MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas:
O sistema S pode ser representado pela equação matricial AX=B, onde:
Sendo A, a matriz coeficientes, X a matriz das incógnitas e B, a matriz
dos termos independentes.
2.1. EXISTÊNCIA DA SOLUÇÃO
O conceito de posto de uma matriz é muito importante para a resolução
de sistemas de equações lineares.
(i) Se P(A) = P(A: B) = n, onde n é o nº de variáveis, então o sistema será
possível (compatível) e determinado, isto é, o sistema terá uma única
solução.
(ii) Se P(A) = P(A: B) < n, então, o sistema será possível (compatível) e
indeterminado, isto é, o sistema terá infinitas soluções.
(iii) Se P(A) P(A: B) o sistema será impossível (incompatível), isto é, o
sistema não terá solução.
2.2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
2.2.1. Utilizando o conceito de Posto de uma Matriz e a Regra de Cramer
EXEMPLO 1
Pode-se mostrar que o determinante de A (matriz dos
coeficientes) é igual a zero, mas existe pelo menos uma matriz de
ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Já A: B (matriz
ampliada) pode formar determinante diferente de zero quando se
forma uma matriz 3x3 desconsiderando-se a segunda ou terceira
coluna da matriz A. Logo, teremos que P(A) = 2
P(A: B) = 3.
Portanto, o sistema não tem solução.
EXEMPLO 2
Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma
submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de
zero. Então P(A) = P(A: B) = 2. Mas o número de variáveis (n) é igual a
quatro. Logo, teremos que P(A) = P(A: B) = 2 < n = 4, ou seja, o
sistema será indeterminado (terá infinitas soluções).
A resolução dos sistemas determinados (P(A) = P(A : B) = n) é
feita utilizando-se a Regra de Cramer.
Esta regra consiste em determinar o valor das variáveis do
sistema através de uma razão de determinantes. Como denominador
teremos o determinante da matriz dos coeficientes (A) e no numerador
teremos o determinante da matriz A modificada. Esta matriz
modificada nada mais é que a matriz A com uma de suas colunas
substituídas pela matriz B. A coluna apropriada deverá ser substituída
de acordo com a variável que se quer calcular. Assim, para se calcular a
primeira variável do sistema, deve-se substituir a primeira coluna da
matriz A e assim sucessivamente.
EXEMPLO 3
A seguir, apresentaremos duas outras formas diferentes de
resolver um sistema de equações lineares. Uma se dá com a utilização
de matriz escalonada, que é conhecido como processo de eliminação
de Gauss-Jordan, e a segunda forma se dá com o uso de matriz
inversa.
PROCESSO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN
Podemos resolver um sistema de equações lineares aplicando as
operações elementares dadas anteriormente, pois sabemos que aplicando
operações elementares sobre uma matriz obtemos sempre uma matriz
equivalente. Nesse caso, as operações elementares transformam o sistema
original em um sistema equivalente. Esse processo é conhecido como
processo de eliminação de Gauss-Jordan.
Seja AX = B o sistema dado. Para resolver esse sistema devemos seguir
os seguintes passos:
1º Passo: Formar a matriz aumentada
2º Passo: Levar a matriz aumentada
à forma escalonada, usando
operações elementares sobre as linhas
EXEMPLO 4
(Exemplo 2.9 do livro texto págs. 107 e 108) - Resolver o sistema
abaixo:
Aplicando as operações elementares,
obtemos
Isto implica que P(A)= P(A : B) = n = 3
Logo, o sistema é consistente e determinado. E sua solução é:
LEITURA COMPLEMENTAR
Para que você saiba mais sobre este assunto que tal ver exemplos 2.10
e 2.11 do livro arquivo “LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF”, (págs 108,
109 e 110).
Vá à seção MATERIAL DE APOIO do ambiente SOLAR e baixe o
arquivo “LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF” ou clique aqui (Visite a
aula online para realizar download deste arquivo.).
USANDO A MATRIZ INVERSA
Dado um sistema de equações lineares na forma matricial AX = B. Se a
matriz A é quadrada e possui inversa, então,
.
EXEMPLO 5
Exemplo: (Exemplo 2.12 do livro texto págs. 110 e 111)
Resolver o sistema abaixo:
Calculamos a inversa da matriz A, aplicando as operações
elementares:
Obtemos:
Logo,
Temos:
LEITURA COMPLEMENTAR
Para que você possa aprofundar ainda mais os seus estudos,
recomendamos
que
veja
o
exemplo
2.13
do
arquivo
“LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF”, nas páginas 110 e 111.
Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo
“LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF” ou clique aqui (Visite a aula online
para realizar download deste arquivo.).
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. João Mario Santos de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual