Movimento Uniforme Variado (MUV)
Observamos anteriormente que um corpo com velocidade constante (MU)
apresenta comportamentos bem peculiares. Em nosso dia-a-dia é muito comum
tratarmos de um outro tipo de problema: o que envolve a aceleração. O que
representa esta grandeza com a qual convivemos pacificamente ou não ao
longo de nossas vidas?
Em física, o ato de tornar uma velocidade maior, representa o ato de
acelerar. Consideraremos a aceleração como variação da velocidade. E note
que o termo Variado lembra exatamente isso, ou seja, que a velocidade varia no
tempo neste tipo de movimento.
Para darmos continuidade em nosso aprendizados estabeleceremos
algumas metas neste tópico. São elas:
Metas
Conhecer:
1. O que representa aceleração constante;
2. Caracterizar os diversos movimentos;
3. Visualização gráfica das idéias apresentadas;
4. O que representa matematicamente o encontro de dois corpos de maneira
mais detalhada;
Aceleração Escalar (a):
Em movimentos em que a velocidade do móvel, varia em função do
tempo decorrido, introduz-se o conceito de aceleração.
ACELERAÇÃO ESCALAR (a) : taxa de variação da velocidade escalar
numa unidade de tempo.
Ao considerarmos um certo intervalo de tempo, em que ocorre uma dada
variação da velocidade, podemos definir a aceleração escalar média (am) pela
relação:
am =
∆v v f − v0
=
∆t t f − t 0
Quando o intervalo de tempo considerado é infinitamente pequeno, a
aceleração escalar média passa a se chamar aceleração escalar instantânea
(a).
Ou seja,
a = lim∆t → 0
∆v
∆t
ou
a=
dv
dt
As unidades mais utilizadas de aceleração são:
SI
m/s2
CGS
cm/s2
Outras
km/h2 , km/s2
Podemos interpretar a relação entre velocidade e aceleração da seguinte
maneira:
a>0
Valor algébrico da velocidade escalar aumenta com o
decorrer do tempo
a=0
A velocidade escalar permanece constante.
a<0
Valor algébrico da velocidade escalar diminui com o
decorrer do tempo.
Qualquer tipo de movimento (não apenas os uniformes) pode ser
classificado em:
a) MOVIMENTO PROGRESSIVO e ACELERADO: v > 0 e a > 0;
b) MOVIMENTO PROGRESSIVO e RETARDADO: v > 0 e a < 0;
c) MOVIMENTO RETRÓGRADO e RETARDADO: v < 0 e a > 0;
d) MOVIMENTO RETRÓGRADO e ACELERADO: v < 0 e a < 0;
Movimento Uniformemente Variado (MUV)
Em movimentos retilíneos ou curvilíneos em que a aceleração escalar é
mantida constante, diz-se que o móvel está em movimento uniformemente
variado. Neste caso, a aceleração escalar instantânea será a igual a aceleração
escalar média, pois não temos alterações no valor da aceleração em nenhum
instante.
MUV
a = cte ≠ 0
a = am ⇒ a =
∆v
∆t
Pode ter qualquer forma de trajetória.
No caso da trajetória do MUV ser uma reta, o movimento recebe o nome
de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
Diagrama a x t
No MUV, a aceleração escalar mantém-se constante com o decorrer do
tempo. Portanto, os gráficos podem ser um dos seguintes:
a>0
a<0
a
a
t
t
Observação: neste caso a área limitada será numericamente igual ao
valor absoluto da variação da velocidade escalar. O que é fácil de compreender
tendo em vista que a aceleração é a derivada da velocidade.
Exemplo:A partir do diagrama a x t fornecido, determine: (a) a velocidade
escalar atingida, no instante t = 20s, pelo móvel que parte a 10 m/s no
instante t = 0 s; (b) a aceleração escalar média no intervalo de 0 a 20 s.
