rm .
22
Demonstração . (i) Seja p ∈ Rn e v1 , v2 , · · · , vk ∈ Tp Rn . Então
f ∗ (ω1 + ω2 )(v1 , · · · , vk ) =
=
=
=
(ω1 + ω2 )(df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk )
ω1 (df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk ) + ω2 (df (p) · (v1 ), · · · , df (p) · (vk ))
f ∗ (ω1 )(v1 , · · · , vk ) + f ∗ (ω2 )(v1 , · · · , vk )
(f ∗ (ω1 ) + f ∗ (ω2 ))(v1 , · · · , vk )
(ii) f ∗ (gω)(v1 , · · · , vk ) =
=
=
=
=
(gω)(df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk )
g ◦ ω(df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk )
g(ω(df (p) · v1 , · · · , df (p) · vk ))
g ◦ f ∗ω
f ∗ (g)f ∗ (ω)
(iii) f ∗ (ω1 ∧ ω2 )(v1 , v2 ) = (ω1 ∧ ω2 )(df (v1 ), df (v2 ))
ω (df (v1 )) ω1 (df (v2 ))
= 1
ω2 (df (v1 )) ω2 (df (v2 ))
∗
f ω1 (v1 ) f ∗ ω1 (v2 ) = ∗
f ω2 (v1 ) f ∗ ω2 (v2 ) = (f ∗ ω1 ) ∧ (f ∗ ω2 )(v1 , v2 )
O item (iii) vale para formas w1 e w2 quaisquer e será provado mais adiante.
A operação f ∗ equivale, na verdade, a uma substituição de variáveis. Com efeito,
seja f : Rn → Rm uma aplicação diferenciável que a cada (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn associa
(y1 , · · · , ym ) ∈ Rm da forma


 y1 = f1 (x1 , · · · , xn )
..
..
(1.1)
.
.

 y
m = fm (x1 , · · · , xn )
Se w =
X
aI dyI é uma k-forma em Rm , usando as propriedades de f ∗ , temos que
I
f ∗w =
X
f ∗ (aI )f ∗ (dyi1 ) ∧ · · · ∧ f ∗ (dyik ).
I
Como pela regra da cadeia dyi (f (p))df (p) = d(yi ◦ f )(p). Então
f ∗ (dyi )(v) = dyi (df (p) · v)
= d(yi ◦ f )(p) · v
= dfi (p) · v
23
obteremos
f ∗w =
X
aI (f1 (x1 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , · · · , xn ))dfi1 ∧ · · · ∧ dfik
I
onde fi e dfi são funções de xj . Portanto aplicar f ∗ a w, equivale a substituir em w as
variáveis yi e suas diferenciais dyi pelas funções de xk e dxk obtidas em ??.
Proposição 1.3.3 Seja f : Rn → Rm uma aplicação diferenciável que a cada
(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn associa (y1 , · · · , ym ) = (f1 (x1 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , · · · , xn )) ∈ Rm . Então:
(i) f ∗ (w ∧ ϕ) = f ∗ w ∧ f ∗ ϕ, onde w e ϕ são formas diferenciais em Rm .
(ii) (f ◦ g)∗ w = g ∗ (f ∗ w), onde g : Rp → Rn é um aplicação diferenciável.
Demonstração . (i) Se w =
X
aI dyI e ϕ =
I
X
bJ dyJ
J
então
w∧ϕ=
X
aI bJ dyI ∧ dyJ .
I,J
Assim,
X
f ∗ (w ∧ ϕ) =
aI (f1 , · · · , fm )bJ (f1 , · · · , fm )dfI ∧ dfJ
I,J
= (
X
X
aI (f1 , · · · , fm )dfI ) ∧ (
bJ (f1 , · · · , fm )dfJ )
I
J
= f ∗ w ∧ f ∗ ϕ.
(ii) (f ◦ g)∗ w =
X
=
X
aI ((f ◦ g)1 , · · · , (f ◦ g)m )d(f ◦ g)I
I
aI (f1 (g1 , · · · , gn ), · · · , fm (g1 , · · · , gn ))dfI (dg1 , · · · , dgn )
I
= g ∗ (f ∗ (w)).
Teorema 1.3.4 Seja f : Rn → Rm uma aplicação diferenciável. Então para uma k-forma
w sobre o Rm temos
f ∗ (dw) = d(f ∗ w).
Demonstração . Seja, inicialmente, g : Rm → R uma 0 - forma que a cada
(y1 , · · · , ym ) ∈ Rm associa g(y1 , · · · , ym ). Então,
m
m
X
X
∂g ∗
∂g
dyi ) =
f ∗(
)f (dyi )
f ∗ (dg) = f ∗ (
∂y
∂y
i
i
i=1
i=1
24
=
m
X
∂g
(f )dfi
∂y
i
i=1
m
n
n
X
X
X
∂g
∂fi
∂(g ◦ f )
=
(f )
dxj =
dxj
∂y
∂x
∂x
i
j
j
i=1
j=1
j=1
= d(g ◦ f ) = d(f ∗ g).
