Eletromagnetismo
Dipolos Elétricos e Polarização
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1
Dipolo Elétrico
Os materiais exibem fenômenos associados à eletricidade. Isso é surpreendente porque a matéria
constituída de átomos é neutra. Apesar de ser neutra, pode haver uma distribuição de cargas em
que as cargas positivas estejam separadas das cargas negativas. E isso provocará fenômenos elétricos.
A seguir, vamos analisar esses fenômenos e classificar os materiais em função deles.
Para compreender as propriedades elétricas dos materiais,
devemos entender um aspecto da distribuição de cargas em
átomos e moléculas. Esse aspecto, fundamental neste tema, é a
formação de aglomerados de partículas dotadas de cargas, nos
quais estas estão agrupadas de forma a simularem um arranjo
conhecido como dipolo elétrico, ou seja, esse arranjo das cargas
elétricas produz um efeito análogo ao de um dipolo elétrico. Um
dipolo elétrico nada mais é do que duas cargas de sinal oposto
separadas por uma pequena distância.
A situação mais comum, envolvendo objetos neutros, é aquela em que as cargas se distribuem
de forma tal que o centro da região onde se localizam as cargas elétricas negativas se encontra num
ponto diferente do centro das cargas positivas.
Para entender o conceito de momento de dipolo elétrico, consideremos o caso da molécula da
água. Trata-se de uma ligação covalente, na qual os elétrons dos átomos são compartilhados,
fechando a última camada do Oxigênio e do Hidrogênio. A geometria dessa molécula é a de um
Tetraedro (Figura 2). Os dois elétrons dos hidrogênios ocupam posições do espaço que são bem
representadas pela ideia de que eles ocupam dois vértices do tetraedro.
O efeito dessa distribuição de cargas é análogo a um dipolo elétrico. Uma forma de caracterizar tal
conceito é definir uma grandeza física de natureza vetorial denominada momento de dipolo. Existem
dois momentos de dipolo relevantes no eletromagnetismo: o elétrico e o magnético.
Muitas propriedades dos materiais podem ser explicadas a partir da ideia de que, em determinadas circunstâncias, um material pode ser entendido como uma distribuição de dipolos. Assim é
que podemos definir um material ferromagnético como um material em que cada um dos átomos
Figura 1: Dielétricos exibem
fenômenos elétricos.
Figura 2: A geometria da molécula da água:
elétrons e íons de Hidrogênio ocupam o vértice
de um tetraedro.
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tem um momento de dipolo magnético permanente. Nessa visão, um magneto nada mais é do que
uma coleção de dipolos magnéticos distribuídos no espaço.
exercícios resolvidos 
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Momento de dipolo
elétrico
de Átomos e Moléculas
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Conquanto a carga elétrica seja um dos conceitos mais fundamentais de toda a Física, outras duas
neste balão para fechá-lo.
grandezas físicas, embora não fundamentais (pois podem ser expressas em termos de outras grandezas), são igualmente importantes: o conceito de dipolo elétrico  e o de dipolo magnético .
Muitos problemas da eletrostática e da magnetostática envolvem a determinação dos campos
elétricos e magnéticos a partir da distribuição de cargas, densidade de correntes e da distribuição de
dipolos. Daí decorre a necessidade de entendimento desses conceitos.
Imaginemos duas cargas elétricas de mesmo módulo, mas de sinais opostos, localizadas a uma
distância d uma da outra.
Definimos o momento de dipolo elétrico como o vetor dado por:


p = qd


Figura 3: O vetor p = qd representa o “momento de dipolo elétrico” do sistema das cargas +q
e –q. O seu módulo é p = qd e se orienta da
carga negativa para a positiva.
( 1 )