2
2
a ( m/s )
1
0
0
5
10
15
20
t (s)
-1
-2
O gráfico acima indica a aceleração em função do tempo. Sabemos que a
área representa o valor da velocidade, então:
Intervalo (s)
0 ≤ t ≤ 10
10 < t ≤ 15
15 < t ≤ 20
Área
2*10 = 20
0 (a = 0)
5*1 = 5
Sinal
+
nulo
-
∆v = 20 − 5 ⇒ ∆v = 15m / s
Portanto:
(a)
∆v = v − v 0 ⇒ 15 = v − 10 ⇒ v = 25m / s
(b)
O cálculo da aceleração média será:
am =
∆v 15
=
= 0,75m / s 2
∆t 20
Função Horária da Velocidade do MUV:
A função horária da velocidade escalar do MUV pode ser obtida
considerando a velocidade inicial v0 em t0 = 0:
a=
∆v v − v 0
=
⇒ v − v0 = a * t
∆t t − t 0
⇒ v = v0 + a * t
Exemplo:Dada a função horária v = 18 –6*t (m,s), classifique o movimento
quanto ao sentido e à variação da velocidade escalar , nos instantes:
(a) t = 1s;
(b) t = 3 s;
(c) t = 5s.
Solução:
considerando a função horária, temos que a = - 6m/s2.
(a)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 1
v = 12m / s
com v > 0 e a < 0 ⇒ movimento progressivo e retardado.
(b)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 3
v = 0m / s
com v = 0 ⇒ móvel mudando de sentido.
(c)
v = 18 − 6 * t
v = 18 − 6 * 5
v = −12m / s
com v < 0 e a < 0 ⇒ movimento retrógrado e acelerado.
Diagrama v x t
O diagrama da velocidade escalar em função do tempo do MUV é
retilíneo pois representa uma função de 1o grau.
Se a aceleração é positiva a reta é crescente, caso contrário, a reta é
decrescente. A tangente da reta irá fornecer o valor da aceleração.
v
v
a>0
a<0
θ
θ
0
t'
t
0
Caso 1
Caso 1:
a>0
0 < θ < 90 0
0 ≤ t < t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e retardado
t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido
t > t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e acelerado
Caso 2:
a<0
90 0 < θ < 180 0
0 < t < t’ ⇒ v > 0 ⇒ MUV progressivo e retardado
t = t’ ⇒ v = 0 ⇒ mudança de sentido
t > t’ ⇒ v < 0 ⇒ MUV retrógrado e acelerado
t'
Caso 2
t
Função Horária do Espaço no MUV:
A função horária do espaço no MUV é uma função do 2o grau, que pode
ser demonstrada a partir do diagrama v x t para os não conhecedores de
cálculo. Seu gráfico é uma parábola cuja concavidade depende do sinal da
aceleração (a > 0, concavidade para cima; a< 0, concavidade para baixo).
s = s0 + v0 * t +
1
*a *t2
2
Exemplo: Um ponto material obedece à função horária (no SI):
s = −30 + 5 * t + 5 * t 2
Determine:
(a) o instante em que o móvel passa pela origem;
(b) a função horária da velocidade;
(c) o instante em que o móvel muda de sentido;
(d) a velocidade escalar média entre 0 e 3 s.
(a) na origem, s = 0
0 = −30+5* t +5* t 2
(÷5)
⇒ t 2 + t −6 = 0
−1± 12 − 4 *1*(−6)
⇒t =
2*(1)
−1± 1+24
2
−1± 25
−1± 5
⇒t =
⇒t =
2
2
t = −3s
⇒
t = 2s
⇒t =
Como não tem sentido tempo negativo, t = 2s.
(b) por comparação:
s = s0 + v0 * t +
1
*a *t2
2
s = −30 + 5 * t + 5 * t 2
então:
s 0 = −30m
v 0 = 5m / s
a = 10m / s 2
⇒ v = v0 + a * t
⇒ v = 5 + 10 * t
ou, de outra maneira:
s = −30 + 5 * t + 5 * t 2
ds
v=
dt
v = 0 + 5 + 5 ∗ 2t
v = 5 + 10t
(c) na mudança de sentido, v = 0:
v = 5 + 10 * t
0 = 5 + 10 * t
⇒ t = −0,5s
como o tempo tem de ser maior ou igual a zero, o móvel não muda de
sentido.
(d) cálculo da velocidade média será:
t = 3 ⇒ s = −30 + 5 * 3 + 5 * 3 2 = 30m
vm =
∆s 30 − (−30) 60
=
=
= 20m / s
∆t
3−0
3
Equação de Torricelli
O deslocamento, a velocidade e a aceleração em um MUV podem ser
relacionados numa única expressão, denominada equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2 * a * ∆s
Esta equação é muito útil na resolução de problemas de MUV,
principalmente naqueles em que o intervalo de tempo não é fornecido.
