UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU
PÓS-GRAD EM ELETRÔNICA INDUSTRIAL
ELETROMAGNETISMO AVANÇADO
1) OBJETIVOS DO CURSO
O curso EA tem um conteúdo programático de 32 horas-aula e visa à obtenção
de algumas relações conhecidas como equações de Maxwell, que consistem de quatro
expressões: uma obtida pela Lei de Ampère, uma pela Lei de Faraday e duas pela Lei de
Gauss. Estas equações são de profunda importância e juntamente com as relações de
fronteira, de continuidade e outras relações auxiliares, constituem as ferramentas básicas
para a análise da maioria dos problemas eletromagnéticos. Destaque é dado à equação
de onda e à transmissão de energia num guia de onda retangular oco.
2) PRÉ-REQUISITOS
Para o acompanhamento adequado do curso, o aluno deve ter o suficiente
conhecimento de física e matemática (principalmente do cálculo diferencial e integral).
É essencial também um curso anterior ou simultâneo de análise vetorial se bem que,
durante o desenrolar do curso, o assunto será parcialmente revisto quando se julgar
necessário.
3) PROGRAMA
Os seguintes tópicos deverão ser abordados no decorrer do curso:
1. Introdução ................................................................................................................ (2)
2. Campo magnético de um condutor reto e infinito ................................................... (2)
3. Lei de Ampère e H ................................................................................................... (2)
4. O rotacional de B e H .............................................................................................. (5)
5. Lei de Gauss ............................................................................................................. (8)
6. Divergente da densidade de fluxo D ...................................................................... (10)
7. Relação entre fluxo magnético ψm e densidade de fluxo magnético B .................. (12)
8. Fluxo magnético sobre uma superfície fechada ..................................................... (13)
9. Campos elétricos e magnéticos variantes no tempo .............................................. (13)
10. Equação de Maxwell obtida da lei de Faraday (forma integral) .......................... (15)
11. Condutor que se move num campo magnético .................................................... (15)
12. Caso geral da indução .......................................................................................... (16)
13. Teorema de Stokes ............................................................................................... (16)
14. Equação de Maxwell obtida da Lei de Faraday (forma diferencial) .................... (19)
15. Expressão completa da equação de Maxwell a partir da Lei de Ampère ............ (20)
16. Equação de onda .................................................................................................. (21)
17. Guias de onda ....................................................................................................... (23)
4) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
Kraus, J. D. e Carver, K. R. Electromagnetics, McGraw-Hill, 1973.
1
INTRODUÇÃO
O eletromagnetismo abrange a eletricidade, o magnetismo, os campos elétricos,
os campos magnéticos e as ondas eletromagnéticas. Enquanto na teoria dos circuitos a
ênfase está na determinação das tensões e correntes no meio condutor, o
eletromagnetismo da ênfase no espaço entre condutores e nos campos elétricos e
magnéticos neste espaço. Através do eletromagnetismo tem-se a compreensão não
somente dos guias de onda (enfoque do curso), mas, também, das ondas no espaço,
interações partícula-campo, assim como proporciona uma visão básica sobre operação e
características de elementos básicos de circuitos.
CAMPO MAGNÉTICO DE UM CONDUTOR RETO E INFINITO
O campo magnético B (ou Densidade de Fluxo Magnético) num ponto P que
está a uma distância R de um condutor reto e fino de comprimento infinito, carregando
uma corrente I, é encontrado somando-se as contribuições de todos os segmentos
diferenciais (dl) ao longo do condutor. Para cada um destes segmentos, tem-se (Fig. 1)
dB = k
Idl sin θ
,
r2
onde k = µ/4π é uma constante de proporcionalidade, µ é a permeabilidade do meio e r é
a distância do segmento ao ponto P. Uma vez que dl sin θ = rdθ e R = r sin θ , tem-se
π
π
µI 1
µI
dθ =
sin θdθ .
∫
4π 0 r
4πR ∫0
µI
2 µI
,
[− cos θ ]π0 =
=
4πR
4πR
B=
ou
B=
µI
,
2πR
onde, B é a densidade de fluxo, dada em N/Am ou T, µ é a permeabilidade do meio,
dada em H/m, I é a corrente no condutor, dada em A e R é a distância radial, dada em m.
LEI DE AMPÈRE E H
No caso de um condutor longo e fino carregando uma corrente I o campo
magnético B num ponto P que está a uma distância R do condutor é um vetor ortogonal
ao condutor, de sentido que depende do sentido da corrente (dado pela regra da mão
direita) e módulo B = µI/2πR. Têm-se infinitos pontos P que distam de R do condutor e
se distribuem ao longo de um círculo de raio R, conforme a Fig. 2.
Passemos a integrar o campo vetorial B ao longo de um caminho de raio R que
circunda o fio. Tomemos o vetor tangente ao caminho circular cujo módulo é o
diferencial do espaço percorrido, dl = Rdθ. Repare que o vetor dl tem a mesma direção
do vetor B. Logo, o produto escalar entre B e dl é apenas o produto dos módulos, ou
seja, B·dl = Bdl. Então,
2
µI
µI
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = 2πR ∫ dl = 2πR 2πR = µI ,
∫ B ⋅ dl = µI .
Fig. 1 - Geometria para se achar B perto de um fio reto e longo.
Fig. 2 - Campo B a uma distância R do condutor.
Esta relação é válida não só para o exemplo considerado, mas, também, para
todos os casos em que a integração é feita ao longo de um único caminho fechado. Para
fazer com que esta relação não dependa do meio onde o condutor está imerso define-se
o vetor H
B
H≡ .
µ
Então, H e B são vetores que têm o mesmo sentido para materiais isotrópicos. Logo,
tem-se
3
∫ H ⋅ dl = I .
Essa expressão é conhecida como lei de Ampère e mostra que a integral de linha
de H, ao longo de um único caminho fechado, é igual à corrente envolvida pelo
caminho.
EXEMPLO 1)
O campo H a uma distância radial de 1 metro de um condutor reto, longo e fino
é 1 Ampère/metro. Encontrar a corrente do fio.
SOLUÇÃO
I = ∫ H ⋅ dl = ∫ Hdl = H ∫ dl = 2πRH ⇒ I = 2πA .
EXEMPLO 2)
Para um condutor cilíndrico sólido de raio R com densidade de corrente
uniforme, obter as expressões de H dentro e fora do condutor. Apresentar graficamente
a variação de H em função da distância radial.
SOLUÇÃO
Do exemplo anterior para r ≥ R ⇒ H = I/2πr. Dentro do fio o valor de H num
raio r é determinado apenas pela corrente que flui dentro do raio r (que denominaremos
I’). Então, para r ≤ R, H = I’/2πr = I(r/R)2/2πr = Ir/2πR2.
Fig. 3 - Intensidade de campo H dentro e fora de um fio conduzindo corrente.
EXERCÍCIOS
1) Um condutor reto e fino de comprimento l conduzindo uma corrente I coincide com
o eixo y. O meio que circunda o condutor é o ar. Uma ponta do condutor está a uma
distância y1 da origem e a outra a uma distância y2. Mostre que a densidade de fluxo
devida ao condutor num ponto sobre o eixo x a uma distância x1 da origem é
4
B=

