PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Diogo Henrique Bispo Dias
Lógicas Paraconsistentes de um Ponto de Vista Filosófico
MESTRADO EM FILOSOFIA
SÃO PAULO
2013
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
Diogo Henrique Bispo Dias
Lógicas Paraconsistentes de um Ponto de Vista Filosófico
MESTRADO EM FILOSOFIA
Dissertação
apresentada
à
Banca
Examinadora como exigência parcial
para obtenção do título de Mestre em
Filosofia pela Pontifícia Universidade
Católica
orientação
de
São
do
Prof.
Gonçalves de Souza.
SÃO PAULO
2013
Paulo,
Dr.
sob
a
Edelcio
Banca Examinadora
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
Ao vô João e vô Zezinho,
por terem me ensinado mais
do que a minha tenra idade
permitia aprender;
À vó Vanay e vó Lusia,
por continuarem me ensinando
muito mais do que minha idade
jamais permitirá entender.
Agradecimentos
Gostaria de agradecer à minha famı́lia, pelo apoio e incentivo durante
minha vida acadêmica.
À CAPES, por permitir que, nos últimos anos, minhas principais preocupações fossem restritas ao campo da Lógica.
Ao Prof. Dr. Edelcio Gonçalves de Souza, pela orientação cuidadosa
e sempre presente, pela amizade, e por me ajudar a entender como uma
demonstração formal pode ser elegante.
Ao Prof. Dr. Lafayette de Moraes e Prof. Dr. Alexandre Costa-Leite,
que participaram da minha banca de qualificação, pela leitura minuciosa do
texto preliminar deste trabalho, e pelas valiosas crı́ticas e sugestões.
Ao Lucas Alessandro Duarte Amaral, Arthur Heller Brito e à Renata
Karla Magalhães, por lerem versões iniciais deste trabalho, pelas crı́ticas,
sugestões e, principalmente, discussões sobre o tema.
Aos demais amigos e amigas que, sempre que necessário, me lembravam
que há vida para além da lógica.
À Ellen Cristine Borges, pela revisão de inumeráveis versões desta dissertação, pela paciência infinita em me ouvir falar de paradoxos, contradições
e inconsistências e, acima disso, pela companhia.
Ladies and jellyspoons, hobos and tramps,
cross-eyed mosquitos and bow-legged ants,
I stand before you and sit behind you
to tell you something I know nothing about.
Next Thursday, which is Good Friday,
there’s a Mother’s Day meeting for fathers only;
wear your best clothes if you haven’t any.
Please come if you can’t; if you can, stay at home.
Admission is free, pay at the door;
pull up a chair and sit on the floor.
It makes no difference where you sit,
the man in the gallery’s sure to spit.
The show is over, but before you go,
let me tell you a story I don’t really know.
One bright day in the middle of the night,
two dead boys got up to fight.
The blind man went to see fair play;
the mute man went to shout ”hooray!”
Back to back they faced each other,
drew their swords and shot each other.
A deaf policeman heard the noise,
and came and killed the two dead boys.
A paralysed donkey passing by
kicked the blind man in the eye;
knocked him through a nine-inch wall,
into a dry ditch and drowned them all.
If you don’t believe this lie is true,
ask the blind man; he saw it too,
through a knothole in a wooden brick wall.
And the man with no legs walked away.
- Poema infantil americano
Resumo
Este trabalho abordará os aspectos filosóficos das lógicas paraconsistentes. Analisaremos a história dos princı́pios lógicos fundamentais para esta
lógica, a saber: a lei de não-contradição e o princı́pio de explosão, bem como
a história do surgimento da paraconsistência. Ademais, discutiremos uma
interpretação da paraconsistência que defende a existência de contradições
verdadeiras, denominada dialeteismo, e as possı́veis crı́ticas ao dialeteismo e,
de forma geral, às lógicas paraconsistentes.
O caráter filosófico do trabalho não significa que o texto estará isento de
teoremas, fórmulas, demonstrações e outras questões formais. Porém, este
aspecto formal não será tratado como um fim em si mesmo. O formalismo
será utilizado para apresentar dois sistemas proposicionais paraconsistentes
- lógica paraclássica e lógica paraclássica com inclusão - e compará-los com
a lógica proposicional clássica. O arcabouço teórico construı́do para tal fim
é filosoficamente relevante para discutir questões centrais à lógica, como a
existência de leis lógicas, seu caráter a priori e, até mesmo, a própria definição
de lógica.
Por fim, será apresentado um método para encontrar, a partir de uma
lógica dada, sua versão paraconsistente. Face à multiplicidade de sistemas
lógicos paraconsistentes, este estudo é importante, pois permite explorar as
possı́veis caracterı́sticas gerais das lógicas paraconsistentes, suas especificidades e, principalmente, métodos abstratos para gerar lógicas paraconsistentes.
Palavras-chave: Lógica paraconsistente, dialeteismo, lógica paraclássica,
lei de não-contradição, explosão, paraconsistentização.
Abstract
This master´s thesis comprehends the philosophical aspects of paraconsistent logic. It will analyze the history of the fundamental logical principles
to this particular logic, namely: the law of non-contradiction and the principle of explosion, as well as the history of paraconsistency. Moreover, an
interpretation of paraconsistency that defends the existence of true contradiction, known as dialetheism, will be discussed, as well as the criticism to
this position, and, in general, to paraconsistent logics.
The philosophical character of this thesis does not mean that the text
will be exempt from theorems, formulas, demonstrations and other formal
questions. But this formal aspect will not be treated as a end in itself. The
formalism will be used to present two proposicional paraconsistent systems,
namely: paraclassical logic and paraclassical logic with inclusion, and to compare them with classical logic. The theoretical framework built for such aim
is philosophically relevant, for the discussion on central points in logic, such
as the existence of logical laws, its a priori character, and even the very
definition of logic.
Finally, a method will be proposed in order to find, from a given logic,
its paraconsistent version. Due to the multiplicity of paraconsistent systems,
this study is important in order to explore the general features of paraconsistent logics, their specificities and, mainly, abstract methods for generation
of paraconsisent logic.
Key-words: Paraconsistent logics, dialetheism, paraclassical logic, Law
of non-contradiction, explosion, paraconsistentization.
Sumário
Introdução
3
1 Breve Histórico Conceitual
7
1.1
1.2
Princı́pio de Explosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
Explosão na Lógica Antiga . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Explosão na Idade Média . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3
Explosão na Lógica Moderna
. . . . . . . . . . . . . . 16
Lei de não-contradição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Aspectos Filosóficos
2.1
24
Independência formal entre a lei de não-contradição e o princı́pio
de explosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2
2.1.1
Linguagem Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2
Lógica de Paradoxos (LP ) . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3
Lógica de Lacunas (gaps) (LG) . . . . . . . . . . . . . 28
Paraconsistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1
Dialeteismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2
Paradoxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3
Crı́ticas ao Dialeteismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
SUMÁRIO
2.2.4
2.3
2
Crı́ticas à Paraconsistência . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Consequências Filosóficas das Lógicas Paraconsistentes . . . . 43
3 Lógica Proposicional Paraclássica
3.1
Modelo e Valorações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1
3.2
3.3
3.4
52
Propriedades de (X, |=K ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lógica Proposicional Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1
Propriedades de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2
Inconsistência e Trivialidade em C . . . . . . . . . . . 59
Lógica Proposicional Paraclássica . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1
Propriedades da Lógica Paraclássica . . . . . . . . . . . 61
3.3.2
Inconsistência e Trivialidade em P
. . . . . . . . . . . 64
Lógica Paraclássica com Inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.1
Propriedades de P ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.2
Inconsistência e Trivialidade em P ∗ . . . . . . . . . . . 67
4 Paraconsistência e Categoria
70
4.1
Categoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2
Lógica via Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Considerações Finais
79
Referências Bibliográficas
82
Introdução
Let contradictions prevail!
Let one thing contradict another!
and let one line of my poem contradict another!
- Walt Whitman, Leaves of Grass
Este trabalho tem um objetivo duplo. Em primeiro lugar, pretende-se
apresentar as lógicas paraconsistentes de um ponto de vista filosófico, isto
é, analisando as possı́veis contribuições do surgimento desses sistemas formais para a filosofia e, em particular, para a epistemologia. Além disso,
serão apresentados dois sistemas proposicionais paraconsistentes especı́ficos,
estabelecendo suas propriedades particulares e comparando-as com a lógica
clássica.
Por se tratar de lógicas não-clássicas precisamos, em primeira instância,
caracterizar precisamente o que se entenderá, neste trabalho, por lógica. Sua
definição formal será apresentada no segundo capı́tulo. Em linhas gerais,
qualquer sistema que contenha um conjunto (de fórmulas) e uma relação de
consequência será considerado uma lógica.
Para compreender o que são lógicas paraconsistentes, retomemos a definição clássica de validade. Um argumento é válido se e somente se não existe
situação em que suas premissas sejam verdadeiras, e sua conclusão falsa. Na
lógica clássica, essa definição tem uma consequência particular. Tomemos o
seguinte exemplo, chamado de argumento independente de Lewis:
3
INTRODUÇÃO
4
Hoje chove.
Hoje não chove.
Hoje chove ou há vida em Marte.
Portanto, há vida em Marte.
Este argumento usa dois princı́pios aceitos pela lógica clássica: Adição
(α |= α ∨ β) e Silogismo Disjuntivo (¬α, α ∨ β |= β). Ainda que as premissas
não tenham a menor relevância para a conclusão - isto é, tratam de assuntos
completamente diferentes - como não existe situação em que as premissas
sejam verdadeiras e a conclusão falsa, este é um argumento válido, ainda que
contraintuitivo. Dito de outra forma, na lógica clássica, a partir de premissas contraditórias, pode-se deduzir qualquer conclusão, isto é, o sistema se
torna trivial. Esta propriedade era chamada, pelos latinos, de ex contradictione quodlibet, que significa “de uma contradição, tudo se segue”. Na lógica
contemporânea, esta é chamada de explosão, e uma lógica que contenha tal
propriedade é considerada explosiva.
O objetivo das lógicas paraconsistentes, portanto, é constituir-se como
um sistema formal subjacente a teorias que contenham informações contraditórias sem, no entanto, permitir que qualquer informação seja deduzida.
Neste sentido, há diversas formas de caracterizar uma lógica paraconsistente. Podemos defini-la como um sistema inconsistente (ou contraditório),
mas não-trivial1 ; ou como uma lógica que contenha um operador unário não
explosivo2 .
O ponto central é que, numa lógica paraconsistente, o princı́pio de explosão deve ser refutado. Isso garante que, a partir de premissas contraditórias, seja possı́vel fazer inferências, sem deduzir qualquer conclusão. Sendo assim, neste trabalho, aceitaremos a simples definição de lógicas paraconsistentes como lógicas não-explosivas, ou seja, quando temos (α, ¬α 2 β).
1
2
Cf. [19], [39].
Cf. [10]. Neste mesmo artigo, são discutidas outras possı́veis formulações para as
lógicas paraconsistentes.
INTRODUÇÃO
5
Não obstante, esta definição não é de todo isenta de problemas. Tome,
por exemplo, a lógica minimal3 . Ainda que esta seja paraconsistente, a inferência (α, ¬α |= ¬β) é válida. Isto significa que, de premissas contraditórias, pode-se concluir a negação de qualquer sentença, o que parece ir
contra a motivação paraconsistente. Outras formulações de paraconsistência
foram oferecidas. Mas, como todas apresentam algum tipo de problema,
manteremos a definição anunciada, pela sua simplicidade e elegância.
Notem que, ao definir paraconsistência, a expressão lógicas paraconsistentes está sendo usada no plural. Isto significa que há mais de um sistema
lógico que refute o princı́pio de explosão4 .
Do ponto de vista formal, é simples construir uma lógica paraconsistente.
Basta, por exemplo, tomar a lógica clássica sem, no entanto, assumir que
verdade e falsidade são exclusivas, isto é, sem rejeitar a possibilidade de
uma mesma sentença ser verdadeira e falsa. Para tanto, basta entender uma
valoração não como uma função de uma sentença em um valor de verdade
- Verdadeiro e Falso - mas como uma relação entre sentenças e os valores.
Mantendo a definição clássica de validade, este sistema paraconsistente refuta
o argumento de Lewis, mas mantém a lei de não-contradição como verdade
lógica. Este sistema chama-se LP , lógica de paradoxo, e foi formulado por
Graham Priest5 .
Voltemos à definição de lógica paraconsistente. Pode parecer que, à primeira vista, rejeitar a explosão implicaria rejeitar a lei de não-contradição,
que afirma que, de duas sentenças contraditórias, uma deve ser falsa6 . A
despeito das possı́veis formulações diferentes - e não exatamente equivalentes
- esta lei e a ideia de explosão são formal e historicamente independentes.
Para discutir tais assuntos, este trabalho será dividido em quatro capı́tulos.
O primeiro apresentará o desenvolvimento histórico da lei de não-contradição
3
Trata-se da lógica intuicionista, sem a explosão.
De fato, podem existir infinitas lógicas paraconsistentes.
5
Cf. [52].
6
Formalmente, (¬(α ∧ ¬α)).
4
INTRODUÇÃO
6
e princı́pio de explosão, evidenciando os diferentes momentos nos quais tais
princı́pios se tornaram aceitos de forma hegemônica.
O segundo capı́tulo constitui o cerne da dissertação. Primeiro, serão definidas duas lógicas diferentes, com o intuito de demonstrar a independência
formal entre a lei de não-contradição e o princı́pio de explosão. Em seguida,
será exposto brevemente a origem da ideia de paraconsistência, bem como sua
motivaçao. Outrossim, será apresentada uma posição metafı́sica defendida a
partir da lógica paraconsistente, que afirma a existência de contradições verdadeiras, chamada de dialeteismo. Analisaremos, então, algumas crı́ticas às
lógicas paraconsistentes - e, em particular, ao dialeteismo - e, principalmente,
a importância filosófica destas.
O terceiro e quarto capı́tulo terão um caráter mais formal. Começaremos
com uma conceituação abstrata de Lógica - explorando algumas propriedades derivadas deste conceito -, que será subjacente à construção das lógicas
proposicionais clássica e paraclássica. A partir destes dois sistemas, analisaremos quais propriedades são invariantes, e quais dependem das definições
lógicas utilizadas.
O último capı́tulo consiste em uma tentativa inicial de abordar o problema da paraconsistentização de lógicas 7 a partir da teoria de categorias.
Será discutida a possibilidade de, a partir de uma dada lógica, construir sua
contraparte paraconsistente. O capı́tulo encerra com comentários acerca da
importância de tal procedimento, bem como as possı́veis ramificações desta
abordagem.
7
De forma geral, trata-se do estudo dos métodos de construção de uma lógica paracon-
sistente, a partir de uma dada lógica.
Capı́tulo 1
Breve Histórico Conceitual
O inı́cio da sabedoria está em chamar as coisas
pelos seus nomes corretos.
- Provérbio chinês
Comecemos nossa análise pelos dois conceitos centrais à discussão sobre
paraconsistência, a saber: a lei de não-contradição e o princı́pio - ou lei - de
explosão. Como vimos, estes dois conceitos são frequentemente confundidos.
O desenvolvimento das lógicas paraconsistentes permitiu um entendimento
mais profundo dessas ideias, analisando as possı́veis relações e distinções
entre as mesmas, tanto do ponto de vista formal, histórico quanto filosófico.
Primeiro, vejamos como as duas ideias são historicamente independentes.
É fundamental ressaltar que a discussão se limitará à relação lógica entre
tais conceitos. Isso significa que não discutiremos os possı́veis aspectos metafı́sicos ou psicológicos dessa distinção. Em particular, não discutiremos as
ideias de alguns pré-socráticos (como Heráclito e Parmênides), bem como as
de Hegel, sobre contradição, visto que estas extrapolam o campo puramente
lógico do presente trabalho.
7
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
1.1
8
Princı́pio de Explosão
1.1.1
Explosão na Lógica Antiga
A primeira formalização conhecida da lógica é a silogı́stica aristotélica.
Ainda que Aristóteles não discuta expressamente o princı́pio de explosão, a
silogı́stica é paraconsistente. Para ver isto, tome a seguinte inferência:
Nenhum planeta é objeto vermelho
Algum planeta é objeto vermelho.
Todo objeto vermelho é objeto vermelho.
∴
Mesmo com premissas contraditórias, o silogismo não é válido, visto
que ele refuta uma de suas regras, a saber: se uma premissa é negativa,
a conclusão deve ser negativa. Portanto, de premissas contraditórias, não é
possı́vel deduzir tudo1 .
Aristóteles não formalizou uma lógica proposicional. Há poucos e esparsos
comentários sobre inferência proposicional em sua obra. Não obstante, é
possı́vel afirmar que tampouco esta lógica seria explosiva. Nos Primeiros
Analı́ticos, o Estagirita afirma que uma mesma conclusão não pode seguir de
uma proposição e de sua negação2 .
A primeira lógica proposicional foi desenvolvida pelos estoicos. Estes
estabelecem cinco formas indemonstráveis de argumentos válidos, a saber:
(i) Se p, então q; p; portanto q (modus ponens);
(ii) Se p, então q; não q; portanto, não-p (modus tollens);
(iii) Não é o caso que (p e q); p; portanto não-q;
1
O fato de que, neste exemplo, dois termos são iguais, não significa que não se trata
de um silogismo. O próprio Aristóteles utiliza esse recurso. Cf. [3], vol. 1, 63b23-64a16.
Ademais, poderı́amos ainda considerar o caso em que os termos são diferentes, mas com
extensões equivalentes como, por exemplo, ‘homem’ e ‘animal racional’.
2
[3], vol. 1, 57b3.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
9
(iv) Ou p ou q; p; portanto não-q;
(v) Ou p ou q; não-p; portanto q;
Entre a documentação disponı́vel, não há nenhuma menção à explosão.
Mas podemos conjecturar se esta seria uma propriedade aceita desse sistema
lógico. Sabemos que os estoicos aceitavam claramente o Silogismo Disjuntivo
(¬α, α ∨ β |= β). Como vimos, esta regra é utilizada no Argumento de Lewis
para demonstrar a explosão. Sendo assim, era de se esperar que, mesmo sem
nenhum comentário especı́fico sobre esse assunto, este argumento fosse válido
na lógica estoica. Mas não é.
