TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de
óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar
uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida.
Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível.
1. Considerando-se que f(p) = 12 p - p£ e g(p) = p¤ - 24p£ + 144p, o valor do determinante da
matriz
é igual a
a) 4 620
b) 2 420
c) 2 200
d) 400
e) 220
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2. (Uff 2000) Numa progressão aritmética, de termo geral aŠ e razão r, tem-se a•=r=1/2.
Calcule o determinante da matriz mostrada na figura adiante.
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3. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
Calcule o determinante da matriz
Justifique.
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4. (Ufpr 95) Considere a matriz A = [a‹Œ], de ordem 4x4, cujos elementos são mostrado a seguir.
a‹Œ=
ý1, se i · j
þ
ÿ0, se i = j
É correto afirmar que:
01) Na matriz A, o elemento a‚ƒ é igual ao elemento aƒ‚.
02) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
04) O determinante da matriz A é igual a - 4.
08) Se a matriz B é [1 -1 1 -1], então o produto B.A é a matriz -B.
16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.
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5. (Ufpr 2000) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante.
É correto afirmar:
(01) B . A = B
(02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares.
(04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A.B é igual ao conjunto formado pelos
elementos da matriz B.
(08) det(3 . A) = det(B)
(16) A matriz inversa de A é a própria matriz A.
Soma (
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)
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6. (Fgv 2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula também de
ordem 3. Assinale a alternativa correta:
a) Se A . B = O, então: A = O ou B = O
b) det(2 . A) = 2 det(A)
c) Se A . B = A . C, então B = C
d) A. (B . C) = (A . B) . C
e) det(A + B) = det(A) + det(B)
7. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial
A£ + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível
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8. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1.
(02) A matriz A = (a‹Œ)Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8].
(04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2.
(08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A.
Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica.
(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja
uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.
(32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se
afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os
determinantes das matrizes A e B.
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9. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As
unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses
consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem
ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1)
(02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para
ele.
(04) A solução da equação (figura 2) é x = 1.
(08) A matriz (figura 3) não possui inversa.
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10. (Pucpr) O determinante
a) 1
b) cos£‘ cos£’ cos£–
c) (cos‘ cos’ cos–)£
d) tg£‘ sec£‘ + tg£’ sec£’ + tg£– sec£–
e) 0
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11. (Unitau 95) O valor do determinante
como produto de 3 fatores é:
a) abc.
b) a (b+c) c.
c) a (a-b) (b-c).
d) (a+c) (a-b) c.
e) (a+b) (b+c) (a+c).
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12. (Unitau 95) Sendo B=(b‹Œ)‚Ö‚, onde,
ý1, se i=j
b‹Œ=
þ -2ij, se i<j
ÿ3j, se i>j
Calcule o det B :
a) 13.
b) - 25.
c) 25.
d) 20.
e) - 10.
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13. (Unesp 91) Se a e b são s raízes da equação a seguir:
onde x>0, então a+b é igual a:
a) 2/3
b) 3/4
c) 3/2
d) 4/3
e) 4/5
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14. (Fuvest-gv 91) Determinar o número real —·0 de modo que a equação a seguir, admita
duas raízes reais simétricas.
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15. (Fei 94) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:
podemos afirmar que x/y vale:
a) -12
b) 12
c) 36
d) -36
e) -1/6
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16. (Ita 96) Considere A e B matrizes reais 2 × 2, arbitrárias. Das afirmações a seguir assinale
a verdadeira. Justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das
demais é falsa.
a) Se A é não nula então A possui inversa.
b) (AB) = A B
c) det (AB) = det (BA)
d) det A£ = 2 det A
e) (A + B)(A - B) = A£ - B£
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17. (Ufpe 96) Qualquer que seja š o log do determinante
é igual a:
a) 1
b) š
c) cos£š - sin£š
d) 0
e) cos£š
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18. (Puccamp 95) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A·0 e det B·0,
então é correto afirmar que
a) B = A¢ ë det B = det A
b) B = A ë det B = det A
c) det A£ = det B£ ë det A = det B
d) det (A+B) = det A + det B
e) det (3A) = 3.det A
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19. (Uel 94) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b
b) se e somente se a = b
c) se e somente se a = - b
d) se e somente se a = 0
e) se e somente se a = b = 1
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20. (Ufmg 94) Sabe-se que Ax£+2Bxy+Cy£+2DX+2Ey+F, com A, B, C, D, E e F reais, fatora-se,
no conjunto dos reais, em dois fatores de primeiro grau em x e y se, e somente se, B£ - ACµ0 e
o determinante da matriz, representada a seguir, for nulo.
Com base nessas informações, DETERMINE m para que o polinômio x£+2mxy-y£+x+y seja um
produto de dois fatores de primeiro grau em x e y.
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21. (Ufsc 96) Considere as matrizes A e B a seguir e n=det(AB).
Calcule 7¾.