µ 0 I 
y2
y1
.
−
2
2 
4πx1  x12 + y 22
x
y
+
1
1 

Observe que se o centro do condutor coincidir com a origem (−y1 = y2), se x1 » l, a
expressão se reduz a B = µ0Il/4π x12 .
2) Um condutor tubular reto de seção transversal circular com um diâmetro externo de
50 mm e uma espessura de parede de 5 mm conduz uma corrente contínua de 50 A.
Encontre H. (a) na parede interna, (b) na parede externa e (c) no ponto médio entre
as duas paredes.
O ROTACIONAL DE B E DE H
Suponha um sistema de coordenadas retangulares situado dentro de um meio
condutor de grande extensão. Se J é a densidade de corrente [A/m2] no meio, sejam Jx,
Jy e Jz as componentes da densidade de corrente nas direções x, y e z. Considerando uma
pequena área ∆ y∆ z , a corrente total através da pequena área é J x ∆y∆ z = ∆ I . Esta
corrente produz um campo magnético B de componentes By e Bz ao longo das bordas
inferior e esquerda da pequena área. Se o campo é não uniforme, nas outras duas bordas
∂B y
∂B
ele pode ser expresso, numa primeira aproximação, por Bz + z ∆y e B y +
∆z .
∂z
∂y
Fig. 4 - Geometria para encontrar a componente x do rotacional de B.
Uma vez que ∫ B ⋅ dl representa o trabalho magnético realizado ao longo de uma
curva fechada, então, o trabalho total será
∂B y
∂Bz
∫ B ⋅ dl = B y ∆y + Bz ∆z + ∂y ∆y∆z − B y ∆y − ∂z ∆y∆z − Bz ∆z
 ∂B ∂B y 
= z −
 ∆y∆z = µJ x ∆y∆z ,
∂z 
 ∂y
5
ou, ainda,
 ∂B ∂B y 
= z −
 = µJ x .
∂z 
 ∂y
O lado esquerdo desta relação nada mais é que o rotacional de B. De fato,
∂
∂ 
∇ × B =  j + k  × ( B y j + Bz k )
 ∂y ∂z 
i
j
k
 ∂B ∂B y
=  z −
∂z
∂z
 ∂y
Bz
=0 ∂
0
∂
∂y
By

i .

Acontece que o rotacional de B também possui componentes nas direções j e k,
pois a corrente também flui nestas direções (y e z). Tem-se, então, a expressão completa
para o rotacional
 ∂B ∂B y   ∂B x ∂B z
i + 
∇ × B =  z −
−
∂z   ∂z
∂x
 ∂y
= µ ( J x i + J y j + J z k ) = µJ ,
  ∂B y ∂B x
−
 j + 
∂y
  ∂x

k

ou
∇ × B = µJ .
Substituindo B por µH e dividindo por µ, tem-se
∇×H = J .
Esta relação é a 1a Equação de Maxwell para campos estacionários na forma
diferencial e relaciona o campo H com a densidade de corrente J num ponto. A
expressão correspondente na forma integral, como será visto, relaciona o campo H, ao
longo de um caminho fechado finito, com a corrente total que passa pela área limitada
pelo caminho.
EXEMPLO 3)
No problema do exemplo 2) encontre o rotacional de H dentro e fora do fio.
SOLUÇÃO
Supondo o eixo z na direção da corrente (saindo do papel) e transformando para
coordenadas cilíndricas, obtêm-se três versores, r, ϕ e z. Observa-se que, com essa nova
base (ao invés de i, j e k), H possui apenas a componente na direção ϕ, isto é, H = Hϕϕ.
Do exemplo 2) vem
 I
 2π r , fora do condutor
H =
ϕ
I

r , dentro do condutor
 2π R 2
6
Desenvolvendo o rotacional de H em coordenadas cilíndricas tem-se
 1 ∂H z ∂H ϕ
∇ × H = 
−
∂z
 r ∂ϕ
  ∂H r ∂H z 
∂H r 
1 ∂
r + 
−
z .
φ +  (rH ϕ ) −
∂r 
∂ϕ 
r  ∂r
  ∂z
Uma vez que Hr = Hz = 0 e Hφ = Hφ(r), tem-se
∇×H =
1∂
(rH ϕ )z .
r ∂r
 I
1∂  I 
 2πr (fora do condutor) ⇒ ∇ × H = r ∂r  r 2πr z = 0;


para H ϕ = 
I
1
I
I
∂



r (dentro do condutor) ⇒ ∇ × H =
r 2 z = 2 z = J.

2
2
 2πR
r ∂r  2πR
 πR
Fig. 5 - Fio condutor dos exemplos 2 e 3.
Verifica-se que o ponto onde não há densidade de corrente o rotacional de H é
nulo (fora do condutor). Em qualquer ponto dentro do condutor a densidade de corrente
é constante e igual a J, assim como o rotacional de H.
EXERCÍCIOS
3) Obter a equação do rotacional de H em coordenadas cilíndricas.
4) Mostre que a integral de linha do campo H, ao longo de um caminho fechado que
não envolve corrente, é igual a zero.
7
LEI DE GAUSS
A força entre duas cargas pontuais Q1 e Q2 é
F=k
Q1Q2
r.
r2
No Sistema Internacional de unidades a constante de proporcionalidade k =
1/4πε, onde ε é a permissividade do meio (constante dielétrica). No vácuo (ou ar) ε = ε0
= 8,85 pF/m. Se Q1 > 0 está fixa e Q2 > 0 é uma pequena carga móvel, podendo afastarse ou aproximar-se de Q1, então um campo elétrico E, proporcional a Q1 e inversamente
proporcional a r2, envolve Q1 (Fig. 7)
E≡
Q1
F
=
r.
Q2 4πεr 2
(a)
(b)
Fig. 6 – Força elétrica entre duas cargas pontuais Q1 e Q2. (a) cargas de mesmo sinal;
(b) cargas de sinais contrários.
O campo elétrico E é um vetor de mesma direção que F, mas de módulo e
dimensão diferentes.
Ao invés de E tomemos o vetor εE que definiremos
D ≡ εE =
Q1
r.
4πr 2
Esse vetor tem dimensão de carga por unidade de área e denominaremos de
densidade de fluxo elétrico.
D ≡ εE ,
onde D é a densidade de fluxo elétrico, dado em C/m2, ε é a permissividade do meio,
dada em F/m e E é o campo elétrico, dado em V/m.
8
Fig. 7 – Carga pontual Q1 com os vetores indicando a grandeza e a direção do campo
elétrico associado.
A densidade de fluxo elétrico D e o campo elétrico E são vetores de mesmo
sentido (meios isotrópicos). Como 4πr2 é a área de uma esfera de raio r, segue que o
módulo de D, numa distância r de Q1, é igual à densidade superficial de carga que
ocorreria caso a carga Q1 estivesse distribuída uniformemente sobre a esfera de raio r,
ao invés de estar concentrada no centro. Considerando uma esfera de raio r imaginária,
a quantidade infinitesimal de fluxo elétrico através de um elemento superficial ds da
esfera é dψ = D·ds. Nota-se que D·ds = Dds, logo (Fig. 8)
ψ = ∫∫ D ⋅ ds = ∫∫ Dds = ∫∫
Q
ds.
4πr 2
Da fig. 8 sai que ds = (rdθ)(rdφsinθ) = r2sinθdθdφ. Então,
ψ =
Q
4π
2ππ
Q
π
2π
∫ ∫ sin θdθdφ = 4π [− cos θ ]0 ∫ dφ ,
0 0
0
ψ =
Q
2 ⋅ 2π = Q .
4π
Então, o fluxo elétrico que atravessa a superfície da esfera de raio r é igual à
carga Q. Mais genericamente, a integral de superfície da componente normal da
densidade de fluxo elétrico D sobre qualquer superfície fechada é igual à carga
englobada por esta superfície. Esse é o enunciado geral da Lei de Gauss para campos
elétricos.
9
Fig. 8 – Carga pontual Q na origem de um sistema de coordenadas esféricas.
DIVERGENTE DA DENSIDADE DO FLUXO ELÉTRICO D
Imaginemos um pequeno volume ∆v = ∆x∆y∆z imerso num campo elétrico com
densidade de fluxo elétrico, no ponto (x, y, z), igual a D = D x i + D y j + D z k .
Fig. 9 – Geometria usada para desenvolver a expressão diferencial do divergente de D.
Analisando a variação da densidade de fluxo elétrico na direção j, repare que Dy
é a intensidade do vetor densidade de fluxo elétrico em qualquer ponto do lado do
volume ∆v onde a coordenada é y. Se o campo não é uniforme, então, em primeira
10
aproximação, a intensidade do vetor densidade de fluxo elétrico, em qualquer ponto do
∂D y
lado do volume ∆v onde a coordenada é y + ∆y , é D y +
∆y .
∂y
A variação do fluxo elétrico (fluxo elétrico que entrou menos o fluxo elétrico
que saiu) na direção y será
∂D y 
∂D y