Além do silogismo disjuntivo, o argumento de Lewis usa a adição (α |= α∨
β). Essa regra não é aceita pelos estoicos em consequência da interpretação
do conectivo “ou”em sua lógica. Segundo Lukasiewicz, “é evidente a partir
do quarto silogismo que a disjunção é concebida como um conectivo ‘ou...ou’
exclusivo”3 . Ou seja, para os estoicos, uma disjunção é verdadeira quando
apenas um de seus disjuntos for verdadeiro. Desta forma, a adição é inválida
e, por consequência, o argumento de Lewis também o é.
Mas isso seria suficiente para afirmar que a lógica estoica também é
paraconsistente? A explosão pode ser estabelecida por outros meios. Por
exemplo, se aceitarmos a definição moderna de implicação como implicação
material, de premissas contraditórias podemos inferir qualquer coisa. Formalmente:
Há vida em Marte.
Se a Lua não é feita de queijo, então há vida em Marte.
Não há vida em Marte.
Então, a Lua é feita de queijo.
No entanto, não podemos afirmar que a implicação estoica seguia esta
definição. Segundo Sexto Empı́rico, há, entre os estoicos, um debate acerca
da natureza dos condicionais, com quatro tratamentos diferentes possı́veis:
3
[43], p. 74. Citado por [40], p. 498. Esta, e as demais citações do inglês, são de
tradução própria.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
10
[1] Filo diz que uma frase declarativa condicional perfeita é uma que não
começa com uma verdade e acaba com uma falsidade, p. ex., quando é dia
e eu estou a conversar, a frase ‘Se é dia estou a conversar’. [2] Mas Diodoro
diz que é uma que nem podia nem pode começar com uma verdade e acabar
com uma falsidade. Para ele a frase declarativa condicional citada parece
ser falsa, uma vez que quando for dia e eu estiver calado começará com uma
verdade e acabará com uma falsidade. Mas a frase seguinte parece ser verdadeira: ‘Se os elementos atômicos das coisas não existem, então os elementos
atômicos das coisas existem’. Diodoro defende que começará sempre com
o falso antecedente ‘Os elementos atômicos das coisas não existem’ e acabará com o consequente verdadeiro ‘Os elementos das coisas existem’. [3] E
aqueles que introduzem a noção de conexão dizem que uma frase declarativa
condicional é perfeita quando a contraditória de seu consequente é incompatı́vel com o seu antecedente. De acordo com estes as frases declarativas
condicionais acima mencionadas não são perfeitas mas a seguinte é verdadeira ‘Se é dia, é dia’. [4] E aqueles que julgam pela implicação dizem que
uma frase declarativa condicional verdadeira é aquela cujo consequente está
contido potencialmente no seu antecedente. Para estes a frase ‘Se é dia, é
dia’ e todas as frases condicionais que forem repetitivas serão, ao que parece,
falsas; porque é impossı́vel para uma coisa estar contida em si própria4 .
Visto que não há um conceito bem estabelecido de implicação na lógica
estoica, não podemos utilizar o argumento anterior para chegar à explosão.
Sendo assim, ao que parece, a lógica estoica também é paraconsistente.
1.1.2
Explosão na Idade Média
A invenção (ou descoberta) do argumento de Lewis é incerta. Alguns a
atribuem ao lógico francês William de Soissons, no século XII5 ; outros argumentam que as primeiras discussões sobre o tema aparecem nas obras de
Garlando Compotista e Pedro Abelardo6 . O que sabemos, a partir dos documentos disponı́veis, é que a propriedade da explosão - à época chamada de ex
4
[41], p.128-9. A numeração é de Kneale e Kneale.
Cf. [54], p. 294.
6
Cf. [34]. Segundo este autor, Abelardo também seria o primeiro entre os medievais a
5
recusar a validade deste argumento.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
11
contradictione quolibet, ou ex impossibili sequitur quodlibet, foi amplamente
discutida durante o século XIV. Vejamos por que.
A lógica medieval é responsável pela primeira tentativa de sistematizar
teorias de consequências, isto é, determinar em que consiste um argumento
válido. Com este propósito, há uma ampla discussão a respeito da validade
de regras de inferências fundamentais; do comportamento dos conectivos
lógicos e, principalmente, da própria noção de consequência lógica. Por algum
motivo desconhecido (já que o assunto ainda é motivo de disputa entre os
especialistas), no século XIV, começaram a surgir vários tratados sobre este
último tema especı́fico.
Uma hipótese possı́vel é a de que se trata de uma tradição que remonta ao
quinto livro do Organon, de Aristóteles, intitulado “Tópicos”, que aborda os
padrões de raciocı́nio válidos que não são reduzidos ao silogismo. No entanto,
não há nenhum indı́cio na literatura do século XIII, sobre os “Tópicos”, da
discussão acerca de consequência que surgiria no século seguinte. Por outro
lado, a discussão a respeito dos conectivos lógicos “e”, “ou”, “se...então”,
indica uma possı́vel influência dos estoicos - considerados os primeiros a discutir o que hoje chamamos de lógica proposicional. No entanto, ainda que
elementos comuns possam ser encontrados nos textos medievais, não há referência direta alguma aos estoicos. Portanto, tal influência ainda precisa ser
estabelecida - ou refutada.
O princı́pio de explosão não é uma propriedade hegemônica na Idade
Média essencialmente por três motivos7 . Em primeiro lugar, há uma confusão
acerca da noção de consequência lógica, uma vez que o conceito consequentia é usado tanto para consequência lógica, quanto para condicionais8 . Em
segundo lugar, não há um consenso a respeito da definição de consequência
lógica. Ora, se não há tal consenso, segue-se que as propriedades decorrentes da noção escolhida também variam. E, por fim, os lógicos medievais
7
8
Quatro, se contarmos a escassez de documentação deste perı́odo.
Esta tese não é aceita por todos os estudiosos. Segundo [51], a distinção entre con-
sequência lógica e condicional estava clara para a maior parte dos medievais.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
12
distinguem tipos diferentes de consequência lógica, fazendo uso dos mesmos
conceitos, mas com significados diferentes.
A lógica contemporânea distingue diversas relações possı́veis entre proposições. A relação de derivar uma proposição de outras proposições dadas é
chamada de inferência; a relação entre o antecedente e o consequente em um
proposição do tipo “se...então”é chamada de implicação 9 ; há outra relação
que determina que uma proposição não pode ser verdadeira, e outra falsa, e
é chamada de implicação lógica (entailment). Claramente, são três relações
distintas. No entanto, durante a Idade Média, as três eram chamadas de
consequentiae.
Assim, alguns lógicos medievais apresentam dificuldades em classificar
uma consequentia como vera (verdadeira), ou como valet (válida). Da mesma
forma, ora dividem uma consequentia em antecedente e consequente, ora em
premissas e conclusão. Ademais, havia, neste perı́odo, uma ampla discussão
sobre os tipos - ou subtipos - de consequentiae, a saber10 :
(i)Simplices vs. ut nunc;
Uma consequentia simplex é necessária e atemporal, isto é, “o antecedente
não pode, em qualquer tempo, ser verdadeiro sem que o consequente o seja”11 ,
ao passo que uma consequentia ut nunc vale em um momento especı́fico ou
de acordo com hipóteses especı́ficas. Por exemplo, a consequência ‘Sócrates
é um homem e, portanto Sócrates é um homem ou Sócrates é um asno’ é
simplex, de acordo com Pseudo-Scotus, que defendia que de uma proposição,
segue uma proposição disjuntiva, tal que a primeira inicial é um dos disjuntos
da segunda. Já a proposição ‘Sócrates está correndo, portanto um homem
está correndo’ não apresenta uma relação de necessidade lógica entre suas
partes, mas depende de outra proposição contingente, a saber: ‘Sócrates é
9
Note que há varios tipos de implicação, tais como implicação relevante, intuicionista,
linear, contrafactual etc. Para uma introdução ao tema, Cf. [64].
10
Estas divisões não são necessariamente subdivisões de consequências. A hierarquia ou a falta dela - varia de acordo com o autor.
11
[41], p. 289.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
13
um homem’; sendo assim, esta é uma consequentia ut nunc.
Esta definição tem formulações similares nos diferentes autores deste
perı́odo. A diferença entre eles está na posição hierárquica deste tipo de
consequência. Para Buridan e Pseudo-Scotus, esta distinção só se aplica a
consequências materiais. Outros autores, como Peter de Mantua, aceitam
este tipo de consequência como primário, e estabelecem consequências formais e materiais como subdivisões de consequentia simplex.
ii) Formal vs. Material12 ;
Esta distinção aparece, pela primeira vez, em Ockham13 . Segundo tal autor, uma consequência é formal quando há a necessidade de um intermédio
adicional validando a consequência. Caso não haja esse intermédio, e a
consequência vale apenas por causa de seus termos, trata-se de uma consequência material. Assim, a consequência ‘Sócrates não corre, portanto um
homem não está correndo’ é formal, pois depende da informação adicional
de ‘Sócrates é um homem’.
A passagem de Ockham que define uma consequência material é considerada espúria por muitos estudiosos14 . Sendo assim, contamos apenas com
dois exemplos de consequência material dados pelo autor: ‘Um homem está
correndo, portanto Deus existe’ (ou seja, uma proposição necessária segue
de tudo); e ‘O homem é um asno, portanto Deus não existe’ (ou seja, do
impossı́vel, tudo se segue ou, ainda, ex impossibili sequitur quodlibet)15 .
Como, na lógica medieval, a conjunção de duas sentenças contraditórias
é o caso paradigmático de impossibilidade, este segundo exemplo é bem
próximo do que chamamos, hoje, de princı́pio de explosão.
12
Além disso, há outra distinção, ora implı́cita, ora explı́cita, que é a distinção bona de
forma vs. Bona de materia. Em alguns autores, esta distinção coincide com a formal vs.
material, mas isto tampouco é um consenso.
13
[51], p. 474.
14
Cf. [41], p. 290, para uma possı́vel correção de um erro das primeiras versões do texto
de Ockham.
15
Obviamente, Ockham pressupõe que a existência de Deus é uma verdade necessária.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
14
Em Buridan, por sua vez, a definição de consequência formal e material segue a tradição Aristotélica da noção de forma e matéria. Assim, uma
consequência formal vale em virtude de sua forma (seus termos sincategoremáticos), ao passo que uma consequência material depende do significado
de seus elementos (seus termos categoremáticos). Assim, a consequência
formal segue o princı́pio de substituição, isto é, a consequência vale para
qualquer substituição uniforme de seus termos16 .
Pseudo-Scotus apresenta a distinção mais clara - neste perı́odo - entre
consequência formal e material, a saber:
Uma consequência formal é aquela que vale para todos os termos, desde
que o arranjo e forma dos termos permaneçam iguais em todos os aspectos.
(...) Uma consequência material é aquela que não vale para todos os termos,
desde que o arranjo e forma sejam mantidos similares em todos os respeitos,
de forma que não haja mudança senão nos termos17 .
Ao analisar as consequências dessa definição, Pseudo-Scotus apresenta
uma prova de que, em uma consequência formal, tudo se segue de proposições
contraditórias:
A partir da proposição ‘Sócrates existe e Sócrates não existe’, que implica
uma contradição formal, segue-se ‘Um homem é um asno’ ou ‘Há um bastão
na esquina’, ou qualquer outra coisa. Prova: ‘Sócrates existe e Sócrates
não existe; portanto, Sócrates não existe’ é um argumento válido, já que
há uma consequência formal entre uma proposição conjuntiva e qualquer
uma de suas partes. Deixemos essa consequência em reserva. Seguindo, temos que ‘Sócrates existe e Sócrates não existe; portanto, Sócrates existe’ é
válido pela mesma regra. E de ‘Sócrates existe’ segue que ‘Portanto Sócrates
existe ou um homem é um asno’, já que qualquer proposição implica formalmente na combinação dela mesma com qualquer outra proposição em uma
16
Para aqueles que aceitam o critério de substituição, a distinção entre bona de forma
e bona de materia é equivalente à distinção formal e material. Outros, como Ockham e
Paul de Venice, definem consequentia bona de forma como aquela que vale de acordo com
seus termos sincategoremáticos.
17
[41], p. 761.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
15
única proposição disjuntiva. Então, a partir do consequente, argumentamos
que ‘Sócrates existe ou um homem é um asno, mas Sócrates não existe (de
acordo com a consequência reservada anteriormente); portanto, um homem
é um asno’. Um argumento deste tipo pode ser feito com qualquer outra
proposição, já que todas as consequências são formais18 .
Ainda que esta formulação seja bem próxima da atual, esta definição de
consequência formal não era hegemônica no século XIV. Os três autores anteriormente citados defendem a ideia de que do impossı́vel, tudo se segue.
No entanto, em Ockham, esta é uma propriedade da consequência material, ao passo que, para Buridan e Pseudo-Scotus, isto segue da definição de
consequência formal19 .
Passemos ao estabelecimento da validade de uma consequência. A maioria dos autores do século XIV aceita a definição clássica de consequência
(o antecedente não pode ser verdadeiro e o consequente falso20 ) como uma
condição necessária para a validade da consequência. No entanto, nem todos
aceitavam isto como condição suficiente.
Havia outra formulação presente nos tratados de Albert de Saxony e Marsilius de Inghen, que pode ser chamada de critério de inclusão (containment
notion):
uma consequência é formal se e somente se o consequente está contido no
antecedente, de tal forma que quem quer que entenda o antecedente necessariamente entende o consequente21 .
Temos, portanto, além da noção substitucional de consequência formal,
uma noção epistêmica de consequência formal22 .
18
19
[41], p. 762.
Há, ainda, outra distinção, a saber: natural vs. acidental, que não será discutida, já
que, ainda que seja importante nas primeiras discussões medievais sobre consequência, no
século XIV, ela aparece apenas em Burley.
20
Cf. [41], p. 472, para formulações equivalentes.
21
[51], p. 476.
22
Para Abelardo, o critério epistêmico era condição necessária para todas as consequências válidas. No século XIII, Kilwardby defende a mesma posição.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
16
Pseudo-Scotus, além de analisar as definições anteriores, apresenta outra
formulação para consequência, a saber:
uma consequência é válida se e somente se é impossı́vel que o antecedente
seja verdadeiro e o consequente, falso, quando ambos são formulados conjuntamente23 .
O resultado de diferentes noções de consequência é claro: há diferentes
regras válidas de inferência, de acordo com a noção de consequência estabelecida. O princı́pio de explosão resulta naturalmente da definição modal de
consequência como uma condição suficiente para sua validade. Isto é, dado
que β é consequência de α se e somente se é impossı́vel para α ser verdadeira, e β falsa, segue-se que, sempre que α for impossı́vel de ser verdadeira,
a consequência é válida independente de β.
No entanto, outros lógicos refutam a definição modal como um critério
suficiente para uma consequência válida. Drukken de Dácia e Richard Ferrybridge, bem como os filósofos da Cologne School, do final do século XV,
exigem uma relação de relevância entre o antecedente e o consequente. Isto
é, o critério de inclusão (containment) deve ser necessário e suficiente para
todas as consequências válidas. Ademais, estes últimos rejeitavam expressamente o silogismo disjuntivo e a adição - justamente as regras que permitem
inferir qualquer conclusão a partir de premissas contraditórias.
Em suma, o princı́pio de explosão - aqui tratado como a ideia de que
do impossı́vel tudo se segue - não era aceito de forma hegemônica durante
este perı́odo. Esta propriedade só torna parte essencial da lógica após o
estabelecimento, a partir do século XIX, do que se chama, hoje, de lógica
clássica.
1.1.3
Explosão na Lógica Moderna
A explosão só se tornou uma propriedade aceita de forma praticamente
23
[41], p. 287.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
17
hegemônica no final do século XIX, com o desenvolvimento formal da lógica
moderna, levada a cabo, principalmente, por Boole, Frege e Russell. Segundo
Priest24 , há dois motivos essenciais para esta mudança.
Em primeiro lugar, temos a junção de duas ideias fundamentais para o
lógica clássica, a saber, o conceito de negação e o de validade lógica. Boole
formulou o tratamento clássico da negação, hoje chamada de negação booleana. Porém, esta negação não é a mesma da lógica proposicional moderna.
A negação booleana comporta-se como um operador de complementação de
conjuntos.
O operador booleano de complementação não tem o efeito de reverter o valor
de verdade de uma proposição, qualquer que ela seja, à qual o operador é
aplicado (...). Em vez disso, o operador booleano para complementação
N OT aplica-se apenas aos sı́mbolos de predicado, distinguindo uma classe
complementar de propriedades25 .
Tomemos a seguinte proposição como exemplo: “Algumas pessoas são
felizes”. Aplicando o operador de negação como complementação de classe,
temos “Algumas pessoas não são felizes”. Isso significa que a negação determina a classe de objetos que não tem determinada propriedade, isto é,
que pertencem à classe complemento desta propriedade. No entanto, este
tratamento da negação não é, necessariamente, funcional-veritativo. Se aceitarmos a proposição “algumas pessoas são felizes”como falsa, isso significa
que “algumas pessoas não são felizes”é verdadeira. No entanto, se considerarmos a mesma proposição como verdadeira, nada sabemos sobre o valor de
verdade de “algumas pessoas não são felizes”.
Neste perı́odo estabelece-se também a noção clássica de validade, que determina que um argumento é valido se e somente se não existir situação em
que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão, falsa. Nenhuma dessas
ideias - negação booleana e validade clássica - é, per se, explosiva. Porém,
24
25
[53], p. 135.
[38], p. 335.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
18
se tomadas conjuntamente, elas levam à explosão. Como consequência da
negação booleana, temos que α, ou ¬α vale em cada situação. Dada a definição clássica de validade, segue-se que não há situação em que α e ¬α são
verdadeiras, e β é falsa. Portanto, essa lógica é explosiva.
O segundo fator foi estabelecido, essencialmente, por Frege e Russell,
que foram responsáveis pela redução da análise dos conectivos lógicos a uma
análise funcional-veritativa. Frege é responsável pela definição moderna dos
conectivos lógicos como funções tais que o valor de verdade de uma sentença
formada a partir destas funções é determinado puramente a partir do valor
de verdade de seus componentes26 .
Esta formulação é adotada pois, segundo o filósofo alemão,
no que diz respeito à matemática, estou convencido de que nela não ocorrem
pensamentos compostos com outra formação. Também em fı́sica, quı́mica e
astronomia, dificilmente será diferente27 .
Tendo em mente que, em Frege, o pensamento é o sentido de uma sentença assertiva28 , podemos reformular a tese do parágrafo anterior utilizando
o vocabulário lógico contemporâneo, afirmando que todas as proposições matemáticas - e cientı́ficas - são formadas a partir de conectivos funcionaisveritativos.
