UNIVERSIDADE DE AVEIRO
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA TELECOMUNICAÇÕES E INFORMÀTICA
Sistemas e Controlo I – Aulas Práticas (2013/14)
Trabalho prático nº 6
Objectivos: Determinar os modelos matemáticos de sistemas mecânicos de rotação com e sem
engrenagens. Simulação e análise dos sistemas em Simulink.
Fig.1 Sistema rotativo de transmissão mecânica sem engrenagem
Fig.2 Sistema rotativo de transmissão mecânica com engrenagem
Ex. 1 Com frequência a carga não está acoplada directamente ao eixo do motor. A montagem na Fig.1
mostra um motor acoplado a uma carga inercial rotativa, através de um eixo elástico e na Fig. 2 o
acoplamento passa por engrenagem. Nas transmissões mecânicas representadas na Fig. 1 e Fig. 2
considere:
B e K são as constantes de atrito e de elasticidade da transmissão;
J m e J L são os momentos da inercia do motor e da carga;
Bm e BL são os coeficientes de atrito viscoso do motor e da carga;
Tm é o binário (torque) motor, considera-se que o binário é proporcional a tensão da entrada do motor.
θ m e θ L são os deslocamentos angulares do motor e da carga;
ωm e ωL são as velocidades de rotação do motor e da carga.
O par de engrenagem do sistema de Fig. 2 é constituído por 2 rodas dentadas com N1 e N2 dentes.
a) Determine as equações de dinâmica dos dois sistemas.
b) Com J m =5 [Kg.m2]; J L =1 [Kg.m2]; Bm =1 [N.m.s/rad]; BL =2 [N.m.s/rad]; K=10 [N.m/rad]; B=5
[N.m.s/rad], N1/N2=n= 0.1 (relação de transmissão) obtenha os gráficos das velocidades de rotação do
motor e da carga para Tm = 100 [Nm] e compare as. Qual o valor da velocidade da carga em estado
estacionário. Repita a simulação para K<<10 (K=1) e observa o comportamento transitório fracamente
amortecido. Repita a simulação para K>>10 (K=100) e B=0 (ausência de elasticidade). Utilize o Simulink.
Appendix A: Sistemas mecânicos de rotação: massa - mola -atrito
• Quando um binário (uma força rotativa) é aplicado a uma mola, a mola é torcida de um determinado
ângulo. O binário resistente que a mola produz é proporcional ao ângulo de torção relativo aos dois extremos
da mola:
Tmola = k (θ1 − θ 2 ) ,
k- constante de elasticidade da mola
(quando maior for k menos elástica/mais rígida a mola)
• Num sistema de rotação o atrito produz um binário inercial proporcional a velocidade de rotação.
Tatrito = Bω , B -coeficiente de atrito, ω = θɺ
• A aceleração angular de um corpo com momento de inercia J é proporcional a soma de todos os binários
que actuam no sistema rotativo.
TJ = Jωɺ = ∑ Ti
i
Appendix B: Sistemas de rotação com engrenagem mecânica
Um sistema de rotação com engrenagem mecânica inclui um par de rodas dentadas com raios r1 , r2 e
número de dentes N1 , N 2 . A função da engrenagem é aumentar o binário à custa de uma perda de
velocidade ou aumentar a velocidade angular perdendo binário. Para um par de engrenagem ideal o
tamanho dos dentes das rodas é igual e não há perdas por atrito nos dentes. As velocidades de rotação
( ω1 , ω 2 ) e respectivamente os ângulos de rotação ( θ1 , θ 2 ) da engrenagem primaria e secundaria são
diferentes.
Do lado da engrenagem primária ( r1 , N1 ) é produzido binário T1 que é transformado em binário T2 do lado
da engrenagem secundaria ( r2 , N 2 ). A relação entre os dois binários:
N
T1 (t ) = nT2 (t ), n = 1
N2
A potência no primário é igual à potência no secundário. T1ω1 = T2ω 2
A distância linear percorrida pelos pontos periféricos de cada uma das rodas dentadas é igual:
θ1r1 = θ 2 r2
O número de dentes em cada roda da engrenagem é proporcional ao raio da roda:
r1 N 1
.
=
r2 N 2
Relação geral das variáveis de um par de engrenagens ideal:
T1 (t ) θ 2 (t ) N 1 r1
=
=
=
T2 (t ) θ1 (t ) N 2 r2