Complementos de Análise e Integração
Nuno C. Freire
Maio 2012
ISBN: 978-989-20-3089-0
1
(i)
Introdução
Este texto dá um apontamento sobre integração, no sentido de uma revisão
do assunto que em particular esclarece a relação entre a exposição nos conhecidos livros de texto por Kolmogorov e Fomin, Elementos da Teoria das Funções e
de Análise Funcional por um lado e por W. Rudin, Real and Complex Analysis,
por outro. É assim de interesse para o aluno, pelo 2 ou 3 anos das habituais
Licenciaturas; também posteriormente, já que além do tema em Análise Real,
se expõe o integral para funções definidas ou tomando valores em espaços de
Banach (domínio de dimensão finita). As referências bibliográficas dão também
atenção para textos que consideramos pertinentes, não só no tema do integral
mas também de modo geral em Análise Real e em Análise Funcional e, naturalmente é exposta matéria fundamental nos temas. Num plano para nós ideal, dá
ao aluno uma revisão geral, por terminar o 3 ano, das propriedades de limites e
continuidade de funções; assim como de partes fundamentais de Topologia e Espaços Métricos. Depreende-se como o integral de Lebesgue consiste também em
completar o espaço das funções integráveis da forma elementar; recomenda-se
neste aspecto o livro por Esther Phillips nas Referências. O texto inclui o completamento de um espaço métrico via sucessões de Cauchy na primeira parte,
seguindo [Heuser]; referem-se também após, métodos mais directos usando o espaço () para os espaços métricos (seguimos aqui [Aliprantis e Burkinshaw] e
considerando o espaço bidual, para os espaços normados (ver [Taylor and Lay]).
No Capítulo 6, Um integral geral, expomos brevemente como em [Lang]. Numa
nota finalizando, abordamos a relação da integração com métodos numéricos
relacionando com equações diferenciais ordinárias. É desejável que os estudantes tenham uma introdução à Análise Numérica, o que é conseguido nos
Cursos habituais desde o passado século. O texto não é exclusivamente Didáctico contudo. Observa-se que a condição de continuidade da função integranda
num ponto é não só suficiente, mas necessãria, para o Teorema Fundamental
do Cálculo, no contexto do integral de Riemann (3.11., P. 26). Contámos com
a leitura atenta de partes fundamentais do texto pela Colega Sandra Vinagre.
No Cap 12, penúltimo, faz-se um resumo de elementos básicos da teoria dos
operadores em espaços de Banach, indispensável à compreensão do Capítulo 11,
sobre o integral de Bochner; este Capítulo 12 não dispensa, tal como os outros mas, este de um modo muito particular, a leitura de textos na Bibliografia
([Hille and Phillips], nem as referências se compreendem como exaustivas necessariamente). Também à colega Sandra Vinagre, agradecemos indicação quanto
ao processamento do texto. Consideramo-lo como possivelmente, no contexto
actual das Licenciaturas, poder acompanhar um aluno num Curso de Mestrado
ou Doutoramento no ramo de Análise. Deixamos ao critério dos colegas se
será oportuno para apoio numa Disciplina introdutória, seja destinada a um
Mestrado ou Doutoramento. Agradecemos ainda ao colega Russel Alpizar Jara
a leitura e correcção de partes do texto.
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1 Funções reais da variável real.
1.1. Sejam ( ) e ( ) espaços métricos e : ⊂ → uma função.
Esta função é contínua no ponto ∈ , pela definição, se para cada 0
certo 0 existe verificando-se ( () ()) para cada em tal que
( ) . Designando por
( ) = { ∈ : ( ) } a bola aberta de
centro e raio em e por ( () ) = { ∈ : ( ()) analogamente
a bola aberta em , pondo () = { () : ∈ } ( ⊂ ), o mesmo é que
para cada 0, existe 0 tal que (
( ) ∩ ) ⊂ ( () ). A
definição generaliza-se para uma função : ⊂ → onde e sáo
espaços topológicos pondo que é contínua em ∈ se para cada vizinhança
de () em , uma vizinhança de em existe tal que ( ∩ ) ⊂ .
A continuidade da função no ponto do domínio significa que aproximando
por pontos que têm também uma imagem (), as imagens () aproximam
indefinidamente () e assim, é implícito que o ponto se pode aproximar
também indefinidamente por pontos do domínio, para se considerar a definição.
Por outro lado e intuitivamente, cada função constante () = ( ∈ ) em
que as imagens não se diferenciam da imagem () do ponto, deve no sentido
pretendido ser contínua em e, ainda, convém decidir se é ou não contínua
num ou noutro ponto. Quer dizer, por exemplo a função real da variável real
: = {0 1 : = 1 2 } → R, () = 1 constante, deve ser contínua
em cada ponto do domínio. Isto está incluído na definição para pontos da
forma 1; basta considerarmos, dado 0 o valor = 1 − 1( + 1).
(1 é um ponto isolado de , existe 0, (1 ) ∩ = {1} onde
( ) =] − + [ é a bola aberta para a métrica euclideana ( ) =| − |
que usualmente se considera em R). [Ostrowsky] dá, p. 11 um resumo de R
como corpo ordenado.
Também em Análise Real, consideram-se habitualmente funções dadas por
uma relação () no corpo ordenado R em que podemos usar todas as propriedades do corpo e, é inseparável do conceito de continuidade uma noção
de limite. Seguindo [Guerreiro], dada a função : ⊂ R → R e um
ponto não exterior ao domínio (recordar o conjunto exterior de , notado () = { ∈ R : ∃ 0 ( ) ⊂ R\}) tem-se = lim→ () se em
linguagem lógica, dado 0 certo 0 existe, sendo verdadeira a implicação
∈ e | − | ⇒| () − | . Verifica-se que o limite num ponto,
se existe, é único e sugerimos ao leitor que o comprove (recordar a propriedade
triangular | + |≤| | + | |, na forma | − 0 |≤| − | + | − 0 |).
Também, seguindo esta definição, é contínua em a se e somente se existe o
limite de no ponto e, que não pode deixar de ser então o valor (). É nítida
a observação acima de que para se considerar um limite lim→ () devemos
poder considerar a variável aproximando-se indefinidamente do ponto. Isto
significa que deve ser um ponto de acumulação de , em linguagem lógica,
∈ 0 ≡ ∀ 0 ( ) ∩ \{} 6= (donde cada intervalo aberto centrado em
contem uma infinidade de pontos em ).
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4 Assim se compreende que muitos autores tomem para definição do limite,
a função verificar a condição,também em linguagem lógica,
Definição lim→ () = ≡ ∀ 0 ∃ 0 0 | − | ⇒| ()− | .
Depara-se com uma questão de linguagem: Deve a propriedade ( ) =|
0 |= 0 bastar para que se considere a expressão Tomar a variável um valor
"no limite"? E se neste "limite", a função é indefinidamente próxima da imagem
(), deve considerar-se ainda que é contínua no ponto? Aparte preferirmos esta
interpretação, nomeadamente porque a questão tem resposta em [Guerreiro],
pelo conceito de limite de no ponto a por valores na parte de (i.e., dado
⊂ ∈
(), põe-se
lim→∈ () = ≡ ∀ 0 ∃ 0 ∈ e | − | ⇒| () − |
; e assim em Definição o que se considera é o limite lim→∈\{} () =
lim→6= (). Aparte a nossa interpretação, tomamos o limite no ponto por
valores diferentes no ponto i.e., Definição acima, como o que significamos com
lim→ () em Análise Real.
1.2. O conceito acima lim→∈ () = , dada a função : → R ⊂
e dado ∈
() dá um critério simples para decidir se o limite não existe.
Pois pelas definições, em existindo lim→ () = então para cada subconjunto
de tal que ∈
() deve ter-se também lim→∈ () = . Logo, se
este limite por valores em não existe ou, se dadas duas partes de ,
existem lim→∈ () = e lim→∈ () = 0 , 6= 0 então não existe o
limite da função no ponto . Convencionamos que precisamos que um limite
da função num ponto é infinito sempre que se tenha uma das condições
Limite +∞ ≡ ∀ 0 ∃ 0 | − | ⇒ () 1 ou
Limite −∞ ≡ ∀ 0 ∃ 0 | − | ⇒ () −1.
1.3. Exercício
Mostre que dada a função : → R e dados ⊂ ∈
(), tem-se
que existe o limite lim→∈ () = se e só se lim ( ) = para cada
sucessão ( ) em convergente para (pode usar as definições na forma da
sua expressão lógica; note que uma relação é consequência de uma relação ,
é o mesmo que a negação de implica a negação de . Trata-de de obter uma
demonstração pelo método de provar a contra-recíproca).
1.4. Se bem que para o limite de uma função num ponto se estude o comportamento da função numa vizinhança do ponto e, assim para valores próximos
da variável independente no domínio da função, convem notar que a função
: ⊂ R → R pode ser contínua em ∈ sem que no entanto seja
contínua em nenhuma vizinhança ( ). É o caso por exemplo da função
: [−1 1] → R definida
como segue. Considerando = {1 : = 2 },
P
ponhamos () = ∞
= 12 para 1 ≤ 1( − 1) e () = 0 ( ≤ 0).
Esta função é contínua no ponto 0, descontínua em cada ponto de .
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1.5. Recorde-se o teorema da sucessão monótona: Dada a sucessão real
crescente e majorada (decrescente e minorada) ( ), a sucessão é convergente
e lim = sup{ : = 1 2 } (lim = inf{ : = 1 2 }). E que
(() ) = : N → é uma subsucessão da sucessão ( ) em se é uma
composta = ( ) após : 7→ (), onde : N → N é estritamente
crescente. No texto Tópicos de Análise Matemática de Vítor Neves encontrase (NAMIIv99.pdf, pp. 402-3) uma prova de que toda a sucessão tem uma
subsucessão monótona. Utilizando o conceito de cume i.e., um termo é um
cume se ≥ ( ≥ ). Se cada termo é um cume, então a sucessão é
decrescente; distinguem-se então os casos de não existirem cumes a partir de
certa ordem (a sucessão tem então uma subsucessão crescente) e de existirem
cumes de ordem arbitrariamente grande, caso em que ( ) tem uma subsucessão
decrescente.
Conclui-se imediatamente que toda a sucessão limitada tem uma subsucessão
convergente.
1.5. Exercício Mostre que o ponto é limite de uma subsucessão de ( ) se e
só se para cada 0, existe uma infinidade de índices tais que ∈]− +[
(este é o Teorema 9. em [Lages Lima], p. 94).
1.6. Seguindo [Guerreiro], dizemos que um ponto é um valor de aderência
da sucessão limitada ( ) se é o limite de uma subsucessão de ( ).
1.7. Recordar que um subconjunto de R é fechado se e só se contem o
seu conjunto derivado 0 , conjunto dos pontos de acumulação de . E que
esta propriedade é equivalente a que contem o limite de qualquer sucessão
convergente de pontos seus (tenha em atenção 1.5. acima; nomeadamente, cada
ponto de acumulação de é limite de uma sucessão em , o que é proposto
como Exercício). Seguindo [Guerreiro], temos que o conjunto A dos valores de
aderência da sucessão ( ) é um conjunto fechado (pp. 204-5) que como vimos,
não é vazio se é também um conjunto limitado. Se não é limitado, como
complemento a 1.5., sugerimos ao leitor que tem pelo menos um limite infinito
(+∞ ou −∞). Podemos por abuso de linguagem considerar +∞ e −∞ pontos
no infinito.
1.8. Seja ( ) uma sucessão real limitada, | |≤ ( = 1 2 ) e ponhamos 1 = sup{1 2 }, 2 = sup{2 3 }, ..., = sup{ +1 } .
Temos 1 ≥ 2 ≥ ≥ ≥ +1 ≥ ≥ −, logo existe = lim =
inf{ 1 2 }. Notamos = lim sup e dizemos ([Guerreiro], [Lages Lima])
que é o limite superior de ( ). Analogamente, pondo = inf{ +1 }
( = 1 2 ) obtemos a sucessão crescente e majorada ( ) a qual terá um
limite = lim = sup{1 2 }. Dizemos que é o limite inferior de ( ) e
notamos lim inf = .
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1.9. Observação Verifica-se facilmente pela definição, considerando a expressão lógica, que se = lim então para cada (resp. para cada
) certa ordem existe tal que ( ) para cada ≥ .
Conclui-se a passagem de uma desigualdade ao limite: Se ≤ ( ≥ ) e
lim = , lim = então ≤ . Recordar também o teorema das sucessões
enquadradas: Dadas sucessões convergentes → e → , se ≤ ≤
então → .
1.10. Teorema
Dada a sucessão real limitada ( ) tem-se que = lim sup é o maior valor
de aderência de ( ) e = lim inf é o menor valor de aderência de ( ).
Dem. Para cada 0, temos ≤ + pela definição de ínfimo, a
partir de certa ordem: sendo , o ínfimo, o maior dos minorantes, + já não é
um minorante do conjunto { 1 2 } e, além disso, ( ) é decrescente.
Também − = sup{ +1 } para todo o (pois ≤ para
todo o ). Então pela definição do supremo como o menor dos majorantes, pelo
menos um termo , com ≥ existe, sendo − . Logo existe pelo
menos um ∈] − + [ e tomando = 1 = 1 2 podemos considerar
(1) ∈] − 1 + 1[; seguidamente, existe seguindo o raciocínio feito, certo
(2) (1) (2) ∈] − 12 + 12[ e assim sucessivamente, concluimos que
existe uma subsucessão (() ) () ∈] − 1 + 1[; é () →→∞
(podemos notar lim→∞ () = ). Portanto é um valor de aderência de
( ). É o maior dos sublimites. Pois se = inf{ 1 2 } então para
temos ( ≥ ), certo ( não é um minorante do conjunto
dos ); então ≥ sup{ +1 } ≥ ( ≥ ). Logo escolhendo
= ( − )2, nenhum termo ∈] − + [ ≥ e assim usando 1.5.,
não é limite de nenhuma subsucessão de ( ). Analogamente para o lim inf ,
concluido-se o teorema.
1.11. Corolário
A sucessão real limitada ( ) tem limite se e só se = lim inf =
lim sup .
Dem. A condição necessária é consequência do teorema acima, pois se ( )
converge para um limite , cada subsucessão de ( ) converge para (comprove
utilizando posivelmente a expressão lógica). Para a condição suficiente existirá,
se lim inf = lim sup = , dado cada 0, uma ordem tal que − =
lim inf − ≤ ≤ lim sup + = + para cada ≥ , concluindose o resultado. (Pois não existe uma subsucessão de ( ) convergente para
nenhum = lim sup + lim sup , temos ≤ lim sup ≥ , para a
desigualdade ≤ + . Rever a analogia com a desigualdade − ).
1.12. A função : ⊂ R → R diz-se limitada se existe 0, | () |≤
( ∈ ) i.e. se sup ( ) = sup{ () : ∈ } +∞ e inf = inf{ () : ∈
} −∞.
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Dada a função : [ ] → R e um ponto ≤ ≤ , em fazendo sentido, o limite à esquerda de no ponto é o limite lim→∈]] () =
lim→ () = (− ) por valores no conjunto ] [. Analogamente, (+ ) =
lim→∈][ () = lim→ () é o limite à direita. Recorde-se a propriedade do limite da função monótona: Se é crescente então (− ) = sup][
e (+ ) = inf ][ . E se é decrescente então (− ) = inf ][ , (+ ) =
sup][ .
1.13. Definição
Sendo limitada em [ ], podemos associar a cada 0 os números reais
( ) = sup()∩[] e ( ) = inf ()∩[] , onde ∈ [ ]. A função 7→
( ) (resp. 7→ ( )) é crescente (decrescente) e assim existe lim→ () =
lim→0 ( ) = inf 0 ( ) (resp. lim→ () = lim→0 ( ) = sup0 ( ))
que se diz o limite superior de no ponto ou, em (resp. o limite inferior de
em ).
1.14. Propriedade
Dada a função : [ ] → R como em 1.13., ∈ [ ], existe o limite
lim→ () = se e só se lim→ () = lim→ () = .
Dem. Se lim→ () = então (1.3.) tem-se ( ) → para cada sucessão
( ) em [ ] convergente para ; e concluimos que lim→ () = se provarmos
que ( ) → para cada sucessão → 0. De facto, existe ∈ ( ) tal
que ( ) ≤ ( ) ≤ ( ) + e concluimos ( )→0 → usando o
teorema das sucessões enquadradas. Analogamente concluimos que ( ) →→0
, a condição é necessária. Também se ( ) →→0 e ( ) →→0 então
dada → , ∈ ( ) se ≥ () para cada 0 e temos − ≤ ( ) ≤
( ) ≤ ( ) ≤ + desde que 0 seja suficientemente pequeno, para cada
0 a priori dado. Assim ( ) → e a condição é suficiente.
1.15. Corolário
A função : [ ] → R é contínua no ponto do intervalo [ ] se e só se
lim→ () = lim→ () = () (demonstração imediata).
1.16. Conclui-se que a função de Dirichlet : R → R, () = 0 ∈ Q e
() = 1 se ∈
Q é descontínua em cada ponto.
1.17. Exemplos
(1) Dada : [0 +∞[→ R () = − () onde () ="maior inteiro
≤ " tem-se em cada ponto ∈ que lim→ () = lim→0 sup{ − () :
∈ ( )} = lim 1 = 1. ( ) = inf{ − () : ∈ ( ) = 0 → 0 e
lim→ () = 0. Se não é um número inteiro então ( ) = +−() →→0
() e ( ) = − − () →→0 (); lim→ () = lim→ () = ().
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(2) Para a função : R → R (0) = 0 () = sin 1 ( 6= 0) tem-se
(0 ) = 1 → 1 = lim→0 (), lim→0 () = lim −1 = −1.
1.18 Definição
Dada como anteriormente assim como um ponto ∈ [ ], seja ( ) =
( ) − ( ). Verifica-se facilmente ([Lages Lima], p. 249) que ( ) = sup{|
() − () |: ∈ ( )}. A função 7→ ( ) é crescente, existe o limite
( ) = lim→0 ( ) = lim→ () − lim→ (). Dizemos que ( ) é a
oscilação de no ponto .
1.19. A função limitada : [ ] → R é contínua no ponto ∈ [ ] se e só
se ( ) = 0.
Dem. Conclui-se do Corolário 1.15.
1.20. Exemplos
(1) Para a função em 1.17. (1), encontramos ( ) = 1 ( = 1 2 ) e
( ) = 0 se ∈
N. (2) A função não limitada : [−1 1] → (0) = 0 e
() = (sin ) podemos dizer, generalizando as definições para supremos e
ínfimos infinitos, que tem oscilação infinita no ponto 0.
1.21. Dada uma função : [ ] → R, um ponto ∈ [ ] pode ser um
ponto de descontinuidade de ( não é contínua em ) porque não existe um
limite lateral da função no ponto (inclusivamente, o limite ser infinito) ou num
2 caso, existindo ambos os números reais (− ) (+ ) mas sendo diferentes
ou, coincidindo mas sendo diferentes do valor (). Neste 2 caso, dizemos
que tem uma descontinuidade simples ou de 1 espécie em e que é uma
descontinuidade de 2 espécie no 1 caso.
1.22. Exemplos (1) A função em (1), 1.17. só tem descontinuidades simples.
(2) a função : [−1 1] → R (0) = 0 () = sin 1 ( 6= 0) tem uma dscontinuidade de 2 espécie no ponto 0. (3) A função : [−1 1] → R () = 0
( ∈ Q) e () = 1 ( ∈
Q) verifica ( ) = 1 em cada ponto . Tem
uma descontinuidade de 2 espécie em cada ponto (considerem-se os limites
lim→∈(0) () e lim→∈(1) () onde (0) =] − [∩Q e (1) =
] − [\Q, concluindo-se que não existe (− )).