Ainda que este tratamento dos conectivos apareça já no Begriffsschrift 29 ,
encontramos sua formulação mais precisa nos textos Função e Conceito 30
e Pensamentos compostos. Uma investigação lógica 31 . Nos dois primeiros
textos, o autor toma a negação e a implicação como conectivos primitivos,
26
Russell é responsável por definir esse tipo de função como função de verdade (truth
function).
27
[30], pp.85-6.
28
[31], p. 137.
29
[28].
30
[29].
31
[30].
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
19
e define os demais a partir destes. No último texto, a negação e a conjunção são aceitas como primitivas. Do ponto de vista lógico-formal, ambas
as formulações são equivalentes.
Vejamos o caso da implicação e da disjunção. Como vimos, não havia
um consenso a respeito do tratamento deste conectivo na lógica estoica. O
mesmo se dá durante a Idade Média. Porém, ao definir o condicional como
funcional-veritativo, estes autores adotam o que chamamos de implicação
material 32 . Assim, uma implicação é verdadeira quando o antecedente for
falso, ou o consequente verdadeiro33 .
De acordo com Frege, ainda que esta definição não seja reflexo do uso de
“se...então...”na linguagem natural, é a mais adequada para o rigor necessário
em demonstrações lógicas e matemáticas . Portanto, a implicação (α → β)
é definida como uma disjunção (¬α ∨ β). Percebam que, dessa forma, a
inferência modus ponens (α, α → β |= β) torna-se logicamente equivalente
ao silogismo disjuntivo (¬α, α ∨ β |= β).
Uma disjunção, por sua vez, é verdadeira quando ao menos um dos disjuntos é verdadeiro. Obviamente, a adição, (α |= α ∨ β), torna-se uma regra de
inferência válida. A partir dessas duas regras, temos novamente o argumento
de Lewis. Portanto, ainda que contra-intuitivo, (α, ¬α |= β).
Há uma anedota curiosa sobre Russell a este respeito34 . Ao afirmar para
um colega que, de premissas contraditórias, tudo pode ser deduzido, este
pediu a Russell que provasse, a partir do fato de que 2=3, que Russell era
o Papa. Ao que Russell replicou: ‘subtraindo 1 dos dois lados da equação,
temos que 1=2. Eu e o Papa somos dois. Como 1=2, eu e o Papa somos um.
Portanto, eu sou o Papa’.
Por motivos já conhecidos, esta lógica tornou-se o paradigma de sistema
lógico-formal e, com ela, a explosão foi aceita como uma propriedade lógica
32
33
Este denominação foi cunhada por Russell.
Ainda que os estoicos não tivessem uma formulação única de implicação, esta definição
coincide com a posição defendida por Filo de Mégara (300 a.C). Cf. [41], pp. 128-32.
34
[53], p.132.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
20
elementar.
1.2
Lei de não-contradição
A discussão sobre a lei de não-contradição é, do ponto de vista lógicoformal, menos controversa ao longo da história. Esta lei foi aceita como
evidente - ou uma verdade universal e necessária - por quase toda a história
da lógica.
A formulação - e a defesa desta - remonta a Aristóteles35 . No entanto,
a caracterização e a validade destes argumentos são altamente duvidosas.
Deste modo, é notável que, desde então, não haja nenhum outro trabalho
significativo que justifique adequadamente a lei de não-contradição e que,
até o inı́cio do século XX, esta lei seja aceita como princı́pio mais evidente
e fundamental da lógica36 .
Por curiosidade, note o que Avicena afirma sobre aquele que pretende
refutar tal lei:
Quanto ao obstinado, deve-se atirá-lo ao fogo, já que o fogo e o não-fogo
são idênticos. Deixe-o sofrer, já que o sofrimento e o não-sofrimento são
iguais. Deixe-o sem comer e beber, já que comer e beber são idênticos à
abstinência37 .
Uma das primeiras crı́ticas à lei de não-contradição está em um artigo
intitulado Sobre a Lei da contradição em Aristóteles 38 , publicado em 1910,
pelo lógico e filósofo polonês Lukasiewicz. Segundo este autor, o avanço
da lógica moderna permite uma análise pormenorizada das chamadas leis
fundamentais da lógica e, da mesma forma que uma análise cuidadosa da
35
36
Os argumentos a seu favor encontram-se na Metafı́sica, livro γ. Cf. [3], vol. 2.
Aristóteles afirma que “esse princı́pio é o mais seguro de todos”. Cf. [3], vol. 2,
1005b19-20.
37
[37].
38
[44].
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
21
geometria euclidiana deu origem às geometrias não-euclidianas, esta análise
possibilita o surgimento de sistemas lógicos não-aristotélicos.
Caso tais leis fossem provadas fundamentais, ao menos seriam estabelecidas as relações - de dependência ou outras - entre elas. Além disso, o autor
questiona quais as justificativas para aceitar uma lei como fundamental ou
irrefutável.
Esse artigo se propõe a analisar a definição e defesa da lei de contradição
apresentada por Aristóteles, principalmente, no livro γ da Metafı́sica. Lukasiewicz afirma que há três formulações diferentes para a lei de não contradição
na Metafı́sica de Aristóteles, a saber: psicológica, ontológica e lógica. Focaremos na formulação lógica.
De acordo com o Estagirita, esta lei é fundamental e indemonstrável.
Portanto, todo os que demonstram alguma coisa remetem-se a essa noção
última porque, por sua natureza, constitui o princı́pio de todos os outros
axiomas39 .
No entanto, após afirmar isto, Aristóteles apresenta vários argumentos
para demonstrar tal lei.
Além dessa argumentação aristotélica não ser suficiente para defender sua
posição inicial, essa lei não é a mais fundamental nem mesmo na silogı́stica
aristotélica. O princı́pio do silogismo é independente e anterior a tal lei, e
isto é evidenciado pelo próprio filósofo grego:
Que seja impossı́vel simultaneamente afirmar e negar, isso não é pressuposto
por nenhuma demonstração [silogismo], a menos quando a própria conclusão
devesse demonstrar tal coisa. Isso, então, demonstra-se na medida em que
se supõe ser verdadeiro predicar o primeiro termo do termo médio e nãoverdadeiro não predicá-lo. Mas, no que diz respeito ao termo médio e também
ao terceiro termo, não faz qualquer diferença supor que ele é e não é. Seja
dado um objeto qualquer [por exemplo, Cálias], do qual se possa dizer com
39
[3], vol. 2, 1005b32-4.
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
22
verdade que ele é homem, apenas sendo homem um animal e não um nãoanimal; será, então, verdadeiro predicar de Cálias que ele é um animal e não é
um não-animal, ainda que homem fosse não-homem e Cálias fosse não-Cálias.
A razão disso é que o primeiro termo vale não apenas do termo médio, mas
também de outros objetos, uma vez que ele tem um âmbito de aplicação
maior [do que o termo médio], de modo que não faz qualquer diferença para
a conclusão que o termo médio seja e não seja o mesmo40 .
Portanto, um silogismo pode ser válido, mesmo que refute a lei de nãocontradição. Lukasiewicz conclui dizendo que
deve-se rejeitar de uma vez por todas a opinião falsa, ainda que muito difundida, segundo a qual a lei da contradição é o princı́pio mais superior de
toda demonstração!41
O lógico polonês vai além, e defende que, tomada irrestritamente, a lei
de nao-contradição é simplesmente falsa. Seguindo Meinong, afirma que objetos impossı́veis podem conter propriedades contraditórias. A esse respeito,
Meinong declara que
Russell põe a verdadeira ênfase em que, através da aceitação de tais objetos
[impossı́veis], a lei da contradição perderia sua validade ilimitada. Naturalmente, eu não posso de modo algum deixar passar essa consequência. (...)
De fato, a lei da contradição nunca foi aplicada por ninguém a outra coisa
que o real e o possı́vel42 .
Em seguida, Lukasiewicz ressalva que, por um lado, nunca teremos certeza
de que construções conceituais são isentas de contradição - como mostra, por
exemplo, o paradoxo de Russell - e, por outro, tampouco somos capazes de
afirmar que nenhum objeto real contenha contradição43 .
40
[3], vol. 1, 77a10-22. Citado por [44], p. 17.
[44], p. 19.
42
[48], p. 16. Citado por [44], p. 24.
43
A tese de que há contradições verdadeiras será discutida posteriormente.
41
CAPÍTULO 1. BREVE HISTÓRICO CONCEITUAL
23
Este artigo, que pode parecer como uma crı́tica irremediável à lei de nãocontradição termina, não obstante, de forma desapontadora. Ainda que não
se trate de uma lei lógica fundamental e irrefutável, seria a “única arma
contra o engano e a mentira”44 , visto que, se fosse refutada completamente,
um acusado de assassinato não conseguiria provar sua inocência, já que provar
que não cometeu o assassinato não seria suficiente para refutar a acusação
de que ele é o assassino.
Posteriormente, analisaremos outra crı́tica à lei de não-contradição. Esta
posição é denominada dialeteismo, e defende a existência de contradições
verdadeiras. Portanto, ao menos uma formulação da lei de não-contradição,
que assevera que toda contradição é falsa, é considerada errônea.
44
[44], p. 21.
Capı́tulo 2
Aspectos Filosóficos
In formal logic, a contradiction is the signal of
defeat, but in the evolution of real knowledge it
marks the first step in progress towards a victory.
- Alfred North Whitehead
Este capı́tulo constitui o centro do trabalho. Começaremos demonstrando, no nı́vel proposicional, a independência dos conceitos discutidos anteriormente. Ainda que se trate de uma prova formal, este resultado tem
importantes consequências filosóficas, como veremos adiante. O restante do
capı́tulo lidará com os aspectos filosóficos das lógicas paraconsistentes.
2.1
Independência formal entre a lei de nãocontradição e o princı́pio de explosão
Iremos demonstrar que os princı́pios de não-contradição e de explosão
são logicamente independentes.
Para isso, apresentaremos dois sistemas
24
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
25
lógicos. O primeiro refuta o princı́pio de explosão, mas mantém a lei de nãocontradição como uma verdade lógica. O segundo, por sua vez, é explosivo
e, no entanto, refuta a lei de não-contradição. Esse resultado é fundamental,
pois a relação entre essas duas ideias é comumente confundida no estudo
das lógicas paraconsistentes, e boa parte das crı́ticas a esses sistemas é fruto
desta confusão.
Em primeiro lugar, estabeleceremos as noções comuns aos dois sistemas.
Em seguida, definiremos os conceitos particulares de cada sistema e, por fim,
demonstraremos a independência dos princı́pios estudados.
2.1.1
Linguagem Proposicional
Os sı́mbolos primitivos de L são os seguintes:
1. Operadores Lógicos:
(i) Negação: ¬ ;
(ii) Conjunção: ∧ ;
(iii) Disjunção: ∨ ;
2. Variáveis Proposicionais
Utilizaremos x1 , x2 , x3 ..., y1 , y2 , y3 ... para variáveis proposicionais. Consideraremos V ar o conjunto de todas essas variáveis.
3. (Sı́mbolos Auxiliares)
Utilizaremos parênteses para evitar possı́veis ambiguidades e indicar,
de forma análoga às operações matemáticas, a ordem a ser seguida nas
operações lógicas. Quando não houver risco de confusão, os parênteses
serão omitidos1 .
1
Assumiremos, também, a notação usual da teoria de conjuntos. Em particular, se A
e B são conjuntos, ℘(A) denota o conjunto das partes de A, e A × B denota o produto
cartesiano de A e B. Cf. [36].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
26
Definição 2.1.1 Uma lógica L é uma estrutura L = hFL , |=L i tal que:
(i) FL é um conjunto, cujos elementos são chamados fórmulas de L;
(ii) |=L é uma relação em ℘(FL ) × FL chamada relação de consequên2
cia de L.
Notem que estamos utilizando uma noção abstrata de lógica3 . Não estamos fixando um conjunto especı́fico, tampouco estamos imponto restrições à
relação de consequência. Esta definição permite-nos estabelecer um pano de
fundo comum para estudar sistemas lógicos diferentes.
Definição 2.1.2 (i) Toda variável proposicional é fórmula;
(ii) Se α e β são fórmulas4 , então ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), também o são.
Passemos, então, às caracterı́sticas particulares de cada sistema
2.1.2
Lógica de Paradoxos (LP )
Esta lógica foi criada por Priest5 como uma forma de lidar com o paradoxo
do mentiroso, e como a lógica subjacente ao dialeteismo 6 . A formalização de
LP é construı́da a partir dos seguintes conceitos.
Definição 2.1.3 Seja {1, 0} o conjunto cujos elementos são ditos valores
de verdade7 e F o conjunto das fórmulas. Uma valoração é uma relação
2
Esta relação determina, a partir de um conjunto de sentenças, quais as sentenças que
formam o conjunto de consequências do conjunto original.
3
Esta definição abstrata de lógica pertence ao escopo da Lógica Universal, que será
discutida adiante, e foi formulada por Beziau. Cf. [9].
4
As letras gregas denotam variáveis metalinguı́sticas para fórmulas. Da mesma forma,
∆ denota um conjunto qualquer de fórmulas. Os sı́mbolos ⇔ e ⇒ representam, respectivamente, equivalência e implicação metalinguı́stica.
5
Cf. [52].
6
Ambos serão discutidos adiante.
7
Intuitivamente, 1 pode ser interpretado como Verdadeiro, e 0, como Falso.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
27
v ⊂ V ar × {1, 0}, tal que dom(R) = F. Isso significa que, para uma dada
fórmula α, podemos ter v(α, 1), v(α, 0), ou ambos8 .
Definição 2.1.4 A definição de consequência lógica de LP é a mesma
que a da lógica clássica, isto é, uma inferência é válida se e somente se não
há valoração em que suas premissas são verdadeiras, e a conclusão falsa.
Formalmente, dados um conjunto ∆ de fórmulas, e uma fórmula α, temos
que ∆ |=LP α se e somente se, para todo v (se v(β, 1), para todo β ∈ ∆,
então v(α, 1)).
Cada fórmula pode ter seu valor de verdade definido recursivamente, a
partir das seguintes condições:
(i) v(¬α, 1) ⇔ v(α, 0);
(ii) v(¬α, 0) ⇔ v(α, 1);
(iii) v(α ∧ β, 1) ⇔ v(α, 1) e v(β, 1);
(iv) v(α ∧ β, 0) ⇔ v(α, 0) ou v(β, 0), ou ambos;
(v) v(α ∨ β, 1) ⇔ v(α, 1) ou v(β, 1);
(vi) v(α ∨ β, 0) ⇔ v(α, 0) e v(β, 0).9
Com esse aparato, podemos provar que esta lógica não é explosiva e, no
entanto, preserva a lei de não-contradição.
Proposição 2.1.1 O Princı́pio de não-contradição não implica o princı́pio
de explosão.
Prova. Suponha que v(α, 1), v(¬α, 1) e v(β, 0). Sendo assim, temos que
v(α ∧ ¬α, 1)
8
9
10
, mas v(β, 0). Isso é o suficiente para mostrar que o princı́pio
Quando v(α, 1) e v(α, 0), dizemos que α é verdadeira e falsa.
Notem que as condições para os conectivos são as mesmas da lógica clássica. As
valorações são diferentes apenas porque não aceitamos o pressuposto - implı́cito na lógica
clássica - de que verdade e falsidade são exclusivas. Em outras palavras, LP aceita a
possibilidade de uma mesma fórmula ser verdadeira e falsa.
10
Note que também temos v(α ∧ ¬α, 0).
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
28
de explosão não vale, ou seja, (α, ¬α) 2LP β. No entanto, pelo comportamento da negação, se v(α ∧ ¬α, 0), então v(¬(α ∧ ¬α), 1)11 . Isso significa
que a lei de não-contradição continua sendo uma verdade lógica (ainda que
algumas de suas instâncias também sejam falsas). Portanto, o princı́pio de
não-contradição não implica o princı́pio de explosão ou, dito de outra forma,
refutar a explosão não implica refutar o princı́pio de não contradição.
2.1.3
Lógica de Lacunas (gaps) (LG)
Este sistema lógico foi criado apenas como um instrumento para estabelecer o objetivo desta seção. Trata-se de uma restrição da lógica FDE (first
degree entailment) 12 .
A principal diferença conceitual entre essa lógica e a LP está na definição
de valoração. No sistema LG, uma uma valoração é uma relação v ⊂
V ar × {1, 0}, tal que se v(α, u) e v(α, v), então u = v. Isso significa que
podemos ter v(α, 1), v(α, 0), ou nenhuma13 , mas não ambas14 .
A definição de consequência lógica, bem como as definições recursivas dos
conectivos mantém-se as mesmas do sistema anterior.
Proposição 2.1.2 O princı́pio de explosão não implica o princı́pio de nãocontradição.
Prova. Para provarmos o enunciado acima, devemos mostrar que LG é um
sistema explosivo e, no entanto, refuta o princı́pio de não-contradição. Suponha que v(α, ∅)15 . Sendo assim, v(¬α, ∅). Portanto, (α, ¬α) |=LG β, para
qualquer β. Isso mostra que LG é explosiva, i.é., de premissas contraditórias,
11
Bem como v(¬(α ∧ ¬α), 0).
Cf. [27].
13
Neste caso, α pode ser interpretada como não sendo verdadeira, nem falsa.
14
Em FDE, não é excluı́da a possibilidade de uma mesma fórmula ser verdadeira e falsa.
12
Neste sentido, LG é uma restrição de FDE.
15
Isto é, não temos v(α, 0) nem v(α, 1).
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
29
é possı́vel deduzir qualquer conclusão pois, visto que não há valoração em que
as premissas sejam verdadeiras, e a conclusão, falsa, o argumento é válido,
independende de β. No entanto, a mesma valoração demonstra que ¬(α∧¬α)
não é tautologia, já que v(¬(α ∧ ¬α), ∅). Logo, em LG vale o princı́pio de
explosão, mas não vale a lei de não-contradição.
Em resumo, no sistema LP , vale a lei de não-contradição, mas não vale
o princı́pio de explosão. Em LG, por sua vez, vale a explosão, mas a lei de
não-contradição é preservada. A construção desses dois sistemas prova que
os princı́pios lógicos em questão são independentes.
2.2
Paraconsistência
Apesar da crı́tica à lei de não-contradição apresentada no capı́tulo anterior, Lukasiewicz não formula um sistema lógico que a refute. As origens da
ideia de paraconsistência são dúbias16 .