Suponhamos agora que d(f ∗ w) = f ∗ (dw) para uma k-forma w. Para mostrarmos a
validade deste resultado para uma (k+1)-forma basta tomarmos uma (k+1)-forma do tipo
w ∧ dxi visto que qualquer (k+1)-forma é uma soma finita de formas deste tipo. Sendo
assim temos:
f ∗ (d(w ∧ dxi )) = f ∗ (dw ∧ dxi + (−1)k w ∧ d(dxi ))
= f ∗ (dw ∧ dxi )
= f ∗ (dw) ∧ f ∗ (dxi ).
Por hipótese f ∗ (dw) = d(f ∗ w), portanto
f ∗ (d(w ∧ dxi )) = d(f ∗ (w) ∧ f ∗ (dxi )
= d(f ∗ w ∧ f ∗ (dxi ))
= d(f ∗ (w ∧ dxi )).
25
Capı́tulo 2
Os Teoremas Clássicos
Neste capitulo iremos apresentar os teoremas clássicos do cáculo vetorial: o teorema
de Green, o teorema de Gauss e o teorema de Stokes.
2.1
Teorema de Green
O teorema de Green pode ser usado para calcular áreas de figuras planas limitadas e
fechadas, trabalho de um campo de forças bidimensional, dentre outras aplicações. Além
disso seu principio é utilizado para formulação de outros teoremas como por exemplo o
teorema de Stokes e o teorema de Gauss. Suas aplicações se estendem para áreas da
Fı́sica, quı́mica, engenharias, geologia, etc..
Antes de enunciar e demonstrar o teorema de Green precisamos de alguns conceitos
com respeito a Campos vetoriais e integrais de linha.
Definição 2.1.1 Seja Ω um aberto de R2 e γ : [a, b] → Ω ⊆ R2 uma curva suave (isto é,
γ 0 (t) é continua e γ 0 (t) 6= 0, ∀t ∈ [a, b]). Seja ainda f : Ω ⊆ R2 → R
Tomemos A = γ(a), B = γ(b).
Seja a = t0 < t1 < · · · < tn = b uma partição de [a, b]. Consideremos ∆i = ti − ti−1 ,
d em arcos P\
i = 1, · · · , n. Esta partição em [a, b] determina uma partição do arco AB
i−1 Pi ,
onde Pi = γ(ti ).
Sejam ∆Si = comprimento do arco P\
i−1 Pi e ||∆|| = max ∆Si .
Em cada arco P\
i−1 Pi tomemos (ui , vi ) e formamos a soma
X
f (ui , vi )∆Si
i
26
Definimos a integral curvilı́nea (de linha) de f sobre γ de A até B como sendo
Z
X
f (x, y)ds = lim
f (ui , vi )∆Si
γ
||∆||→0
i
desde que o limite exista independentemente da escolha (ui , vi ) ∈ P\
i−1 Pi .
Definição 2.1.2 Uma curva γ : [a, b] → Ω ⊆ Rn é dita fechada quando γ(a) = γ(b). Se
γ não possui autointerseção é chamada de simples.
Definição 2.1.3 Uma curva γ : [a, b] → R2 é dita suave se possue derivadas contı́nuas
de todas as ordens.
Definição 2.1.4 Uma curva γ : [a, b] → R2 é dita suave por partes se existe uma partição
finita de [a, b] em subintervalos tal que a restrição de γ a cada subintervalo seja suave.
Definição 2.1.5 Uma região Ω ⊂ R2 é dita uma região simples se toda reta paralela a
um dos eixos coordenados corta a fronteira de Ω em um segmento ou, no máximo, em
dois pontos.
Teorema 2.1.6 (Green) Seja Ω uma região simples plana e simplesmente conexa, cuja
fronteira é uma curva C suave por partes, fechada, simples e orientada no sentido antihorário. Se f e g forem contı́nuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem continuas em algum conjunto aberto de R, então
Z
ZZ
∂g ∂f
−
)dxdy
f (x, y)dx + g(x, y)dy =
(
∂y
∂Ω
Ω ∂x
Demonstração . Como Ω é simplesmente conexa existem funções contı́nuas y1 (x), y2 (x),
e x1 (y), x2 (y) nos intervalos a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d respecitivamente, tais que
(x, y) ∈ Ω̄ ⇔ a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)
e
(x, y) ∈ Ω̄ ⇔ c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)
onde Ω̄ = Ω ∪ ∂Ω
Sendo f, g contı́nuas com derivadas parciais contı́nuas no fecho Ω̄ de Ω , então
!
ZZ
Z b Z y2 (x)
∂f (x, y)
∂f (x, y)
dxdy =
dy dx
∂y
∂y
Ω
a
y1 (x)
27
b
Z
y (x)
(f (x, y) |y21 (x) )dx
=
a
b
Z
(f (x, y2 (x)) − f (x, y1 (x)))dx
Z a
Z b
f (x, y2 (x))dx
f (x, y1 (x))dx −
= −
=
a
b
a
A primeira integral é sobre a parte inferior C1 da fronteira de Ω, orientada da esquerda
para direita e a segunda sobre C2 da mesma fronteira ∂Ω, agora orientada da direita para
esquerda.
Assim podemos escrever
ZZ
Z
∂f
dxdy = −
f (x, y)dx,
Ω ∂y
∂Ω
pois a integral de f dx sobre algum possı́vel trecho na vertical do contorno ∂Ω será zero ,
visto ser dx = 0 em tal trecho. De modo análogo temos que
!