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22. (Uece 96) Se o determinante da matriz A, mostrada na figura adiante, é igual a 34 e o
determinante da matriz B é igual a -34, então n•-n‚ é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
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23. (Mackenzie 96) Se A é uma matriz quadrada de ordem n µ 2 com elementos
ýcos (i + j)™, se i = j
a‹Œ=
þ
ÿsen ™ i, se i · j
então, qualquer que seja n, detA é sempre igual a:
a) n/2.
b) 1.
c) 0.
d) n£.
e) 2n£.
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24. (Mackenzie 96) Na igualdade:
log ƒ [det ( 2.A¢)] = log ‚‡ [det (2A)¢],
A é uma matriz quadrada de quinta ordem com determinante não nulo. Então det A vale:
a) 2¦.
b) 2¢¡.
c) 3¦.
d) 3¢¡.
e) 6¦.
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25. (Fgv 95)
a) 0
b) bc
c) 2bc
d) 3bc
e) b£c£
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26. (Mackenzie 96) Considere a matriz A a seguir e 0´x´2™, sabe-se que det(2A)=8. Então a
soma dos possíveis valores de x é:
a) 0
b) ™/2
c) ™
d) 3™/2
e) 2™
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27. (Fei 96) Para que o determinante da matriz
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou -2
b) 1 ou 3
c) -3 ou 5
d) -5 ou 3
e) 4 ou -4
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28. (Fatec 97) Seja M a matriz
e I a matriz identidade de segunda ordem. Os valores reais de k que anulam o determinante da
matriz M+k.I são
a) um positivo e outro negativo.
b) inteiros e positivos.
c) inteiros e negativos.
d) irracionais e positivos.
e) irracionais e negativos.
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29. (Unesp 97) Considere as matrizes reais 3 × 3 na figura a seguir:
a) -2A - 2B.
b) 2A + 2B + 1.
c) 2A + 2B.
d) - 2A - 2B - 1.
e) 2A - 2B - 1.
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30. (Mackenzie 97) Na função real definida na figura a seguir,
f (0,001) vale:
a) 0,02
b) 1000¢
c) 10£
d) 500¢
e) 0,5
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31. (Mackenzie 97) Considere a matriz A representada na figura adiante
então det. [(1/4) . A¦] vale:
a) 2 det A
b) det A/4
c) det A
d) det A/8
e) 4 det A
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32. (Puccamp 97) São dadas as matrizes A=(a‹Œ)‚Ö‚, onde a‹Œ=2i-3j, e B=(b‹Œ)‚Ö‚,
onde
ýi + j se i = j
b‹Œ=
þ
ÿi - j se i · j
Nessas condições, se X = (B - A)£, o determinante da matriz X é igual a
a) 224
b) 286
c) 294
d) 306
e) 324
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33. (Ita 97) Considere as matrizes
Sejam —³, —• e —‚ as raízes da equação det(A-—Iƒ)=0 com —³´—•´—‚.
Considere as afirmações
(I) B = A - —³Iƒ
(II) B = (A - —•Iƒ) A
(III) B = A (A - —‚Iƒ)
Então
a) todas as afirmações são falsas.
b) todas as afirmações são verdadeiras.
c) apenas (I) é falsa.
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d) apenas (II) é falsa.
e) apenas (III) é verdadeira.
34. (Uece 97) Sejam m e m‚ números reais positivos. Se o determinante da matriz A na figura
adiante é Ë2/2, então o determinante da matriz B é:
a) 9/4
b) 9/2
c) 25/4
d) 25/2
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35. (Pucmg 97) O termo geral da matriz M‚Ö ‚ é a‹Œ = 3i - 2j. O valor do determinante de M é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
36. (Pucmg 97) M é uma matriz quadrada de ordem 3, e seu determinante é det(M)=2. O valor
da expressão det(M)+det(2M)+det(3M) é:
a) 12
b) 15
c) 36
d) 54
e) 72
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37. (Unesp 98) Considere as matrizes reais
a) -1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
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38. (Unirio 97) O valor de
é igual a:
a) 0
b) 4(y+3z)
c) 4(3x+y+3z)
d) 4x+2y+3z
e) 12(x+z)
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39. (Ufrs 97) Sendo A = (a‹Œ)ŠÖŠ uma matriz onde n é igual a 2 e a‹Œ = i£-j, o determinante da
matriz A é
a) -3
b) -1
c) 0
d) 1
e) 3
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40. (Ufrs 97) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir
é nulo
a) para quaisquer valores de a e b.
b) apenas se a = 0
c) apenas se b = 0
d) somente se a = b
e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0
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41. (Uel 97) Seja o determinante (D) na figura adiante:
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42. (Mackenzie 98) Se o determinante mostrado na figura é igual a zero, então 2Ñ pode ser:
a) 1/2
b) 1/4
c) 1
d) 4
e) 2
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43. (Uel 98) Seja a matriz A=(a‹Œ)ƒÖƒ, tal que
ýlog‚x se i = j
a‹Œ=þ
ÿ 0
se i · j
Se o determinante de A é igual a -27, o valor de x é
a) 1/8
b) 1/4
c) 1/2
d) 4
e) 8
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44. (Puccamp 96) São dadas as matrizes A e B na figura adiante.
