Lógica
Introdução
(slides modificados de Joseluce Cunha)
O que é lógica?

O que seria um comportamento lógico?



Sair num dia de chuva com o guarda-chuva aberto
Sair num dia de chuva segurando um guardachuva fechado
O que é uma explicação lógica?


Luiza parou no restaurante porque estava com
fome
Luiza parou na farmácia porque estava com fome
O que é lógica?



Argumentação racional;
Argumentação razoável;
Lógica é o estudo do raciocínio
(Shoenfield).
Origem da Lógica


Na Grécia Antiga, 342 a.C, em meio a
embates filosóficos, Aristóteles sistematizou a
Lógica com o intuito de verificar que
argumentos eram válidos, elevando-a assim à
categoria de ciência.
Em sua obra chamada Organum (“ferramenta
para o correto pensar”), estabeleceu
princípios tão gerais e sólidos que até hoje
são considerados válidos.
Origem

Aristóteles se preocupava com as formas de
raciocínio que, a partir de conhecimentos
considerados verdadeiros, permitiam obter
novos conhecimentos.


Essa conexão de idéias ele chamou de Silogismo.
A partir dos conhecimentos tidos como
verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de
leis gerais de encadeamentos de conceitos e
juízos que levariam à descoberta de novas
verdades. Essa forma de encadeamento é
chamada, em Lógica, de argumento.
Argumento



Um argumento é uma seqüência de
proposições (declarações/afirmações) na qual
uma delas é a conclusão e as demais são
premissas.
Uma proposição (ou declaração/afirmação) é
uma sentença que pode ser verdadeira ou
falsa.
O objeto de estudo da lógica é determinar se
a conclusão de um argumento é ou não uma
consequência lógica das premissas.
Argumento
Validade de um Argumento


Em um argumento válido, as premissas são
consideradas provas evidentes da verdade da
conclusão, caso contrário não é válido.
Quando é válido, podemos dizer que a
conclusão é uma consequência lógica das
premissas, ou ainda que a conclusão é uma
inferência decorrente das premissas.
Validade de um Argumento


Inferência é a relação que permite
passar das premissas para a conclusão
(um “ encadeamento lógico”)
A palavra inferência vem do latim,
Inferre, e significa “conduzir para”
Validade de um Argumento

Exemplo 1: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Eu ganhei na Loteria.
Logo, sou rico.
É Válido
(a conclusão é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
Validade de um Argumento

Exemplo 2: O argumento que segue é válido?
Se eu ganhar na Loteria, serei rico
Eu não ganhei na Loteria
Logo, não sou rico
 Não é Válido
(a conclusão não é uma decorrência
lógica das duas premissas.)
Dedução e Indução

Algumas das ferramentas que podem
ser utilizadas pelo pensamento na
busca de novos conhecimentos são a
dedução e a indução, que dão origem a
dois tipos de argumentos: Dedutivos e
Indutivos.
Argumentos Dedutivos

Pretendem que suas premissas
forneçam uma prova conclusiva da
veracidade da conclusão e podem ser:


Válidos: quando suas premissas, se
verdadeiras, fornecem provas convincentes
para a conclusão. Isto é, se as premissas
forem verdadeiras, é impossível que a
conclusão seja falsa;
Inválidos: não se verifica a característica
anterior.
Argumentos Dedutivos

Exemplos de argumentos dedutivos:


Os dois exemplos anteriores (um válido e
outro inválido)
Outro exemplo:
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Logo, Sócrates é mortal.
(Argumento Válido)
Argumentos Indutivos



Não pretendem que suas premissas forneçam provas
cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que
forneçam indicações dessa veracidade.
(possibilidade, probabilidade)
Seguem do Raciocínio Indutivo, isto é, obtém
conclusões baseada em observações/experiências.
Enquanto que um Raciocínio Dedutivo exigi uma
prova formal sobre a validade do argumento.
Os termos válidos e inválidos não se aplicam, são
avaliados de acordo com a maior ou a menor
probabilidade com que suas conclusões sejam
estabelecidas.
Argumentos Indutivos

Exemplo:
Joguei uma pedra no lago, e ela
afundou;
Joguei outra pedra no lago e ela
também afundou;
Joguei mais uma pedra no lago, e
também esta afundou;
Logo, se eu jogar uma outra pedra no
lago, ela vai afundar.
Argumentos Indutivos

A Lógica Formal só estuda Argumentos
Dedutivos, verificando se são ou não
válidos.
Validade e Verdade


Verdade e Falsidade: são propriedades
das proposições, nunca dos argumentos
Validade ou Invalidade: são propriedades dos argumentos dedutivos que
dizem respeito a inferência ser ou não
válida (raciocínio ser ou não correto)
Validade e Verdade

Exemplo 1
Toda baleia é um mamífero
Todo mamífero tem pulmões
Logo, toda baleia tem pulmões
(V)
(V)
(V)
 Argumento válido e a conclusão
verdadeira.
Validade e Verdade