ZZ
Z d Z x2 (y)
∂g(x, y)
∂g(x, y)
dxdy =
dx dy
∂x
∂x
Ω
c
x1 (y)
Z d
(g(x2 (y), y) − g(x1 (y), y))dy
=
c
Z d
Z c
=
(g(x2 (y), y)dy +
g(x1 (y), y))dy
c
d
logo podemos escrever
ZZ
Ω
∂g
dxdy =
∂x
Z
gdy
∂Ω
portanto,
Z
ZZ
f (x, y)dx + g(x, y)dy =
∂Ω
2.2
(
Ω
∂g ∂f
−
)dxdy
∂x ∂y
Teorema da Divergência
O teorema da Divergência é também conhecido como teorema de Gauss e desempenha
um papel semelhante ao do Teorema de Green para integrais curvilı́neas. O teorema
de Gauss nos dá uma alternativa interessante para o cálculo do fluxo de um campo de
velocidades no plano ou espaço.
Para entender os teoremas de Gauss e mais adiante o teorema de Stokes, precisamos
definir dois operadores para campos vetoriais que são básicos nas aplicações do cálculo
vetorial. Cada operador lembra uma diferenciação, mas um produz um campo escalar
enquanto que outro produz um campo vetorial.
28
Definiremos o operador diferencial vetorial ∇ como sendo:
∇f =
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
onde f : R3 → R.
Seja F (x, y, z) = A1 (x, y, z)i + A2 (x, y, z)j + A3 (x, y, z)k um campo de vetores onde
A1 , A2 , A3 são funções diferenciáveis.
Definição 2.2.1 A divergência de F denotada por divF , é definida por :
divF =
∂A1 ∂A2 ∂A3
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Definição 2.2.2 O rotacional de F , denotado por rotF , é definido por :
rotF = (
∂A1 ∂A3
∂A2 ∂A1
∂A3 ∂A2
−
)i + (
−
)j + (
−
)k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Definição 2.2.3 Uma superficie S é dita suave se o seu vetor normal unitário η varia
continuamente através de S.
Definição 2.2.4 Consideremos uma superficie S, que tem como vetor unitário normal
η = cos α + cos β + cos γ. Sejam A1 (x, y, z), A2 (x, y, z), A3 (x, y, z) funções contı́nuas defenidas em S. Definimos,
ZZ
ZZ
A1 dydz =
A1 cos αdS
S
S
ZZ
ZZ
A2 dydz =
A2 cos βdS
S
S
ZZ
ZZ
A3 dydz =
S
A3 cos γdS
S
Teorema 2.2.5 (Gauss) Seja Ω um sólido limitado por uma superficie fechada S, formada por um número finito de superfı́cies suaves, e η a normal externa unitária. Se as
componentes F (x, y, z) tem derivadas parciais continuas num aberto contendo Ω, então :
ZZ
ZZZ
F · ηdS =
divF dxdydz
S
Ω
Demonstração . A equação acima pode ser reescrita em termos de suas componentes
como
29
ZZZ ZZ
(A1 dydz + A2 dzdx + A3 dxdy) dS =
S
Ω
∂A1 (x, y, z) ∂A2 (x, y, z) ∂A3 (x, y, z)
+
+
∂x
∂y
∂z
É suficiente, então, estabelecer as três equações:
ZZZ
ZZ
∂A3
A3 dxdy =
dxdydz
S
Ω ∂z
As demonstrações da equações
ZZ
ZZZ
∂A1
dxdydz
S
Ω ∂x
ZZ
ZZZ
∂A2
A2 dzdx =
dxdydz
S
Ω ∂y
A1 dydz =
seguem o mesmo raciocı́nio.
Suponhamos que Ω pode ser representada sob a forma
f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y), (x, y) ∈ Rxy
onde Rxy é uma região fechada limitada no plano xy, limitada por uma curva simples
fechada suave C. Então a superfı́cie S é composta por três partes:
S1 : z = f1 (x, y), (x, y) ∈ Rxy
S2 : z = f2 (x, y), (x, y) ∈ Rxy
S3 : f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y), para (x, y) sobre C
Pela definição ??
RR
A dydz =
S 3
RR
S
A3 cos γdS.
A parte S2 forma a tampa de S, S1 o fundo de S e S3 nos dá a lateral de S. Temos
!
ZZZ
ZZ
Z f2 (x,y)
∂A3
∂A3
dxdydz =
dz dxdy
∂z
Ω ∂z
Rxy
f1 (x,y)
ZZ
=
(A3 (x, y, f2 (x, y)) − A3 (x, y, f1 (x, y))) dxdy.
Rxy
Por outro lado, para a integral de superfı́cie, temos
ZZ
ZZ
ZZ
A3 cos γdS =
S
ZZ
A3 cos γdS +
S1
A3 cos γdS +
S2
30
A3 cos γdS.
S3
dxdydz
Sobre S3 temos γ = π2 , logo cos γ = 0 onde a integral sobre S3 é nula. Sejam
P1 (x, y) = xi + yj + f1 (x, y)k e P2 (x, y) = xi + yj + f2 (x, y)k as representações de
∂P1 ∂P1
S1 e S2 , respectivamente. Em S1 a normal η tem sentido oposto ao de
×
, assim
∂x
∂y
podemos escrever
ZZ
ZZ
A3 cos γdS = −
A3 dxdy
S1
S1
ZZ
= −
A3 (x, y, f1 (x, y))dxdy.