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Dizemos que o conjunto é contável se é finito (existe uma bijecção
: {1 } → ) ou numerável i.e., existe uma bijecção : → .
Encontra-se em [Rudin 1], p. 97:
1.22. Proposição
Dada qualquer função : [ ] → R, o conjunto das suas descontinuidades
simples é contável.
1.23. Observação Verifica-se sem dificuldade que se é um ponto de acumulação do conjunto dos termos da sucessão ( ), então existe uma subsucessão
() →→∞ . E que se ( ) é uma sucessão monótona então o conjunto
{ : = 1 2 } tem no máximo um´ponto de acumulação , sendo então
convergente para .
Recordar ([Guerreiro], p. 203)
1.24.Teorema de Bolzano-Weierstrass
Todo o conjunto infinito limitado de números reais tem um ponto de acumulação.
1.25. Propriedade
Uma função monótona : [ ] ∈ R só tem descontinuidades de 1 espécie.
Dem. A função é limitada (| () |≤ max{| () | | () |}). Dado um
ponto 0 ∈] ] e uma sucessão → 0 0 , a sucessão ( ( )) é limitada
e podemos supor que o conjunto dos termos é infinito. Tem assim um ponto de
acumulação único e converge para . (1.23., 1.3.) c.q.d.
1.26. Definição
A função : [ ] → R diz-se que é de variação limitada em [ ] ([Kolmogorov e Fomin], [Lages Lima], [Rudin 1]) se existe uma constante tal que
qualquer
que seja a partição = 0 1 = de [ ] se tem
P
|
( ) − (−1 ) |≤ . A menor destas constantes diz-se que é
=1
a variação total de em [ ] e nota-se ( ). Representa-se por [ ] o
conjunto das funções de variação limitada em [ ].
Considerando partições de [ ] incluindo o ponto verifica-se que sendo
∈ [ ] se tem ( ) = ( ) + ( ).
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1.27. O conjunto [ ] algebrizado para a soma ( + )() = () + ()
e ( )() = () ( ∈ [ ] ∈ R) é um espaço vectorial real. Para ∈
[ ] ∈ R tem-se ( + ) ≤ ( ) + () e ( ) =| | ( ).
Dem. Ver [Kolmogorov e Fomin], pp. 323-4.
Encontra-se também em [Kolmogorov e Fomin] (p 325):
1.28. A função : [ ] → R está em [ ] se e só se existem funções
crescentes de [ ] em R tais que = − .
Concluimos usando 1.22. e 1.25. a
1.29. Propriedade
O conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função de variação limitada em [ ] é contável e em cada um destes pontos, tem limites laterais
finitos.
1.30. Exemplos (1) A função (1) em 1.17. não é contínua mas é de variação
limitada. (2) A função : [− ] → R () = sin 1 ( 6= 0) e (0) = 0 é
contínua mas ∈
[− ] ([Lages Lima], 31., p. 285).
1.31. Recordar que a função :] [→ R é diferenciável no ponto ∈
] [ se existe o limite lim→0 ( ( + ) − ()) = 0 () em R. Se existe
o limite infinito, dizemos que a derivada no ponto é infinita. Podem também
considerar-se as derivadas laterais 0 () = lim→00 (( ( + ) − () e
0 () = lim→00 ( ( + ) − ()) nos extremos, assim como em qualquer
ponto interior do intervalo. Neste sentido podemos considerar uma função diferenciável : [ ] → R.
1.32. Podemos considerar, dada a função : [ ] → R, os números na
recta acabada [−∞ +∞] dados por ( ) = sup{( ( + ) − ()) : 6=
0 + ∈ ( )} e ( ) = inf{( ( + ) − ()) : 6= 0 + ∈ ( )}. A
função 7→ ( ) é crecente, e assim existe o limite lim→0 ( ) = ();
analogamente, 7→ ( ) sendo decrescente, existe () = lim→0 ( ). Estes
limites podem ser infinitos, consideram-se na recta acabada. Dizemos que ()
(resp. ()) é a derivada superior (resp. a derivada inferior) de em .
Concluimos de 1.14. a
1.33. Propriedade
A função : [ ] → R é diferenciável no ponto de [ ] se e só se as
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derivadas superior e inferior de em são finitas e coincidem
1.34. Exemplos (1) Com () = − () no Exemplo em 1.17. é diferenciável em cada ponto ∈
N, 0 () = 1. Se ∈ N encontramos () = lim 1 =
1 e () = lim −∞ = −∞. (2) Se : [0 +∞[→ R () = sin 1 ( 6= 0) e
(0) = 0 então (0) = lim 1 = 1, (0) = lim −1 = −1. (3) Para a função
: R → R (0) = 0 e () = 1 ( 6= 0) tem-se (0) = lim +∞ = +∞,
(0) = lim −∞ = −∞. (4) A função de Dirichlet : R → R () = 0 ( ∈ Q)
e () = 1 ( ∈
Q) é tal que num ponto ∈ Q temos () = lim +∞ = +∞
e () = 0, enquanto para um irracional se encontra () = lim 0 = 0
e () = lim −∞ = −∞ (5) Para : [0 1] → dada por () = ( ∈
Q) () = 0 ( ∈ R\Q) encontra-se () = lim 1 = 1 () = lim −∞ = −∞
num ponto ∈ Q. Se ∈ \ então () = +∞ e () = lim 0 = 0.
1.35. Dizemos que o subconjunto de R tem medida zero se para cada
0 existe uma
{ : ∈ } ( ⊂ N) de intervalos abertos
S colecção contávelP
tal que ⊂ { : ∈ } e
∈ | | ; onde, para =] [,
| |= − . E que uma propriedade relativa a pontos de R se verifica em
quase toda a parte (tem-se c.t.p.) se se verifica excepto num conjunto de
pontos com medida zero.
Encontra-se em [Kolmogorov e Fomin] (pp. 314-319) uma demonstração
do
1.36. Teorema de Lebesgue
Se é uma função monótona de [ ] em R então o conjunto dos pontos em
que a função não é diferenciável tem medida zero.
1.37. Corolário
Toda a função real de variação limitada em [ ] tem derivada finita c.t.p.
Dem. Conclui-se do teorema de Lebesgue e de 1.28.
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2 Noções gerais de topologia e espaços métricos
Recordar o conceito de espaço topológico como um conjunto não vazio
munido de uma classe T ⊂ P() (a topologia) tal que ∈ T , T é fechada
para a reunião e T é fechada para a intersecção finita. Os conjuntos na topologia
são os conjuntos abertos.
2.1. Exemplos (1) As topologias grosseira G = { } e (2) discreta D =
P(). (3) Se ( ) é um espaço métrico de cardinal maior que o numerável,
a classe T dos subconjuntos de tais que para cada ∈ existe 0 tal
que ( )\ ⊂ onde é uim qualquer subconjunto contável de , é uma
topologia sobre . Aqui ( ) = { ∈ : ( ) }.
2.2. Se é um conjunto não vazio e [
B é uma classe de subconjuntos de
(conjuntos que serão abertos) tal que
{ : ∈ B} = e para cada
1 2 ∈ B existe ∈ B, ⊂ 1 ∩ 2 , então a classe das arbitrárias reuniões
de conjuntos em B é uma topologia sobre . Diz-se que uma tal classe B é
base para uma topologia T (B) sobre . Recordar que se diz também que T (B)
é uma base de T ., já que todo o aberto é reunião de conjuntos abertos em B.
Consideram-se habitualmente os espaços topológicos separados i.e., satisfazendo
o axioma de Hausdorff≡ ∀ ∈ ∃ ∈ T ∈ ∈ e ∩ = .
2.3. A classe B de todas as bolas abertas ( ) onde ∈ 0 e
( ) é um espaço métrico, é base para a topologia associada à métrica T que
habitualmente se considera sobre ( ).
2.4 Recordar que ( ≤) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia
se a relação binária ≤ em é relexiva ( ≤ ∈ ), anti-simétrica i. e.,
∀ ∈ ≤ e ≤ ⇒ = , transitiva ( ≤ ≤ ⇒ ≤ ∈ )
e além disso, pondo ⇔ ≤ 6= se verifica exactamente uma das
condiçõe = ou ou para cada ∈ . Designando então
( →) = { ∈ : } e (←− ) = { ∈ : }, a classe das intersecções
( ) = (←− ) ∩ ( →) é base para a topologia da ordem O sobre ( ≤).
2.5. Recordar ainda que dado um ponto no espaço topológico ( T ), o
conjunto é uma vizinhança de se existe um aberto tal que ∈ ⊂ ;
que se nota por V o filtro das vizinhanças de (ver [Choquet], por exemplo).
E o interior () = = { ∈ : ∃ ∈ V ⊂ } de o exterior
() = ( ) e a fronteira () = \(() ∪ ()) = { ∈ : ∀ ∈
V ∩ 6= 6= ∩ .
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2.6. Também recordar o fecho do subcinjunto de ( T ), conjunto dos
pontos aderentes de ; o conjunto derivado 0 dos pontos de acumulação de
e, os pontos isolados de . Esboçando um desemho, vê-se facilmente a relação
(()) = . Tem-se = () ∪ () = ∪ 0 .
2.7. Têm-se as propriedades do interior
() = ; () ⊂ ; (()) = () e ( ∩ ) = (()) ∩
(())E do fecho = ; ⊂ ; = e ∪ = ∪ . Também para os
conjuntos derivados, ( ∪ )0 = 0 ∪ 0 . Aqui, ⊂ .
2.8. Diremos que o subconjunto de ( T ) é denso (resp. raro, resp. não
raro) se = (resp. () = , resp. () 6= ). Tem-se:
Na topologia usual de R, Q é denso; Q ∩ [0 1] é não raro; Z e {1 : =
1 2 } são conjuntos raros.
2.9. O subconjunto de ( T ) é denso se só se cada aberto não vazio
encontra . é raro ⇔ é raro ⇔ () é denso ⇔ todo o aberto não vazio
contem um aberto 6= tal que ∩ = .
2.10. O espaço topológico ( T ) diz-se separável se contem um subconjunto contável denso. Verifica-se facilmente que se existe uma base contável da
topologia (o espaço diz-se um espaço (2)) então é separável. Esta condição
é também suficiente para que o espaço métrico, munido da topologia associada
à métrica, seja um espaço (2).
2.11 Notar que cada subespaço métrico de um espaço métrico separável
( ) (considera-se sobre a métrica induzida; e a topologia associada à
métrica induzida, que coincide com a topologia induzida sobre como subespaço topológico de ( )) é separável. Contudo, um subespaço topológico de
um espaço topológico separável não é necessariamente separável.
2.12. Recorde-se que a função : ( ) → ( ) se diz contínua quando
é contínua em cada ponto ∈ i.e. ∀ ∈ V (() −1 ( ) ∈ V ( ∈ ). E que
são condicões equivalentes à continuidade de as condições:
) −1 () ∈ T ∀ ∈ T ;
) −1 ( ) é fechado em para cada ⊂ fechado;
() ⊂ () para cada ⊂ ;
) −1 (()) ⊂ ( −1 ()) para cada ⊂ .
13
14
Se ( ) é um espaço (1) (existe uma base contável do filtro das vizinhanças de cada ponto do espaço; por exemplo, a classe { ( 1) : = 1 2 }
se é um ponto do espaço métrico ( )), estas condições são equivalentes
à continuidade sequencial ( ) → () se → em cada ponto ∈ .
2.13 Dado o conjunto não vazio , recorde-se que dizemos que dadas topologias T0 1 sobre , ser T1 mais fina que T0 (T0 menos fina que T1 ) se T1 ⊃ T0 .
O que é manifestamente equivalente à continuidade da função = , :
( T1 ) → ( T0 ).
2.14 Exercícios
(1) Recorde que o subconjunto do espaço topológico ( ) é fechado se
e só se é aberto, verifique a equivalência desta condição a ter-se = ou
⊃ .
(2) Utilizando as leis de De morgan, verifique que se ( ) é um espaço
topológico, então são conjuntos fechados; que a classe dos subconjuntos
fechados de é fechada para a intersecção arbitrária e para a reunião finita.
(3) Mostre que no espaço topológico ,
a. () = ( ) ; b. () = \ ; c. (\ ) = .
(4) Verifique que no Exemplo (3) em 2.1., com = R, o subconjunto
é aberto para a topologia T se e só se para cada ∈ , existem 0 e um
conjunto contável (possivelmente vazio) ambos dependentes de , tais que
( − + )\ ⊂ .
(5) Prove que se o subconjunto do espaço topológico ( T ) é denso, então
⊂ ∩ para cada ∈ T .
(6) Recorde que se ( ) é um espaço de Hausdorff então cada subconjunto
finito de é fechado. Também, o limite de cada sucessão convergente é único.
(7) Recorde que a composta de duas funções contínuas é contínua.
(9) Verifique que a reunião finita de subconjuntos raros é um conjunto raro.
14
15
2.15. Recorde que o suconjunto do espaço topológico se diz um (e o
subconjunto de é um ) se é uma intersecção contável de conjuntos
abertos ( é reunião contável de conjuntos fechados). E que cada subconjunto
fechado de um espaço métrico é um e cada subconjunto aberto é um .
2.16 Num espaço métrico ( ), dados fechados ∩ = , existem
abertos disjuntos ⊃ e ⊃ .
2.17 Notar que dada uma função : ( ) → ( ), a convergência
() →→ significa que se verifica a condição, em linguagem lógica, ∀ ∈
V ∃ ∈ V ( ) ⊂ . (Se é separado então necessariamente é = ()).
A condição faz ainda sentido para uma função de um conjunto arbitrário não
vazio num espaço topológico ( T ), na forma seguinte. Recordando que uma
classe B ⊂ P() é uma base de filtro sobre se satisfaz que ∈
B e para cada
0 ∈ B existe 00 ∈ B 00 ⊂ ∩ 0 , encontramos em [Choquet] a
Definição No contexto acima, dados ∈ e uma base de filtro B sobre ,
dizemos que converge para ou que tem limite segundo a base de filtro B
se para cada vizinhança ∈ , certo conjunto ∈ B existe tal que () ⊂ .
2.17 Necessariamente para de Hausdorff, o limite de segundo a base de
filtro B se existe, é único.
2.18. Dada uma colecção não vazia de espaços topológicos {( T ) : ∈
A},
Q recordar a topologia produto P sobre o conjunto produto cartesiano =
∈A = { = ( ) : A → ∪{ : ∈ A} ∈ ∀ ∈ A}. Designando
por ( : ∈ ) o produto cartesiano com | | factores iguais a ∈ T
( um subconjunto finito do conjunto dos índices A com cardinalQ| |) e os
restantes factores iguais a todo o espaço i.e., ( : ∈ } = ∈F ×
Q
∈A\ , a classe dos rectângulos abertos ( : ∈ ) é uma base para
a topologia P. No caso A = {1 } ∈ N, a base de P é a classe {1 ×
× : ∈ T = 1 }. Recordar que ( P) é separado se e só se
cada factor é separado. Vê-se facilmente que ( P) é um espaço (1) se
cada é um espaço (1), recordar que o conjunto das partes finitas de um
conjunto contável é contável.
2.19 Seguindo [Schwartz], (THÉORÈME (T.2,VII,1;1), p. 61) se cada factor
é separável (resp. metrizável) e o conjunto dos índices A é contável, então
( P) é
15
16
separável (metrizável).
Q 2.20 Recorde-se que uma sucesão ( ) no espaço topológico produto =
∈A é convergente para ( ) se e só se cada sucessão coordenada =
( ) → () = em cada espaço . : → e a projecção de
índice . Cada função é contínua, P é a topologia menos fina sobre para
a qual cada projecção de índice é contínua. Também é uma função aberta
i.e., () ∈ T para cada ∈ P.
2.20 Recordar ([Schwartz], [Choquet], [Aliprantis e Burkinshaw]), que o subconjunto do espaço topológico ( T ) se diz compacto se de toda aScobertura
aberta C = { : ∈ } de (i.e., os conjuntos são abertos e ⊂ { : ∈
}) se pode extrair uma subcobertura finita i.e., existe uma subcolecção finita
S
{(1) ( ) } de C tal que ⊂
=1 () . Tem-se o exemplo importante
de que cada intervalo limitado e fechado [ ] de R é compacto (considera-se em
R, mais geralmente em R , a topologia usual, associada
à métrica euclideana
qP
2
( ) =| − | em R, ((1 ) (1 )) =
=1 | − 2 | em
R ). Sendo um subconjunto de um espaço métrico um conjunto limitado se
está contido numa bola e, recordando os conjuntos fechados, esta é parte do
2.21 Teorema de Heine-Borel Um subconjunto de R é compacto se e somente se é limitado e fechado ([Aliprantis e Burkinshaw], Theorem 5.21., p.
40).
2.22 Observação Certos autores, como [Bourbaki], incluem na definição de
espaço topológico compacto que o espaço é separado, consideramos os espaços
separados. Notar que sendo ( T ) um espaço topológico, o subconjunto é
compacto se e só se o subespaço topológico munido da topologia induzida
T = { ∩ : ∈ T } é compacto.
Podem rever-se as seguintes propriedades dos conjuntos compactos nas referências acima.
2.23 Teorema Para que o espaço topológico seja compacto, é necessário
e suficiente que, cada classe de subconjuntos fechados cujas intersecções finitas
sejam não vazias, tenha um intersecção não vazia. Este teorema conclui-se da
definição, por passagem aos complementares usando as leis de De Morgan.
16
17
2.24 Num espaço topológico compacto, todo o subespaço fechado é compacto.
2.25 Corolário 1 Se é compacto, então dada uma sucessão decrescente de
subconjuntos fechados com intersecção vazia 1 ⊃ 2 ⊃ ⊃ ⊃ existe já
certo tal que = .
2.26 Se é compacto e se 1 ⊃ 2T⊃ ⊃ ⊃ é uma sucessão
∞
decrescente de fechados não vazios, então =1 6= .
2.27 Seguindo [Choquet], temos as duas propriedades (para as quais é necessária
a separação)
2.28 PROPRIEDADE Cada subespaço compacto de é fechado.
Dem. Provemos que é aberto. Seja ∈ . Para cada ∈ , existem () e (), vizinhanças disjuntas de e de S
respectivamente. Uma
subclasse
finita
{
(
)
:
=
1
}
cobre
⊂
=1 ( ). O aberto
T
= =1 ( ) é uma vizinhança de disjunta de cada um dos ( ) e
portanto disjunta de . Significa isto que ⊂ que é asim aberto, c.q.d.
2.29 PROPRIEDADE Num espaço compacto, cada ponto tem uma base de
vizinhanças fechadas.
Dem. Sendo uma vizinhança aberta do ponto , mostremos que existe
uma vizinhança fechada de contida em . Suponhamos que não é assim.
Então, designando = temos ∩ 6= ∀ ∈ V , T
fechada. Do Teorema
2.23 concluimos que existe pelo menos um ponto ∈ { ∩ : ∈ V é
fechada}. Isto contradiz que o espaço é separado pois dado que 6= , existem
então certas vizinhanças abertas de e de tais que ∩ = i.e., sendo
∈ V , fechada e ∈
. Concluimos a propriedade, c.q.d.