Se A.B¢=C, o determinante de A-B+C é igual a
a) 24
b) 20
c) 18
d) 15
e) 12
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45. (Ufrs 96) Na equação mostrada na figura seguinte
um possível valor para x é
a) 0
b) ™/6
c) ™/4
d) ™/3
e) ™/2
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46. (Fatec 99) Sejam as matrizes A e B adiante.
A equação det(A-xB)=0, com xÆIR, admite
a) uma raiz de multiplicidade 2.
b) uma raiz negativa.
c) duas raízes negativas.
d) uma raiz positiva e outra negativa.
e) uma raiz nula.
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47. (Puccamp 99) Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir
.O determinante da matriz A+B.C é
a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 5
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48. (Uff 99) Considere a matriz.
Os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz M - kI, sendo I a matriz identidade,
são:
a) 0 e 4
b) 4 e 5
c) -3 e 5
d) -3 e 4
e) 0 e 5
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49. (Ufrrj 99) Dadas as matrizes
O valor de x tal que det A = det B é
a) 0.
b) 5.
c) 1.
d) -1.
e) 2.
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50. (Ufsm 99) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n e 0 a matriz nula de ordem n.
Então, a afirmativa correta é a seguinte:
a) Se A é a matriz transposta de A, então detA ·det A.
b) Se det A·0, existe a matriz inversa A¢ e A¢=1/(detA).(cofA) , onde cof A é a matriz dos
cofatores de A.
c) Se A . B = 0, então A = 0 ou B = 0.
d) (A - B)£ = A£ - 2AB + B£.
e) Se k Æ R, então det (k A)=k det A, para todo k.
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51. (Mackenzie 99) As raízes não nulas da equação mostrada na figura a seguir
são as medidas dos lados de um triângulo de área:
a) 2Ë21
b) Ë3
c) Ë2
d) Ë7
e) Ë21
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52. (Mackenzie 99) Dada a matriz mostrada na figura a seguir
, então o determinante da inversa de M vale:
a) 1/6
b) 1/3
c) 1/54
d) 1/15
e) 1/30
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53. (Unioeste 99) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é:
54. (Fuvest 2000) Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A£=2A, então o determinante
de A será:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
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55. (Unicamp 2000) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir:
ý—x + y + z = — + 2
þ x + —y + z = — + 2
ÿ x + y + —z = — + 2
a) Ache as raízes da equação: detA=0.
b) Ache a solução geral desse sistema para —=-2.
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56. (Unesp 2000) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante
o determinante da matriz A . B é
a) -1.
b) 6.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
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57. (Ita 2000) Considere as matrizes reais mostradas na figura adiante
em que a·0 e a, b e c formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q>0. Sejam
—•, —‚ e —ƒ as raízes da equação det(M-—I)=0. Se
—•—‚—ƒ = a
e
—• + —‚ + —ƒ = 7a,
então a£ + b£ + c£ é igual a
a) 21/8.
b) 91/9.
c) 36/9.
d) 21/16.
e) 91/36.
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58. (Ufsm 2000) Sejam A, B e C matrizes reais 3 × 3, tais que A.B=C¢ , B=2A e det C= 8.
Então o valor do |det A| é
a) 1/16
b) 1/8
c) 1
d) 8
e) 16
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59. (Ufsm 2000) Seja a matriz A mostrada na figura adiante
onde a·0 e i=Ë-1.
Pode-se, então, afirmar que
a) det A é um número complexo imaginário.
b) det A é um número ímpar, se a for um número ímpar
c) det A é um número negativo, porque a segunda coluna da matriz só tem números negativos.
d) det A é zero, pois existem duas filas paralelas proporcionais.
e) det A é 2a¤.
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60. (Unirio 2000) O valor de
é:
a) 4 (cos a + sen a)
b) 4
c) 2 (cos£ a - sen a)
d) 2
e) 0
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GABARITO
1. [E]
2. det M = 11.
3.
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d =
a + 3n.
Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0.
4. 01 + 02 + 08 + 16 = 27
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5. 02 + 04 + 08 + 16 = 30
6. [D]
7. a) Se B é inversível, temos:
AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì
A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì
B¢ . A = A . B¢
c.q.d.
b) Como A e B comutam, tem-se:
A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B)
Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos:
det B = det [ A (A+2B) ] Ì
det B = det A . det (A+2B)
Como B é inversível, det B = k, k · 0.
Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos:
k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0
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O que é uma contradição, pois k· 0.
Portanto, A é inversível.
c.q.d.
8. 02 + 16 = 18
9. proposições corretas: 04 e 08
proposições incorretas: 01 e 02
10. [E]
11. [C]
12. [A]
13. [C]
14. - 12
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15. [E]
16. [C]
17. [D]
18. [B]
19. [A]
20. m = 0
21. 01
22. [A]
23. [B]
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24. [B]
25. [D]
26. [B]
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55. a) 1 e - 2
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