Rxy
Em S2 a normal η tem mesmo sentido de
ZZ
∂P2 ∂P2
×
, assim podemos escrever
∂x
∂y
ZZ
A3 cos γdS =
A3 dxdy
S2
S2
ZZ
=
A3 (x, y, f2 (x, y))dxdy.
Rxy
Então,
ZZ
ZZ
(A3 (x, y, f2 (x, y)) − A3 (x, y, f1 (x, y)))dxdy,
A3 cos γdS =
Rxy
S
e
ZZZ
Ω
∂A3
dxdydz =
∂z
ZZ
A3 cos γdS.
S
como querı́amos.
2.3
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes pode ser olhado como uma versão em dimensão maior do Teorema
de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região
plana Ω com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira, o Teorema de Stokes
relaciona uma integral de superfı́cie sobre uma superfı́cie S com uma integral ao redor da
fronteira de S.
Teorema 2.3.1 (Stokes) Sejam A1 , A2 , A3 : U ⊂ R3 → R com primeiras derivadas
parciais contı́nuas em U. Seja S ⊂ U uma superfı́cie suave por partes e seja C = ∂S uma
curva simples fechada e suave por partes. Sendo o campo vetorial
F (x, y, z) = A1 (x, y, z)i + A2 (x, y, z)j + A3 (x, y, z)k
31
sobre S temos
Z
ZZ
F · dr =
C
rotF · ηdS.
S
Demonstração . Sabemos da Geometria Diferencial que se S é uma superfı́cie regular
então para cada ponto p ∈ S existe uma vizinhança V de p em S tal que V é o gráfico de
uma função diferenciável sobre um dos três planos coordenados, ou seja, toda superfı́cie
regular S é localmente o gráfico de uma função diferenciável f. Baseado neste teorema e
na possibilidade de podermos decompor a superfı́cie S em várias superfı́cies St que tem
em comum apenas partes de suas fronteiras nos limitaremos ao caso em que S pode ser
representada pelo gráfico de z = f (x, y) para (x, y) ∈ D onde D é a projeção de S sobre
o plano xy. A curva C tem por projeção em xy a curva C̄.
Lembremos que F · dr pode ser escrito como A1 dx + A2 dy + A3 dz e
∂A3 ∂A2 ∂A1 ∂A3 ∂A2 ∂A1
−
,
−
,
−
· ηdS
rotF · ηdS =
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
∂A3 ∂A2 ∂A1 ∂A3 ∂A2 ∂A1
=
−
,
−
,
−
· (η1 , η2 , η3 )dS
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
∂A1 ∂A3
∂A2 ∂A1
∂A3 ∂A2
−
−
−
=
η1 dS +
η2 dS +
η3 dS
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
e sendo r(x, y) = (x, y, f (x, y)) a parametrização de S em D temos
∂r
∂r
×
η3 dS = hη, ki ∂x ∂y dxdy
∂r
∂r
=
×
, k dxdy
∂x ∂y
= dxdy.
Analogamente, obtemos
η1 dS = dydz e η2 dS = dzdx.
Desta forma precisamos mostrar que
Z
ZZ ∂A3 ∂A2
∂A1 ∂A3
∂A2 ∂A1
A1 dx+A2 dy+A3 dz =
−
dydz+
−
dzdx+
−
dxdy.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
C
S
Pelo teorema de Green temos,
Z
Z
A1 (x, y, z)dx =
C
A1 (x, y, f (x, y))dx
ZZ ∂A1 ∂A1 ∂f
= −
+
dxdy.
∂y
∂z ∂y
D
C̄
32
Por outro lado
ZZ
S
∂A1
∂A1
dzdx −
dxdy = −
∂z
∂y
ZZ D
∂A1 ∂f
∂A1
+
∂z ∂y
∂y
dxdy
onde
Z
ZZ
A1 (x, y, z)dx =
C
S
∂A1
∂A1
dzdx −
dxdy.
∂z
∂y
Analogamente obtemos
Z
ZZ
∂A2
∂A2
dxdy −
dydz
∂z
C
S ∂x
Z
ZZ
∂A3
∂A3
A3 (x, y, z)dz =
dydz −
dzdx.
∂x
C
S ∂y
A2 (x, y, z)dy =
Somando as equações acima obtemos obtemos a identidade desejada.
33
Capı́tulo 3
O Teorema de Stokes
3.1
n-Cadeias
Definição 3.1.1 Seja [0, 1]n = [0, 1] × · · · × [0, 1] e A ⊂ Rn . Dizemos que uma função
|
{z
}
n−vezes
contı́nua f : [0, 1]n → A define um cubo singular de dimensão n em A.
Sendo I n : [0, 1]n → Rn a função identidade, esta define o cubo singular de dimensão
n conhecido como cubo unitário n-dimensional.
Definição 3.1.2 Sejam C1 , · · · , Ck : [0, 1]n → A, cubos singulares n-dimensionais. Para
α1 , · · · , αk ∈ Z a soma α1 C1 + · · · + αk Ck é chamada uma n-cadeia em A.