2.30 Notar que o conceito de valor de aderência de uma sucessão se generaliza
a sucessões num espaço topológico: dizemos que é um valor de aderência da
sucessão ( ) no espaço topológico se é limite de uma subsucessão de ( ).
Uma propriedade equivalente é que para cada vizinhança de , existem valores
arbitrariamente grandes de para os quais ∈ ou seja, é valor de aderência
) se e só se é um ponto aderente a cada conjunto = { : ≥ },
de (
T∞
∈ =1 .
17
18
2.31 Teorema Num espaço compacto , toda a sucessão tem um valor de
aderência.
Dem. De facto, na notação de 2.30, cada conjunto é não vazio, os
formam
uma sucessão decrescente de fechados, aplique-se 2.26 para obter ∈
T→
=1 ., c.q.d.
A recíproca de 2.31 é válida nos espaços métricos:
2.32 Teorema (Propriedade de Bolzano-Weierstrass) O espaço métrico
é compacto se e somente se cada sucessão em tem pelo menos um ponto
aderente.
Dem. Ver por exemplo [Schwartz], pp. 86-7.
2.33 Recordar que a parte do espaço topológico se diz relativamente
compacta se o seu fecho é compacto. Assim, todo o subconjunto de uma parte
relativamente compacta de é relativamente compacto. Uma vez que supomos o espaço separado, temos que todo o subconjunto de um espaço topológico
compacto é relativamente compacto; assim como toda a reunião finita de partes
relativamente compactas. Também cada sucessão ( ) num subconjunto relativamente compacto do espaço topológico tem pelo menos um valor de aderência em .
2.34 Definição O espaço topológico separado diz-se localmente compacto
se cada ponto tem pelo menos uma vizinhança compacta.
2.35 Observação Conclui-se da definição de conjunto compacto que um subconjunto de um espaço topológico é compacto se e somente se o subespaço
topológico munido da topologia induzida, é um espaço topológico compacto
( 6= ). Concluimos então, sendo uma vizinhança compacta do ponto ,
em considerando uma base de vizinhanças fechadas de , contidas em (PROPRIEDADE 2. 29) e usando 2.24, que em cada espaço localmente compacto,
todo o ponto tem uma base de vizinhanças compactas.
Dizemos que um espaço topológico está mergulhado num espaço topológico
se é homeomorfo a um subespaço topológico de . Recordar que ser
homeomorfo a significa que existe uma bijecção contínua de inversa contínua
(um homeomorfismo) entre e .
18
19
2.36 Definição O espaço é um compactificado do espaço se é compacto
e está mergulhado em .
2.37 Teorema (Compactificado de Alexandrov) Dado o espaço localmente
compacto ( T ), existe um compactificado de Alexandrov ( T ) de tal que
\ se reduz a um singleton {}.
Dem. Tome-se um ponto ∈
e considere-se sobre = ∪ {} a
topologia T formada pelo abertos de T e pelos subconjuntos de que são
complementares, em , de subconjuntos compactos de . Notar que dado um
ponto ∈ , considerando uma vizinhança compacta de em , contem
um aberto a que pertence , o ponto ∈ \ ⊂ \ , os abertos e \
são disjunttos e assim é de Hausdorff.
2.38 Recordar uma demonstração simples de que se é um suconjunto compacto de e é separado, então dada uma função contínua : ⊂ → ,
o subconjunto () de é compacto. E que toda a bijecção contínua entre um
espaço compacto e um espaço separado é um homeomorfismo.
2.39 A função do espaço topológico no espaço topológico diz-se que
é aberta (fechada) se a imagem () de cada subconjunto aberto de é um
aberto (um fechado) em .
Como um Exercício simples, propôe-se verificar a
2.39 Proposição Dados espaços topológicos e uma função contínua :
→ , se é um espaço topológico compacto então sendo separado, é
uma função fechada. Se é bijectiva, então é um homeomorfismo.
19
20
2.40 Definição Dizemos que o subconjunto do espaço topológico é sequencialmente compacto se toda a sucessão em tem uma subsucessão convergente em ou, o que é o mesmo, se toda a sucessão em tem um valor de
aderência. Resulta que cada subconjunto relativamente compacto de é sequencialmente compacto. Também, usando o Teorema 2.32. um espaço métrico
é compacto se e só se é sequencialmente compacto.
2.41 Se é um subconjuto sequencialmente compacto do espaço topológico
, pode extrair-se uma subcobertura finita de cada cobertura aberta contável
de .
Dem. Ver [Seymour Lipschutz],18. (p.163).
Encontra-se também em [Seymour Lipschutz] (10., p. 161) a
2.21 Propriedade Se são subconjuntos compactos do espaço topológico
, existem abertos disjuntos tais que ⊂ ⊂ . Concluimos:
2.43 Se é um espaço topológico compacto, dizendo que é uma vizinhança
do conjunto se contem um aberto contendo , temos que cada dois fechados
disjuntos têm vizinhanças disjuntas.
20
21
3 O integral de Riemann e o Teorema Fundamental do Cálculo
Para os vários conceitos de integral de uma função real da variável real
que abordamos, avaliam-se somas da forma ∆ as parcelas, onde = () é
o valor da função num conjunto com uma medida . No integral de Riemann
considera-se a função : [ ] → R. Dada uma decomposição ou partição
= ( )=0 , = 0 1 = do intervalo [ ], associando
o comprimento − −1 do subintervalo = [−1 ] a como a sua
medida
( ), formam-se
P
P as somas de Riemann ( ) = ( ( )=0 ) =
=1 ( ) ( ) =
=1 ( − −1R) ( ) Ronde cada ∈ .
No caso de existência do integral = () este é o limite das somas
( ) onde se refinam as partições acrescentando novos pontos no intervalo
[ ]; ou, doutro modo, quando o diâmetro max{ − −1 : = 1 } da
partição tende para zero.
3.1. Definição Uma função () definida no intervalo [ ] diz-se integrável
à Riemann se existe um número que verifica
a seguinte condição: para cada
P
0, existe um 0 tal que se tem | =1 ( − −1 ) ( ) − |≤ para
qualquer decomposição ( )=0 de [ ] de diâmetro menor que e qualquer
sequência de pontos ∈ [−1 ]. O número é único e diz-se o integral de
() em [ ] no sentido de Riemann.
Põe-se imediatamente
a questão seguinte: no processo de obter as somas
P
de Riemann
=1 ( − −1 ) ( ), a restrição única que se faz aos pontos é que estejam nos correspondentes intervalos [−1 ]. Então porque
haviam de coincidir, no limite e em supondo que um limite existe neste procedimento, os valores obtidos? Para responder a esta questão, começamos
por supor que a função é limitada em [ ]. Podemos então considerar,
dada a função limitada : [
→ R e uma partição = ( )=0 de [ ],
P]
a soma superior ( ) =
( − −1 ) sup() () = [−1 ] e
P =1
a soma inferior ( ) =
=1 ( − −1 ) inf () . Se existem os limites
R
R
= lim| |→0 ( ) e = lim| |→0 ( ) e coincidem, podemos es
R
R
perar que existe o mesmo limite lim| |→0 ( ) = . Dizemos que é o
R
integral superior de em [ ] e é o integral inferior de em [ ]. (Integrais
de Darboux).
21
22
3.2. Para a função de Dirichlet : [ ] → R () = 0 ( ∈ Q) e () = 1
R
R
( ∈
Q) encontramos = 0 e = − . Esta função não é integrável à
Riemann.
Uma vez que se ⊂ então inf ≥ inf e sup ≤ sup , quando se
refina uma dada partição, a soma inferior não diminui e a soma superior não
R
R
aumenta. Temos ( ) ≤ ≤ ≤ ( ) para cada partição de [ ]
Dada uma partição , o integral inferior (o integral superior) é o supremo
(o ínfimo) das somas inferiores (das somas superiores) relativas a partições que
R
R R
R
R R
refinam , obtendo-se = + e = + se . Usando
inf( + ) = inf + inf inf{ + } ≥ inf{ } + inf{ }, sup( + ) =
sup + sup sup{ + } ≤ sup{ } + sup{ } e inf = inf sup =
sup se ≥ 0 obtem-se
R
R
R
R
R
R
3.3. 1. + ≤ ( + ) ≤ ( + ) ≤ +
R
R
R
R
R
R
2. Se 0 então = e = . Se 0 tem-se =
R
R
e =
R
R
R
R
3. Se () ≤ () ( ∈ [ ]) então ≤ e ≤
3.4. Se e Σ são subconjuntos de R tais que ≤ para quaisquer ∈ e
∈ Σ tem-se sup ≤ inf Σ; e sup = inf Σ se e só se para cada 0, existem
∈ Σ e ∈ tais que − ≤ .
22
23
Recordar que dada uma função limtada : [ ] → R ⊂ [ ] se tem
( ) = sup{| () − () |: ∈ } = sup − inf .
3.5.Teorema
Seja : [ ] → R uma função limitada. As seguintes condições são equivalentes, onde se designa = ( [−1 ]):
(1) é integrável à Riemann
(2) para cada 0, existem partições e do intervalo tais que ( ) −
( )
(3) para cada 0 existe uma partição do intervalo tal que ( ) −
( )
P
(4) para cada 0 existe uma partição = ( )=0 de [ ] sendo =1 ( −
−1 ) .
Dem. Conclui-se facilmente (pp. 249-250 em Lages Lima]).
Temos num resumo:
3.6. Propriedade
(1) O conjunto [ ] das funções integráveis à Riemann em [ ] é um
R
R
R
espaço vectorial real e + = + para ∈ [ ] ∈ R;
R
R
(2) Se ≤ em [ ] então ≤
R
(3) Se e ∈ [ ] ∈ [ ] então ∈ [ ] e =
R
R
+ .
23
24
3.7. Seja : [ ] → R integrável à Riemann. Então a função | | é
R
R
integrável à Riemann e | |≤ | |.
3.8. Se ∈ [ ] então a função produto está em [ ].
Encontra-se em [Lages Lima] uma prova da
3.9. Propriedade
A função : [ ] → R é integrável à Riemann se e somente se o conjunto
dos seus pontos de desontinuidade tem medida zero. Em particular, toda a
função contínua é integrável à Riemann.
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece o vínculo entre as operações
de derivação e integração de uma função. Nomeadamente, estas são num certo
sentido inversas uma da outra. Por um lado, se começamos por integrar uma
função contínua : [ ] → R e obtemos assim a função integral indefinido
R
R
R
R
() = () onde pomos () = − () ( ) e () = 0,
temos que derivando se verifica 0 () = () ( ). A condição de
diferenciabilidade em [ ] não é suficiente para o procedimento
R inverso ou seja,
dada : [ ] → R diferenciável, pode não se verificar que 0 () = ();
R
verifica-se contudo se () = () em sendo : [ ] → R integrável à
Riemann em [ ]. O conhecido teorema tem assim dois aspectos distintos ou,
se preferirmos: Afirma que a derivada de um integral indefinido de função contínua coincide com a função e, tem um complemento de reconstituição de certas
funções, pelo integral indefinido da sua derivada, que segundo alguns autores
se deve a Lebesgue. Destacar-se-ão as funções
: [ ] → R verificando que
R
podem ser efectivamente reconstituídas, 0 () = (), são as funções absolutamente contínuas, como veremos adiante no integral de Lebesgue segundo
[Kolmogorov e Fomin] (ver seguindo a 9.26).
24
25
R
Notar que pela definição, se () ≤ ( ∈ [ ]) então ≤ ( − ).
3.10. Teorema Fundamental do Cálculo
R
Seja uma função real contínua em [ ]. Então o integral () = ()
é diferenciável neste intervaloR e a sua derivada em cada ponto é igual ao valor
da função integranda em , ( )0 () = () ( ∈ [ ]).
R
R
Dem. Temos, usando 3.6. (3), () − () = () − () =
R
(). Como é contínua em , temos o infinitésimo em , () = () −
R
() →→ 0 = (0). Substituindo, obtemos () − () = () + () =
R
()( − ) + (), de modo que o teorema ficará provado se provarmos
R
que lim→ ( ())( − ) = 0. Dado 0, certo 0 existe tal que para
∈ [ ] | − | se tem | ()R| logo para estes Rvalores de e portanto,
para | − | , ∈ ( ), vem ( ())( − ) ≤ ( − ) = c.q.d.
Recordar a oscilação ( ) = sup{| () − () |: ∈ } e ( ) =
inf{( ( ) ∩ [ ]) : 0}. Notemos que por (4) em Teorema 3.5., a
função : [ ] → R é integrável à Riemann no intervalo [ ] se e só se ( )
R
é integrável e () = 0
25
26
3.11. Teorema
Dada
a função : [ ] → R limitada e integrável à Riemann, se a derivada
R
()
existe no ponto de [ ] então é contínua no ponto .
Dem. Seja = lim→ () (recordar 1.13.). Para cada 0, existe uma
partição = 0 1 = de [ ] tal que o integral superior
R
R
P
( − ()) ≤ =1 sup{ − () : ∈ (−1 )} + ≤ () +
R +
R +
. Assim ( − ()) = 0; portanto | lim→0 () − |=|
R +
R
().
lim→0 ( − ()) |= lim 0 = 0 e concluimos que =
Temos analogamente: Se = lim→ () então dado 0, existe uma partição
R
P
( )=0 de [ ], ( () − ) ≤ =1 sup{ () − : ∈ (−1 )} + ≤
R
R
R +
()+; logo ( ()−) = 0 e também ( ()−) = 0. Portanto
R +
R +
| lim→0 () − |=| lim→0 ( () − ) |= lim 0 = 0, e
R
R
() =
(). Concluimos da existência do integral à
assim =
Riemann, sendo = que é contínua em pelo Corolário 1.15., c.q.d.
Recorde-se ([Sarrico]) que dada uma função contínua : ⊂ R → R, onde
é um intervalo aberto, possivelmente com um ambos os extremos −∞ ou +∞,
R
R
pomos por exemplo se = [ ), = lim→ e dizemos que o integral
R
é convergente se o limite existe e é finito. Analogamente para o intervalo
R
R
= ( ]. Se = ( ), encontra-se que para os limites lim→ +lim→
R
R
e lim→→ + lim→ existe um se e só se o outro existe e no caso
R
R
R
afirmativo, coincidem. Assim pondo = lim→ + lim→ define-se
de modo coerente o integral. As definições estendem-se ao caso em que é
integrável em cada subintervalo fechado de , não necessariamente contínua.
Tem-se o resultado
3.12. Teorema Se ≥ 0 em [ ) e a função é integrável à Riemann em
cada intervalo [ ] onde , se além disso é limitada em [ ), então
R
o integral é convergente.
Dem. De facto, supondo () ≤ ( ∈ [ )) encontramos que a função
R
crescente 7→ é limitada por ( − ) em [ ) e conclui-se o resultado
pelo teorema da função monótona.
26
27
3.13 Usando que se é contínua em [ ) então também são contínuas
no intervalo as funções + = max{ 0} e − = − min{ 0} = + − − ,
concluimos do teorema acima que se é contínua em [ ) e existe 0 tal
que | () |≤ ( ∈ [ )) então é integrável à Riemann no intervalo (o
R
integral é convergente).
Recordando que a sucessão de funções reais ( ), as definidas sobre um
mesmo conjunto , se diz pontualmente (resp. uniformemente) convergente
para a função : → R se a sucessão () →→∞ (), onde varia em
(resp. se a sucessão sup{| () − () |: ∈ } →→∞ 0, temos o resultado
em [Sarrico] (p. 279)
3.14 Teorema Se uma sucessão ( ) de funções integráveis à Riemann em
[ ] converge uniformemente para a função em [ ], então é integrável à
R
R
Riemann em [ ] e = lim→∞ .
3.15 Mas por exemplo () = (0 ≤ 1 ) () = 0 ( 1 ≤ 1) →
R1
R1
0 pontualmente, 0 = 1 não converge para 0 0 = 0.
27
28
4 Desigualdades notáveis
4.1. Desigualdades de Hölder
◦
(Hölder 1) Se 1 ∞ e = −1
então
P
P
P
1
1
para números reais ou complexos
| |≤ ( | | ) ( | | )
indiciados num conjunto contável.
Tomando os integrais no sentido de Riemann, para funções integráveis
de ( ) ⊂ R em R pode concluir-se de (Hölder 1) a desigualdade
(Hölder 2) Se 1 ∞ = −1
R
R
R
R
1
| |≤ | |≤ ( | | ) ( | | )1 , onde para = +∞ (resp.
R +∞
R
= −∞, resp. ( ) = (−∞ +∞)) se toma = lim→+∞ (resp
R
R +∞
R0
R +∞
R
= lim→+∞ − , resp. −∞ = −∞ + 0 ). Notar que o integral
−∞
R
de em ( ) ∈ R coincide com o integral em [ ] se este existe, para
arbitrárias definições de () e ().
4.2. Desigualdades de Minkowski
(Minkowski 1) Se 1 ≤ ∞ são números reais ou complexos indiciados num
P conjunto contável,
P
P
( | + | )1 ≤ ( | | )1 + ( | | )1
(Minkowski 2) Para funções integráveis à Riemann em ( ) 1 ≤ ∞
R
R
R
( | + | )1 ≤ ( | | )1 + ( | | )1
28
29
4.3. Desigualdade de Jensen
P
P
Se 0 , ∈ C, ( | | )1 ≤ ( | | )1
4.4. Desigualdade entre as médias geométrica e aritmética
(G-A 1) Para 1 ≥ 0 ∈ N tem-se ≤ onde
=
1
P
=1
e =
√
, com igualdade apenas se = =
1
1
=
(G-A 2) Deduz-se de (G-A 1) ([Ostrowski], p. 36, somente para os
racionais) que se no contexto de (G-A 1) forem (1) ( ) 0, = (1) +
+ ( ), então com
P
(1)
()
1
=
)1 tem-se ≤
=1 () , = (1
A desigualdade é válida para quaisquer reais ≥ 0 () 0
(Esther Phillips, p. 50)
Se () ≥ 0 e 0, = 1 tem-se com Λ =
P
Q ()
P
( =1 ())Λ =1 ≤ ( =1 () )Λ
29
P
=1
(),
30
5 Espaço métrico completo e espaço de Banach. E:V:T: e E:L:C:
Em R considera-se habitualmente a métrica euclideana ((1 ) (1 )) =
qP
2
=1 ( − ) ( ∈ N).
(R ) é um espaço métrico completo i.e., toda a sucessão de Cauchy
no espaço é convergente. Vemos que o subespaço métrico (Q ), subespaço
de (R ) não é completo, considerando por exemplo a sucessão de Cauchy de
P∞
P
números racionais (
=0 1!) → →∞
=0 1! = ∈ R\Q (se a sucessão
converge para um ponto no subespaço, então converge também para em
(R )).
Recordar que uma isometria : ( ) → ( ) entre os espaços métricos
é uma função de em tal que ( ) = ( ) para cada ∈ .
Que a imagem de se diz densa se cada ponto ∈ é um limite = lim ,
( ) →→∞ 0, certa sucessão ( ) em .
e ) é um completamento
5.1. Definição Dizemos que o espaço métrico completo (
do espaço métrico ( ) se existe uma isometria bijectiva : ( ) →
e ) com imagem densa.
( () ) ⊂ (
5.2. Seja ( ) um espaço métrico não completo. Consideremos, seguindo
[Heuser],
C() = {( ) : ( ) é de Cauchy em ( )}, recordar ( ) →→∞
0. A relação binária ( )˜( ) ⇔ ( ) →→∞ 0 é uma relação de
e
equivalência em C() obtendo-se o espaço cociente C()
= {[( )] : ( ) ∈
C()} [( )] = {( ) ∈ C() : ( )˜( )}.
