Álgebra Linear
Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território
1o¯ ano/1o¯ Semestre — 2010/2011
3a Lista de problemas


a b c
1. Seja A =  d e f . Considere por hipótese que det(A) = −7. Calcule
g h i


a g d−g
a) det(3A)
b) det(2A−1 )
c) det((2A)−1 )
d) det  b h e − h 
c i f −i
2. Considere a matriz


5 −10 15
7 −1  .
A= 6
−3 1
4
Reduza a matriz A a uma matriz R em escada de linhas, e use o determinante
de R para calcular o determinante de A.
3. Se possı́vel, dê exemplos de:
a) Uma matriz de ordem 3 com todas as entradas não nulas e determinante nulo.
b) Uma matriz do tipo 2 × 3 com determinante igual a 2.
c) Uma matriz de ordem 3 com a diagonal principal nula e determinante − 32 .
d) Uma matriz de ordem 4 com a segunda coluna nula e determinante igual a 5.
4. Sejam A e B matrizes de ordem n, quaisquer. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se det A = det B, então A = B.
b) det (A + B) = det A + det B.
c) Se α ∈ R, então det (αA) = α det A.
d) Se n é ı́mpar, então det (−A) = − det A.
e) Se P é uma matriz invertı́vel de ordem n, então det (P −1 AP ) = det A.
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2
f) Se car (A) = n − 1, então det (A) = 0.
g) Se AB é uma matriz invertı́vel então A e B também o são.
h) Se AB não é uma matriz invertı́vel então pelo menos uma das duas matrizes
A ou B também não é invertı́vel.


1 −2 3
0
 1 0
0 −1 
 utilizando a regra de
5. Calcule o determinante da matriz 
 0 −3 1
4 
0 2 −1 0
Laplace.
6. Mostre que uma matriz quadrada A é invertı́vel se e só se a matriz AT A é
invertı́vel.
7. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que
b+c c+a b+a a
= 0.
b
c
1
1
1 

8. Considere a matriz A = 


1 −3 −3
1
2 −1 
1
 . Em cada alı́nea, se possı́vel,
2 
1
complete A de modo a que:
b) det (A) = −5

1 k
 0 1
9. Considere a matriz A = 
 1 k
0 0
a) det (A) = 0
k
3
1
k
c) det (A) = 1

2
1 
 , k ∈ R.
2k 
0
a) Calcule adj (A) .
b) Determine os valores de k para os quais det A = −4.
c) Para os valores determinados na alı́nea anterior calcule A−1 .


1 −1
−1 0 2


0 eB=
10. Sejam A = −1
.
−3 1 3
0 −1
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3
Calcule det (AB) e det (BA) .
Será que o resultado obtido contradiz a propriedade estudada sobre o determinante do produto de duas matrizes?
11. Para que valor(es) de k

1

a) A = 3
k
12. Considere a matriz
a matriz A deixa de ser invertı́vel?

2 4
k
−
3
−2
1 6  b) A =
−2 k − 2
3 2

0
−1
M =
0
0
1
0
1
0

0
0

1
0
0
1
0
1
(a) Cacule o determinante de M .
(b) Calcule det (2M ), det (2M −1 ) e det ((2M )−1 ).
(c) Diga qual é o elemento (1, 4) da matriz M −1 .

13. Calcule det
( 31 (A5 (x))


onde A(x) = 


1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
x
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
3



,


14. a) Uma matriz A ∈ Mn (R) diz-se ortogonal se A−1 = AT . Mostre que o
determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou −1.
b) Uma matriz A de ordem n diz-se anti-simétrica se A = −AT . Mostre que se
n é impar, o determinante de uma matriz anti-simétrica de ordem n é sempre 0.


1 a a2
15. Mostre que ∀a, b, c ∈ R, det  1 b b2  = (b − a) (c − a) (c − b) .
1 c c2
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Exercı́cios de escolha múltipla


a b c
16. Sabendo que det A = det  d e f  = 6, considere a seguinte lista de
g h i
afirmações:


g i h
I. det  d f e  = 6.
a c b
II. det (−A) = −6.
III. det A + AT = 12.


a 3a + b c
IV. det  d 3d + e f  = 18.
g 3g + h i
A lista completa de afirmações correctas é:
I, II, III, IV
I e II
II e III
I, II e III


k
0 −1 7
 1 −1
0 1 
 = 0 são:
17. As soluções da equação det 
 0
1
1 0 
1
0
1 k
√
√
k = 1, k = −1
k = −7
k = 7, k = − 7
k = 0
18. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Considere a seguinte lista de
afirmações:
I.
II.
III.
IV.
Se
Se
Se
Se
A2 = A então det(A) = 0 ou det(A) = 1.
det(A) 6= 0 então A não tem zeros na diagonal principal.
det(A) = 0 então A tem duas linhas iguais.
o núcleo de A é {0Rn } então A não tem duas linhas iguais.
A lista completa de afirmações correctas é:
I e IV
II e IV
II e III
I e III
AL 2010/2011
5
19. Considere A e B duas matrizes quadradas de ordem 3 e a seguinte lista de
afirmações.
I) det AB = det BA.
II) Se det A = 0 e det B = 0 então det (A + B) = 0.
III) det (2AB) = 8 det (AB).
A lista completa de afirmações correctas é:
I e II
I e III
II e III
I e II e III
20. Sabendo que A e B são matrizes de ordem 3 tais que
3
det (2 (AB)) = 24 , det(B) < 0 e det (AB −1 ) = 27, então:
det (A) = 4 e det (B) = 3
det (A) = −3 e det (B) = −1
det (A) = 1 e det (B) = 3
det (A) = 3 e det (B) = 1