Em particular o cubo singular C de dimensão n é considerado como sendo a n-cadeia 1·C.
n
n
Definição 3.1.3 Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, definimos os cubos singulares I(i,0)
e I(i,1)
, ambos
n−1
de dimensão n − 1 pondo para cada x ∈ [0, 1]
n
I(i,0)
(x) =
=
n
I(i,1) (x) =
=
I n (x1 , · · · , xi−1 , 0, xi , · · · , xn−1 )
(x1 , · · · , xi−1 , 0, xi , · · · , xn−1 ) e
I n (x1 , · · · , xi−1 , 1, xi , · · · , xn−1 )
(x1 , · · · , xi−1 , 1, xi , · · · , xn−1 ).
n
n
I(i,0)
e I(i,1)
são chamados, respectivamente, de faces (i, 0) e (i, 1) do cubo I n .
Por exemplo, para n = 3 as faces do cubo I 3 é dada por :
3
I(1,0)
(x, y) = (0, x, y)
34
3
I(1,1)
(x, y) = (1, x, y)
3
(x, y) = (x, 0, y)
I(2,0)
3
I(2,1)
(x, y) = (x, 1, y)
3
I(3,0)
(x, y) = (x, y, 0)
3
I(3,1)
(x, y) = (x, y, 1)
onde (x1 , x2 ) = (x, y).
Definição 3.1.4 Definimos a fronteira de um cubo unitário n-dimensional por
∂I n =
n X
X
n
.
(−1)i+α I(i,α)
i=1 α=0,1
Por exemplo, a fronteira de I 2 pode ser definida como a soma de quatro cubos singulares unidimensionais, ordenados ao redor da fronteira de [0, 1]2 no sentido anti-horário,
ou seja,
2 X
X
2
2
2
2
2
2
∂I = I(2,0) + I(1,1) − I(2,1) − I(1,0) =
(−1)i+α I(i,α)
.
i=1 α=0,1
Definição 3.1.5 Para um cubo singular de dimensão n qualquer C : [0, 1]n → A, definimos a face (i, α) de C por
n
C(i,α) = C ◦ (I(i,α)
)
e
∂C =
n X
X
(−1)i+α C(i,α) .
i=1 α=0,1
P
Finalmente, definimos a fronteira de uma n-cadeia
ai Ci por
X
X
∂(
ai C i ) =
ai ∂(Ci )
Teorema 3.1.6 Para qualquer n-cadeia C =
∂(∂C) = 0, ou seja, ∂ 2 C = 0.
P
ak Ck em A, se verifica a identidade
n
Demonstração . Consideremos (I(i,α)
)(j,β) , para i ≤ j. Sendo x ∈ [0, 1]n−2 temos
n−1
n
n
(I(i,α)
)(j,β) (x) = I(i,α)
(I(j,β)
(x))
n
= I(i,α)
(x1 , · · · , xj−1 , β, xj+1 , · · · , xn−2 )
= I n (x1 , · · · , xi−1 , α, xi+1 , · · · , xj−1 , β, xj+1 , · · · , xn−2 ).
De forma análoga, temos
35
n−1
n
n
(I(j+1,β)
)(i,α) (x) = I(j+1,β)
(I(i,α)
(x))
n
= I(j+1,β)
(x1 , · · · , xi−1 , α, xi+1 , · · · , xn−2 )
n
= I (x1 , · · · , xi−1 , α, xi+1 , · · · , xj−1 , β, xj+1 , · · · , xn−2 ).
n
n
)(i,α) , para i ≤ j.
)(j,β) = (I(j+1,β)
Onde concluimos que (I(i,α)
n
Desde que para qualquer cubo n-dimensional C(i,α) = C ◦ (I(i,α)
), temos também
n−1
(C(i,α) )(j,β) = C(i,α) ◦ I(j,β)
n−1
n
= (C ◦ (I(i,α)
)) ◦ (I(j,β)
)
n−1
n
= C ◦ (I(i,α)
(I(j,β)
))
n
= C ◦ (I(i,α)
)(j,β)
n
= C ◦ (I(j+1,β) )(i,α)
n−1
n
= C ◦ (I(j+1,β)
(I(i,α)
))
n−1
n
= (C ◦ (I(j+1,β)
)) ◦ (I(i,α)
)
n−1
= (C(j+1,β) ) ◦ (I(i,α)
)
= (C(j+1,β) )(i,α)
para i ≤ j. Segue-se que
" n
#
XX
∂ 2C = ∂
(−1)i+α C(i,α)
i=1 α=0,1
=
n
X
n−1 X
XX
(−1)i+α+β+j (C(i,α) )(j,β)
i=1 α=0,1 j=1 β=0,1
=
n X
n−1
X
(−1)i+j (C(i,0) )(j,0) − (C(i,0) )(j,1) − (C(i,1) )(j,0) + (C(i,1) )(j,1)
i=1 j=1
e fazendo σij = (−1)i+j (C(i,0) )(j,0) − (C(i,0) )(j,1) − (C(i,1) )(j,0) + (C(i,1) )(j,1) temos para
i ≤ j.
σ(j+1)i = (−1)i+j+1 (C(j+1,0) )(i,0) − (C(j+1,0) )(i,1) − (C(j+1,1) )(i,0) + (C(j+1,1) )(i,1)
= (−1)i+j+1 (C(i,0) )(j,0) − (C(i,1) )(j,0) − (C(i,0) )(j,1) + (C(i,1) )(j,1)
= −σij .