Notando que | ( ) − ( ) |≤ ( ) pela condição (3) e usando (2) obtemos, dadas ( ) ( ) ∈ C(), | ( ) − ( ) |≤
| ( ) − ( ) | + | ( ) − ( ) | ≤ ( ) +
( ) →→∞ 0. Assim a sucessão real ( ( )) é de Cauchy e
podemos considerar (( ) ( )) = lim ( ). Verifica-se facilmente que
a função é uma métrica em C().
Notemos que para ( ) ∈ [( )] é
(( ) ( )) = 0; observar também que para ( ) ∈ [( )] ( ) ∈ [( )] se
tem
(( ) ( )) − (( ) ( )) = (( ) ( )) − (( ) ( )) + (( ) ( )) −
(( ) ( )) ≤ (( ) ( )) + (( ) ( )) = 0. Assim podemos considerar no
e )] [( )]) = (( ) ( )) = lim ( ).
e
espaço cociente C()
a métrica ([(
30
31
Obviamente cada classe de equivalência contem possivelmente apenas um
elemento
e = [()] onde () designa a sucessão constante igual a . Notemos
e é uma isometria
e )
e = {e
e
: ∈ } ⊂ C().
A função : ( ) → (
e
e
e
bijectiva. Temos que é denso em (C() ). De facto, dados um representante
e
( ) de um elemento [( )] em C()
e 0, existe uma ordem verificando
( ) ( ≥ ). A classe de equivalência e de ( ) = ()
e [( )]) = (() ( )) = lim→∞ ( ) ≤ . Também,
e e (e
está em
e
e
(C() ) é um espaço métrico completo:
e
Seja ([( ) ])∞
=1 uma sucessão de Cauchy no espaço. Como vimos, sendo
1
e ) ] e ) ≤ . Tem-se
e tal que ([(
denso, corresponde a cada certo e ∈
e
e
e
e ) [( ) ])+
e
[( ) ])+([( ) ] [( ) ])+([( ) ] e ) ≤ 1 +([(
(e
e ) ≤ (e
1
e formam uma sucessão de Cauchy. Seja e = e , e = ( )
e assim os
e ) = (e
e e ) donde
com e = [( )]. Então ( ) = (
(1 2 ) é uma sucessão de Cauchy em ( ). Notemos [] = [(1 2 )] ∈
e
C().
Temos então
e ) ] e )+(e
e []) ≤ 1 +(e
e []) = 1 +lim→∞ ( ) →→∞
e
([( ) ] []) ≤ ([(
e
e
0. Portanto lim→∞ [( ) ] = [] em (C() ) que é assim completo.
5.3. Recordar que a função entre espaços métricos : ( ) → ( ) se
diz uniformemente contínua se satisfaz que para cada 0, certo 0 existe
tal que ( () ()) para cada ∈ tais que ( ) . Dizendo-se
que é uma isometria se ( () ()) = ( ) ( ∈ ), obviamente toda a
isometria é uniformemente contínua. Tem-se
5.4. Teorema ([Aliprantis e Burkinshaw], p. 36) Se 0 é um subespaço
denso do espaço métrico ( ) e a função : (0 ) → ( ) é uniformemente
contínua, então existe uma extensão única e : ( ) → ( ) e() = ()
( ∈ 0 ) que é uniformemente contínua.
5.5. No contexto acima em 5.2., encontra-se em [Aliprantis e Burkinshaw]
que sendo ( ) um qualquer espaço métrico completo contendo uma imagem
densa 0 () onde 0 : ( ) → ( 0 () ) ⊂ ( ), 0 uma isometria
e → ( ). De facto,
e
bijectiva, então existe uma isometria bijectiva : (C()
)
b
b
sendo : ( ) → (() ) ⊂ ( ) uma isometria bijectiva, () denso em
b temos que −1 : (() )
b → (() ) é uma isometria bijectiva,
( )
−k1
b Utilizando que
(()) = () denso em ( ), () denso em ( ).
b →
existe uma extensão uniformemente contínua única de −1 , : ( )
b e ( ).
( ) vemos facilmente que é uma isometria bijectiva entre ( )
Obtivemos a
31
32
5.6. PROPRIEDADE Dado um espaço métrico não completo ( ), existe
e tal que para uma isometria bijectiva :
e
um espaço métrico completo (C()
)
e
e
e O completamento
e
e
e denso em (C()
e
( ) → ( ) ⊂ (C() ) se tem
).
e é único a menos de uma isometria bijectiva.
e
(C()
)
5.7 Recordar que a topologia do espaço normado ( kk) é a topologia associada à métrica ( ) = k − k. Considerando o processo acima para obter o
completamento de um espaço métrico, [Heuser] obtem o completamento do espaço normado como sendo um espaço de Banach contendo uma imagem densa
de isomorfa no sentido dos espaços normados. Onde por um isomorfismo
neste sentido entre ( kk ) e ( kk ) se entende um isomorfismo vectorial verificando-se que existem constantes tais que kk ≤ kk e
k −1 k ≤ kk ( ∈ ∈ ). Expomos em 6. um método usando sucessões
de Cauchy, apropriado aos espaços normados. Temos
5.8. PROPRIEDADE A cada espaço normado corresponde um espaço
e determinado univocamente a menos
normado completo (espaço de Banach) ,
de um isomorfismo de espaços normados que contem como subespaço denso.
5.9 Verifica-se facilmente que se é um conjunto não vazio, então o conjunto
() das funções reais limitadas sobre , algebrizado para as operações de
soma ( + )() = () + () e produto escalar ( )() = () ( ∈ R) é
um espaço vectorial real. Também a função k k = sup{| () : ∈ } é uma
norma sobre e ( kk) é um espaço de Banach. Encontra-se em [Aliprantis e
Burkinshaw] uma demonstração (p. 37) e a obtenção do completamento de um
espaço métrico utilizando o espaço ().
5.10. Se é um espaço topológico, o subconjunto () de () formado
pelas funções contínuas é fechado e tem a propriedade de que para ambas
funções contínuas em , as funções ( ∨)() = max{ () ()} e ( ∧)() =
min{ () ()} serem ainda contínuas em . () é um espaço de Banach.
32
33
5.11. Um espaço vectorial real munido de uma ordem parcial ≤ verificando
as condições + ≤ + para cada ≤ ( ∈ ) e ≥ 0 se ≥ 0
e é um real não negativo, diz-se um espaço vectorial ordenado ([Zaanem],
[C. Aliprantis e Burkinshaw]). Se adicionalmente existem ∨ = sup{ } e
∧ = inf{ } para cada ∈ então diz-se um reticulado vectorial
([Aliprantis e Burkinshaw]. Diz-se que um espaço normado ordenado (um espaço
de Banach ordenado) é um reticulado normado (um reticulado de Banach) se
pondo | |= ∨ (−) se verifica kk ≤ kk sempre que | |≤| |. Ambos
() e () (em particular o subespaço () das funções contínuas sobre
, se é compacto) são reticulados de Banach.
5.12. Seguindo [Megginson], dizemos que a sucessão ( ), { : = 1 2 }
um conjunto linearmente independente (ver [Taylor and Lay]) no espaço de
Banach ( kk ) é uma base de Schauder se para
P∞cada vector em existe uma
sucessão única de escalares ( ) tal que = =1 , onde a série converge
em norma. Facilmente se conclui que existe então em uma base normalizada
em que cada k k = 1.
P
P
=
5.13. Verifica-se que cada projecção de ordem , ∞
=1
P∞
P=1
é um operador linear contínuo e que o funcional k =1 k = sup{k =1 k :
= 1 2 } é uma norma equivalente sobre o espaço. Notamos por o range
de .
P
5.14. Os espaços = {( ) ∈ : ∞
=1 | | ∞} 1 ≤ ∞, são
exemplos de espaços de Banach com bases de Schauder.
Os espaços normados dão por sua vez exemplos de espaços vectoriais topológicos.
5.15. Definição (Seguindo [Taylor and Lay]) Sendo um espaço vectorial
real ou complexo, munido de uma topologia T satisfazendo que a soma vectorial
: × → ( ) 7→ + é contínua, considerando no produto cartesiano a
topologia produto e, também o produto escalar : K × → ( ) = é
contínuo (considerando a topologia produto sobre o produto cartesiano, onde K
é munido da topologia usual), dizemos que a topologiia T é vectorial e ( T )
ou somente , é um espaço vectorial topológico (e.v.t.).
33
34
5.16. Dizemos que o subconjunto do espaço vectorial é absorvente se
para cada ∈ , existe () 0 tal que ∈ = { : ∈ } para cada
escalar | |≥ (). E dizemos
que o subconjunto é equilibrado (resp.
[
convexo, resp. um disco) se { :| |≤ 1} ⊂ (resp. se (1 − ) + ∈
para cada ∈ [0 1] ∈ ∈ , resp. se é equilibrado e convexo).
5.17. Propriedade A topologia T sobre o espaço vectorial é vectorial se
e só se tem uma base de vizinhanças de zero (base em zero) B formada por
conjuntos equilibrados e absorventes e tal que, para cada ∈ , existe ∈
verificando + = { + : ∈ } ⊂ .
5.18. Propriedade O e.v.t. é separado se e somente se para cada 6=
0 ∈ , certa vizinhança de zero existe tal que ∈
.
Para subconjuntos não vazios do espaço vectorial , notamos + =
{ + : ∈ ∈ } e designamos + = {} + ∈ um subconjunto
não vazio de .
5.19. Como consequência da definição, as translações 7→ + ( fixo,
∈ ) e as homotetias 7→ de razão 6= 0 são homeomorfismos de em
. { + : ∈ B} é uma base de vizinhanças de se B é uma base em zero.
Também se 6= 0, é uma vizinhança de zero para cada vizinhnça de zero .
5.20. Observação se é um subconjunto convexo do espaço vectorial ,
0 então dados ∈ temos + = ( + )( +
+ +
) ∈ ( + ).
Sendo óbvia a inclusão
( + ) ⊂ + , conclui-se + = ( + ) .
5.21. Definição Dizemos que o e.v.t. é um espaço localmente convexo (que
a topologia vectorial do espaço é localmente convexa, é um e.l.c.) se existe
uma base em zero formada por conjuntos convexos.
34
35
5.22. Usando que a intersecção de uma classe de conjuntos convexos é um
conjunto convexo, podemos considerar, dada uma base em zero V no espaço
localmente convexo formada por conjuntos convexos, certa vizinhança de
zero
Pequilibrada contida
P em , para cada em V. Então o conjunto =
{ =1 : ≥ 0 =0 = 1 ∈ } é um disco.contendo , donde é uma
vizinhança de zero contida em . Assim todo o espaço localmente convexo tem
uma base em zero formada por discos absorventes.
Recordar que uma função real não negativa sobre o espaço vectorial real
se diz uma seminorma sobre se tem as propriedades () =| | () e
( + ) ≤ () + () ( ∈ ∈ R). Dado um disco absorvente em
, tem-se ([Rudin2]) que o funcional de Minkowski () = () = inf{
0 : ∈ } é uma seminorma sobre . Pondo = { ∈ : () 1} e
[ ] = { ∈ : () ≤ 1} tem-se ⊂ ⊂ [ ] , como se verifica facilmente.
5.23. Na notação anterior, dizemos que é a semibola unidade aberta de
, [ ] a semibola unidade fechada. A semibola aberta de centro e raio
relativa a é ( ) = { ∈ : ( − ) } = + , à semelhança da
bola aberta num espaço normado. Tem-se que a seminorma é contínua se e
só se é contínua em zero, o que tem como consequência
5.24. A seminorma , onde é um disco absorvente é contínua se e
somente se é uma vizinhança de zero.
5.25. A sucessão generalizada (ver [Armando Machado]) ( ) no e.l.c.
converge para o ponto se só se = − → 0 o que siginifica que para
cada disco vizinhança de zero , existe certo índice () verificando-se ∈
desde que  (); ou, equivalentemente, ( ) 1 para cada  (), certo
índice ().
35
36
5.26. Propriedade A topologia de um e.l.c. é definida pela classe das
seminormas contínuas que são os funcionais de Minkowski de uma base em
zero.
Dem. Conclui-se de 5.23., 5.22., 5.21 e anteriormente.
5.27. Definição A sucessão generalizada ([Armando Machado]) ( ) no e.v.t.
diz-se que é de Cauchy se satisfaz que para cada vizinhança de zero , certo
índice ( ) existe tal que − ∈ desde que  ( ). Se cada sucessão
generalizada de Cauchy é convergente,dizemos que o e.v.t. é completo.
5.28. Encontra-se em [Köthe] como o contexto próprio geral para a definição
e propriedades de espaço completo é o das estruturas uniformes (que se podem
considerar nos espaço métricos, como também nos e.v.t.). Também aí se expõe
que todo o e.v.t. separado tem um completamento único a menos de um homeomorfismo uniforme; que é um e.v.t. separado ainda e, é um e.l.c. se o e.v.t.
considerado é um e.l.c.
5.29. Um e.v.t. diz-se metrizável se existe uma métrica em tal que a
topologia do espaço é a topologia associada à métrica . Pode sempre considerarse que é invariante por translação i.e., ( ) = ( + + ) ∈ . Tem-se
então que é completo se e só se cada sucessão de Cauchy em é convergente.
5.30. Definição Dizemos que um e.l.c. metrizável completo é um espaço de
Fréchet.
.
36
37
6 Um integral geral
6.1. Definição Seguindo [Lang], dado um conjunto , dizemos que a colecção
A de subconjuntos de é uma -álgebra sobre se ∈ A, = \ ∈ A
para cada ∈ A e se considerando uma qualquer classe contável de subconjun∞
[
tos em A, se tem
∈ A. Os conjuntos em A dizem-se os conjuntos
=1
mensuráveis no espaço mensurável ( A).
6.2. Observação Verifica-se sem dificuldade que a intersecção não vazia de
qualquer classe de -álgebras sobre é ainda uma -álgebra sobre . Deste
modo, sendo P() uma -álgebra, a interseção da classe das -álgebras contendo uma -álgebra dada, não é o conjunto Universo da teoria. Temos que dada
uma qualquer classe C de subconjuntos de , podemos considerar a intersecção
das -álgebras contendo C, que se diz a -álgebra gerada por C.
6.3. Exemplo Sendo um espaço topológico, a -álgebra sobre gerada
pela topologia diz-se a -álgebra dos borelianos de .
6.4. Observação Dadas uma -álgebra A sobre e uma função : → ,
a classe { ⊂ : −1 ( ) ∈ A} é uma -álgebra sobre .
6.5. Definição Dados um conjunto e uma -álgebra A sobre , dizemos
que a função : → [0 ∞] é uma medida sobre A se verifica as condições
∞
[
P∞
() = 0 e (
) =
=1 ( ) para cada classe disjunta { : =
=1
1 2 } de conjuntos em A. i.e., tal que ∩ = para 6= . Dizemos que
( A ) (ou somente ) é um espaço de medida. Aqui pomos ≤ ∞ + ∞ =
∞ ( ∈ [0 ∞]) e 0∞ = 0.
6.6. Definição Dados espaços mensuráveis ( A ), ( A ), dizemos que a
função : → é mensurável se −1 ( ) ∈ A para cada ∈ A .
37
38 6.7. Observação Notar que se é um espaço topológico, é um espaço
mensurável e a função : → verifica que −1 () é mensurável para cada
aberto em , então considerando sobre a -álgebra dos borelianos (6.3.), a
função é mensurável dadas as propriedades da função associada de conjkuntos
inversa −1 : ( ) → P() −1 () = { ∈ : () ∈ } ( ⊂ ). Também
considerando um espaço topológico e a -álgebra dos borelianos sobre ,
cada função contínua de em é mensurável.
6.8. Definições 1. Sendo um espaço mensurável e um conjunto não
vazio, dizemos que a função : → é uma função simples se toma apenas um
número finito de valores 1 e cada subconjunto = { ∈ : () = }
( = 1 ) é mensurável. Assim, dada a função simples : → , é a
reunião disjunta (de conjuntos dois a dois disjuntos) de conjuntos mensuráveis
[
P
=
se =
=1 , notando () = 1 ( ∈ ) e () = 0
=1
( ∈
) a função característica de . 2. Dadas a -álgebra
e a medida
R A sobre
P
sobre A, sendo uma função simples, dizemos que = =1 ( ) é
o integral de em .
6.9. Encontramos em [Lang] analogamente a 5. Toma-se por completamene ) onde (
e kk) é um espaço de Banach e : →
e é uma
nto de um par (
e e k()k = kk
aplicação linear contínua injectiva tal que () é denso em
para cada ∈ . Começamos por ver que se ( ) é outro completamento
e →
de , então existe um isomorfismo de espaços normados (5.7.) :
−1
: () → () ⊂
tal que = . De facto, a aplicação linear
e com valores
é contínua, donde tem uma extensão linear contínua única a
−1
e
em . Analogamente, a aplicação linear contínua : () → () ⊂
e Temos que actua como
tem uma extensão linear contínua : → .
e ∈ , temos pela definição
a identidade sobre , e assim se → ∈
das extensões lineares contínuas que ( ) → () = donde =
e → é um isomorfismo vectorial
e analogamente = . Assim :
e, recordando a caracterização dos operadores lineares contínuos entre espaços
normados, é um isomorfismo de espaços normados. Certamente = . Para
e seja o espaço vectorial S formado pelas sucessões de Cauchy em . Con,
sideremos o funcional em S dado por k( )kS = lim k k , já que sendo ( )
uma sucessão de Cauchy, a sucessão real (k k ) é de Cauchy e assim é convergente. Temos que kkS é uma seminorma sobre S. A relação ( )˜( )
em S dada por ( )˜( ) se e só se existe um infinitésimo ( ) = tal que
= +, = ( ) = ( ) é uma equivalência.Pondo e
a classe de = ( ), se
= ( )˜( ) temos k( )kS = k( )kS . Deste modo, podemos pôr ke
k = kkS ,
independentemente da particular sucessão de Cauchy na classe a que pertence,
e = S˜
e = [( )] ( ) = . Obtendo que kk é uma norma no espaço cociente
e
e
e
e
]
algebrizado para + = + e = um escalar. Associamos a cada ∈
e é linear e cona classe de equivalência da sucessão constante []. : →
serva as normas.
38
39
Para e
= ( ), é ke
−[ ]k = lim→∞ k(1 2 3 ) − ( )k = 0
e
e () é denso em .
e é completo. Seja (e
Provemos que
) uma sucessão de Cauchy no espaço.
Para cada , existe ∈ tal que ke
− k ≤ 1, já que () é denso.
Dado 0, existe um número natural () tal que k − e
k ( ≥ ()) e
e
e
k − k se ≥ (); temos então, para ≥ () que k − k =
k − k ≤ k − e
k + ke
− e
k + ke
− k 3, o que mostra que
( ) é de Cauchy.Sendo então = ( ) temos, para suficientemente grande,
e é completo.
ke
− e
k ≤ ke
− k + k − e
k 2, e concluimos que
6.10. Observação Se acima o espaço é apenas seminormado i.e., se kk
é uma seminorma sobre , podemos considerar o subespaço 0 = { ∈ :
kk = 0} e, o funcional k + 0 k = kk é uma norma sobre o espaço cociente
e Temos que a
0 como se conclui facilmente. Obtemos ainda o espaço S e .
e
aplicação linear : → tem agora por kernel o subespaço 0 e deste modo,
se é seminormado,o completamento de é o espaço de Banach que é obtido
como completamento do espaço cociente 0 . Assim, sendo seminormado
não separado completo, não coincide com o seu completamento, que é um espaço
de Banach.
