Aula 7
Lista de Exercícios de Raízes de Equações Polinomiais
Parte 1
● Exercícios do Livro “A Matemática do Ensino Médio” Volume 3.
Autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,
Augusto César Morgado.
1- Determine um polinômio P(x) do 3º grau para o qual P(x + 1) = P(x) + x2 para
todo x.
2- Os restos da divisão de um polinômio p(x) por (x – 3) e (x + 1) são,
respectivamente, 1 e 4. Determine o resto da divisão de p(x) por (x – 3)( x + 1).
3- Se um polinômio p(x) é divisível pelos polinômios p1 e p2, então p(x) é divisível
pelo produto p1p2. Certo ou errado? Justifique a sua resposta.
4- Sejam a, b e c as raízes de x3 + 3x2 - x +1 = 0. Calcule:
a) 1/a + 1/b + 1/c
b) a2 + b2 + c2
5- Forme a equação de grau mínimo, com coeficientes reais, que tem i e 1+ 2i como
raízes.
6- Determine um polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, tais que
P(1+ i) = 0 e P(3) = 2.
7- Determine um polinômio P de grau mínimo, com coeficientes reais, tal que
P(i) = 2 e P(1+i) = 0.
● Exercícios da Revista Eureka, maio de 1998 nº 1
8- A equação do 2º grau ax2 + bx – 3= 0 tem -1 como uma de suas raízes. Sabendo
que os coeficientes a e b são primos positivos. Calcule a2 + b2.
9- Para quantos valores reais de p a equação x3 – px2 + px – 1= 0 tem todas as
suas raízes reais e inteiras?
● Exercícios do Livro Fundamentos de Matemática Elementar Volume 6
Autor: Gelson Iezzi
10- Um polinômio desconhecido ao ser divisível por x-1 deixa o resto 2 e ao ser
divisível por x-2 deixa o resto 1. Qual o resto deste polinômio por (x-1) (x-2)?
11- Qual o resto da divisão de 2x5 - 15x3 + 12x2 + 7x – 6 por (x-1)(x-2)(x-3)?
12- Os restos das divisões de um polinômio pelos binômios (x+1), (x-1) e (x-2) são,
respectivamente, 5, -1, -1. Então, qual o resto da divisão de P(x) por
(x+1)(x-1)(x-2)?
13- Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos das divisões de
x10 + ax4 + bx2 + cx + d por x + 12 e x – 12 sejam iguais?
14- É dado o polinômio f(x) = (a-1)x6 + (a+1)x5 + (a2-1)x4 – (2a+1)x + 12.
a) Determine a de modo que o quociente da divisão de f por g(x) = x2 + 1 seja do
3º grau;
b) Para esse valor de a, calcule o quociente e o resto da divisão de f por g.
15- Calcule o resto R(x) da divisão de um polinômio inteiro em x pelo produto (x+1)
(x-2), sabendo que o resto da divisão por (x+1) e o resto da divisão por (x-2) são
ambos iguais a 3.
16- Um polinômio f, dividido por x+2 e x2+4, dá resto 0 e x+1, respectivamente. Qual
é o resto da divisão de f por (x+2) (x2+4)?
17- Qual o valor de a se o número complexo z = 1+ i é uma das raízes da equação
x8 = a?
18- Quais as soluções da equação Q(x) =0, em que Q(x) é o quociente do polinômio
x4 - 10x3 + 24x2 + 10x – 24 por x2 – 6x + 5?
19- Determine todas as raízes de P(x)= 9x3 – 36x2 + 29x – 6.
20- Calcule as raízes quadradas do número complexo 2i.
21- Determine o polinômio P(x) do 3º grau cujas raízes são 0, 1 e 2, sabendo que
P(1/2) = - 3/2
22- Qual é o grau de uma equação polinomial P(x) =0 cujas raízes são 3, 2, -1 com
multiplicidades 7, 6, 10, respectivamente?
23- Forme a equação cujas raízes são 2, -3, 1+ i e 1 – i, com multiplicidade 1.
24- Construa uma equação algébrica cujas raízes são 2, 3,
3 e
− 3 com
multiplicidade 1.
25- Construa uma equação algébrica cujas raízes são 1, i e –i com multiplicidade 1 e
2 com multiplicidade 2.
26- Qual a multiplicidade da raiz r na equação polinomial P(x) =0, nos seguintes
casos:
a) P(x) = x7- 5x6 + 6x5 e r = 0
b) P(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – x2 + 2x -1 e r = 1
27- Qual é a multiplicidade da raiz x=1 da equação x4- x3-3x2 + 5x – 2 = 0 ?