Em 1910, Vasiliev, aluno de Lukasiewicz, criou a lógica imaginária17 ,
para lidar com mundos imaginários, ou seja, mundos nos quais a lei de nãocontradição seria inválida. Ainda que esta lógica seja paraconsistente, isto
se dá indiretamente, da mesma forma que a silogı́stica aristotélica é paraconsistente. Isso significa que Vasiliev não criou deliberadamente uma lógica
não-explosiva, mas que esta propriedade é uma mera consequência de sua
lógica imaginária.
As primeiras lógicas evidentemente paraconsistentes surgiram praticamente de formas simultânea e independente. Em 1948, o lógico Polonês
Jaskowski desenvolveu o que ele chamou de lógica discursiva 18 , para lidar
16
Cf. [45], pp. xxiii-vi, para uma análise da polêmica acerca dos criadores da lógica
paraconsistente
17
O nome é uma referência à geometria imaginária - ou não-euclidiana - desenvolvida
por Lobatchevski. Cf. [4].
18
A publicação em inglês é de 1969. Cf. [39].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
30
com situações que envolviam informações inconsistentes. No final da década
de 50, o americano David Nelson também discute a importância de lógicas
inconsistentes e não-triviais, e contrói um sistema que modele tais situações19 .
Em 1963, o lógico brasileiro Newton da Costa publica Sistemas Formais
Inconsistentes20 , também apresentando uma lógica paraconsistente, chamada
de C1 . No entanto, com o passar dos anos, da Costa desenvolveu extensões
de C1 para a lógica de primeira ordem e teoria de conjuntos. Isto porque este
considera que
um sistema lógico, para realmente constituir uma lógica, deve ser desenvolvido ao menos até incluir quantificação e igualdade, dado o papel da lógica
na articulação de sistemas conceituais. E, nesse ponto, (...) [da Costa] parece
ter sido o primeiro lógico a fazer isto com lógica paraconsistente21 .
A dúvida a respeito do criador da lógica paraconsistente surge, em parte,
pela própria carência de uma definição precisa de paraconsistência. Geralmente, ao definir tal lógica, determina-se uma propriedade negativa que esta
deve possuir, como não-explosão22 ; não-consistência e não-trivialidade23 ; ou
possuindo uma negação não-explosiva24 . Sendo assim, não há uma definição
positiva de paraconsistência25 .
Desta forma, chega-se a resultados estranhos, como a afirmação de que
a silogı́stica aristotélica é paraconsistente ou, ainda, que a lógica minimal
também o é. Isto permite, também, que alguns lógicos defendam que não
existem lógicas paraconsistentes26 .
Enquanto não se encontrar uma definição positiva e precisa para tais
lógicas, estes problemas permaneceram abertos e, entre eles, a discussão
19
[50].
[19].
21
[16], p. 112.
22
Cf. [53].
23
Cf. [39], [19].
24
Cf. [10].
25
Para algumas possı́veis definições positivas da lógica paraconsistente, cf. [10], pp.7-12.
26
Cf. [66]. A refutação desta posição encontra-se em [8] e [10].
20
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
31
acerca do primeiro inventor da lógica paraconsistente.
A discussão se torna filosoficamente interessante quando se leva em conta
as razões para se utilizar - ou defender - uma lógica paraconsistente. E essas
motivações estão presentes na própria nomenclatura desta lógica.
O prefixo ‘para’ em inglês tem dois significados: ‘quase’ (...) ou ‘além de’.
Quando o termo ‘paraconsistente’ foi cunhado por Miró Quesada, (...) em
1976, ele parece ter tido o primeiro sentido em mente. Muitos lógicos paraconsistentes, no entanto, entenderam o termo na sua segunda acepção27 .
Há vários exemplos de situação em que o uso da lógica paraconsistente
é desejável. Basta que tenhamos uma teoria - ou conjunto de informações
- inconsistente e precisemos - ou desejemos - fazer inferências não-triviais a
partir deste conjunto. Isso ocorre comumente em bancos de dados de um
sistema computacional.
Temos, também, teorias cientı́ficas notadamente inconsistentes. A Teoria
Atômica de Bohr prevê que haja elétrons orbitando o núcleo de um átomo
sem radiar energia. No entanto, de acordo com as equações de Maxwell - que
são explicitamente incorporadas na teoria de Bohr - um elétron orbitante
deve radiar energia. Claramente, trata-se de uma teoria inconsistente que,
ainda assim, não permite inferir que elétrons sejam bolas de gude coloridas (o
que seria possı́vel, caso a lógica utilizada fosse clássica e, portanto, explosiva).
Destarte, esta teoria exige o uso de uma lógica paraconsistente. De forma
análoga, a mecânica newtoniana é inconsistente com os dados observacionais
acerca do periélio de Mercúrio.
Encontramos outros exemplos também na história da matemática. As
primeiras formulações do cálculo de Newton e Leibniz eram inconsistentes
- e isto era reconhecido na época, como mostram as crı́ticas de Berkeley a
essas teorias. Ao calcular derivadas, os infinitesimais eram considerados ora
como nulos, ora como não-nulos28 .
27
28
[59].
Para uma análise detalhada de teorias matemáticas inconsistentes, cf. [49].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
32
Apesar disto, é fundamental notar que, em nenhum desses casos, as contradições são interpretadas como essenciais. Dito de outra forma, a princı́pio,
é possı́vel excluı́-las dos bancos de dados; assim como rever ou rejeitar as
teorias cientı́ficas inconsistentes. Não obstante, nem sempre é claro como
excluir ou remodelar as informações inconsistentes. Ademais, como consistência não é decidı́vel em teorias complexas, tampouco teremos a certeza
de ter alcançado o objetivo proposto. Portanto, nesses casos, o uso de lógica
paraconsistente é altamente desejável.
Em suma, um lógico paraconsistente pode utilizar este tipo de lógica
por questões práticas, por falta de uma melhor opção ou, até mesmo, pelo
interesse intrı́nseco de algumas teorias cientı́ficas consideradas falsas, sem
considerar as informações inconsistentes verdadeiras. Nesses casos, a motivação está relacionada ao primeiro sentido da palavra paraconsistência, ou
seja, uma lógica paraconsistente é quase consistente.
2.2.1
Dialeteismo
Outrossim, há lógicos que defendem a existência de contradições verdadeiras; estas são chamadas de dialeteias. Esta posição é conhecida como
dialeteismo. Esses termos foram criados por Priest e Routley29 .
A inspiração para o nome foi uma passagem de Remarks on the Foundations
of Mathematics, do Wittgenstein, onde ele descreve a sentença do mentiroso
(...) como uma figura de Janus cujas cabeças voltam-se tanto para a verdade
quanto para a falsidade. Assim, uma di-aleteia é uma verdade de duas vias30 .
Vejamos, precisamente, o que significa dialeteia. Afirmar que há contradições verdadeiras significa, essencialmente, defender que há proposições
α, ¬α, tal que ambas são verdadeiras (e falsas). A partir da conjunção, temos que (α ∧ ¬α) é verdadeira. Se uma proposição α tivesse apenas um
29
30
[57], p. xx.
[55].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
33
valor de verdade, sua negação também teria apenas um valor e, pela regra
da conjunção, a proposição (α ∧ ¬α) não poderia ser verdadeira. Portanto,
defender que há contradições verdadeiras é uma consequência da crença na
existência de sentenças tais que elas e suas respectivas negações são ambas
verdadeiras (e falsas).
É fundamental perceber que dialeteismo é diferente de trivialismo. O
primeiro afirma que algumas contradições são verdadeiras, ao passo que um
trivialista defende que todas as contradições são verdadeiras ou, de forma
análoga, que tudo é verdade. Boa parte das crı́ticas ao dialeteismo incorre
nessa falta de distinção.
Apesar de defender a existência de contradições, uma lógica dialeteica
não refuta, necessariamente, a lei de não-contradição. Basta notar que, na
lógica LP , apresentada acima, esta lei é uma verdade lógica. Não obstante,
o dialeteismo refuta a interpretação da lei de não-contradição que afirma que
é impossı́vel uma contradição ser verdadeira.
É claro que, se um lógico defende o dialeteismo, ele utilizará algum tipo
de lógica paraconsistente; o inverso, porém, não é necessário. Assim, o dialeteismo se apóia na segunda acepção de paraconsistência, isto é, se propõe
a ir além da consistência.
Novamente, as coisas ficam interessantes quando analisamos as motivações
para o dialeteismo. Há algumas situações que indicariam a existência de
dialeteias. Essas situações podem ser divididas, de forma geral, em duas
categorias: reais e abstratas.
O primeiro caso envolveria a existência de contradições verdadeiras no
mundo real. Por exemplo, ao sentar, há um exato momento em que estou
sentado e de pé, isto é, não-sentado. Ou ainda, ao entrar em uma sala, em
determinado momento, estou dentro e fora dela.
A segunda categoria, e na qual iremos focar, diz respeito a contradições
verdadeiras, mas abstratas. Os casos mais conhecidos são os paradoxos de
auto-referência.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
2.2.2
34
Paradoxos
Tome M como o nome da seguinte sentença: “A sentença M é falsa”.
M é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, então o que ela afirma é o caso.
Mas, como ela afirma que ela própria é falsa, M é falsa. Por outro lado, se M
for falsa, então o que ela afirma não é o caso. Sendo assim, M é verdadeira.
Ou seja, se M é verdadeira, é falsa; se M é falsa, é verdadeira. Este paradoxo
é conhecido como paradoxo do Mentiroso, atribuı́do a Eubulides, do século
IV a.C.
Vejamos outro paradoxo: alguns conjuntos são elementos de si mesmo,
outros não. Assim, o conjunto das ideias abstratas é elemento de si mesmo,
ao passo que o conjunto de bolas de gude não o é. Tomemos, agora, o
conjunto R dos conjuntos que não são elementos de si mesmo. Formalmente,
R = {x : x ∈
/ x}. R pertence ou não a este conjunto? Se R é elemento
de si mesmo, ele não pertence a este conjunto, pois seus elementos não são
elementos de si mesmo. Por outro lado, se R não é elemento de si mesmo,
ele preenche os requisitos para pertencer a R, isto é, não ser elemento de
si mesmo. Destarte, se R pertence a R, R não pertence a R; e, se R não
pertence a R, então ele pertence a R. Portanto, R ∈ R ⇔ R ∈
/ R. Este
paradoxo foi formulado por Russell e, dessa forma, recebe o nome de seu
autor31 .
Alguns autores dividem esses paradoxos em duas categorias: paradoxos
da teoria de conjuntos e paradoxos semânticos. A despeito do que eles possam
ter de diferentes, vejamos suas semelhanças.
Todos esses casos partem de princı́pios aparentemente evidentes e, por
meio de argumentos válidos, chegam a contradições. O que há de errado
com eles? Essa pergunta foi feita durante toda a história, e várias soluções
foram propostas.
31
Curiosamente, alguns que afirmam que este paradoxo foi descoberto por Zermelo anos
antes de Russell. Cf. [62]. Agradecemos ao professor Lafayette de Moraes por nos apresentar esta possibilidade.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
35
Comecemos nossa análise pela própria definição de paradoxo. Segundo
Sainsbury, trata-se de “uma conclusão aparentemente inaceitável, derivada
através de argumentos aparentemente aceitáveis, de premissas aparentemente
aceitáveis”32 .
Há várias tentativas de resolver esses paradoxos. Fixemos-nos no paradoxo do mentiroso. De acordo com o dialeteismo, o paradoxo do mentiroso
é válido, isto é, suas premissas, regras de inferências e conceitos envolvidos
devem ser aceitos. Sendo assim, como o dialeteismo pode considerar o paradoxo do mentiroso como, de fato, um paradoxo, visto que não o resolve do
modo tradicional? Ademais, o que significa resolver um paradoxo?
Segundo Armour-Garb33 , toda solução proposta implica em diagnosticar
o paradoxo, isto é, identificar e rejeitar as premissas ou regras de inferência
inválidas envolvidas na argumentação, ou realizar uma análise conceitual que
evidencie um mau uso dos conceitos envolvidos que nos levou a uma conclusão
inaceitável, e reformule tais conceitos. O autor segue a classificação de Schiffer34 sobre os possı́veis diagnósticos de um paradoxo usualmente propostos:
i) Happy-face solution
Partindo do pressuposto que as proposições envolvidas no paradoxo são
mutuamente incompatı́veis, deve-se identificar as premissas ou regras de inferência a serem rejeitadas; explicar por que elas devem ser rejeitadas, além
de esclarecer por que fomos levados a aceitá-las.
O paradoxo do barbeiro35 , por exemplo, recebe este tipo de solução. Neste
caso, prova-se que a existência do barbeiro é logicamente impossı́vel, ou seja,
identifica-se a premissa a ser rejeitada.
32
[63], p. 1.
Cf. [2].
34
Cf. [65].
35
Imagine uma pequena vila. Todos os dias, o barbeiro local faz a barba somente
33
daqueles que não barbeiam a si próprios. Afinal, quem faz a barba do barbeiro?
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
36
ii) Unhappy-face solution
Este tipo de solução estabelece que não há problemas nas premissas, ou
nas regras de inferências utilizadas, mas que o paradoxo surge de uma falha
conceitual presente na argumentação. Destarte, trata-se de uma unhappyface solution, pois a identificação desta falha não implica, necessariamente,
uma solução para o paradoxo. Dito de outra forma, este diagnóstico identifica
uma utilização errada de um conceito, mas não determina como devemos
reformulá-lo. A solução proposta por Tarski para o paradoxo do mentiroso é
desse tipo. Segundo o filósofo polonês:
Um traço caracterı́stico da linguagem coloquial (em contraste às várias linguagens cientı́ficas) é a sua universalidade. Não estaria em acordo com o
espı́rito desta linguagem se, em alguma outra linguagem, houvesse uma palavra que não pudesse ser traduzida na primeira; pode-se afirmar que ‘se
podemos falar coerentemente sobre um assunto qualquer, nós também o fazemos na linguagem coloquial’. Se quisermos manter essa universalidade
da linguagem cotidiana em conexão com as investigações semânticas, para
sermos consistentes, devemos também aceitar na linguagem, além de suas
sentenças e outras expressões, os nomes dessas sentenças e expressões, e
sentenças que contenham esses nomes, além de expressões semânticas como
‘sentença verdadeira’, ‘nome’, ‘denota’, etc. Porém, essa universalidade da
linguagem cotidiana é possivelmente a fonte primária de todas as antinomias
semânticas. (...) Tais antinomias parecem fornecer evidências de que toda
linguagem que for universal nesse sentido, e que seguir as leis normais de
lógica, devem ser inconsistentes. (...) Caso essas observações estiverem corretas, então a própria possibilidade do uso consistente da expressão ‘sentença
correta’ - que é harmônica com as leis da lógica e com o espı́rito da linguagem
cotidiana - mostra-se bastante questionável36 .
Assim, Tarski identifica que as linguagens naturais são semanticamente
fechadas, isto é, conseguem expressar o valor semântico de suas próprias
sentenças. É exatamente esta propriedade que leva ao paradoxo do mentiroso. Dito de outra forma, não são as premissas, ou as regras de inferências
36
[68], p. 164-5. Citado por [2] p. 119.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
37
envolvidas que geram o paradoxo, mas a capacidade das linguagens naturais expressarem sua própria semântica ou, especificamente neste caso, a
formulação do predicado verdade nas linguagens naturais.
Portanto, a solução de Tarski é construir linguagens formais nas quais
esse fenômeno não se repete. Para tanto, distingue linguagem objeto de metalinguagem, e proı́be o uso do predicado verdadeiro na linguagem objeto.
Esta solução implica uma complexa - e artificial - hierarquia infinita de linguagens, na qual cada linguagem contém o predicado de verdade para os
membros inferiores desta hierarquia. Deste modo, a sentença do mentiroso
não pode ser formada em nenhuma dessas linguagens.
Não obstante, esta solução pode ser questionada. Qual a justificativa
para diferenciar linguagem objeto e metalinguagem, e impor uma restrição
hierárquica ao predicado de verdade? Em boa medida, para evitar paradoxos de auto-referência. E qual a justificativa para tal? Ora, paradoxos de
auto-referência levam a contradições. Ou seja, ao argumentar a impossibilidade de contradições verdadeiras, parte-se exatamente dessa impossibilidade.
Portanto, trata-se de uma petição de princı́pio, isto é, pressupõe-se o que se
quer provar.
A maioria das soluções propostas para os paradoxos apresenta falhas desse
tipo: não oferecem justificativas independentes para a aceitação ou objeção
aos princı́pios semânticos envolvidos e, principalmente, parecem continuar
sujeitos a paradoxos de algum tipo. Segundo o dialeteismo, essa situação
mostra que é muito mais simples apenas aceitar que a sentença do mentiroso
é verdadeira e falsa, ou seja, é uma dialeteia.
A partir desta aceitação, Priest formulou uma teoria da verdade dialeteica
simples: o predicado verdadeiro não tem restrição semântica37 . Sendo assim,
o paradoxo do mentiroso seria um caso paradigmático de uma contradição
verdadeira.
Mas esta interpretação do paradoxo não se encaixa nas categorias apre37
Cf. [56].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
38
sentadas anteriormente. Não é uma happy-face solution, pois não rejeita
as premissas, ou as regras de inferência envolvidas na argumentação; tampouco é uma unhappy-face solution, pois aceita os conceitos envolvidos no
paradoxo e, em particular, entende o predicado de verdade nas linguagens naturais como não sendo problemático. No entanto, se este tipo de diagnóstico
for condição necessária para caracterizar um paradoxo enquanto tal, e o dialeteismo insiste em chamar a sentença do mentiroso de paradoxal, então o
dialeteismo deve revisar sua noção de paradoxo, ou rejeitar a sentença do
mentiroso como paradoxal.
A resposta para este problema está no próprio conceito de paradoxo.
Armour-Garb afirma que o essencial de um paradoxo
não é - ou, talvez melhor, não é só - que a conclusão é contraditória; antes, o que tomo como crucial para nosso entendimento de um paradoxo é
que a conclusão não deve ser aparentemente endossada, dadas as plausı́veis
premissas, conceitos e raciocı́nios empregados38 .