onde d é o vetor cujo módulo é dado pela distância entre as duas cargas, a direção é a da reta que une
as duas cargas e o sentido é o da carga negativa para a carga positiva, conforme ilustra a Figura 3.
exercícios resolvidos 
Figura 4: Ilustração de um dipolo elétrico com
algumas linhas de força e algumas “linhas
equipotenciais” no plano do papel. O vetor que
representa o momento do dipolo elétrico é
orientado do centro das cargas negativas para
o centro das cargas positivas.
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Unidade de momento de dipolo elétrico
A unidade de momento de dipolo no SI é o Cm (Coulomb metro). Em homenagem a Peter Debye
(1884-1966), prêmio Nobel de Química em 1936, pioneiro no estudo de momentos de dipolos
de moléculas e de interações elétricas entre partículas, foi instituída outra unidade de medida de
momento de dipolo denominada “debye” (D), não pertencente ao sistema SI de Unidades.
A relação entre “C.m” e “D” é:
1 C.m = 3 × 1029 D ou,
1D=
10−29
C.m
3
( 2 )
Assim, o momento de dipolo elétrico determinado no Exercício Resolvido , em termos desta
unidade, é: p = 80 × 10−29 (3 × 1029 D) = 240 D.
Vamos agora considerar a molécula de água H2O na qual, por meio de ligações covalentes (formação
de pares de elétrons na camada de valência) dois átomos de Hidrogênio se ligam a um átomo de Oxigênio. A Figura 5 esquematiza, no plano do papel, a estrutura dessa ligação. Faremos uma apresentação
um tanto quanto simplificada, pois admitimos que os dois elétrons estejam localizados no centro do
átomo de Oxigênio. Trata-se, portanto, de uma simplificação ou de um modelo.
Por ser mais eletronegativo, o átomo Oxigênio atrai o par de elétrons para as suas proximidades,
produzindo um centro de cargas negativas (2q−), no entorno do átomo de Oxigênio, e dois centros
de cargas positivas (q+), localizados em cada átomo de Hidrogênio. Nesse modelo, esses centros de
cargas encontram-se nos vértices de um triângulo isósceles de lado d = 0,96 Å, que fazem entre si
um ângulo de 104,5°, conforme se pode observar na Figura 6. Com isso, a carga positiva (q+) forma
com o centro de cargas negativas (2q−) um dipolo elétrico.
Assim, temos na molécula de água dois dipolos elétricos com mesma intensidade p1 = q.d e p2 = q.d
cujos vetores divergem do centro de carga negativa no Oxigênio fazendo entre si um ângulo de
104,5°, conforme ilustrado na Figura 6.
E isso leva a caracterizar a molécula de H2O como uma molécula polar. O momento de dipolo da
água é, portanto, dado por.
p = 6, 2 × 10−30 C.m ou
p = 6, 2 × 10
−30
( 3 × 10 ) = 1, 86 D
+29
( 3 )
Figura 5: A água exibe o momento de
dipolo permanente.
Figura 6: O momento do dipolo P da molécula
de água resulta da soma vetorial de dois
movimentos dipolos.
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Dizemos que algo (um átomo, uma molécula, um
meio material, uma célula) está ou é polarizado quando
ele adquire ou exibe um momento de dipolo elétrico.
Momentos de dipolos de Átomos e Moléculas
Como no caso da molécula de água, em algumas moléculas as cargas positivas estão ligeiramente
deslocadas das cargas positivas, dando origem a um momento de dipolo.
Uma molécula é dita polar se ela exibe um momento de dipolo elétrico permanente.
Em geral, os átomos (bem como algumas moléculas) não exibem um momento de dipolo elétrico
permanente. No entanto, um campo elétrico aplicado provocará um ligeiro deslocamento das cargas
positivas (o núcleo) das cargas negativas. Nessas circunstâncias, dizemos que a molécula (ou o átomo)
está polarizada.
Figura 7: Configurações de moléculas polares.
exercícios resolvidos 
Polarizabilidade Elétrica
Os campos elétrico e magnético interagem com a matéria. Essa interação leva a um grande número
de fenômenos. A magnetização e a polarização de um meio são apenas dois exemplos. Como consequência, os materiais podem ser classificados de acordo com as propriedades exibidas quando da
interação com os campos eletromagnéticos e essas propriedades são, muitas vezes, de grande aplicação tecnológica. No caso da polarização de um meio, estamos falando de materiais dielétricos.
A interação com um campo elétrico leva à polarização de um meio material porque os átomos
ou moléculas adquirem, sob a ação do campo, um momento de dipolo induzido. O surgimento de
um momento de dipolo ocorre porque o núcleo do átomo, mediante a ação do campo elétrico, será
atraído num determinado sentido, enquanto os elétrons serão repelidos no sentido oposto. Haverá
assim, necessariamente, um ligeiro afastamento dos “centros de carga”. Esse distanciamento das
a
b
Figura 8: (a) Esquema de um átomo sem
presença de campo elétrico externo.
(b) Sob

aplicação do campo elétrico E o átomo se
polariza, ou seja, adquire um dipolo elétrico
induzido (não permanente).
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5
cargas leva à existência de um momento de dipolo dos constituintes da matéria, acarretando uma
polarização de todo o meio material.
A polarizabilidade é a tendência de uma distribuição de cargas num átomo (ou molécula) apresentar um momento de dipolo quando sob a ação de um campo elétrico externo. É de se esperar
que haja uma relação muito simples entre o momento de dipolo induzido e o campo elétrico externo.
Para os materiais ditos lineares, essa relação é muito simples e é da forma:


p = αE
( 4 )
onde α é uma constante característica do átomo ou da molécula conhecida como a polarizabilidade elétrica.
Prever o comportamento de átomos, moléculas e aglomerados de matéria quando sob a ação de
campos elétricos é um tema de grande relevância científica e tecnológica; em particular, a determinação
teórica (a partir de primeiros princípios) e empírica (experimental), da polarizabilidade elétrica de átomos
e moléculas. Nesse caso, o uso da mecânica quântica é essencial na descrição deles.
Assim, o deslocamento entre os centros de cargas positivas e negativas faz com que o átomo,
apesar de neutro, exiba fenômenos elétricos.
exercícios resolvidos 
Dipolo quando sob a ação de um campo
elétrico externo
Quando um dipolo fica sob a ação de um campo elétrico externo, ele adquire uma energia, experimenta uma força (quando o campo elétrico não for uniforme) e experimenta um torque. Este torque