6.11. Definição Sendo um subconjunto mensurável do espaço de medida
( A ) e : → uma função simples, considerando a função simples
: → R () = ()
), o integral de em é
R ( ∈ ) e () = 0 ( ∈
por definição = .
R
R
R
6.12. Observação Tem-se ( + ) = + , como concluimos da definição; temos que se são subconjuntos
mensuráveis
disjuntos
R
R
R
de , então, uma vez que ∪ = + , vem ∪ = + .
Acima e no que segue supomos ( A ) um espaço de medida e um
espaço de Banach.
6.13. Definição Dizemos que uma função simples da forma em 6.11.,
onde
finita, é uma função em escada. Assim =
P é um conjunto de medida
onde
para
cada
=
6
0,
() = ⇔ ∈ , temos ( ) ≤ ()
=1
∞ (pois ( ) ≤ ( ) + (\ ) = () ∞).
39
40
6.14. Definição Dizemos que o subconjunto mensurável de é -finito se
é uma reunião contável de suconjuntos de medida finita. Dizemos ainda que
é -finita sobre (-finita, se = )
6.15. Todo o subconjunto -finito é uma reunião contável disjunta de conjuntos de medida finita.
6.16. Definição Dizemos que a função : → é -mensurável se existem
um subconjunto de com medida zero e uma sucessão de funções em escada
( ) tal que () →→∞ () para cada ∈ \ (dizemos que é o limite
pontual das funções q.t.p. como abreviatura de em quase toda a parte)
R
É para as funções -mensuráveis que [Lang] define o integral ,
como expomos resumidamente de seguida. Em M7. (p. 117) prova que o
limite pontual de funções mensuráveis é uma função mensurável. Assim toda a
função -mensurável é mensurável. Também em M8. mostra que se a dimensão
de é finita, então existe, para cada função mensurável : → , uma
sucessão de funções simples convergente pontualmente para . Para as funções
-mensuráveis tem-se, com arbitrário ( M11., p. 124) a
6.17. Propriedade A função : → é o limite pontual q.t.p. de uma
sucessão de funçóes em escada (é -mensurável) se e somente se é nula excepto
sobre um subconjunto -finito de , também se verificando além disso que
existe um conjunto de medida zero de tal que a restrição de a \ é
uma função mensurável e o conjunto imagem (\ ) é separável.
P
6.18. Definição [Lang] define, sendo = =1 uma função em escada,
P
o integral de em como sendo o vector =1 ( ) ∈ .
6.19. O limite pontual q.t.p. de uma sucessão de funções -mensuráveis é
uma função -mensurável.
Dem. Ver [Lang], pp. 125-6.
40
41
6.20. Tem-se que o conjunto E() das funções em escada de em R é um
espaço vectorial. Podemos considerar sobre E() a seminorma kkE = kk
(definido analogamente o integral para o caso particular = R).
6.21. Observação Notemos que kkE = 0 se e só se = 0 q.t.p.
Para estender o integral em E() às funções -mensuráveis, [Lang] considera
o completamento 1 () de E() e estabelece os dois lemas seguintes.
6.22. Lema fundamental da integração
Seja ( ) uma sucessão de Cauchy em (E() kkE ). Então existe uma função
: → tal que () = lim→∞ () () q.t.p., para uma subsucessão (() )
de ( ). Para cada 0, existe um conjunto () de medida menor que tal
que se verifica a convergência sup{ k() ()− ()k : ∈ \ ()k} →→∞ 0.
Notemos que a função é -mensurável por 6.19. Também , na notação
de 6.9., identifica-se com lim→∞ () ∈ 1 ().
Dadas funções = lim = lim como em 6.22., onde as estão
em E(), temos + = lim( + ) e = lim ( um escalar), com
+ e sucesões de Cauchy em (E() kkE ). Assim o conjunto L1 ()
destas funções é um espaço vectorial.
6.23. Lema Sejam ( ) e ( ) sucessões de Cauchy em E() convergindo
R
q.t.p.
para a mesma função em L1 (). Então as sucessões ( ) e
R
( ) são ambas convergentes e para o mesmo limite.
6.24. Notar que pela construção do completamento, os elementos de 1 ()
se identificam com as classes de equivalência [ ] = { ∈ L1 () : k −R kE =
0} ∈ L1 (). Também para ∈ 1 (), pomos k k1 = lim k kE = k k.
Dizemos que as funções em 1 () são as funções integráveis. [Lang] põe entáo
41
42
6.25. Definição Dada a função = lim q.t.p. em L1 (), ( ) uma
sucessão de funções em Rescada de Cauchy
em E(), o integral de em
R
(relativo a ) é o limite = lim em .
6.26. Se é uma função integrável, identificável com um elemento de L1 ()
e lim () = () q.t.p., as funções em E(), onde ( ) é de Cauchy em
(L1 () kk1 ), dizemos que é aproximável pela sucessão ( ). Temos
6.27. Se a função R é aproximável
R pela sucessão ( ), então k k é aproximável
por
(k
k)
e
k
k
=
lim
R
R
R k k =R lim k k1 . Das desigualdades
k k ≤ k k concluimos k k ≤ k k.
6.28 Notar que cada sucessão de Cauchy em (L1 () kk1 ) tem limite em
1
L ().
6.29. Proposição se a sucessão (R) em L1 ( )R é de Cauchy em L1 () e
converge q.t.p .para a função , então → .
R
Dem. Conclui-se da Definição 6.25. Notar que o exemplo em 3.15. ( [01] 2 −
≥ 12) mostra que a hipótese de ( ) ser de Cauchy para a seminorma kk1
é necessária.
R
6.30. Observação A aplicação linear integral 7→ de L1 () em é
contínua como consequência da desigualdade em 6.27.
6.31. Notemos que pelas definições, se ∈ L1 () então a função () =
() ( ∈ ), () = 0 ( ∈
) está também em L1 () para cada conjunto
mensurável .R Sendo, paraRdois tais Rconjuntos disjuntos , a função ∪ =
+ , que ∪ = + , pela linearidade do integral.
6.32. Notar que se conclui, estendendo por continuidade a respectiva propriedade para funções em escada, que se : → é um operador linear contínuo, especificando os espaços pela indicação do espaço imagem, que
1
1
podemos considerar o operador
linear
R
R contínuo de L ( ) em L ( ) dado
por 7→ . Teremos = .
42
43
Se a sucessão ( ) converge q.t.p.para a função , 3.15., mostra que pode
não se ter k − k1 → 0. Uma forma da recíproca é válida ([Lang], p.p.138-9):
6.33. Teorema Seja ( ) uma sucessão convergente para a função em
(L1 () kk1 ). Então existe uma subsucessão da sucessão convergente para
q.t.p. Além disso, dado 0, existe um conjunto de medida menor que
tal que a convergência é uniforme em \ .
Têm-se os seguintes resultados em [Lang].
6.34. Dada a função em L1 (), sendo 0, o conjunto = { ∈ :
k ()k ≥ } tem medida finita. Além disso, anula-se no complementar de
um conjunto -finito.
6.35. Teorema A função mensurável está em L1 () se e só se k k está em
1
( R). Se existe ∈ L1 ( ) tal que ≥ 0 e k k ≤ então ∈ L1 ().
6.36. Teorema Seja ( ) uma sucessão em L1 () que converge q.t.p. para a
função . Se existe ≥ 0 tal que k k1 ≤ ( = 1 2 ) então ∈ L1 () e
k k1 ≤ .
P∞
6.37. Corolário Seja ( ) uma P
sucessão em L1 () tal que =1 k k é
∞
convergente.R Então a série
P∞ R() = =1 () converge q.t.p., a função eatá
1
em L () e = =1 .
1
6.38. Corolário Sendo
∈ L
R
R (), dado 0, existe um conjunto de
medida finita tal que k − k .
6.39 Teorema da média Seja ∈ L1 () e seja um subconjunto fechado
de ; suponhamos que paraR todos os subconjuntos mensuráveis com medida
1
finita positiva se tem ()
∈ . Então, se 0 ∈ ou se é -finito,
tem-se que () ∈ q.t.p.
R
6.40.Corolário Se ∈ L1 () e = 0 para todo o conjunto de medida
finita, então = 0 c.t.p.
43
44
7 A medida de Lebesgue em R
7.1. Definição (Seguindo [Aliprantis e Burkinshaw]) Dado o conjunto não
vazio , dizemos que a classe S de suconjuntos de é um semi-anel sobre
se verifica as seguintes condições:
1. ∈ S
2. Dados ∈ , tem-se ∩ ∈ S
3. Para cada dois conjuntos em S, existe uma família finita de conjuntos
[
em S dois a dois disjuntos 1 satisfazendo \ =
.
=1
Diremos que uma reunião contável de conjuntos dois a dois disjuntos no
semi-anel S é um conjunto-.
7.2. Definição Convencionando-se ≤ ∞ e + ∞ = ∞ ( ∈ [0 ∞]), dizemos
∞
[
que uma função : S → [0 ∞] com as propriedades () = 0 e ( ) =
P∞
=1
( ) para cada conjunto-
∞
[
=1
=1
é uma medida para o semi-anel S.
7.3. Exemplo Verifica-se sem dificuldade que a classe S = {[ ) : ≤
∈ R} é um semi-anel S sobre R. A função : S → [0 ∈ ∞] definida por
([ )) = − é uma medida para S como mostra [Aliprantis e Burkinshaw]
(p. 82).
Encontra-se na mesma referência que generalizando o caso = 1, a classe
Y
S = { [ ) : ≤ ∈ R} é um semi-anel sobre R . E prova-se
=1
por indução em que a função
44
45
(
Y
[ )) =
=1
Y
=1
( − ) é uma medida para este semi-anel.
7.4. Definição Dizemos que uma função : P() → [0 ∞] é uma medida
exterior sobre se tem as propriedades seguintes:
1. () = 0
2. se ⊂ então () ≤ ()
∞
[
P
3. para cada sucessão ( ) de subconjuntos de , (
) ≤ ∞
=1 ( )
=1
Distinguem-se então os subconjuntos de que satisfazem a relação
() = ( ∩ ) + ( ∩ ) para todo o conjunto ⊂ , que se chamam
os conjuntos -mensuráveis.
Prova-se que todo o conjunto de medida zero é -mensurável e que se tem
7.5. Propriedade Os conjuntos -mensuráveis constituem uma -álgebra
sobre (rever 6.1.). Além disso, a medida exterior tem as propriedades de
uma medida sobre a -álgebra dos conjuntos -mensuráveis.
Dem. Ver [Aliprantis e Burkinhshaw], pp. 87-8.
7.6. Observação Encontramos também a seguinte forma simples de obter
medidas exteriores sobre um conjunto:
Dada uma classe F não vazia de subconjuntos de e, uma função
P :F →
[0 ∞], definindo : P() → [0 ∞] por () = 0 e () = inf{ ∞
=1 ( ) :
∞
[
∈ F ⊂
} para 6= e com inf = ∞, tem-se que é uma medida
=1
exterior sobre .
45
46
7.7. Teorema Se no contexto da Observação 7.6. anterior, a classe F é um
semi-anel sobre e é uma medida para o semi-anel, então relativamente à
medida exterior obtida, todo o conjunto em F é -mensurável e () = ()
para cada conjunto em F.
7.8. Definição Considere-se a medida para o semi-anel So em 7.3.
Aplicando o teorema anterior, a medida exterior obtida como em 7.6., 7.7.
é uma medida para a -álgebra M dos conjuntos -mensuráveis (que inclui
Y
[ ) por 7.7.). A -álgebra M é a todos os produtos cartesianos
=1
álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue e é a medida de Lebesgue em
R .
7.9. Oservação O espaço de medida (R M ) é -finito, já que R é a
Y
[− ) de medida finita Tem-se
reunião contável dos conjuntos mensuráveis
=1
como consequência (p.94 na referência que consideramos):
7.9. Propriedade A medida de Lebesgue em R é a única medida para a
-álgebra M que coincide com sobre o semi-anel S .
7.10. Recordar que a topologia usual de R é a topologia associada à métrica
do máximo ((1 ) (1 )) = max{| − |: 1 ≤ ≤ },
para a qual cada conjunto aberto é runião de bolas abertas ((1 ) ) =
Y
( − + ). Esta topologia tem a base contável de abertos constituída
=1
pelas bolas abertas de centros em vectores de coordenadas racionais e raios
racionais. Assim cada aberto é uma reunião contável de conjuntos da forma
Y
( − + ) 0 ∈ Q; por sua vez, temos que cada
((1 ) ) =
=1
46
47
((1 ) ) =
[ Y
{ [ − + 1() + ) : () ∈ () ⊂ N} onde
=1
para cada , o conjunto dos conjuntos {[ − + 1() + ) : () ∈ () ⊂
N} é contável, sendo portanto contável o conjunto dos produtos cartesianos
finitos destes conjuntos. Deste modo, cada tal produto cartesiano sendo um
conjunto mensurável (7.8.) e sendo a classe dos conjuntos mensuráveis uma
-álgebra pela Propriedade 7.5., cada conjunto aberto em R é mensurável.
Portanto a -álgebra M contem os borelianos de R .
7.11. Pondo + = { + : ∈ } ( ∈ R 6= ⊂ R ), certamente
( + ) = () para cada ∈ , donde também ( + ) = ( )
( ∈ M ), o que se traduz dizendo que a medida de Lebesgue em R é invariante por translação. Outras propriedades da medida de Lebesgue prendem-se
com a seguinte definição.
7.12. Definição Se a medida está definida nos borelianos do espaço topológico
( T ) e tem as propriedades
1. () ∞ para cada compacto
2. sendo um boreliano, () = inf{() : ∈ T ⊂ }
3. se é um conjunto aberto, designando por K a classe dos subconjuntos
compactos, () = sup{() : ∈ K ⊂ },
dizemos que é uma medida de Borel.
7.13.Propriedade A medida é uma medida de Borel.
Dem. Ver [Aliprantis e Burkihshaw], p 112.
Encontramos também na mesma referência
7.14. Se é uma medida de Borel em invariante por translação, então
existe 0 tal que ( ) = ( ) ( ∈ M ).
47
48
7.15. Uma vez que cada conjunto com medida de Lebesgue zero é mensurável
(reveja-se antes de 7.5.) e, existindo pelo menos um conjunto mensurável C de
medida de Lebesgue zero, com o cardinal do continuo (o conjunto de Cantor,
pp. 31-34, 115-116) concluimos com [Rudin] (p. 55) que existem conjuntos mensuráveis à Lebesgue que não são borelianos. Pois
[ a classe S sendo contável e,
sendo cada boreliano um conjunto da forma { \ : ∈ S =
1 2 }, o cardinal da classe dos borelianos não excede o cardinal do contínuo
c; enquanto o cardinal do conjunto P(C) é 2c .Existem também ([Rudin]) subconjuntos de R que não são mensuráveis à Lebesgue.
8 O integral de Lebesgue para funções reais da variável em R .
Expomos os resultados para funções da variável em R , válidos para a
variável num espaço de medida seguindo [Rudin].
Começamos, seguindo [Rudin], por considerar o integral para uma função
simples : R → R.
Revendo em 6.8., : R → R é uma função simples
P
se é da forma =
=1 onde cada é um conjunto mensurável e
() = 1 ( ∈ ), () = 0 ( ∈
) é a função característica do conjunto .
Consideramos sobre R a -álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue e a
medida de Lebesgue como em 7
Recordando a definição de função mensurável em 6.8. e 6.16., temos que
uma função : R → R é mensurável (i.e., −1 () é um conjunto mensurável
para cada aberto de R munido da topologia usual) se e só se é o limite q.t.p.
de uma sucessão de funções simples. Temos no conjunto imagem de a ordem
em R e, [Rudin] considera o integral utilizando a ordenação. Uma propriedade
que prova inicialmente é a seguinte. As funções -mensuráveis em [Lang] são,
identificando funções iguais q.t.p., as funções mensuráveis que se anulam no
complementar de um conjunto mensurável , com de medida zero.
8.1. Propriedade Se : R → [0 ∞] é uma função mensurável, existe uma
sucessão ( ) de funções simples tal que 0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ≥ e () → ()
( ∈ R ).
P
Dada então a função simples =
=1 P e dado ∈ M (rever a
Definição 7.8.), 6= o integral de em é
=1 ( ∩ ).
48
49
R
8.2.R Verifica-se queR no contexto de 8.1., a sucessão é crescente e
põe-se = sup tomando o sup na classe das funções simples
0 ≤ ≤ .
8.3. PelaR definição, dada : R → [0 ∞] mensurável e ∈ temos
= R . Pode tomar-se, dada : → [0 ∞] mensurável,
considerando sobre a -álgebra { ∩ : ∈ M }, = 0 sobre R \.
Assim os resultados para o integral sobre R estendem-se ao integral sobre um
arbitrário conjunto mensurável, em princípio.
R
8.4. Teorema da convergência monótona de Lebesgue
Se ( ) é uma sucessão de funções mensuráveis
R em R , 1R ≤ 2 ≤ ≤ e
() → () ( ∈ ) então é mensurável e R → R .
R →R [0 ∞] = 1 2 e
8.5. P
Corolário Dadas funções mensuráveis
: P
R
∞
∞
() = =1 () ( ∈ R ), tem-se R = =1 R .
8.6. Observação Se bem que neste parágrafo se faça o estudo do integral
relativamente à medida de Lebesgue em R , os resultados anteriores, bem
como os que seguem, mantêm-se válidos para funções reais sobre um espaço
de medida geral. Aplicando 8.5 à medida de contagem : P() → [0 ∞], para
a qualP
() P
é o cardinal P
do conjunto
, obtemos que se ≥ 0 ( = 1 2 )
∞
∞
∞ P∞
então =1 =1 = =1 =1 .
Prova-se o importante resultado, relativo à ordem no espaço imagem
8.7. Lema deR Fatou Se cada função R : R → [0 ∞] é mensurável,
= 1 2 então R lim inf ≤ lim inf R .
49
50
Cada função mensurável : R → [0 ∞] permite considerar uma medida
sobre M , tendo-se ([Rudin], p. 27)
R
8.8. Se a função : R →→R [0 ∞] é mensurável
então () =
R
( ∈ M ) define uma medida e R = R .
Obtido o integral para funções positivas da variável real, [Rudin] pode considerar o integral para funções reais ou complexas, considerando, dada :
R → R, as funções + () = max{ () 0} e − () = − min{ () 0}. Temse = + − − , | |= + + − e sendo estas funções mensuráveis se é
mensurável, põe
8.9 Definição
que é
R Dada a função mensurável R : R → C,R diz-se
+
integrável
se
|
|
∞.
Pomos
então
=
Re
−
R R
R
R
R
R
−
+
−
1
Re
´+
Im
−
Im
.
O
espaço
(
)
é
o
espaço
R
R
R
vectorial complexo destas funções integráveis.
8.10. Observação Toda a função -mensurável no sentido de [Lang] sendo
mensurável para [Rudin] e descobrindo-se a Propriedade 8.1., as funções reais
integráveis no espaço L1 ( ) para [Lang] estão no espaço 1 ( ). Assim
1 ( ) ⊃ L1 ( ), para os espaços reais. Também dados ∈ 1 ( ) e o
conjunto ∈ M () ∞, a função está em L1 ( ). Se o espaço de medida ( A ) verifica () ∞ ( é de medida finita) então
L1 () = 1 (); no caso geral L1 () ⊂ 1 (), espaços de funções reais.