Exemplo 2
Toda aranha tem seis pernas
(F)
Todo ser de seis pernas tem asas (F)
Logo, toda aranha tem asas
(F)
 Argumento válido e a conclusão
falsa
Validade e Verdade



Os conceitos de argumento válido ou inválido são
independentes da verdade ou falsidade de suas
premissas e conclusão.
Qualquer combinação de valores verdade entre
as premissas e a conclusão é possível, exceto
que nenhum argumento dedutivo válido tenha as
premissas verdadeiras e a conclusão falsa.
Um argumento dedutivo no qual todas as
premissas são verdadeiras é dito Argumento
Correto, evidentemente sua conclusão também
é verdadeira.
Avaliação de um Argumento

Principal propósito de um argumento:


Demonstrar que uma conclusão é provável
ou verdadeira.
Como avaliar que um argumento atinge
ou não esse propósito? (Se ele é válido?)
Avaliação de um Argumento

Critérios usados para avaliar um
argumento:



Se todas as premissas são verdadeiras;
Se, dada a verdade das premissas, a
conclusão é ao menos provável;
Se as premissas são relevantes para a
conclusão.
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos

Os argumentos podem ser classificados em duas
categorias:

Argumento dedutivo

Argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se suas
premissas básicas forem verdadeiras.
Em outras palavras - um argumento é dedutivo quando:
“se as premissas forem verdadeiras é impossível
a conclusão ser falsa”.

Argumento indutivo (ou dedutivo inválido)

Argumento cuja conclusão não é necessária, dadas suas
premissas básicas.
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exemplos
1) . Todo homem é mortal
. Sócrates é um homem
◊ Sócrates é mortal
2) . Freqüentemente quando chove fica nublado
. Está chovendo
◊ Está nublado
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exercícios

1)
. O sol nasceu todas as manhãs até hoje
◊ Logo, o sol vai nascer amanhã.

2)
. Só há fogo se houver oxigênio
. Na lua não há oxigênio.
◊ Logo, na lua não pode haver fogo.
Validade e Probabilidade Indutiva.
Argumentos Dedutivo e Argumentos Indutivos.
Exercícios

3)
. Se houver uma guerra nuclear, a civilização será destruída.
. Haverá uma guerra nuclear
◊ A civilização será destruída por uma guerra nuclear.

4)
. O ouro conduz eletricidade e é um metal.
. O ferro, o zinco, o bronze, a prata também são metais e
conduzem eletricidade.
◊ Logo, todo metal conduz eletricidade.
Argumento Dedutivo e
Argumento Indutivo: Exercícios
5)
. Todos tem um e um só pai biológico.
. Os irmãos tem o mesmo pai biológico.
. Ninguém é pai biológico de si mesmo.
Não há pai biológico que seja também seu
irmão.

Argumento Dedutivo e
Argumento Indutivo: Exercícios
6)
. Os visitantes da china quase nunca
contraem malária no país.
. José está visitando a China.
José não contrairá malária na China.
 7)
. Eu sonho com monstros.
. Meu irmão sonha também com monstros.
 Todas as pessoas sonham com monstros.

Argumento Complexo
Exercícios
8) "Todos os argumentos são ou indutivos ou
dedutivos. O que você está lendo agora é
um argumento. Este argumento não é
indutivo. Este argumento é dedutivo."
9) "Não existe o maior número primo. Mas de
todos os números primos sempre podemos
imaginar que certamente existe um maior.
Logo, existem números primos maiores do
que qualquer um que possamos imaginar."
Argumentos
Qual o tipo de argumento que estudaremos?

A Lógica Formal estuda o argumento dedutivo no
sentido tradicional

O objetivo da Lógica Formal é mostrar a validade de
certas formas de argumento (estruturas).

O estudo das formas de argumento facilita a
verificação da validade dos argumentos.

Na Lógica formal estudaremos formas básicas do
raciocínio lógico de um ponto de vista sintático
(manipulação de símbolos) e em seguida os
princípios semânticos que justificam estas formas de
raciocínio.
Lógica
Proposicional
Lógica Proposicional


Até agora estudamos a Lógica de maneira
informal.
A Lógica formal é o estudo de formas de
argumento, isto é, regras de raciocínio
comum em vários argumentos.
Formas de Argumento
Exemplos:
1.
. Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
. Hoje não é segunda-feira.
 Hoje é sexta-feira.
2.
. Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo
a pintou.
. Não foi Rembrandt quem a pintou.
 Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3.
. Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
. Ele não é menor de 18 anos.
 Ele é um irresponsável.
Formas de Argumento

Os 3 argumentos são da seguinte forma:
. P ou Q
. Não é o caso que é P
Q

As letras P e Q representam sentenças
declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
Formas de Argumento

A lógica trata de formas de argumentos que
consistem de letras sentenciais combinadas
com as expressões:






negação
conjunção
disjunção
implicação ou
condicional
Se e somente se
bi-implicação,
equivalência ou bicondicional
Não é o caso que
E
Ou
Se ... Então
Essas expressões são chamadas de
operadores ou conectivos lógicos.
Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que

Essa expressão prefixa uma sentença para
formar uma nova sentença, a negação da
primeira.
Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘
é a negação da sentença
‘Ele é fumante'.