é típico de um binário quando o campo elétrico é uniforme ( E0). (Veja Figura 9).
Quando o campo elétrico é uniforme, o sistema de forças é conhecido como binário. Assim, a
soma das forças agindo sobre o dipolo resulta ser nulo:


∑ F = qE
i
0

− qE0 = 0
( 5 )
Figura 9: Na
 presença de um campo externo
uniforme E0 as cargas do dipolo ficam sujeitas às
forças de mesma intensidade (F− = F+ = F = qE0),
porém, de sentidos opostos. Essas forças tendem
a produzir rotação no dipolo.
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Torque sobre um dipolo
Quando um objeto está sob a ação de um binário o dipolo não se desloca. Ele poderá, no entanto,
sofrer uma rotação conforme ilustrado na Figura 10. Portanto, devemos analisar o torque. O torque
sobre cada uma das partículas é dado por
 1   1 
 
1
τ1 = τ2 = d × qE0 = qd × E0 = p × E0
2
2
2
( 6 )
Portanto, a soma dos dois torques dá o torque da força elétrica sobre o sistema de duas partículas de cargas elétricas.
Donde verificamos que o torque sobre o dipolo é dado por:
  
 
τ = τ1 + τ2 = p × E0
 
( 7 )

O esquema ilustra a posição relativa dos vetores τ ; p e E e a Regra da Mão Direita.



Figura 10: O vetor torque τ = p × E0. O sentido do vetor torque pode ser determinado
usando a “regra da mão direita”.



O vetor torque ( τ ) é ortogonal ao plano definido pelos vetores p e E0. Pela regra da mão direita, o dedo



polegar indica o sentido do torque τ quando os outros dedos rebatem p contra E (Figura 10).
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Forças sobre um dipolo
Quando o campo agindo sobre um dipolo não for constante, podemos escrever a seguinte
expressão para a força sobre o dipolo:


 d 
 
 d 
∑ Fi = Fdipolo = qE  r + 2  − qE  r − 2  = 0




( 8 )
Assim, uma molécula polar sofrerá a influência de uma força sobre ela. Esse efeito pode ser
observado. De fato, como resultado do caráter polar da molécula da água podemos observar que
quando um filete de água jorra de uma certa altura, é possível deslocá-la mediante a aplicação de
um campo elétrico na região na qual o filete se desloca.
Essa força pode ser obtida a partir da energia potencial de interação entre dois dipolos, ou seja:


Fdipolo = −∇U dipolo
( 9 )
Energia do dipolo quando sob o efeito de um campo elétrico
Quando sob a ação de um campo elétrico, um dipolo adquire uma energia elétrica dada por:
 
E = − p .E
( 10 )
Para verificar isso, consideremos as duas cargas mantidas em posições, tais que a energia do
sistema pode sempre ser escrita como:
 

E = qU r1 + d − qU ( r1 )
(
)
( 11 )