∆ψ y ≡  D y +
∆y ∆x∆z − D y ∆x∆z =
∆x∆y∆z .
∂y
∂y


Considerando as outras direções tem-se que a variação do fluxo elétrico será
∂D y ∂D z 
 ∂D
∆x∆y∆z .
∆ψ ≡  x +
+
∂y
∂z 
 ∂x
Suponha, agora, que a carga não esteja na origem e sim disseminada
uniformemente esfera de raio r de tal forma que é mais apropriado falar em densidade
volumétrica de carga [C/m3]. Então, a carga contida no volume ∆v será ∆Q = ρ∆v, onde
ρ é a densidade volumétrica. O fluxo elétrico que atravessa a superfície da esfera de raio
r de acordo com a Lei de Gauss fica
∫S D ⋅ ds = ∫v ρdv = Q ,
onde
∫S
representa a integral sobre uma superfície fechada e
∫v
representa a integral
sobre o volume englobado pela superfície S.
Ou seja, o fluxo total através da superfície do volume é igual à carga envolvida
∂D y ∂D z 
 ∂D
∆v = ∫V ρdv .
∆ψ = ∫S D ⋅ ds = x +
+
∂y
∂z 
 ∂x
Dividindo por ∆v e tomando o limite
∆ψ
=
∆v →0 ∆v
lim
∫S D ⋅ ds =  ∂D x + ∂D y + ∂D z  = ρ .
∆v
 ∂x

