INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1...................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 2...................................... 2
DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3...................................... 3
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES......................................... 8
REGRA DE CHIÓ............................................................................... 11
MENOR COMPLEMENTAR ............................................................... 15
COFATOR .......................................................................................... 16
TEOREMA DE LAPLACE .................................................................. 16
RESPOSTAS ..................................................................................... 23
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 23
No final das séries de exercícios podem
aparecer
sugestões
de
atividades
complementares. Estas sugestões referem-se a
exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva
fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG –
Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se
referem ao volume 2.
MATEMÁTICA III
1
DETERMINANTES
INTRODUÇÃO
DETERMINANTE DE MATRIZ DE
ORDEM 2
Toda matriz QUADRADA tem,
associada a ela, um numero chamado
determinante da matriz obtido por meio
de operações que envolvem todos os
elementos da matriz. (Dante, 2007).
No caso de matrizes quadradas
de ordem dois, calculamos seu
determinante fazendo o produto dos
termos da diagonal principal menos o
produto dos termos da diagonal
secundária.,
A teoria dos determinantes teve
sua origem em meados do século XVII,
quando eram estudados processos para
resolução de sistemas lineares de
equações. Hoje em dia, embora não
sejam um instrumento prático para a
resolução
destes
sistemas,
os
determinantes são utilizados, por
exemplo,
para
sintetizar
certas
expressões matemáticas complicadas.
Assim,
dada
a
a
a12 
,
A   11
indicamos

a
a
22 
 21
determinante por
matriz
seu
det A  a11  a22  a21  a21
ou
DETERMINANTE DE MATRIZ DE
ORDEM 1
a11
a12
a21 a22
Sendo A uma matriz de ordem 1
determinada por A = [a11], por definição,
o determinante de A é igual ao número
a11, ou seja, em uma matriz de um único
elemento, o determinante associado a
ela será o próprio elemento.
 a11  a22  a21  a21
Ex.1: Encontre o determinante da
 1  7 
.
matriz A  
5 
3
Resolução:
1  7
  1  5  3   7   5  21  16
3
5
Dadas as matrizes A = [5] e
B = [-2] podemos dizer que det A = 5 e
que det B = -2.
__________________________
CASSIO VIDIGAL
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Ex.2: Determine x de modo que o
determinante
da
matriz
 x 2x 
 seja igual a 18.
B  
 3 3 
O determinante de M é o número:
a11
det M  a 21
a 31
Resolução:
a12
a 22
a 32
a13
a 23 
a 33
 a11  a 22  a 33  a12  a 23  a 31  a13  a 21  a 32 
x 2x
 18
3 3
 a13  a 22  a 31  a 23  a 32  a11  a 33  a12  a 21
3 x   6 x   18
3 x  6 x  18
Afim de que possamos obter tal
determinante de forma mais prática,
vamos conhecer a regra de Sarrus.
9 x  18
x2
a) Repetimos ao lado da matriz, as duas
primeiras colunas.
Resposta: x = 2
b) Os termos precedidos pelo sinal +
(mais) são obtidos multiplicando-se os
termos da diagonal principal e a seguir
multiplicando os termos das diagonais
que estão nesta mesma direção.
c) Os termos precedidos pelo sinal (menos) são obtidos multiplicando-se os
termos da diagonal secundária e a
seguir multiplicando os termos das
diagonais que estão nesta mesma
direção.
MATEMÁTICA III
-
a11
a12
a13
a11
a21 a22
a23
a21 a22
a31 a32
a33
a31 a32
-
a12
 a13  a21  a32
 a12  a23  a31
a matriz de
a12 a13 

a 22 a 23  .
a 32 a 33 
-
a11  a22  a33
Consideremos agora
 a11

ordem 3 dada por M   a 21
a
 31
 a13  a22  a31
DETERMINANTE DE MATRIZ DE
ORDEM 3
+
 a33  a12  a21
_______________________
+
 a23  a32  a11
+
d) o determinante é obtido a partir da
soma dos 6 valores encontrados.
3
DETERMINANTES
Existe uma outra forma mais
prática de memorizar a Regra de Sarrus.
Consiste em acompanhar os caminhos
indicados a seguir sem a necessidade
de repetir as duas primeiras colunas.
Apesar de ser um pouco mais rápida,
exige bastante atenção. Observe:
Calcular o determinante da matriz
 4 1 5 