8.11. O integral para funções reais ou complexas, continua verificando a
1
linearidade.
Temos, na generalidade,
se
R
R
R ∈ ( ) e ∈ C,
( + ) = R + R , valendo ainda a igualdade
R
para os integrais sobre um conjunto mensurável à Lebesgue .
Destaca-se ainda o teorema da convergência dominada de Lebesgue 8. 12.
50
51
8.12. Seja ( ) uma sucessão de funções mensuráveis reais ou complexas
tal que existe o limite lim→∞ () = () em cada ponto . Se existe uma
1
função R ∈ 1 ( ) tal que | () |≤ (),
R então ∈ ( ),
R = 1 2
lim→∞ R | − | = 0 e lim→∞ R = R .
8.13. Observação Dado um espaço de medida geral ( ), o resultado
em 8.12. é válido; conforme referimos.Concluimos também, conforme a 8.10.,
que se as funções reais estão em L1 () e a função em 8.12. é nula no
complementar de um conjunto de medida finita então ∈ L1 () e coincidindo
os integrais segundo [Lang] ou [Rudin], as igualdades para os limites dos integrais
considerados sobre mantêm-se.
9 A medida e o integral de Lebesgue para funções reais segundo [Kolmogorov
e Fomin]. Diferenciação.
Em [Kolmogorov e Fomin] encontramos uma exposição geral da teoria originariamente devida a Lebesgue, em que os conceitos de função real mensurável
coincidem com o anterior. A definição do integral é feita de modo diferente,
resultando que cada função mensurável é integrável. No contexto da medida de
Lebesgue em R como em 7., as funções da variável em R que são limitadas
e -integráveis em 6. são integráveis no sentido de [Kolmogorov e Fomin].Tal
como [Rudin] em 8., os resultados fundamentais utilizam a ordem no espaço
imagem R.
Consideremos um espaço de medida ( S ) no sentido de 6., em que S
é um semi-anel verificando a condição adicional ∈ S (semi-anel unitário, na
terminologia de [Kolmogorov e Fomin]). Os autores consideram que () ∈
∞
[
P
[0 ∞) ( ∈ S) e é -aditiva i.e., (
) =
( ) sempre que os
=1
os termos).
conjuntos em S são dois a dois disjuntos (supondo finitos ambos
P
Para a medida exterior ∗ gerada por põe-se ∗ () = inf{ ( ) : ⊂
∞
[
∈ S}. A definição de conjunto L-mensurável é então
=1
9.1. Definição No contexto acima, dizemos que o subconjunto ⊂ é
L-mensurável se para cada 0 existe ∈ S tal que ∗ ( ∆) . Aqui,
∆ = ( \) ∪ (\ ).
51
52
Têm-se então os resultados (pp. 262-264):
9.2. Teorema A classe dos conjuntos L-mensuráveis é uma -álgebra M sobre
contendo S. A função que é a restrição de ∗ a M é uma medida para M.
Tomando para S o segundo exemplo em 7.3., obtemos a -álgebra dos conjuntos
mensuráveis à Lebesgue e a medida de Lebesgue.
Continuando a tomar como mensurável cada função entre espaços de medida
cuja imagem inversa de cada conjunto mensurável é um conjunto mensurável,
para [Kolmogorov e Fomin], uma função simples é uma função mensurável cujo
conjunto imagem é contável, podendo ser infinito. Para precisar uma distinção,
chamamos a estas funções de contavelmente valoradas. Temos então os seguinte
resultados (Teorema 4., pp. 274-5 e Teorema 2., pp. 282-3)
9.3. Se a função é limite pontual de uma sucessão de funções mensuráveis,
então é mensurável.
Dem. Seja () → () ( ∈ ) onde cada função é mensurável.
Notando que é mensurável se e somente se o conjunto { ∈ : () } ∈ M
para cada ∈ (pois é mensurável se e só se − é mensurável, se a condição
se verifica
[ [então
\ { ∈ : () } é mensurável), temos { ∈ : ()
} =
{ ∈ : () − 1} donde concluimos que este conjunto
está em M. De facto, se () , existe tal que () − 2; para um
tal , encontra-se suficientemente grande para o qual () − 1 desde
que . Reciprocamente, se está no conjunto representado em termos de
reunião e intersecção, existe tal que qualquer que seja o suficientemente
grande, temos () − 1 e considerando o limite quando → ∞
concluimos () .
Encontramos o Teorema 2. (pp. 282-3):
9.4. Teorema A função : → é mensurável se e somente se é o limite
uniforme de uma sucessão de funções contavelmente valoradas.
Dem. A condição suficiente é verificada em 9.3. Para a condição necessária,
supondo mensurável, consideremos as funções dadas por () =
para ≤ () ( + 1), onde ∈ Z = 1 2 Estas funções são
contavelmente valoradas e, tendo-se | () − () |≤ 1 ( ∈ ) vemos que
convergem uniformemente para sobre , concluindo-se o teorema.
52
53
9.5. Observação Notar que podemos acrescentar a 9.3. que se a sucessão
( ) de funções mensuráveis converge pontualmente para q.t.p. então
é mensurável. Pois sendo mensurável cada subconjunto de um conjunto com
medida zero, temos com () → () ∀ ∈ \ () = 0, que por 9.3. é
mensurável sobre \ e, sendo mensurável sobre , temos que é mensurável.
P∞
Define-se o integral da função contavelmente valorada =
=1 ()
∞
[
sobre o conjunto mensurável =
() e, diz-se então que é integrável em
R
P∞ =1
, como sendo = =1 (()) se a série é absolutamente convergente.
9.6. Observação Se a função contavelmente valorada verifica que | | é
integrável em , então é integrável em . A recíproca é válida, pois considerase para a série que converge absolutamente. Consequentemente, toda a função
contavelmente valorada limitada sobre é integrável em ..
.Pôe-se então, notando que se → uniformente sobre o conjunto
menR
surável
(e
recordando
que
se
considera
()
∞
∈
M),
|
−
R
|≤
()
sup{
()
−
()
:
∈
}
→
0,
de
modo
que
a
→∞
sucessão dos integrais tem um limite,
9.7. Definição Dizemos que a função é integrável em , onde é um
conjunto mensurável, se existe uma sucessão ( ) de funções
R contavelmente
R valoradas convergindo uniformemente para em . O limite = lim
diz-se que é o integral de em .
9.8. Observação Notemos que é assim integrável se e só se é mensurável.
E da desigualdade || | − | ||≤| − | vemos que é integrável se e só se
| | é integrável.
53
54
9.9.Saliente-se também que sendo cada função simples no sentido de [Rudin]
uma função contavelmente valorada e, observando [Rudin] que como define a
sucessão de funções simples em 8.1., ela é uniformemente convergente para a
função mensurável se esta é limitada, temos que para funções limitadas, a
função é mensurável e integrável equivalentemente no sentido de [Rudin] e no
de [Kolmogorov e Fomin]. São propriedadesR do integral
9.9. Para cada conjunto mensurável R, 1 = (). R
R
9.10. Teorema Tem-se a linearidade ( + )) = +
desde que sejam integráveis ( ∈ R).
R
R
9.11. Se () = () q.t.p., e são mensuráveis, então = .
Para funções mensuráveis e ,R
9.12. Se R() ≥ 0 q.t.p.
então ≥ 0. Assim a relação () ≥ ()
R
q.t.p. implica ≥ .
R
9.13. Se ≤ () ≤ q.t.p. então () ≤ ≤ () para cada
∈ M.
éRa reunião contável disjunta dos conjuntos mensuráveis (),
R 9.14. Se
P∞
=
=1 () , onde a série converge absolutamente.
9.15 Desigualdade de Tchebychev Se R ≥ 0 sobre o conjunto mensurável
e 0 entãoR({ ∈ : () ≥ }) ≤ 1 .
Assim se = 0 tem-se () = 0 q.t.p.em .
54
55
9.16. Teorema da continuidade absoluta do integral de Lebesgue Se é
integrável no conjunto
mensurável , então para cada 0, certo 0 existe
R
verificando-se | | para todo o subconjunto mensurável de tal que
() .
Dem. Ver [Kolmogorov e Fomin], pp. 291—2.
9.17. Comparação do integral à Riemann e do integral pelo método de
Lebesgue, segundo [Lang], [Rudin] e [Kolmogorov e Fomin]
Concluimos da Definição 3.1., Teorema 3.14., 8.1. e a definição em 8.2.,
que se : [ ] → R é integrável à Riemann em [ ] então é integrável
no sentido de [Rudin], de [Lang] e de [Kolmogorov e Fomin] (tem-se o Theorem
1.17 em [Rudin] com a observação aí feita à convergência uniforme). Também,
R
notando 1 o integral de Riemann (recorde-se 3.) tem-se para os diferentes
R
R
métodos, 1 = [] 1 , como mostra o Teorema 9. para o método de
[Kolmogorov e Fomin], pp. 297-8.
9.18. Observação Nem todo o limite pontual de uma sucessão de funções
simples em [ ] é uma função limite uniforme de funções em escada. Encontrase em [Guerreiro] (Capítulo V, 3.4., pp. 374-381) o integral para estas últimas
funções, chamadas de funções regradas; são caracterizadas por terem limites
laterais finitos em cada ponto e o conjunto dos seus pontos de descontinuidade
é contável. O integral de Riemann é mais geral, no sentido de que toda a função
regrada em [ ] é integrável à Riemann em [ ], coincidindo
p o integral por
ambas as formulações. A função : [−1 1] → R, () = 1 | | é integrável
à Riemann mas não é uma função regrada.
Temos em 1.26. a definição de função de variação limitada, 1.28 acrescenta
que estas funções são diferença de duas funções crescentes. Recordar que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona : [ ] → R
é contável; assim como também portanto o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função em [ ].
Observa-se em [Kolmogorov e Fomin] (p.312) que toda a função real monótona sobre [ ] é integrável.
Recordado o conceito de função diferenciável em 1.31., concluimos do teorema de Lebesgue em 1.36. sobre a diferenciabilidade que o conjunto dos pontos
onde uma função ∈ [ ] não é diferenciável tem medida zero. Consequentemente, tendo-se atendendo à relação = + − − onde + = max{ 0}
e − = − min{ 0} que sendo integrável (como vimos, equivalentemente,
R
mensurável neste sentido de [Kolmogorov e Fomin]), a função 7→ 1 =
R
() de ∈ [ ] é de variação limitada. Assim
55
56
R
9.19. Teorema Dada a função integrável em [ ], a derivada
()
existe q.t.p.
Temos ainda (pp. 327-9)
R
9.20. Qualquer que seja a função integrável , tem-se
() = ().
Para a segunda propriedade no teorema fundamental do Cálculo, os autores
começam (p. 330) pelo resultado
R
9.21. A derivada 0 de uma função crescente é integrável e tem-se 0 () ≤
() − ().
9.22. Definição Dizemos que a função real sobre [ ] é absolutamente
contínua se para cada 0, existe 0 tal que qualquer
P que seja a família
de intervalos
disjuntos
{(
)
:
=
1
}
verificando
=1 ( − ) se
P
tem =1 | ( ) − ( ) | .
9.23 Qualquer função absolutamente contínua é de variaçãoi limitada ([Kolmogorov e Fomin], pp 333-4).
56
57
R
9.24. O integral indefinido () = () de uma função integrável (mensurável) é uma função absolutamente contínua.
Dem. Dada uma família finita de intervalos disjuntos ( ) = 1
R ()
P
P
P R ()
temos =1 | ( )− ( ) |= =1 | () () |≤ =1 () | () | =
[
R
|
()
|
onde
=
( ). Aplicando o teorema da continuidade abso
=1
luta do integral de Lebesgue, a última expressão tende para zero quando tende
para zero o comprimento dos intervalos ( ), ficando provado o teorema.
9.25.Lema Se a derivada de uma função absolutamente contínua é nula q.t.p.,
então a função é constante.
9. 26. Teorema de Lebesgue A derivada = 0 de uma função absolutamente contínua definida sobre o intervalo
[ ] é integrável neste intervalo e, em
R
qualquer ponto ∈ [ ] tem-se () = () − ().
Encontramos os resultados 9.24. e 9.25. demonstrados em [Kolmogorov e
Fomin], pp. 335-7. Notemos que esta segunda propriedade da reconstituição de
uma função diferenciável pelo integral da sua derivada é válida unicamente para
as funções absolutamente contínuas, como se conclui de 9.23; assim esclarecendo
como observado em 3.9.
57
58
10 Funções vectoriais da variável real e integral de Riemann-Stieltjes para
funções reais.
Seguimos [Hille and Phillips], Chapter III. Recomenda-se a leitura adiante,
CAPÍTULO 12. sobre a teoria dos operadores lineares.
Como caso particular da continuidade de uma função : ⊂ R → ,
um espaço topológico, dado um espaço de Banach ( kk), é contínmua no
ponto (0) quando lim→(0) k () − ((0))k = 0.
10.1. Observação Podemos também considerar a continuidade fraca lim→(0) |
∗ () − ∗ ((0)) |= 0 para todo o funcional linear contínuo ∗ sobre
10.2. Definição Seja dada : ( ) ⊂ R → e seja (0) ∈ ( ). Dizemos
que a função é diferenciável (fracamente diferenciável) em (0) se existe um
vector 0 ((0)) ∈ verificando lim→0 k( ((0) + ) − ((0))) − 0 ((0))k = 0
(respectivamente lim→0 | ∗ [( ((0) + ) − ((0))) − 0 ((0))] |= 0 ∀∗ ∈
∗ ).
10.3. Observação A diferenciabilidade fraca em (0) implica que a composta
∗ é diferenciável no ponto e, a recíproca é falsa.
Certamente a diferenciabilidade num ponto implica a respectiva continuidade
ou continuidade fraca.
10.4. Teorema Se a derivada fraca de se anula em cada ponto de ( )
então a função é constante no intervalo.
Dem. Conclui-se que a função real da variável real 7→ ∗ () é constante
em ( ), ∗ percorrendo ∗ ; donde é constante. Assim não pode ter-se () =
6= = () ∈ ( ), donde o resultado c.q.d.
58
59
Recorde-se a Definição em 1.26.
10.5. Definição Dada a P
função : [ ] → , dizemos que é de variação
limitada se o supremo sup k ( ( )− ( ))k, tomado para todas as possíveis
escolhas de subintervalos disjuntos de ( ), é finito.
Podemos também considerar funções de [ ] em tais que para cada
∗ ∈ ∗ , a composta ∗ seja de variação limitada. Diz-se que estas funções
são fracamente de variação limitada e tem-se ([Hille and Phillips], pp. 59-60)
que se a função é fracamente de variação limitada, então é de variação limitada.
10.6. Definição Sejam : [ ] → uma função contínua e : [ ] →
R
R uma P
função de variação limitada. Então existe o limite ()() =
lim||→0 ( )[( ) − (−1 )] onde nota uma partição
P ≡ = 0
1 = e | |= max{ − −1 : 1 ≤ ≤ }. Por entendemos a
soma relativa à partição . Este integral diz-se um integral de Riemann-Stieltjes.
10.7. Teorema Sendo as funções e como na definição anterior, se o
operador : → é linear fechado, onde é outro espaço de Banach, tem-se
R
R
()() = [ ()]().
Dem. Ver [Hille and Phillips], a demonstração do THEOREM 3.3.2. para
esta propriedade de permutação do operador com o integral.
Considerando o operador linear contínuo : × → , (1 2 ) =
1 1 + 2 2 (1 2 escalares) conclui-se de 10.7. o
10.8. Corolário Se : [ ] → é contínua e : [ ] → é de variação
R
R
R
limitada, então 1 1 ()() + 2 2 ()) = [1 1 () + 2 2 ()]().
59
60
Também na mesma referência encontramos a aplicação a equações diferenciais em 10.10.
Notemos que tomando para a função constante () = 1 ( ∈ [ ]) o integral de Riemann-Stieltjes é o integral de Riemann, Adapta.se a demonstração
da primeira forma do Teorema Fundamental do Cálculo:
10.9. Teorema Se a função : [ ] → á contínua, então a derivada do
R
integral indefinido de coincide com ,
() = ().
10.10. Teorema Seja = ( ) definida e separadamente contínua para |
−0 |≤ e k−0 k ≤ . Suponhamos k ( )k ≤ e que k ( 1 )− ( 2 )k ≤
k1 − 2 k para 1 2 como acima. Aqui, e são números positivos
fixos e ≤ . Então existe uma única função continuamente diferenciável ()
satisfazendo
() = [ ()] (| − 0 |≤ ) e (0 ) = 0 .
60
61
11 O integral de Bochner
No que segue, ( kk) designa um espaço de Banach real ou complexo.
11.1. Sejam um conjunto não vazio e seja A uma colecção de subconjuntos
de . Dizemos que A é um −anel (sobre ) se ∪ e \ estão em A para
∞
[
cada ∈ e ainda, se a reunião
∈ A para cada colecção contável de
=1
subconjuntos de em A ([Métivier]).
11.2. A função : A → [0 ∞] é uma medida se () = 0 e (
P∞
∞
[
) =
=1
( ) (1 2 ∈ , ∩ = = 1 2 6= ).
A medidad é −finita se é uma reunião contável de conjuntos em A
de medidas finitas. E diz-se completa se cada subconjunto de um conjunto
em A tal que ( ) = 0 verifica que ∈ A.
=1
11.3. A função : → (
Pkk) diz-se ser absolutamente contínua se para
cada 0 existe 0 tal que
P k( )k , sempre que os conjuntos em
A são dois a dois disjuntos e ( ) . E diz-se fracamente
absolutamente
P
contínua se para cada positivo, existe 0 tal que | ∗ [( )] |
para
P cada colecção { : = 1 2 } ⊂ A de conjuntos dois a dois disjuntos,
( ) .
11.4. Defunição A sucessão de funções ( ()) de em ( kk) converge
para a função : → c.t.p. se existe um conjunto de medida zero em A
tal que lim→∞ k() − ()k = 0 ( ∈ \ ).
11.5. Definição () de em diz-se contavelmente valorada se assume
um conjunto contável de valores, estando em A cada subconjunto de onde
toma um valor diferente de zero.
61
62
11.6. A função : → ( kk) diz-se mensurável se existe uma sucessão
( ) de funções contavelmente valoradas convergindo c.t.p. para .
11.17. Definição A função contavelmente valorada () de em ( kk)
como em 11.5. é integrável
à Bochner
R
P∞ se a função k()k é integrável à Lebesgue.
Por definição, () () = =1 ( ∩ ), onde () = ( ∈ ).
11.18. Dizemos que a função () de em é integrável à Bochner se
existe uma sucessão de funções contavelmente
valoradas ( ()) convergente
R
paraR () c.t.p.e tal que lim→∞
k()
−
()k = 0. Por definição,
R
() () = lim→∞ () (). Notamos ((A) ) o conjunto
das funções integráveis à Bochner.
Notemos acima que dada a estrutura ( A ), podemos tomar ⊂ 6=
no lugar de , o anel A = { ∩ : ∈ A} e a restrição de a A . Para
as definições em 1.17., 1.18., considerando a estrutura ( ). Notamos
também ( ) o conjunto das funções integráveis à Bochner.
11.19. Teorema É condição necessária e suficiente
para que () seja inteR
grável à Bochner que () seja mensurável e k()k ∞.
Dem. Ver [Hille and Phillips], THEOREM 3.7.4. (p. 80).