∂y
∂z 
A expressão entre parênteses é o divergente de D que, de fato, é dado por
∂
∂
∂ 
∇ ⋅ D =  i + j + k  ⋅ ( Dx i + D y j + Dz k )
 ∂x ∂y ∂z 
=
∂
∂
∂
Dx + Dy + Dz .
∂x
∂y
∂z
Logo,
∇⋅D = ρ .
11
Enquanto a integral da componente normal de D, sobre um volume finito,
fornece a carga livre envolvida pelo volume, o divergente de D fornece a densidade
volumétrica de carga no ponto no interior do volume diferencial dv. Se a carga for zero
num determinado ponto a densidade de carga será zero e também o divergente de D será
zero. O divergente de D é uma função escalar do ponto.
EXERCÍCIOS
5) Determinar o divergente das seguintes funções vetoriais
(a) F = sin(az)i + cos(ax)j + yk;
(b) G = cos(ay)i + xj − sin(az)k.
6) Uma esfera de raio r1 tem uma densidade de carga ρ. (a) Determinar D e ∇·D em
função do raio; (b) Faça um gráfico de D e ∇·D para um raio de 3r1.
RELAÇÃO ENTRE FLUXO MAGNÉTICO ψm E DENSIDADE DE FLUXO
MAGNÉTICO B
O vetor campo magnético B é também conhecido como densidade de fluxo
magnético. Portanto, podemos descrever B como o fluxo magnético por unidade de área
ou, conforme a figura,
ψ
B cos α = m ⇒ ψ m = BA cos α ,
A
onde Bcosα é o módulo da densidade de fluxo magnético B perpendicular a área A e ψm
é o fluxo magnético através da área A. Dimensionalmente, ψm é dado em Weber (Wb) e
B é dado em Wb/m2 ou Tesla (T).
Fig. 10 – Linhas de fluxo e área A.
Se o campo B não é uniforme sobre uma determinada área tem-se que
ψ m = B cos α
⇒
passa a ser
ψ m = ∫∫ B cos αds ,
onde ds é o elemento de área ou superfície. A equação pode ser reescrita como
ψ m = ∫∫ B ⋅ ds .
12
FLUXO MAGNÉTICO SOBRE UMA SUPERFÍCIE FECHADA
A diferença fundamental entre uma linha de fluxo magnético e uma linha de
fluxo eletrostático é que a segunda começa e termina em cargas elétricas e a primeira é
contínua, isto é, não tem fontes nem sumidouros. Por isso diz-se que B é solenoidal. Se
as linhas de fluxo não têm início nem fim (elas são fechadas) então todas as linhas de
fluxo, que adentram um dado volume no espaço, devem sair dele. Logo, sobre uma
superfície fechada,
∫S B ⋅ ds = 0 ,
que é a Lei de Gauss aplicada a campos magnéticos. Por conseguinte, a divergência de
B é zero.
∇⋅B = 0 .
Esta relação é uma das Equações de Maxwell (forma diferencial). As duas
últimas expressões se devem a natureza contínua do campo B. A primeira para um
volume finito e a segunda para um ponto.
CAMPOS MAGNÉTICOS E ELÉTRICOS VARIANDO NO TEMPO
Já foi visto que um condutor conduzindo corrente produz um campo magnético.
Um campo magnético também produz correntes num circuito fechado desde que o fluxo
magnético que enlaça o circuito esteja variando.
Considerando uma espira de fio imerso num campo magnético B perpendicular a
espira. Se B estiver dirigido para cima e estiver diminuindo de grandeza uma corrente I
fluirá no sentido indicado. Esta corrente é induzida pelo campo magnético. Veja bem
que a corrente induzida está ela própria produzindo um campo que se opõe a variação
de B (Lei de Lenz).
Fig. 11 – Relação entre a densidade de fluxo B diminuindo e a corrente I induzida na
espira.
13
A Lei de Faraday dá a relação entre a força eletromotriz (fem) induzida numa
espira fechada e o campo magnético que produz a fem. A fem total induzida num
circuito fechado é igual à taxa temporal de diminuição do fluxo magnético total que
enlaça o circuito
dψ
ϑ=− m ,
dt
onde ϑ é a fem total, dada em Volts, ψ m é o fluxo magnético total, dado em Wb, e t é
o tempo. O sinal negativo mostra que o sinal da fem (e da corrente induzida) são
positivos (de acordo com a regra da mão direita). Com N anéis, onde cada anel enlaça a
mesma quantidade de fluxo magnético, então Λ = Nψ m , onde Λ é o enlace total, e
ϑ = −N
dψ m
dΛ
.
=−
dt
dt
O fluxo total enlaçado por uma espira é igual á componente normal da densidade
de fluxo B sobre a superfície limitada pela espira
ψ m = ∫∫ B ⋅ ds ,
onde a integração é feita sobre a área da espira. Logo,
ϑ=−
d
∫ B ⋅ ds .
dt S
Se o circuito (ou espira) é estacionário
ϑ = − ∫S
∂B
⋅ ds .
∂t
Esta é a Lei de Faraday que fornece a fem induzida devida especificamente à
taxa de variação de B com o tempo num anel ou circuito fixo.
EQUAÇÃO DE MAXWELL OBTIDA DA LEI DE FARADAY (FORMA
INTEGRAL)
Dado que uma corrente aparece numa espira quando o campo magnético onde a
mesma está imersa varia com o tempo então, um campo elétrico se forma ao longo da
espira. A integração do campo ao longo do circuito fechado fornece a fem
ϑ = ∫ E ⋅ dl .
14
Fig. 12 – Integração do campo E ao longo de um circuito fechado fornece a fem.
No tópico anterior mostramos que ϑ = − ∫S
Logo,
ϑ = ∫ E ⋅ dl = − ∫S
∂B
⋅ ds para um circuito estacionário.
∂t
∂B
⋅ ds .
∂t
CONDUTOR QUE SE MOVE NUM CAMPO MAGNÉTICO
Um campo elétrico é gerado num fio reto que está excursionando num campo
magnético B com velocidade v. Esse campo é dado por
E = v×B .
Fig. 13 – Uma fem é induzida num fio que se move através de um campo magnético.
A fem induzida entre os pontos 1 e 2 do fio é dada por
15
2
2
ϑ = ∫1 E ⋅ dl = ∫1 v × B ⋅ dl .
Para um circuito fechado (circuito ou espira)
ϑ = ∫ E ⋅ dl = ∫ v × B ⋅ dl .
CASO GERAL DA INDUÇÃO
Quando B varia com o tempo e o circuito também está em movimento a fem
induzida será
∂B
ϑ = ∫ v × B ⋅ dl − ∫S
⋅ ds .
∂t
Resumindo, as relações de indução são as seguintes:
∂B
⋅ ds ;
∂t
⇒ ϑ = ∫ v × B ⋅ dl ;
(II) - movimento apenas (indução por movimento)
∂B
⋅ ds .
(III) - variação temporal de B (indução por transformador) ⇒ ϑ = − ∫S
∂t
⇒ ϑ = ∫ v × B ⋅ dl − ∫S
(I) - caso geral
TEOREMA DE STOKES
A equação de Maxwell, obtida da Lei de Faraday, escrita na forma integral pode
ser transformada da forma integral para a forma diferencial por meio do teorema de
Stokes. A integral do trabalho E·dl ao longo de um quadrado de área ∆s num plano
paralelo ao plano (x, y) é igual à fem total ao longo do perímetro
ϑ = ∫ E ⋅ dl .
y
Ey j
∆s
(x, y, z)
∆
∆
Ex i
z
x
Fig. 14 – Integral do trabalho ao longo de uma área retangular pequena.