onde r1 é o vetor posição da partícula de carga negativa. Para valores infinitesimais da distância
entre elas (o que é sempre verdadeiro no caso de átomos e moléculas), a expressão acima pode ser
escrita como:
E = qU r1 + d − qU ( r1 ) ≅ q ∇U id = − E i p
(
)
(
exercícios resolvidos 
)
( 12 )
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O Momento de dipolo da água e a vida
Conquanto pequeno, o fato de que a água exibe um momento de dipolo faz toda a diferença em
relação à vida. São inúmeros os exemplos.
O nosso corpo é composto essencialmente de água (cerca de 70% de água). Assim, com base na interação das moléculas como as proteínas, e até mesmo os lipídios, com a molécula da água, podemos
classificá-las em hidrofóbicas e hidrófilas. A parte hidrofóbica é neutra e destituída de momento de
dipolo elétrico. Essa parte repele a água.
Algumas delas, como os fosfolipídios, têm uma parte hidrofóbica e hidrófila. O mesmo ocorre
com todos os 20 principais aminoácidos e consequentemente com todas as proteínas.
Isso explica a formação da membrana das moléculas. As moléculas hidrofóbica e hidrófila formam
uma dupla camada lipídica composta por fosfolipídeos. A parte hidrofóbica fica nas partes internas e
externas da membrana, ao passo que a parte hidrófoba de cada uma das camadas fica no seu interior.
Num meio aquoso, as forças elétricas resultantes da interação com o dipolo da água produzem
aglomerados de moléculas hidrofóbicas conhecidos como micelas.
Figura 12: A dupla camada lipídica resulta da
interação com o momento de dipolo da água.
Figura 11: Um fosfolipídio exibe uma cabeça
hidrofila e uma calda hidrofóbica. O resultado de
um agrupamento deles é a membrana celular.
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Outra Consequência do momento de dipolo da água
A água é um solvente universal. Isso vale para as substâncias que contêm moléculas polares.
A solubilidade não funciona para moléculas apolares.
A água dissolve cristais para os quais a ligação é iônica. O caso clássico é o sal de cozinha. Esse é
um dado essencial para a vida uma vez que na presença da água é possível formar os íons, absolutamente essenciais, que regulam a vida.
Íons importantes para a vida são: Na+, Cl−, K+, Ca++ e ânions inorgânicos A−. Os dois primeiros
resultam da dissociação do sal de cozinha que ingerimos.
A água dissolve o sal, porque na presença da água a força de interação entre os íons se torna
mais fraca por um fator 80 (a constante dielétrica da água).
Quando dissolvemos o sal na água a solução se forma condutora de eletricidade. Agora os íons Na+
e Cl− são os transportados de carga elétrica. Produz-se assim uma corrente íonica. Como resultado da
dissociação de sais, os fluidos do corpo conduzem eletricidade.
Figura 13: Na presença do sal, a água conduz
corrente elétrica.
Distribuição de dipolos
Podemos classificar as moléculas em duas categorias: polares e não-polares.
Uma molécula ou átomo que não tenha um momento de dipolo pode adquiri-lo se submetermos
o material a um campo elétrico externo.
Em qualquer dos casos, podemos indagar quanto à distribuição de dipolos elétricos ou magnéticos. Para entender isso, consideremos a soma dos momentos de dipolo numa determinada região.
Consideremos a soma de n dipolos elétricos contidos numa certa região do espaço.
 n 
p = ∑ pi
( 13 )
i =1
De maneira geral, essa soma resulta ser igual a zero e isso porque a tendência dos momentos de
dipolo é a de se distribuírem aleatoriamente (veja Figura 14).
Para que haja um valor diferente de zero, existe a necessidade de esses dipolos pertencentes à
distribuição se orientarem de alguma forma. Na maioria das vezes isso requer um agente externo
(como um campo elétrico aplicado) ou que eles interajam entre si.
Figura 14: Distribuição não
homogênea de dipolos.
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10
Polarização
Dizemos que um determinado meio físico está polarizado numa região desse meio, se nela a
soma dos momentos de dipolo for diferente de zero.
As células são polarizadas. Elas têm uma polarização permanente, assim como alguns materiais
conhecidos como ferroelétricos.
Podemos, no entanto, polarizar um meio físico mediante o emprego de algum agente
externo a ele (pressão, ou aquecimento, por exemplo). No entanto, a maneira mais eficiente de polarizarmos uma substância (ou um material) é mediante a aplicação de um campo elétrico externo a ela.
Os materiais dielétricos são aqueles que respondem a um campo elétrico tornando-se totalmente
polarizado. Nota-se, assim, que esse é um tipo de resposta ao campo elétrico externo diferente da
resposta dos materiais condutores.
a
b
Figura 15: As figuras (a) e (b) ilustram uma lâmina de um material dielétrico com algumas moléculas. Na figura (a),
 o campo externo sobre lâmina
é nulo; na figura (b), o campo elétrico E é uniforme e tem o sentido de B
para A.
Figura 16: As moléculas polares (se
tiverem liberdade de rotação) têm seus
respectivos momentos de dipolo
orientados na mesma direção e sentido
do campo elétrico uniforme. Neste