Deste modo, a definição de paradoxo pressupõe que, se as premissas ou
regras de inferências aceitas levam à contradição, então uma delas deve ser
rejeitada.Um dialeteista, por sua vez, aceita os elementos do paradoxo, mas
rejeita a remoção de alguns desses elementos simplesmente porque eles levam à inconsistência. Isso se dá porque, em qualquer lógica paraconsistente,
inconsistências não são, a princı́pio, problemáticas. A partir disto, podemos
reformular a noção de happy-face solution - enquadrando esse diagnóstico
dialeteista, como: refutar as premissas - ou regras de inferência - envolvidas,
ou evidenciar e revisar os princı́pios lógicos implı́citos na argumentação. No
caso do paradoxo do mentiroso, o dialeteismo evidencia e rejeita o pressuposto implı́cito de que, se as premissas aceitas, por meio de inferências
igualmente aceitas, levam à inconsistência, então devem ser rejeitadas ou reformuladas. Dito de uma forma mais precisa, o que o dialeteismo rejeita é
a interpretação da lei de não-contradição como ‘toda contradição é falsa’. O
38
[2], p.121-2. Itálico no original.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
39
dialeteismo aceita que algumas contradições são verdadeiras - denominadas
aleteias -, e o paradoxo do mentiroso seria o caso mais tı́pico de aleteia.
Sendo assim, temos um diagnóstico do paradoxo.
Em suma, a grande contribuição filosófica do tratamento dialeteista do
paradoxo do mentiroso é, na posição de Armour-Garb, “oferecer um modo
de repensar a natureza do paradoxo e, com isso, uma revisão das regras que
governam paradoxo”39 .
2.2.3
Crı́ticas ao Dialeteismo
Obviamente, aceitar que o dialeteismo oferece um diagnóstico para o paradoxo do mentiroso não implica aceitar que esse diagnóstico está correto e,
muito menos, aceitar que a posição dialeteista é verdadeira. Há uma série de
crı́ticas possı́veis ao dialeteismo.
Notem a seguinte reformulação do paradoxo do mentiroso. Seja M a
sentença: “A sentença M é não-verdadeira”. Pelo mesmo raciocı́nio discutido
anteriormente, terı́amos que M é verdadeira e não-verdadeira. Afirmar que
verdade e não-verdade não são exclusivas é algo completamente distinto de
afirmar que verdade e falsidade não o são. Mas ambas são consequências do
dialeteismo. Seria essa uma consequência desejável?
Ademais, o dialeteismo parece estar sujeito a outras formas de paradoxo.
Considere a sentença P : “A sentença P não é afirmável”. Teremos, novamente, que P é afirmável e não é afirmável. Como resolver este problema ou,
então, como defender que este não é um problema?
Um caminho possı́vel seria aceitar, como Priest, que o dialeteismo em si é
uma dialeteia, isto é, uma contradição verdadeira. Isto levanta uma pergunta
capital: Mesmo que o dialeteismo seja falso - e somente falso - como provar
isto? Não se pode, obviamente, mostrar que esta posição leva a contradições,
39
[2], p. 113.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
40
visto que um dialeteista não só concorda com isto, mas aceita que isto é
essencial. Como proceder, então?
Outros filósofos que também defendem a lógica paraconsistente, como
Bueno e da Costa, preferem adotar uma postura agnóstica em relação à
existência de contradições, diferenciando dois campos:
Uma coisa é utilizar a lógica paraconsistente, examinar suas formulações distintas, expandir seus resultados a novos domı́nios (como a elaboração da
teoria de modelos paraconsistente); outra coisa, de uma natureza completamente distinta, consiste em investigar a natureza das suposições envolvidas
em tal tarefa40 .
Dito de outra forma, a discussão sobre a formalização - bem como sobre as
possı́veis aplicações - das lógicas paraconsistentes não pressupõe uma posição
ontológica sobre contradições. Ainda assim, esses autores reconhecem as
possı́veis consequências filosóficas da aceitação de contradições verdadeiras:
discussões referentes, por exemplo, à noção de existência na matemática
e a sua relação com o conceito de consistência perderiam indubitavelmente
muito da sua força e provavelmente deveriam ser revistas. As questões epistemológicas tradicionais referentes à natureza do conhecimento, em particular
as oferecidas pela matemática, terão que ser revistas41 .
2.2.4
Crı́ticas à Paraconsistência
Vejamos, agora, algumas objeções à paraconsistência e suas respectivas
réplicas. Do que já foi dito, segue-se que uma rejeição à paraconsistência
implica em uma rejeição do dialeteismo. Não obstante, pode-se rejeitar o
dialeteismo e, ainda assim, defender a ideia de paraconsistência. Priest42
evidencia algumas crı́ticas infundadas à paraconsistência. As principais são:
40
[14], p. 56.
[14], p. 56.
42
Esta análise segue, em linhas gerais, a argumentação de [60].
41
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
41
i) Contradições não podem ser verdadeiras, pois implicariam tudo.
No contexto da lógica paraconsistente, esse argumento não faz sentido.
A partir da refutação do principio de explosão, contradições não implicam,
necessariamente, tudo.
Logo, não se pode simplesmente rejeitá-las com
base nesta justificativa. Ademais, como vimos, há filósofos que defendem a
existência de contradições verdadeiras. A impossibilidade destas, portanto,
não pode ser meramente assumida.
ii) Contradições não tem significado. Portanto, não faz sentido propor
interpretações em que contradições sejam verdadeiras e, muito menos, aceitar
que, de fato, elas sejam verdadeiras.
Esta objeção tem um interesse particular, pois, caso seja levada à suas
últimas consequências, não seria apenas uma crı́tica à lógica paraconsistente
- e por consequência, ao dialeteismo -, mas à própria lógica clássica. Nesta, as
contradições têm significado, elas implicam tudo. Ademais, se contradições
não tivessem significado, não conseguirı́amos entender quando alguém as proferisse, tampouco julgar a falsidade - ou verdade - do que a pessoa proferiu.
iii) A possibilidade de interpretações nas quais contradições são verdadeiras é excluı́da pelo tratamento clássico da negação, que é correto.
Este é uma objeção que levanta um aspecto essencial da paraconsistência,
a saber: o conceito de negação. Em primeiro lugar, é fácil mostrar que
negação clássica não é uma interpretação da negação nas linguagens naturais, isto é, não explica o comportamento da partı́cula ‘não’ do português.
Acrescentar ‘não’ a uma sentença não significa, necessariamente, negá-la.
Tome, por exemplo, a sentença “Todo elefante é branco”. Sua negação não
é “Todo elefante não é branco”, mas “algum elefante não é branco”. Sendo
assim, o que seria negação? Pelo exemplo anterior, pode-se perceber que
negação é uma relação entre contraditórios.
O ponto central é que há várias explicações possı́veis para essa relação.
Como vimos, o tratamento clássico da negação foi estabelecido por Boole
no século XIX. Há outras formulações possı́veis para a negação como, por
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
42
exemplo, a negação intuicionista. Da mesma forma, há diferentes concepções
de negação paraconsistentes. Ademais, qual o critério - se é que ele existe
- para definir a noção correta de negação? Portanto, o essencial é perceber
que o tratamento clássico da negação é um, entre outros possı́veis43 .
iv) Contradições são inaceitáveis, pois a racionalidade é fechada por implicação lógica.
Imaginemos a seguinte situação: alguém escreve um livro não fictı́cio
sobre algum tópico. Cada informação αn é estabelecida da maneira empiricamente mais rigorosa possı́vel. Desta forma, o autor acredita em todas as informações presentes no seu livro, isto é, acredita racionalmente em
(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn ). Independente disto, o autor também tem consciência
de que todos os livros escritos apresentam algum tipo de informação incorreta, isto é, falsa. Portanto, ele também acredita que ¬(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn ).
Logicamente, isto implicaria uma contradição, mas o autor não acredita em
(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn ) ∧ ¬(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn ). Esta história é conhecida como
paradoxo do prefácio.
Apesar de este paradoxo mostrar que a crença racional não é fechada sob
implicação lógica, poderia parecer que ele indicaria que não se pode acreditar
racionalmente em contradições, independente de elas serem verdadeiras ou
não. Mas esta também é uma objeção falsa. Consistência é, de fato, um
critério para avaliar uma crença racional, mas não é o único. Tomemos, como
exemplo, o campo da ciência. A aceitação de uma teoria não se limita ao
critério da consistência. Outros aspectos, tais como aplicação, proximidade
aos dados empı́ricos, ausência de hipóteses ad hoc e, até mesmo, elegância,
são levados em conta ao aceitar - ou recusar - uma teoria cientı́fica. Portanto,
uma teoria pode ser inconsistente e, no entanto, adotada pela comunidade
cientı́fica.
43
De modo geral, este é o problema da argumentação contra a existência de lógicas
paraconsistentes, apresentada em [66].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
2.3
43
Consequências Filosóficas das Lógicas Paraconsistentes
Estabelecida a possibilidade formal, bem como as possı́veis utilizações
das lógicas paraconsistentes, analisemos as consequências filosóficas do surgimento dessas lógicas.
Enquanto a lógica subjacente a qualquer teoria ou - de modo mais amplo e menos preciso - sistema de crenças era a lógica clássica, a consistência
era um critério necessário para sua aceitação44 . Dito de outra forma, de uma
perspectiva clássica, um sistema de crença pode ser ampliado por informações
novas, desde que estas não gerem inconsistências pois, nesse contexto, inconsistência e trivialidade são equivalentes, e um sistema trivial não tem valor
epistêmico. Neste caso, é necessário eliminar as informações que geram a
inconsistência.
Segundo Bueno45 , ao utilizar a lógica paraconsistente como pano de fundo,
temos uma mudança na própria natureza dos sistemas de crenças. Se, do
ponto de vista clássico, a consistência é critério necessário para tais sistemas,
ao separar inconsistência de trivialidade, a lógica paraconsistente permite a
formulação e utilização de sistemas inconsistentes e não triviais. Sendo assim,
a condição necessária para sistemas de crenças passa a ser a não-trivialidade.
Neste sentido, da Costa formulou o que chamou de Princı́pio de Tolerância em Matemática: “Dos pontos de vista sintático e semântico, qualquer teoria é permissı́vel, desde que não seja trivial”46 .
Essa mudança de critério permite uma análise positiva de teorias inconsistentes. Enquanto consistência for equivalente à trivialidade, face a informações inconsistentes, é necessário removê-las sem, no entanto, poder
44
Por exemplo, na teoria standard de revisão de crenças, AGM , para que um conjunto
de sentenças se constitua como crença, ele deve ser consistente. Cf. [1].
45
Cf. [15].
46
[18].
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
44
analisá-las. Assim, a rejeição é praticamente arbitrária. No entanto, em
várias situações, a análise de teorias inconsistentes pode ser a única forma
de obter novas informações47 .
Portanto, distinguir consistência de trivialidade, e estabelecer a rejeição
da última como condição necessária para uma teoria, permite-nos fazer inferências não triviais a partir de sistemas inconsistentes e, assim, estamos
em uma posição melhor para avaliar tais informações, possibilitando, por um
lado, a obtenção de novas informações e, por outro, uma rejeição fundamentada48 das informações inconsistentes.
Outrossim, a paraconsistência oferece novas perspectivas para o debate
acerca do caráter a priori da lógica.
Historicamente, a lógica tem sido vista como uma disciplina a priori. Isto
significa, entre outras coisas, que seu conteúdo não é fundamentado empiricamente; tampouco considerações empı́ricas são utilizadas para reforçar ou
refutar algum conteúdo lógico. Assim, entre os objetivos da lógica, está a tarefa de estabelecer verdades lógicas, isto é, verdades universais e necessárias.
Uma das principais formulações modernas desta concepção foi estabelecida por Tarski. Segundo este autor, para garantir que nenhum conhecimento
empı́rico influencie a lógica, é necessário - mas não suficiente - que qualquer
relação de consequência obedeça ao critério de substituição, definido da seguinte forma:
Se, nas sentenças da classe K e na sentença X, as constantes - com exceção
de constantes puramente lógicas - são substituı́das por quaisquer outras constantes (como sinais substituı́dos em todas as ocorrências por sinais iguais), e
se nós denotamos a classe de sentenças assim obtidas de K por K 0 , e a sentença obtida de X por X 0 , então, a sentença X 0 tem que ser verdadeira sob a
condição apenas de que todas as sentenças da classe K 0 sejam verdadeiras49 .
47
Para possı́veis tratamentos paraconsistentes de sistema de crenças, cf. [22] e [58].
Com base em verificações empı́ricas, por exemplo.
49
[67], p. 241. Citado por [13], p. 159.
48
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
45
Sendo assim, o estabelecimento de uma consequência formal é completamente independente de qualquer conteúdo extralógico, dependendo apenas
da forma do argumento.
Uma das primeiras objeções a esse caráter a priori da lógica é levada a
cabo por Birkhoff e Von Neuman, no artigo The Logic of Quantum Mechanics 50 , de 1936. Neste trabalho, os autores argumentam que a lógica clássica
está em inconformidade com alguns dos princı́pios básicos da mecânica quântica, em particular, com o princı́pio de incerteza de Heisenberg e o princı́pio
de não comutatividade de observações. Para esclarecer esta afirmação, vejamos e exemplo a seguir51 .
Segundo a mecânica quântica, dada uma direção, elétrons têm dois possı́veis valores de spin (ou momento angular): +1/2 ou −1/2. Formalmente,
podemos representar essa afirmação como: En = +1/2 ∨ En = −1/2, em
que n representa a direção estabelecida. Ainda de acordo com a mecânica
quântica - em particular, de acordo com o princı́pio de incerteza de Heisenberg - não é possı́vel determinar o spin de um mesmo elétron em duas
direções distintas.
Suponhamos que o spin de um elétron E tenha sido medido na direção x.
Assim, temos, por exemplo, que Ex = +1/2. Independente desta experiência,
sabemos que, para qualquer direção n, En = +1/2 ∨ En = −1/2 é sempre
verdadeira. Aplicando o critério de substituição, temos que, na direção y,
distinta de X, Ey = +1/2 ∨ Ey = −1/2. A partir dessas duas proposições
verdadeiras, podemos formar a conjunção - também verdadeira:
(1) Ex = +1/2 ∧ (Ey = +1/2 ∨ Ey = −1/2)
Utilizemos, em seguida, o princı́pio de distribuição, obtendo a seguinte
proposição:
(2) (Ex = +1/2 ∧ Ey = +1/2) ∨ (Ex = +1/2 ∧ Ey = −1/2)
50
51
[11].
Reformulado a partir de [13], p. 159 e [20], pp. 126-8.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
46
De acordo com o critério de substituição, como a proposição (1) é verdadeira, a proposição (2) também o deveria ser. No entanto, ela está em evidente desacordo com o postulado - estabelecido empiricamente - que afirma
ser impossı́vel determinar o spin de um elétron em duas direções distintas ao
mesmo tempo. Dessa forma, é necessário fornecer outro aparato lógico para
lidar com as experiências no nı́vel quântico, e essa é a motivação que levou
Birkhoff e Von Neumann a formalizar uma lógica quântica.
É interessante notar que os próprios autores atentam para o fato de que
essa discordância entre a lógica clássica e a mecânica quântica é relevante para
a discussão sobre o caráter a priori da lógica. Afinal, a lógica quântica “é
determinada por razões quasi-fı́sicas e técnicas, diferentes das considerações
introspectivas e filosóficas que, até então, guiaram os lógicos”52 .
Uma das possı́veis refutações a esta argumentação seria a de que, na
lógica quântica, os conectivos utilizados tem sentido diferente daqueles da
lógica clássica. No entanto, Putnam53 afirma que esta refutação é infundada
pois, na lógica quântica, os seguintes resultados são válidos:
i) p implica p ∨ q;
ii) q implica p ∨ q;
iii) se p implica r e q implica r, então p ∨ q implica r;
iv) p, q juntos implicam p ∧ q;
v) p ∧ q implica p;
vi) q ∧ p implica q;
vii) p ∧ ¬p é contradição;
viii) p ∨ ¬p;
ix) ¬¬p é equivalente a p54 .
52
[11], p. 837.
Cf. [61].
54
[61], pp. 189-90.
53
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
47
Estas são as condições mı́nimas que, de acordo com um lógico clássico,
caracterizariam os conectivos da lógica clássica. Portanto, os conectivos da
lógica quântica são equivalentes aos da clássica. No entanto, a lógica quântica
prova, empiricamente, que uma pretensa verdade universal e necessária - a
lei da distribuição - é falsa. Na realidade, trata-se de uma lei válida apenas
a um domı́nio restrito.
Putnam afirma que esse conflito entre a lógica quântica e clássica é similar
ao confronto entre geometria euclidiana e não-euclidiana. Assim como o
advento das geometrias não-euclidianas mostrou que o que era considerado
verdade necessária da geometria euclidiana pode ser - e em alguns casos é
- falso, o mesmo se dá com as lógicas quânticas e, de forma geral, com as
lógicas não-clássicas. Sendo assim,
o que o ponto de vista clássico falha em reconhecer é a a prioricidade da
lógica e geometria desaparece assim que as lógicas alternativas e geometrias
alternativas começam a apresentar importantes aplicações fı́sicas55 .
Outro exemplo conhecido de teoria cientı́fica inconsistente é a teoria
atômica de Bohr. A lógica clássica não pode ser utilizada neste caso. No
entanto, a lógica paraclássica, que será apresentada no capı́tulo seguinte, se
mostrou apropriada para esta situação56 .
A conclusão final de Putnam é de que “vivemos em um mundo com uma
lógica não-clássica”57 . Esta afirmação nos leva a outra consequência filosófica
das lógicas paraconsistentes.
A partir do surgimento das lógicas não-clássicas, tentou-se dividi-las em
duas categorias: heterodoxas (ou rivais) e complementares. Uma lógica complementar não pretende refutar a lógica clássica, mas apenas incorporar novos
elementos a esta, ampliando sua aplicação; ao passo que as lógicas heterodoxas, além de refutar alguns dos princı́pios clássicos, pretendem substituir a
55
[61], p. 189. Itálicos no original.
Cf. [25], capı́tulos 2 e 3.
57
[61], p. 184.
56
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
48
lógica clássica em algumas, senão em todas, as aplicações58 . Isso gerou outro
problema, a saber: Existe uma lógica universalmente adequada? As lógicas
paraconsistentes contribuı́ram para ambas as discussões.
Em primeiro lugar, esses sistemas mostraram que esta divisão em lógicas
heterodoxas e complementares carece de precisão terminológica. Afinal, há
lógicas paraconsistentes - como a LP - que refutam parte da lógica clássica,
pretendendo substituı́-la. Não obstante, a lógica paraclássica, que será discutida no capı́tulo seguinte, apesar de refutar o princı́pio de explosão, é, por
definição, fundada na lógica clássica. Sendo assim, ela é heterodoxa ou complementar? E, de forma geral, as lógicas paraconsistentes são heterodoxas
ou complementares?
