Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000
577
^
Determina
c~
ao dos Angulos
de Brewster para a
Calcita em Tr^
es Direc~
oes
(Determination of the Brewster's Angle in Three Direction for the Calcite)
Eden V. Costa
Instituto de Fsica, Universidade Federal Fluminense,
Boa Viagem, 24210-340, Niteroi, RJ, Brasil
[email protected]
Recebido em 17 de maio, 2000. Aceito em 28 de Setembro, 2000
Nos meios transparentes, homog^eneos e anisotropicos uniaxiais, a polarizac~ao por reex~ao e func~ao
do ^angulo entre o eixo optico do material e o plano de incid^encia. Neste artigo, vamos determinar
os ^angulos de polarizac~ao por reex~ao nas superfcies: paralela e perpendicular ao eixo optico da
calcita.
In uniaxial, anisotropic, homogeneous and transparent media, the polarization by reetion is function of the angle between the optic axis of the material and plane of incidence. In this paper, we
determine the polarization angles by reection at the surface: parallel and perpendicular to the
optics axis of the calcite.
I
Introdu
c~
ao
Um feixe luminoso n~ao-polarizado pode ser decomposto
em dois plano-polarizados: um perpendicular ( ) e outro paralelo ( ) ao plano de incid^encia.
Para dieletricos homog^eneos e opticamente
isotropicos, existe apenas um ^angulo de incid^encia,
^angulo de Brewster (B ), no qual, na reex~ao, a componente se anula [1]. Sob esta condic~ao, o feixe
reetido torna-se plano-polarizado (g. 1).
tgB =
n2
;
n1
(1)
onde n1 e n2 s~ao os ndices de refrac~ao do meio 1 e do
meio 2, respectivamente. A equac~ao (1) e conhecida
como Lei de Brewster. Para dieletricos homog^eneos
e opticamente anisotropicos, o ^angulo de Brewster e
func~ao da posic~ao do eixo optico do material em relac~ao
ao plano de incid^encia [2]. Os livros de fsica basica
n~ao apresentam a Lei de Brewster para meios opticamentes anisotropicos. Isto, nos motivou determinar os
^angulos de Brewster da calcita, um cristal opticamente
anisotropico uniaxial.
Figura 1. Polarizac~ao por reex~ao. Incid^encia de um feixe
n~ao polarizado segundo o a^ngulo de Brewster. O feixe reetido e plano-polarizado , sua componente e nula. Os
ndices de refrac~ao dos meios s~ao: n1 e n2 .
Vamos considerar um meio anisotropico com ndices
de refrac~ao ordinario (n2o ) e extraordinario (n2e ), tal
que, suas superfcies sejam paralelas ou perpendiculares ao eixo optico. Na superfcie paralela ao eixo optico,
tomaremos duas orientac~oes: uma, onde ele e paralelo
ao plano de incid^encia e uma outra, em que ele lhe e perpendicular. Na superfcie perpendicular ao eixo optico,
apenas a orientac~ao paralela ao plano de incid^encia e
possvel. Sendo assim, estamos estabelecendo para o
578
Eden V. Costa
eixo optico, tr^es direc~oes perpendiculares entre si. Sob
esta condic~ao, os a^ngulos de Brewster s~ao dados por [2]:
1) Para a superfcie paralela ao eixo optico, com ele
paralelo ao plano de incid^encia,
tgB =
n2o
n1
(2)
semelhante ao que ocorre no meio isotropico (eq. 1).
2) Para a superfcie paralela ao eixo optico, com ele
perpendicular ao plano de incid^encia,
sen2 B =
n21 n22o n22o n22e
n41 n22o n22e
(3)
Figura 2. Intensidade relativa da componente do feixe
reetido versus a^ngulo de incid^encia. O eixo optico e paralelo a superfcie de reex~ao e perpendicular ao plano de
incid^encia. B = 59Æ 0; 3Æ :
3) Para a superfcie perpendicular ao eixo optico,
sen2 B =
II
n21 n22e n22o n22e
n41 n22o n22e
(4)
^
Determina
c~
ao dos Angulos
de Brewster
Os ndices de refrac~ao ordinario e extraordinario da
calcita, para o comprimento de onda 6.328A, do laser de HeNe s~ao: n2o =1,6557 e n2e =1,4852 [3]. Com
esses valores e as equac~oes, (2), (3) e (4), temos:
B =58,868, B =54,027 e B =60,738, respectivamente.
Na determinac~ao experimental, utilizamos um cubo de
calcita, com o eixo optico paralelo e perpendicular as
superfcies. O arranjo experimental utilizado e semelhante ao representado na Fig. 1. Medimos a intensidade da componente do feixe reetido em func~ao do
^angulo de incid^encia (Figs. 2, 3 e 4). O mnimo da
curva, ocorre quando o ^angulo de incid^encia e igual ao
^angulo de Brewster, condic~ao que torna o feixe reetido
linearmente polarizado . Quando o feixe incide sobre
a superfcie paralela ao eixo optico: (1) B = 59Æ 0; 3Æ,
se o eixo optico for perpendicular ao plano de incid^encia
(Fig.2). (2) B = 54Æ 0; 3Æ , se o eixo optico for paralelo ao plano de incid^encia (Fig.3). Quando o feixe
incide sobre a superfcie perpendicular ao eixo optico,
B = 61Æ 0; 3Æ (Fig.4). O erro percentual,
erro(%) =
B (E ) B (T )
B (T )
100%;
(5)
onde, B (E ) e B (T ) s~ao os resultados, experimental e
teorico, e menor do que 1% em todas congurac~oes.
Figura 3. Intensidade relativa da componente do feixe
reetido versus a^ngulo de incid^encia. O eixo optico e paralelo a superfcie de reex~ao e ao plano de incid^encia.
B = 54Æ 0; 3Æ .
Figura 4. Intensidade relativa da componente do feixe
reetido versus a^ngulo de incid^encia. O eixo optico e perpendicular a superfcie de reex~ao. B = 61Æ 0; 3Æ .
III
Conclus~
oes
Este experimento possibilita o estudante realizar medidas de intensidade luminosa e utilizar conceitos de polarizac~ao e propagac~ao de ondas eletromagneticas em
Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 4, Dezembro, 2000
meios anisotropicos. A determinac~ao dos ^angulos de
Brewster, para a calcita em tr^es direc~oes perpendiculares, e um experimento facil de ser realizado em um laboratorio de ensino. Os tr^es diferentes valores medidos
para B ; prova, experimentalmente, a anisotropia. O
resultado e excelente. O erro percentual e menor do que
1%. Este experimento preenche uma lacuna existente
nos livros texto de fsica basica, pois, eles n~ao apresentam polarizac~ao por reex~ao em meios anisotropicos.
579
References
[1] D. Halliday, R. Resnick, K. S. Krane, Fsica 4, 4a
Edic~ao, Livros Tecnicos e Cientcos Editora S. A. Rio
de Janeiro, R. J. 1996.
[2] R. M. Azzam e N.M. Bashara, Ellipsometry and Polarized Light, North-Holland, Amsterdam, 1987.
[3] E. D. Palik, Handbook of Optical Constants of Solids,
Academic Press, Vol. 1, 1985.