B 2
0
2 
 1 5  3 



Resolução:
4
det B  2
1
+
0
+
+
1
0
5
2
5
3
-
-
4 1 5
4 1
2
0
2
2
0
1 5  3 1 5
-40
-6
+0
+2
Os termos precedidos do sinal de
+
(mais)
são
obtidos
multiplicando-se os elementos
segundo as trajetórias indicadas.
-


+50
-40-6+2+50=6
Já para obter os termos
precedidos do sinal de – (menos)
devemos seguir estas trajetórias:
det B  6
___________________________
Observe que o resultado obtido
em cada trajetória é exatamente o
mesmo daqueles que encontramos em
cada
“diagonal”
na
regra
vista
anteriormente.
CASSIO VIDIGAL
4
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
b)
sen x  cos x
cos x sen x
c)
2  sen x
3  cos x
1  2  cos x 3  sen x  2
1) Calcule os determinantes:
 3 1
1
a)
2
2
b)
c)
13 7
11 5
3) Calcule os determinantes:
log a log b
1
a) 1
2
4
3a 1
5
2
2) Calcule os determinantes:
sen x  cos x
a)
sen y cos y
b)
MATEMÁTICA III
5
2 m2
2 m4  m
m
m3  1
DETERMINANTES
4) Determine x tal que:
2x 3x  2
a)
0
1
x
5) Calcular os determinantes 3 x 3 a
seguir:
1 1 0
a) 0 1 0
0 1 1
1 3 2
b)  1 0  2
2 5 1
b)
2x
x 2
 11
4 x  5 3 x 1
3 1
c) 2
5
CASSIO VIDIGAL
6
7
1
3
4
2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
6) Calcular os determinantes:
9 7 11
7) Determine x tal que:
1
x
x
a)  2 1 13
a) 2
5
3
6
3
1
c) m
3
2
5
4
MATEMÁTICA III
x 1 1
x
2
c)  2 x  4  0
1 3 x
1 0
n
1 0
1 x 1
b) 1  1 x  0
1 x 1
0 a c
b)  c 0 b
a b 0
2
2x
7
DETERMINANTES
8)
Determinar
x 1
2
x
0
3x
1 
1
x 1 2x
x
3x
2x
4
x
tal
P2: Filas Iguais.
Se os elementos correspondentes de
duas linhas ou duas colunas de uma
matriz quadrada forem iguais, seu
determinante será igual a zero.
que
.
3
1
1
4
2
3
1
4
2
5
0
2 3 3 2
7
8
8 1
pois a 2ª e 3ª colunas são iguais.
Ex.1:
Ex.2:  1 0  7  0
______________________
2
ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 130 – Exercício 04
______________________
0
5
2
3
1
Ex.1:  1 0  7  0
4 6 2
Pois a 3ª linha é igual ao produto dos
termos da 1ª linha por 2.
0
1 7
0
4 28
pois a 2ª coluna é 7 vezes a primeira.
Ex.2:
1  4 7
Ex.2: 2
0
k
P3: Filas Proporcionais.
Se uma matriz quadrada possui duas
linhas ou duas colunas proporcionais,
seu determinante será nulo.
P1: Fila de Zeros.
Se todos os elementos de uma linha ou
coluna de uma matriz quadrada forem
iguais a zero, seu determinante será
nulo.
0 2
3
Pois a 1ª e 3ª linhas são iguais.
__________________________
PROPRIEDADES DOS
DETERMINANTES
Ex.1:
k
3 2 0
0
CASSIO VIDIGAL
0
8
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
P4: Multiplicação de uma fila por uma
constante.
Se todos os elementos de uma linha ou
uma coluna de uma matriz quadrada são
multiplicados por um mesmo número
real k então seu determinante fica
multiplicado por k.
2 4 3 