Os mesmos problemas desta distinção podem ser estendidos à determinação da adequação de uma lógica. Além disso, quais os critérios utilizados
para estabelecer a adequação, ou razoabilidade, de um sistema formal? Será
que essa pergunta, afinal, faz sentido?
Esses questionamentos levaram ao surgimento, ou ainda, ao estabelecimento de outra abordagem para a lógica, a saber, a Lógica Universal. Se
as discussões acerca de lógicas heterogêneas ou complementares, ou sobre a
adequação global ou local de uma lógica, partiam do pressuposto que algumas leis lógicas seriam mais importantes, ou mais fundamentais que outras,
o estudo da lógica universal parte do pressuposto de que “não há Uma Lógica
ou Leis Absolutas da Lógica”59 .
A partir do desenvolvimento das lógicas não-clássicas, ficou claro que
nenhuma das chamadas leis lógicas podem ser consideradas condições necessárias para uma lógica, visto que há sistemas bem estabelecidos que rejeitem tais leis. Lógicas não-reflexivas rejeitam a lei de identidade, lógicas
paracompletas revogam o princı́pio do terceiro excluı́do, e algumas lógicas
paraconsistentes refutam - em certo sentido - a lei de não contradição, como
58
59
Para uma discussão acerca deste assunto, Cf. [35], capitulo 1.
[9], p. 73.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
49
o sistema C1 60 .
Foi justamente o estudo dessa lógica paraconsistente, que levou o filósofo
e lógico Beziau a cunhar a expressão Lógica Universal61 , como a pretensão de
estudar, principalmente, o que é comum a todas as lógicas. Naturalmente,
isto leva à questão: o que é lógica? Ou, de outra forma, o que constitui
uma lógica, isto é, quais os requisitos necessários para que um sistema seja
chamado de lógica.
Segundo Bourbaki62 , existem três estruturas matemáticas básicas: algébricas, topológicas e estruturas de ordem. A proposta de Beziau é que lógicas
também sejam tratadas como estruturas matemáticas, mas independentes
das estruturas anteriores, constituindo-se, portanto, como uma estrutura fundamental da matemática, não reduzı́veis às demais63 .
A definição de lógica proposta por Beziau é exatamente aquela apresentada no primeiro capı́tulo deste texto. Trata-se de uma estrutura com um
conjunto e uma operação neste conjunto, sendo que tal operação é livre de
qualquer restrição ou imposição64 . Portanto, estas seriam as caracterı́sticas
mais básicas divididas por todas as lógicas. Existiriam outras?
Costa-Leite65 apresenta dois possı́veis princı́pios necessários (mas não
suficientes) para que um sistema caracterize-se como lógica. Primeiro, o
princı́pio de existência de uma linguagem, visto que uma estrutura lógica
deve ser apresentada via uma linguagem formal. Segundo, a existência de
uma relação de consequência. Isso pois, “gerar uma lógica é especificar um
modo de obter algumas conclusões de um dado conjunto de premissas, isto
60
Neste, ¬(α ∧ ¬α) não é válida. Cf. [19].
Sobre a motivação e história da Lógica Universal, cf. [6] e [7].
62
Cf. [12].
63
De acordo com Beziau, o próprio Bourbaki admitia a possibilidade de existência de
61
outras estruturas matemáticas. Cf. [5], p. 137.
64
Como, por exemplo, exigir que ela seja uma estrutura de Tarski, isto é, seja idempotente, inclusiva e monotônica.
65
Cf. [17], pp. 19-20.
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
50
é, dizer como inferir em uma linguagem”66 .
Da mesma forma, o autor defende que a existência de uma teoria da
prova e a existência de uma teoria de modelos não podem ser tomadas como
condições necessárias para a lógica, visto que, do ponto de vista abstrato,
pode-se definir uma lógica sem utilizar tais recursos.
No entanto, esta afirmação não é ponto pacı́fico entre os lógicos. Exatamente por esta falta de consenso entre os aspectos mais básicos da investigação lógica, investigar as propriedades inerentes ao conceito de lógica,
bem como determinar as propriedades particulares de cada sistema, é uma
das principais motivações e preocupações da Lógica Universal.
Notem que, dentro do escopo da Lógica Universal, o debate acerca da
heterogeneidade ou complementaridade de uma lógica não-clássica perde seu
sentido. A lógica clássica é uma, entre as possı́veis lógicas, e tomá-la como
ponto de referência é uma escolha puramente arbitrária e, em certo sentido,
inócua.
A Lógica Universal, enquanto estudo geral sobre lógica, apresenta novas
perspectivas em diversos campos da lógica e filosofia, como a análise de conceitos - e, entre eles, o próprio conceito de lógica -, métodos para construção
e combinação de lógica, validade e domı́nio de propriedades lógicas, entre
outros67 .
Estas são questões ainda em aberto. Não obstante, é fundamental notar que o desenvolvimento das lógicas paraconsistentes geraram problemas
não só formais - como, por exemplo, o estudo de teorias matemáticas paraconsistentes, tais como a teoria paraconsistente de conjunto68 - mas, sim,
contribuı́ram para o debate de importantes questões filosóficas. Isto mostra
que relegar a lógica a uma disciplina puramente formal, não comprometida
com problemas essenciais referentes ao conhecimento é uma postura simplista
e ingênua.
66
[17], p. 19.
Para um resumo dos problemas investigados pela Lógica Universal, cf. [5].
68
Cf. [20].
67
CAPÍTULO 2. ASPECTOS FILOSÓFICOS
51
Em suma, todas essas ramificações da lógica paraconsistente são consequência da refutação de uma das crenças mais básicas da filosofia, que
defende que a verdade pressupõe consistência, isto é, que consistência é pressuposto para qualquer forma de conhecimento. Sendo assim, “o resultado
filosófico [da lógica paraconsistente] pode ser a queda de outra doutrina aristotélica: que verdade se restringe ao domı́nio da consistência”69 . Neste sentido, surgiram outras teorias da verdade que pretendem superar esta restrição, como a teoria pragmática da verdade 70 .
69
70
[54], p. 387-8.
Cf. [21].
Capı́tulo 3
Lógica Proposicional
Paraclássica
No one shall drive us from the paradise which
Cantor has created for us.
- Hilbert
Este capı́tulo tem como finalidade apresentar formalmente duas lógicas
proposicionais paraconsistentes, e analisar suas respectivas propriedades.
Com o intuito de evidenciar as particularidades destes sistemas, apresentaremos, antes, a lógica proposicional clássica, bem como algumas de suas
propriedades.
3.1
Modelo e Valorações
Começaremos apresentando o arcabouço conceitual que subsidiará este
e o capı́tulo subsequente. A definição de lógica e o vocabulário utilizados
serão os mesmos apresentados anteriormente. A principal diferença do tratamento formal está na técnica utilizada para analisar as caracterı́sticas de
52
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
53
cada sistema. Para tal, faremos uso de uma abordagem semântica, a partir
dos coneitos de valoração e modelo 1 . Note que, pelo seu caráter abstrato, este
tratamento dos conceitos lógicos encontra-se no escopo da Lógica Universal.
Definição 3.1.1 Seja X um conjunto. Uma valoração V para X é um
subconjunto de X.
Definição 3.1.2 Sejam K uma famı́lia de valorações para X, e A ⊆ X.
Definimos um K-modelo de A como M odK (A) = {V ∈ K : A ⊆ V }.
Definição 3.1.3 Considere x ∈ X. Assim, um K-Modelo de x é definido
como M odK (x) = {V ∈ K : x ∈ V }.
O próximo passo é definir o conjunto consequência de A.
Definição 3.1.4 O conjunto das K-consequências de A, denominado por
CnK (A) é definido como CnK (A) = {x ∈ X : M odK (A) ⊆ M odK (x)}.
Definição 3.1.5 Considere x ∈ X e A ⊆ X.
(i) x é K-Teorema ⇔ M odK (x) = K. O conjunto dos teoremas de K é
denotado por TK .
(ii) x é K-Contradição ⇔ M odK (x) = ∅. O conjunto das K-Contradições é denotado por NK .
(iii) A é K-Consistente ⇔ M odK (A) 6= ∅. Caso contrário, A é KInconsistente.
(iv) A é K-Fortemente Inconsistente ⇔ existe uma contradição x tal
que x ∈ CnK (A).
(v) A é K-Trivial ⇔ CnK (A) = X.
(vi) A é K-Paraconsistente ⇔ A é K-Inconsistente e K-não-trivial.
1
Cf. [23] e [24].
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
54
Evidenciemos algumas propriedades de CnK (A).
Proposição 3.1.1 A ⊆ CnK (A).
Prova. Suponha a ∈ A e V ⊆ M odK (A). Como A ⊆ V e a ∈ A, segue-se
que a ∈ V . Isso significa que M odK (A) ⊆ M odK (a). Portanto, A ⊆ CnK (A).
Proposição 3.1.2 Se A ⊆ B, então CnK (A) ⊆ CnK (B).
Prova. Suponha que A ⊆ B, b ∈ B, e V é modelo de B, ou seja, V ∈ K
e B ⊆ V . Assim, temos que A ⊆ V . Dito de outra forma, V é modelo
de A. Portanto, se A ⊆ B, então M odK (B) ⊆ M odK (A). Tome, agora
a ∈ A. Assim, temos que M odK (B) ⊆ M odK (A) e M odK (A) ⊆ M odK (a),
isto é, A ⊆ CnK (A). Mas, se A ⊆ B, então a ∈ B. Isso significa que
M odK (B) ⊆ M odK (a), ou seja, a ∈ CnK (B). Portanto, CnK (A) ⊆ CnK (B).
Proposição 3.1.3 CnK (A) = CnK (CnK (A)). (Idempotência)
Prova. Dividiremos esta prova em dois passos. Primeiro, provaremos que
(i) CnK (A) ⊆ CnK (CnK (A)) e, em seguida, mostraremos que
(ii) CnK (CnK (A)) ⊆ CnK (A).
(i) Considere A. O resultado segue de uma simples aplicação das duas propriedades anteriores.
(ii) Suponha que a ∈ CnK (CnK (A)). Precisamos mostrar que M odK (A) ⊆
M odK (a), isto é, a ∈ CnK (A). Seja D = CnK (A). Assim, temos que
a ∈ CnK (D), isto é, M odK (D) ⊆ M odK (a). Mas, pela construção de D,
segue-se que M odK (A) ⊆ M odK (D). Portanto, M odK (A) ⊆ M odK (a), ou
seja, CnK (CnK (A)) ⊆ CnK (A). De (i) e (ii), conclui-se que CnK (A) =
CnK (CnK (A)).
Definiremos, a seguir, o conceito de relação de consequência lógica.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
55
Definição 3.1.6 Sejam A ⊆ X e x ∈ X. Definimos a relação binária
(denominada consequência lógica) |=K ⊆ ℘(X) × X de acordo com:
A |=K x se e somente se M odK (A) ⊆ M odK (x)2 .
A partir da definição de lógica estabelecida acima, é claro que o par
(X, |=K ) é uma lógica. O próximo passo é analisar algumas propriedades de
(X, |=K ).
3.1.1
Propriedades de (X, |=K )
Proposição 3.1.4 (X, |=K ) é inclusiva, isto é, se a ∈ A, então A |=K a
Prova. Temos que provar que M odK (A) ⊆ M odK (a). Suponha que a ∈ A.
Pela definição de K-Modelo, temos que A é modelo de a, ou seja, M odK (A) ⊆
M odK (a), ou seja, A |=K a.
Proposição 3.1.5 (X, |=K ) é monotônica, isto é, se A |=K a e A ⊆ B, então
B |=K a
Prova. Suponha que A ⊆ B e A |=K a. Segue-se, então, que M odK (B) ⊆
M odK (A) e M odK (A) ⊆ M odK (a). Logo, M odK (B) ⊆ M odK (a), isto é,
B |=K a.
Proposição 3.1.6 Se A |=K b, para todo b ∈ B e B |=K γ, então A |=K
γ.(Transitividade)
Prova. Suponha que A |=K b, para todo b ∈ B e B |=K γ. Dessa hipótese inicial, segue-se que M odK (A) ⊆ M odK (B) e M odK (B) ⊆ M odK (γ). Portanto,
M odK (A) ⊆ M odK (γ), isto é, A |=K γ.
2
Temos, portanto, uma interação entre os conceitos de conjunto consequência e relação
de consequência lógica, a saber: α ∈ CnK (A) ⇔ A |=K α.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
3.2
56
Lógica Proposicional Clássica
Com essa estrutura teórica, é simples construir a lógica proposicional
clássica. Para tanto, precisamos de um último conceito.
Definição 3.2.1 Seja F or o conjunto de fórmulas da linguagem proposicional. E seja B uma valoração para F or, isto é, B ⊆ F or. Dizemos que B é
booleana se as seguintes condições são satisfeitas.
(i) α ∈ B ⇔ ¬α ∈
/ B;
(ii) α ∨ β ∈ B ⇔ α ∈ B ou β ∈ B (ou ambos);
(iii) α ∧ β ∈ B ⇔ α ∈ B e β ∈ B;
(iv) α → β ∈ B ⇔ ¬α ∈ B ou β ∈ B (ou ambos).
Definição 3.2.2 Seja B a famı́lia de todas as valorações booleanas para F or.
Definimos a lógica proposicional clássica C como a estrutura
C = hF or, |=B i.
Como é fácil verificar, as propriedades enunciadas acima são válidas na
lógica proposicional clássica. Vejamos algumas propriedades adicionais deste
sistema
3.2.1
Propriedades de C
Proposição 3.2.1 O teorema da dedução é válido em C, isto é,
T, α |=B β ⇔ T |=B (α → β).
Prova. Suponha, por absurdo, que T, α |=B β, e que T 2B (α → β). De
T, α |=B β, temos que, para toda valoração booleana B, se T ∪{α} ⊆ B, então
β ∈ B. Mas, se T 2B (α → β), segue-se que existe uma valoração booleana
B 0 , tal que T ∪ {α} ⊆ B 0 , temos que β ∈
/ B 0 , o que contraria nossa hipótese.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
57
Portanto, se T, α |=B β, então T |=B (α → β). Para a volta, suponha, por
absurdo, que T |=B (α → β) e que T, α 2B β. Isso significa que para toda
valoração booleana B, tal que T ∪{α} ⊆ B, temos β ⊆ B. Mas, se T, α 2B β,
então existe uma valoração booleana B 0 , tal que T ∪ {α} ⊆ B 0 , mas β ∈
/ B0,
o que contraria nossa hipótese. Portanto, T |=B (α → β) ⇒ T, α |=B β.
Proposição 3.2.2 O teorema da compacidade é válido em C, isto é, A |=B
α ⇔ Existe A0 ⊆ A finito, tal que A0 |=B α.
Para a prova, precisaremos de alguns resultados preliminares. Começaremos com o seguinte lema:
Lema 3.2.1 Seja B ∈ B. P(B) é o conjunto das variáveis propocisionais
que ocorrem em B. Da mesma forma, se α ∈ F or, P(α) é o conjunto das
variáveis propocisionais que ocorrem em α. Assim,
(i) Se B1 , B2 ∈ B, tal que P(B1 ) = P(B2 ), então B1 = B2 ;
(ii) Sejam α ∈ F or e B1 , B2 tais que, para todo p ∈ P(α), tem-se que
p ∈ B1 ⇔ p ∈ B2 . Então, α ∈ B1 ⇔ α ∈ B2 ;
(iii) A |=B α ⇔ A ∪ {¬α} é C-inconsistente, isto é, não existe B ∈ B, tal
que A ∪ {¬α} ∈ B.
Prova.
(i) e (ii). Trata-se de uma simples demonstração por indução na construção
de fórmulas.
(iii). A prova é uma aplicação direta das definições.
Antes de provarmos a compacidade da lógica propocisional clássica, iremos enunciar uma formulação equivalente desta propriedade; provar que, de
fato, essa formulação é equivalente à proposição anterior e, por fim, demonstrar essa segunda formulação da compacidade.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
58
Proposição 3.2.3 A é C-Consistente se e somente se todo subconjunto finito de A é C-Consistente.
Prova. Mostraremos que a segunda formulação da compacidade implica
a primeira. Suponha que A |=B α. Pelo item (iii) do lema, segue-se que
A ∪ {¬α} é inconsistente. Pela contrapositiva da proposição anterior, existe
A∗ ⊆ A ∪ {¬α} finito e inconsistente. Temos, assim, dois casos:
(i) ¬α ∈
/ A∗ . Assim, A∗ ⊆ A e A∗ |=B α, pois A∗ é inconsistente.
(ii) ¬α ∈ A∗ . Seja A0 := A∗ − {α}. Neste caso, temos que A0 ∪ {¬α} = A∗
é inconsistente. Novamente, pelo item (iii) do lema, segue-se que A0 |=B α e,
pela construção de A0 , conclui-se que A0 ⊆ A finito.
Precisamos de uma última construção antes de provar a compacidade.
Seja P o conjunto das variáveis proposicionais, isto é, P = {p0 , p1 , ..., pn , ...}.
Definimos a sequência
B0 ⊆ B1 ⊆ B2 ... como


{p0 }, se existe A0 ⊆ A finito tal que, para todo B ∈ B,




0


 com A ⊆ B, tem-se que p0 ∈ B;
B0 :=




∅, se, para todo A0 ⊆ A finito, existe B ∈ B, tal que A0 ⊆ B



 ep ∈
0 / B.
..
.
..
.


 Bn ∪ {pn+1 }, se existe A0 ⊆ A finito tal que, para todo



0


 B ∈ B, com Bn ∪ A ⊆ B, tem-se que pn+1 ∈ B;
Bn+1 :=




Bn , se, para todo A0 ⊆ A finito, existe B ∈ B, tal que



 B ∪ A0 ⊆ B e p
/ B.
n
n+1 ∈
Seja B ∗ :=
S
n∈w
e B ⊆ B, tal que B ∗ ⊆ B. Provar a compacidade, em sua
segunda formulação, significa mostrar que A ⊆ B. Primeiro, demonstraremos
que, quando pn ∈ Bn , vale que, para todo A∗ ⊆ A finito, existe B ⊆ B, tal
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
59
que A∗ ⊆ B e Bn ∈ B. Chamemos essa propriedade de Rn , e a provaremos
por indução.
Proposição 3.2.4 R0 : Quando p0 ∈ B0 , vale que, para todo A∗ ⊆ A finito,
existe B ⊆ B, tal que A∗ ⊆ B e p0 ∈ B.