Variações gramaticais dessa negação:
´Ele é não-fumante’,
´Ele não é fumante’
´Ele não fuma’.
Formas de Argumento
Conectivo E


Uma composição constituindo-se de duas sentenças
ligadas por 'e' chama-se conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
Obs: em linguagem natural, ‘e’ às vezes sugere
sequencia temporal
Ele ganhou na loto e enriqueceu.

A conjunção também pode ser expressa por palavras
como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ‘além do
mais’, ‘no entanto’, ‘apesar disso’...
Chove mas faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Ou

Um enunciado composto consistindo de
duas sentenças ligadas por 'ou' chamase disjunção.
Exemplo: Chove ou faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então



Enunciados do tipo se... então ... chamam-se
condicionais ou implicações .
O enunciado subseqüente ao 'se' chama-se o
antecedente e o subseqüente ao 'então'
chama-se o conseqüente.
Forma do condicional:
Se antecedente então conseqüente
Ex: Se sinto frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Uma implicação também pode ser
expressa na ordem inversa.
Visto o casaco se sentir frio
mantém a semântica de
Se sentir frio, visto o casaco
Se sentir frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Variações gramaticais da implicação:





Se P então Q
P implica em Q; P, logo Q
P só se Q; P somente se Q
P apenas se Q; P só quando Q
Q se P ; Q segue de P
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se

Os enunciados formados com a expressão
...se e somente se... são chamados
bicondicionais ou equivalências .
Exemplo:
T é um triângulo se e somente se T é um
polígono de três lados
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se






Um bicondicional pode ser considerado uma
conjunção de dois condicionais:
1.
2.
3.
4.
P se e somente se Q
P se Q e P somente se Q
Se Q então P e P somente se Q
Se Q então P e Se P então Q
que equivale a:
5. Se P então Q e Se Q então P
Formas de Argumento
Formalização

Para facilitar o reconhecimento e
comparação de formas de argumento,
cada operador lógico é representado
por um símbolo:
 Não é o caso que(Negação): ~ ou ┐
 E(Conjunção): ^ ou &
 Ou(Disjunção): v
 Se ... Então(Implicação):

 Se e somente se(Equivalência):

Formalização: Linguagem da
Lógica Proposicional

Alfabeto




Símbolos de pontuação: ( ) ,
Símbolos de verdade: true, false
Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1,
Q1, P2, Q2...
Conectivos proposicionais: ,v,^,  , 
Linguagem da Lógica
Proposicional (cont.)

Fórmula



Todo símbolo de verdade ou proposicional
é uma fórmula da Lógica Proposicional
Se H é fórmula então (H) também é
Se H e G são fórmulas, então (HvG),
(H^G), (HG) e (HG) também são
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são
fórmulas e quais não são:
a)    R
b) ( R)
c) PQ
d) (PQ)
e) (P ^ Q)
Linguagem da Lógica
Proposicional (cont.)

Ordem de precedência





, 
^,v
Subfórmula: Se H é fórmula




H é uma subfórmula
Se H=(G), então G é subfórmula de H
Se H é do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG),
então E e G são subfórmulas de H
Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula
de G também é subfórmula de H
Linguagem da Lógica
Proposicional (cont.)

Tamanho de Fórmulas




Inteiro positivo
Representação: |A|
|p| = 1, para toda fórmula atômica
Quantidade de símbolos e conectivos
preposicionais
Formas de Argumento
Formalização

Exemplo de formalização: Simbolize o
argumento que segue e o represente na
Forma Padrão.
A proposta de auxílio está no correio. Se os
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
analisarão. Portanto, eles a analisarão se a
proposta estiver no correio e eles a
receberem até sexta-feira. (C, S, A)
Solução:

A proposta de auxílio está no correio. Se os
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
analisarão. Portanto, eles a analisarão se a
proposta estiver no correio e eles a
receberem até sexta-feira.
C: A proposta de auxílio está no correio.
S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.
A: Os árbitros analisarão a proposta.
. C
. SA
. C^SA
A
{C, SA, C^SA } |--
Formas de Argumento
Composição de conectivos

Nem ... Nem ...
Nem José nem Maria estavam em casa
J – José estava em casa
M – Maria estava em casa
┐(J ^M)
Formas de Argumento
Formalização



A linguagem consistindo das letras
sentenciais e dos operadores lógicos
juntamente com as regras a serem
empregadas, chama-se a Lógica Proposicional
ou Cálculo Proposicional.
A palavra Cálculo é empregada no sentido de
avaliação ou raciocínio e não no sentido de
diferenciação ou integração
O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é
provar a validade de certas formas de
argumento.