CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete
Faculdade de Engenharia Elétrica
Física III
Prof. Aloísio Elói
Garrafa de Leyden
Potencial Elétrico e Capacitância
B ∆U = U B − U A = −q0 ∫ E id s .
•
Variação da energia potencial (U) entre dois pontos A e B:
•
U
.
Potencial elétrico em um ponto: V =
q0
•
Diferença de potencial entre dois pontos A e B:
•
O potencial elétrico em um ponto arbitrário devido às cargas-fonte é igual ao trabalho necessário para trazer uma carga de
∆V = VB − VA =
A
B ∆U
= − ∫ E id s .
A
q0
prova do infinito a esse ponto dividido pela carga na partícula de prova:
•
•
•
•
•
•
•
P VP = − ∫ E id s
∞
J
(1 volt = 1 joule/coulomb) .
C
N
V
Observação 1: 1
=1
.
C
m
Unidade SI:
1V=1
Observação 2: O elétron-volt (eV) é uma unidade de energia definida como a energia adquirida por uma partícula com carga
e acelerada por uma ddp de 1 V. (1 eV = 1,60 x 10-19 J).
Em um campo uniforme: ∆V = − Ed e ∆U = q0 ∆V = − q0 Ed , com a partícula se deslocando na direção do campo.
∆V = − E i∆ r e ∆U = q0 ∆V = −q0 E i∆ r .
q
Potencial num ponto a uma distância r de uma carga pontual q: V = ke .
r
Em um campo uniforme:
Potencial em certo ponto sob a influência de várias cargas pontuais qi:
V = ke ∑
i
•
Energia potencial de um par de cargas q1 e q2 separadas por uma distância r12:
•
Potencial e campo:
•
Se o campo tem apenas uma componente:
•
Se a distribuição de cargas tem simetria esférica:
•
Em geral, se V = V(x, y, z):
•
dV = − E id s
Ex = −
qi
.
ri
U = ke
q1q2
r12
dV
dx
Er = −
dV
dr
∂V
∂V
∂V
; Ey = −
; Ez = −
.
∂x
∂y
∂z
dq
Potencial devido a uma distribuição contínua de cargas: V = ke ∫
.
r
Ex = −
•
•
•
•
•
•
•
•
As linhas de um campo elétrico sempre apontam na direção de diminuição do potencial elétrico.
Quando uma carga positiva se desloca no sentido de E, o valor de U diminui.
Quando uma carga negativa se desloca na direção oposta a E, o valor de U diminui.
Uma superfície eqüipotencial é formada de pontos todos no mesmo potencial.
Todos os pontos na superfície de um condutor carregado e em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial.
O campo E é mais intenso nas proximidades de regiões pontiagudas de um condutor.
O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é nulo.
O campo imediatamente exterior a um condutor carregado e em equilíbrio é perpendicular à superfície e vale σ
•
Se um condutor isolado possui uma carga líquida, esta fica inteiramente sobre a sua superfície.
•
Capacitância:
•
Capacitância de uma esfera de raio R:
C=
Q
.
∆V
C = 4πε 0 R .
ε0 .
C=
ε0 A
•
Capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A (cada uma) e distância d entre elas:
•
Capacitância de um capacitor cilíndrico constituído de um condutor cilíndrico de raio a envolto por uma casca esférica de
raio (interno) b:
C=
ℓ
b
2ke ln  
a
d
.
.
•
Q2 1
1
Energia acumulada num capacitor: U =
= Q∆V = C ∆V 2 .
2C 2
2
•
Densidade de energia (energia acumulada por unidade de volume):
•
Capacitor com dielétrico: ao introduzir um material isolante entre as placas de um capacitor, sua capacitância aumenta de um
fator κ, chamado constante dielétrica desse material.
Vantagens do dielétrico: aumentar a capacitância, aumentar a voltagem máxima e poder fornecer sustentação mecânica.
•
•
u=

Q = Q = ... = Q
2
 1
Associação em série: V1 + V2 + ... = V
Associação em paralelo:
1
1
1
 +
+ ... =
Ceq
 C1 C2
U
1
= ε0E2 .