Dividindo pela área e tomando o limite da razão quando ∆s → 0, obtém-se o
rotacional de E na direção normal a ∆s no ponto em que ∆s tende a zero.
16
∫ E ⋅ dl = (∇ × E) ,
lim
n
∆s→0 ∆s
onde (∇×E)n é a componente do rotacional de E normal a área ∆s.
Consideremos agora uma superfície constituída de pequenas áreas infinitesimais.
O trabalho E·dl, ao longo de cada área infinitesimal, é cancelado pelas parcelas do
trabalho E·dl nas áreas adjacentes (veja o sentido das setas na figura abaixo). Só o
trabalho ao longo da periferia da área maior não é anulado. Logo,
∫ E ⋅ dl = ∫S ∇ × E ⋅ ds .
Está implícito que, se o rotacional de E é integrado sobre uma área s, a integral
de linha de E será considerada ao longo da periferia da mesma área s. Pode-se enunciar
o teorema de Stokes: “a integral de linha de uma função vetorial, ao longo de um
contorno fechado C, é igual a integral da componente normal do rotacional daquela
função vetorial sobre a superfície que tenha o contorno C como seu limite”.
EXERCÍCIOS
7) Considere uma espira retangular fixa de área A. A densidade de fluxo B é normal ao
plano da espira e é uniforme sobre toda área da espira. Todavia, a grandeza de B
varia harmonicamente com o tempo, sendo dada por B = B0 cos ωt . Encontrar a fem
total induzida na espira.
SOLUÇÃO
B
v
área A
fixa
Caso típico onde só B varia (circuito fechado fixo)
∂B
ϑ = − ∫S ⋅ ds = ωB0 sin ωt ∫ ds = AωB0 sin ωt
∂t
(a)
(b)
Fig. 15 – (a) Anel decorrente única e (b) malha equivalente com pequenas espiras de
corrente.
8) Considere uma espira retangular com um condutor deslizante. A largura l é
constante, mas o comprimento x aumenta uniformemente com o tempo, quando se
move o condutor deslizante a uma velocidade uniforme v. A densidade de fluxo B é
17
normal ao plano da espira e é constante com relação ao tempo. Encontrar a fem total
induzida na espira.
SOLUÇÃO
fixa
2
B
v
v
l
Caso típico em que há apenas movimento (circuito
fechado)
2
ϑ = ∫ v × B ⋅ dl = vB ∫ dl = vBl
1
1
x
9) Considere a mesma espira discutida no exemplo anterior. Considere o caso em que o
campo B varie harmonicamente com o tempo, sendo dado por B = B0 cos ωt .
Encontrar a fem total induzida na espira.
SOLUÇÃO
A fem total induzida na espira é a soma das parcelas induzida pelo movimento da
espira e pela variação de B no tempo.
ϑ = − ∫S
∂B
⋅ ds + ∫ v × B ⋅ dl = ωxlB0 sin ωt + vB0 l cos ωt = B0 l v 2 + ω 2 x 2 sin(ωt + δ )
∂t
10) Consideremos agora uma espira retangular que gira com velocidade angular
constante de ω rd/s num campo magnético estacionário. Este arranjo representa um
gerador simples de corrente alternada, onde a fem aparece nos terminais ligados aos
anéis coletores. Sendo R o raio da espira e l o comprimento, encontrar a fem total
induzida.
SOLUÇÃO
B
v
ω
R
l
Caso típico em que há apenas movimento. A fem pode ser
obtida de ϑ = ∫ v × B ⋅ dl = 2vBl sinθ . Uma vez que θ = ωt,
tem-se ϑ = 2ωRlB sin θ
B
ω
eixo
θ
O fator 2 se faz necessário porque há dois condutores de
comprimento l movendo-se através do campo, com as
fems de ambos se somando. Uma vez que, 2Rl = A, tem-se
ϑ = ωBA sin θ
v
11) Consideremos a mesma espira rotativa do exemplo anterior mas com o campo B
dado por B = B0 sin ωt . Encontrar a fem total induzida na espira.
SOLUÇÃO
A fem total induzida na espira é a soma das parcelas induzida pelo movimento da
espira e pela variação de B no tempo.
18
ϑ = −∫
S
∂B
⋅ ds + ∫ v × B ⋅ dl = ω RlB0 − ω RlB0 cos(2ωt ) − ω RlB0 − ω RlB0 cos(2ωt ) = −2ω RlB0 cos(2ωt )
∂t
EQUAÇÃO DE MAXWELL OBTIDA DA LEI DE FARADAY (FORMA
DIFERENCIAL)
Lembrando que para um circuito estacionário
ϑ = ∫ E ⋅ dl = − ∫S
∂B
⋅ ds .
∂t
Por outro lado, pelo teorema de Stokes
∫ E ⋅ dl = ∫S ∇ × E ⋅ ds .
Logo, tem-se que os integrandos são iguais
∇×E = −
∂B
,
∂t
que é a equação de Maxwell na forma diferencial derivada da Lei de Faraday.
EXPRESSÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO DE MAXWELL A PARTIR DA LEI DE
AMPÈRE
Para obter a expressão completa temos que introduzir a noção de corrente de
deslocamento. Em espaços vazios a corrente como conhecemos inexiste (corrente de
condução), mas pode existir uma parcela de corrente denominada corrente de
deslocamento. Pode-se exemplificar corrente de condução usando um resistor. Uma
tensão constante aplicada aos terminais de um resistor produz um fluxo contínuo de
corrente de valor constante. Corrente de deslocamento ocorre, por exemplo, em
capacitores. Embora a corrente não flua entre as placas, o efeito externo é como se o
fizesse, uma vez que a mesma quantidade de corrente que sai de uma placa, entra na
placa oposta.
Consideremos um bloco de material condutor onde flui uma densidade de
corrente J. Tomemos uma pequena célula retangular de comprimento l e seção
transversal a, em torno de um ponto P no interior do bloco, sendo a perpendicular a J.
a
P
J
l
Fig. 16 – Uma célula dentro de um bloco de material condutor onde flui uma densidade
de corrente J.
A Lei de Ohm aplicada à célula fornece V = RI, onde V é a diferença de
potencial nos extremos da célula. Mas V = El e I = Ja. Então, El = JaR ou J = El/(Ra).
Se essa célula é tão pequena quanto se queira, tem-se a relação aplicada ao ponto
19
J = σE ,
que é Lei de Ohm num ponto, onde σ é a condutividade do material e J é a densidade de
corrente de condução Jcond.
Agora, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é C = εA/d, onde A é a
área das placas e d é a distância entre elas, e a corrente de deslocamento no capacitor é
dada por
dQ
dV
A d ( Ed )
dE
I=
=C
=ε
= εA
dt
dt
d dt
dt .
Logo,
I
dE dD
=
,
J desl = = ε
A
dt
dt
lembrando que D = εE. Sumarizando:
J cond = σE
dE dD
J desl = ε
=
.
dt
dt
Se o elemento possui tanto resistência quanto capacitância, de maneira que
correntes de condução e de deslocamento estejam presentes, então
J total = J cond + J desl .
Então, a lei de Ampère vista anteriormente, que se aplica somente às correntes
de condução, pode ser estendida, quando estão presentes correntes de condução e de
deslocamento
∂E 