28- Determine as raízes do polinômio P(x) = - x3 -x2 + x +1
29- Se x1 = -2 é raiz da equação 2x3 + 7x2 + 4x + k = 0, calcule o valor de k.
30- Quais os valores da a e b para que a equação:
x4 + (3a - b)x3 + (2b -4)x2 + (ab+4)x +a+b=0 tenha uma raiz dupla igual a zero?
31- Quais os valores de m e n para que a equação:
x7 - 5x6 + 4x5- 3x4 + 2x3 + (m-5n)x2 + ((3/5)m – n + 2)x + (5-mn) =0 admita duas,
e apenas duas, raízes nulas?
32- Sabendo que 0 é raiz de multiplicidade 3 da equação:
x5 – 3x4 + 4x3 + (12b + a/3)x2 + (a - 3b + 13)x + (ab + 4) = 0, calcule a+b.
33- Qual deve ser o valor de m para que a equação algébrica
x3 – (4 + m)x2 + (4 + 4m)x – 4m=0 admita o valor 2 como raiz dupla?
34- Forme uma equação algébrica de coeficientes reais, com grau mínimo de modo
que 0, 1+i e i sejam raízes simples.
35- Qual é o grau mínimo de um polinômio de coeficientes reais, sabendo que
z1= 1+i e z2= -1+i são raízes?
36- Os coeficientes do polinômio P são reais e sabe-se que ele possui 3 raízes,
duas das quais são 0 e i.Como P pode ser expresso?
37- Os números complexos 1+i, 1+i2 e 2-i são raízes do polinômio P de coeficientes
reais. O que pode se afirmar sobre o grau de P?
38- Resolva a equação x4 – 3x2 + 2 = 0.
39- Resolva a equação x4 – 4x2 + 8x + 35 = 0, sabendo que uma de suas raízes é
2+i 3 .
40- Resolva a equação x4 – 2x3 + 6x2 + 22x + 13 = 0, sabendo que uma das suas
raízes é 2+3i.
41- Construa uma equação polinomial do 6º grau e de coeficientes reais que admita
1, 2 e i como raízes simples e 0 como raiz dupla.
42- Sabe-se que a equação algébrica x4 – ax3 + bx2 – cx + d = 0, em que a,b,c,d são
reais, admite 1 como raiz dupla e i como raiz simples. Calcule os valores de a,b,c
e d.
43- A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são reais, admite 1+ i como
raiz. Quais os valores de m e n ?
44- Determine a e b reais de modo que a equação 2x3 – 5x2 + ax + b = 0 admita a
raiz 2+i.
45- Resolva a equação x7 – x6 + 3x5 – 3x4 + 3x3 – 3x2 + x -1= 0 sabendo que i é uma
raiz da equação e tem multiplicidade 3.
46- Uma raiz de uma equação do terceiro grau com coeficientes reais é 1+2i e a
soma das demais raízes é 3 - 2i. Determine as raízes dessa equação.
Parte 2
Equação do 3º grau
Relação entre os coeficientes e as raízes
Considere a equação:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0) cujas raízes são r1, r2 e r3.
Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:
a (x-r1) (x-r2) (x-r3) = 0
Temos a identidade:
ax3 + bx2 + cx + d = a (x-r1) (x-r2) (x-r3) , isto é:
x3 +
portanto:
b 2
c
d
x + x +
= x3 – ( r1 + r2+ r3)x2 + (r1 r2
a
a
a
+
r2 r3
+
r3 r1 )x – r1r2r3
r1 + r2 + r3 = -
b
a
,
r1 r2
+
r2 r3
+
r3 r1 =
c
a
e
r1r2r3 =
-
d
a
são as relações entre coeficientes e raízes da equação do 3º grau.
● Exercícios
47- Resolva a equação x3 – 4x2 + x+6 = 0, sabendo que uma raiz é igual a soma
das outras duas.
48- Resolva a equação x3 – 9x2 + 20x – 12 = 0. sabendo que uma das raízes é
igual ao dobro da soma das outras duas.
49- Resolva a equação x4 + 4x3 – 2x2 – 12x + 9 = 0
50- Resolva a equação x3 + -10x2 + 31x – 30 = 0, sabendo que uma raiz é igual a
diferença das outras duas.
51- Resolva a equação x3 + 5x2 – 12x – 36= 0, sabendo que uma raiz é igual ao
produto das outras duas.