36
Sendo assim
2
∂ C=
n X
n−1
X
σij
i=1 j=1
=
" n−1
X
σ1j +
j=1
"
= −
n−1
X
j=1
n
X
#
σi1 +
i=2
σ(j+1)1 +
" n−1
X
σ2j +
j=2
n
X
n
X
#
"
σi2 + · · · +
i=3
# "
σi1 + −
i=2
n−1
X
n−1
X
σ(n−1)j +
j=n−1
σ(j+1)2 +
j=2
n
X
#
#
σi(n−1)
i=n
"
n−1
X
σi2 +· · ·+ −
i=3
n
X
σ(j+1)(n−1) +
j=n−1
n
X
i=n
=0
Sendo o teorema válido para qualquer cubo singular n-dimensional, ele é válido para
qualquer n-cadeia singular.
3.2
Integração em cadeias
O fato de termos tanto d2 = 0 como ∂ 2 = 0, além da semelhança simbólica, determina
uma conexão entre cadeias e formas. Tal conexão se estabelece ao integrarmos formas
sobre cadeias. No que segue consideraremos apenas cubos n-dimensionais singulares diferenciáveis.
Definição 3.2.1 Seja w uma forma k-dimensional em [0, 1]k , representada por w =
f dx1 ∧ · · · ∧ dxk . Definimos
Z
Z
w=
f (x1 , · · · , xk )dx1 . · · · .dxk .
[0,1]k
[0,1]k
Definição 3.2.2 Sendo w uma forma k-dimensional sobre A e C um cubo singular
k-dimensional, em A, definimos
Z
Z
w=
C ∗ w.
C
[0,1]k
Lembre-se que C ∗ w é uma k−forma diferencial definida em ??.
Definição 3.2.3 Sendo w uma forma k-dimensional sobre A e C =
singular k-dimensional, em A, definimos
Z
X Z
w=
ai
w.
C
Ci
37
P
ai Ci uma cadeia
#
σi(n−1)
3.3
O elemento de volume
Definição 3.3.1 Um Homeomorfismo do aberto U ⊂ Rn no espaço Rm é uma aplicação
f : U → Rm contı́nua com inversa contı́nua.
Definição 3.3.2 Uma Imersão do aberto U ⊂ Rn no espaço Rm é uma aplicação diferenciável f : U → Rm tal que, para todo x ∈ U , a derivada df (x) : Rn → Rm é uma
transformação linear injetiva.
Definição 3.3.3 Uma parametrizão de classe C ∞ e dimensão n de um conjunto V ⊂ Rm
é uma imersão f : V0 → V de classe C ∞ que é um homeomorfismo do aberto V0 ⊂ Rn no
V.
Definição 3.3.4 Um conjunto M ⊂ Rn chama-se uma superficie de dimensão k e classe
C ∞ quando todo p ∈ M está contido em algum aberto U ⊂ Rn tal que V = U ∩ M é a
imagem de uma parametrização f : V0 → V, de dimensão k e classe C ∞ . O conjunto V é
um aberto em M , chamado uma vizinhança paramtrizada do ponto p.
Definição 3.3.5 Seja M uma superfı́cie no Rn , com fronteira, k-dimensinal, munida da
orientação η. O elemento de volume de M é a forma diferencial w de grau k − 1, definida
pondo-se para cada x ∈ M , w(x) ∈ ∧k (Tx M )∗ denotado por dV.
Aqui Tx M ⊂ Rn é o espaço vetorial tangente a M no ponto x. Um atlas numa superficie
M é um conjunto de parametrizações f : V0 → V cujas imagens V cobrem M. Duas
parametrizações f : V0 → V, g : W0 → W, dizem compatı́veis quando V ∩ W = ou
quando V ∩ W 6= e g −1 ◦ f : f −1 (V ∩ W ) → g −1 (V ∩ W ) tem determinante jacobiano
positivo em todos os pontos x ∈ f −1 (V ∩ W ). Um atlas A na superficie M chama-se
coerente quando duas parametrizações f, g ∈ A são compativeis. Uma superfı́cie M
chama-se Orientável quando admite um atlas coerente.
Definição 3.3.6 Sendo M compacta no Rn definimos o volume de M como sendo
Z
dV.
M
Para superfı́cies unidimensionais ou bidimensionais, o termo volume é geralmente substituido por comprimento ou área, empregando no lugar de dV , ds para o elemento de
comprimento e dA ou dS para o elemento de área.
Definição 3.3.7 Seja M uma superfı́cie no R3 , e seja η(x) a normal exterior unitária
em x ∈ M . Definimos w ∈ ∧2 Tx M por
v1
v2
v3 u2
u3 = hv × u, η(x)i = dA(v, u)
w(v, u) = u1
η1 (x) η2 (x) η3 (x) 38
Em particular, w(v, u) = 1 quando v, u compuserem uma base ortonormal de Tx M . Se
v × u for um múltiplo de η(x) teremos
dA(v, u) = |v × u|
Teorema 3.3.8 Seja M uma superfı́cie orientada com ou sem fronteira, no R3 . Sendo
η a sua normal unitária exterior, temos que
dA = η1 dy ∧ dz + η2 dz ∧ dx + η3 dx ∧ dy
(1)
Além disto, são válidos em M as relações
η1 dA = dy ∧ dz
(2)
η2 dA = dz ∧ dx
(3)
η3 dA = dx ∧ dy
(4).