∫ H ⋅ dl = ∫S (J cond + J desl ) ⋅ ds = ∫S  σE + ε ∂t  ⋅ ds


Aplicando o teorema de Stokes, tem-se
∇ × H = σE + ε
∂E
∂D
=J+
,
∂t
∂t
onde está implícito que o J sem o subscrito refere-se somente à densidade de corrente
de condução.
EQUAÇÃO DE ONDA
Será abordado o desenvolvimento geral da equação de onda a partir das
equações de Maxwell e serão mostradas as simplificações, assim como as soluções, para
uma onda plana.
As equações em rotacional de Maxwell são:
∇ × H = σE + ε
∂E
∂D
=J+
∂t
∂t
20
(1)
∇×E = −
∂B
∂H
= −µ
.
∂t
∂t
(2)
Aplicando o rotacional em (2) e substituindo (1), tem-se
∇ × (∇ × E) = − µ
∂E 
∂ 
∂ (∇ × H )
= − µ  σE + ε
.
∂t 
∂t 
∂t
(3)
Mas, por meio de uma identidade vetorial, válida apenas para coordenadas
retangulares, o lado esquerdo de (3) pode ser expresso como
∇ × (∇ × E) = ∇ ⋅ (∇ ⋅ E) − ∇ 2 E .
(4)
Igualando (3) e (4) e observando que no espaço sem carga ∇·E = 0, tem-se
∂ 2E
∂E
+ µσ
.
(5)
2
∂t
∂t
Supondo que o campo varie harmonicamente com o tempo (E = E0sinωt) ou,
ainda, usando a seguinte notação E = E0ejωt, onde fica implícito que o valor instantâneo
do campo é dado pela parte imaginária, tem-se
∇ 2 E = µε
∂E
= jωE 0 e jωt = jωE ,
∂t
∂ 2E
= −ω 2 E 0 e jωt = −ω 2 E ,
∂t 2
Tem-se, então, que
∂ 2E
∂E
+ µσ
= − µεω 2 E + µσjωE
2
∂t
∂t
= (− µεω 2 + µσjω )E = γ 2 E ,
∇ 2 E = µε
(6)
ou
∇2E − γ 2E = 0 ,
(7)
onde γ é a constante de propagação. Também é possível escrever de acordo com (4),
∇ × ∇ × E + γ 2E = 0 .
(8)
Suponha agora uma onda plana viajando na direção do eixo x, com E na direção
do eixo y, E = Eyj. A equação (5) fica sendo
2
2
∇ E = ∇ Ey j =
ou
∂2Ey
∂x
2
= µε
∂2Ey
∂t
2
+ µσ
2
∂2Ey
∂E y
1 ∂ Ey
−
ε
−σ
= 0,
2
2
µ ∂x
∂t
∂t
21
∂E y
∂t
,
(9)
que é a equação de onda em Ey para uma onda plana num meio condutor. Se o meio não
tem condutividade (σ = 0), tem-se
2
∂2 Ey
∂2 Ey
1 ∂ Ey
2
,
(10)
=
=v
∂t 2
µε ∂x 2
∂x 2
onde v = 1/√µε é a velocidade de propagação da onda, a qual depende exclusivamente
do meio. (10) descreve a variação na posição e no tempo da grandeza escalar Ey da
intensidade do campo elétrico. É chamada de equação de onda em Ey e, de fato, é a
forma mais simples de uma equação escalar de onda.
Se E é uma função harmônica do tempo, (9) fica sendo
∂2Ey
∂x 2
= (− µεω 2 + µσjω ) E y ,
∂2Ey
∂x 2
− γ 2Ey = 0 .
(11)
(12)
Seguindo um procedimento semelhante a partir das equações do rotacional de
Maxwell, ou seja, aplicando o rotacional em (1) e substituindo (2), sabendo que ∇⋅H =
0, considerando uma onda plana viajando na direção x, com H variando
harmonicamente no tempo, H = Hzk; obtêm-se expressões semelhantes para H.
A equação de onda (10) é uma EDP de segunda ordem, cuja solução tem a forma
E y = E0 sin(βx ± ωt ) ,
(13)
onde E0 é a amplitude máxima, β = 2π/λ é a constante de fase, λ é o comprimento da
onda em m, ω = 2πf é a freqüência angular em rd/s, f é a freqüência em Hz e t é o
tempo. O sinal positivo está associado a uma onda viajando para a esquerda, ou na
direção negativa de x, e o sinal negativo está associado a uma onda viajando para a
direita, ou na direção positiva de x. A velocidade v de um ponto sobre a onda, digamos
P, que mantém sua fase constante à medida que a onda caminha na direção positiva de
x, é uma constante dada pela condição
± (βx – ωt) = cte.
(14)
Derivando (14) em relação ao tempo e rearranjando, obtém-se
dx
ω
λ
1
= v = = λf = =
,
β
dt
T
µε
(15)
onde T é o período da onda em s.
A velocidade de fase (velocidade de um ponto que mantém uma fase), às vezes,
não é constante e depende da posição x. Transcorrido um intervalo de tempo dt, se nesse
22
intervalo um ponto sobre uma onda, que progride na direção positiva de x, sofre um
atraso de fase dφ (ou um avanço – dφ), enquanto a onda progride dx, então, a relação
entre dt e dφ é dada por
T
dt = −
dϕ .
(16)
2π
Portanto, a velocidade de fase em função da posição pé dada por,
v=
dx
dx
ω
=−
=−
.
dt
(T / 2π ) dϕ
dϕ / dx
(17)
Para uma onda que progride na direção positiva de x, dφ/dx é negativo, e, por
isso, v é positivo. Comparada com (17) a velocidade de fase ω/β de (15) é uma
velocidade de fase média calculada sobre um número inteiro de comprimentos de onda.
Dividindo (17) por (15), obtém-se
p=−
β
,
dϕ / dx
(18)
onde p é a velocidade de fase relativa, função da posição.
As soluções da equação de onda dadas em (13) são soluções trigonométricas. É
possível também expressá-las na forma exponencial. Assim,
E y = E0e j (ωt ± βx ) ,
(19)
onde está implícito que o valor instantâneo do campo é dada pela parte imaginária da
função exponencial.
GUIAS DE ONDA
Uma linha de transmissão é um dispositivo capaz de conduzir energia e pode ser
classificada de acordo com as configurações dos campos. As linhas de transmissão
podem transmitir nos modos eletromagnéticos transversais (TEM), onde os campos E e
H são inteiramente transversais à direção de propagação (exemplos são todos os tipos
com dois condutores, como as linhas coaxiais e paralelas). Nas linhas de transmissão
que transmitem nos modos superiores os campos E ou H, ou ambos, possuem
componentes na direção de propagação (exemplos são guias de onda ocos e varetas
dielétricas).
Vamos considerar um sistema de transmissão de modo superior consistindo de
um tubo de metal oco (cilíndrico ou retangular). Um tubo como este pode conduzir
energia eletromagnética? Se focalizarmos a resposta no nível da teoria dos circuitos ou
de linhas de transmissão (modo TEM), ela seria NÃO, pois teríamos um único condutor
e nenhum retorno para a corrente. Mas, um feixe de luz pode atravessar um tubo oco
metálico reto e ela consiste de ondas eletromagnéticas de freqüência extremamente
elevada (1016 Hz). Então, o tubo pode conduzir energia eletromagnética, dependendo da
23
freqüência. A seguir é apresentado um método para determinação dos campos num guia
de onda retangular oco.
y
y1
z
z1
Sentido de
propagação
x
Fig. 17 – Guia de onda retangular oco e suas coordenadas.
Começaremos com as equações de Maxwell e desenvolveremos uma equação de
onda em coordenadas retangulares (propícias para a aplicação das condições de
fronteiras para o guia). Supondo que a onda varie harmonicamente em relação ao tempo
e que se propague na direção x, escolheremos o modo de transmissão a ser analisado.
Por exemplo, podemos considerar uma onda elétrica transversal (TE), na qual Ex = 0,
ou uma onda magnética transversal (TM), na qual Hx = 0. A seguir, desenvolver-se-á o
método, constituído de oito passos, detalhadamente para ondas TE.
Começando com o primeiro passo que é a obtenção das equações de Maxwell,
tem-se, de acordo com as equações do rotacional de Maxwell em coordenadas
retangulares, o seguinte conjunto com seis equações escalares:
∂E
∂H z ∂H y
−
− σE x − ε x = 0
∂y
∂z
∂t
∂E y
∂H x ∂H z
−
− σE y − ε
=0
∂z
∂x
∂t
∂H y ∂H x
∂E
−
− σE z − ε z = 0
∂x
∂y
∂t
∂H x
∂E z ∂E y
−
+µ
=0
∂y
∂z
∂t
∂H y
∂E x ∂E z
−
+µ
=0
∂z
∂x
∂t
∂E y ∂E x
∂H z
−
+µ
=0.
∂x
∂y
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
De acordo com as equações em divergente de Maxwell em coordenadas
retangulares, tem-se para um meio desprovido de cargas as duas seguintes equações
escalares:
∂E x ∂E y ∂E z
+
+
=0
(7)
∂x
∂y
∂z
∂H x ∂H y ∂H z
+
+
=0.
(8)
∂x
∂y
∂z
24
Os próximos passos consistem em aplicar restrições quanto à forma dos
componentes do campo. Supõe-se que qualquer componente do campo varie
harmonicamente com o tempo e com a distância, e que também possa atenuar-se com a
distância. Desse modo, concentrando nossa atenção nas ondas que se propagam no
sentido positivo de x, tem-se, por exemplo, que a componente do campo Ey é expressa
por
E y = E1e jωt −γx ,
(9)
onde γ = α + jβ é a constante de propagação, α é a constante de atenuação e β é a
constante de fase.
Considerando (9), as equações (1) a (8) tornam-se
∂H z ∂H y
−
− (σ + jωε ) E x = 0
∂y
∂z
∂H x
+ γH z − (σ + jωε ) E y = 0
∂z
∂H x
− γH y −
− (σ + jωε ) E z = 0
∂y
∂E z ∂E y
−
+ jωµH x = 0
∂y
∂z
∂E x
+ γE z + jωµH y = 0
∂z
∂E
− γE y − x + jωµH z = 0 .
∂y
∂E y ∂E z
− γE x +
+
=0
∂y
∂z
∂H y ∂H z
− γH x +
+
= 0.
∂y
∂z
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
As oito equações acima podem ser simplificadas introduzindo-se uma
impedância em série Z e uma admitância em paralelo Y, como numa linha de
transmissão, onde
Z = − jωµ (Ω/m)
(18)
Y = σ + jωε ( /m)
(19)
Substituindo (18) e (19) em (10)-(17), tem-se
∂H z ∂H y
−
− YE x = 0
∂y
∂z
∂H x
+ γH z − YE y = 0
∂z
∂H x
− γH y −
− YEz = 0
∂y
25
(20)
(21)
(22)
∂E z ∂E y
−
− ZH x = 0
∂y
∂z
∂E x
+ γE z − ZH y = 0
∂z
∂E
− γE y − x − ZH z = 0 .
∂y
∂E y ∂E z
− γE x +
+
=0
∂y
∂z
∂H y ∂H z
− γH x +
+
= 0.
∂y
∂z
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Estas são as equações gerais para o campo em regime permanente de uma onda
propagando-se na direção x. Nenhuma restrição ainda foi feita para o modo de
propagação da onda ou para a forma do guia. Agora estamos prontos para prosseguir
para o próximo passo (passo no 4, que se trata de selecionar o tipo ou modo de
transmissão) e introduzir a condição de propagação no modo TE, onde Ex = 0. As
equações então reduzem-se a
∂H z ∂H y
−
=0
∂y
∂z
∂H x
+ γH z − YE y = 0
∂z
∂H x
− γH y −
− YEz = 0
∂y
∂E z ∂E y
−
− ZH x = 0
∂y
∂z
γE z − ZH y = 0
− γE y − ZH z = 0 .
∂E y
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
∂E z
=0
∂y
∂z
∂H y ∂H z
− γH x +
+
= 0.
∂y
∂z
+
(34)
(35)
Continuando com o passo no 5 vamos reescrever estas equações de modo que
cada componente do campo seja expressa em termos de Hx. De (32) e (33), tem-se
Ey Z
Ez
=−
= .
Hy
Hz γ
(Ω)
(36)
A razão Ez/Hy ou Ey/Hz corresponde, no caso de um guia de onda, à impedância
característica de uma linha de transmissão. Como (36) envolve somente componentes
26
do campo transversal, ela pode ser chamada de impedância de onda transversal Zyz do
guia de onda
Ey
E
Z
jωµ
Z yz = − z =
=− =
. (Ω)
(37)
Hy Hz
γ
γ
Introduzindo (37) em (30), e tirando o valor de Hy, tem-se
Hy =
− 1 ∂H x
.
γ − YZ yz ∂y
(38)
De modo semelhante tem-se, de (29),
Hz =
− 1 ∂H x
.
γ − YZ yz ∂z
Substituindo (39) em (37), tem-se
Z yz ∂H x
Ey =
.
γ − YZ yz ∂z
(39)
(40)
Substituindo (38) em (37), tem-se
Ez =
− Z yz
γ − YZ yz
∂H x
.
∂y
(41)
As equações (38) a (41) expressam as quatro componentes do campo transversal
em termos de Hx. Isto completa o passo 5.
Passemos agora para o passo no 6, podemos obter uma equação da onda em Hx
derivando (38) em relação a y e (39) em relação a z, e substituindo-as em (35). Isto dá
− γH x −
1
γ − YZ yz
 ∂2H x ∂2H x 
 = 0.