11.20. Teorema Seja {() : = 1 2 }R uma colecção disjunta
P R de conjuntos
em A. Para () ∈ ((A) ) tem-se ∪() () = () ().
Dem. Ver a Proof:, THEOREM 3.7.11.
62
63
Também encontramos, com a demostração,
o seguinte resultado; consequênR
cia da continuidade absoluta do integral k()k,
11.21
R Teorema Para dada () ∈ ((A) ), a função de conjuntos
= () é absolutamente contínua.
11.22. Teorema Seja : → um operador linear fechado, espaços
R de Banach.R Se () ∈ ((A) ) e [()] ∈ ((A) ) então
[ ()] = [()].
No que respeita a relação com a diferenciabilidade, temos (p. 88) ((R )
é o espaço dos operadores lineares contínuos de R em )
11.23.Teorema Se () : = → é de variação limitada e, fracamente
diferenciável c.t.p. com a derivada (), então () ∈ (R ). Se () é
também fracamente absolutamente contínua, então é o integral indefinido de
().
11.24 Observação Para a definição do integral e certos desenvolvimentos, os
métodos de [Rudin] e de [Lang] não se baseiam no conceito de ordem; já em
[Kolmogorov e Fomin] a ordenação no espaço de chegada é essencial. É actual
a teoria dos reticulados normados e de Banach ([Aliprantis and Burkinshaw]
e [Zaanen], por exemplo), em que se considera sobre o espaço normado uma
ordem parcial compatível com a estrutura vectorial e, com a topologia.
63
64
12 Teoremas básicos em teoria dos operadores lineares
Para este capítulo aconselha-se [Taylor and Lay], que seguimos resumidamente. Podem recordar-se conceitos necessários para esta primeira parte em
B_Operadores Lineares Contínuos, adiante p.67.
A_ Elementos de teoria espectral
Consideramos um operador linear : ( ) = → , onde é um espaço
normado real ou complexo. Notamos − = − , o operador identidade. Designamos o range ou codomínio de por ( ). Quando o operador
no espaço vectorial dos operadores lineares () de em é injectivo, entendemos que o domínio ( −1 ) = ( ). O subespaço de () formado pelos
operadores lineares contínuos : ( ) = → nota-se ().
12.1. Dizemos que o operador linear contínuo é invertível se além de
injectivo, se tem ( ) = e −1 ∈ (). Assim só o referimos para ∈
().
12.2 Observação Recordar que () e () são álgebras. Uma álgebra é
um respaço vectorial munido de um produto (a composição) • (símbolo que por
vezes se omite) tal que ( • ) • = • ( • ), • ( + ) = • + • ,
( + ) • = • + • e () • () = ()( • ), escalares. Além
disto, em (), tem-se kk ≤ kkkk.
12.3. Definição O conjunto resolvente ( ) de é constituído pelos escalares
tais que o range ( − ) é denso em , ( − ) = ; além disso, existe o
operador resolvente inverso () = ( − )−1 .
12.4. Observação Recordar (ver B_Operadores lineares Contínuos adiante)
que sendo () definido e contínuo sobre o subespaço denso ( − ), tem uma
extensão linear contínua a todo o .
64
65
12.5. Definição [Taylor and Lay]. O subconjunto do corpo de escalares K
complementar de ( ) diz-se o espectro de e nota-se ( ).
Recorde-se a topologia de espaço normado de () para o
12.6. Teorema Seja
Se o operador tem a proP umespaço de Banach.
0
priedade de a série ∞
kk
∞,
onde
=
,
então o operador − é
=0
P
invertível (12.1) e ( − )−1 = ∞
=0
Dem. Ver Theorem 1.4., p. 192, para a demonstração.
12.7. Observação O teorema acima dá uma condição suficeiente, mas não
necessária, para que 1 ∈ ( ).
Temos, para linear, : ( ) ⊂ → , notando o resolvente ( − )´1 =
se existe num domínio (pp. 272-3):
12.7. Teorema Suponhamos que existe com norma k : ( ) → k =
(). Se | − | 1 () então existe o inverso contínuo de − . Além
disso, ( − ) não está propriamente contido em ( − ).
12.8. Teorema O conjunto resolvente ( ) é aberto e, assim o espactro ( )
é um conjunto fechado.
65
66
12.9. Observação Se é um espaço de Banach e o operador linear :
( ) ⊂ → é fechado, então tem-se ( − ) = para cada ∈ ( )
(ver [Taylor and Lay], pp. 264, 211).
12.10. Teorema Fundamental Suponhamos tal que para ∈ ( ) se tem
( − ) = . Então, se ∈ ( ) tem-se − = ( − ) e
= .
P
+1
Se ∈ ( ) e | − | k k 1 então ∈ ( ) e = ∞
.
=0 ( − )
Aqui, a série converge na topologia da norma de (). A função 7→ de
+1
( ) em () é indefinidamente diferenciável e
.
= ((−1) !)
Dem. Na nossa referência, pp. 274-5.
No que segue, supomos um espaço normado, 6= {0} e ∈ ().
P∞
12.11- Teorema Se | | k k então ∈ ( ) e = =1 − −1 para
cada no range (denso) de − . Portanto ( ) é compacto.
disso
P Se além
− −1
é um espaço de Banach e | | k k, então a série = ∞
é
=1
convergente no espaço (() k : ()k).
Dem. Ver p. 277 para uma demonstração (Theorem 3.1.)
12.12. Teorema Se é um espaço de Banach complexo então ( ) 6= .
Dem. Suponhamos | | k k. Da relação k−1 k ≤ 1kk e, k − k ≥|
| kk − k k ≥ (| | −k k)kk, concluimos k k ≤ (| | −k k)−1 →|→∞
0. Recordem-se as funções analíticas da variável complexa e o Teorema 12.10.
acima. Se ( ) é o conjunto vazio, então tem-se que é analítica e limitada
em todo o plano, donde é constante. A constante terá de ser 0, o que contradiz
que é uma bijecção de em , concluido-se a demonstração.
66
67
12.13. Definição Com como em Definição 12.5. ( ∈ (( ) )), se
( ) é não vazio e limitado (compacto), pomos ( ) = sup{| |: ∈ ( )} e
dizemos que ( ) é o raio espectral de .
12.14.Teorema Se é um espaçoPde Banach complexo e ∈ (), então
∞
o resolvente de é dado por = =1 − −1 para | | ( ). A série
representa ainda se é convergente e | |= ( ). Se | | ( ) então a
série diverge.
Dem Ver pp. 278-9.
Encontramos também, com a demonstração na página 278 o
12.15. Teorema Se é um espaço de Banach complexo e ∈ () então
( ) ≤ k k1 ( = 1 2 ). Além disso, o limite de k k1 é ( )
( → ∞).
B_ Operadores lineares contínuos e operadores lineares fechados
No que segue são espaços normados e é um operador linear de uma
parte de em . Designamos indistintamente por kk as normas (possivelmente
não relacionadas) em e ; supomos o corpo escalar K = R ou K = C.
12.16. Notação Designamos por ( ) o espaço vectorial sobre dos
operadores lineares do subespaço de em ; notamos por ( ) = o
domínio de e ( ) = { : ∈ ( )} é o range de .
67
68
12.17. Observação Recordar que a topologia do espaço normado ( kk)
é a topologia associada à métrica ( ) = k − k sobre . Assim o operador linear é contínuo se e somente se transforma sucessões convergentes em
sucessões convergentes para a imagem do limite (é sequencialmente contínuo).
Pela linearidade, temos − = ( − ) e de → ⇔ k − k → 0
vem que se existe uma constante 0 tal que k k ≤ kk ( ∈ ), tem.se
k − k → 0 ⇒ k ( − )k ≤ k − k → 0 e é contínuo.
Na observação acima podemos também concluir imediatamente a continuidade
de em cada ponto pela condição ( ) ≤ ( ) que mostra que
é uma aplicação lipschitziana.
12.18. Propriedade O operador linear de em é contínuo sse é limitado
sobre a bola unidade = { ∈ : kk ≤ 1}. Ou seja, se e somente se
k : → k = sup{k k : kk ≤ 1} ∞.
Dem. Notando k : → k = k k temos pela definiçáo, kk ≤ 1 ⇒
k k ≤ k k donde kk ≤ 1 ⇒ k kk k ≤ 1. Conclui-se facilmente por
absurdo que k kk k ≤ kk e assim k k ≤ k kkk para ∈ kk ≤ 1.
Dado arbitrário ∈ , 6= 0, temos = kk(kk) kkkk ≤ 1, donde
k k ≤ k kkk ( ∈ , recordar 0 = 0). Logo k k é uma possível constante
em 12.17. e, é contínuo. Observe-se que um tal positivo é um majorante
de {k k : kk ≤ 1}donde, por drfiição de supremo, k k = k : → k é
a menor constante ≥ 0 tal que k k ≤ kk ( ∈ ). O operador é
contínuo se e só se existe o número positivo k : → k.
12.19. Definição Para : → um operador linear contínuo, diz-se a
norma de o número positivo k k = k : → k. Nota-se ( ) o espaço
vectorial normado dos operadores lineares contínuos sobre com valores em .
12,20, Exercício Verifique que ( ) é um espaço vextorial normado .
68
69
12.21. Observação A bola unidade fechada = { ∈ : kk ≤ 1} é um
conjunto fechado, já que é sequencialmente fechado: k k ≤ 1 e k − k →
0 ⇒ k k → kk (verifique) e assim vem kk ≤ 1, pela passagem de uma
= {lim : → k k 1} da bola
desigualdade ao limite. Logo o fecho
unidade aberta = { ∈ : kk 1} é um subconjunto de . Também
. Assim a bola unidade é o
se kk = 1 então de = lim +1
vem que ∈
fecho da bola unidade aberta.
12.22. Recordando que a função : ( ) → ( ) é contínua se e só
se () ⊂ () ( ⊂ ) mostre que é contínuo se e somente se sup{k k :
kk 1} = k : → k ∞. Verifique ainda que k k = sup{k k : kk =
1}.
12.23. Observação Como vemos acima de 12.18., se : ⊂ → é linear
contínuo, é então uma aplicação uniformemente contínua do subespaço em
. Recordar que asim existe uma única extensão contínua de como função
sobre o fecho : ⊂ → se é um espaço de Banach (ver por exemplo
[Aliprantis and Burkinshaw]).
12.24. Para um funcional linear contínuo : → K tem-se k k = sup{|
() |: kk ≤ 1}.
12.25. Observação Verifica-se que todo o funcional linear não nulo : →
K é uma função sobrejectiva. Com efeito, dado 0 em (0 ) = 6= 0, o
singleton {} é uma base do espaço vectorial K; logo dado arbitrário escalar ,
temos = (0 ()).
12.26. Definições (1) O espaço vectorial sobre K dos funcionais lineares
sobre é o dual algébrico de e representa-se por + (2) O subespaço de
+ formado pelos funcionais lineares contínuos, ∗ = ( K), diz-se o dual
ou dual topológico de .
Dado ∗ ∈ ∗ , tem.se | ∗ () |≤ k∗ kkk.
69
70
12.27. Teorema de Hahn-Banach Sejam um espaço normado não nulo e
um subespaço de , : → K um funcional linear contínuo sobre de
norma k : → Kk. Existe então pelo menos um funcional linear contínuo
∗ ∈ ∗ que é uma extensão de a e tal que k k = k : → Kk.
Dem. Conclui-se do teorema de Hahn-Banach vectorial: Se é um espaço
vectorial sobre K e é um subespaço de , : → [0 ∞[ verifica as condições
( + ) ≤ () + () e () =| | (), | () |≤ (), então existe um
funcional linear + sobre , estendendo e tal que | + () |≤ () ( ∈ ).
Ver [Taylor and Lay], Theorem 10.4.e [Schwartz].
12.28. Proposição Se ( kk) é um espaço normado, o dual de é um
espaço de Banach.
Dem. Trata-se de provar que dada uma sucessão (∗ ) em ∗ tal que k∗ −
∗
k →→∞ 0, existe ∗ ∈ ∗ tal que k∗ − ∗ k → 0. Para kk = 1,
temos | (∗ − ∗ )() |→→∞ 0, donde | ∗ () − ∗ () |→→∞ 0 e a
sucessão
escalar ∗ () → (), já que é uma sucessão de Cauchy. Temos =
[
{ : ∈ kk = 1} e assim fica definida a função () = lim ∗ () =
= lim ∗ (). Ou seja, fica definida a função () = lim ∗ () de em K.
A sucessão (k∗ k) é de Cauchy, como consequência da desigualdade | k∗ k −
k∗ k |=| sup{| ∗ () : kk ≤ 1} − sup{| ∗ () : kk ≤ 1} |≤ sup{| ∗ () −
∗ () |: kk ≤ 1} (temos ∗ ()−∗ () = ∗ ((+)2)+∗ ((−)2; e recordese que o supremo de um conjunto é o ínfimo do conjunto dos seus minorantes,
que dimunui quando este conjunto cresce) Assim | () − () |=| lim ∗ () −
∗ () |=| lim ∗ ( − ) |= lim | ∗ ( − ) |≤ lim k∗ kk − k = k − k,
∈ R. Portanto a função é contínua. Então ( + ) = lim ∗ ( + ) =
lim () + ∗ () = () + (), de modo que é linear, concluimos que
∈ ∗ e assim este espaço é completo, como queríamos.
12.29. Definição O dual do dual do espaço normado diz-se o bidual de
e nota-se ∗∗ , por ∗∗ notamos os seus elementos.
12.30. Observação Para ∗ ∈ ∗ , ∈ , tem-se que a função ∗ 7→ (∗ ) =
() é linear de ∗ em . Também | (∗ ) |≤ kkk∗ k e assim é um
elemento = ∗∗ do bidual de .
∗
12.31. Definição A aplicação 7→ = ∗∗ como em 12.30.diz-se que é a
aplicação canónica de no seu bidual ∗∗ .
70
71
Verifica-se facilmente que a aplicação canónica é linear contínua, : 7→
(∗ 7→ ∗ ()) = ∗∗ .
12.32. Definição Se o range () = () = ∗∗ , dizemos que o espaço
normado é reflexivo.
12.33. Recorde-se 12.19. Tem-se kk = sup{| () |: kk ≤ 1} = sup{|
∗ () |: k∗ k ≤ 1} ≤ kk. Pelo teorema de Hahn-Banach, sendo dado , kk =
1, considerando o funcional linear contínuo sobre K = { : ∈ K} dado por
7→ , de norma 1, existe ∈ ∗∗ k∗ k = 1 que estende aquele funcional
linear contínuo. Deste modo, para kk = 1, tem-se sup{| ∗ () |: k∗ k ≤ 1} =
kk. Isto permite concluir que no caso geral, kk = max{| ∗ () |: k∗ k ≤ 1}.
Deste modo, tem-se kk = 1 e, além disso a aplicação é uma isometria linear
de em ∗∗ . Portanto se é reflexivo, é um homeomorfismo linear (termo
proposto em [Taylor and Lay]) entre e ∗∗ . Aplicando 12.28., concluimos
que todo o espaço normado reflexivo é um espaço de Banach.
12.34. Teorema Se 0 ∈ 0 6= 0, então existe pelo menos um ∗ ∈ ∗ tal
que k∗ k = 1 e ∗ (0 ) = k0 k. Consequentemente, kk = sup{| ∗ () |: k∗ k =
1} = max{| ∗ () |: k∗ k = 1}.
Encontra-se em [Taylor and Lay] (PROBLEMS 2. p. 141, ver III.5 ) que o
range () é fechado em ∗∗ se e somente se é um espaço completo (verificase pelas dfinições). Notemos que ∗∗∗ = ( ∗∗ )∗ se identifica com por meio
de ∗ ∗∗ = ∗∗ ∗ = ∗ , ∈ se e somente se é reflexivo.
Então ( ∗ ) é fechado em ∗∗∗ e é completo.
12.35. Teorema Seja um subespaço próprio fechado de . Dado 0 ∈
tal que (0 ) = inf{(0 ) : ∈ } = 0, existe pelo menos um ∗ em
∗ tal que k∗ k = 1 ∗ (0 ) = e ∗ () = 0 para cada ∈ .
71
72
12.36. Teorema O espaço dre Banach é reflexivo se e somente se o dual
∗ é reflexivo.
Dem. (Seguindo [Taylor and Lay], p. 140). Sejam 0 : → ∗∗ e
1 : ∗ → ∗∗∗ as aplicações canónicas, Se é relexivo, considerado ∗∗ ∈
∗∗ , seja ∗ = ∗∗ 0 . Temos ∗ ∈ ∗ . Da hipótese () = ∗∗ vem
que ∗∗∗ = 1 ∗ para um ∗ e, temos efectivamente ∗∗∗ = ∗∗ 0 = ∗ .
Assim (1 ) = ∗∗∗ e ∗ é reflexivo. Para a recíproca, temos por redução
ao absurdo: supondo ∗ reflexivo e não reflexivo. Então = 0 () é um
subespaço próprio fechado de ∗∗ , já que 0 é uma isometria e é completo.
Existe, aplicando 12.35., certo ∗∗∗ ∈ ∗∗∗ tal que k∗∗∗ k = 1 e ∗∗∗ (∗∗ ) = 0
(∗ ∈ ). Como é reflexivo existe ∗ ∈ ∗ tal que k ∗ k = 1 = k∗∗∗ k e
1 ∗ = ∗∗∗ . Significa isto que ∗∗∗ (∗∗ ) = ∗∗ (∗ ), ∗ ∈ ∗ . Temos então para
∈ , 0 = ∗∗∗ (0 ) = (0 )( ∗ ) = ∗ (). Como varia arbitrariamente em
, ∗ é o funcional nulo, o que contradiz k∗ k = 1. Concluimos a demonstração.
12.37. Teorema Dado o espaço normado , a aplicação canónica é sobrejectiva e é reflexivo se e somente se () é fechado no bidual.
Dem. Dada ( ) de Cauchy em ( ∗ ) k − : ∗∗ k →→∞ 0, o
limite linear de ( ) ∈ L( ∗∗ R) obtido como em processo anterior a
partir do limite lim→∞ (∗ ) = (∗ ) está em ( ∗ ). Com efeito, ∗ sendo
completo (12.28.), ( ∗ ) é fechado em ∗∗∗ (2., p. 141 em [Taylor and Lay]
como acima). Então k − : ∗∗∗ k → 0, ∈ ( ∗ ) permite concluir que
∗ é reflexivo. Aplicando !2.36. vem que é reflexivo e o teorema conclui-se
de acima de 12.35. como queríamos.
Temos também as seguintes caracterizações de funcionais lineares contínuos
(pp. 142-148 em [Taylor and Lay], pp.115-117 [Yosida]))
12.38. Para 1 ≤ ∞, pomos 0 = P
( − 1) na convenção 10 = ∞.
0
∞
Notemos que se ( ) ∈ então (( )) = =1 define (desigualdade de
∗
Hölder) um elemento de ( ) .
P
12.39. O dual do espaço = (N) = {( ) ∈ KN : k( )k = ( ∞
=1 |
0
| )1 ∞} é No sentido de quie a cada funcional linear contínuo
sobre
P∞
0
corresponde um único elemento ( ) em tal que (( )) = =1 .
72
73
Recordar ([Rudin 1]) que para (Ω M ) um espaço de medida, ()Ré o
espaço de Banach das funções : Ω → que são mensuráveis e k k = ( Ω |
| )1 ∞ (1 ∞) e ∞ () é o espaço de Banach das funções
mensuráveis de Ω em K tais que k k∞ = | | ∞. No Example 8. em
[Yosida] temos
12.40. O dual de () é 0 () se 1 ≤ ∞. No sentido de que a
cada funcional linear contínuo sobre
R () corresponde uma única função ,
0
elemento de () tal que ( ) = Ω ( ∈ ()).
