DETERMINAÇÃO DA CORRENTE DE PROBABILIDADE EM UM
PROBLEMA DE ESPALHAMENTO EM BILHARES QUÂNTICOS
Johnni Xavier Padilha (ICV-UNICENTRO), Eduardo Vicentini (Pesquisador),
Pedro Pablo González Borrero (Orientador), e-mail: [email protected].
Universidade Estadual do Centro-Oeste, Setor de Ciências Exatas e
Tecnologia, Departamento de Física, Guarapuava, Paraná.
Palavras-chave: Bilhares Quânticos, Corrente de Probabilidade, Fluxo de
Energia, Método de Contorno de Paredes, Nanoestruturas.
Resumo:
A transmissão de energia em sistemas com nanoestruturas é um tema muito
abordado recentemente. Neste trabalho é analisado um problema de
espalhamento quântico em um sistema bidimensional com a presença de um
bilhar triangular. Determinou-se a função de onda deste sistema para
diferentes valores de energia e foi calculado o fluxo de probabilidade, que
pode ser relacionado a um fluxo de energia.
Introdução
O problema da transmissão de energia em nanoestruturas tem recebido
muito interesse teórico e experimental nas últimas décadas. A engenharia de
sistemas quânticos foi capaz de criar sobre superfícies metálicas muros
feitos de poucos átomos, conhecidos como “currais quânticos” [1].
Nanoestruturas deste tipo podem ser modeladas por bilhares quânticos, que
são sistemas bidimensionais fechados por uma barreira de potencial infinita,
com espectro de energia discreto.
A energia em sistemas em nanoescala é transferida por meio de
portadores, que podem ser fótons, fônons ou elétrons. No caso de sólidos,
todos estes portadores contribuem, mas com destaque para os fônons em
semicondutores e os elétrons em condutores [2]. Um sistema quântico é
, que é uma função complexa, e seu
descrito por uma função de onda
módulo ao quadrado, que é uma função real, é chamado de densidade de
, e está associado com a probabilidade de encontrar a
probabilidade
partícula quântica em uma posição
no instante de tempo . Pode-se
também associar
, em uma determinada posição, com uma
concentração de partículas.
A grandeza chamada densidade de corrente de probabilidade, ou
densidade de corrente
, é dada por [3]:
.
(1)
Da forma que
, pode-se associar
a uma densidade de corrente
de partículas. Neste trabalho foi definida a corrente de probabilidade i ou
Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO
11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358
fluxo de probabilidade como a integral de em uma superfície A. No caso
bidimensional, como os sistemas estudados neste trabalho, i é dada por:
(2)
um elemento de comprimento. Esta corrente de probabilidade
Sendo
pode ser associada a um fluxo de partículas que representam os portadores
de energia do sistema.
O objetivo deste trabalho foi investigar o espalhamento de uma função
de onda associada à interação de um elétron com paredes e um bilhar,
visando entender o efeito de nanoestruturas no fluxo de energia. A função
de onda
foi determinada utilizando-se o Método de Contorno de
Paredes, detalhado nas referências [1] e [4].
Metodologia
Na primeira etapa foi definida a configuração do sistema como
bidimensional, contendo duas barreiras, que limitam o espaço em sua parte
superior e inferior. Apesar de o sistema ser bidimensional, a existência das
barreiras acaba priorizando uma direção, e considera-se que o sistema é
aproximadamente unidimensional, como um “canal” ou “túnel”. A transmissão
de energia por meio de um fluxo de partículas ocorrerá, então, através desse
canal.
Para observar o efeito do espalhamento dos elétrons no bilhar
quântico sobre o fluxo de probabilidade, foram simulados dois casos. No
primeiro, um feixe de elétrons, representado por uma função de onda com
número de onda k, atravessa o canal entre as duas barreiras. No segundo
caso, um bilhar na forma de um triângulo equilátero, de lado L é
acrescentando (vide Figura 1). Ocorre, assim, espalhamento da onda de
probabilidade pelas paredes externas do bilhar, além do espalhamento nas
barreiras.
Figura 1 – Configuração do sistema para os casos (a) sem bilhar e (b) com
bilhar triangular. As paredes, de comprimento L=5, foram posicionadas em
y=-1 e 2 e o bilhar com a extremidade inferior esquerda na posição (0,0). As
barreiras que limitam o sistema são mostradas em azul. A linha pontilhada
na extrema direita representa a linha onde é medido o fluxo de probabilidade
do sistema.
Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO
11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358
A função de onda
em todo o espaço, dentro e fora do bilhar, foi
determinada pelo Método de Contorno de Paredes e a corrente de
probabilidade foi calculada no final do sistema, representado pela linha
pontilhada na Figura 1. Foram realizadas medidas utilizando k no intervalo
de 5 a 20, para os casos com e sem bilhar. Para os cálculos, foram
considerados como unitários a constante de Planck e a massa do elétron.
Resultados e Discussão
O gráfico da Figura 2 mostra os valores calculados da corrente de
probabilidade para diferentes valores de k, para o sistema com e sem bilhar,
conforme mostrado na Figura 1. Observa-se que a corrente i é maior sem o
obstáculo e tem uma dependência linear com k. Na presença do bilhar como
obstáculo, a corrente diminui e apresenta flutuações típicas de um fenômeno
de interferência, coerente com as propriedades ondulatórias da matéria.
Figura 2 – Gráfico da corrente de probabilidade i pelo número de onda k da
função de onda espalhada no sistema, com a presença do bilhar triangular
(linha vermelha) e sem o bilhar triangular (linha azul). Os gráficos inseridos
são ampliações de duas regiões da curva, mostrando dois picos referentes
aos k’s ressonantes do bilhar triangular.
Os resultados mostram que a corrente de probabilidade do sistema
com o bilhar apresenta picos bem localizados nos valores de k dos estados
ressonantes do bilhar [5]. Os gráficos inseridos na Figura 2 mostram uma
ampliação da curva, indicando os pontos onde ocorrem os dois primeiros
picos para valores k=7,267 e k=11,10. Os valores exatos dos estados
ligados (ressonantes) do bilhar triangular equilátero são dados pela equação:
Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO
11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358
,
(3)
onde m e n são números inteiros [5]. Os dois primeiros estados ligados são
k2,1=7,255 e k3,1=11,08, bem próximos dos picos observados no gráfico. É
importante destacar que a corrente de probabilidade é observada no final no
sistema e foi obtida pela função de onda espalhada pelo bilhar. Estes
resultados indicam que a onda espalhada mantém informações da estrutura
interna do bilhar e esta informação também se mostra na corrente de
probabilidade.
Conclusões
Neste trabalho foi estudado o espalhamento quântico em um sistema
bidimensional contendo um bilhar triangular equilátero. A função de onda foi
determinada pelo método de contorno de paredes e, através dela, foi
calculada a corrente de probabilidade no final do sistema em função do
número de onda k da onda espalhada. Foi observado que a corrente de
probabilidade apresenta picos bem localizados nos valores de k
correspondentes aos estados ressonantes do bilhar. Este resultado indica
que a corrente de probabilidade carrega informações da estrutura interna do
bilhar. Considerando que o fluxo de probabilidade está associado a um fluxo
de partículas, este resultado pode fornecer pistas para a compreensão do
processo de transferência de energia em sistemas com nanoestruturas.
Agradecimentos
O primeiro autor agradece a CAPES pela bolsa do programa PIBID e o
segundo autor o MEC/SESu pela bolsa do programa PET.
Referências
1. Luz, M.G.E.; Lupu-Sax, A.S.; Heller, E.J. Quantum scattering from
arbitrary boundaries, Physical Review, 1997, 56, 2496.
2. Kaviany, M. Heat Transfer Physics, 1st Edition, New York: Cambridge
University Press, 2008.
3. Eisberg, R.M.; Resnick, R. Física Quântica: Átomos, Moléculas,
Sólidos, Núcleos e Partículas , 9ª Edição, Editora Campus, 1994; 1-95.
4. Zanetti, F.M., Vicentini, E., da Luz, M.G.E. Eigenstates and Scatering
Solutions for a Billiards Problems: A Boundary Wall Approach. Annals of
Physics, 2008, 232, 1644.
5. Miltenburg, A.G.; Ruijgrok. Quantum Aspects of Triangular Billiards,
Physica A, 1994, 210, 476.
Anais da XVII Semana de Iniciação Científica da UNICENTRO
11 a 13 de setembro de 2012 - ISSN – 2238-7358