Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
-Mestrado – Doutorado
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ
MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR
por
James Sidney Freitas de Carvalho
Tese de Doutorado apresentada à Universidade Federal da Paraíba para
obtenção do grau de Doutor em Engenharia Mecânica
João Pessoa – PB
Outubro/2009
ii
JAMES SIDNEY FREITAS DE CARVALHO
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ
MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da
Universidade Federal da Paraíba - UFPB, em
cumprimento às exigências para obtenção de
Grau de Doutor em Engenharia Mecânica.
Orientador: Prof. Dr. José Antônio Riul
João Pessoa –Paraíba
Outubro – 2009
iii
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ
MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR
por
James Sidney Freitas de Carvalho
Tese aprovada em 28 de outubro de 2009
Período letivo 2009.2
João Pessoa – PB
Outubro/2009
C331c Carvalho, James Sidney Freitas de.
Controle adaptativo aplicado em um robô
manipulador de dois graus de liberdade planar /
James Sidney Freitas de Carvalho.- João Pessoa,
2009.
287f. : il.
Orientador: José Antonio Riul
Tese (Doutorado) – UFPB/CT
1. Robótica. 2. Identificação de sistemas. 3.
Controle adaptativo.
UFPB/BC
CDU: 004.896(043)
iv
À Cida, minha sempre e amada esposa.
Aos meus amados filhos, José Henrique e
João Arthur.
Aos meus pais, José Secundo de Carvalho
e Maria das Graças F. de Carvalho.
DEDICO.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço principalmente, ao “Grande Arquiteto do Universo”, pois sem a sua
permissão nada seria possível.
Agradeço ao meu orientador professor Dr. José Antônio Riul, pelos ensinamentos,
paciência, sobretudo, pela confiança em mim depositada.
À Coordenação de Pós-Graduação de Engenharia Mecânica (CPGEM) da
Universidade Federal da Paraíba (UFPB) pelo apoio institucional recebido e ao Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas (IF-AL) pela oportunidade de
realização deste trabalho de tese.
Agradeço à Fundação e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES), pelo apoio financeiro.
Agradeço em especial a toda minha família, sobretudo aos meus pais José Secundo e
Maria das Graças, e aos meus irmãos pelo estímulo constante.
Enfim, a todos, sou muito grato.
vi
CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ
MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR
RESUMO
A presente tese tem como objetivo o modelamento e controle em tempo real de um
robô manipulador de dois graus de liberdade planar, constituído de um elo rotacional e outro
prismático. O elo rotacional é um perfil U em alumínio e tem como atuador um motor-redutor
de corrente contínua. O elo prismático é composto por um cilindro pneumático de dupla ação e
haste passante, fixado no interior do perfil U e tem como atuador uma válvula
eletropneumática proporcional de cinco vias e três posições. O sensoriamento de posição
angular do elo rotacional é realizado por meio de um potenciômetro de dez voltas, e o de
posição linear do elo prismático é realizado através de uma régua potenciométrica. É obtido o
modelo matemático representativo do robô manipulador cujos parâmetros são estimados em
tempo real pelo método dos mínimos quadrados recursivo (MQR), em função de entradas
impostas ao manipulador e das saídas obtidas considerando o acoplamento entre os elos, a
partir de uma estrutura pré-definida para este fim. De posse do modelo do sistema,
controladores adaptativos de variância mínima generalizado (GMV) auto-ajustáveis são
projetados e implementados visando o controle de posição do robô manipulador, conforme
trajetórias especificadas para ambos os elos. Resultados de simulações e experimentais dos
modelos estimados e respostas do sistema, considerando seus elos operando de forma
desacoplada e acoplada sob a ação dos controladores, são apresentados e comparados.
Palavras-chave: Robótica, Identificação de Sistemas, Controle Adaptativo.
vii
ADAPTIVE CONTROL APPLIED TO A TWO-DEGREE-OFFREEDOM PLANAR MANIPULATOR ROBOT
ABSTRACT
The objective of this thesis was to model and control in real time a planar
manipulator robot with two degrees of freedom (2-DOF), comprising a rotational and a
prismatic link. The rotational link is an aluminum U-channel activated by a motor-reducer DC.
The prismatic link comprises a double-acting pneumatic cylinder and a pass-through rod fixed
inside the U-channel and activated by a 5-way electropneumatic proportional valve with three
positions. A 10 turn potentiometer senses the angular position of the rotational link, and a
potentiometric ruler senses its linear position of the prismatic link. The mathematical model
that represents the manipulator robot, whose parameters are estimated in real time by the
recursive least squares (RLS) method, is obtained as a function of the inputs fed into the
manipulator and its measured outputs, considering the coupling between the links, based on a
structure predefined for this purpose. After modeling the system, self-adjustable adaptive
controls of generalized minimum variance (GMV) are designed and implemented, which
control the position of the manipulator robot according to trajectories specified for the two
links. Lastly, the estimated and experimental responses of the system are presented and
compared, considering its links operating in uncoupled and coupled mode under the action of
the designed controls.
Keywords: Robotics, Systems Identification, Adaptive Control
viii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1
1.1 CARACTERÍSTICAS DOS ROBÔS MANIPULADORES .................................................... 1
1.2 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DA PROPOSTA DE TESE ........................................... 3
1.2.1 Aspectos Relacionados com a Dinâmica do Robô Manipulador ........................................... 3
1.2.2 Aspectos Relacionados com o Controle do Manipulador ...................................................... 7
1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................ 11
1.4 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES DA TESE ...................................................................... 20
1.5 METODOLOGIA .................................................................................................................... 22
1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................................... 23
CAPÍTULO 2: DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL ............................................... 25
2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 25
2.2 PROJETO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR 26
2.3 DESCRIÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
PLANAR ....................................................................................................................................... 27
2.3.1 Bancada de Testes ................................................................................................................ 28
2.3.2 Sistema de Aquisição de Dados............................................................................................ 29
2.3.3 Componentes do Servoposicionador do Elo de Translação ................................................. 30
2.3.4 Componentes do Servoposicionador do Elo de Rotação ...................................................... 33
2.4 CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 36
CAPÍTULO 3: MODELAGEM DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE
LIBERDADE PLANAR ............................................................................................................... 37
3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 37
3.2 MODELO MATEMÁTICO DO MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
PLANAR ....................................................................................................................................... 38
3.3 DEFINIÇÃO DA ESTRUTURA DE MODELO DO MANIPULADOR .............................. 39
3.3.1 Definição do Sinal de Excitação dos Elos de Translação e Rotação do Manipulador ......... 39
ix
3.3.2 Definição do Tempo de Amostragem ................................................................................... 41
3.3.3 Definição da Estrutura e Identificação Paramétrica do Manipulador................................... 45
3.3.4 Identificação em Tempo Real do Manipulador (Resultados Preliminares) .......................... 64
3.3.5 Validação dos Modelos Estimados para os Elos de Translação e Rotação do Manipulador71
3.4 CONCLUSÕES ....................................................................................................................... 80
CAPÍTULO 4: CONTROLADORES ADAPTATIVOS .............................................................. 82
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 82
4.2 O CONTROLE ADAPTATIVO ............................................................................................. 83
4.2.1 Posicionamento do Elo de Translação em Malha Fechada .................................................. 85
4.2.2 Posicionamento do Elo de Rotação em Malha Fechada ....................................................... 87
4.3 TIPOS DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS ............................................................... 89
4.3.1 Controladores Auto-ajustáveis (STR) .................................................................................. 89
4.3.2 O Controle Adaptativo de Variância Mínima (MV) ............................................................ 94
4.4 PROJETO DO CONTROLADOR GMV-I AUTO-AJUSTÁVEL PARA O ROBÔ
MANIPULADOR OPERANDO DESACOPLADO DINAMICAMENTE ............................... 113
4.4.1 Resultados Obtidos com o Robô Manipulador Operando sob Ação do Controle GMV-I
Auto-ajustável Projetado (Elos desacoplados) ............................................................................ 117
4.5 PROJETO DO CONTROLADOR GMV-I AUTO-AJUSTÁVEL PARA O ROBÔ
MANIPULADOR OPERANDO ACOPLADO DINAMICAMENTE ....................................... 137
4.5.1 Resultados Obtidos com o Robô Manipulador Operando sob Ação do Controle GMV-I
Auto-ajustável Projetado (Elos Acoplados) ................................................................................ 140
4.6 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 160
CAPÍTULO 5: COMPARATIVO DE RESULTADOS.............................................................. 164
5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 164
5.2 COMPARATIVO DOS RESULTADOS OBTIDOS ........................................................... 164
5.3 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 172
CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 175
6.1 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 175
6.2 PROPOSTAS DE CONTINUIDADE DO TRABABLHO .................................................. 178
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 180
APÊNDICE A: MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS ................... 204
A.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 204
A.2 CONCEITOS PRELIMINARES .......................................................................................... 204
x
A.3 CLASSIFICAÇÃO DE MODELOS .................................................................................... 209
A.4 GENERALIDADES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS ............. 210
A.4.1 OBJETIVOS DA IDENTIFICAÇÃO ............................................................................... 210
A.4.2 ETAPAS DA IDENTIFICAÇÃO ..................................................................................... 212
A.4.3 REPRESENTAÇÕES DE MODELOS LINEARES DISCRETOS .................................. 217
A.4.4 ESTIMADOR DE PARÂMETROS (ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO) ................ 227
A.4.4.1 Obtenção do Estimador dos Mínimos Quadrados ......................................................... 230
A.4.4.2 Obtenção do Estimador dos Mínimos Quadrados Recursivo ........................................ 237
A.4.4.3 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo ............................................................. 240
A.4.4.4 Obtenção do Estimador MQR Aplicável aos Sistemas Múltivariáveis ......................... 241
A.4.4.5 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo de Sistemas Múltivariáveis ................. 243
A.4.4.6 Critérios para Seleção da Estrutura de Modelos a serem Identificados ........................ 246
A.4.4.7 Critérios para Validação da Estrutura de Modelos identificados .................................. 252
A.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE
LIBERDADE PLANAR ............................................................................................................. 256
APÊNDICE B: CONTROLADORES ADAPTATIVOS ............................................................ 262
B.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 262
B.1.1 CONTROLE ADAPTATIVO POR ESCALONAMENTO DO GANHO (GS) ............... 262
B.1.2 CONTROLE ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA (MRAC) ................. 264
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Manipulador Planar.................................................................................................... 27
Figura 2.2 – Bancada de Testes ..................................................................................................... 28
Figura 2.3 – Diagrama em blocos da bancada de teste .................................................................. 29
Figura 2.4 - Servoposicionador do elo translacional ..................................................................... 30
Figura 2.5– Servoposicionador do elo rotacional .......................................................................... 34
Figura 3.1 – Excitação aplicada ao servoposicionador pneumático .............................................. 44
Figura 3.2 – Resposta ao degrau do elo de translação em malha aberta ....................................... 44
Figura 3.3 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 – Elo de Translação. .................. 49
Figura 3.4 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Translação ..................... 49
Figura 3.5 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Translação ................... 50
Figura 3.6 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 – Elo de Translação. .................. 50
Figura 3.7 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 - Elo de Rotação. ....................... 51
Figura 3.8 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Rotação. ........................ 51
Figura 3.9 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Rotação. ...................... 52
Figura 3.10 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 - Elo de Rotação. ..................... 52
Figura 3.11 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Translação. ..................................................... 57
Figura 3.12 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Rotação. .......................................................... 57
Figura 3.13 – Modelos selecionados - Elo de Translação. ............................................................ 60
Figura 3.14 – Modelos selecionados - Elo de Rotação.................................................................. 60
Figura 3.15 – Sinal de excitação aplicado ao elo de translação. ................................................... 65
Figura 3.16 – Sinal de excitação aplicado ao elo de rotação. ........................................................ 65
Figura 3.17 – Parâmetros ai estimados - Elo de translação. .......................................................... 66
Figura 3.18 – Parâmetros bj estimados - Elo de translação. .......................................................... 66
Figura 3.19 – Parâmetros ai estimados - Elo de rotação................................................................ 67
Figura 3.20 – Parâmetros bj estimados - Elo de rotação................................................................ 67
Figura 3.21 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de translação ....................... 69
xii
Figura 3.22 – Erro de estimativa referente ao elo de translação.................................................... 69
Figura 3.23 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de rotação ............................ 70
Figura 3.24 – Erro de estimativa referente ao elo de rotação ........................................................ 70
Figura 3.25 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação .............................. 72
Figura 3.26 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação .................................. 72
Figura 3.27 – Correlação cruzada entre a excitação u1(k) e a saída y1(k) - Elo de translação ....... 73
Figura 3.28 – Correlação cruzada entre a excitação u2(k) e a saída y2(k) - Elo de rotação ........... 73
Figura 3.29 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de
translação ................................................................................................................... 75
Figura 3.30 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e2(k) e a excitação u2(k) - Elo de
rotação ....................................................................................................................... 76
Figura 3.31 – Autocorrelação da excitação u1(k) - Elo de translação ........................................... 77
Figura 3.32 – Autocorrelação da excitação u2(k) - Elo de rotação ................................................ 77
Figura 3.33 – Correlação cruzada entre os erros de estimativas e1(k) e e2(k) - Elos de
translação e rotação ................................................................................................... 78
Figura 3.34 – Correlação cruzada entre as excitações u1(k) e u2(k) - Elos de translação e
rotação ....................................................................................................................... 79
Figura 4.1 – Diagrama do servoposicionador pneumático ............................................................ 87
Figura 4.2 – Diagrama do servoposicionador elétrico ................................................................... 88
Figura 4.3 – Diagrama em blocos do controlador STR ................................................................. 92
Figura 4.4 – Diagrama em blocos do controlador STR explícito .................................................. 93
Figura 4.5 – Diagrama em blocos do STR implícito ..................................................................... 94
Figura 4.6 – Controle de variância mínima e sistema com distúrbio ............................................ 95
Figura 4.7 – Estrutura do sistema generalizado para o controlador GMV .................................. 102
Figura 4.8 – Controle GMV e planta com perturbação ............................................................... 106
Figura 4.9 – Respostas experimental e estimada do elo de translação para referências degraus,
sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ...................................................... 120
Figura 4.10 – Erro de estimativa do elo de translação................................................................. 120
Figura 4.11 – Segmento de trajetória referente ao período de 28 a 110 s - Elo de translação .... 122
Figura 4.12 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação ............................ 124
Figura 4.13 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de
translação ................................................................................................................. 124
Figura 4.14 – Erro de saída do elo de translação ......................................................................... 125
xiii
Figura 4.15 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável - Elo de
translação ................................................................................................................. 126
Figura 4.16 – Evolução dos parâmetros ai e bj estimados do elo de translação .......................... 127
Figura 4.17 – Respostas experimental e estimada do elo de rotação para referências degraus,
sob a ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................................................... 128
Figura 4.18 – Respostas experimental e experimental filtrada do elo de rotação para
referências degraus, sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ..................... 129
Figura 4.19 – Erro de estimativa do elo de rotação ..................................................................... 129
Figura 4.20 – Segmento de trajetória referente ao período de 55 a 210 s - Elo de Rotação ....... 131
Figura 4.21 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação ................................ 133
Figura 4.22 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e2(k) e a excitação u2(k) – Elo de
rotação ..................................................................................................................... 133
Figura 4.23 – Erro de saída do elo de rotação ............................................................................. 134
Figura 4.24 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável - Elo de
rotação ..................................................................................................................... 135
Figura 4.25 – Evolução dos parâmetros ai e bj estimados do elo de rotação............................... 135
Figura 4.26 – Composição de movimentos descritos pelos elos de translação e rotação
Considerando-os desacoplados ................................................................................ 136
Figura 4.27 – Respostas experimental e estimada do elo de translação para referências degraus
sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável – Sistema acoplado ...................... 142
Figura 4.28 – Erro de estimativa do elo de translação................................................................. 143
Figura 4.29 – Segmento de trajetória referente ao período de 28 a 190 s - Elo de translação .... 145
Figura 4.30 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação ............................ 147
Figura 4.31– Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de
translação ................................................................................................................. 147
Figura 4.32– Erro de saída do elo de translação .......................................................................... 148
Figura 4.33 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................. 149
Figura 4.34– Evolução dos parâmetros ai estimados do elo de translação .................................. 150
Figura 4.35 – Evolução dos parâmetros bj estimados do elo de translação ................................. 150
Figura 4.36 – Respostas experimental e estimada do elo de rotação para referências degraus,
sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ...................................................... 151
Figura 4.37– Erro de estimativa do elo de rotação ...................................................................... 152
Figura 4.38 – Segmento de trajetória referente ao período de 15 a 75 s - Elo de Rotação ......... 153
Figura 4.39 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação ................................ 155
xiv
Figura 4.40 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e2(k) e a excitação u2(k) - Elo de
rotação ..................................................................................................................... 156
Figura 4.41 – Erro de saída do elo de rotação ............................................................................. 157
Figura 4.42 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................. 157
Figura 4.43– Evolução dos parâmetros ai estimados do elo de rotação ...................................... 158
Figura 4.44– Evolução dos parâmetros bj estimados do elo de rotação ...................................... 159
Figura 4.45 – Composição de movimentos descritos pelos elos de translação e rotação
acoplados ................................................................................................................. 160
Figura 5.1 – Respostas experimentais do elo de translação para referências degraus, sob ação
dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ............................................................... 166
Figura 5.2 – Erro de seguimento de trajetória do elo rotacional para referências degraus, sob
ação dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ...................................................... 167
Figura 5.3 – Variáveis de controle do elo de translação sob ação dos controladores GMV-I
auto-ajustáveis ......................................................................................................... 168
Figura 5.4 – Respostas experimentais do elo de rotação para referências degraus, sob ação dos
controladores GMV-I auto-ajustáveis ..................................................................... 169
Figura 5.5 – Erro de seguimento de trajetória do elo de rotação para referências degraus, sob
ação dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ...................................................... 169
Figura 5.6 – Variáveis de controle do elo de rotação sob ação dos controladores GMV-I autoajustáveis ................................................................................................................. 170
Figura 5.7 – Movimentos relativos descritos pelos elos de translação e rotação ........................ 171
Figura A.1 – Etapas do Processo de Identificação ...................................................................... 212
Figura A.2 – Representação de um processo com perturbação estocástica................................. 218
Figura A.3 – Representação ARX de um Sistema SISO ............................................................. 231
Figura A.4 – Teste de detecção da ordem do sistema ................................................................. 249
Figura A.5 – Diagrama em bloco do sistema manipulador ......................................................... 257
Figura B.1 – Sistema de Controle Adaptativo por Escalonamento de Ganhos - GS................... 263