52- Quais os valores de a e b se as equações x3 + ax2 + 18= 0 e x3 + bx + 12 = 0
tem
duas raízes comuns?
53- Determine m de modo que a equação x3 + mx – 2= 0 tenha uma raiz dupla.
Parte 3
●Questões de Vestibular
54-(CESGRANRIO)Se a soma de dois números complexos é 1 e o seu produto
também é 1, calcule a soma dos quadrados dos dois números.
55-(ITA)Qual é o número natural n tal que (2i)n + (1+i)2n = -16i ?
57-(UEBA)Qual é o módulo de z =
1+ i 3
2 + 2i 3
?
58-(UFSE)O módulo de um número complexo é 2 2 e seu argumento principal é
de 45º. Qual é sua forma algébrica?
59- (UFPR) Se o módulo de um número complexo é igual a 2 2 e seu argumento
é
5
π. Qual a expressão algébrica deste número?
4
60- (UNICAP) Dado o número complexo w = cos 60º + i sen 60º. Qual é o valor de
1 + w + w2 + w3 ?
61- (VUNESP) Qual é o valor da expressão (
2
2 109
+
i ) ?
2
2
62- (FATEC) Qual o valor do número complexo z, tal que z3=1 ?
63- (UFGO) Quais são as raízes quadradas do número complexo
1
3
−
i?
2 2
64- (FATEC) Se um fator do polinômio P(x) = x3 - 5x2 + 7x – 2 é Q(x)= x2 – 3x +1,
então qual é o outro fator?
65- (UFGO) Se o polinômio x3 + kx2 -2x +3 é divisível pelo polinômio x2 – x +1,
então qual é o quociente?
66- (FCMSTA.CASA) Dividindo-se um polinômio f por x2 – 3x +1 obtém-se o
quociente x+1 e o resto 2x +1. Qual o resto da divisão de f por x+1?
67- (UFPR) Determine m e n de modo que o resto da divisão do polinômio
y5 – my3 +n por y3 + 3y2 seja 5 .
68- (EAESP-FGV) Para que x4 – kx3 +5x2 +5x –(k+1) seja divisível por x-1, qual
deve ser o valor de k?
69- (UFRPE) Seja P(x) um polinômio com coeficientes reais. Qual deve ser o
resto da divisão de P(x) por x2 -5x +6, sabendo que P(2)=2 e P(3)=3 ?
70- (PUC) Qual deve ser o resto da divisão de x31 +31 por x+1?
71- (UFPR) Um polinômio P(x) de terceiro grau tem raízes 1 e 2. Se P(-1)=4, qual
é a terceira raiz de P(x)?
72- (UELONDRINA) Sejam -2 e 3 duas raízes da equação 2x3 – x2 +kx + t =o, k e
t reais. Calcule a terceira raiz.
73- (CESGRANRIO) Qual o produto das raízes da equação (9x2-1)(25x-1)=0 ?
74- (CESGRANRIO) Se x3 – 2x2 +5x -4=0 tem uma raiz x1=1. Calcule as outras
duas
raízes da equação?
75- (UFRS) Qual a soma das raízes da equação x4 -1 =0?
76- (UMACK) Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x +6=0 é igual a soma das outras
duas. Quais são as raízes desta equação?
77- (ITA) Quais os valores de m, de modo que a equação x3 -6x2 –m2x +30 =0
tenham
duas raízes somando 1?
78- (UFMG) As raízes da equação 2x2 -2bx +3 = 0 são positivas e uma é o triplo
da outra.Qual é o valor de b?
79- (VUNESP) Uma das raízes da equação 2x3 +x2 -7x -6=0 é x=2. Calcule as
outras.
80-(UFRS) O módulo das raízes complexas não reais da equação x3 –mx2 +9x -5
é
5 , com m real. Calcule a soma das raízes.
81- (CESGRANRIO) Calcule as 3 raízes de 3x3 -1=0
82- (UMACK) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
(i) Qualquer raiz racional da equação x3 +3x2 -3x -9=0 é inteira
(ii) O menor grau da equação polinomial de coeficientes reais, que admite as
raízes 3, 2+i e –i, é 5
(iii)Toda equação polinomial da forma ax4 +bx3 +cx2 +dx +e=0 de
coeficientes reais e a≠0 necessariamente possui uma raiz real.
83- (UFCE) Se m é um inteiro, determine os valores de m para os quais a
equação
x3 + 5x2 +mx -2 =0 tenha pelo menos uma raiz racional. Qual o
módulo da soma de todos os valores encontrados?