Ex.: A   5 3  2  det A = 55
 1 2 0 


Multiplicando todos os termos
segunda coluna por 3:
 2 12 3 


A'   5 9  2  det A’ = 165
 1 6
0 

P6: Determinante da transposta:
O determinante de uma matriz quadrada
é igual ao determinante de sua
transposta.
Ex.1:
da
1 4
 det A t  13
2 5
4 3
3  2  det B  55
1 2
2
B 4
5
3
3 2
0
1
2  det B t  55
0
__________________________
P7: Troca de filas paralelas:
Se trocarmos de posição duas linhas ou
duas colunas de uma matriz quadrada, o
determinante da nova matriz obtida é
oposto ao determinante da matriz
original.
P5: Multiplicação de matriz por um
número real.
Se uma matriz quadrada de ordem n é
multiplicada por um número real k, o seu
determinante fica multiplicado por kn.
5 3 2
2 4 3
Ex.: A  5 3  2 e B  2 4 3
1 2 0
1 2 0
Ex.:
1 2
 det A  13
4 5
Note que, de A para B foram
trocadas de posição a primeira com a
segunda linhas.
Temos que det A  55 e det B  55 .
5  10
 det 5 A  325
20 25
MATEMÁTICA III
At 
2
B 5
Multiplicando todos os termos da 1ª linha
de A por 2:
4 8 6 


A"   5 3  2  det A” = 110.
 1 2 0 


__________________________
5A 
1 2
 det A  13
4 5
Ex.2:
t
A
A
9
DETERMINANTES
P8: Matriz triangular.
O determinante de uma matriz triangular
é obtido multiplicando-se todos os
termos da diagonal principal.
P10: Teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada. Se
multiplicarmos todos os elementos de
uma linha ou coluna pelo mesmo
número e somarmos os resultados aos
elementos correspondentes de outra
linha ou coluna, formando uma outra
matriz B, então det A = det B.
Ex.1:
2 4
3
A  0 3  2  det A  2  3  6  36
0 0 6
Ex.2:
5
0
0
0
1 4
0
0
B

2 3 3 0
7
8
8 1
1 2 
A
  det A  14
5  4 
Vamos multiplicar os termos da primeira
linha por 3 e somar aos termos
correspondentes da 2ª linha:
 det B  5  4   3    1  60
__________________________
1 2 
B
  det B  14 .
8 2 
P9: Teorema de Binet.
Sendo A e B duas matrizes quadradas
de mesma ordem e AB a matriz produto,
então o determinante de AB é igual ao
determinante de A vezes o determinante
de B.
Note que det A  det B .
__________________________
P11: Determinante da inversa.
Sendo A uma matriz quadrada invertível,
1
e A-1 sua inversa, então det A 
.
det A 1
Ex.:
A
B
1 2
 det A  13
4 5
9 2
 det B  29
1 3
Sendo A e sua inversa A-1 indicadas
abaixo, observe seus determinantes já
encontrados:
1  1
A
  det A  2
2 0 
7 2
 det AB  377
4 5
det A  det B  13   29  377
AB 
A 1
CASSIO VIDIGAL
10

0

 1

1
2   det A 1  1
1
2

2
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1
, ou seja,
det A 1
um determinante é o inverso do outro.
Observe que det A 
Calcule o determinante da matriz
1
2 0 1 

1 3 6 9 
.
M 
4 1 2 0 


 2 2 3  4 
__________________________
REGRA DE CHIÓ
Resolução:
Vamos seguir os três passos indicados.
A Regra de Chió consiste em
aplicar algumas operações de forma a
reduzir “as dimensões” de uma matriz e,
assim, facilitar o cálculo do determinante
porém ela é muito prática se o elemento
a11 for igual a 1. Se tal termo for
diferente de 1, aplicamos uma ou mais
propriedades (já vistas) afim de tornar
a11 = 1.
1.
Siga os passos da Regra de Chió
e, em seguida, veja sua aplicação no
exemplo.
2.
1. Sendo a11 = 1, suprime-se a
primeira linha e a primeira coluna.
2. De cada elemento restante,
subtrai-se o produto dos dois
termos suprimidos, na linha e
coluna desse elemento restante.
3. Com
os
resultados
das
subtrações, obtém-se uma matriz
uma ordem menor que a anterior
porém com mesmo determinante.
3.
Observe o exemplo a seguir para
entender cada passagem.
MATEMÁTICA III
11
DETERMINANTES
 1 6 10 
A matriz  7 2  4  tem o
 6 3  6 
mesmo determinante que a matriz
1 2 0 1
1 3 6 9
entretanto, por ser uma
4 1 2 0
2 2 3 4
ordem menor, é mais fácil calcular o
determinante
e
podemos
fazê-lo
utilizando a regra de Sarrus.
9) Encontre o valor do determinante da
3
2 
 2 1 0
 2 3
2
0  2 

matriz A   3 2  1  5 4  .