Figura B.2 – Controle adaptativo por modelo de referência – MRAC........................................ 265
Figura B.3 – Controle adaptativo por modelo de referência - MRAC indireto ........................... 266
Figura B.4 – Sistema de Controle por Modelo de Referência - MRAC direto ........................... 267
xv
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Dados técnicos da válvula eletropneumática proporcional ...................................... 31
Tabela 2.2 – Dados técnicos do cilindro pneumático .................................................................... 31
Tabela 2.3 – Tensão de excitação versus tensão de saída do amplificador de potência ................ 34
Tabela 3.1 – Características das excitações dos elos do manipulador........................................... 41
Tabela 3.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQR ................................................... 47
Tabela 3.3 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Translacional ................................................ 53
Tabela 3.4 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Rotacional ..................................................... 54
Tabela 3.5 – Parâmetros dos modelos do Sistema de translação .................................................. 58
Tabela 3.6 – Parâmetros dos modelos do Sistema de rotação ....................................................... 58
Tabela 3.7 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Translação ............ 61
Tabela 3.8 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Rotação ................. 61
Tabela 3.9 – Médias e variâncias referentes aos erros de estimativa ............................................ 71
Tabela 3.10 – Médias e variância das funções de autocorrelação e correlação cruzada ............... 79
Tabela 4.1 – Critérios de desempenho para avaliação dos sistemas de controle......................... 118
Tabela 4.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQRGMV1....................................... 119
Tabela 4.3 – Desempenho do elo de translação relativo aos critérios de desempenho
estabelecidos - Elo de translação/Sistema desacoplado .......................................... 122
Tabela 4.4 – Desempenho do elo de translação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR,
s e Id,estabelecidos - Elo de translação/Sistema desacoplado ................................. 123
Tabela 4.5– Desempenho do elo de rotação relativo aos critérios de desempenho estabelecidos
- Elo de rotação/Sistema desacoplado ..................................................................... 131
Tabela 4.6– Desempenho do elo de rotação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR, s, e
Id estabelecidos - Elo de rotação/Sistema desacoplado ........................................... 132
Tabela 4.7– Trajetórias especificadas para os elos de rotação e translação ................................ 136
Tabela 4.8– Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQRGMV2........................................ 141
Tabela 4.9 – Desempenho do elo de translação relativo aos critérios de desempenho
estabelecidos - Elo de translação/Sistema acoplado ................................................ 145
xvi
Tabela 4.10 – Desempenho do elo de translação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR,
s e Id - Elo de translação/Sistema acoplado ............................................................. 146
Tabela 4.11 – Desempenho do elo de rotação relativo aos critérios de desempenho
estabelecidos - Elo de rotação/Sistema acoplado .................................................... 154
Tabela 4.12 – Desempenho do elo de rotação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR, s,
e Id - Elo de rotação/Sistema acoplado .................................................................... 154
Tabela 5.1 – Desempenho global do robô para referência seqüência de degraus ....................... 172
Tabela 5.2 – Desempenho global do robô para referência seqüência de degraus ....................... 172
xvii
LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
A( z -1), B( z -1), C( z -1), D( z -1) e F( z -1) – Polinômio discretos de parâmetros
A(𝑧 −1 ), B(𝑧 −1 ) – Matrizes polinomiais discretas de parâmetros
an, bn, cn, dn, fn – Parâmetros dos polinômios discretos
𝑎𝑘𝑗 (𝑧 −1 ) e 𝑏𝑘𝑗 (𝑧 −1 ) - Elementos das matrizes polinomiais discretas A(𝑧 −1 ) e B(𝑧 −1 )
𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 - Parâmetros referentes ao modelo SISO do sistema
AIC – Critério de informação de Akaike
𝐴𝐼𝐶 𝑖 - Valor normalizado do critério de Akaike
ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas
ARMAX - Modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas
d – Atraso de transporte associado ao sistema
  - Função impulso unitário (Delta de Dirac)
Sn – Variação da soma dos quadrados do erro de estimativa
n – Variação da ordem do sistema
e(k) – Erro de estimativa, predição ou previsão, atribuído à modelagem, erro de medição,
ruído estocástico acrescentado à saída y(k), com média nula e variância 2
ε(k) – Erro residual
erroi(j) – Erro de segmento de trajetória por um i-ésimo elo do sistema em um instante j
de tempo
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑖 - erro médio de segmento de trajetória por um i-ésimo elo do sistema
 (k), E(k), EM(k) – Vetor de erros de estimativa referente ao sistema MIMO
𝐸 ∙ - Esperança Matemática
FPE – Critério de informação do erro de predição final
𝔼1, 𝔼2 – sinais de erro de posicionamento
xviii
FIR – Modelo de resposta ao impulso finito
(k) - Vetor de medidas de entradas e saídas referente ao sistema SISO
m 𝑘 - Vetor de medidas de entradas e saídas referentes ao sistema MIMO
∅𝜀𝜀  , ∅𝑖 𝑗  - Funções de autocorrelação de ε(k) e  𝑘 no atraso 
∅𝑢𝜀  , ∅𝑈𝑖 𝑗  - Funções de correlação cruzada de u(k) e  𝑘 no atraso 
GMV – Controlador de variância mínima generalizado
GS – Controlador de ganhos tabelados
IAE - Erro Integral Absoluto (IAE)
Id - Índice de desempenho
𝐽𝑀𝑄 , 𝐽𝑁 , 𝐼2 , 𝐽 - Função custo
k – Instante de tempo discreto
𝐾 𝑘 - Ganho do estimador
𝜆, 𝛌 - Fator de esquecimento
MQ – Algoritmo dos mínimos quadrados
MQR – Algoritmo dos mínimos quadrados recursivos
MQE - Algoritmo dos mínimos quadrados estendidos
MQG - Algoritmo dos mínimos quadrados generalizados
MVS – Algoritmo de máxima verossimilhança
MVI – Método de variáveis instrumentais
MRAC – Controlador adaptativo por modelo de referência
MV – Controlador adaptativo de variância mínima
MIMO – Sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas
MP – Máximo sobre-sinal (%)
N – Número de medidas ou amostras
na, nb, nc, nd e nf – Ordem dos polinômios discretos
n, np – Número de parâmetros estimados do modelo
OE – Modelo de erro na saída
PID – Controlador proporcional integral derivativo
PRBS – Sinal binário pseudo-aleatório
xix
PI – Controlador proporcional integral
PD – Controlador proporcional derivativo
𝑃 𝑘 - Matriz de covariância
𝑃 𝑧 −1 , 𝑄 𝑧 −1 e 𝑅 𝑧 −1 - Polinômios de ponderação do controlador GMV
p – Número de saídas referente ao sistema MIMO
r – Número de entradas referente ao sistema MIMO ou fator de ponderação de u(k)
2
R2, 𝑅𝑀(𝑛
) - Coeficiente de correlação múltipla
STR – Controlador auto-ajustável
SISO – Sistema com única entrada e única saída
Sn, SEQM – Soma do erro quadrático de estimativa
2 - Variância
2
𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜
- Variância do erro de estimativa
Ta – Tempo de amostragem (s)
ts – Tempo de acomodação (s)
𝑡95% - Tempo para que a resposta do sistema atinja 95% do seu valor final
 - Constante de tempo (s)
Θ - Vetor de parâmetros referente ao sistema SISO
Θ - Matriz de parâmetros referente ao sistema MIMO
Θ 𝑘 , Θ𝑀𝑄 𝑘 – Vetores de parâmetros estimados
u(k) – Entrada do sistema no instante k ou variável de controle
UM (k) – Vetor de entradas referente ao sistema MIMO
VAR - Variância do erro de acompanhamento de referência
v(k) - Ruído branco filtrado a partir de e(k) e estatisticamente independente
𝑤 𝑘 - Referência
y(k) – Saída do sistema no instante k
𝑦𝑖 𝑘 - Média das N medidas para a saída 𝑦𝑖 (𝑘) do sistema sob ensaio
𝑦(𝑘) - Saída estimada do modelo do sistema no instante k referente ao sistema SISO
𝑦 𝑘k − 1, 𝜃 - Saída atual estimada do sistema, baseada em valores de saída passados
YM (k) – Vetor de saídas referente ao sistema MIMO
𝑌𝑀 (𝑘) - Vetor de saídas estimadas referente ao sistema MIMO
xx
z-1 – Operador de atraso, y(k)𝑧 −1 = 𝑦(𝑘 − 1)
CAPÍTULO 1:
INTRODUÇÃO
1.1 CARACTERÍSTICAS DOS ROBÔS MANIPULADORES
Ao longo das últimas décadas a abertura de mercado e o processo de globalização da
economia têm levado o setor industrial a um novo padrão de concorrência, onde as formas
tradicionais de gestão e produção não são mais suficientes para garantir a lucratividade e
sobrevivência no mercado que se apresenta cada vez mais competitivo e exigente em
qualidade, custo e atendimento. Visando o aumento de produtividade e padronização na
qualidade de produtos, muitas indústrias têm implementado a automatização de sua produção
baseada na utilização de robôs manipuladores para realização de tarefas pré-determinadas e
repetitivas. Neste panorama, os robôs manipuladores estão sendo cada vez mais utilizados em
atividades que envolvem precisão e alta velocidade (UNECE, 2004)1.
Atualmente, os robôs industriais substituem o homem na realização de diversos tipos
de operações. Eles podem servir como máquinas–ferramenta para realizar tarefas como
soldagem, prensagem, forjamento, embalagem, entre outras e, são empregados nos mais
diversificados segmentos industriais como mecânica, automobilística, aeronáutica, espacial,
eletroeletrônica e outros. O setor produtivo automobilístico tem se beneficiado muito ao se
utilizar deste tipo de equipamento, onde a maior parte das tarefas de montagem, soldagem,
pintura e polimento é realizada pelos robôs manipuladores.
1
United Nations Economic Commission for Europe – World Robotics.
2
No final da década de 50, o primeiro robô industrial foi desenvolvido, o “Unimate”,
por George Devol e Joe Engeberger (ROMANO, 2002), e, desde esta época vem se
desenvolvendo de acordo com os avanços tecnológicos ocorridos em função dos inúmeros
resultados de pesquisas realizadas, o que justifica a constante realização de estudos voltados
para esta área.
Os robôs manipuladores, objeto desta pesquisa, são basicamente dispositivos de
posicionamento com muitos graus de liberdade, formados por cadeias de corpos (elos), em
cuja extremidade é fixada uma ferramenta ou dispositivo com o qual é realizada a tarefa,
conhecido como efetuador (end-effector). Os elos que formam a cadeia são interligados
através de juntas às quais determinam o grau de liberdade do mecanismo e podem ter
movimentos de translação (prismático) ou de rotação (rotacional).
O movimento do efetuador de um manipulador é o resultado do movimento das
juntas, realizado pelos atuadores podendo estes serem do tipo elétrico, eletrohidráulico ou
eletropneumático, com a predominância dos atuadores elétricos (RAMIREZ et al., 2003).
Quando os atuadores são elétricos além do motor costuma ser necessária uma transmissão
através da qual a velocidade do motor é adequada às necessidades do manipulador. Como o
movimento do efetuador é monitorado nas juntas, é comum que os elos e as transmissões
mecânicas dos seus atuadores sejam construídos de forma a serem bastante rígidos para que os
erros de flexibilidade introduzidos por estes elementos sejam minimizados (RAMIREZ et al.,
2003).
Os sensores, que medem o estado do manipulador e se necessário o estado do
ambiente, normalmente são encoders, potenciômetros, tacômetros, câmeras e sensores de
torque/força, entre outros.
O robô manipulador, como uma planta a ser controlada, é um sistema mecatrônico
múltivariável, não-linear e com acoplamentos dinâmicos e por isso, seus parâmetros são
incertos e variam ao longo do tempo, onde a tarefa de controle é por si mesma uma tarefa
dinâmica (CANUDAS et al., 1996).
SLOTINE e LI (1991), afirmam que as incertezas existentes nos parâmetros de
inércia de qualquer manipulador provocam erros de segmento (de posição e velocidade) e de
3
regime, que podem ser significativos, dependendo do robô manipulador e do grau de
incertezas nos efeitos de gravidade (SCIAVICCO e SICILIANO, 1996; MARTINS, 2001).
Considerando as características e fenômenos relacionados com a dinâmica dos
manipuladores, verifica-se que o controle dos mesmos não é uma tarefa trivial e o principal
desafio está na complexidade da dinâmica e nas incertezas paramétricas e dinâmicas que lhes
são peculiares. Por isso, a busca de soluções no sentido de minimizar o efeito destas não
linearidades visando o controle do movimento preciso de robôs manipuladores tem-se tornado
um problema de interesse crescente.
Nesta tese, é aplicada a técnica de controle adaptativo para o controle de trajetória de
um robô manipulador de dois graus de liberdade planar. Uma rotina computacional
implementada estima os parâmetros do sistema em tempo real, empregando o método dos
mínimos quadrados recursivo (MQR) e em seguida calcula os parâmetros do controlador que
se encarregará do controle do robô manipulador. Resultados experimentais são apresentados e
discutidos.
1.2 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DA PROPOSTA DE TESE
Nesta seção serão apresentados os aspectos que estão relacionados com a dinâmica e
controle do manipulador planar em estudo, objetivando ressaltar para o leitor a relevância, o
que motivou e, sobretudo, a justificativa da realização desta pesquisa.
1.2.1 Aspectos Relacionados com a Dinâmica do Robô Manipulador
Com o crescente aumento de demanda em equipamentos de automação e controle de
sistemas é importante realizar-se uma investigação sobre as vantagens da utilização dos
atuadores elétricos, eletrohidráulicos ou eletropneumáticos em robôs manipuladores. A
utilização dos servoatuadores elétricos e eletrohidráulicos já está bem difundida. Por outro
lado, é notória a utilização de servoatuadores pneumáticos na automação discreta. Neste caso,
o manipulador tem uso limitado, executando tarefas simples como a movimentação de cargas
entre duas posições ou tarefas como tirar e colocar (pick and place), enquanto que sua
utilização no controle contínuo, principalmente de posição, ainda não está consolidada. A
4
maior dificuldade de realização do controle contínuo destes servoatuadores está relacionada
com as não-linearidades inerentes a estes sistemas, principalmente devida à compressibilidade
do ar (PERONDI e GUENTHER, 2002). Este comportamento não-linear tem limitado a
utilização destes servoatuadores em tarefas que se exija um seguimento preciso de trajetória de
maneira que o movimento se dê de forma suave e contínua. Neste sentido, os avanços dos
sistemas computacionais ocorridos nos últimos anos aliado ao rápido desenvolvimento de
controladores eletrônicos, baseados em processadores de sinais digitais e o desenvolvimento
de novos instrumentos eletrônicos como sensores digitais, além de componentes pneumáticos
tais como as servoválvulas de alta precisão e novas configurações de cilindros, tem motivado
diversos trabalhos que investigam os sistemas pneumáticos de controle ou servoatuadores
pneumáticos.
Em atendimento à necessidade de realização de novas pesquisas que envolva o
controle de servoatuadores em acompanhamento de trajetórias, sobretudo os pneumáticos,
surgiu a idéia de construção de um protótipo de robô manipulador de dois graus de liberdade
planar, no Laboratório de Automação e Controle do Departamento de Engenharia Mecânica da
Universidade Federal da Paraíba.
No protótipo construído, com o objetivo de estudar o controle de trajetória sobre dois
servoatuadores distintos, foi empregado no acionamento do elo de rotação um motor-redutor
no qual se utilizou como máquina motriz um motor de corrente contínua de imã permanente
controlado pela armadura. No acionamento do elo de translação, foi utilizada uma válvula
eletropneumática.
CANUDAS et al. (1987) realizaram um estudo para compensar adaptativamente o
efeito não-linear do atrito em um motor de corrente contínua e concluíram que quando o efeito
do atrito é compensado, o modelo do motor pode ser descrito por um modelo linear com
coeficientes constantes. As características do atrito dependem da direção do movimento do
motor e por fim, o atrito é sempre presente de alguma forma, causa dificuldades e provoca um
mau desempenho em aplicações servo para o controle de robôs e outras.
Os servoatuadores pneumáticos possuem características que os tornam de um modo
geral, atraentes para aplicações industriais. Dentre as quais pode-se citar o custo relativamente
baixo quando comparados com atuadores elétricos, podendo chegar a uma relação
5
custo/benefício de 10:1, aproximadamente (RICHARDSON et al., 2001), segurança quanto a
sobrecargas, pode operar em altas velocidades, facilidade para instalação e manutenção,
utilizam como energia o ar comprimido que é uma energia limpa e não oferece riscos de
incêndio, apresentam boa relação de força de saída por unidade de peso. Porém, a
compressibilidade do ar e as não-linearidades associadas ao escoamento do ar na servoválvula
e ao atrito entre o êmbolo e a camisa do cilindro em conjunção com os atrasos devido à baixa
velocidade de propagação das ondas de pressão no ar, tornam difícil a obtenção de
posicionamentos precisos quando utiliza-se os servoposicionadores pneumáticos para
execução de diversas tarefas. Normalmente, estes sistemas quando operam sob condições de
baixa pressão de trabalho apresentam uma certa “mobilidade” devido a compressibilidade do
ar.
A força de atrito é considerada a mais complexa das não-linearidades presentes nos
servomecanismos pneumáticos e depende da temperatura, direção do movimento, pressões nas
duas câmaras, velocidade e fatores como condições de lubrificação. O material, o tipo e a
geometria das vedações também exercem grande influência no comportamento da força de
atrito presentes nos cilindros pneumáticos (VIRVALO e KOSKINEN, 1988; SANTOS, 1996;
RICHARDSON et al., 2001; GUENTHER e PERONDI, 2004 ).
Os efeitos do atrito no controle de posição são os mais variados possíveis e podem
ocasionar erros de regime e de seguimento de trajetória. A literatura apresenta vários efeitos
de degradação do desempenho do movimento causados pelas características não-lineares do
atrito (CANUDAS et al., 1995; PERONDI e GUENTHER, 2002). Alguns destes efeitos são
chamados de adere-desliza (stick-slip), hunting, perda de movimento (standstill) e quadrature
glitch. O efeito stick-slip refere-se a uma alternância entre o movimento de deslizamento e o
repouso, sendo definido como um ciclo limite estável surgido durante o movimento e é mais
perceptível quando é utilizado o controle do tipo integrativo, devido à tendência da correção
do erro que é uma característica inerente a este tipo de controle. Da mesma forma que o efeito
stick-slip, o fenômeno hunting refere-se também a um ciclo limite porém ocorre quando o
movimento oscila em torno de uma dada posição desejada de valor constante. Esse fenômeno
é mais perceptível quando o sistema de controle possui ação integral (CANUDAS et al.,
1995). A perda de movimento (standstill) refere-se ao efeito do atrito que ocorre quando o
6
sistema é mantido no repouso por um intervalo de tempo ao passar pela velocidade nula.
Finalmente, o termo quadrature glitch refere-se ao erro de seguimento de trajetória num
movimento que envolve múltiplos eixos (movimento de uma mesa de coordenadas, por
exemplo).
Em servoatuadores, outra fonte de atrito situa-se no sensor de posição e nos locais em
que sua parte móvel entra em contato com as guias direcionais fixas.
O atrito representa uma forte não-linearidade em que conhecer o seu modelo
matemático exato não é uma tarefa fácil devido ao fato de ser variante ao longo do tempo de
acordo com as condições operacionais, de projeto e do meio, caracterizando-se como uma
incerteza paramétrica.
A não-linearidade de zona-morta da válvula ocorre quando a largura do carretel é
maior que diâmetro do orifício no pórtico da válvula por onde escoa o ar. Em válvulas
proporcionais, seria ideal que a área de passagem do ar fosse proporcional ao sinal de controle
da válvula a fim de facilitar o controle das vazões que são direcionadas às câmeras dos
cilindros, porém isto não acontece devido à presença da zona-morta.
A não-linearidade de zona-morta causa limitações no desempenho da malha de
controle por realimentação e por isso precisa ser compensada. Os efeitos da zona-morta podem
ser minimizados adaptativamente (TAO e KOKOTOVICK, 1996; VALDIERO, 2005;
MENDOZA, 2006).
Outra consideração a ser feita com relação ao servoposicionador pneumático, é que as
características do atrito de seus componentes variam com o tempo, ou seja, o atrito estático
por exemplo, varia com a posição e o desgaste das peças internas do cilindro e válvula,
enquanto que o atrito viscoso pode mudar com alterações da temperatura. Sendo assim, seus
efeitos sobre o sistema variam com o tempo (SANTOS, 1996; VALDIERO, 2005;
GUENTHER et al., 2006).
Pelo exposto até o momento, verifica-se então que o controle do protótipo em estudo
constitui-se um problema complexo, pois o movimento da estrutura mecânica que se se realiza
através de movimento de rotação e translação de seus elos que apresentam acoplamento
dinâmico e devem ser controladas simultaneamente. Por outro lado, o comportamento dessa
estrutura é fortemente não-linear e dependente das condições operativas do sistema. Estas
7
condições devem ser levadas em consideração na estratégia de controle a ser adotada. A
trajetória desejada é definida pela posição desejada do elemento efetuador de tarefas, que se
pressupõe estar montado em um dos extremos da haste do cilindro.
Resumindo, o protótipo em estudo é um sistema MIMO2, altamente não-linear,
acoplado e com parâmetros variáveis com o tempo, por isso seu controle é extremamente
complexo pois além das não-linearidades e incertezas paramétricas envolvidas, têm-se ainda a
possibilidade de ocorrer interações entre as variáveis de entrada e saída, ou melhor, entre as
malhas de controle (XIONG e CAI, 2006). Por isso trata-se de um problema de controle cuja
solução não é considerada trivial.
1.2.2 Aspectos Relacionados com o Controle do Manipulador
Atualmente muitas estratégias de controle têm sido empregadas na tentativa de
solucionar os problemas de controle de movimento de robôs manipuladores. A literatura tem
apresentado as mais variadas técnicas (AGUIRRE, et al., 2007). Dentre elas tem-se o controle
Proporcional-Integral-Derivativo
(PID),
Proporcional-Derivativo
(PD),
Proporcional-
Proporcional-Integrativo (P-PI), Lead-Lag, feedfoward e PD+feedfoward, as técnicas de
controle avançado como Adaptativo e Robusto e finalmente, as técnicas tais como Redes
Neurais Artificiais e Lógica Fuzzy (CARELLI et al., 1995; CHEN et al., 1997; BOBROW e
MCDONELL, 1998; KIM e LEWIS, 2000; WANG et al., 2001; PAZOS e HSU, 2003;
LABIOD et al., 2005; BURKAN & UZMAY, 2005; OUYANG et al., 2006; PURWAR et al.,
2007 ). As técnicas convencionais de controle têm sido empregadas na maioria dos processos
automatizados no segmento industrial nos últimos 50 anos. Segundo ÄSTROM & HÄGLUND
(2001), o controle PID ainda hoje predomina em aplicações. Estima-se que mais de 90% das
malhas existentes são do tipo PI/PID atingindo uma larga faixa de aplicações, o que é
justificado pela sua simplicidade e robustez. Algumas destas aplicações compreendem o
controle de processos, a indústria automobilística, indústria eletroeletrônica, controladores de
vôo, pilotos automáticos, entre outros.
2
MIMO (Multiple Input, Multiple Output): Sistema multivariável composto de múltiplas entradas e
múltiplas saídas.
8
Apesar desta importância, os controladores PID apresentam desempenho inadequado
em algumas aplicações, sobretudo, em processos não-lineares e com parâmetros variantes com
o tempo (incertezas paramétricas), por serem controladores de ganho fixo. Na literatura há
relatos de que uma porcentagem significante dos controladores instalados operam em modo
manual e que mais de 50% dos controladores PID‟s instalados que operam em modo
automático não apresentam um desempenho satisfatório frente a sistemas complexos
(OVIEDO et al,, 2006; ARRUDA et al., 2008; TEIXEIRA et al., 1998).
As técnicas convencionais de controle de robôs manipuladores ou aquelas baseadas
em modelo (controle de posição e/ou força) envolvem o conhecimento das equações que
descrevem o comportamento dinâmico do manipulador, ou seja, o conhecimento das
formulações de Newton-Euler, Lagrange-Euler ou das equações generalizadas de D‟ Alambert
(CRAIG, 1986). O problema de controle começa a existir pelo fato de que estas formulações
requerem o completo conhecimento do modelo dinâmico do robô e este por sua vez é muito
complexo. Além de ser necessária a inclusão da dinâmica de seus elementos (dos elos),
também devem ser inclusos a dinâmica do sistema de transmissão, dos atuadores e
equipamentos eletrônicos de comando. Estes elementos incorporam ao modelo novas inércias
e atritos, aumentando ainda mais sua complexidade. Assim, as equações obtidas são acopladas
e contemplam incertezas paramétricas.
Por outro lado, as soluções destas equações exigem a realização de uma elevada
quantidade de cálculos, tornando necessário o uso de máquinas de grande porte, tendo em
vista o esforço computacional requerido (KOIVO e GUO, 1983; CARVALHO et al., 2008).
Normalmente, com o objetivo de reduzir o esforço computacional e obter uma
solução factível para este problema, recorre-se às técnicas de linearização do modelo dinâmico
em torno de um ponto de operação do sistema. A aplicação desta técnica parte da suposição de
que o sistema a ser controlado pode ser representado convenientemente por um modelo
dinâmico linear e invariante no tempo de ordem reduzida, que despreza a dinâmica da planta
em freqüências elevadas. FRANKLIN et al. (1994), afirmam que o controlador que é obtido
com a utilização dessa técnica de projeto, também é linear e invariante no tempo.
A linearização em torno de um ponto de operação pode se revelar uma estratégia
plenamente aceitável, no caso em que o processo a ser controlado não sofra grandes variações
9
nos parâmetros e, as não-linearidades existentes sejam “fracas” a ponto de poderem ser
desconsideradas. Porém, a grande maioria das plantas sofre variações em seus parâmetros ao
longo do tempo ou apresentam diversas formas de não-linearidades, tornando necessário um
processo periódico de ajuste nos parâmetros dos controladores quando estes são fixos,