caso, p = ∑ pi ≠ 0.
A Figura 15a ilustra uma distribuição de dipolos elétricos típica de um material dielétrico. Os dipolos
estão distribuídos ao acaso. A Figura 15b ilustra o que ocorre quando existe uma polarização perfeita, o que pode ser conseguido com um campo externo muito forte. A Figura 16 indica a forma
de representar essa situação.
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Polarização e a Vida
O potencial de repouso e o potencial de ação
Tendo em vista a distribuição de dipolos com a mesma orientação na membrana da célula, dizemos
que ela, em circunstâncias normais, está polarizada. O potencial de repouso, discutido no tema Cargas
elétricas em repouso: A eletrostática reflete essa situação.
Neurônios são células especializadas, capazes de se sensibilizarem mediante a alteração dessa
polarização. Com isso geram uma diferença de potencial conhecida como potencial de ação, ou
seja, elas podem ser excitadas de tal forma que abram canais especiais que, num lapso de tempo
muito curto, permitem, primeiramente, a passagem de sódio para o interior. Em seguida canais de
potássio se abrem. Isso altera a polaridade da molécula, gerando uma perturbação. Na sequência
ocorre a repolarização da molécula.
A Figura 18 ilustra uma possível alteração na distribuição de dipolos. Em princípio, partes da
membrana podem ficar despolarizadas. No caso do potencial de ação gerado num neurônio, ele se
propaga gerando um sinal elétrico que percorre um dos bilhões de circuitos que compõem todo o
nosso sistema nervoso. É assim que circulam as informações provenientes dos nossos órgãos dos
sentidos até chegarem ao nosso cérebro, onde elas são processadas.
Figura 18: Potencial de ação gerado num neurônio. Abrem-se comportas para o
movimento de íons para dentro e para fora da membrana. Geram-se assim, os
sinais que se propagam pelo sistema nervoso.
Figura 17: No meio extracelular predominam
íons de cloro e sódio, enquanto, no meio
intracelular, há maior concentração de
potássio e íons inorgânicos negativos. A célula
é polarizada. Toda célula exibe esse efeito.
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A contração dos músculos
A contração de qualquer músculo está associada ao fenômeno da despolarização e, na etapa do
relaxamento muscular, com a posterior repolarização da membrana das células musculares.
Fibra muscular é outro nome dado para as células musculares. São células especiais e igualmente excitáveis (como os neurônios). As células musculares são mais longas que as demais, daí
resultando sua incrível e útil capacidade de funcionarem como molas, isto é, essa forma facilita a
ação do músculo que, em última análise, tem a função de variar (em função de um estímulo) o seu
tamanho. Um músculo típico tem milhares de tais fibras. Ele é envolto por uma camada denominada aponeurose.
A membrana da célula muscular tem o nome de sarcorela. O processo de excitação muscular
se inicia com a chegada até essa membrana de um pulso associado a um potencial de ação que
chega ao músculo pelas fibras nervosas. A sarcorela responde a ela despolarizando-se. A diferença
básica no caso da despolarização das células dos neurônios é o fato de que agora se abrem canais
para o movimento do Ca++. Isso gera os mecanismos moleculares contráteis, culminando com os
deslizamentos relativos dos filamentos dos músculos.
O relaxamento do músculo – a etapa final do processo de excitação muscular – se encerra com
a repolarizaçao da sarcorela.
Figura 19: A contração muscular resulta do
deslocamento relativo de dois tipos de filamentos.
Esses deslocamentos se iniciam a partir da
despolarização da membrana da célula muscular.
12
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13
O coração
O coração é a estrutura central de todo o sistema cardiovascular. Ele se polariza e despolariza
a cada batida. A alteração desses estados de polarização pode ser medida por meio do uso de eletrodos colocados no corpo. Assim, a medida dessas ondas de polarização se faz mediante o uso
do eletrocardiograma. A despeito de o coração dispor de quatro câmaras (duas aurículas e duas
ventrículas), do ponto de vista elétrico tudo se passa como se ele tivesse apenas duas. Isso ocorre
porque ambas as aurículas (bem como as ventrículas) se contraem ao mesmo tempo.
O eletrocardiograma registrará primeiramente a despolarização da aurícula (associada à onda
dita P), depois a despolarização da ventrícula (mais pronunciada no ECG) e, finalmente sua repolarização (onda T ). Veja Figura 20.
Figura 20: O eletrocardiograma e sua interpretação em termos de despolarização
e repolarização do coração.
Potencial e Campo elétrico produzido por um
dipolo elétrico
Determinaremos agora o potencial elétrico de um dipolo.
Imaginamos a situação descrita pela Figura 21, na qual a carga de sinal positivo se encontra na
posição z = d (as demais coordenadas iguais a zero) e a carga negativa se encontra no eixo z e com
coordenada z = −d. Nessas circunstâncias, o potencial para um ponto arbitrário no espaço, cujas
coordenadas são (x, y, z), será dado pela expressão:
V ( x, y , z ) =

q 
4πε0 

1
(z − d )
2
+ ( y) + ( x)
2
2
−


2
2
2 
(z + d ) + ( y) + ( x) 
1
( 14 )
Figura 21: As cargas do dipolo dispostos ao
longo do eixo 0z.
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
14
Procuraremos determinar o potencial produzido pelo dipolo para distâncias muito maiores do
que a distância entre as duas cargas, isto é, estaremos admitindo que
d  x, d  y e d  z
( 15 )
Nas circunstâncias acima, pode-se mostrar que, dentro de uma boa aproximação, podemos escrever que
1
(z − d )
2
 ( y) + ( x)
2
2
1
zd 
≅ 1 ± 2 
r  2r 
( 16 )
onde r na equação (16) é a distância até a origem do ponto no qual estamos calculando o potencial
para visualizar expressões matemáticas
r = z 2clique
+ y 2 sobre
+ x2
utilizadas em outras páginas,
o respectivo número.
( 17 )
De (16) e (14) resulta que o potencial é dado pela expressão:
V ( x, y , z ) ≅
q  zd 
 
4πε0  r 3 
( 18 )
Lembrando a definição de momento de dipolo, podemos escrever, dentro de uma boa aproximação, que o potencial devido a um dipolo calculado em pontos muito distantes deste, é dado pela
expressão (19):
V ( x, y , z ) =
 
1  p⋅r 


4πε0  r 3 
( 19 )
O campo elétrico produzido por um dipolo pode ser obtido a partir da expressão acima tomando-se
o gradiente de V, isto é:
 