+
2
∂z 2 
 ∂y
(42)
ou
∂2H x ∂2H x
+
+ γ (γ − YZ yz ) H x = 0 .
∂y 2
∂z 2
(43)
Fazendo k2 = γ(γ –YZyz), (43) reduz-se a
∂2H x ∂2H x
+
+ k 2H x = 0 .
∂y 2
∂z 2
(44)
Esta é uma equação diferencial parcial de segunda ordem e primeiro grau. É uma
equação escalar da onda em Hx. Ela se aplica a uma onda TE num guia com seção
transversal de qualquer formato. Isto completa o passo 6.
27
O próximo passo (passo no 7) é encontrar uma solução de (44) que satisfaça as
condições de fronteira para o guia de onda em discussão, o qual pé do tipo retangular e
oco, como mostra a Fig. 17. A largura do guia é z1 e a altura é y1. Supondo que as
paredes são perfeitamente condutoras, a componente tangencial de E deve desaparecer
na superfície do guia. Portanto, nas paredes laterais, Ey deve ser nulo e, nas superfícies
de topo e do fundo, Ez deve ser nulo. O problema agora é achar uma solução de (44)
sujeita a estas condições de fronteira. O método de separação de variáveis pode ser
usado para obter a solução. Portanto, Hx em (44) é uma função de y e z. Por conseguinte,
podemos procurar uma solução da forma
H x = YZ ,
(45)
onde Y é uma função somente de y e Z é uma função somente de z.
Substituindo (45) em (44), tem-se
Z
d 2Y
d 2Z
+
Y
+ k 2YZ = 0 .
2
2
dy
dz
(46)
Dividindo (46) por YZ para separar as variáveis, tem-se
1 d 2Y 1 d 2 Z
+
= −k 2 .
Y dy 2 Z dz 2
(47)
O primeiro termo de (47) é função apenas de y, o segundo termo é função apenas
de z, ao passo que k2 é uma constante. Para que os dois termos (cada um envolvendo
uma variável independente da outra) sejam iguais a uma constante, é preciso que cada
termo seja uma constante. Portanto, pode-se escrever
1 d 2Y
= − A1
Y dy 2
(48)
1 d 2Z
= − A2 ,
Z dz 2
(49)
e
onde A1 e A2 são constantes. Conseqüentemente,
A1 + A2 = k 2 .
(50)
Cada uma das equações (48) e (49) envolve apenas uma variável independente.
Uma solução de (48) é
(51)
Y = c1 sin b1 y .
Substituindo (51) em (48), tem-se
b1 = A1 .
(52)
28
Conseqüentemente, (51) é uma solução contanto que (52) seja satisfeita. Outra
solução é
(53)
Y = c 2 cos b1 y ,.
Se tanto (51) quanto (53) forem soluções para Y, a soma também será solução,
ou
Y = c1 sin A1 y + c2 cos A1 y .
(54)
Da mesma maneira pode-se escrever uma solução para Z,
Z = c3 sin A2 z + c4 cos A2 z .
(55)
Substituindo (54) e (55) em (45), obtém-se a solução Hx
H x = c1c3 sin A1 y sin A2 z + c2 c3 cos A1 y sin A2 z
+ c1c4 sin A1 y cos A2 z + c2 c4 cos A1 y cos A2 z .
(56)
Substituindo (56) em (40) e (41), e introduzindo as condições de fronteira Ey = 0
em z = 0 e z = z1, e Ez = 0 em y = 0 e y = y1, verifica-se que somente o último termo de
(56) pode satisfazer as condições de fronteira se e somente se
A1 =
nπ
y1
(57)
A2 =
mπ
,
z1
(58)
e
onde m e n são números inteiros. A solução para Hx assume a forma
H x ( y, z ) = H 0 cos
nπy
mπz
cos
,
y1
z1
(59)
onde H0 = c2c4. Multiplicando (59) por um fator constante o resultado ainda é solução.
Isto é, o fator não pode envolver y e/ou z, embora possa envolver x e/ou t.
Conseqüentemente, (59) pode ser multiplicada pelo fator exponencial em (9), visto que
isto resulta na variação suposta para os campos em relação a x e t. A solução completa
para Hx, então, torna-se
H x ( x, y, z, t ) = H 0 cos
nπy
mπz jωt −γx
cos
e
.
y1
z1
(60)
Isto completa o passo 7. Para executar o passo no 8, substitui-se (60) em (38)(41), obtendo as seguintes soluções para os componentes transversais do campo
29
γH 0 nπ
nπy
mπz jωt −γx
cos
e
y1
z1
k y1
γH mπ
nπy
mπz jωt −γx
cos
sin
H z = 20
e
k z1
y1
z1
γZ yz H 0 mπ
nπy
mπz jωt −γx
Ey =
cos
sin
e
2
z1
y1
z1
k
γZ yz H 0 nπ
nπy
mπz jωt −γx
Ez = −
sin
cos
e
2
y1
y1
z1
k
Hy =
2
sin
(61)
(62)
(63)
(64)
Então, (60) a (64) mais Ex = 0, são as soluções que procuramos para os
componentes do campo no modo TE num guia retangular oco de largura z1 e altura y1.
Isso completa o último passo.
Cada combinação de valores m e n representa uma configuração diferente do
campo dentro do guia, onde m e n indicam o número de variações de meios-ciclos de
cada componente do campo em relação à z e y, respectivamente. Então, é comum
designar as várias configurações pela notação TEmn.
No caso m = 1 e n = 0 (TE10), têm-se somente três componentes não nulas: Ey,
Hx e Hz. As seis componentes de campo no modo TE10 são
condição para haver modo TE
Ex = 0
Ey =
γZ yz H 0 π
k
2
z1
sin
πz
z1
e jωt −γx
Ez = 0
H x = H 0 cos
πz
z1
e jωt −γx
(65)
Hy = 0
Hz =
γH 0 π
k
2
z1
sin
πz
z1
e jωt −γx
.
As variações dos três componentes de campo não nulos de (65) são mostradas na
Fig. 18a. Não há variação em relação à y. Este modo possui o maior comprimento de
onda de corte dentre todos os modos de ordem superior, e a menor freqüência de
transmissão. A Fig. 19a ilustra a configuração de campo do modo TE10 numa seção
transversal do guia, e a Fig. 19b, numa seção longitudinal (vista de topo).
30
Fig. 18 – Variação dos componentes do campo para os modos TE10 e TE20, num guia de
onda retangular oco (onda propagando para fora da página). O valor de m é igual ao
número de meio-ciclos, em relação à z, dentro do guia (0 < z < b = z1).
As variações dos três componentes de campo em função de z, no modo TE20 (m
= 2, n = 0) são mostradas na Fig. 18b. A Fig. 19c ilustra a configuração de campo do
modo TE20 numa seção transversal do guia, e a Fig. 19d, numa seção longitudinal (vista
de topo).
No caso m = 1 e n = 1 (TE11), as seis componentes de campo são dadas por
Ex = 0
condição para haver modo TE
γZ yz H 0 π
πy πz
Ey =
cos sin e jωt −γx
2
z1
y1
z1
k
γZ yz H 0 π
πy
πz
Ez = −
sin cos e jωt −γx
2
y1
y1
z1
k
πy
πz
H x = H 0 cos cos e jωt −γx
y1
z1
γH 0 π
πy
πz
jωt −γx
sin cos e
k 2 y1
y1
z1
γH π
πy πz
H z = 20 cos sin e jωt −γx
.
k z1
y1
z1
Hy =
31
(66)
Fig. 19 – Configurações do campo para os modos TE10 e TE20, num guia de onda
retangular oco.
As variações dos cinco componentes de campo não nulos de (66) são mostradas
na Fig. 20. Somente Ex é sempre igual a zero. Supõe-se que o guia tenha seção
transversal quadrada (y1 = z1). A Fig. 21a ilustra a configuração de campo do modo
TE11 numa seção transversal do guia (vista da extremidade), e a Fig. 21b, numa seção
longitudinal (vista lateral).
Diversos modos de propagação são possíveis num guia retangular oco.
Entretanto, o modo particular ou modos que estão realmente presentes em qualquer caso
dependem das dimensões do guia, do método de excitação e das irregularidades e
descontinuidades do guia. O campo resultante no guia é igual à soma dos campos de
todos os modos presentes.
32
Fig. 20 - Variação dos componentes do campo para o modo TE11, num guia de onda
retangular oco (onda propagando para fora da página). Há 1 meio-ciclo, em relação à z,
e 1 meio-ciclo, em relação à y, dentro do guia (m = n = 1).
Voltemos a considerações de caráter geral da solução. Substituindo (57) e (58)
em (50), tem-se
 nπ