procedimento por vezes dispendioso, demorado e muitas vezes não sendo possível de ser
realizado (nos casos em que não há a possibilidade da planta ter sua operação descontinuada).
A utilização de controle robusto pode ser uma alternativa para solucionar os
problemas da variação paramétrica de um sistema. Porém, deve-se ter alguns cuidados na sua
utilização, como a existência de um compromisso entre robustez (seja com relação a rejeição
de distúrbios ou a erros de modelagem) e desempenho do controlador, pois, não é possível
obter um controlador que garanta um bom desempenho na região de freqüências em que o
modelo de projeto é grosseiro (CRUZ, 1996).
Outra proposta para contornar este problema é a utilização de técnicas de controle
adaptativo, onde é suposto que os parâmetros e/ou estrutura de modelo da planta podem variar
ao longo do tempo, permitindo assim, que o controlador possa compensar essas alterações
atualizando seus parâmetros, de modo a manter o sistema com desempenho desejado
(ÅSTRÖM e WITTENMARK, 1984). Esta técnica permite que os parâmetros de um modelo
selecionado para representar o sistema sejam identificados e a partir dos valores obtidos, os
parâmetros do controlador e a variável de controle necessária ao controle do sistema são
calculados em tempo real.
SEBORG (1994) classificou as estratégias de controle em cinco categorias, levando
em consideração a sua utilização no setor industrial. Dentre as categorias classificadas, a
técnica de controle adaptativo se enquadrou na categoria III, classificada como uma técnica de
controle avançada e largamente utilizada na indústria e isso reforça mais ainda a motivação em
utilizá-la na solução do problema de controle do manipulador em estudo.
No trabalho de MONTENEGRO (2007), são apresentados resultados do uso da
técnica de controle adaptativo para o controle de temperatura de ar em um túnel psicrométrico,
sistema SISO3, cujo modelo foi obtido por meio de técnicas de identificação paramétrica em
tempo real através do algoritmo dos mínimos quadrados recursivos. Realizou-se um estudo
3
SISO (Single Input, Single Output): Sistema monovariável composto de uma entrada e uma saída.
10
minucioso de várias configurações de controladores adaptativos e com base nas quais, foram
projetados e implementados os controladores proporcional integral (PI) de ganho tabelado, PI
auto-ajustável via alocação de pólos, variância mínima (MV) auto-ajustável e o controlador
preditivo generalizado (GPC) auto-ajustável. O desempenho do sistema sob a ação de cada um
dos controladores citados foi avaliado quando submetidos ao seguimento de uma trajetória
(seqüência de degraus de temperatura), no intervalo de tempo de 700 segundos e, os resultados
experimentais obtidos possibilitaram concluir que os controladores adaptativos projetados
foram capazes de rastrear a referência e que o controlador GPC auto-ajustável apresentou o
melhor desempenho dentre os controladores avaliados.
Há a necessidade da realização de maiores investigações no que diz respeito à
aplicabilidade desta técnica em sistemas múltivariáveis a exemplo o robô manipulador planar
em estudo, que apresenta um maior grau de complexidade devido às interações entre malhas,
às adversas não-linearidades e incertezas paramétricas a ele associadas.
Na literatura encontram-se diversos estudos e métodos aplicados ao controle de
trajetória de robôs manipuladores (MACHADO et al., 1993; CACCAVALE e SICILIANO,
1999; MATTIAZZO et al., 2002; CHOI, et al., 2005; TAYEBI e ISLAM, 2006). Nos
trabalhos encontrados o manipulador tem sido modelado geralmente, por meio das
metodologias convencionais tais como a cinemática e a dinâmica, e os modelos gerados não
contemplam a presença das não-linearidades devido à atritos, zona- morta, acoplamentos
dinâmicos existentes e incertezas paramétricas como às existentes no manipulador em estudo.
O tratamento do problema de controle em manipuladores robóticos empregando as
metodologias cinemática e dinâmica, respectivamente, apesar de ter seus aspectos positivos,
poderá levar o sistema de controle a operar com limitações e cometer erros devidos às
limitações computacionais e efeitos mecânicos desprezados no ato da modelagem (LAMAS, et
al., 2002).
Dentre os trabalhos encontrados, verifica-se que o controle dos servoposicionadores
elétricos tais como os motores de corrente contínua, motores de passo, entre outros, já é uma
prática bem difundida, consolidada e que tem apresentado bons resultados (REN et al., 2005).
No entanto, quando se trata de servoposicionadores pneumáticos, a situação é bem diferente,
isso devido a própria complexidade dinâmica associada a este tipo de acionamento. A questão
11
ligada à identificação, compensação das não-linearidades e incertezas paramétricas neste tipo
de servoatuador, pouco tem sido pesquisado.
Por outro lado, a tecnologia de controle adaptativo representa uma metodologia
sistemática e flexível que é adequada ao tratamento de incertezas tais como paramétricas e
não-linearidades. Conseqüentemente, o controle adaptativo apresenta um imenso potencial no
que diz respeito ao controle de sistemas complexos, pouco compreendidos e/ou que mude de
características de maneira não previsível.
Outro fator importante que motivou a realização deste trabalho é que embora a
literatura de controle de processos seja rica e bem diversificada na descrição de técnicas e
procedimentos de projeto, poucos trabalhos práticos têm apresentado propostas para o controle
digital em tempo real aplicáveis aos manipuladores robóticos. Um grande número de
algoritmos de controle tem se baseado apenas em ambientes de simulação digital. Há portanto
a necessidade de se investigar em termos práticos o quão eficientes e úteis são estes algoritmos
para o controle de sistemas dinâmicos com as características e complexidades expostas.
1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O controle de robôs manipuladores não é novidade e tem sido um tema bastante
pesquisado nos últimos anos, devendo-se este interesse às aplicações industriais e, sobretudo,
às aeroespaciais. Na literatura encontram-se estudos correlatos ao controle dos manipuladores
robóticos anteriores à década de 1980.
Há basicamente duas linhas gerais de estudo relacionadas com o tema “Controle de
robôs manipuladores”. Uma enfoca a identificação e a outra, o controle destes sistemas.
Devido às suas propriedades e características, as técnicas de controle adaptativo
normalmente apresentam-se como uma boa opção para o controle de sistemas que apresentam
não-linearidades e incertezas paramétricas como é o caso dos robôs manipuladores.
Apresenta-se a seguir uma revisão bibliográfica nestas linhas de estudo, delineandose o estado da arte.
Embora os primeiros trabalhos sobre controle adaptativo, remeta à década de 1950, a
sua primeira aplicação extensiva à robótica se deu através do trabalho apresentado por
12
DUBOWSKY e DESFORGES em 1979. Estes pesquisadores implementaram uma técnica de
parametrização otimizada a qual foi aplicada em um sistema robótico de seis graus de
liberdade. Nesta formulação, cada servomecanismo foi modelado como um sistema de
segunda ordem, sendo o acoplamento dinâmico entre os elos desprezados e, para cada elo,
ganhos de posição e de velocidade são calculados por um algoritmo que minimiza uma função
de erro positiva semi-definida utilizando o Steepest Decent Method. A estabilidade foi
analisada considerando o modelo desacoplado linearizado. Portanto, este trabalho representa a
primeira
implementação
de
controle
adaptativo
aplicada
aos
sistemas
robóticos
(TOSUNOGLU e TESAR, 1988).
Tratando-se da servopneumática, as obras geralmente reconhecidas como primeira
apresentação significativa são os trabalhos de autoria de JL SHEARER em 1956 (SHEARER,
1956a e 1956b).
BURROWS e WEBB (1968) publicaram um trabalho promissor relacionado com o
controle adaptativo de servomecanismos pneumáticos (SUÁREZ e LUIS, 2005; QUILES et al
2004).
LIU (1985) desenvolveu um esquema de controle adaptativo para manipuladores
robóticos, empregando em sua estrutura o estimador dos mínimos quadrados generalizados e a
técnica de controle auto-ajustável via alocação de pólos. As equações que descrevem a
dinâmica de cada junta foram escritas em forma de equações a diferenças considerando-as
desacopladas e o controle do sistema se dá em cada junta isoladamente. Baseado nesta técnica,
os pólos do sistema em malha fechada são alocados de forma a satisfazer as condições
transitórias pré-estabelecidas para que se tenha um preciso acompanhamento de trajetória. Os
autores realizaram um estudo de caso como aplicação, por meio de simulações numéricas,
demonstrando a eficiência desta técnica.
CRAIG et al. (1986) propuseram um controlador adaptativo baseado no método de
controle de torque computado ou calculado. Este procedimento é aplicável aos sistemas
robóticos com elos rígidos e, consiste em linearizar o sistema utilizando-se sua equação de
torque computado e técnicas de regressão linear, em termos de um conjunto de parâmetros
convenientemente selecionados. Baseado nesta linearização e a partir de medidas de posição,
velocidade, aceleração e da inversão da matriz inercial de parâmetros estimados, o controlador
13
adaptativo de torque computado foi proposto. SLOTINI e LI (1987) apresentaram resultados
semelhantes aos obtidos por CRIAG utilizando as medidas de posição e velocidade.
GUO e ANGELES (1989) apresentaram em seu artigo um método de controle
adaptativo aplicável aos manipuladores robóticos múltiarticulados. Esta técnica requer que as
equações dinâmicas não-lineares e acopladas do manipulador sejam linearizadas sobre uma
trajetória pré-escrita. Baseado no modelo linearizado e sob o pressuposto de pequenos desvios
dos valores nominais das variáveis de posição, velocidade e aceleração, os controladores são
projetados e o estimador dos mínimos quadrados recursivo (MQR) é utilizado para estimar online a matriz de ganhos dos controladores, sendo estes ganhos atualizados e ajustados a cada
período de amostragem para obter-se o controle desejado do sistema. Assim, em vez de se
estimar os parâmetros inerciais do robô manipulador, os ganhos dos controladores, variantes
com o tempo, são estimados. Dessa forma, o algoritmo de controle resultante é muito mais
simples e os cálculos exigidos são reduzidos. Resultados de simulações realizadas em um robô
manipulador apresentaram erros de posicionamento na faixa de 5 a 10%.
Em 1990, YUH e TISSUE propuseram uma técnica de controle adaptativo em tempo
discreto sendo o modelo do manipulador obtido a partir da linearização das equações
multivariáveis do sistema, escritas na forma de equações a diferenças, sendo os parâmetros
estimados por algoritmos de identificação paramétricos. Os ganhos de controle são obtidos online através da técnica de alocação de pólos, a partir dos parâmetros estimados do modelo.
Resultados de simulações realizadas em um manipulador com dois graus de liberdade
mostraram a eficiência do método apresentado.
GOURDEAU e SCHWARTZ (1991) desenvolveram uma estratégia de controle a
qual foi aplicada a um manipulador de dois graus de liberdade visando o controle de trajetória.
Trata-se de um sistema de controle adaptativo que emprega o método do torque computado e
neste caso, utiliza apenas a medida de posição de suas juntas. Os dados de saída (posição) e de
entrada do sistema (torque) são aplicados a um filtro, Filtro de Kalman extendido, para estimar
os parâmetros inerciais do modelo não-linear do robô, como também, as posições e
velocidades assumidas pelas juntas. A partir destas estimativas, o controlador adaptativo de
torque computado gera os novos valores de entrada do sistema. Esta estratégia de controle foi
14
implementada considerando-se uma frequência de amostragem de 30 Hz, sendo obtido um
preciso acompanhamento de trajetória por parte do robô manipulador.
PU et al. (1991) realizaram um estudo sobre motores acionados por meio do ar
comprimido e utilizados como atuadores. Este estudo mostra que em termos de
desenvolvimento de um modelo matemático, os motores a ar apresentam uma vantagem sobre
os cilindros pneumáticos pois o volume de ar a ser controlado é relativamente constante,
eliminando uma grande não-linearidade do atuador.
CANUDAS et al. (1991) discutem sobre o uso do controle adaptativo para a
compensação do atrito em robôs manipuladores. Neste estudo, os autores sugerem um modelo
aproximado para o atrito que é geralmente válido para uma faixa de velocidades consideradas.
Para controladores adaptativos operando a baixas velocidades, tal modelo proporciona
resultados superiores aos dos controladores que se utiliza do modelo de atrito de Coulomb.
Em 1992, JOHNSON e LORENZ apresentam resultados experimentais sobre a
identificação e compensação de atrito de mecanismos submetido ao controle de posição. Neste
trabalho, os autores mapeiam o atrito como uma função da velocidade e realizam uma análise
de regressão para identificar os coeficientes de atrito estático, de Coulomb e viscoso,
respectivamente.
WHITCOMB et al. (1993) apresentam uma metodologia de controle adaptativo
baseada em modelo e prova a estabilidade assintótica global do método ao ser aplicado a dois
robôs do tipo ARMS (GMFanuc, Modelo A-500 e o Yale Bügler). A partir de dados
experimentais, os autores mostram a superioridade do método com relação ao
acompanhamento de trajetórias sobre o controle convencional PD, além de comparar e
demonstrar a superior performance desta metodologia sobre outras técnicas semelhantes
(baseadas em modelo) e não adaptativas.
ARMSTRONG-HÉLOUVRY et al. (1994) efetuaram um estudo exaustivo sobre o
atrito, abrangendo os modelos, as ferramentas de análise e técnicas de compensação em
máquinas com atrito. O modelo do atrito utilizado pelos autores é dotado de sete parâmetros
relacionados com o contato deslizante entre as peças de metal duro, lubrificado por óleo ou
graxa, e em muitos casos, este modelo pode ser extrapolado para superfícies não lubrificadas.
15
TSENG e SHIH (1995) apresentaram em seu artigo o modelamento de um sistema
composto por dois cilindros pneumáticos, comandados através de válvulas eletropneumáticas
proporcionais, visando o controle de posição de suas hastes. O modelo matemático do sistema
é obtido em tempo real por meio de técnica de identificação paramétrica sendo utilizado o
algoritmo dos mínimos quadrados recursivo e dados de entrada e saída coletados do sistema.
A partir do modelo obtido, um controlador PID foi projetado empregando-se a técnica de
controle ótimo segundo o critério de otimização ITAE. Devido às incertezas e nãolinearidades apresentadas, os autores do artigo recomendam que a identificação e o controle do
sistema ocorram em tempo real, para que sejam obtidos resultados mais exatos.
ZIAUDDIN e ZALZALA (1995) discutiram a degradação do desempenho dos
manipuladores equipados com os controladores PID, principalmente na ocorrência de grandes
variações de tarefas ou de carga em seu efetuador. Discorrerem também sobre as dificuldades
de se conhecer exatamente os parâmetros do modelo ao se utilizar as técnicas adaptativas de
controle nestas situações, devido ao acoplamento dinâmico e não-linearidades inerentes aos
manipuladores, o que normalmente exigem algoritmos computacionalmente complexos. Para
solução deste problema, sugerem a abordagem de processamento paralelo a qual foi
implementada para o controle de um manipulador com seis graus de liberdade.
REMY e WECK (1995) apresentam um sistema de controle adaptativo projetado por
meio de técnicas baseadas na lógica Fuzzy e Rdes Neurais Artificiais, aplicado para o controle
de velocidade de um servomotor de corrente contínua. Os autores fazem um comparativo entre
as abordagens fuzzy e neural e discutem algumas de suas características no que concerne à
identificação e controle de sistemas. O sistema de controle projetado consiste de uma rede
neural que modela o servomotor e calcula o erro necessário para modificar os parâmetros do
sistema de controle e de um controlador neuro-fuzzy treinado on-line a partir do erro calculado
através do modelo neuronal, que se encarregará de manter o servomotor operando dentro dos
limites especificados para a velocidade. O uso de uma rede neural para modelar o sistema se
deu devido às não-linearidades apresentadas por este servomecanismo.
Em 1996, SILVA et al. utilizaram um controlador adaptativo por modelo de
referência e estrutura variável com o objetivo de controlar a velocidade de um motor de
corrente contínua. Esta estratégia de controle surgiu como uma possível solução para sistemas
16
incertos e, o controlador projetado segundo esta técnica, apresenta insensibilidade a variações
paramétricas e a perturbações, utilizando apenas medições de entrada (tensão aplicada à
armadura) e saída do sistema controlado (velocidade no eixo do motor). Nesta metodologia de
projeto, os autores utilizam duas estratégias distintas: O controle adaptativo por modelo de
referência (MRAC) e o controle a estrutura variável (VSC). O MRAC é projetado para atender
as especificações de desempenho definidas pelo modelo de referência. É constituído de uma
estrutura de controle parametrizada e de um mecanismo de aprendizagem ou adaptação que
utiliza somente medições de entrada e saída do sistema. Já no caso do VSC, as variáveis de
estado definem uma trajetória que deve alcançar e manter-se sobre uma superfície, chamada
de Superfície Deslizante (UTIKIN, 1992). Resultados de simulações comprovam a robustez e
insensibilidade às variações paramétricas do servomecanismo controlado.
POULIN et al. (1996) descrevem em seu artigo o uso de um controlador PID autoajustável aplicável a um sistema SISO. O controlador apresentado pode controlar processos
estáveis ou instáveis, com zeros estáveis e instáveis, com um integrador, processos instáveis e,
processos aperiódicos padrões. Utiliza-se da técnica de identificação paramétrica recursiva
explícita e, os parâmetros são estimados considerando uma estrutura de modelo de segunda
ordem com um atraso de transporte. O controlador aplica a técnica de cancelamento de zeros e
pólos e é sintonizado tomando-se por base o critério de otimização ITAE. A performance do
controlador apresentado é avaliada comparando-o com controladores comerciais do tipo PID
convencionais.
CHEN et al. (1997) exploram em seu artigo um controlador H adaptativo. No
projeto do referido controlador é introduzido um modelo para sinais de distúrbio para
melhorar a capacidade de rejeição de distúrbios quando do acompanhamento de trajetória.
Para isso, o projeto do controlador H adaptativo compõe-se de um algoritmo adaptativo para
atenuação de distúrbios e um outro, para compensação baseado em modelo interno e atuando
de forma que o erro de acompanhamento de trajetória tenda a zero assintoticamente na
presença de distúrbios. A eficiência do controlador apresentado, quanto ao acompanhamento
de trajetória, é avaliada através de simulações realizadas em um manipulador robótico de dois
graus de liberdade.
17
TEIXEIRA et al. (1998) apresentam o projeto de um controlador neural adaptativo
capaz de controlar o posicionamento de um manipulador Puma 560 considerando seus três
primeiros graus de liberdade. Utilizou-se a técnica de Torque Computado para o projeto do
sistema de controle do manipulador o qual foi implementado via redes neurais artificiais. Tal
controlador necessita de uma fase off-line para treinamento prévio da rede e uma fase on-line
para que a rede já treinada se adapte a possíveis alterações no modelo ou distúrbio de carga. O
treinamento da fase on-line é feito a partir de uma variação do algoritmo Back-propagation já
conhecido na literatura. Na implementação do controlador neural tipo torque computado é
utilizada uma rede contendo três camadas, com a função de representar a dinâmica inversa do
manipulador. Para tal, a rede é treinada a partir de pares de entrada e saída de dados gerados a
partir do modelo dinâmico inverso do manipulador. A estratégia proposta para o controle do
manipulador Puma 560 aplicando a técnica descrita possibilitou a obtenção de bons resultados
e apropriada para controlar tais plantas.
LIN e MON (2002) propuseram um controlador hibrido Fuzzy-Adaptativo (HAFC), o
qual é aplicado para o controle de posição de sistemas robóticos. O sistema não-linear é
controlado por um controlador em espaço de estados e um controlador Fuzzy-Adaptativo, para
isso, uma lei adaptativa foi desenvolvida para sintonizar os ganhos de um controlador robusto
de modo deslizante, o Sliding Modes Controller (SMC), como também, lidar com as
incertezas e erros do modelo. O método de controle proposto é aplicado para avaliar a posição
e promover o acompanhamento de trajetória de um robô de dois graus de liberdade. Um
comparativo feito entre a técnica proposta e as metodologias PD convencional, adaptativo e
SMC demonstram que a técnica proposta, promove a melhoria da performance do sistema
quanto ao acompanhamento de trajetória, além de exibir estabilidade e robustez.
KHOH e TAN (2003) apresentaram resultados obtidos com um esquema de controle
adaptativo robusto aplicável a uma classe de sistemas que apresentam características como
incertezas paramétricas e não-linearidades, típicas dos manipuladores robóticos. O sistema de
controle é composto de um controlador MRAC associado a um compensador não-linear
baseado em uma Função de base radial (RBF) (CALLAN, 1999), adaptativa, capaz de auto
ajustar-se apenas com o erro de seguimento de trajetória apresentado pelo sistema. O
compensador RBF é utilizado para neutralizar o efeito das incertezas e de possíveis dinâmicas
18
não-lineares de modo que o sistema equivalente visto pelo MRAC é reduzido a um sistema
sem erros de modelagem significantes. Os autores apresentam uma análise de estabilidade e
mostram a capacidade de rastreamento do método proposto. A metodologia apresentada foi
aplicada para o controle em tempo real de uma plataforma giroscópica objetivando ressaltar
seu uso prático.
MONTENEGRO et al. (2004) apresentaram resultados obtidos por meio de um
controlador adaptativo projetado segundo a técnica de alocação de pólos, com o fim específico
de controlar a posição da haste do cilindro de um sistema eletropneumático. O uso desta
metodologia é justificado pelas limitações apresentadas pelas técnicas convencionais de
controle diante das incertezas paramétricas, dinâmicas não modeladas e não-linearidades
apresentadas por estes sistemas.
RIUL et al. (2004) propuseram em seu artigo o uso do controle adaptativo
descentralizados, visando controlar a posição de uma mesa de coordenadas de dois graus de
liberdade, composta de duas bases e acionadas por motores de corrente contínua. A técnica de
projeto utilizada foi a de alocação de pólos, sendo considerado que as mesas operam
desacopladas dinamicamente. A partir da estrutura de modelo pré-definida para as mesas, seus
parâmetros são estimados em tempo real a cada período de amostragem por meio do algoritmo
dos mínimos quadrados recursivo, os quais são utilizados no projeto de controladores PI
adaptativos via alocação de pólos. Os resultados experimentais obtidos confirmam a eficiência
da metodologia apresentada.
BURKAN e UZMAY (2005) descrevem em seu artigo o uso de um controlador
adaptativo, aplicado ao controle de manipuladores robóticos, cuja lei de controle é definida
para os n-elos do manipulador e baseai-se na teoria de estabilidade de Lyapunov. A lei de
adaptação de parâmetros, é obtida considerando as aproximações de SLOTINE (1987) e
SCIAVICCO e SICILIANO (1996).
PATETE et al. (2008) propõem em seu artigo o uso de um controlador adaptativo
auto-ajustável de variância mínima generalizada (GMV). Neste trabalho o problema de
controle de sistemas de fase mínima ou não mínima com modelos auto-regressivos de
parâmetros constantes e desconhecidos é considerado. Os autores analisam o desempenho do
controlador auto-ajustável em tempo discreto, quando aplicado a um sistema SISO e sujeito a
19
um distúrbio caracterizado como um ruído branco, sendo o critério considerado no projeto, a
minimização de uma variável de controle auxiliar baseada no conceito de controle de modos
deslizantes. O algoritmo de controle auto-ajustável combina um estimador recursivo com o
controlador GMV para o caso onde modelos auto regressivos são utilizados. A convergência
das variáveis auxiliares é comprovada pela teoria de Lyapunov. Esta metodologia foi validada
por meio de simulações computacionais e, baseados nos resultados obtidos os autores
concluíram que: para assegurar a estabilidade do sistema, os parâmetros estimados não
precisam necessariamente convergir para seus valores verdadeiros; esta metodologia de
controle é extensiva aos sistemas MIMO e pode ser formulada de forma similar.
Além dos trabalhos apresentados anteriormente, inúmeras outras pesquisas têm
fornecido subsídios para a compreensão dos fenômenos não-lineares que envolvem os
dispositivos de acionamentos dos manipuladores robóticos tais como os servomecanismos
eletropneumáticos. Os resultados destas pesquisas têm contribuído positivamente no
desenvolvimento de técnicas de modelagem e controle adequados para estes atuadores. Dentre
estes trabalhos pode-se citar CANUDAS et al. (1995), NOURI et al. (2000), ZORLU et al.
(2003), GUENTHER et al. (2006). Nestes artigos, os autores normalmente analisam as
características não-lineares do atrito e emprega-as nos projetos de controladores destinados ao
controle de servoposicionadores pneumáticos.
Resultados de estudos envolvendo o escoamento de fluido compressível são
encontrados RICHARD e SCAVARDA (1996) e CRUZ et al. (2004).
Tratando-se da fundamentação teórica relacionada com os temas identificação,
controle adaptativo e sistemas robóticos, a literatura conta com uma bibliografia muito vasta.
Dentre as encontradas cita-se: ÅSTRÖM e WITTENMARK (1995), AGUIRRE (2000),
AGUIRRE et al. (2007), ROMANO (2002), BEHAR e IRANZO (2003), BOBÁL et al.
(2005), COELHO e COELHO (2004), CRAIG (1986), GROOVER (1988), HERMELY
(1996), ISERMAN (1989a e 1989b), ISERMAN et al. (1992), LANDAU (1990), LJUNG
(1987), PAUL (1981), ROSÁRIO (2005), SPONG (1989), SLOTINE (1991), SÖDERSTRÖM
(1989).
20
1.4 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES DA TESE
O objetivo desta tese é desenvolver projetos de controladores empregando técnicas de
controle adaptativo, visando o controle de posição em tempo real de um robô manipulador de
dois graus de liberdade planar.
O trabalho será conduzido teórica e experimentalmente, sendo objetivos específicos
os seguintes:

Desenvolver, instalar, realizar testes e ajustar o sistema no qual será realizado
este trabalho;

Realizar revisão bibliográfica sobre o tema em estudo;

Estudar métodos numéricos e algoritmos aplicáveis à identificação
paramétrica de sistemas dinâmicos;

Aplicar os conhecimentos teóricos adquiridos na etapa anterior para
modelar/identificar parametricamente o manipulador robótico em estudo;

Estudar controladores adaptativos existentes, bem como, métodos numéricos
empregados no projeto de tais controladores;

Projetar e implementar controladores adaptativos de Variância Mínima
Generalizados (GMV) auto ajustáveis e, avaliar o comportamento do sistema
sob a ação de tais controladores ao descrever uma seqüência de degraus como
referência, considerando as seguintes situações:

i.
O manipulador operando com seus elos desacoplados e,
ii.
O manipulador operando com seus elos acoplados dinamicamente;
Realizar análise comparativa e discutir os resultados obtidos através das duas
configurações utilizadas (desacoplada e acoplada);

Apresentar as conclusões do trabalho proposto.
Normalmente as técnicas convencionais de controle para o seguimento de trajetórias
de robôs manipuladores situam-se em uma das seguintes categorias: técnicas de controle no
espaço de juntas e técnicas de controle no espaço de tarefa.
21
As técnicas de controle no espaço de tarefa operam com medições de quantidades no
espaço de tarefa e o mecanismo de controle encontra-se no espaço de tarefa. No caso de
técnicas de controle no espaço de juntas, os valores das posições das juntas (e possivelmente
suas derivadas), são medidos e o mecanismo de controle encontra-se no espaço de juntas. Isto
requer, entretanto, que a trajetória desejada seja dada no espaço de juntas. Portanto, uma
transformação da trajetória do espaço de tarefa para o espaço de juntas, denominada de
cinemática inversa, tem que ser realizada. O movimento desejado no espaço de juntas é então
a referência para o algoritmo de controle (SLOTINI E LI, 1991; MARTINS, 2001).
A necessidade de realização da cinemática inversa exige normalmente do algoritmo
de controle, um esforço computacional considerável, comprometendo a ação do sistema de
controle.
Face às dificuldades impostas pela necessidade da aplicação da cinemática inversa e
as características dos robôs manipuladores, o emprego das técnicas convencionais de controle
encontra limitações. Portanto, o uso das técnicas de identificação paramétricas e de controle
adaptativo em tempo real para o controle eficiente destes sistemas de forma a reduzir os erros
de seguimento (de trajetória e de velocidade) e de regime permanente, torna-se além de
adequado, necessário. A técnica de controle adaptativo representa uma metodologia
sistemática e flexível que é bem aceita para tratar situações onde ocorrem variações
paramétricas no tempo (sistema variante no tempo): robô realizando tarefas de pick-and-place,
manipulando diferentes peças (diferentes cargas, diferentes centro geométricos, diferentes
momentos de inércia), e onde se exige um alto desempenho do mesmo. Dessa forma, pode-se
dizer que a técnica de controle adaptativo apresenta um imenso potencial de utilização no que
diz respeito ao controle de sistemas complexos, pouco compreendidos e/ou que mude de
características de maneira não previsível.
Cabe a então a realização de uma investigação mais efetiva no sentido de avaliar a
aplicabilidade desta técnica para o controle de robôs manipuladores que apresente
características similares às do manipulador em estudo.
Diante do exposto, a contribuição desta tese para o estado da arte será
essencialmente: a elaboração e implantação de algoritmo de identificação e controle aplicável
aos sistemas robóticos com acionamento híbrido (Elétrico/Pneumático), múltivariáveis, que
22
considere o acoplamento dinâmico entre elos, permita identificar o sistema recursivamente por
meio de um método estimativo otimizável, sem que haja a necessidade de realizar
transformações que envolva a cinemática inversa e, finalmente, que os parâmetros do sistema
de controle sejam projetados em tempo real permitindo assim o controle preciso de trajetória.
1.5 METODOLOGIA
Em uma primeira etapa deste trabalho, será considerado que os elos do robô
manipulador operam de forma desacoplada. Neste caso, os elos do manipulador serão
identificados separadamente um do outro.
Um estudo prévio será realizado objetivando-se definir a estrutura de modelo para o
manipulador, ou seja: números de pólos, zeros e de atrasos. Uma vez conhecida e validada a
estrutura de modelo, os elos do manipulador serão identificados recursivamente por meio do
estimador MQR.
Serão projetados controladores adaptativos de Variância Mínima Generalizados
(GMV) auto ajustáveis, para os elos do manipulador que empregará no cálculo da lei de
controle os parâmetros identificados a cada instante de amostragem, considerando-os como
dois sistemas SISO e como referência uma seqüencia de degraus.
Na etapa seguinte, considerar-se-á que o robô opera dinamicamente acoplado e, a
identificação será realizada considerando o sistema MIMO de duas entradas e duas saídas,
utilizando-se, para cada elo, a estrutura de modelo previamente definida na etapa anterior.
Objetivando o controle do sistema acoplado, em tempo real, para a referência
formada pela seqüencia de degraus, os controladores adaptativos projetados na primeira etapa,
serão utilizados, usando os parâmetros do sistema acoplado identificados a cada instante de
amostragem.
Testes experimentais com o sistema operando sob a ação dos controladores
projetados serão realizados considerando as duas condições operacionais pré-estabelecidas:
acoplada e desacoplada. Os resultados provenientes dos testes experimentais serão
posteriormente confrontados para as devidas conclusões.
23
1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Esta tese está organizada em seis capítulos e 3 apêndices. Um breve resumo de cada
capítulo é descrito a seguir:
No capítulo 1 apresenta-se uma introdução ao tema desta tese, além de descrever as
justificativas e a relevância deste trabalho. Faz-se uma descrição do estado da arte
apresentando cronologicamente alguns trabalhos que tratam da modelagem e do controle dos
manipuladores robóticos, além de discorrer sobre os objetivos, contribuições esperadas e sobre
a metodologia aplicada para conduzir e alcançar os objetivos deste trabalho.
No capítulo 2 o sistema experimental “O robô manipulador de dois graus de liberdade
planar” é apresentado. Descrevem-se as principais características técnicas dos subsistemas que
o compõem: o elo translacional e o rotacional.
No capítulo 3 a fundamentação teórica apresentada no apêndice A, é utilizada para a
definição da estrutura de modelo, identificação e validação do modelo matemático do
manipulador em estudo. Em seguida, os resultados da identificação são apresentados.
O capítulo 4 apresenta os controladores adaptativos. Uma breve descrição histórica
sobre os controladores adaptativos é feita, além de discorrer sobre as definições, classificações
e suas representações em forma de diagrama em blocos. Uma maior ênfase é dada ao
controlador GMV auto-ajustável por ser o controlador utilizado para promover o controle de
posição dos elos do manipulador em estudo. O capítulo descreve também, o princípio de
funcionamento dos elos do manipulador em malha fechada sob a ação de controle, além de
apresentar os critérios de desempenho a serem utilizados para a avaliação do desempenho do
sistema. O projeto dos controladores GMV auto-ajustáveis considerando os modelos
acoplados e desacoplados do sistema, respectivamente, também é apresentado neste capítulo,
os quais são implementados experimentalmente para o controle do manipulador em estudo. No
capítulo 5 apresenta-se a comparação dos resultados obtidos experimentalmente com o
manipulador submetido à ação dos controladores GMV auto-ajustáveis, considerando o
sistema desacoplado e acoplado. Descreve-se também neste capítulo, os resultados dos índices
de desempenho (VAR, IAE, ID, Erro percentual, Máximo sobre-sinal e Tempo de
24
acomodação), calculados para avaliar o desempenho global do sistema sob à ação dos
controladores projetados.
No capítulo 6 as conclusões finais desse trabalho são apresentadas. Indicam-se
também propostas para trabalhos futuros.
O apêndice A aborda a teoria sobre as representações lineares de modelos discretos,
sobre os estimadores dos mínimos quadrados (MQ) e mínimos quadrados recursivos (MQR), a
concepção das equações que descrevem a dinâmica dos sistemas múltivariáveis,
especificamente aplicadas ao manipulador em estudo, além de apresentar e discutir o
embasamento teórico relacionado com a modelagem matemática, identificação paramétrica e
validação de modelos de sistemas dinâmicos.
No apêndice B, os controladores adaptativos são apresentados. Descreve-se sobre o
seu surgimento, os tipos, características e diagramas representativos.
CAPÍTULO 2:
DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta uma breve descrição sobre o projeto do sistema experimental
desta pesquisa o “Robô Manipulador de Dois Graus de Liberdade Planar”, composto de dois
subsistemas: um elo translacional e outro rotacional. A seção 2.2 descreve sucintamente o
projeto referente ao robô manipulador em estudo. Na seção 2.3 o robô manipulador é
apresentado, sendo descritos cada um dos elementos que o compõe. A seção 2.3.1 discorre
sobre a bancada de testes, confeccionada para possibilitar a realização dos ensaios e a
comunicação do sistema computacional com o robô manipulador em estudo. Em seguida, é
apresentado na seção 2.3.2 um comentário a respeito do sistema de aquisição de dados
responsável pela conversão, aquisição de sinais e comunicação do robô manipulador com o
sistema computacional no qual está inserido o software de identificação e controle do sistema
em estudo. As seções 2.3.3 e 2.3.4 discorrem sobre os elos que compõem o robô manipulador,
descrevendo seus componentes, suas características e especificações técnicas.
O capítulo é finalizado com as conclusões a respeito da zona-morta presente nos
atuadores utilizados, folgas apresentadas pelo sistema de redução do elo de rotação e da
presença de ruído no sistema de aquisição de sinais.
26
2.2 PROJETO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
PLANAR
Quando comercializados os primeiros robôs industriais, por volta da década de 60,
seu preço era muito alto e somente algumas e poucas empresas, todas localizadas em países
desenvolvidos (principalmente no Japão e nos Estados Unidos), tinham acesso a estes
equipamentos. No entanto, a partir de 1976 os preços começaram a baixar de forma
extremamente acelerada e o grande responsável por tal redução foi o avanço ocorrido na
microeletrônica (ROSÁRIO, 2007). Entretanto, no Brasil, a criação e construção de robôs
manipuladores ainda permanecem dependentes de empresas multinacionais, o que força às
empresas nacionais a importar estes equipamentos.
O projeto de um robô manipulador é necessariamente interdisciplinar e envolve a
utilização de conhecimentos de várias áreas, como a área da engenharia mecânica que fornece
metodologias para o estudo de estruturas e mecanismos em situações estáticas e dinâmicas,
das engenharias elétrica e eletrônica que fornecem técnicas para o projeto e integração de
sensores, interfaces, atuadores e controladores, da teoria de controle que formula e avalia
algoritmos ou critérios de inteligência artificial que realizam os movimentos desejados e
controlam as interações entre o robô e o ambiente. Finalmente, da ciência da computação que
propiciam ferramentas para programação dos manipuladores robóticos, capacitando-os à
realização das tarefas específicas (ROMANO, 2002).
O robô manipulador proposto para este estudo foi projetado, construído e montado no
Laboratório de Automação e Controle do Centro de Tecnologia da Universidade Federal da
Paraíba – UFPB e para a execução destas atividades, contou com uma equipe de professores e
pesquisadores dotados dos conhecimentos acima descritos.
Na fase de elaboração do projeto do sistema proposto, o compromisso de se empregar
na sua construção materiais mais leves, de baixo custo, atuadores distintos para o acionamento
de suas juntas e tecnologias atuais, além do compromisso destes materiais serem
comercialmente os existentes no mercado nacional, foram assumidos. Sendo assim, na sua
construção, foram utilizados os componentes comerciais tais como: o alumínio, para compor a
parte estrutural do elo rotacional do manipulador, motor de corrente contínua, redutor de
27
velocidade, válvula proporcional eletropneumática, cilindro de dupla ação e haste passante,
placa de aquisição de dados, unidade de lubrificação e filtragem de ar, compressor de ar e
sensores, adquiridos com verbas do Programa de Apoio à Pesquisa, PROAP, do Programa de
Pós Graduação de Engenharia Mecânica. Os demais componentes foram confeccionados nas
dependências do Centro de Tecnologia da UFPB.
2.3 DESCRIÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE
PLANAR
O robô manipulador é composto de um elo rotacional e outro prismático conforme a
figura .
Figura 2.1 - Manipulador Planar
O elo rotacional é um perfil U em alumínio (5) e é acionado por um moto-redutor de
corrente contínua (2). O elo prismático é um cilindro pneumático de dupla ação e haste
passante (6), que fica fixo no interior do perfil U e é acionado por uma válvula
eletropneumática proporcional (8), que serve para direcionar proporcionalmente a vazão da
linha de suprimento para as câmaras do cilindro e destas para a atmosfera, fazendo com que a
28
diferença de pressão no êmbolo do cilindro forneça a força necessária ao movimento de sua
haste e da carga a ela acoplada.
Um potenciômetro (3), acionado pelas engrenagens (4) é utilizado como transdutor de
posição angular do perfil U e uma régua potenciométrica (7) como transdutor linear de posição
da haste do cilindro pneumático. Com esta configuração o movimento do robô ocorre num
plano.
Este sistema é denominado MIMO por ter duas entradas e duas saídas, caracterizado
também como um sistema de dois graus de liberdade.
2.3.1 Bancada de Testes
A figura 2.2 apresenta uma vista geral da bancada de teste a qual é mostrada na forma
de diagrama em blocos na figura 2.3. A bancada de teste é composta do robô manipulador,
uma fonte variável de tensão contínua, um sistema de aquisição de dados e um computador
pessoal (PC), que são usados para gerar os sinais de controle que irão excitar o amplificador
de potência do moto-redutor de corrente contínua e o circuito eletrônico que comanda a
válvula eletropneumática proporcional, além de captar os sinais advindos dos transdutores de
posição do robô em estudo. No computador a identificação do modelo e a implementação da
lei de controle do robô manipulador é realizada através de programas computacionais
desenvolvidos em ambiente LabVIEW
associados a rotinas escritas na linguagem de
programação Matlab.
Figura 2.2 – Bancada de Testes
29
Figura 2.3 – Diagrama em blocos da bancada de teste
2.3.2 Sistema de Aquisição de Dados
O processo de aquisição e controle do manipulador é realizado por uma placa NI
USB 6008 de fabricação da National Instruments. Esta placa faz a interface dos algoritmos de
identificação e controle com a planta através dos conversores D/A (digital/analógico) e A/D
(analógico/digital), conforme pode ser visto na figura 2.3. Dessa forma, realiza a digitalização
por meio de um conversor A/D dos dados analógicos obtidos nas medições efetuadas na
planta, faz o processamento em um processador de sinais digitais e gera a saída transformando
o sinal de controle digital em analógico por um conversor D/A. Suas especificações são as
seguintes: 4 canais de entradas diferenciais analógicas ou 8 simples e 2 canais de saída,
resolução de 12 bits, taxa de amostragem 10 kS/s, faixa de tensão de entrada ±10 V, faixa de
tensão de saída 0 a 5 V, corrente de saída 5 mA e transferência de dados USB. Na bancada de
teste montada para este estudo, foram utilizados quatro canais analógicos, sendo dois canais de
entrada (AI O e AI 1) e dois canais de saída (AO 0 e AO 1), conforme pode ser visto na figura
2.3.
O PC utilizado continha um processador Pentium Dual-Core de 1,73 GHz com 1014
MB de Memória Ram. Com esta configuração foi possível realizar a identificação e
implementar as ações de controle do manipulador em tempo real. A programação dos
algoritmos de identificação e controle do sistema foi desenvolvida em ambiente LabVIEW
30
associados a rotinas escritas na linguagem de programação Matlab, sendo utilizada uma taxa
de amostragem de 5 ms.
2.3.3 Componentes do Servoposicionador do Elo de Translação
A Figura 2.4 apresenta uma vista geral do sistema posicionador do elo translacional,
composto dos seguintes elementos:

Válvula eletropneumática proporcional: É utilizada para direcionar
proporcionalmente a vazão da linha de suprimento para as câmaras do cilindro e destas para a
atmosfera, fazendo com que a diferença de pressão nos êmbolos do cilindro forneça a força
necessária ao movimento. Possui um carretel com controlador de abertura o que permite
combinar o controle de direção e velocidade do cilindro. A tabela 2.1, apresenta as principais
características técnicas da válvula proporcional utilizada neste trabalho (FESTO, 2008a).
Válvula
Proporcional
Régua
Potenciométrica
Cilindro
Pneumático
Figura 2.4 - Servoposicionador do elo translacional
31
Tabela 2.1 – Dados técnicos da válvula eletropneumática proporcional
Modelo/Fabricante
Tipo
Pressão absoluta de trabalho
Vazão nominal
Temperatura de trabalho
Temperatura ambiente
Tensão de alimentação
Tensão de excitação
Tempo de resposta
Potência máxima absorvida

MPYE-5-1/8 HF-010B/FESTO
5/3 Vias
0 a 105 Pa
700 l/min (0,012 m3/s) ±10%
+5 a 40 0C, sem condensado
0 a 50 0C
24 V CC ±25%
0 a 10 V CC, posição central em 5 V
4,8 ms(238,1 Hz)
20 W
Fonte variável de corrente contínua: Equipamento utilizado para fornecer a
potência necessária à válvula proporcional a uma tensão de 24 V CC, além das tensões
auxiliares de alimentação dos transdutores de posição potenciométricos. Foi utilizada uma
fonte de tensão variável de fabricação MINIPA, modelo: MPE-3303, com dois canais, faixa
de variação de tensão de 0 a 30 V CC e capacidade de corrente de 3 A por canal.

Cilindro de dupla ação e haste passante: Elemento que realiza o trabalho ao
receber o ar comprimido direcionado pela válvula proporcional em uma de suas duas câmaras.
A tabela 2.2 mostra algumas das especificações técnicas correspondentes ao cilindro utilizado
como elo de translação do manipulador em estudo (FESTO, 2008b).
Tabela 2.2 – Dados técnicos do cilindro pneumático
Modelo/Fabricante
DNG-32-400 PPV/FESTO
Tipo
Pressão absoluta de trabalho
Faixa de temperatura de trabalho
Meio operacional
Amortecimento
Curso efetivo
Diâmetro do êmbolo
Força teórica a 6x105 Pa, retorno
Força teórica a 6x105 Pa, avanço
Dupla ação e haste passante
0,6 a 10x105 Pa
-20 a 80 0C
Ar comprimido seco lubrificado ou não
Pneumático, aos finais do curso
400 mm
32 mm
415 N
415 N
32

Transdutor de posição resistivo (Régua potenciométrica): É o componente
que converte a variável mecânica deslocamento linear em uma tensão elétrica, operando como
um divisor de tensão. Comparados a outros tipos de sensores, apresenta boas propriedades tais
como baixo custo, boa precisão e é de fácil instalação. Entretanto, apresentam como
desvantagens possíveis falhas de leitura, excessiva sensibilidade a variações de temperatura e
o sinal de saída é ruidoso devido ao atrito do cursor móvel com relação ao corpo do elemento
resistivo (ROSÁRIO, 2005. Neste elo foi utilizado um transdutor potenciométrico que fornece
um sinal de resposta proporcional ao deslocamento do seu cursor. Sendo este cursor fixado à
haste do cilindro, fornece portanto, a informação referente ao deslocamento desta haste. O
transdutor é de fabricação FESTO e de especificação NLO-POT-225-TFL. É dotado de três
terminais (a,b,c), sendo os terminais “a” e “b” alimentados com uma tensão fixa de 5 V CC e o
terminal “c” de saída (cursor móvel acoplado à haste do cilindro), que possui sua tensão
variável de acordo com o deslocamento, é ligado ao canal de entrada analógica AI0 da placa
de aquisição. A equação (2.1) representa a função linear que possibilita relacionar os valores
do deslocamento do cursor da régua/haste do cilindro com a tensão, em unidades do SI e
obtida a partir de dados levantados em laboratório.
𝑋=
66,14544059 ∗ 𝑉𝐶𝑈𝑅𝑆𝑂𝑅 − 12,35715892
(2.1)
onde:
VCURSOR: tensão medida no cursor móvel do transdutor potenciométrico (V);
X: deslocamento do cursor do transdutor/haste do cilindro (mm).

Unidade de suprimento de ar comprimido: Esta unidade é dotada de um
compressor de êmbolo com movimento linear que funciona de forma intermitente de acordo
com a pressão ajustada no pressostato responsável pelo acionamento de sua máquina motriz. É
de fabricação SCHULZ, modelo MS-2,5 ML e possui uma capacidade de compressão de
147,55 l/min a uma pressão máxima de 8,3x105 Pa, o qual é acoplado a um reservatório
33
(pulmão) que tem a função de armazenar o ar comprimido e equalizar as pressões das linhas de
consumo.

Unidade de conservação: É composta de um filtro de ar que tem a função de
reter as impurezas e reduzir a umidade contida no ar; um elemento lubrificador de ar
comprimido que tem como função aspergir em uma quantidade controlada o óleo lubrificante
que fará a lubrificação das partes internas dos componentes pneumáticos do sistema e, um
regulador de pressão que permite o controle do nível da pressão de utilização em valores
desejáveis.
2.3.4 Componentes do Servoposicionador do Elo de Rotação
A figura 2.5 apresenta uma vista geral do sistema posicionador do elo rotacional. Este
sistema é composto basicamente dos seguintes elementos: amplificador de potência, motor de
corrente contínua, engrenagens e transdutor de posição angular, os quais serão descritos
detalhadamente a seguir:

Motor de corrente contínua: Motor de imã permanente controlado pela
armadura e tensão nominal de alimentação 12 V CC.
Outras vantagens que tornam o uso difundido destes motores na robótica são relativas
às suas características tais como: precisão, confiabilidade, baixo nível de ruído sonoro,
facilidade de instalação e de controle, pois, é possível controlar o torque e a velocidade destes
motores sobre uma grande faixa, apenas controlando a tensão aplicada à armadura. O motor
utilizado no manipulador em estudo possui um redutor acoplado ao seu eixo que além de
reduzir a velocidade de rotação, amplifica o torque a ser fornecido à carga. Sua tensão de
alimentação é de ±12 V CC, corrente nominal de 1,34 A e o sentido de rotação dependerá da
amplitude da tensão de excitação aplicada à entrada do amplificador de potência que o aciona,
conforme será detalhado quando da descrição do amplificador.
34
Engrenagem
Amplificador
de
Potência
Transdutor
Potenciométrico
Redutor
de
Velocidade
Motor DC
Figura 2.5– Servoposicionador do elo rotacional

Amplificador de potência: Dadas as características de tensão e capacidade
máxima de corrente da placa de aquisição de dados apresentadas na seção 2.2.2, houve a
necessidade de introdução de um amplificador de potência para servir como fonte de
suprimento ao motor de corrente contínua utilizado. Este amplificador além de fornecer a
potência necessária ao acionamento do motor, fornece a polaridade adequada para que o seu
funcionamento se dê no sentido desejado. A decisão do sentido de rotação depende da tensão
de excitação aplicada em seus terminais de entrada. A tabela 2.3, mostra a relação entre a
tensão de excitação versus a amplitude e polaridade da tensão de saída do amplificador de
potência.
Tabela 2.3 – Tensão de excitação versus tensão de saída do amplificador de potência
Tensão de excitação (V)
(Imáx: 5 mA)
0
5
10
Tensão de saída
(Imáx: 5 A)
-12
0
12
Sentido de Rotação do
motor
Anti-horário
Parado
Horário
35

Transdutor de posição angular: Possui as mesmas características técnicas,
função e princípio de funcionamento do transdutor linear, excetuando o tipo de movimento do
seu cursor que neste caso, é rotacional. Neste elo, o transdutor de posição converte um dado
número de voltas de seu cursor em uma tensão elétrica, que por sua vez, é lido pelo sistema de
aquisição de dados. Neste elo foi utilizado um transdutor potenciométrico que possui variação
angular múltivoltas (dez voltas), que fornece um sinal de resposta proporcional ao número de
voltas de seu cursor. Sendo este cursor acoplado ao eixo do motor que aciona o elo, fornece,
portanto, a informação referente ao deslocamento angular deste elo. O transdutor
potenciométrico é de fabricação TRIMMER e de especificação WXD3590, resistência
elétrica de 10 k ±10%. Semelhante ao transdutor linear, é dotado de três terminais (a,b,c),
sendo os terminais “a” e “b” alimentados com uma tensão fixa de 5 V CC e o terminal “c” de
saída (cursor móvel acoplado ao eixo do motor por meio de engrenagens), que possui sua
tensão variável de acordo com a rotação do seu cursor que está conectado ao canal de entrada
analógica AI1 da placa de aquisição de dados. A equação (2.2) representa a função linear que
possibilita relacionar os valores do deslocamento angular do eixo do motor com a tensão, em
unidades do SI e obtida a partir de dados levantados em laboratório.
A partir dos dados obtidos, foi ajustada a função linear dada pela equação (2.2), que
relaciona os valores dos ângulos de rotação da junta com a tensão em ambos os sentidos e em
unidades do SI.
𝜃 = 7,435773506 ∗ 𝑉𝐶𝑈𝑅𝑆𝑂𝑅 − 112,2422575
(2.2)
onde:
VCURSOR: tensão medida no cursor móvel do transdutor potenciométrico (V);
θ: deslocamento do transdutor potenciométrico/eixo do motor (graus).