1   p⋅r 
E ( x, y , z ) = −
∇ 3 
4πε0  r 
O campo elétrico de um dipolo tem as linhas de força semelhantes àquelas da Figura 22.
( 20 )
Figura 22: Linhas de força do campo (no plano
do papel) de um dipolo elétrico.
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
Da expressão (20) verificamos que a energia potencial elétrica entre dois dipolos de momentos
 
p1, p2 , de acordo com as expressões (12) e (20), é dada por:
1   p2 ⋅ r  
1  p1 i p2 3 ( p2 ⋅ r ) ( p1 ⋅ r ) 
U dipolos = p1 i E ( r ) =
p1 i ∇  3   =
( 21 )
 3 −

4πε0
r5
  r   4πε0  r


onde r é o vetor posição do centro do dipolo, adotando-se a origem no dipolo 2. No entanto, pode-se
observar que a expressão (21) é igualmente válida tomando-se a origem no dipolo 1.
A expressão para a força entre eles pode ser agora obtida a partir de (9).
Forças de Van der Waals
As forças entre dipolos, quer sejam pelo mecanismo de indução (que ocorre entre moléculas
apolares), ou entre moléculas polares, ou ainda entre um dipolo induzido numa molécula apolar e
outra polar são denominadas forças de Van der Waals.
Para entender a questão dos rearranjos internos nos átomos, explicaremos a seguir o que acontece quando aproximamos dois átomos neutros ou duas moléculas neutras, porém, apolares. Com
isso explicaremos um tipo de força de Van der Waals – a força de London.
Lembramos primeiramente que os
átomos têm uma nuvem de elétrons
ao redor do núcleo. Quando os átomos
estão distantes uns dos outros essa nuvem de elétrons se comporta, para efeito dos fenômenos elétricos, como se
toda a carga elétrica estivesse concentrada no centro do átomo, que nesse Figura 23: Interação de dipolos: Uma forma de interação
caso coincide com a posição do núcleo. entre átomos neutros.
Devido a essa coincidência, o átomo se comporta rigorosamente como um objeto neutro sem
momento de dipolo, pois tudo se passa como se as cargas dos elétrons e do núcleo se anulassem.
15
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
Quando aproximamos dois átomos, a tendência é as duas nuvens de elétrons (uma de cada átomo)
se deslocarem ligeiramente como resultado da repulsão entre elas. O resultado é análogo ao de
dois conjuntos de cargas elétricas separadas, duas a duas formando dois dipolos elétricos. Assim,
o resultado da aproximação entre os átomos é induzir um dipolo elétrico no outro átomo. London
foi o primeiro a se dar conta de tal fenômeno. Dois dipolos elétricos são capazes de exercer uma
força de atração entre eles. Assim, átomos neutros podem se atrair. A força elétrica entre os dipolos
induzidos tem o nome de Força de London.
16
Figura 24: Dipolos exercem forças entre si.
Formação de Líquidos
Van der Waals foi o primeiro a explicar o processo de formação dos líquidos. Ganhou merecidamente o prêmio Nobel de Física, no ano de 1910, pela teoria da formação dos líquidos a partir da
fase gasosa.
Na Figura 25, apresentamos o comportamento típico das forças intermoleculares, ou as forças interatômicas com a distância entre elas. Ou, equivalentemente, com a distância entre os seus dipolos.
Da Figura 23, percebemos que tais forças são atrativas. Isso decorre do fato de que tipicamente,
os dipolos têm, de acordo com a Figura 23, orientações opostas.
À medida que o gás se resfria, as moléculas tendem a se agrupar, formando um estado ligado,
ao qual damos o nome de líquido.
Figura 25: Comportamento típico das forças
interatômicas e intermoleculares.
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17
Exercícios Resolvidos: Dipolo Elétrico
Exercício
A Figura 26 apresenta um dipolo elétrico com cargas Q1 = +50 nC e Q2 = –50 nC localizadas no
eixo 0y, e separadas entre si a uma distância d = 4 cm. Considere o sistema de referência cartesiano
cuja origem se situa a meia distância de cada carga; neste referencial, as coordenadas do ponto P são
x = 0; y = 8 cm; z = 16 cm.

a. Esquematizar o vetor campo elétrico resultante E num ponto P arbitrário do espaço.
b. Calcular as intensidades dos campos elétricos gerados pelas cargas Q1 e Q2 no ponto P.
c. Calcular o potencial elétrico resultante no ponto P.
Resolução
a. O campo elétrico num ponto P.


Seja E1 o campo elétrico gerado pela carga positiva Q1 no ponto P e seja E2 o campo elétrico gerado
 

pela carga negativa Q2 no mesmo ponto. E = E1 + E2 é o campo resultante no ponto P; este campo
é tangencial à linha de força do campo elétrico gerado pelo dipolo no ponto P.
Figura 27: Esquema vetorial do campo elétrico
resultante no ponto P(x, y, z).
Figura 28: O vetor campo elétrico no ponto
P é tangencial à linha de força do campo
elétrico que passa pelo ponto.
Figura 26: Duas cargas iguais em módulo,
formam um dipolo elétrico.
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18
b. Intensidades dos campos elétricos.
Para calcular a intensidade do campo elétrico resultante no ponto P é necessário que sejam conhecidas as distâncias r1 e r2 de cada carga até o ponto.
A distância entre dois pontos P1 (x1, y1, z1) e P2 (x2, y2, z2) é expressa por:
r = [(x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²]1/2
( 22 )
Aplicando nas distâncias r1 e r2, temos:
r1 =
( 8 − ( −2 ) )
r2 =
(8 − 2 )
2
2
+(16 − 0) 2 = 356 cm 2 = 18, 87 cm = 18, 87 × 10−2 m
( 23 )
+ (16 − 0 ) = 292 cm 2 = 17, 09 cm = 17, 09 × 10−2 m
2
Portanto:
 m2 
 Nm 2 
9 × 109  N. 2  × 50 × 10−9 C
450  2 
kQ1
 C 
 C  = 12, 64 × 103 N/C ; sentido: de Q para P.
E1 =
=
=
2
2
1
356 × 10−4 m 2
( r1 )
(18, 87 × 10−2 m )
 m2 
 Nm 2 
9 × 109  N. 2  × 50 × 10−9 C
450  2 
kQ2
 C 
 C  = 15, 41 × 103 N/C ; sentido: de P para Q .
E2 =
=
=
2
2
2
292 × 10−4 m 2
( r2 )
(17, 09 × 10−2 m )
c. Potencial elétrico no ponto P.
O potencial elétrico é uma grandeza escalar para a qual também se aplica o princípio da superposição. Assim, V = V1 + V2.
 m2 
9 × 109  N. 2  × ( 50 × 10−9 C )
kQ1
 C 
=
= 2, 38 kV
• V1 =
18, 87 × 10−2 m
r1
 m2 
9 × 109  N. 2  × ( 50 × 10−9 C )
kQ2
 C 
• V2 =
=
= −2, 63 kV
17, 09 × 10−2 m
r2
Portanto, VP = V1 + V2 = (2,38 kV) + (−2,63 kV) = − 0,25 kV = − 250 V.
Figura 29: O esquema quantifica as coordenadas
das posições de cada carga e do ponto P.
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Exercícios Resolvidos: Momento de dipolo elétrico
de Átomos e Moléculas
Exercício
As cargas do dipolo elétrico ilustrado na Figura têm módulos q = 16 × 10−19 C; considere a carga
negativa na origem do eixo 0z (o eixo na vertical) e a carga positiva na posição (0; 0; 5 Å) (1Å = 1 angstrom = 10−10 m). Determine o respectivo momento de dipolo elétrico.
Resolução



Adotando o versor k no eixo 0z podemos escrever que d = (50 × 10−10 m)k e o momento de dipolo
elétrico do sistema como:




p = q.d = (16 × 10−19 C ) ( 5 × 10−10 m ) k = (80 × 10−29 ) k
[C.m]
( 24 )
Ou seja, o momento de dipolo elétrico tem módulo p = 80 × 10−29 C.m e é vertical para cima (sentido
positivo do eixo 0z).
Figura 1: Ilustração de um dipolo elétrico com
algumas linhas de força e algumas “linhas
equipotenciais” no plano do papel. O vetor que
representa o momento do dipolo elétrico é
orientado do centro das cargas negativas para o
centro das cargas positivas.
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Exercícios Resolvidos: Momentos de dipolos de Átomos
e Moléculas
Exercício
Uma molécula do ácido fluorídrico (HF) é composta de dois íons: um positivo (Hidrogênio) e outro
negativo (Flúor). Sendo p = 1, 91 D o seu momento de dipolo elétrico, qual a distância entre os seus
centros de cargas positivo e negativo?
Resolução
A molécula HF é uma molécula polar. As cargas opostas são iguais, em módulo, à carga do
próton, q = + e, onde e = 1,6 × 10−19 C, a carga do próton. Portanto, para o cálculo do momento de
dipolo, a carga a ser considerada é q = |e| = 1,6 × 10−19 C.
Conhecido p = 1,91 D e a carga q = 1,6 × 10−19 C, a distância “d” entre os centro de cargas opostas pode
ser calculada por meio da expressão p = q.d, Para isso, todas as grandezas devem estar expressas em
unidades de um mesmo sistema. Como “debye” não é unidade do SI, devemos transformar p = 1,91 D
em unidades do SI. Assim, como 1D = 1/3 10−19 Cm, temos
p = 1,91 × [(1/3)10
−19
Cm] = 6,37 × 10
−30
p 6, 37 × 10−30
Cm. Portanto, d = =
≈ 4 pm (1 picômetro = 10−12 m).
q 1, 6 × 10−19
Figura 30:Esquema da molécula
do ácido fluorídico.
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Exercícios Resolvidos: Polarizabilidade Elétrica
Exercício
Considere a molécula de CO2 – dióxido de carbono representada na Figura 1. Ela é formada de um
átomo de carbono unido a dois átomos de oxigênio por meio de uma ligação covalente envolvendo
pares de elétrons.
Cada átomo de oxigênio forma 2 pares de elétrons com o átomo de carbono de modo que na
camada de valência, contando os pares, cada átomo fecha a camada, na qual cabem 8 elétrons.
Diferentemente da molécula de água, a molécula de CO2 é linear e os seus centros de cargas negativas situam-se em posições simétricas em relação ao centro de cargas positivas.
Determine o momento de dipolo elétrico do CO2.
Figura 31: Esquema da molécula de CO2.
Resolução