12.41. Teorema O espaço () é reflexivo.
Dem. Ver [Taylor and Lay], pp. 145-6.
Encontramos ainda (pp. 146-149)
Considere-se o espaço de Banach = [ ] das funções () contínuas
sobre [ ], munido da norma do supremo kk = max | () |: ≤ ≤ }.
12.42. Seja ∗ ∈ ∗ . Existe uma função de variação limitada sobre [ ] tal
que a variação total de é kk e ∗ é definido pelo integral de Riemann-Stieltjes
R
∗ () = ()() ( ∈ [ ]).
12.43. Observação O espaço ( ) em 12.19. é um espaço de Banach se
é um espaço de Banach.
73
74
Para um espaço de Banach e um espaço normado, considere-se uma
classe {Λ : ∈ A} ⊂ ( ), onde A é um arbitrário conjunto não vazio de
índices. Recordem-se os conjuntos . Encontramos em [Rudin] o Princípio da
limtação uniforme
12.44. Teorema de Banach-Steinhauss Ou existe uma constante positiva
tal que kΛ k ≤ ∀ ∈ , ou existe um denso em tal que sup{kΛ k :
∈ A} = ∞ ∀ ∈ .
Dem. Ver 5.8, pp. 103-4.
Encontramos ainda (pp. 104-106), nas hipóteses fundamentais,
12.45. Teorema da função aberta Sejam espaços de Banach e ∈
( ) um operador linear contínuo sobrejectivo. Sendo
a bola unidade
aberta em e a bola unidade aberta em , existe 0 tal que (
)⊃
.
12.46 Observação Recordar que uma função do espaço topológico no
espaço topológico se diz aberta se transforma conjuntos abertos[em conjuntos
abertos. Para cada aberto em como em 12.45., temos = { +
:
[
∈ } 0. Assim podemos concluir do teorema que ( ) =
{ +
[
: ∈ } ⊃
{ + : ∈ },. Para cada ∈ , ( )
contem portanto uma bola aberta em e, o mesmo é dizer que ( ) é um
conjunto aberto. Concluimos assim que se é além disso injectivo, então é
um homeomorfismo linear.
12.47. Se Se e são espaços de Banach e é uma bijecção linear contínua
de em então existe 0 tal que k k ≥ kk ( ∈ ).
Dem. Conclui-se do Teorema 12.45. do modo seguinte: temos k k ⇒
kk 1; logo kk ≥ 1 ⇒ 1 k k ≥ 1 ou seja 1 k k ≥ kk c.q.d.
74
75
12.48. Recordemos que um subconjunto de um espaço métrico se diz de 2
categoria se não é uma reunião contável de conjuntos fechados de interior vazio
e o teorema de Baire, que afirma que todo o espaço métrico completo é de 2
categoria.
Generalizando 12.16. tem-se ([Rudin 2], pp. 47-8, rever o Capítulo 5)
12.49. Teorema da função aberta em e.v.t.
Suponhamos que é um espaço de Fréchet, é um e.v.t. separado e
: → é linear contínuo, tal que ( ) é de 2 categoria em . Então
( ) = , é uma função aberta e é um espaço de Fréchet.
12.50. Observação Todas as hipóteses no teorema são necessárias. Em particular, dado : → como no enunciado mas, sendo ( ) um subespaço
não fechado de , será preciso verificar se ( ) é ou não de 2 categoria como
subespaço de para poder aplicar-se o teorema ou não.
12.51. Corolário Se é um opeardor linear contínuo sobrejectivo de um
espaço de Fréchet num espaço de Fréchet , então é uma função aberta.
Se além disso é injectivo, é um homeomorfismo linear.
12.52. Uma propriedade que pode ter um operador linear : → ,
importante na teoria das equações diferenciais, ainda não sendo contínuo, é a
de ser fechado.
12.53. Definição O operador linear : ( ) ⊂ → diz-se fechado se
o seu grafo ( ) = {( ) : ∈ ( )} é um subespaço fechado de ×
munido da topologia produto.
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76
Um modo simples de verificar se acima é fechado ou não, é aplicar
12.55. Teorema O operador em 12.53 é fechado se e somente se as hipóteses
∈ ( ) → e → implicam ∈ ( ) e = .
12.54. Exemplo Seja = [0 1] munido da topologia do supremo e, seja
= . Considere-se o operador linear : ( ) = { ∈ : ∃0 () ∈
[0 1]} → = 0 . Considerando () = em = 1 2 , temos
k k = 1 0 () = −1 e assim k k = k0 k = →→∞ ∞, não é
contínuo. No entanto ([Dieudoné]) é fechado, pois se ∈ ( ) → e
→ , uma vez que a convergència de ( ) para é uniforme, tem-se por
um teorema de convergência que é diferenciável, com derivada . Verifica-se
assim ∈ ( ) e = .
Têm-se os seguintes resultados em [Taylor and Lay]
12.55. Teorema Sejam um espaço topológico e um espaço topológico
separado. Se :⊂ → é uma função contínua e é fechado, então a função
é fechada.
12.56. Teorema Sejam e espaços normados, completo. Seja :
( ) ⊂ → um operador linear. Se é fechado e contínuo, então o
subespaço ( ) é fechado.
12.57. Sejam e espaços vectoriais topológicos. E seja um operador
linear de domínio um subespaço de e cujo range é de 2 categoria em .
Então ( ) é uma vizinhança de zero em , para cada vizinhança de zero
em .
12.58. Sejam um espaço de Banach e um espaço normado, : ( ) ⊂
→ ( ) ⊂ um operador linear fechado. Considerando a bola unidade
= { ∈ : kk ≤ 1} tem-se: se ( ) é uma vizinhança de zero em ,
então também o é ( ).
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12.59. Teorema da função aberta
Sejam um espaço de Banach e um espaço normado. Seja : ( ) ⊂
→ um operador linear fechado tal que ( ) é de 2 categoria em . Então
para cada subconjunto aberto de , (( ) ∩ ) é aberto em . Além
disso, ( ) = .
12.60. Corolário Sejam nas hipóteses do Teorema 12.59. Então existe
0 tal que cada ∈ é uma imagem = , para algum ∈ ( ) tal que
kk ≤ k k. Se existe o operador −1 , então é contínuo.
12.61. Teorema do grafo fechado
Sejam e espaços de Banach e seja : → um operador linear
fechado. Então é contínuo.
Temos no texto [Go, Gold and Ka] (p- 289 )
12.62. Se o operador linear : → tem conjunto resolvente não vazio,
onde é um espaço de Banach complexo, então é fechado.
Dem. Se 0 ∈ () então (0 − )−1 ∈ ().Logo (0 − )−1 é fechado.
Sendo ( ) 7→ ( ) um homeomorfismo, 0 − é fechado donde, é fechado.
12.63. Definição Um operador linear : () ⊂ → , onde
são espaços de Banach complexos, diz-se fechável se tem uma extensão como
operador linear fechado : () ⊂ → i.e., () ⊂ () e é fechado.
12.64. Teorema O operador : → é fechável se e somente se (0 ) ∈
() implica = 0. Aqui são espaços de Banach complexos e () é o
grafo de .
Encontramos em [Weinholtz] uma exposição da teoria dos operadores, incluindo aplicações à Física.
77
78
12.65. Uma outra demonstração de 12.28. Consideremos o espaço vectorial
real = L( R) dos funcionais lineares sobre o espaço normado real . A
classe ∗ dos funcionais lineares contínuos sobre é um subespaço de + e,
podemos considerar a classe de funções reais F = { = ∈ : kk ≤ 1},
= () ( ∈ ∗ ) tal que sup{ : ∈ F} = k : ∗ k
∞; como sabemos assim, este sup tem as propriedades de uma norma sobre
o subespaco ∗ de . Dada uma sucessão de Cauchy ( ) em ∗ relativa a
esta norma sup, tem-se que a sucessão real ( ()) sendo de Cauchy em R,
tem um limite (). Temos ∈ , já que | ( + ) − () − () |≤|
() − () + () + () − () − () |≤ ( ≤ (), 0 a priori
dado, = + ). Podemos assim associar a ( ) verificando-se obviamente
ambas as condições () lim→∞ = lim→∞ () = () ( ∈ F) e,
() lim→∞ − = − para cada ∈ F. Utilizando
a propriedade em II.4, Theorem 4.4. (p. 69) em [Taylor and Lay] podemos
concluir que o dual ∗ é um espaço de Banach, munido da sua norma dada
pelo sup considerado.
12.66. Observação Poderíamos concluir que acima é contínuo, finalizando
que um espaço real dual é completo, como em 12.28. O processo em 12.65.
pode aplicar-se para provar que é completo (1 ≤ ∞) (p.68, é aplicável em
variados casos de espaços normados). Como exercício simples verificar que se
obtem imediatamente o caso geral, a partir do caso K = R. ( = Re + Im ).
12.68. Aplicação: todo o espaço normado tem um completamento espaço de
Banach. Dado com efeito o espaço normado ( kk), a injecção canónica 7→
, ∗ = ∗ de no bidual algébrico L( ∗ R) toma valores no
bidual ∗∗ , completo. () é denso em ∗∗ , pois dado ∗∗ temos ∗∗ ∗ =
∗∗ − − + ∗ + = ∗∗ − ∗ + ∗ −
≤ ∗∗ − ∗ ∗ + →→∞ , onde | | é arbitrariamente pequeno. Aqui,
o fecho do subespaço ( ∗ ) de ∗∗ , com ∗ ∗ = lim ∗ =
∗ (( ) de Cauchy, assim como ( ), k −k → 0) coincide com ().
A sucessão (∗ ) é de Cauchy em ∗∗ para cada sucessão (∗ ) de Cauchy em
∗ , tem o limite ∗∗ . Pois (∗ − ∗ ) ∗ = ∗ − →→∞ 0.
Recordar (12.33.) que a injecção canónica é uma isometria, o fecho () é
um completamento de .
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13 Uma nota sobre métidos numéricos
Consideremos o espaço vectorial real = ([ ] R) das funções reais
contínuas em [ ] que se anulam no ponto e, o subespaço de formado
pelas funções com derivada contínua em [ ], as derivadas laterais respectivas
R
R
para os extremos. O operador integral : → , () 7→ () = () é
o inverso do operador de derivação : 7→ . O problema de EDO linear
homogéneo de primeira ordem + () = 0, (0) = 1 onde a função se
R
considera contínua, tem como é sabido a solução () = exp(− ()). Como
salienta [Braun], na maioria dos casos não se consegue determinar a fórmula
explícita para () e, as soluções úteis são aproximações obtidas por métodos
numéricos. Um destes métodos é o método de Euler, que pode ser aplicado
à EDO de 1 ‘ordem (1) ≡ = ( ), () = 0 . Aqui as funções 7→
( ) fixo, e 7→ ( ) ( fixo) consideram-se contínuas. Supondo no
subespaço ∞ ([ ] R) das funções indefinidamente diferenciáveis, ter-se-á
pelo desenvolvimento em série de Taylor, () = 0 + ( − ) () + ( −
)2 2 ()2! + . Notemos que a solução de (1) se procura obter utilizando o
inverso do operador de derivação como vimos. Teremos
= ( )
2 = + = +
3 = + 2 + 2 + + 2 ,
onde se designa = ( ) = ( ) = ( ) e assim sucessivamente. Continuando o processo, podemos exprimir cada derivada
de em termos de ( ) e das suas derivadas parciais. A não ser que a
função seja particularmente simples, torna-se complicado avaliar as sucessivas derivadas, como nota [Comte]. Considerando então o operador ( ) =
( ) + ( )2! + + −1 −1 ( )! ( = 1 2 ), onde se põe
= − certo passo, avalia-se em 1 = + ; reavaliam-se então as derivadas
2 em 2 = 1 + = + 2, etc. Continuando o processo, obtem-se assim
um conjunto discreto de valores de , que são aproximações da solução nos
pontos = + ( = 0 1 2 ).
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80
No método de Euler considera-se = 1 e apenas 1 = ( ) (ordem = 1,
o método é pouco utilizado, pois dá pouca acurácia). Escolhendo um passo
= ( − ) , pomos 0 = 1 = + 2 = + 2 = + Obtemos
( ) = ( + ), = . Geram-se aproximações a ( ) pela fórmula de
recursão +1 = + 1 ( ), = 0 1 − 1. 1 ( ) = ( ). O erro
cometido será = 2 2 (), + . Notemos que (1) é equivalente
R
a () = ( ()). Assim,
R +
(1 ) = ( + ) = ( ()) = 1
R +
(2 ) = (+2) = 1 +1 ( )(+) = 1 ((())+1 (1 (1 )) =
2
(3 ) = ( + 3) = 2 + 1 (2 (2 ))
R +
R +
e continuando. Da formula +1 = (+1 ) = 1 ( ( )) =
1 ( )
vemos que se faz o cálculo aproximado de integrações.
Em [Comte] (p.214) encontra-se a ilustração de cálculos para o problema
− = 0 (0) = 1 que, como é sabido tem a solução exacta () =
R
exp( 0 1) = exp .
Com = 001, obtemos
(001) ≈ 1 = 1 + 001 = 101
(002) ≈ 2 = 101 + 001(101) = 10201
(003) ≈ 3 = 1 0201 + 001(1 0201) = 10303
(004) ≈ 4 = 10303 + 001(10303) = 10406
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Dado que a solução exacta é () = exp , o valor correcto em = 004 é
10408. Precisaríamos de um menor valor do passo para obter um valor mais
aproximado. Se tomarmos = 00 005 obtemos os valores
(0005) ≈ 1 = 00050
(0010) ≈ 2 = 10100
(0015) ≈ 3 = 10151
(0020) ≈ 4 = 10202
(0025) ≈ 5 = 10253
(0030) ≈ 6 = 10304
(0035) ≈ 7 = 10356
(0040) ≈ 8 = 10408.
Estes resultados são exactos até a quarta casa decimal. Seguindo [Comte],
poderia aplicar-se o algoritmo usando maior ordem para o desenvolvimento em
série deTaylor. Contudo, o método de Euler é mais de interesse teórico pois na
sua maiora, os processos práticos de calcular procuram obter a mesma acurácia
que o algoritmo de Taylor, sem a desvantagem do cálculo das derivadas de maior
ordem.
81
()
ÍNDICE
CAP 1 Funções reais da variável real .....................................3
CAP 2 Noções de topologia e espaços métricos ................12
CAP 3 O integral de Riemann e
o Teorema Fundamental do Cálculo .........................21
CAP 4 Desigualdades notáveis ..............................................28
CAP 5 Espaço métrico completo e espaço de Banach.
E.V.T. e E.L.C. ............................................................ 30
CAP 6 Um integral geral ..........................................................37
CAP 7 A medida de Lebesgue em R ................................ .44
CAP 8 O integral de Lebesgue para funções
da variável em R ........................................................48
CAP 9 A medida e o integral de Lebesgue para funções
reais segundo Kolmogorov e Fomin ..........................51
CAP 10 Funções vectoriais da variável real
e integral de Riemann-Stieltjes
para funções reais
.................................58
CAP 11 O integral de Bochner .................................................61
CAP 12 Teoremas básicos da teoria
dos operadores lineares ............................................64
CAP 13 Uma nota sobre métodos numéricos .................... 79
82
77
REFERÊNCIAS
[Aliprantis e Burkinshaw] ALIPRANTIS, C. D. e BURKINSHAW, O., Principles of Real Analysis Second Edition Academic Press, INC Harcourt Brace
Jovanovich, Publishers Boston San Diego New York Berkeley London Sydney
Tokyo Toronto (1990)
[Braun] MARTIN BRAUN, Differential Equations and Their Applications,
Fourth Edition, Texts in Applied Mathematics 11, Springer (1975)
[Choquet] GUSTAVE CHOQUET, Cours d’Analyse Tome II Topologie, Masson e C.ie, Editeurs 120, Boulevard Saint-Germain, Paris-VI (1973)
[Comte] S. D. COMTE, Elementary Numerical Analysis, International Student Edition, McGraw-Hill Book Companny New York, St. Louis, San Francisco, Düsseldorf, London, Mexico, Panama, Sydney, Toronto Kôgakusha Company, LTD Tokyo (1965)
[Dieudonné] DIEUDONNÉ, J. Fundamentos de Análisis Moderno, Editorial
Reverté, S. A. Barcelona, Buenos Aires, México MCMLXVI (1966)
[Freire] A Remark on Riemann integrable functions defined on an interval
Global Journal of Mathematical Sciences Theory and Practical Volume 4, Number 2 (2012), pp. 165-6
[Guerreiro] GUERREIRO, J. SANTOS, Curso de Análise Matemática, Escolar Editora (1989)
[Goh, Gold and Ka] GOHBERG, GOLDBERG and KAASHOEK, Classes of
Linear Operators Vol. I Operator Theory Advances and Applications Vol. 49
I. Gohberg, S. Goldberg and M. A. Kaashoek Birkhäuser Verlag Basel Boston
Berlin (1990)
[Hille and Phillips] HILLE, E. and PHILLIPS, R. S., Functional Analysis
and Semi-Groups, American Mathematical Society Providence, Rhode Island
(1957)
[Kolmogorov e Fomin] KOLMOGOROV, A. N. e FOMIN, S. V. Elementos
de Teoria das Funções e de Análise Funcional Editora Mir-Moscou (1976)
[Lages Lima] LAGES LIMA. E., Curso de análie vol. 1, 6 Edição impa
Instituto de Matemática Pura e Aplicada CNPq (1982)
[Lang] SERGE LANG, Real and Functional Analysis, Third Edition Graduate Texts in Mathematics 142 Springer (1993)
[Seymour Lipschutz] LIPSCHUTZ, SEYMOUR, General Topology, Schaum
’s Outline Series (1965)
83
78
[Megginson] MEGGINSON, ROBERT E., An Introduction to Banach Space
Theory, Graduate Texts in Mathematics 183 Springer-Verlag New York, Inc.
(1998)
[NAMIIv 99] Neves, Vítor, Arquivo Escolar (2010)
[Ostrowski] OSTROWSKI, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral, I Volume Funções de uma variável 2 Edição Fundação Calouste Gulbenkian (1969)
[Rudin] RUDIN, WALTER Real & Complex Analysis, Second Edition Tata
McGraw-Hill Publishing Co, Limited New Delhi (1983)
[Rudin 2] RUDIN, WALTER Functional Analysis, Tata McGraw-Hill Publishing Company LTD New Delhi (1973)
[Sarrico] SARRICO, CARLOS Análise Matemática Leituras e Exercícios 3
Edição Trajectos Ciência 4 Gradiva (1999)
84
78
[Schwartz] SCHWARTZ, LAURENT Analyse Deuxième Partie Topologie
générale et analyse fonctionnelle Hermann 156, boulevard Saint-Germain, Paris
VI (1970)
[Taylor and Lay] TAYLOR, A. E. and LAY, DAVID C, Introduction to functional analysis Second Edition Krieger Publishing Company Malabar, Florida
(1986)
[Weinholtz] WEINHOLTZ, ANTÓNIO de BÍVAR Teoria dos Operadores
Textos e Notas 35 CMAF (1986)
[Zaanen] ZAANEN, ANDRIUS C. Introduction to Operator Theory in Riesz
Spaces, Springer-Verlag (1997).
85
.
86
Download