Engrenagens: São os elementos que compatibilizam o número de rotações do
cursor do transdutor com o número de rotações do eixo do motor. Possui uma relação de 10:1,
ou seja, quando cursor do transdutor realiza dez voltas o elo rotacional descreve uma volta ou
36
ângulo de 360 graus. Para possibilitar o uso deste transdutor de forma que ele detectasse o
movimento do elo em ambos os sentidos de rotação, este foi alinhado com a referência “zero
grau” e o transdutor foi centralizado em cinco voltas e neste ponto considerou-se a referência
zero para este transdutor, antes de ser acoplado à engrenagem motora. Dessa forma, quando o
elo descreve um ângulo de 180 graus no sentido horário o transdutor executa 5 voltas e em
sentido contrário, o processo ocorre de forma análoga.
2.4 CONCLUSÃO
Neste capítulo foi apresentado o robô manipulador de dois graus de liberdade planar
objeto deste trabalho, quando foi descrito o seu princípio de funcionamento, dando-se ênfase
aos elementos que o compõem, além de descrever suas especificações técnicas.
Descreveu-se também, os motivos que levaram a projetar e construir o manipulador
para a realização deste estudo.
Foram apresentadas as equações de conversão de unidades de tensão para as unidades
de deslocamento linear (deslocamento do elo prismático) e unidades de deslocamento
rotacional (deslocamento do elo de rotação), representadas pelas equações (2.1) e (2.2),
obtidas através de ensaios realizados em laboratório.
Observou-se também através dos ensaios realizados, a existência de zona-morta na
dinâmica da válvula proporcional eletropneumática, na faixa compreendida entre 4,51 a 5,61
V de tensão de excitação. A região de zona-morta também foi encontrada na dinâmica do
motor de corrente continua, situando-se na faixa compreendida entre -1,88 a 1,62 V de tensão
de armadura. Além da presença de zona-morta detectada, o elo de translação apresenta uma
folga no redutor de velocidade (corôa/sem-fim), que corresponde a uma mobilidade no
respectivo elo de aproximadamente 3 graus.
CAPÍTULO 3:
MODELAGEM DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE
LIBERDADE PLANAR
3.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta de forma sistematizada as etapas da identificação de sistemas
e as aplica para definir a estrutura de modelo do robô manipulador em estudo.
Na seção 3.2 o modelo matemático que descreve a dinâmica do manipulador é
apresentado. Na seção 3.3 são definidas as estruturas de modelo do manipulador. A seção
3.3.1 apresenta as características dos sinais de excitação a serem empregados no processo de
identificação paramétrica dos modelos. Já na seção 3.3.2, o tempo de amostragem a ser
considerado nos testes experimentais é definido. Na seção 3.3.3 é determinada a estrutura de
modelo para o manipulador em estudo, além de apresentar os parâmetros de inicialização do
processo estimativo. A seção 3.3.4 apresenta a identificação paramétrica em tempo real do
robô manipulador propriamente dita. Enquanto que na seção 3.3.5, é apresentada a validação
do modelo identificado na seção 3.3.4. A seção é finalizada com as conclusões do capítulo
apresentadas na seção 3.4.
Nesta seção será apresentado o processo de identificação do sistema em estudo o que
corresponde à obtenção dos modelos referentes aos elos de translação e de rotação do
manipulador de dois graus de liberdade planar. Os modelos identificados deverão reproduzir
as características dinâmicas dos subsistemas supracitados, de forma a satisfazer aos critérios
de validação estabelecidos na seção A.4.4.7, do apêndice A.
38
3.2 MODELO MATEMÁTICO DO MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE
LIBERDADE PLANAR
Antes de realizar qualquer processo de identificação paramétrica de um sistema, há a
necessidade de definir a estrutura de modelo a ser utilizada. Conforme foi descrito no apêndice
A, seção A.4.3, por ter uma estrutura muito simples e por permitir o uso de métodos de
estimação paramétrica (o MQR, por exemplo) que fazem uso da técnica de regressão linear, o
modelo ARX tem seu uso bastante difundido.
A complexidade de um modelo depende de sua finalidade e da complexidade do
sistema a ser modelado, porém, no ato de sua escolha é sempre bom que seja considerado o
Princípio da parcimônia e assim, optando por modelos mais simples quanto possível. Não
justifica utilizar-se de um modelo complexo para identificar um sistema, quando outro mais
simples pode descrever de forma satisfatória suas características para o fim que se deseja. Por
estes motivos que neste trabalho será empregado o modelo ARX para sistemas MIMO,
apresentado na seção A.4.3, do apêndice A.
Na seção A5 do apêndice A, foram obtidas as equações a diferenças (3.1)
apresentadas a seguir. Estas equações regem a dinâmica do manipulador planar que se refere
este estudo.
𝑦1 𝑘
𝑦2 𝑘
−
=−
𝑎111
𝑎121
𝑎211
𝑎221
𝑎11𝑛𝑎
𝑎12𝑛𝑎
𝑎211
𝑎22𝑛𝑎
𝑏112
𝑏122
𝑏212
𝑏222
𝑒1 𝑘
𝑒2 𝑘
𝑦1 𝑘 − 1
𝑦2 𝑘 − 1
𝑦1 𝑘 − 𝑛𝑎
𝑦2 𝑘 − 𝑛𝑎
𝑢1 𝑘 − 𝑑 − 1
𝑢2 𝑘 − 𝑑 − 1
+
−
𝑎112
𝑎122
𝑎212
𝑎222
𝑏111
𝑏121
𝑏211
𝑏221
+⋯+
𝑦1 𝑘 − 2
𝑦2 𝑘 − 2
𝑢1 𝑘 − 𝑑
𝑢2 𝑘 − 𝑑
𝑏11𝑛𝑏
𝑏12𝑛𝑏
𝑏21𝑛𝑏
𝑏22𝑛𝑏
− ⋯
+
𝑢1 𝑘 − 𝑑 − 𝑛𝑏
𝑢2 𝑘 − 𝑑 − 𝑛𝑏
+
(3.1)
Como pode ser observado a equação (3.1) trata-se da representação generalizada da
dinâmica do sistema, construída em função dos parâmetros a serem identificados. Dessa
39
forma, uma vez definidos os respectivos valores como o número de pólos, zeros, atrasos de
transporte e o tempo de amostragem, a estrutura do modelo será pré-definida e os parâmetros
serão estimados por meio do MQR e assim, definidas as equações paramétricas que descrevem
a dinâmica dos elos de translação e de rotação do manipulador, respectivamente. Na seção a
seguir, será apresentado o procedimento de definição da estrutura de modelo do manipulador.
3.3 DEFINIÇÃO DA ESTRUTURA DE MODELO DO MANIPULADOR
A equação (4.1) descreve a dinâmica do sistema, no entanto, isso ocorre se a estrutura
do modelo definida pelo número de pólos na, número de zeros nb e atrasos de transporte d,
além das excitações u1(k) e u2(k) e o tempo de amostragem Ta, são definidos. Diante disso, os
𝑛𝑎
𝑛𝑏
parâmetros 𝑎𝑘𝑗
e 𝑏𝑘𝑗
serão estimados através do MQR.
Na definição das características do sinal de excitação para modelar um sistema, não
conhecendo a priori o sistema que se quer modelar, é sempre comum a realização de testes
iniciais com o sistema em malha aberta, objetivando obtenção de informações sobre a sua
dinâmica. Tais informações são úteis para definir os parâmetros que comporão o sinal de
excitação tais como: forma de onda, amplitude, tempo de excitação (duração), tempo de
amostragem, entre outros, os quais serão utilizados quando da aquisição de dados para a
identificação. Nesta fase também, é possível se certificar da presença de ruídos oriundos dos
circuitos elétricos e instrumentação. Considerando que no presente trabalho um dos objetivos
específicos é a identificação do sistema, utilizando-se para isso, a modelagem do tipo caixa
preta por não se ter qualquer conhecimento a priori sobre o sistema em estudo, efetuou-se
alguns testes iniciais com o manipulador em malha aberta e a partir dos dados obtidos, definiuse os parâmetros empregados na aquisição, identificação e projeto dos controladores dos elos
de translação e rotação, respectivamente, conforme serão apresentados nas seções a seguir.
3.3.1 Definição do Sinal de Excitação dos Elos de Translação e Rotação do Manipulador
A definição do sinal de excitação é uma tarefa de grande importância no processo de
identificação de um sistema dinâmico. Pelos motivos já expostos na seção A.4.4.1 do apêndice
40
A, tipicamente, deseja-se que a média da autocorrelação (equação (A.40)) do sinal de
excitação seja nula para todos os valores de k≠ 0, pois, a ocorrência desta condição é um
indicativo de que os valores que o sinal assume não estão relacionados com os seus valores
anteriores e posteriores. Um sinal aleatório satisfaz, via de regra a esta condição. Por ser um
sinal aleatório não há nenhuma relação entre os valores da série.
Outra questão importante é com relação ao conteúdo espectral do sinal de excitação.
Este conteúdo determina a qualidade do modelo identificado nas freqüências excitadas. Na
prática procura-se normalmente se utilizar de sinais com um espectro de freqüência que excite
o sistema persistentemente de forma a forçá-lo a revelar na saída, as suas características
dinâmicas e com isso, permitir a estimação de todos os parâmetros do modelo.
Os sinais aleatórios ou pseudo-aleatórios caracterizam-se por serem sinais
persistentes e são bastante utilizados nos procedimentos de identificação de sistemas
dinâmicos e isso se justifica por dois motivos: um deles é que previnem a ocorrência de mau
condicionamento numérico e/ou colunas iguais (linearmente dependentes) na matriz de
covariância e o outro, é que excitam os modos do sistema que correspondem ao conteúdo
espectral, por possuir potência espectral numa grande faixa de freqüência. Portanto, um
sistema excitado por um sinal aleatório terá energia suficiente na faixa de freqüência desejada
para que elas se revelem na saída (AGUIRRE, 2000; COELHO e COELHO, 2004).
Após a realização de vários ensaios em malha aberta com o objetivo de definir os
parâmetros referentes aos sinais de excitação dos subsistemas, elos 1 e 2 do manipulador, e,
levando-se em consideração os motivos apresentados nos parágrafos anteriores, foram
definidas as funções responsáveis pelo acionamento dos elos que compõem o manipulador em
estudo. Estes sinais foram compostos basicamente de duas funções degrau e para conferir-lhes
as características de persistência foram acrescidos sinais pseudo-aleatórios do tipo PRBS
(Pseudo Random Binary Signal). As características destas excitações são apresentadas na
tabela 3.1.
41
Tabela 3.1 – Características das excitações dos elos do manipulador.
ELOS
AMPLITUDES(Volts) PERÍODOS(s)
Translação
Rotação
5,6
7,2
2,8
2,0
PRBS(%)
N0 DE AMOSTRAS
0,5
0,5
560
560
A pressão de trabalho do cilindro pneumático que compõe o elo de translação foi
ajustada em 5x105 Pa (5 bar).
Considerando que o objetivo final desta identificação é a obtenção de estrutura
adequada para o modelo do sistema estudado, com fins específicos de projetar controladores
adaptativos e que uma vez definida esta estrutura, o sistema quando em operação sempre será
identificado em tempo real, optou-se em realizar todo o trabalho de modelagem tomando por
base só um dos sentidos de movimento para cada elo do sistema, ou seja, o sentido de avanço
para o elo de translação e o horário para o elo de rotação, respectivamente. O processo de
modelagem para os sentidos opostos aos citados, embora não apresentado nesta tese, se dá de
forma semelhante.
3.3.2 Definição do Tempo de Amostragem
No processo de identificação de modelos em tempo discreto a definição do “tempo”
ou “período” de amostragem é de muita importância, pois, dependendo da taxa de amostragem
escolhida, modelos com características distintas poderão ser obtidos.
O tempo de amostragem influencia na definição da estrutura, no processo de
estimação dos parâmetros e na capacidade do modelo reproduzir de maneira adequada a
dinâmica do sistema modelado. Desta forma, a escolha desta constante não deve ser um valor
muito pequeno e nem muito grande. Se a escolha for por um tempo muito grande, os dados de
entrada-saída serão subamostrados e desta forma, não conterão informação dinâmica
suficiente para que o algoritmo de identificação encontre um modelo que produza o
comportamento dinâmico desejado. Neste caso, existe pouca correlação entre as amostras
sucessivas no conjunto de dados, ou seja, parte da informação foi perdida. Por outro lado, se a
escolha for por um tempo de amostragem muito pequeno comparado com a dinâmica do
sistema, os dados de entrada-saída serão superamostrados e assim, as medidas sucessivas terão
42
muito pouca diferença de forma que a correlação entre as amostras é expressiva, o que pode
provocar um mau condicionamento numérico quando da estimação de parâmetros por parte do
algoritmo de identificação.
Diante do que foi exposto anteriormente verifica-se que a escolha do tempo de
amostragem deve ser por um valor “suficientemente” curto para que a dinâmica do sistema a
ser modelado seja bem representada, muito embora, não seja esta uma escolha muito simples
de ser realizada.
Na literatura que trata sobre o assunto, são apresentados alguns critérios que
normalmente servem como orientação na escolha do tempo de amostragem. No entanto, vale
salientar que nesse processo de escolha, a experiência do projetista e o conhecimento a priori
que se tem sobre o sistema é importante.
ISERMANN citado por MALIK et al. (1991), sugere que o tempo de amostragem Ta
possa ser escolhido segundo um critério que é baseado no tempo de estabelecimento da
resposta à entrada degrau aplicada ao sistema. O valor de Ta pode ser escolhido dentro de um
intervalo como mostra a Eq. (4.2).
𝑡95%
𝑡95%
≤ 𝑇𝑎 ≤
15
5
(3.2)
onde:
𝑇𝑎 : tempo ou período de amostragem;
𝑡95% : tempo necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do
seu valor final.
Utilizando-se o critério apresentado através da equação (3.2), garante-se que pelo
menos cinco amostras do sinal de saída ao longo de sua trajetória de subida podem ser
captadas pelo sistema de aquisição de dados. Estas amostras são importantes para que o
algoritmo de identificação produza um modelo que represente adequadamente o regime
transitório do sistema real.
COELHO e COELHO (2004) afirmam que na avaliação de modelos matemáticos
discretos, o tempo de amostragem a ser escolhido depende de cada aplicação particular.
43
MALIK et al. (1991), realizou um estudo experimental voltado para o projeto de controladores
aplicáveis aos sistemas de potência e dentre algumas conclusões apresentadas, afirmaram que
para fins de controle, a seleção do tempo de amostragem tem que satisfazer as exigências do
sistema de controle projetado e que em alguns casos, uma pequena mudança no tempo de
amostragem pode resultar em uma resposta do sistema em malha fechada completamente
diferente. Portanto, a escolha do tempo de amostragem é uma tarefa que exige bastante
cuidado.
No presente trabalho, para definir o tempo de amostragem a ser utilizado no processo
de identificação e projeto de controladores do manipulador, tomou-se como referência o elo
translacional e isso pode ser explicado pelo seguinte motivo: sendo o movimento do elo
rotacional mais lento se comparado com o elo translacional, o tempo de estabelecimento do
elo rotacional é bem maior, o que implica em uma escolha do tempo de amostragem maior,
levando com isso à subamostragem dos dados (par entrada-saída), significando que haveria,
provavelmente, perdas de informações sobre a dinâmica do sistema de translação. Por outro
lado, com a escolha do elo translacional como referência para a definição do tempo de
amostragem, devido ao fato do tempo de estabelecimento desse sistema ser bem menor
comparado ao do sistema rotacional, implica na definição de um tempo de amostragem menor,
levando com isso à superamostragem dos dados e conseqüentemente, a um custo
computacional maior quando da execução dos algoritmos de identificação e controle do robô
manipulador. Neste caso, visando evitar a perda de informações com relação à dinâmica de
ambos os elos, adotou-se as características dinâmicas do elo de translação como referência e o
tempo de amostragem foi escolhido de forma a evitar o problema de superamostragem para
ambos os elos, conforme será apresentado nos parágrafos subseqüentes.
O procedimento para definição do tempo de amostragem se deu da seguinte maneira:
inicialmente a pressão do sistema foi ajustada em 5x105 Pa (5 bar) e o servoatuador
pneumático do elo de translação foi posicionado na referência zero (posição inicial do
movimento) e em seguida aplicado um degrau de amplitude 7 volts associado a um PRBS de
0,5% e período de 0,08s. As figuras 3.1 e 3.2, mostram a excitação aplicada ao
servoposicionador pneumático e a resposta captada pelo transdutor de posição linear.
44
7.5
7
Degrau (volts)
6.5
6
5.5
5
4.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo(s)
Figura 3.1 – Excitação aplicada ao servoposicionador pneumático
100
Deslocamento do elo de translação (mm)
90
80
y95%=83,47 mm
t95%=0,07 s
70
60
50
40
30
20
Saída do elo de translação
Saída a 95% do valor final
t95%
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
tempo (s)
Figura 3.2 – Resposta ao degrau do elo de translação em malha aberta
45
A partir dos dados referentes à curva de resposta do sistema obtida, figura 3.2, foram
extraídos os seguintes valores:
1. Posição correspondente a 95% do valor final da resposta: y95% = 83,47 mm;
2. Tempo que a resposta levou para chegar a 95% do seu valor final: t95% = 0,07s.
De posse destes dados e utilizando a relação (4.2), a faixa para a escolha do tempo de
amostragem foi calculada, ou seja, o tempo de amostragem deverá ser escolhido entre os
valores compreendidos na faixa 4,67𝑚𝑠 ≤ 𝑇𝑎 ≤ 14 𝑚𝑠. Dessa forma, foi adotado para este
estudo, um tempo de amostragem baseado no limite inferior desta faixa, 5ms.
3.3.3 Definição da Estrutura e Identificação Paramétrica do Manipulador
Definir uma estrutura para um modelo dentre tantas possibilidades existentes não é
uma tarefa simples, porém, pode ser encontrado na literatura informações que auxiliam no
direcionamento desta escolha. O trabalho de MALIK et al. (1991), apresenta informações e
recomendações importantes no que se refere a escolha da ordem de um modelo. Afirma que se
o objetivo final de uma identificação é o projeto de estratégias de controle, a escolha da ordem
apropriada deste modelo pode também depender extensamente da estratégia de controle. E que
geralmente, um modelo, de 3a a ordem do sistema é usado em um controlador autosintonizável. Isto é justificado pelo fato de que um sistema de 3a ordem pode normalmente
apresentar um par de pólos complexos, representando assim as freqüências dominantes de
oscilações do sistema e um simples pólo real, representando a resposta do sistema sem
oscilações. Projetos de controladores auto-sintonizáveis, com modelos de sistemas de 3a
ordem tem apresentado bons resultados.
CHENG et al. citado por MALIK et al. (1991), apresentaram resultados
experimentais a respeito de um controlador auto-ajustável para sistemas de potência que
sustenta esta conclusão. Mesmo para um sistema múltimáquinas, que teoricamente é um
sistema de elevada ordem, um simples modelo de 3a ordem permite o trabalho de auto-sintonia
do controlador bem como no caso simples de uma só máquina.
46
O fato mais interessante é que mesmo para sistemas muito complexos um modelo
muito simples é o suficiente para fornecer resultados muito bons (ISERMANN, 1980).
LUNA (2008) realizou a identificação do manipulador planar em estudo, quando da
realização de seu trabalho, de maneira off-line, obtendo como resultado, modelos de 3a ordem
com um número de zeros igual à 2 (dois), para ambos os elos. As informações acima
apresentadas servem apenas como orientação, neste trabalho, o que prevalecerá, é a escolha de
um modelo paramétrico, parcimonioso e que descreva as características essenciais do sistema
estudado de forma que os controladores adaptativos a serem projetados com base neste
modelo, controle seus elos atendendo aos requisitos pré-estabelecidos.
Considerando a ordem, o número de zeros e atrasos de um modelo, verifica-se que o
quantitativo de possíveis configurações estruturais que se pode ter para compor um modelo é
muito grande. Logo, com o objetivo de simplificar o processo de escolha das prováveis
estruturas para o modelo do manipulador, dentre tantas possibilidades, foram consideradas as
seguintes condições:
1. A pesquisa por uma estrutura adequada foi realizada considerando os espaços de
busca em que 𝑛𝑎 𝜖 1,2, … 4 , 𝑛𝑏 𝜖 0, 1, … 3 e 𝑑 𝜖 1, … 4 , com 𝑛𝑎 ≥ 𝑛𝑏 ;
2. As estruturas de modelo a serem escolhidas para ambos os elos, a princípio,
deverão na medida do possível, serem consideradas iguais.
Definidas as possíveis combinações de estruturas de modelos a identificação do
sistema em tempo real foi realizada. Para tanto, foram aplicados aos respectivos elos de
translação e rotação, os sinais de excitações definidos e apresentados na seção 3.3.1, tabela
3.1, com ambos os elos operando em malha aberta e de forma acoplada. O programa
computacional utilizado neste processo foi o IdentMANIPMQR. Este programa, escrito em
linguagem Matlab e implementado no ambiente LabVIEW, operacionaliza o algoritmo
MQR.
Na tabela 3.2, são apresentados os valores dos parâmetros de inicialização utilizados
na rotina computacional IdentMANIPMQR.
47
Tabela 3.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQR
Parâmetros
Valores Iniciais
Vetor 𝜃 0
Matriz P 0
F. de esquecimento
0,0
106*I
0,90
Além do programa IdentMANIPMQR, foi escrito um programa em linguagem
Matlab, SimulaMODEL, que utiliza também, o algoritmo MQR como algoritmo estimativo.
Este programa funciona como um simulador de estruturas dos modelos, operando de forma
off-line e utiliza como dados de entrada, os dados amostrados de entrada/saída do sistema real,
captados através do programa IdentMANIPMQR. Através de simulações, o SimulaMODEL,
fornece como dados de saída os parâmetros estimados dos modelos, as curvas reais e
estimadas, evoluções do erro de estimativa, valores de Sn, R2, AIC, entre outros. Este
programa fornece subsídios para uma pré-análise das estruturas de modelos evitando assim,
que se utilize o sistema real exaustivamente para este fim. Assim, quando da definição de uma
estrutura que se considere adequada, suas características são introduzidas no programa
IdentMANIPMQR, e, o modelo escolhido é testado de forma on-line para estimar os
parâmetros do sistema real.
De posse de dados obtidos através do processo de identificação na fase de aquisição
de sinais para definição da estrutura do modelo, tais como: dados de entrada-saída do sistema,
parâmetros e saídas estimados e amostrados a uma taxa de 5ms, foram calculados por meio do
SimulaMODEL, os valores dos critérios de informação de Akaike, AIC1 e AIC2, da soma dos
erros quadráticos de previsão Sn1 e Sn2 e dos coeficientes de correlação múltipla R21 e R22,
calculados por meio das equações (A.62), (A.68) e (A.69) do apêndice A, respectivamente,
utilizando-se os dados obtidos ao final do processo estimativo, para o conjunto de modelos
pré-escolhidos.
A fim de captar informações prévias sobre a tendência da ordem do modelo do
sistema e da provável influência do número de zeros e atrasos de transporte, sobre Sn, foram
construídas curvas que retratam a evolução de Sn em função da variação da ordem dos
modelos, contemplando-se as quatro opções de atrasos de transporte. Para que fosse possível
48
confrontar as curvas referentes a modelos de ordens distintas, o número de zeros foi mantido
constante e quatro casos foram considerados: nb = 0, 1, 2 e 3, respectivamente.
As figuras 3.3 à 3.10 ilustram o comportamento de Sn em função da ordem dos
modelos para os quatro valores de nb considerados distintamente, referentes aos elos
translacional e rotacional, respectivamente.
Inicialmente, foi realizada uma análise comparativa para avaliar a influência do
número de atrasos de transporte (retardos) na variação dos valores de Sn. KUNUSCH (2003),
considera que a seleção do número de atrasos na estrutura de modelos é um passo muito
importante para a obtenção de bons resultados e que retardos subestimados conduzem a
pequenos valores nas estimações dos parâmetros bij. Por outro lado, retardos sobreestimados,
produzem uma significativa correlação entre o erro de previsão e a entrada.
No presente estudo, verificou-se através das figuras 3.3 à 3.10, que para ambos os
elos a influência do número de zeros é muito pequena. Vê-se também que para os números de
atrasos considerados, os valores de Sn são muito próximos de tal forma que o ganho a ser
alcançado em se escolher uma ou outra opção é tão pequeno que é permissível que seja optado
por qualquer destes valores. Portanto, considerar-se-á inicialmente o número de atrasos de
transporte para os modelos de ambos os sistemas igual à 1 (um). Uma vez sendo validadas as
estruturas com esta condição, esta escolha será considerada por definitivo. Caso contrário, o
número de atrasos será alterado para o imediatamente superior e novos testes serão realizados.
49
0.14
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,12938)
0.13
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.12
09058)
0.11
0.1
(0,08815)
0.09
0.08
0.07
0.06
(0,05312)
0.05
(0,06304)
0.04
(0,04361)
1
1.5
2
2.5
Ordem
3
3.5
4
Figura 3.3 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 – Elo de Translação.
(0,03814)
0.1
(0,09058)
d=1
d=2
d=3
d=4
0.09
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.08
(0,06304)
0.07
0.06
0.05
(0,03814)
0.04
0.03
(0,03148)
0.02
1
1.5
2
2.5
Ordem
3
3.5
4
Figura 3.4 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Translação
50
0.05
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,04598)
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.045
0.04
0.035
0.03
(0,02861)
0.025
0.02
(0,02315)
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Ordem
Figura 3.5 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Translação
0.022
0.021
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,01947)
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.02
0.019
0.018
0.017
(0,01542)
0.016
0.015
0.014
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Ordem
3.6
3.7
3.8
3.9
4
Figura 3.6 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 – Elo de Translação.
51
0.16
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,14657)
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.14
0.12
(0,10621)
0.1
0.08
(0,06972)
0.06
(0,05392)
0.04
1
1.5
2
2.5
Ordem
3
3.5
4
Figura 3.7 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 - Elo de Rotação.
0.11
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,10667)
0.1
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.09
(0,07394)
0.08
0.07
0.06
(0,05119)
0.05
0.04
(0,03966)
0.03
1
1.5
2
2.5
Ordem
3
3.5
4
Figura 3.8 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Rotação.
52
0.06
d=1
d=2
d=3
d=4
(0,05661)
Soma do Erro Quadrático (Sn)
0.055
0.05
0.045
0.04
(0,03753)
0.035
0.03
(0,02869)
0.025
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Ordem
3.2
3.4
3.6
3.8
4
Figura 3.9 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Rotação.
0.03
d=1
d=2
d=3
d=4
0.028
Soma do Erro Quadrático (Sn)
(0,02659)
0.026
0.024
0.022
(0,02015)
0.02
0.018
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Ordem
3.6
3.7
3.8
3.9
4
Figura 3.10 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 - Elo de Rotação.
Objetivando facilitar a análise e a obtenção de conclusões quanto à ordem e
influência do número de zeros sobre o valor Sn referentes aos modelos de cada elo do sistema,
53
as tabelas 3.3 e 3.4 foram elaboradas de maneira que estão inclusas as informações sobre os
valores mínimos de Sn e das inclinações Sn/na, para cada opção de nb disponível. O número
de atrasos de transporte foi considerado igual a um, conforme fixado previamente.
Tabela 3.3 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Translacional
Elo Translacional
Ordem
na
1
2
3
4
1
2
3
4
1*
2
3
4
1*
2*
3
4
N0 de
Zeros
0
1
2
3
Sn
0,12938
0,08815
0,05312
0,04361
0,09058
0,06304
0,03814
0,03148
*
0,04598
0,02861
0,02315
*
*
0,01947
0,01542
* condição imprópria
Sn/na(1→2)
(x10-3)
Inclinações Sn/na
Sn/na(2→3)
(x10-3)
Sn/na(3→4)
41,23
35,03
9,51
27,54
24,90
6,66
-
17,37
5,46
-
-
4,05
(x10-3)
54
Tabela 3.4 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Rotacional
Elo Rotacional
Ordem
na
1
2
3
4
1
2
3
4
1*
2
3
4
1*
2*
3
4
N0 de
Zeros
0
1
2
3
Sn
0,14657
0,10621
0,06972
0,05392
0,10667
0,07394
0,05119
0,03966
*
0,05661
0,03753
0,02869
*
*
0,02659
0,02015
Sn/na(3→4)
(x10 )
Inclinações Sn/na
Sn/na(2→3)
(x10-3)
40,36
36,49
15,80
32,73
22,75
11,53
-
19,08
8,84
-
-
5,40
Sn/na(1→2)
-3
(x10-3)
* condição imprópria
Observando as figuras 3.3 à 3.10 e comparando-se os resultados apresentados nas
tabelas 3.3 e 3.4, pode ser concluído que:
a. para ambos os elos as menores inclinações Sn/na são observadas quando os
modelos passam de 3a para 4a ordens, denotando com isso, que a utilização de um
modelo de 4a ordem não reduzirá significativamente o valor de Sn. Mesmo
sabendo que provavelmente este modelo venha a descrever a dinâmica do sistema
de forma mais exata, não convém utilizá-lo por se tratar de um modelo mais
complexo dada à quantidade de parâmetros utilizados na sua representação. Por
outro lado, pode ser observado através das tabelas 3.3 e 3.4 que os valores de Sn
apresentados, que se referem aos modelos de 2a e 3a ordens e nb=0, 1 e 2, são
muito próximos. Em média, a diferença entre estes valores fica em torno de
0,029;
b. a partir das figuras 3.3, 3.4, 3.7 e 3.8, pode ser observado que para o modelo de 3a
ordem especificamente, a inclinação Sn/na é íngreme para na< 3 e tende a ser
55
mais suave para na > 3, como pode ser confirmado através dos dados mostrados
nas tabelas 3.3 e 3.4. Entretanto, a partir dessas informações ainda não é possível
afirmar categoricamente que os modelos de 3a ordem sejam de fato modelos
representativos para os elos do sistema estudado. Por enquanto é prudente afirmar
que a ordem a ser escolhida para tais modelos está entre 2a e 3a ordens;
c. tratando-se da influência do números de zeros sobre os valores de Sn,,verifica-se
através das tabelas 3.3 e 3.4 que numericamente o ganho alcançado com a
introdução de zeros além de nb=2 na estrutura dos modelos, provavelmente não
surtirá (pelo menos nos casos avaliados), efeitos significativos que justifique esta
inclusão.
Avaliada a tendência de estrutura e face as dificuldades enfrentadas durante o
confronto de dados referentes a estas estruturas de modelos, ocasionadas pelo quantitativo de
combinações de estruturas originadas, houve a necessidade de se estabelecer outras condições
que permitissem uma maior restrição no número de estruturas disponíveis. Sendo assim,
convencionou-se o seguinte: no espaço de busca inicialmente composto, serão consideradas
para a avaliação quanto à capacidade de representação do sistema em estudo, as estruturas
cujos modelos conduzam aos menores valores Sn e aos maiores coeficientes de correlação
múltipla R2. Com isso, ao ser impostas estas condições, o espaço de busca foi reduzido a 26
estruturas distintas para o confronto de dados (13 estruturas por elo).
A escolha dos modelos se deu levando-se em consideração o critério de informação
de Akaike (AIC), dado pela equação (A.62), seção A.4.4.6 do apêndice A. Nesta etapa foi
observado que os valores dos AIC‟s resultantes das simulações realizadas foram negativos o
2
que é justificável, ou seja, como pode ser visto por meio da equação (A.62), (𝑁𝑙𝑛 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑝 +
2𝑛𝑝 ), a medida em que um dado modelo passa a descrever a dinâmica do sistema de forma
2
mais exata a variância do erro de modelagem 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑛𝑝
atinge valores muito baixos (o que é
bastante natural ocorrer ao final do processo de identificação) e assim, a parcela
2
𝑁𝑙𝑛 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜
𝑛𝑝
passa a assumir um valor negativamente grande em comparação com a
parcela 2𝑛𝑝 da mesma equação. Visando facilitar a análise dos valores do AIC, calculados
56
para cada modelo, realizou-se a normalização destes índices por meio da equação (3.3). Essa
normalização não interfere no processo de análise e escolha dos modelos dado ao fato de que a
análise ser realizada levando-se em conta a ordem de grandeza dos valores dos AIC‟s.
𝐴𝐼𝐶 𝑖 =
1
𝑚𝑖𝑛 𝐴𝐼𝐶
(3.3)
onde:
𝐴𝐼𝐶 𝑖 : valor normalizado do critério de Akaike no intervalo [0,1], calculado
para o i-ésimo modelo;
𝑚𝑖𝑛 𝐴𝐼𝐶 : menor valor do AIC dentre os valores apresentados pelos modelos
pré-selecionados.
A partir da normalização apresentada acima, foram traçadas os histogramas referentes
aos valores normalizados do AIC, para cada modelo pré-selecionado, conforme pode ser visto
nas figuras 3.11 e 3.12. Com a normalização, quando da análise por meio da visualização
destes histogramas ao invés de avaliar e selecionar os modelos que fornecem o valor mínimo
do AIC, deverão ser selecionados preferencialmente, os modelos que apresentam os valores
máximos deste índice.
57
Modelos Pré-selecionados
Primeira ordem
Segunda ordem
Terceira ordem
Criterios de Informação de Akaike (AIC)
1.00
Quarta ordem
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
4.00
8.00
12.00
16.00
Modelos
Figura 3.11 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Translação.
Modelos Pré-selecionados
Primeira ordem
Segunda ordem
Terceira ordem
Critérios de Informação de Akaike (AIC)
1.00
Quarta ordem
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
4.00
8.00
12.00
16.00
Modelos
Figura 3.12 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Rotação.
58
As tabelas 3.5 e 3.6 apresentam os valores numéricos dos parâmetros R2, Sn, p e AIC,
em que a variável p representa o número de parâmetros (por elo), de cada uma das estruturas
selecionadas, referentes aos elos translacional e rotacional, respectivamente.
Tabela 3.5 – Parâmetros dos modelos do Sistema de translação
Modelo
*01
02
03
*04
05
06
07
*08
09
10
11
12
*13
na
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
nb
1
0
1
1
2
1
1
2
0
1
2
3
3
d
1
2
2
1
1
2
3
1
4
2
3
2
1
R2
0.9999096
0.9998690
0,9999294
0,9999371
0.9999539
0.9999583
0.9999604
0.9999713
0.9999463
0.9999658
0.9999772
0.9999834
0.9999844
Sn
0,09058
0,13120
0,07037
0,06304
0,04598
0,04157
0,03925
0,02862
0,05327
0,03398
0,02249
0,01636
0,01542
AIC
-4827,586
-4626,379
-4963,986
-5025,037
-5196,173
-5252,108
-5283,952
-5455,321
-5118,456
-5360,092
-5585,021
-5757,667
-5790,445
𝒏𝒑
6
4
8
8
10
10
10
12
8
12
14
16
16
*Modelos selecionados
Tabela 3.6 – Parâmetros dos modelos do Sistema de rotação
Modelo
*01
02
03
04
*05
*06
07
08
09
10
*11
12
13
na
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
nb
1
0
0
2
1
1
1
2
0
1
1
2
3
d
1
2
3
1
1
1
3
2
4
1
4
3
2
*Modelos selecionados
R2
0.9999096
0.9998690
0.9999071
0,9995727
0.9999294
0.9999617
0.9999604
0.9999712
0.9999463
0.9999683
0.9999691
0.9999772
0.9999834
Sn
0,10668
0,14818
0,10779
0,05661
0,07394
0,05120
0,05185
0,03706
0,06810
0,03966
0,03966
0,02912
0,02063
AIC
-4737,083
-4558,720
-4731,308
-5080,660
-4883,536
-5136,536
-5129,515
-5311,816
-4982,205
-5274,194
-5286,065
-5441,624
-5628,890
𝒏𝒑
6
4
6
10
8
10
10
12
8
12
12
14
16
59
Analisando as tabelas 3.5 e 3.6, observa-se que com o aumento do número de
parâmetros do modelo a soma do erro quadrático e o AIC diminuíram como era de se esperar.
Se considerado o elo de translação e fazendo uma análise comparativa entre as duas situações
extremas, estrutura de modelo 01 (modelo de 1a ordem com 6 parâmetros) com a estrutura de
número 13 (modelo de 4a ordem com 16 parâmetros), por exemplo, a redução de Sn foi de
82,98% enquanto que para o AIC foi de 16,63%. Observa-se também que o mesmo ocorre
com o elo de rotação, sendo a redução de 80,66% para Sn e de 15,84% para o AIC. Isso é
explicado pelo aumento do número de parâmetros, ou seja, aumentando-se o número de
parâmetros do modelo, aumenta a capacidade do modelo de se ajustar aos dados e
conseqüentemente, ele passa a descrever a dinâmica do sistema de forma mais exata.
Além das reduções acima citadas, verifica-se também que todos os modelos
apresentaram um coeficiente de correlação múltipla que se situa entre 0,9 e 1, o que credencia
quaisquer das configurações acima como aptas para serem utilizadas na representação do
sistema com fins específicos de projeto de sistemas de controle conforme previsto na literatura
(COELHO e COELHO, 2004). Ainda com relação ao R2, vê-se claramente que o aumento do
número de parâmetros da estrutura de modelo não surtiu um aumento considerável no seu
valor final, o que permite concluir que provavelmente nestes casos estudados, talvez não seja
necessário se utilizar modelos com um número elevado de parâmetros e portanto mais
complexos para a representação dos elos. Observa-se que modelos mais simples
provavelmente serão satisfatórios aos objetivos que se destinam.
No sentido de localizar modelos com estruturas mais simples dentre os apresentados
nas figuras 3.11 e 3.12, foi calculada a menor diferença do AIC (menor taxa de variação) entre
modelos e selecionados os mais simples, ou seja: para o elo de translação foram escolhidos os
modelos 01, 04, 08 e 13, enquanto que para o elo de rotação, selecionou-se os modelos 01, 05,
06 e 11. As figuras 3.13 e 3.14 representam o AIC para os modelos escolhidos.
60
Modelos Selecionados
Primeira ordem
Segunda ordem
Terceira ordem
16 parâmetros
Critério de Informação de Akaike (AIC)
1.00
12 parâmetros 14 parâmetros
Quarta ordem
8 parâmetros 10 parâmetros
6 parâmetros
8 parâmetros
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Modelos
Figura 3.13 – Modelos selecionados - Elo de Translação.
Modelos Selecionados
Primeira ordem
Segunda ordem
Terceira ordem
Quarta ordem
10 parâmetros
1.00
12 parâmetros
8 parâmetros
Critério de Informação de Akaike (AIC)
6 parâmetros
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Modelos
Figura 3.14 – Modelos selecionados - Elo de Rotação.
61
Observando as figuras 3.13 e 3.14, pode ser visto que a menor taxa de variação entre
os valores do AIC se dá entre os modelos de 1a e 2a ordens, seguido da taxa entre os modelos
de 3a e 4a ordens, para os elos de translação e rotação respectivamente. As tabelas 3.7 e 3.8
mostram os valores numéricos do AIC e das taxas de variações, bem como, de R2 e Sn,
referentes aos mesmos elos, obtidos através dos oito modelos selecionados.
Tabela 3.7 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Translação
Modelo/
Ordem
a
0.9999096
0,9999371
0.9999713
0.9999844
01 / 1
a
04 / 2
08 / 3
a
13 / 4
a
R2
Sn
0,09058
0,06304
0,02862
0,01542
AIC
-4827,586
-5025,037
-5455,321
-5790,445
Incremento da ordem
para
Taxa de variação
do AIC
1
a
2a
197,451
2
a
a
430,000
3
a
4
a
335,124
-
-
de
-
3
Tabela 3.8 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Rotação
Modelo/
Ordem
R2
Sn
AIC
01 / 1a
0.9999096
0.9999294
0.9999617
0.9999691
0,10668
0,07394
0,05120
0,03966
-4737,083
-4883,536
-5136,536
-5286,065
a
05 / 2
06 / 3
a
11 / 4
a
Incremento da ordem
de
para
Taxa de variação
do AIC
1a
2a
146,453
2
a
a
253,000
3
a
4
a
149,529
-
-
-
3
Através das tabelas 3.7 e 3.8, verifica-se para ambos os elos que seus modelos ideais
encontram-se na fronteira entre os modelos sub e sobre-parametrizados. Considerando o
princípio da parcimônia, os modelos de 1a ordem (modelos 01) constituem-se as estruturas
mais simples, seguido dos modelos de 2a ordem (modelos 04 e 05). Por outro lado, conforme
pode ser observado nas tabelas 3.7 e 3.8, os valores de R2 referentes aos modelos de 2a ordem
para ambos os elos são superiores aos apresentados pelos modelos de 1a ordem denotando com
isso, que provavelmente o modelo de 2a ordem se ajusta melhor aos dados experimentais de
entrada/saída do sistema, possibilitando assim, uma descrição mais exata da dinâmica do
mesmo, o que é confirmado ao comparar-se os valores de Sn e AIC, referentes aos modelos de
1a e 2a ordens de cada elo que compõem o sistema. Comparando-se os valores da soma do erro
62
quadrático (Sn) referentes a estes modelos, vê-se que os valores apresentados por este
parâmetro são menores, para os modelos de 2a ordem. Considerando-se os valores do AIC,
pode ser observado que o modelo de 2a ordem é o modelo que permite obter-se o maior
mínimo para ambos os elos.
Observa-se também através das tabelas 3.7 e 3.8 que os coeficientes de correlação
múltipla R2 referentes aos modelos de 3a e 4a ordens (modelos 08, 13, 06 e 11), possuem
praticamente a mesma ordem de grandeza que os valores de R2 referentes aos modelos de 2a
ordem (modelos 04 e 05), para ambos os elos estudados. Em média, as diferenças entre os
valores de R2 são 4,1x10-5 e 3,6x10-5 para os elos de translação e rotação, respectivamente.
Este resultado indica que ao fazer-se uso de estruturas mais simples (estrutura de 2a ordem),
para representação do sistema estudado, obtém-se qualitativamente um ajuste da curva de
saída do modelo aos dados reais de entrada/saídas colhidos do sistema, tão bom o quanto se
teria ao empregar-se modelos mais complexos como os de 3a e 4a ordens.
Pelos resultados obtidos e considerando as observações expostas anteriormente, serão
escolhidos os modelos de 2a ordem (modelos 04 e 05, definidos por na=2, nb=1 e d=1), para
representar os elos de translação e rotação, respectivamente, quando do projeto de
controladores adaptativos.
Uma vez definidas as estruturas de modelos para ambos os elos que compõem o
manipulador robótico em estudo, a equação a diferenças (3.1) que descreve a dinâmica do
sistema assume a forma da equação (3.4):
𝑦1 𝑘
𝑦2 𝑘
=−
𝑢 𝑘−1
× 1
𝑢2 𝑘 − 1
𝑎111
𝑎121
𝑎211
𝑎221
+
𝑦1 𝑘 − 1
𝑦2 𝑘 − 1
𝑏112
𝑏122
𝑏212
𝑏222
−
𝑢1 𝑘 − 2
𝑢2 𝑘 − 2
𝑎112
𝑎122
𝑎212
𝑎222
+
𝑒1 𝑘
𝑒2 𝑘
𝑦1 𝑘 − 2
𝑦2 𝑘 − 2
+
𝑏111
𝑏121
𝑏211
𝑏221
×
(3.4)
Para reduzir a quantidade de índices e sub-índices e facilitar a escrita, a equação (3.4)
será reescrita e assumirá a forma da equação (3.5).
63
𝑦1 𝑘
𝑦2 𝑘
+
𝑏1
𝑏5
𝑎1
=− 𝑎
5
𝑎2 𝑦1 𝑘 − 1
𝑎6 𝑦2 𝑘 − 1
𝑏2 𝑢1 𝑘 − 1
𝑏6 𝑢2 𝑘 − 1
+
𝑏3
𝑏7
𝑎3
− 𝑎
7
𝑎4 𝑦1 𝑘 − 2
𝑎8 𝑦2 𝑘 − 2
𝑏4 𝑢1 𝑘 − 2
𝑏8 𝑢2 𝑘 − 2
+
+
𝑒1 𝑘
𝑒2 𝑘
(3.5)
onde:
𝑎2 , 𝑎4 , 𝑎5 e 𝑎7 : parâmetros que contemplam o acoplamento entre os elos de
translação e rotação;
Em termos dos vetores de entrada, saída, parâmetros e de perturbações, a equação
(3.5) pode ser escrita na forma da equação (3.6)
𝑦1 𝑘
𝑦2 𝑘
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
= 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 2 3 4
5 6 7 8 𝑏5 𝑏6 𝑏7 𝑏8
−𝑦1 𝑘 − 1
−𝑦2 𝑘 − 1
−𝑦1 𝑘 − 2
𝑒 𝑘
−𝑦2 𝑘 − 2
+ 1
𝑒2 𝑘
𝑢1 𝑘 − 1
𝑢2 𝑘 − 1
𝑢1 𝑘 − 2
𝑢2 𝑘 − 2
(3.6)
onde:
𝑌𝑀 = 𝑦1 𝑘
𝑦2 𝑘
𝑈𝑀 = 𝑢1 𝑘
𝑢2 𝑘
𝐸𝑀 = 𝑒1 𝑘
𝑒2 𝑘
𝑇
;
𝑇
𝑇
;
;
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
Θ= 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 2 3 4 ;
5 6 7 8 𝑏5 𝑏6 𝑏7 𝑏8
ψm k = -y1 k-1 -y2 k-1 -y1 k-2 -y2 k-2 u1 k-1 u2 k-1