Prova.
(i) Prova de R0 . Seja A∗ ⊆ A finito e A0 ⊆ A (como na cláusula de B0 ).
Então, existe A∗ ∪ A0 ⊆ A finito. Por hipótese (volta do teorema da compacidade), existe B ∈ B tal que A∗ ∪ A0 ⊆ B. Como A0 ⊆ B, temos, pela
cláusula de B0 , que p0 ∈ B.
(ii) Suponha, como hipótese de indução, que Rn vale quando pn ∈ Bn . Mostraremos que Rn+1 vale, isto é, quando pn+1 ∈ Bn+1 , temos que, para todo
A∗ ⊆ A finito, existe B ∈ B, tal que A∗ ⊆ B e Bn+1 ∈ B.
(iii) Prova de Rn+1 . Seja A∗ ⊆ A finito, e A0 ⊆ A (como na cláusula de
Bn+1 ). Então, existe A∗ ∪ A0 ⊆ B finito. Pela hipótese de indução, existe
B ∈ B, tal que A∗ ∪A0 ∪Bn ⊆ B. Pela cláusula de Bn+1 , temos que pn+1 ∈ B,
isto é, Bn+1 ⊆ B.
Partindo dessas considerações preliminares podemos, enfim, provar a segunda formulação do teorema da compacidade.
Prova. Provaremos a volta do teorema da compacidade, isto é, Se todo
subconjunto finito de A é C-Consistente, então A é C-Consistente. Sejam
B ∗ := ∪n Bn e B ⊆ B, tal que B ∗ ⊆ B. Seja α ∈ A, tal que P(α) ⊆ P. Como
{α} ⊆ A finito e Rk vale, existe B̄ ⊆ B, tal que α ∈ B̄ e Bk ⊆ B̄. Como B̄ e
B concordam em P, logo α ∈ B. Portanto, A ⊆ B.
3.2.2
Inconsistência e Trivialidade em C
Além das propriedades destacadas na seção anterior, é fácil mostrar que
esse sistema lógico é explosivo.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
60
Proposição 3.2.5 C é explosiva, isto é, α, ¬α |=B β, para todo β.
Prova. Considere A ⊆ F or e (α, ¬α) ∈ A. Pela condição (i) de valoração
booleana, é claro que não existe uma valoração booleana B tal que A ⊆ B.
Isso significa que M odB (A) = ∅. Tome β ∈ F or. Como M odB (A) = ∅,
M odB (A) ⊆ M odB (β), isto é, A |=B β, independente de β. Portanto, |=B é
explosiva.
Essa demonstração garante que, na lógica clássica, trivialidade e inconsistência são equivalentes. Dessa forma, não conseguimos extrair nenhuma
informação relevante de um sistema que contenha contradições. A próxima
seção apresentará uma lógica que estabelece uma distinção entre trivialidade
e inconsistência, permitindo, sob certas circunstâncias, fazer inferências nãotriviais, partindo de informações inconsistentes.
3.3
Lógica Proposicional Paraclássica
O objetivo desta seção é apresentar uma possibilidade lógico-formal para
lidar com informações inconsistentes. Para tal, apresentaremos um tipo particular de lógica paraconsistente, a saber: lógica proposicional paraclássica 3 .
Formalmente:
Definição 3.3.1 Uma lógica proposicional paraclássica P é uma estrutura
P = hFP , |=P i tal que:
(i) hFP , |=P i segue a definição 2.1.1 de lógica;
(ii) FP = F or;
(iii) T |=P α ⇔ existe U ⊆ T , C-Consistente, tal que U |=B α.
Ou, de forma equivalente:
(iii’) T |=P α ⇔ existe U ⊆ T , tal que M odB (U ) ⊆ M odB (α) e
M odB (U ) 6= ∅.
3
Este sistema foi sugerido por da Costa, e desenvolvido por de Souza em [26].
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
61
Analisemos o comportamento, em P , das propriedades estudadas na seção
anterior.
3.3.1
Propriedades da Lógica Paraclássica
Lema 3.3.1 T é C-Consistente, e T |=B α ⇔ T |=P α e T |=P ∗ α4 .
Prova. Suponha T |=B α. Pelo teorema da compacidade, seque-se que existe
T 0 ⊆ T finito, tal que T 0 |=B α. Como, por hipótese, T é C-Consistente, então
T 0 também o é. Logo, pela definição de P e P ∗ , temos que T |=P α e T |=P ∗ α.
Proposição 3.3.1 (i) TC = TP ; (ii) NC = NP .
Prova. (i) Lembrando que |=B α significa que M odB (α) = B. Dessa forma,
α é C-Consistente e, portanto, T |=p α, para qualquer T . Logo, TC = TP .
(ii) Suponha que α é uma C-Contradição. Então, não existe T 0 ⊆ T , CConsistente, tal que T |=B α. Ou seja, T 0p α. Logo, NC = NP .
Proposição 3.3.2 Em P , a inclusão não é válida5 .
Prova. Tome T = {x ∧ ¬x}. O único subconjunto C-Consistente de T é
o vazio. Mas, como M odB (x ∧ ¬x) = ∅, ∅ 2B (x ∧ ¬x). Isso significa que
T 2P (x ∧ ¬x). Portanto, T * CnP (T ).
Proposição 3.3.3 Em P , a transitividade não é válida.
4
5
O sistema P ∗ será definido na próxima seção.
A idéia de uma lógica paraclássica que refute a inclusão foi introduzida por Krause e
Béziau em [42].
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
62
Prova. Considere T = {x ∨ y, ¬x}. Seja B uma valoração booleana tal que
T ⊆ B. Se ¬x ∈ B, então x ∈
/ B. Mas, se x ∈
/ B e x ∨ y ∈ B, então y ∈ B.
Portanto, T |=P y. Tomemos, agora, U = {x, ¬x}. É simples conferir que
U |=P ¬x e U |=P x ∨ y. No entanto, U 2P y. Segue-se, então, que U |=P T
e T |=B y, mas U 2P y.
Corolario 3.3.1 Se U for C-Consistente, a transitividade vale.
Prova. Suponha que U |=P T e T |=P y. Como U é C-Consistente e U |=P T ,
então T é C-Consistente. Assim, a transitividade segue classicamente.
Conquanto a transitividade não seja válida, podemos utilizá-la com fórmulas individuais. A esta limitação da transitividade, damos o nome de
transitividade fraca. Para demonstrá-la, usaremos o lema a seguir.
Lema 3.3.2 (i) α |=P β ⇒ ∅ |=P β ou M odB (α) 6= ∅ e α |=B β;
(ii) α |=P β e ∅ |=P α ⇒ ∅ |=P β;
(iii) α |=P β e M odB (α) = ∅ (α é C-Contradição) ⇒ ∅ |=P β.
Prova.
(i) A demonstração segue da definição de P .
(ii) Se α é teorema, então M odB (α) = B. Como α |=P β, temos que
M odB (α) ⊆ M odB (β). Portanto, β é teorema, isto é, ∅ |=P β.
(iii) Suponha que α |=P β e M odB (α) = ∅. Isso significa que M odB (α) ⊆
M odB (β) e Cnp (α) = Tp . Portanto, β é teorema.
Proposição 3.3.4 α |=P β e β |=P γ ⇒ α |=P γ.(Transitividade Fraca)
Prova. Suponha que α |=P β e β |=P γ. Como α |=P β, temos dois casos
possı́veis:
(a) β é teorema. Neste caso, por (ii), γ é teorema.
(b) β não é teorema. Por (i), temos que M odB (α) 6= ∅ e α |=B β.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
63
Proposição 3.3.5 Idempotência não é válida em P .
Prova. Tome T = {x, ¬x}. Da definição de valoração booleana, segue-se
que, para toda valoração B, tal que x ∈ B, temos que x ∨ y ∈ B. Assim,
x |=B x ∨ y e, por consequência, T |=P x ∨ y. Portanto,
{x ∨ y, ¬x} ⊆ CnP (T ). Desse novo conjunto, como foi mostrado na prova
anterior, temos que {x ∨ y, ¬x} |=P y. Assim, y ∈ CnP (CnP (T )), e
y∈
/ CnP (T ). Logo, CnP (T ) 6= CnP (CnP (T )).
Proposição 3.3.6 O teorema da dedução é válido em P .
Prova. Suponha que T ∪ {α} |=P β. Isso significa que existe U ⊆ T ∪ {α}
tal que M odB (U ) 6= ∅ e M odB (U ) ⊆ M odB (β), isto é, U |=B β. Assim, temos
três possı́veis casos.
(a) α ∈ T . Neste caso, U ⊆ T e M odB (U ) ⊆ M odB (β). Mas, do comportamento da implicação, segue que, para todo B tal que β ∈ B, temos
que (α → β) ∈ B. Logo, M odB (β) ⊆ M odB (α → β). Logo, M odB (U ) ⊆
M odB (α → β), isto é, U |=B α → β. Como U ⊆ T e M odB (U ) 6= ∅, conclui-se
que T |=P α → β.
(b) α ∈
/ T e α ∈
/ U . Assim, U ⊆ T e o resultado segue da demonstração
acima.
(c) α ∈
/ T e α ∈ U . Segue-se que U − {α} ⊆ T , C-Consistente, tal que
U − {α} |=B β. Isso significa que U − {α} |=B α → β. E, como tal conjunto
é consistente e subconjunto de T , conclui-se que T |=P α → β.
Proposição 3.3.7 O teorema da compacidade é válido em P .
Prova. Suponha que T |=p α. Segue-se que existe T 0 ⊆ T, C-Consistente, tal
que T 0 |=B α. O resultado é uma simples aplicação da compacidade clássica.
Proposição 3.3.8 P é monotônica.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
64
Prova. Considere T ⊆ U e T |=p α. Isso significa que existe T 0 , -Consistente,
tal que T 0 |=B α. Além disso, como T ⊆ U, T 0 ⊆ U . Aplicando o teorema da
compacidade, segue-se que U |=p α. Portanto, Cnp (T ) ⊆ Cnp (U ).
3.3.2
Inconsistência e Trivialidade em P
A grande motivação para formular esse sistema, foi construir uma abordagem formal simples, mas que permitisse distinguir inconsistência e trivialidade. Dito de outra forma, a lógica paraclássica não é explosiva, ou seja,
permite lidar com conjuntos inconsistentes, mas de uma forma não-trivial.
Proposição 3.3.9 P não é explosiva.
Prova. Tome T = {x ∧ ¬x}. É suficiente notar que T 2P y 6 .
Proposição 3.3.10 Em P , há conjuntos inconsistentes, mas não fortemente
inconsistentes.
Prova. Seja T = {x, ¬x}. Assim, temos que T |=P x e T |=P ¬x. Portanto,
há conjuntos inconsistentes em P . No entanto, T 2P x ∧ ¬x. Logo, não
existem conjuntos fortemente inconsistentes em P .
Proposição 3.3.11 CnP (TP ) = CnP (NP );
Prova. Considere T = {x ∧ ¬x}. Como não há conjuntos fortemente inconsistentes em P , só podemos deduzir teoremas de T e, como TC = TP , segue-se
que CnP (TP ) = CnP (NP ).
Proposição 3.3.12 U ⊆ NP e T |=P α ⇒ T ∪ U |=P α.
6
A mesma demonstração garante que não existem conjuntos triviais em P .
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
65
Prova. Suponha T |=P α. Então, existe T 0 ⊆ T, C-Consistente, tal que
T 0 |=C α. Sendo assim, é óbvio que T ∪ U |=P α, pois T 0 ⊆ T ∪ U .
Proposição 3.3.13 Se U ⊆ NP , então CnP (T ) = CnP (T ∪ U ).
Prova. Se CnP (NP ) = TC , é trivial que CnP (T ) = CnP (T ∪ U ).
3.4
Lógica Paraclássica com Inclusão
Trataremos, agora, de outro sistema formal paraclássico. A principal
diferença entre este e o sistema apresentado na seção anterior é que introduziremos a inclusão de uma forma ad hoc. A partir dessa modificação, as
propriedades resultantes desta lógica diferem da anterior. Em particular,
como veremos adiante, essa reformulação da lógica paraclássica permite a
existência de conjuntos triviais.
Definição 3.4.1 Uma lógica proposicional paraclássica com inclusão
é uma estrutura P ∗ = hFP ∗ , |=P ∗ i tal que:
(i) hFP ∗ , |=P ∗ i é uma lógica no sentido da definição 2.1.1;
(ii) FP ∗ = F or;
(iii) T |=P ∗ α ⇔ α ∈ T , ou existe U ⊆ T , tal que M odB (U ) 6= ∅ e
M odB (U ) ⊆ M odB (α)
3.4.1
Propriedades de P ∗
Proposição 3.4.1 (i) TC = TP ∗
(ii) NC = NP ∗ .
Prova.
As duas demonstrações são análogas a P .
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
66
Proposição 3.4.2 P ∗ não é transitiva.
Prova. O mesmo contra-exemplo de P se aplica a P ∗ .
Corolario 3.4.1 Se U for C-Consistente, a transitividade vale. A prova é
análoga à de P .
Em P ∗ , vale a transitividade fraca. Para a prova, usaremos o lema:
Lema 3.4.1 (i) α |=P ∗ β ⇒ ∅ |=P ∗ β ou (M odB (α) ⊆ M odB (β), e
M odB (α) 6= ∅), ou α = β.
(ii) α |=P ∗ β e ∅ |=P ∗ α ⇒ ∅ |=P ∗ β.
(iii) α |=P ∗ β e M odB (α) = ∅ (α é C-Contradição) ⇒ ∅ |=P ∗ β ou α = β.
Prova.
(i) e (iii) seguem da definição de P ∗ .
(ii) Se ∅ |=P ∗ α, então M odB (α) = B. Como α |=P ∗ β, então M odB (α) ⊆
M odB (β). Portanto, ∅ |=P ∗ β.
Proposição 3.4.3 α |=P ∗ β e β |=P ∗ γ, então α |=P ∗ γ. (Transitividade
Fraca)
Prova. Suponha que α |=P ∗ β e β |=P ∗ γ. Se β for teorema, então γ é
teorema, pelo lema acima. Logo, α |=P ∗ γ. Se β não for teorema, temos os
seguintes casos.
(i) α = β. Como, por suposição, β |=P ∗ γ, então α |=P ∗ γ.
(ii) M odB (α) 6= ∅ e M odB (α) ⊆ M odB (β), ou seja, β é C-Consistente. Neste
caso, como, por hipótese, β |=P ∗ γ, temos que M odB (β) ⊆ M odB (γ). Logo,
M odB (α) ⊆ M odB (γ), isto é, α |=B γ e, portanto, α |=P ∗ γ.
(iii) β é C-Contradição. Mas, como α |=P ∗ β, então β = α. Sendo assim,
como β |=P ∗ γ, então α |=P ∗ γ.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
67
Proposição 3.4.4 P ∗ não é idempotente.
Prova. O contra-exemplo de P se aplica a P ∗ .
Proposição 3.4.5 Em P ∗ , o teorema da dedução não é válido.
Prova. Considere T = {x ∧ ¬x}, α = y e β = {x ∧ ¬x}. A partir dessas
condições iniciais, temos que T ∪{α} |=P ∗ β (por inclusão). No entanto, como
T é fortemente inconsistente, só podemos deduzir, em P ∗ , a partir de T , os
teoremas e o próprio T . Mas, como y → (x ∧ ¬x) não é teorema, tampouco
pertence a T , segue-se que T 2P ∗ y → (x ∧ ¬x). Portanto, o teorema da
dedução não é válido.
Proposição 3.4.6 Podemos estabelecer uma limitação do teorema da dedução, aplicado somente à fórmulas, isto é, {α}∪{β} |=P ∗ γ ⇒ α |=P ∗ (β → γ).
Chamemos esta limitação de teorema da dedução fraca.
Prova. Suponha que {α} ∪ {β} |=P ∗ γ. Temos, assim, dois casos:
(i) Existe U ⊆ {α} ∪ {β}, tal que M odB (U ) 6= ∅ e M odB (U ) ⊆ M odB (γ).
Neste caso, a demonstração é análoga à prova do teorema da dedução de P .
(ii) γ ∈ {α} ∪ {β}. O resultado segue da definição de P ∗ .
3.4.2
Inconsistência e Trivialidade em P ∗
Proposição 3.4.7 Se α é uma C-Contradição, então T |=P ∗ α ⇔ α ∈ T .
Prova. Suponha que T |=P ∗ α e α é uma C-Contradição. Como T |=P ∗ α,
então ou α ∈ T ou T 0 ⊆ T, C-Consistente, tal que T 0 |=B α. Mas, se α é
C-Contradição, não existe T 0 , C-Consistente, tal que T 0 |=B α. Portanto, se
α é uma C-Contradição e T |=P ∗ α, então α ∈ T .
Corolario 3.4.2 T é P ∗ -trivial ⇒ NP ∗ ⊆ T .
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
68
Prova. Se a condição para que T deduza uma contradição α é α ∈ T , é
óbvio que T |=P ∗ NP ∗ , isto é, T é P ∗ -trivial, se NP ∗ ⊆ T .
Proposição 3.4.8 T é P ∗ -trivial ⇔ NP ∗ ⊆ T e T |=P ∗ BC 7 .
Prova. Note que temos TP ∗ ∪ NP ∗ ⊆ T . Assim, se α não é C-Teorema,
nem C-Contradição, o resultado segue do fato de que T |=P ∗ BC e α é CEquivalente a uma fórmula que está na forma conjuntiva normal8 .
Este último resultado mostra que, em P ∗ , pode haver conjuntos triviais.
No entanto, como os conjuntos P ∗ -triviais não coincidem, necessariamente,
com os conjuntos P ∗ -Inconsistentes, há conjuntos P ∗ -Paraconsistentes. Isso
significa que, ainda que as lógicas paraconsistentes estabeleçam uma distinção entre inconsistência e trivialidade, alguns desses sistemas podem ser
trivializados, sob determinadas condições.
Na tabela abaixo9 , estão disponı́veis os principais resultados encontrados
neste trabalho:
7
BC representa o conjunto de fórmulas básicas - variáveis proposicionais ou a negação
de uma - da lógica clássica.
8
A prova desta última afirmação pode ser encontrada em [47], p. 25.
9
Retirada de [26], p. 5.