Demonstração . Sendo η = (η1 , η2 , η3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e u = (u1 , u2 , u3 ) temos que
relação (1) equivale a
v1 v2 v3 dA(v, u) = u1 u2 u3 η1 η2 η3 = η1 (v2 u3 − u2 v3 ) + η2 (u1 v3 − u3 v1 ) + η3 (v1 u2 − v2 u1 )
v1 u1 v3 u3 v2 u2 + η2 = η1 v1 u1 + η3 v2 u2 v3 u3 dz(v) dz(u) dx(v) dx(u) dy(v) dy(u) + η2 = η1 dx(v) dx(u) + η3 dy(v) dy(u) dz(v) dz(u) = η1 dy ∧ dz + η2 dz ∧ dx + η3 dx ∧ dy
Para demonstrarmos as outras relações, tomemos z ∈ Tx R3 . Sendo v × u = αη(x)
para algum α ∈ R, temos então
hz, η(x)i · hv × u, η(x)i = hz, η(x)i α
= hz, αη(x)i = hz, v × ui
Tomando agora sucessivamente z = e1 , e2 , e3 obtemos
he1 , η(x)i · hv × u, η(x)i = he1 , v × ui
então
η1 dA(v, u) = he1 , v × ui = v2 u3 − u2 v3
39
por outro lado
dy ∧ dz(v, u) = = dy(v) dy(u) dz(v) dz(u) v2 u2 v3 u3 = v2 u3 − u2 v3
comparando com η1 dA(v, u) obtemos
η1 dA = dy ∧ dz
de forma análoga, fazendo z = e2 , e3 obtemos
η2 dA = dz ∧ dx
η3 dA = dx ∧ dy
respectivamente.
3.4
O teorema de Stokes
Finalmente estamos em condições de sintetizar a relação entre formas, cadeias, d e ∂. Esta
relação fica bem determinada no enunciado do teorema a seguir conhecido como teorema
de Stokes:
Teorema 3.4.1 (Stokes) Dado um aberto A de Rn , sejam w uma forma de dimensão
k − 1 e C uma cadeia k-dimensional, ambas sobre A. Temos
Z
Z
dw =
w
C
∂C
Demonstração . Pela definição de integral e pelo teorema ?? temos
Z
Z
Z
∗
dw =
c dw =
dc∗ w
c
[0,1]k
[0,1]k
Uma vez que c∗ w é uma k − 1-forma em [0, 1]k pode ser escrita como
∗
cw=
k
X
ˆ i · · · dtk
gi dt1 dt2 · · · dt
i=1
ˆ i significa que estamos
Para determinadas funções g1 , g2 , · · · , gk definidas em [0, 1]k , onde dt
omitindo a entrada de ordem i. Por isso
Z
Z
k Z
k
X
X
∂gi
i+1
ˆ
dw =
d(gi dt1 dt2 · · · dti · · · dtk ) =
(−1)
dt1 dt2 · · · dtk .
k
k ∂ti
c
[0,1]
[0,1]
i=1
i=1
40
Alterando a ordem de integração, temos
Z
[0,1]k
Z
Z
∂gi
ˆ i · · · dtk
dti dt1 dt2 · · · dt
∂t
k
i
[0,1]
Z
Z
∂gi
ˆ
dti
=
dt1 dt2 · · · dti · · · dtk
[0,1]k−1
[0,1]k ∂ti
∂gi
dt1 dt2 · · · dtk =
∂ti
ˆ i · · · dtk
(gi (t1 , · · · , ti−1 , 1, ti+1 , · · · , tk )−gi (t1 , · · · , ti−1 , 0, ti+1 , · · · , tk ))dt1 dt2 · · · dt
=
[0,1]k−1
as fórmulas
ˆ i · · · dtk
gi (t1 , · · · , ti−1 , 1, ti+1 , · · · , tk )dt1 dt2 · · · dt
e
ˆ i · · · dtk
gi (t1 , · · · , ti−1 , 0, ti+1 , · · · , tk )dt1 dt2 · · · dt
nada mais são que c∗(i,1) w , c∗(i,0) w respectivamente. Assim,
Z
Z
k
X
i+1
dw =
(−1)
c
=
=
[0,1]k
i=1
k
X
i+1
Z
(−1)
i=1
k
X
[0,1]k−1
X
(−1)
i+ρ
k X
X
(−1)
(c∗(i,1) w − c∗(i,0) w)
Z
[0,1]k−1
i=1 ρ=0,1
=
∂gi
ˆ i · · · dtk
dti dt1 dt2 · · · dt
∂ti
i+ρ
c∗(i,ρ) w
Z
w=
c(i,ρ)
i=1 ρ=0,1
Z
w,
∂c
o que comprova o resultado.
3.4.1
Os Teoremas Clássicos a partir de Stokes
Temos agora a disposição todo o instrumento necessário para enuncinar e demonstrar os
teoremas clássicos do tipo Stokes.