u1 k-2 u2 k-2
A equação (3.6) representa o modelo múltivariável auto-regressivo com entradas
externas, definido para o manipulador em estudo. Os parâmetros 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 serão estimados em
tempo real por meio do estimador MQR, conforme apresentado na seção seguinte que trata da
estimação paramétrica dos modelos definidos pelas equações a diferenças (3.6).
T
64
3.3.4 Identificação em Tempo Real do Manipulador (Resultados Preliminares)
O processo de identificação em tempo real do manipulador em estudo se deu através
do programa computacional IdentMANIPMQR que foi executado considerando os parâmetros
definidos anteriormente nas seções 3.3.1 à 3.3.3 como: o tempo de amostragem de 5 ms, os
parâmetros de inicialização 𝜃(0) = 0 e P(0) = 106I (I-matriz identidade com dimensões 8x8), o
fator de esquecimento, λ = 0,90. Para excitação dos elos do manipulador foram utilizados os
sinais de excitação já definidas e apresentadas na seção 3.3.1 (tabela 3.1). As figuras 3.15 e
3.16 mostram estes sinais, de amplitudes médias de 5,6 e 7,2 volts os quais foram aplicados
aos elos de translação e rotação, respectivamente, com o fim específico de avaliar a eficácia da
estrutura de modelo definida para representar esse sistema. Também, adicionou-se às
excitações,
Pode-se observar também nas Fig. (4.15) e (4.16), a presença de um sinal PRBS
adicionado aos sinais das excitações utilizadas em cada elo do manipulador, cuja amplitude
corresponde a 0,5% das amplitudes médias empregadas (5,6 e 7,2 volts). De acordo com a
literatura, o percentual da amplitude do PRBS deve ser de até 10% do valor da amplitude do
sinal utilizado na excitação do sistema a ser identificado, porém, ao se utilizar no sistema em
estudo um percentual superior a 0,5% das amplitudes referentes às excitações aplicadas a cada
elo, foram observadas fortes vibrações na válvula eletropneumática proporcional destinada ao
acionamento do elo de translação, e por isso, prefixou-se para ambos os elos, o percentual de
0,5% para a amplitude do PRBS.
65
5.63
Tensão de excitação (volts)
5.62
5.61
5.6
5.59
5.58
5.57
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
2
2.5
3
Figura 3.15 – Sinal de excitação aplicado ao elo de translação.
7.25
7.24
Tensão de excitação (volts)
7.23
7.22
7.21
7.2
7.19
7.18
7.17
7.16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo (s)
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.16 – Sinal de excitação aplicado ao elo de rotação.
As figuras 3.17 à 3.20, mostram a evolução dos parâmetros 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 estimados em
tempo real através do programa IdentMANIPMQR, referentes aos elos do manipulador.
Evolução dos parâmetros
66
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
Evolução dos parâmetros
a2
a1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
2
3
a4
a3
1
-2
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
-1
0
1
Tempo (s)
Tempo (s)
Figura 3.17 – Parâmetros ai estimados - Elo de translação.
Evolução dos parâmetros
b1
b2
1
0.4
0.5
0.2
0
0
-0.5
-0.2
-1
0
1
2
3
-0.4
0
1
Evolução dos parâmetros
b3
2
3
2
3
b4
0.5
0.4
0.2
0
0
-0.2
-0.5
0
1
2
Tempo (s)
3
-0.4
0
1
Tempo (s)
Figura 3.18 – Parâmetros bj estimados - Elo de translação.
67
Evolução dos parâmetros
a5
a6
3
1
2
0
1
-1
0
-2
-1
0
1
2
3
-3
0
1
Evolução dos parâmetros
a7
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
0
1
3
2
3
a8
1
-1
2
2
3
-1
0
1
Tempo (s)
Tempo (s)
Figura 3.19 – Parâmetros ai estimados - Elo de rotação
Evolução dos parâmetros
b5
b6
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
-0.5
-1
-0.2
0
1
2
3
-0.4
0
1
Evolução dos parâmetros
b7
0.5
0
0
0
1
2
Tempo (s)
3
2
3
b8
0.5
-0.5
2
3
-0.5
0
1
Tempo (s)
Figura 3.20 – Parâmetros bj estimados - Elo de rotação.
O modelo matemático do sistema em termos de equações a diferenças é representado
pelas equações (3.7) e (3.8). Através destas equações, as posições assumidas em cada instante
68
de tempo k pelos elos de translação e de rotação, são determinadas, usando-se os parâmetros ai
e bj identificados.
Nestas equações, observa-se que as posições dos elos em um dado instante de tempo
k, são calculadas a partir: dos valores destas posições e das excitações aplicadas aos elos em
malha aberta, em instantes passados e, dos valores dos parâmetros ai e bj estimados em tempo
real para cada um dos elos e a cada instante de tempo k. No caso dos erros e1(k) e e2(k), se os
parâmetros estimados em cada instante de tempo são iguais ou próximos aos valores dos
parâmetros verdadeiros do sistema, como se espera que sejam, estes erros são muito pequenos
ou nulos e assim os resíduos também o são.
𝑦1 𝑘 = −𝑎1 𝑦1 𝑘 − 1 − 𝑎2 𝑦2 𝑘 − 1 − 𝑎3 𝑦1 𝑘 − 2 − 𝑎4 𝑦2 𝑘 − 2 +
+𝑏1 𝑢1 𝑘 − 1 + 𝑏2 𝑢2 𝑘 − 1 + 𝑏3 𝑢1 𝑘 − 2 + 𝑏4 𝑢2 𝑘 − 2 + 𝑒1 𝑘
(3.7)
𝑦2 𝑘 = −𝑎5 𝑘 − 1 − 𝑎6 𝑦2 𝑘 − 1 − 𝑎7 𝑦1 𝑘 − 2 − 𝑎8 𝑦2 𝑘 − 2 +
+𝑏5 𝑢1 𝑘 − 1 + 𝑏6 𝑢2 𝑘 − 1 + 𝑏7 𝑢1 𝑘 − 2 + 𝑏8 𝑢2 𝑘 − 2 + 𝑒2 𝑘
(3.8)
Nas figuras 3.2 à 3.24 são apresentadas para cada elo do manipulador, as curvas das
respostas experimentais e estimadas, além dos erros de estimativas ocorridos durante o
processo estimativo, oriundas do processo de identificação, utilizando-se o programa
IdentMANIPMQR.
69
160
140
Deslocamento (mm)
120
100
80
60
40
20
Resposta experimental(y1)
Resposta estimada(y1est)
0
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
2
2.5
3
Figura 3.21 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de translação
8
6
Erro de estimativa (mm)
4
2
0
-2
-4
-6
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
2
2.5
3
Figura 3.22 – Erro de estimativa referente ao elo de translação
70
120
Deslocamento (graus)
100
80
60
40
20
Resposta experimental(y2)
Resposta estimada(y2est)
0
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
2
2.5
3
Figura 3.23 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de rotação
10
5
Erro de estimativa (graus)
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
2
2.5
3
Figura 3.24 – Erro de estimativa referente ao elo de rotação
71
3.3.5 Validação dos Modelos Estimados para os Elos de Translação e Rotação do
Manipulador
Para avaliar e possivelmente aceitar ou rejeitar os modelos escolhidos, foram
aplicados os critérios de validação os quais foram apresentados e discutidos na seção A.4.4.7
do apêndice A.
Analisando as figuras. 3.21 à 3.24 pode-se visualizar que o desempenho dos modelos
é satisfatório, pois produzem respostas estimadas que praticamente sobrepõem-se às saídas
medidas do sistema, o que é confirmado através das curvas de erros de estimativas e pelos
coeficientes de correlação múltipla calculados para cada um dos ajustes por meio da equação
(A.69) do apêndice A. Dessa forma, para o modelo referente ao elo de translação obteve-se
2
2
𝑅𝑀1
= 0,9999369, enquanto que para o elo de rotação, foi obtido 𝑅𝑀2
= 0,9993960.
Considerando que um dado modelo deve descrever as principais características
dinâmicas do sistema que se deseja modelar e sendo assim, produzir um erro de estimativas
com características de um ruído branco, a função de autocorrelação deste erro deve se
comportar de modo similar à função de autocorrelação teórica de um ruído branco. Sob este
aspecto, na avaliação dos resultados a serem apresentados subseqüentemente serão
considerados os critérios de validação estatística, já apresentados no apêndice A, seção A.4.4 7
(equação (A.67)).
As figuras 3.22 e 3.24 indicam que para ambos os elos os erros de previsão são sinais
aleatórios e que oscilam em torno da média nula durante todo o tempo da identificação, o que
é comprovado pelos valores das médias e variâncias destes sinais calculados e apresentados na
tabela 3.9. Dessa forma, satisfazem a condição de que se trata de resíduos com características
de ruído branco e, portanto, não havendo mais no conjunto de dados informações que possam
ser utilizadas para descrição da dinâmica do sistema.
Tabela 3.9 – Médias e variâncias referentes aos erros de estimativa
Elos do Manipulador
Elo de translação
Elo de rotação
Média
(x10-17)
-0,9601929
1.6903395
Variância
1,0
1,0
72
As figuras 3.25 e 3.26 mostram as funções de autocorrelação dos erros de estimativas
𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 , referentes aos elos de translação e rotação, respectivamente. Já as figuras 3.27 e
3.28 representam as funções de correlação cruzada entre os sinais de entrada e saída para cada
modelo distintamente, considerando-se nestes casos um intervalo de confiança de 95%.
1
0.8
Autocorrelação r(e1,e1)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.25 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação
1
0.8
Autocorrelação r(e2,e2)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.26 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação
73
0.05
0.04
Correlação cruzada r(u1,y1)
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.27 – Correlação cruzada entre a excitação u1(k) e a saída y1(k) - Elo de translação
0.05
0.04
Correlação cruzada r(u2,y2)
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.28 – Correlação cruzada entre a excitação u2(k) e a saída y2(k) - Elo de rotação
74
Analisando as figuras 3.25 e 3.26, verifica-se que estas funções (em seus valores
normalizados), se assemelham com a função impulso. Para o atraso de tempo  igual à zero
(equação (A.67), apêndice A), a função é unitária e fora deste, a função se caracteriza como
um sinal aleatório e atinge valores próximos de zero. Verifica-se também que para alguns
valores de atraso de tempo , estas funções assumem magnitudes que estão fora do intervalo
de confiança o que significa dizer que houve momentaneamente alguma dinâmica do sistema
que os modelos utilizados não conseguiram representar, a partir do conjunto de dados
utilizados. Fato este que ainda não permite concluir que o modelo escolhido já tenha que ser
substituído por um modelo alternativo. BLONDEL et al., citados por LARA (2005), ressalta
que um modelo para controle não necessariamente deve ser uma descrição precisa do sistema
verdadeiro, para se obter um alto desempenho no controlador, mas sim, que ele descreva com
grande precisão as características dinâmicas essenciais para o projeto do controlador. Um
modelo será considerado “bom” neste sentido, se: o controlador derivado do modelo estabiliza
a planta e além disso, a planta apresente um desempenho dinâmico que satisfaça aos critérios
estabelecidos na fase de projeto deste controlador.
É muito comum no conjunto de dados a existência de alguma correlação que não
possa ser descrita pelo modelo que está sendo utilizado e a exemplo disso pode-se citar
algumas não-linearidades presentes no sistema. O fato de “apenas” a função de autocorrelação
estar significativamente fora do intervalo de confiança não quer dizer que o problema tenha
sido uma especificação errônea da estrutura de modelo. Um modelo deve explicar tudo aquilo
que for explicável nos dados e se isso ocorre, o erro de previsão conterá apenas aquilo que não
é explicável e conseqüentemente será um sinal aleatório branco. Logo, se ao testar o sinal de
erro de previsão for verificado que se trata de uma variável aleatória branca (ruído branco) e
ainda, y(k) e u(k) são estatisticamente independentes deste sinal de erro, significa dizer que
não há mais informações úteis no resíduo, ou melhor, o modelo explicou tudo o que era
possível explicar. Mas isso não quer dizer que a predição para vários passos à frente
empregando-se este modelo seja boa, mas que a predição de um passo à frente será boa
(AGUIRRE, 2000; COELHO e COELHO, 2004). Sendo assim, posteriormente será
apresentada uma planilha com os valores das médias e variâncias das funções de
autocorrelação e correlação cruzada mostradas nesta seção, para que se possa avaliar o quão
75
brancos são estes sinais e conseqüentemente concluir se estas funções estão atingindo os seus
valores esperados.
As figuras 3.27 e 3.28 indicam que os modelos utilizados provavelmente explicam de
forma satisfatória tudo o que é possível explicar no conjunto de dados utilizados. Observandose estas figuras, vê-se que as funções de correlações cruzadas entre a entrada e saída de cada
modelo têm características de sinais aleatórios e encontra-se dentro do intervalo de confiança
estabelecido. Este fato corrobora tudo o que foi afirmado anteriormente quando da análise das
figuras 3.25 e 3.26. As figuras 3.29 e 3.30, mostram as funções de correlações cruzadas entre
os erros de estimativas 𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 e as excitações 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘 para ambos os elos,
respectivamente.
0.05
0.04
Correlação cruzada r(e1,u1)
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.29 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de
translação
76
0.05
0.04
Correlação cruzada r(e2,u2)
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.05
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.30 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e2(k) e a excitação u2(k) - Elo de
rotação
Tratando-se da correlação cruzada entre os sinais de erros de previsão e os sinais de
entradas, pode ser observado por meio das figuras 3.29 e 3.30, que estas funções atingem
valores muito próximos de zero e se mantém dentro do intervalo de confiança. Com isso, pode
ser afirmado que em ambas as situações, os erros de previsão não dependem dos sinais de
entrada utilizados para obtenção dos modelos, ou seja, são descorrelacionados e dessa forma
as predições de um passo à frente destes modelos terão características semelhantes se
calculadas utilizando-se outro conjunto de dados, conforme afirmou AGUIRRE (2000).
Para verificar o quão são aleatórios e não correlacionados os sinais de entradas dos
𝑇
elos, condição esta, necessária para evitar um posto deficiente para matriz 𝜓𝑚
𝜓𝑚 , ou seja, o
mau condicionamento numérico desta matriz, foram calculadas as funções de autocorrelação
para as entradas dos dois elos. As figuras 3.31 e 3.32 mostram estas funções e pode ser
verificado que se trata de sinais aleatórios, descorrelacionados e apresentam características de
uma função impulso unitário. Esta condição está normalmente associada com o termo
suficientemente excitado. Além de calcular as funções de autocorrelação dos sinais de
excitação 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘 para avaliar a condição de suficiência da excitação ou quão ativo é o
sinal de excitação para provocar mudanças tais que garantam que as dinâmicas dos elos sejam
77
𝑇
determinadas, foram calculados o determinante da matriz 𝜓𝑚
𝜓𝑚 e o seu posto ao final do
processo estimativo, sendo encontrados os valores de 1,412691x102 e 8,0, respectivamente, o
que satisfaz as condições de persistência das excitações.
1.2
1
Autocorrelação r(u1,u1)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.31 – Autocorrelação da excitação u1(k) - Elo de translação
1.2
1
Autocorrelação r(u2,u2)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.32 – Autocorrelação da excitação u2(k) - Elo de rotação
78
Além dos resultados apresentados acima, foi investigado também a existência de
correlação entre os erros de estimativas 𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 , bem como, entre os sinais de excitação.
AGUIRRE (2000), afirma que quando se trata de sistemas MIMO é fundamental que os erros
de estimativas referentes a cada equação do modelo, sejam aleatórios e os sinais usados para
excitar o sistema não estejam correlacionados. Se há correlação entre os sinais de excitação, o
algoritmo de identificação não “saberá” atribuir a que excitação, um determinado efeito foi
observado numa determinada saída.
A figura 3.33 evidencia que apesar de haver correlação entre as grandezas 𝑒1 𝑘 e
𝑒2 𝑘
em alguns atrasos de tempo, de um modo geral, esta função apresenta-se com
características de um sinal aleatório. Já com relação à figura 3.34, pode ser observado que pela
característica do sinal de correlação cruzada, pode-se afirmar que as excitações 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘
são de fato descorrelacionadas.
0.5
Correlação cruzada r(e1,e2)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.33 – Correlação cruzada entre os erros de estimativas e1(k) e e2(k) - Elos de
translação e rotação
79
0.7
0.6
Correlação cruzada r(u1,u2)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
50
100
150
atrasos
200
250
300
Figura 3.34 – Correlação cruzada entre as excitações u1(k) e u2(k) - Elos de translação e
rotação
Objetivando investigar o quão brancos são os sinais das funções de auto-correlação e
correlação cruzada apresentados nas figuras 3.25 à 3.34, a tabela 3.10 foi elaborada. Conforme
pode ser visto, pelos valores das médias e variâncias apresentados nesta tabela, todos os sinais
considerados apresentam suas características muito próximas às características de um ruído
branco aleatório.
Tabela 3.10 – Médias e variância das funções de autocorrelação e correlação cruzada
Funções
∅𝒆𝟏𝒆𝟏
∅𝒆𝟐𝒆𝟐
∅𝒖𝟏𝒚𝟏
∅𝒖𝟐𝒚𝟐
∅𝒆𝟏𝒖𝟏
∅𝒆𝟐𝒖𝟐
∅𝒖𝟏𝒖𝟏
∅𝒖𝟐𝒖𝟐
∅𝒆𝟏𝒆𝟐
∅𝒖𝟏𝒖𝟐
Médias
(x10-17)
1,042087
0,400802
3,847704
-1,442800
-0,561123
-1,082167
1.022046
3,236480
1,763531
5,861737
Variâncias
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
80
3.4 CONCLUSÕES
Nesta seção foi apresentada a fundamentação teórica referente à identificação de
sistemas dinâmicos lineares. Foram apresentados inicialmente alguns conceitos, classificações
e definições, básicos e necessários para compreensão e aplicação prática deste tema. Os
aspectos gerais sobre o modelo ARX para sistemas MIMO e a modelagem matemática do
manipulador foram discutidos. Abordou-se também o estimador dos mínimos quadrados
recursivo MQR e seu algoritmo, bem como, discutiu-se sobre a aplicação deste estimador aos
sistemas MIMO, sobretudo, ao manipulador em estudo. A seção foi finalizada com a aplicação
da teoria apresentada à identificação paramétrica do manipulador robótico em estudo.
Na fase de modelagem matemática, as equações a diferenças que descrevem a
dinâmica do manipulador em estudo foram expressas considerando os acoplamentos existentes
e tomando-se por base a estrutura de modelo do tipo ARX, sendo escrita genericamente em
função dos parâmetros estruturais tais como: número de pólos, de zeros, atrasos de transporte.
Posteriormente as equações a diferenças foram escritas em função dos parâmetros estimados
em tempo real por meio do MQR.
No processo de identificação do sistema, antes da realização de qualquer
identificação paramétrica em tempo real, os dados de entrada e saída com o sistema operando
em malha aberta e de forma acoplada foram captados e por meio do programa computacional
SimulaMODEL, foram realizados os estudos preliminares para definição da estrutura de
modelo do manipulador. Definida a estrutura, os dados foram repassados para o programa
IdentMANIPMQR, que estimou em tempo real os parâmetros dos modelos referentes aos elos
de translação e rotação do manipulador. Vale salientar que por não se conhecer o sistema
suficientemente, se fez necessário a realização de inúmeros testes com o sistema em malha
aberta, antes de definir a estrutura do modelo de fato. Estes testes foram realizados com o
objetivo de definir as características das excitações, tempo de amostragem, amplitude do sinal
PRBS a ser adicionado às excitações, entre outros. Assim estabeleceu-se um tempo de
amostragem de 5ms, excitações do tipo degrau com amplitudes de 5,6volts x 2,8 s e 7,2volts x
2,0 s, respectivamente aos elos de translação e rotação, sendo adicionado um sinal PRBS de
81
0,5% das amplitudes definidas para as excitações e, a pressão de trabalho do elo de translação
fixada em 5x105 Pa (5 bar).
O MQR foi implementado por meio do programa IdentMANIPMQR e o processo
estimativo em tempo real dos parâmetros se deu utilizando-se como dados de inicialização, um
vetor de parâmetros nulo, matriz de covariância igual à 106I e um fator de esquecimento de
0,90, visando dar uma maior importância às últimas medidas.
Foi constatado o bom desempenho do MQR na estimação de parâmetros em tempo
real. A partir dos resultados obtidos, verifica-se através das curvas de identificação,
representadas pelas figuras 3.21 e 3.23, referentes aos elos de translação e rotação do
manipulador robótico, que os parâmetros estimados representam de forma satisfatória os
parâmetros reais dos elos, o que pode ser ratificado pelos erros de estimativa que se referem
aos dois elos apresentados nas figuras 3.22 e 3.24 e pelos critérios de validação utilizados, tais
como o de validação estatística através da análise do erro de estimativa, cujos resultados são
mostrados nas figuras 3.25 à 3.34 e na tabela 3.10, além dos coeficientes de correlação
2
2
múltipla que apresentaram valores muito próximos da unidade, 𝑅𝑀1
= 0,9999369 e 𝑅𝑀2
=
0,9993960, referentes aos elos de translação e rotação, respectivamente.
Conclusivamente, tomando-se por base os resultados obtidos no processo de
validação, pode-se afirmar que o modelo determinado a partir da equação (3.6) pode ser
utilizado em aplicações práticas tais como no projeto de controladores adaptativos.