Ad 2
Q1 + Q2 + ... = Q

V1 = V2 = ... = V
C + C + ... = C
2
eq
 1
Exemplos
01) Uma bateria de 12 V é conectada entre duas placas paralelas. A distância entre
as placas é de 0,30 cm e se supõe que o campo seja uniforme. Encontre a magnitude
do campo entre as placas.
02) Um próton é liberado do repouso em um campo elétrico uniforme de magnitude
8,0 x 104 V/m dirigido ao longo do eixo x positivo. O próton realiza um
deslocamento de magnitude d = 0,50 m na direção de E. (a) Encontre a variação no
potencial elétrico entre os pontos A e B. (b) Encontre a variação na energia potencial
do sistema campo-carga para esse deslocamento.
Questão 02
Questão 01
Questão 03
03) Uma carga pontual de 2,00 µC está localizada na origem e uma segunda carga pontual
de -6,00 µC está situada no eixo y na posição (0; 3,00) m como mostra a figura (a). (a)
Encontre o potencial elétrico total devido a essas cargas no ponto P, cujas coordenadas são
(4,00; 0) m. (b) Quanto trabalho é necessário para trazer uma carga pontual de 3,00 µC do
infinito até o ponto P ? Ver figura (b).
04) Um dipolo elétrico consiste em duas cargas iguais e opostas separadas por uma distância
2a, conforme a figura. O dipolo está ao longo do eixo x e está centrado na origem. Calcule
(a) o potencial elétrico em qualquer ponto P ao longo do eixo x e (b) o campo elétrico em
pontos muito afastados do dipolo.
Questão 04
05) Encontre o potencial elétrico e o campo elétrico em um ponto P situado no eixo de um
anel uniformemente carregado de raio a e carga total Q. O plano do anel é perpendicular ao eixo x, conforme a figura.
06) Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma carga total Q, que está uniformemente distribuída pelo seu volume. (a) Encontre o
potencial elétrico em um ponto fora da esfera, ou seja, para r > R. Considere o potencial sendo zero em r = ∞ (b) Encontre o
potencial em um ponto dentro da esfera carregada, ou seja, para r < R.
Capacitor Cilíndrico
Questão 06
Questão 05
07) Um capacitor de placas paralelas tem uma área A = 2,00 x 10-4 m2 e uma separação entre as placas d = 1,00 mm. Encontre sua
capacitância. Dado ε0 = 8,85 x 10-12 C2/Nm2.
08) Encontre a capacitância
equivalente entre a e b para a
combinação de capacitores
mostrada na figura. Todas as
capacitâncias
estão
em
microfarads.
09) Dois capacitores com
capacitâncias C1 e C2 (onde
C1 > C2) estão carregados à
mesma
ddp
∆Vi.
Os
capacitores carregados são
separados da bateria e suas
placas são conectadas como
mostrado na figura (a). As
chaves S1 e S2 são, então,
fechadas como na figura (b).
(a) Encontre a ddp final ∆Vf
entre a e b após as chaves serem fechadas. (b) Encontre a
energia total armazenada nos capacitores antes e depois das
chaves serem fechadas, e a razão entre a energia final e a
energia inicial.
10) Num capacitor as placas
paralelas têm dimensões 2,0 cm
x 3,0 cm separadas por uma
folha de papel de 1,0 mm de
espessura. Dado: κ = 3,7.
(a) Descubra a capacitância
desse dispositivo. (b) Qual é a
carga máxima que pode ser
armazenada nesse capacitor?
Questão 08
Questão 09
11) Um capacitor de placas paralelas é carregado por uma bateria até uma carga Q0, como mostra a
figura (a). A bateria então é removida e uma placa de um material com uma constante dielétrica κ é
introduzida entre as placas, como na figura (b). Encontre a energia armazenada no capacitor antes e
depois de o dielétrico ser introduzido.
12) A spherical capacitor consists of a spherical conducting shell
of radius b and charge - Q concentric with a smaller conducting
sphere of radius a and charge Q. The electric field between the
spheres is directed radially outward when the inner sphere is
positively charged . (a) Find the capacitance of this device.
(b) Show that as the radius b of the outer sphere approaches
infinity, the capacitance approaches the value
C=
Questão 11
a
= 4πε 0 A .
ke
Question 12