CAPÍTULO 3. LÓGICA PROPOSICIONAL PARACLÁSSICA
P
P∗
compacidade
X X
X
monotonicidade
X X
X
inclusão
X ×
X
idempotência
X ×
×
transitividade
X ×
×
transitividade fraca
X X
X
dedução
X X
×
dedução fraca
X X
X
conjuntos triviais
X ×
X
conjuntos inconsistentes
X X
X
conjuntos fortemente inconsistentes X ×
X
C
conjuntos paraconsistentes
×
X
69
X
(X) Significa que a respectiva lógica tem a propriedade ou conjuntos
indicados.
(×) Significa o contrário.
Capı́tulo 4
Paraconsistência e Categoria
The mathematics of the future, like that of the
past, will include developments which are relevant
to the philosophy of mathematics ... They may
occur in the theory of categories where we see,
once again, a largely successful attempt to reduce
all of pure mathematics to a single discipline.
- Abraham Robinson
No capı́tulo anterior, utilizamos a teoria de conjuntos como fundamento
para a lógica, bem como ferramenta para as demonstrações. Neste capı́tulo,
faremos um trajeto diferente. Começaremos apresentando duas noções básicas de Teoria de Categorias, a saber: categoria e funtor. Trata-se de uma
teoria matemática que se pretende mais abstrata e fundacional que a teoria de
conjuntos. Portanto, no escopo da Lógica Universal, é interessante analisar
as possı́veis relações entre lógica e categoria, e as vantagens e desvantagens
desta abordagem face a abordagem conjuntista.
Após esta apresentação conceitual, utilizaremo-na para definir os conceitos de lógica e, em particular, de lógica paraconsistente. O objetivo central
deste capı́tulo é apresentar uma forma de, a partir de uma lógica qualquer
70
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
71
dada, definir sua contraparte paraconsistente1 .
Costa-Leite denomina esta tarefa de paraconsistentização de lógicas. Segundo o autor,
O verbo paraconsistentizar (...) significa o processo de transformar uma dada
lógica em uma lógica paraconsistente (...); o substantivo paraconsistentização
(...) significa não apenas uma, mas uma pluralidade de métodos e estratégias
para paraconsistentizar uma dada lógica2 .
Este assunto é fundamental pois, a partir do desenvolvimento e estabelecimento de diversas lógicas paraconsistentes, não há mais dúvidas acerca
de seu estatuto lógico-formal, bem como de suas aplicações práticas. No entanto, o que temos é uma gama de diferentes lógicas, mas sem um estudo a
respeito das propriedades inerentes a todas estas.
Assim, “paraconsistentização é a teoria geral das lógicas paraconsistentes.
Por isto, é para as lógicas paraconsistentes o que a lógica universal é para as
lógicas em geral3 ”.
Portanto, o que pretendemos explorar neste capı́tulo é a possibilidade de
uma paraconsistentização de lógicas via teoria de categorias.
4.1
Categoria
Comecemos apresentando os conceitos categoriais utilizados neste capı́tulo.
Definição 4.1.1 Uma categoria C contém4 :
(i) Uma coleção cujos elementos são denominados C-objetos;
(ii) Uma coleção cujos elementos são denominados C-morfismos;
1
Este tema foi-nos apresentado e sugerido por Costa-Leite.
[17], p. 136.
3
[17], p. 134.
4
Seguimos a apresentação axiomática de [33].
2
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
72
(iii) Uma operação que designa, para cada C-morfismo f , um C-objeto,
dom(f ), chamado domı́nio de f ; e um C-objeto, codom(f ), denominado
contradomı́nio de f . Quando a = dom(f ) e b = codom(f ), o morfismo f
f
é denotado por f : a → b ou a −→ b.
(iv) Uma operação que designa, para cada par hg, f i de C-objetos, tal
que dom(g) = codom(f ), um C-morfismo g ◦ f , denominado composição
de f e g, de forma que dom(g ◦ f ) = dom(f ) e codom(g ◦ f ) = codom(g).
Toda composição de morfismos segue a Lei de Associatividade, isto é, se
f
g
h
a −→ b −→ c −→ d, então h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , isto é, o diagrama abaixo
comuta.
f
a ........................................................... b ...
...
...
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.....
.
...... ........
....... .
g◦f
g
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
.......
........................................................
h◦g
h
c
d
(v) Uma operação que designa, para cada C-objeto a, um C-morfismo
Ida : a → a, denominado identidade em a. Toda identidade obedece a Lei
f
g
da Identidade. Isto significa que, dados a −→ b −→ c, então Idb ◦ f = f e
g ◦ Idb = g. Isto é equivalente a afirmar que o diagrama abaixo comuta.
f
a ........................................................... b ...
...
...
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.....
...... ..........
.
.
.
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
........
........................................................
Idb
f
b
g
g
c
Definição 4.1.2 Um funtor F da categoria C na categoria D é um morfismo
que determina:
(i) um D-objeto F(a), para cada C-objeto a;
(ii) para cada C-morfismo f : a → b, um D-morfismo F(f ) : F(a) → F(b).
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
73
Além disso, para caracterizar-se como funtor, F deve respeitar as seguintes propriedades:
(a) F(Ida ) = IdF(a) ;
(b) Se (g ◦ f ) estiver definida, então F(g ◦ f ) = F(g) ◦ F(f ).
Passemos à construção de outros conceitos necessários à formalização categorial de lógica.
Definição 4.1.3 Chamamos de estrutura de consequência o par
hX, Cni, tal que:
(i) X é um conjunto, denominado dominio da estrutura;
(ii) Cn : ℘(X) → ℘(X), denominada operador de consequência da
estrutura.
Definição 4.1.4 Sejam hX, Cni uma estrutura de consequência e A ⊆ X.
(i) Cn(A) é o conjunto das consequências de A;
(ii) A é Cn-Consistente ⇔ Cn(A) 6= ∅. Quando este não for o caso, A é
Cn-Inconsistente.
Definição 4.1.5 Sejam duas estruturas de consequência hX, Cni , hX 0 , Cn0 i.
Definimos o morfismo t : X → X 0 , injetor, tal que para todo A ⊆ X,
t(Cn(A)) = Cn0 (t(A)), ou seja, o diagrama abaixo comuta. A tal morfismo,
daremos o nome de tradução5 .
............................................
℘(X) ......................Cn
℘(X)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
t
t
0
............................................
℘(X 0 ) .................Cn
℘(X 0 )
5
Note que, eventualmente, utilizaremos a mesma notação para a função t estendida ao
conjunto das partes, como no diagrama abaixo.
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
74
As traduções possuem as seguintes propriedades:
Proposição 4.1.1 Composição de tradução é tradução.
t
t
1
2
Prova. Sejam hX, Cni −→
hX 0 , Cn0 i −→
hX 00 , Cn00 i.
Assim, (t2 ◦ t1 )(Cn(A)) = t2 (t1 (Cn(A))) = t2 (Cn0 (t1 (A))) =
Cn00 (t2 (t1 (A))) = Cn00 ((t2 ◦ t1 )(A)). Isto é, o diagrama seguinte comuta.
............................................
℘(X) ......................Cn
℘(X)
t1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
..
...
...
...
...
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..........
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..........
.
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
t1
0
............................................
℘(X 0 ) .................Cn
℘(X 0 )
t2
t2
00
............................................
℘(X 00 ) ...............Cn
℘(X 00 )
Proposição 4.1.2 Identidades são traduções que satisfazem a Lei de Identidade.
t
Id
0
1
X
hX 0 , Cn0 i , hX 0 , Cn0 i −→
hX 0 , Cn0 i e
Prova. Sejam hX, Cni −→
t
2
hX 0 , Cn0 i −→
hX 00 , Cn00 i. Por um lado, temos que, (IdX 0 ◦ t1 )(Cn(A)) =
Cn0 ((IdX 0 ◦ t1 )(A)) = Cn0 (t1 (A)) = t1 (Cn(A)), isto é, IdX 0 ◦ t1 = t1 . Por
outro, segue-se que (t2 ◦IdX 0 )(Cn0 (A)) = Cn00 ((t2 ◦IdX 0 )(A)) = Cn00 (t2 (A)) =
t2 (Cn0 (A)), isto é, t2 ◦ IdX 0 = t2 . Assim, o diagrama abaixo comuta.
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
75
t
hX, Cni ..........................1............................... hX 0 , Cn0 i
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.........
t1
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
0
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.........
t2
IdX
t
hX 0 , Cn0 i ........................2........................... hX 00 , Cn00 i
Proposição 4.1.3 Composição de traduções é associativa.
t
t
t
1
2
3
Prova. Sejam hX, Cni −→
hX 0 , Cn0 i −→
hX 00 , Cn00 i −→
hX 000 , Cn000 i.
Assim, temos que t3 ◦ (t2 ◦ t1 )(Cn(A)) = t3 (t2 (t1 (Cn(A)))) =
t3 (t2 (Cn0 (t1 (A)))) = t3 (Cn00 (t2 (t1 (A)))) = Cn000 (t3 (t2 (t1 (A)))) =
Cn000 ((t3 ◦ t2 ◦ t1 )(A)). Desta forma, o diagrama seguinte comuta.
............................................
℘(X) ......................Cn
℘(X)
t1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
..
.
..........
.
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...
...
...
...
...
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...
...
...
...
...
...
...
..
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
t1
0
............................................
℘(X 0 ) .................Cn
℘(X 0 )
t2
t2
00
............................................
℘(X 00 ) ...............Cn
℘(X 00 )
t3
t3
000
............................................
℘(X 000 ) ............Cn
℘(X 000 )
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
76
Proposição 4.1.4 As traduções preservam os conjuntos consistentes. Isto
t
significa que, dados hX, Cni −→ hX 0 , Cn0 i, e A ⊆ X, se A é Cn-Consistente,
então t(A) é Cn0 -Consistente.
Prova. Temos que provar que, se Cn(A) 6= ∅, então, Cn0 (t(A)) 6= X 0 .
Suponha que A é Cn-Consistente, e t(A) é Cn0 -Inconsistente. Assim, temos
que Cn(A) = X e Cn0 (t(A)) = X 0 . Mas, como t é tradução, segue-se que
t(Cn(A)) = Cn0 (t(A)) e, portanto, t(Cn(A)) = X 0 . Além disso, como t é
injetora, temos que Cn(A) = X, o que contraria nossa hipótese inicial. Logo,
se Cn(A) 6= ∅, então Cn0 (t(A)) 6= ∅.
4.2
Lógica via Categorias
Com esse pano de fundo conceitual, podemos, finalmente, definir lógica
enquanto uma categoria. Formalmente,
Definição 4.2.1 A categoria CON das estruturas de consequência consiste
em:
(i) Objetos de CON : hX, Cni;
(ii) Morfismos de CON : traduções
Como estamos interessados em definir a contraparte paraconsistente de
um sistema não-paraconsistente, reformularemos a lógica paraclássica P com
este novo campo conceitual.
Definição 4.2.2 Sejam hX, Cni uma estrutura de consequência e A ⊆ X,
[
CnP (A) = {Cn(A0 ) : A0 ⊆ A, Cn(A0 ) 6= X}.
Em particular, a ∈ CnP (A) ⇔existe A0 ⊆ A, Cn−Consistente, tal que a ∈
Cn(A0 ).
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
77
O último passo é definir um método de paraconsistentização de lógica.
Para isto, utilizaremos o conceito de funtor, visto que “um funtor é uma
transformação de uma categoria em outra que ‘preserva’ a estrutura categorial de sua origem”6 . Portanto, o Funtor de Paraconsistentização será
responsável por definir, para uma lógica explosiva, sua contraparte paraconsistente. Formalmente:
Definição 4.2.3 Definimos o Funtor de Paraconsistentização P
P
em CON , denotado por CON −→ CON , tal que:
(i) P hX, Cni = X, CnP .
(ii) P(t) = t.
Evidenciaremos a construção da alı́nea (ii). Visto que P(t) = t, mostra
t remos que hX, Cni −→ X 0 , Cn0P é uma tradução, isto é, preserva os operadores de consequência. Assim, precisamos mostrar que para todo A ⊆ X,
temos que (t(CnP (A))) = Cn0P (t(A)).
Prova.
S
t(CnP (A)) = t( {Cn(A0 ) : A0 ⊆ A, Cn − Consistente})
S
=
{t(Cn(A0 )) : A0 ⊆ A, Cn − Consistente}
S
=
{Cn0 (t(A0 )) : t(A0 ) ⊆ t(A), Cn0 − Consistente}
= Cn0P (t(A))
Para garantir que P é um funtor, note que ele possui as seguintes propriedades:
(a)P(Ida ) = IdP(a)
(b)P(a ◦ b) = P(a) ◦ P(b)
6
[33], p. 194.
CAPÍTULO 4. PARACONSISTÊNCIA E CATEGORIA
78
Prova.
(a)P(IdX ) = IdX = IdP(X) .
t
t
1
2
(b) Sejam hX, Cni −→
hX 0 , Cn0 i −→
hX 00 , Cn00 i. Segue-se que P(t2 ◦ t1 ) =
P(t2 (Cn0 (t1 (A)))) = t2 (Cn0 (t1 (A))) = Cn00 (t2 (t1 (A))) = Cn00 ((t2 ◦ t1 )(A)) =
Cn00 ((P(t2 ) ◦ P(t1 ))(A)).
Com isto, temos uma nova abordagem para estudar a lógica paraclássica.
Vimos, no capı́tulo anterior, que ela preserva algumas propriedades clássicas,
como compacidade e monotonicidade. Podemos nos perguntar quais outras
propriedades podem ser determinadas do ponto de vista categorial.
Notem que, ao definir o conjunto das consequências de P , não fizemos
referência a uma lógica subjacente especı́fica. Portanto, o funtor de paraconsistentização P pode ser aplicado, a princı́pio, em qualquer sistema lógico.
Seria interessante analisar a preservação de propriedades desse funtor em
diversos lógicas. Ademais, poderı́amos aplicar P seguidas vezes numa mesma
lógica, e estudar as caracterı́sticas das lógicas resultantes, ou ainda, descobrir
se faz sentido repetir esta operação, isto é, se cada aplicação de P gera uma
lógica diferente.
Em suma, este capı́tulo estabelece as bases para a formulação e investigação de diversas questões interessantes referentes à paraconsistentização e
preservação de propriedades de operadores de consequência.
Considerações Finais
As I told earlier, I never repeat anything.
- Autor desconhecido
A lógica paraconsistente, apesar de ter pouco mais de meio século de
existência, constitui-se como um campo bem estabelecido de pesquisa, com
vários congressos e publicações espalhados pelo mundo . No entanto, também
pela sua pouca idade, ainda há muito trabalho a ser feito.
Do ponto de vista filosófico, a separação entre inconsistência e trivialidade
ainda não está completamente estabelecida e, com frequência, encontramos
filósofos rechaçando determinada posição simplesmente porque esta contém
informações contraditórias. O mesmo se dá no campo das teorias cientı́ficas.
Isto mostra que o motto “de contradição, tudo se segue”ainda tem lugar
especial nos fundamentos de teorias filosóficas e cientı́ficas.
Obviamente, não queremos dizer que contradições não constituem problemas. Em determinadas situações, é necessário removê-las, caso estas
apareçam na teoria. Imaginem, por exemplo, uma triagem médica computadorizada que apresenta, para um paciente, o diagnóstico de que ele corre risco
de vida, e que ele não corre risco de vida. Neste caso, um dos diagnósticos
precisa ser removido. Não obstante, a presença de contradições não pode ser
vista como condição suficiente para rejeitar uma teoria. Afinal, contradições
não implicam, necessariamente, tudo.
79
Considerações Finais
80
Mesmo no exemplo anterior, o médico não deduz, a partir do diagnóstico
contraditório que, se o paciente tomar um copo d’água, enquanto salta de
paraquedas com os olhos vendados, estará curado. Tal dedução seria válida
na lógica clássica mas, obviamente, não ajudaria em nada. Portanto, mesmo
neste caso em que as contradições devam ser removidas, a melhor forma de
analisar as informações é mediante o uso de lógicas paraconsistentes.
Essas lógicas também forneceram um novo aparato para estudar os conceitos centrais da lógica. Se, durante certo tempo, a negação paraconsistente
não era considerada uma negação propriamente dita, isto se deu pela falta
de entendimento do conceito de negação, e não da formulação da lógica paraconsistente.
Ainda que, no inı́cio de seu desenvolvimento, a paraconsistência esteve,
algumas vezes, erroneamente relacionada com a refutação da lei de nãocontradição, este equı́voco também deu frutos. Por ser considerada a lei
mais segura de todas, a possibilidade lógica de sua refutação levou os lógicos
a questionarem a própria existência de uma lei universal lógica, ou ainda,
de uma lei universal do pensamento7 . Esse questionamento levou ao desenvolvimento de uma nova e promissora linha de pesquisa, a Lógica Universal,
que aborda a lógica de um ponto de vista abstrato inimaginável há poucas
décadas.
Do ponto de vista formal, também há muitas questões em aberto. Ainda
não há uma definição unı́voca de paraconsistência. Tampouco há um critério
positivo para caracterizar tais lógicas. Ademais, falta um estudo pormenorizado das caracterı́sticas comuns às múltiplas lógicas paraconsistentes particulares. Este é o objetivo da Paraconsistentização.
Os dois últimos capı́tulos deste trabalho apresentam possı́veis pesquisas
futuras. O tratamento conjuntista utilizado no terceiro capı́tulo pode ser ampliado, estabelecendo uma dimensão sintática para as lógicas paraclássica e
7
Visto que, durante muito tempo, se acreditou que a lógica tinha como tarefa estabe-
lecer as leis gerais do pensamento.
Considerações Finais
81
paraclássica com inclusão. Assim, seria possı́vel estudar outras propriedades
lógicas, como correção e completude. Outra pesquisa interessante seria definir
a relação de consequência paraclássica a partir de outro sistema. Vimos que
T |=P α ⇔ existe U ⊆ T , C-Consistente, tal que U |=B α. Poderı́amos substituir o critério ‘C-Consistente’ por outra lógica, e analisar as propriedades
preservadas, bem como as particulares de cada sistema.
O quarto capı́tulo constitui-se como uma contribuição promissora para a
paraconsistentização de lógicas. Trata-se de um arcabouço teórico que permite definir a contraparte paraconsistente de uma lógica explosiva, e estudar
a preservação de propriedades lógicas.
Esta abordagem poderia ser utilizada, ainda, para explorar outros problemas filosóficos e cientı́ficos, como, por exemplo, a teoria atômica de Bohr.
Isto, pois, “não há ramo das matemáticas, não importa quão abstrato, que
não possa, algum dia, ser aplicado a fenômenos do mundo real”8 .
8
Lobachevsky, citado por [46], p.225.
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