Exemplo: Dois móveis, A e B , partem de um mesmo ponto, no instante t
= 0. O móvel A mantém, a velocidade escalar constante de 10 m/s. O móvel B
parte do repouso e mantém a aceleração constante de 0,2 m/s2. Sabendo-se
que ambos percorrem a mesma trajetória, no mesmo sentido, determine:
(a) o instante em que B alcança A;
(b) a velocidade escalar de B no instante em que estiver ultrapassando A;
(c) a velocidade escalar de B em relação a A, no item anterior.
Solução: (a) 100s; (b) 20 m/s (c) 10 m/s.
Resolução:
Dados iniciais:
s0 A = s0B
v A = 10m / s
v0 B = 0
a B = 0,2m / s 2
O móvel A está em MU
s = s0 + v * t
s A = s 0 A + 10 * t
O móvel B está em MUV
s = s 0 + v0 * t +
1
*a *t2
2
s B = s 0 B + 0,1 * t 2
o encontro se dará quando:
s A = sB
s 0 A + 10 * t = s 0 B + 0,1 * t 2
10 * t = 0,1 * t 2
t = 0
⇒
t = 100s
Como em t = 0 é a partida, o encontro se dá em t = 100s.
(b) substituindo t = 100 s na equação do MUV
v = v0 + a * t
v = 0 + 0,2 * 100
v = 20m / s
(c) a velocidade relativa será:
v = vB − v A
v = 20 − 10
v = 10m / s
Exercícios Propostos:
1. (UCS-RS) Um certo tipo de carro para testes parte do repouso e atinge a
velocidade de 108 km/h em 5s. Analise as afirmações:
I.
II.
III.
A aceleração do carro vale 6 m/s2.
Durante a aceleração, o carro percorre 100 m.
A velocidade escalar média do carro durante a aceleração vale 15 m/s.
Está(ão) correta(s):
(a) Apenas a I;
(b) Apenas a I e III;
(c) Apenas a I e II;
(d) Apenas a II e III;
(e) Todas as afirmações.
Solução: b.
2. (UEL- 2006) Com base no gráfico, assinale a alternativa cuja equação
descreve, corretamente, a velocidade do objeto, em função do tempo:
(a) v(t) = 5 + t
(b) v(t) = 5 – t
(c) v(t) = 3 + 2 t
(d) v(t) = 5 – 2 t
(e) v(t) = −5 + 5 t
Solução: b.
3. (FUVEST 2005) A velocidade máxima permitida em uma auto-estrada é de
110km/h (aproximadamente 30m/s) e um carro, nessa velocidade, leva 6s
para parar completamente. Diante de um posto rodoviário, os veículos devem
trafegar no máximo a 36km/h (10m/s). Assim, para que carros em velocidade
máxima consigam obedecer o limite permitido, ao passar em frente do posto,
a placa referente à redução de velocidade deverá ser colocada antes do
posto, a uma distância, pelo menos, de
(a) 40 m
(b) 60 m
(c) 80 m
(d) 90 m
(e) 100 m
Solução: c.
4. Com a vigência do novo Código Brasileiro de Trânsito, atravessar o sinal
vermelho constitui infração gravíssima. Ao perceber um semáforo fechado à
frente, o motorista de um carro, movendo-se a 20 m/s, aplica a este uma
desaceleração de 5 m/s2. Qual o tempo que ele irá gastar durante a freada?
(a) 2 s;
(b) 4 h;
(c) 2 min;
(d) 3 s;
(e) 4 s.
Solução: e.
5. (OBF 2008) Um automóvel move-se para a direita com uma velocidade igual
a +70km/h relativamente ao piso da estrada. Um ponto da borda superior e
um outro da borda inferior de um pneu deste veículo apresentam,
respectivamente, velocidades instantâneas, em km/h, iguais a
a) +140 e 0 relativamente ao piso.
b) +140 e +70 relativamente ao piso.
c) +70 e −70 relativamente ao piso.
d) 0 e −70 relativamente ao veículo.
e) +70 e +70 relativamente ao veículo
Solução: a.