DETERMINANTES
DETERMINANTES
Determinante é um número real associado a
uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem:
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o
próprio elemento a11.
Exemplo:
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem:
Seja a matriz de 2ª ordem:
|A| =
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
Exemplo:
7 2
A

3
5


det A = 7 ·5 – 2 ·3 = 29
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem:
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3:
 a11
A  a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
1º) Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz.
2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e
associando o sinal indicado dos produtos, temos:
Determinante de uma Matriz Quadrada de ordem n 2 :
Sendo
uma matriz quadrada de ordem n 2, dizemos que o cofator de
é o produto de

A  determinante
(ai j )
pelo
da matriz que se obtém de A, com a supressão da linha i e da coluna j.
(ai j )
(1) i  j
Teorema de Laplace
O determinante de matriz quadrada de ordem n  2 é igual à
soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
Dessa forma, para calcularmos o determinante usando a regra
de Laplace, escolhemos uma linha ou coluna e o
determinante será a soma do produto dos elementos desta
linha ou coluna pelos respectivos cofatores.
 2  1 3
Exemplo: Calcule o determinante da matriz A  0 1 4


usando o teorema de Laplace.
5  2 1
Solução:
Primeiro devemos escolher uma linha, por exemplo, a 1ª :
det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
1+1
det A = 2 . ( -1)
1 4
0 4
0 1
1+2
1+3
.
+ (-1) . ( -1) .
+ 3 . ( -1) .
2 1
5 1
5 -2
det A = 2 . 1. (1+8) + (-1).(-1).(0-20) + 3 . 1 . ( 0 –5)
det A = 18 – 20 – 15
det A = - 17
,
Propriedades dos determinantes
1. Um determinante será nulo quando possuir uma fila
formada só por zeros ou duas filas paralelas iguais ou
proporcionais
det A =
0
3
1
det A = 3
1
0
=(0)  (5) – (0)  (3)‫ = ‏‬0 – 0 = 0
5
3 5
0 –5
3
5
det A = ( 0 + 45 – 15 )‫ ( –‏‬0 + 45 – 15 )‫‏‬

det A = 0
2. Se trocarmos entre si a posição de duas filas paralelas,
o determinante mudará o sinal.
1
det A = 3
2
3 5
0 –5
1 2
det A = ( 0 + 15 – 30 )‫ ( –‏‬0 – 5 + 18 )‫‏‬
det A = (– 15 )‫ ( –‏‬13 )‫ ‏‬ det A = –28
2
det A = 3
1
1 2
0 –5 = ( 0 + 18 – 5 )‫ ( – ‏‬0 – 30 + 15 )‫‏‬
3 5
( 13 )‫– ( –‏‬15 )‫ ‏‬ det A = 28
3. Se multiplicarmos uma das filas de uma matriz
quadrada por um número k, o seu determinante ficará
multiplicado por k.
2
3
4
= (10) – (12) = –2
5
6
det B =
3
12
= (30) – (36) = –6
5
det A =
k=3
det B = kdet A
det B = 3(–2) = –6
4. Da propriedade 3, decorre que: det ( kAn ) = kndet An.
2
A2 =
3
4
5
 3A2 =
6
9
12
15
k=3
6
det ( 3A2) =
9
12
= (90) – (108) = –18
15
det ( 3A2 ) = 32det A2 = 9(–2) = –18
Matriz Transposta de A
5. det A = det AT
1
det A = 3
2
3 5
0 –5
1
2
det A = ( 0 + 15 – 30 )‫ ( –‏‬0 – 5 + 18 )‫‏‬
det A = (– 15 )‫ ( –‏‬13 )‫ ‏‬ det A = –28
1
det AT = 3
5
3
0
–5
2
1
2
det AT = ( 0 – 30 + 15 )‫ ( –‏‬0 – 5 + 18 )‫‏‬
det AT = (– 15 )‫ ( –‏‬13 )‫ ‏‬ det AT = –28
6. det ( A  B ) = det A  det B
A=
2
3
AB=
4
5
2
3
3
1
; B=
4

5
3
1
10
2
10
=
2
10
14
det ( A  B ) = 400 – 392 = 8
det A  det B = (–2)  (–4) = 8
28
40
Matriz Identidade de Ordem n
7. det In = 1
1
det I3 = 0
0
0
1
0
0
0
1

det I3 = 1
8. O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da
diagonal principal.
5
det A = 0
0
3
–2
2
1
0
3
det A = 5  (–2)  3 = –30
Cálculo do determinante através da triangulação
de uma matriz
Propriedade 8: O determinante de matrizes triangulares e de matrizes
diagonais se resume ao produto dos elementos da diagonal principal.
Propriedade 9: Teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de
uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os
resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha
ou coluna), obteremos outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar
que o det A = det B. Isto é, o determinante não se altera.
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Essa matriz possuirá
inversa (A–1) se, e somente se, seu determinante for diferente de
zero.
A–1 A = A  A–1 = I  det A  0.
Observações:
1. det
A–1
=
1
, det A  0
det A
2. Se A possuir inversa, essa será única.