 y1
2
2
  mπ 
 + 
 = k 2 .
z
  1 
(67)
Substituindo (57) e (58) em (50), tem-se
k 2 = γ 2 − jωµ (σ + jωε ) .
(68)
Supondo um meio dielétrico sem perdas no guia, σ = 0, de (67) e (68), obtém-se
33
 nπ
γ = 
 y1
2
2
  mπ 
 + 
 − ω 2 µε .
z
  1 
(69)
Fig. 21 – Configurações do campo para os modos TE11, num guia de onda quadrado
oco. As linhas de E são sólidas e as de H são tracejadas.
O radicando de (69) assume valores positivos para freqüências baixas e
negativos para freqüências altas. No primeiro caso, γ é real e a onda é atenuada. Sob
esta condição, diz-se que a onda (ou modo) não se propaga. No segundo caso, γ é
imaginário e a onda se propaga sem atenuação. Numa dada freqüência intermediária, γ =
0. Esta freqüência é chamada de freqüência de corte do modo sob consideração.
Reescrevendo (69), tem-se
γ = k 2 − β 02 ,
(70)
onde β0 = (ω2µε)½ = 2π/λ0 é a constante de fase de uma onda propagando num meio
ilimitado, λ0 é o comprimento de onda em meio ilimitado e k = [(nπ/y1)2 + (mπ/z1)2]½.
Assim, em freqüências mais altas que a freqüência de corte β0 > k e
γ = k 2 − β 02 = jβ ,
(71)
onde β = 2π/λ é a constante de fase do guia e λ é o comprimento de onda no guia. Em
freqüências suficientemente altas β0 » k, observa-se que a constante de fase β do guia
aproxima-se da constante de fase β0 de um meio ilimitado. Por outro lado, em
freqüências menores que a freqüência de corte β0 < k e
γ = k 2 − β 02 = α ,
(72)
onde α é a constante de atenuação. Em freqüências suficientemente baixas β0 « k,
observa-se que a constante de atenuação α aproxima-se do valor constante k.
Na freqüência de corte, tem-se
34
2
2
 nπ   m π 
 .
ω 2 µε =   + 
 y1   z1 
(73)
De (69) tem-se que a freqüência de corte, em Hz, é dada por
fc =
2
1
2 µε
2
 n  m
  +   .
 y1   z1 
(74)
O comprimento de onda de corte, em m, é dado por
λoc =
2π
2
(nπ / y1 ) + (mπ / z1 )
2
2
=
2
(n / y1 ) + (m / z1 ) 2
,
(75)
onde λoc é o comprimento de onda num meio ilimitado na freqüência de corte (ou, mais
concisamente, o comprimento de onda de corte). (74) e (75) fornecem a freqüência de
corte e o comprimento de onda de corte para qualquer modo TEmn num guia retangular
oco. Por exemplo, o comprimento de onda de corte de um modo TE10 é
λoc = 2 z1 ,
(76)
Em freqüências acima do corte (β0 > k),
 nπ
β = β − k = ω µε − 
 y1
2
0
2
2
2
  mπ
 + 
  z1
2

 .

(77)
Segue-se que a velocidade de fase vf (velocidade de um ponto de fase constante)
no guia, em m/s, é igual a
v0
ω
vf = =
(78)
β
1 − (nλ0 / 2 y1 ) 2 − (mλ0 / 2 z1 ) 2
ou
v0
vf =
,
(79)
1 − (λ0 / λoc ) 2
onde v0 = 1/√µε é a velocidade de fase em meio ilimitado, λ0 é o comprimento de onda
em meio ilimitado e λoc é o comprimento de onda de corte. A razão v/vo em função do
comprimento de onda λ0 é mostrada na Fig. 22 para vários modos TE num guia de onda
oco de seção transversal quadrada (y1 = z1). Portanto, num guia quadrado oco a
velocidade de fase v de cada modo TE, no meio dielétrico do guia, é sempre maior ou
igual à velocidade de fase v0 no mesmo meio não limitado. Se o meio é o ar v0 é uma
constante bem conhecida (= 300 Mm/s), geralmente designada por c e chamada de
velocidade da luz.
35
v/vo
λ0
Fig. 22 – Velocidade de fase relativa v/vo e impedância transversal relativa Zyz/Zd em
função do comprimento de onda λ0 para os modos TE num guia de onda quadrado e oco
(altura y1 igual a largura z1).
Considerando σ ≠ 0 em (68) verifica-se que γ pode ter tanto parte real quanto
imaginária em freqüências acima da de corte. Não é o caso analisado aqui, que mostrou
que não há atenuação em freqüências acima da de corte, baseado na suposição que as
paredes do guia são perfeitamente condutoras e que não há perdas no meio dielétrico do
guia. Se o meio for o ar as perdas dielétricas são desprezíveis frente às perdas nas
paredes. Nesse caso, a atenuação acima da freqüência de corte é determinada,
principalmente, pela condutividade das paredes do guia. O fato das paredes não serem
perfeitamente condutoras implica na existência de campo elétrico transversal nelas.
Entretanto, em paredes feitas de bom condutor, como o cobre, o campo é tão pequeno
que a análise, baseada em campo elétrico transversal nulo, não é afetada
consideravelmente.
Até aqui foram consideradas ondas no modo TE. Para determinar as relações de
campo para as ondas no modo magnético transversal (TM), segue-se os mesmos 8
passos delineados anteriormente, com a exceção de que, onde aparece TE, substitui-se
por TM, e onde aparece Ex, substitui-se por Hx e vice-versa. Na onda TM, Hx = 0, e a
componente longitudinal do campo é Ex. (75) e (78) também se aplicam para ondas TM,
mas não (81). A notação para qualquer modo TM, em geral, é, TMmn, com m e n inteiros
não nulos simultaneamente. Portanto, a onda TM de freqüência mais baixa a ser
transmitida por um guia de onda retangular é o modo TM11.
Vimos que cada modo de transmissão num guia de onda retangular tem um
comprimento de onda de corte, uma velocidade e uma impedância particular. Quando a
freqüência é suficientemente alta para permitir a transmissão em mais de um modo, o
campo resultante é a soma dos campos dos modos individuais no guia.
Por exemplo, suponha que um guia de onda retangular, mostrado na Fig. Xxxa,
seja excitado no modo TE10. A variação de Ey através do guia é senoidal como mostra a
36
Fig. Xxxa. Suponha agora que z1 > λ de forma que o modo TE20 também possa ser
transmitido. Se somente o modo TE10 é excitado, nenhum TE20 aparecerá, desde que o
guia seja perfeitamente regular. Entretanto, na prática, certas assimetrias e
irregularidades estão presentes e tendem a converter um pouco da energia do modo TE10
em energia do modo TE20. Assim, se um parafuso localizado assimetricamente se
projeta para dentro do guia, como mostra a Fig. Xxxa, o campo total Ey tenderá a tornarse assimétrico, como sugere a Fig. Xxxd, Este campo total pode ser descomposto em
componentes Te10 e Te20, como mostram as Figs. Cxxc e d. Se tanto os modos TE10
como TE20 puderem ser transmitidos, o campo no guia, além do local onde está o
parafuso, terá energia em ambos os modos. Realmente, o parafuso é uma antena
receptora que extrai energia da onda incidente no modo TE10 e irradia de novo de
maneira a excitar o modo TE20. Contudo, se a freqüência for diminuída de maneira que
somente a onda TE10 possa ser transmitida, o campo assimétrico (Fig.cccd) existirá
somente nas vizinhanças do parafuso e, além daí, o campo no guia estará se propagando
substancialmente no modo TE10.
Fig. 22 –
Fig. 23 –
37
Fig. 24
Fig - 24
38
39