Teorema 3.4.2 (Green) Seja A um aberto do R2 com fronteira. Para quaisquer funções
diferenciáveis f, g : A → R se tem
Z
Z Z
∂g(x, y) ∂f (x, y)
−
)dxdy
f (x, y)dx + g(x, y)dy =
(
∂x
∂y
∂A
A
41
Demonstração . Observemos que
d(f (x, y)dx + g(x, y)dy) = d(f dx) + d(gdy)
∂f
∂f
∂g
∂g
dy) ∧ dx + ( dx +
dy) ∧ dy
= ( dx +
∂x
y
∂x
∂y
∂f
∂g
=
dy ∧ dx +
dx ∧ dy
∂y
∂x
∂g ∂f
= (
−
)dx ∧ dy
∂x ∂y
Aplicando o teorema ?? temos
Z Z
Z
∂g(x, y) ∂f (x, y)
(
f (x, y)dx + g(x, y)dy
−
)dxdy =
∂x
∂y
A
∂A
Teorema 3.4.3 (Gauss) Seja S uma superficie do R3 com fronteira, e seja η a normal
unitária exterior a ∂S. Para um campo vetorial F (x, y, z) definido em S, temos:
Z
Z
divF dxdydz
F · ηdS =
∂S
S
Demonstração . Pelo teorema ?? observamos que a igualdade acima pode ser expressa como:
Z
Z
∂F1 ∂F2 ∂F3
F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy = (
+
+
)dxdydz
∂y
∂z
∂S
S ∂x
então definimos em S, w = F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy e calculemos d(w)
d(w) = d(F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy) = d(F1 )dydz + d(F2 )dzdx + d(F3 )dxdy
∂F1
∂F1
∂F1
∂F2
∂F2
∂F2
= (
dx +
dy +
dz)dydz + (
dx +
dy +
dz)dzdx
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂F3
∂F3
∂F3
+ (
dx +
dy +
dz)dxdy
∂x
∂y
∂z
∂F1
∂F2
∂F3
=
dxdydz +
dydzdx +
dzdxdy
∂x
∂y
∂z
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
)dxdydz
= (
∂x
∂y
∂z
aqui utilizamos o fato de que dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi e dxi ∧ dxi = 0. Asssim basta aplicar
o teorema ?? concluimos que
Z
Z
Z
F1 dydz + F2 dzdx + F3 dxdy =
dw =
w
∂S
∂S
ZS
∂F1 ∂F2 ∂F3
=
(
+
+
)dxdydz
∂y
∂z
S ∂x
Portanto segue o resultado.
42
Teorema 3.4.4 (Stokes) Seja M uma superfı́cie do R3 , seja η a normal unitária exterior
a M . Dado um campo vetorial T em ∂M para o qual ds(T ) = 1 e um campo vetorial
arbitrário em um aberto que contém M , se tem
Z
Z
rotF · ηdA =
F · T ds
M
∂M
Demonstração . Definimos w em M por w = F1 dx + F2 dy + F3 dz. Como as
componentes de rotF são
∂F3 ∂F2 ∂F1 ∂F3 ∂F2 ∂F1
−
,
−
,
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
utilizando os mesmos passos na demonstração do teorema ??, deduz ser válida em M
∂F3 ∂F2
−
)dy ∧ dz
∂y
∂z
∂F1 ∂F3
+ (
−
)dz ∧ dx
∂z
∂x
∂F2 ∂F1
+ (
−
)dx ∧ dy
∂x
∂y
= dw
rotF · ηdA = (
Por outro, uma vez que ds(T ) = 1, são válidas em ∂M
T1 ds = dx
T2 ds = dy
T3 ds = dz
então se verifica em ∂M que
F · T ds = F1 T1 ds + F2 T2 ds + F3 T3 ds
= F1 dx + F2 dy + F3 dz
= w
Logo aplicando o teorema ?? concluimos que
Z
Z
rotF · ηdA =
dw
M
M
Z
=
w
∂M
Z
=
F · T ds
∂M
43
Considerações Finais
Esse trabalho apresentou o conceito de formas diferenciais, diferencial exterior e operador pull-back. Ficou claro que a sua aplicação facilita sobremaneira a interpretação
e representação de certos fenômenos que são dificilmente compreendidos e representados
usando-se a abordagem vetorial clássica.
Apresentou de forma detalhada os teoremas integrais, através de demonstrações adaptadas de livros da análise vetorial, observando que o teorema de Stokes pode ser visto
como uma versão em dimensão maior do teorema de Green. Enquanto o teorema de
Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana com uma integral de linha
ao redor de sua curva fronteira, o teorema de Stokes relaciona uma integral de superfı́cie
sobre uma superfı́cie S com uma integral ao redor da fronteira de S.
Finalmente apresentou-se uma aplicação do teorema de Stokes, para redemonstrar os
teoremas clássicos de uma forma mais precisa e elegante.
44
Referências Bibliográficas
[1] SPIVAK, Michael. Cálculo em Variedades. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2003
[2] LIMA, Elon Lages. Análise Real, Rio de Janeiro v.2 2004
[3]
,
. Álgebra exterior, Rio de janeiro: IMPA,(Coleção Matemática Universitária)2005
[4]
,
. Análise Vetorial. Rio de Janeiro: IMPA,(Coleção Matemática Universitária), v.3, 2007
[5] COUTINHO, Severino Collier. Cálculo vetorial com formas diferenciais.
Disponı́vel em: hhttp : //www.dcc.uf rj.br/ collier/e − books/f ormas.pdf i acesso
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