A formação de 2 pares de centros de cargas opostas dá origem a dois dipolos p1 e p2 cuja soma
 

determina o momento de dipolo do CO2, ou seja, p = p1 + p2.
Vamos adotar o eixo 0x passando pelos centros de cargas e o eixo 0y pelo centro de carga positivo (no átomo de carbono). Na Figura 2 estão localizados os centros de cargas com as respectivas
coordenadas.
Como a ligação dos átomos de Oxigênio e Carbono ocorre por meio de 2 pares de elétrons, os
centros de cargas têm cargas de módulo q = 2.e = 2 × 1,6 × 10−19 C. Assim, o momento dipolo dos
centros de cargas opostos são:





p1 = q.d1 = ( 2e ) ( x − x1 ) i = ( 2e ) 0 − ( −d )  i = +2ed .i





p2 = q.d 2 = ( 2e ) ( x − x2 ) i = ( 2e ) ( 0 − d ) i = −2ed .i
( 25 )
E o momento de dipolo resultante da molécula de CO2 é


  
p = p1 + p2 = ( 2ed ) i + ( −2ed ) i = 0
Assim, o dióxido de Carbono resulta ser apolar.
( 26 )


Figura 32: Vetores momentos de dipolos p1 e p2
gerados pelos 2 centros de cargas opostas.
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
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Exercício
Quando um elétron estiver deslocado 100 pm (1 pm = picômetro = 10−12 m) de um próton, o par
elétron-próton, compondo um átomo de Hidrogênio, forma um dipolo elétrico. Qual o momento
dipolar do átomo de Hidrogênio (ou momento do dipolo elétrico)?
Resolução
p = q.d = (1,6 × 10−19 C) (100 × 10−12 m) = 1,6 × 10−29 C.m
Portanto, p = 1,6 × 10−29 C.m = 4,8 D.
( 27 )
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Exercícios Resolvidos: Energia do dipolo quando sob
o efeito de um campo elétrico
Exercícios
As cargas opostas de um dipolo elétrico têm módulos q = 20 × 10−9 C e a distância entre elas é
d = 6 × 10−2 m. O dipolo é submetido a um campo elétrico constante E = 400 × 106 N/C.
a. Determinar a força elétrica sobre as cargas.
b. Que tipo de movimento a força elétrica tende a produzir no dipolo?
Resolução
a. Forças elétricas sobre as cargas do dipolo.


A interação carga – campo elétrico se manifesta por meio da força F = q. E. Como o campo elétrico é uniforme, o módulo da força elétrica F = q.E também é uniforme, mas o sentido da força
depende do sinal da carga elétrica.
O esquema da figura ilustra as forças elétricas sobre as cargas do dipolo elétrico num campo elétrico E uniforme (linhas de forças paralelas e igualmente espaçadas).
A intensidade das forças sobre cada carga é calculada por meio da relação F = q.E, conforme
ilustrado na tabela a seguir.
Sentido
F = q.E
6
q+ = q = 20 × 10 C F+ = (20 × 10 C)(400 × 10 N/C) = 8 N O mesmo do campo
q− = q = 20 × 10−9 C F−= (20 × 10−9 C)(400 × 106 N/C) = 8 N Oposto ao do campo
Carga (módulo)
−9
−9
Com o eixo 0x na direção do campo elétrico, as expressões cartesianas das forças são:


• F+ = +8.i
(N)


• F− = +8.i
(N)
Figura 33: A força sobre a carga positiva tem o
mesmo sentido do campo elétrico; na carga negativa, o sentido da força é oposto ao do campo.
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
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b. Movimento que um binário produz.




(

)
sobre o dipolo é R = F+ + F− = +8.i + −8.i = 0. De acordo com a 2ª Lei de Newton,
 A resultante

R = 0 → a = 0. Isto significa que o centro de massa do dipolo não modifica o seu estado de movimento linear. Esse sistema de 2 forças, cuja resultante é nula, modifica o estado de movimento
rotacional, ou seja, tende a fazer o dipolo elétrico girar.
Eletromagnetismo » Dipolos Elétricos e Polarização
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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