2 2 0 
 1 3
 0
4  2  1 3 
(Dica: Use o Teorema de Jacobi multiplicando a
segunda coluna por 1 e somando à primeira
coluna. Assim, você terá a11 = 1. Depois aplique
a regra de Chió. Na matriz obtida, troque de
posição a 1ª com a 2ª linha e aplique novamente
Chió. Você chegará numa matriz de 3ª ordem e
encontrará o determinante pela regra de Sarrus)
CASSIO VIDIGAL
12
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
10)
Determine
x 0 0 0
1 x 1 2
 16
2 0 x 3
0 0 0 2
x
na
11) Calcule os determinantes a seguir:
2 1 3
1
1 2 5
1
a)
4 1 3
4
0 0  2 1
equação
b)
MATEMÁTICA III
13
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
DETERMINANTES
c)
d)
1 2 0 0
2 3 0 0
e)
0 0 3 1
0 0 1 1
2
3
1 3 2
0 0 0
f)
4 1 5 1
10 3  2 2
CASSIO VIDIGAL
14
0 a 1
1 b 1
0
1
2 c
0 d
1
0
0
1
1 1 0 0
x 1 x 0
x x 1 0
x 1 0 1
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
MENOR COMPLEMENTAR
12)
Calcule
o
MENOR
COMPLEMENTAR de cada um dos 9
2 4
6

termos da matriz K   0  1 5  .
 3 8 3 
Sendo A uma matriz quadrada de
ordem n  2, denomina-se menor
complementar de A pelo elemento aij, o
determinante Dij associado a matriz
quadrada que se obtém de A ao suprimir
a linha i e a coluna j onde está o
elemento aij. Esse determinante é
chamado de Dij.
3 
2 5

Sendo a matriz A  1 6  4  , temos:
0  1 10 
a) menor complementar de A pelo termo
a21:
Vamos eliminar a segunda linha e a
primeira coluna.
Assim, temos que
5 3
D21 
 ...  53
 1 10
b) Menor complementar de A pelo termo
a33.
D33 
MATEMÁTICA III
2 5
 ...  7
1 6
15
DETERMINANTES
13) Calcule os cofatores de cada um dos
2 4
6

9 termos da matriz K   0  1 5  .
 3 8 3 
COFATOR
Sendo A uma matriz quadrada de
ordem n  2, denomina-se cofator de um
elemento
aij
o
número
real
i j
A ij   1  Dij onde Dij é o menor
complementar de A pelo termo aij.
3 
2 5

Sendo a matriz A  1 6  4  , temos:
0  1 10 
a) cofator de A pelo termo a21:
2 1
A 21   1  D21   1  53  53
(nota: Esta matriz A é a mesma do exemplo da
página anterior e D21 já havia sido calculado)
b) cofator de A pelo termo a33.
3 3
A 33   1  D33  1  7  7
TEOREMA DE LAPLACE
O determinante associado a uma
matriz quadrada A de ordem n  2 é o
número que se obtém pela soma dos
produtos de cada termo de uma fila
qualquer
pelos
seus
respectivos
cofatores.
Assim,
para
calcular
o
determinante de uma matriz quadrada
qualquer, devemos escolher uma linha
ou coluna, a seguir encontramos cada
um de seus cofatores. Multiplicamos
cada
cofator
pelo
seu
termo
correspondente e somamos estes
produtos.
CASSIO VIDIGAL
16
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Acompanhe o exemplo.
Observe que, em ambos os
casos, det A  15 . Esse valor será
encontrado em qualquer fila escolhida e
você pode verificar isto.
2 3  1 
Sendo
podemos
A  5 2 0  ,
1 4  3 
calcular det A a partir dos cofatores de
qualquer de suas filas.. Vamos fazer a
partir da 1ª linha e a seguir, a partir da 3ª
coluna para verificarmos se os
resultados obtidos coincidem.
É importante destacar que, nesta
segunda escolha, especificamente no
produto a23  A 23 não havia necessidade
de calcular A 23 pois, como a23  0 , o
produto seria 0 . Devido a isto, quando
vamos calcular determinantes usando o
teorema de Laplace, é interessante que
escolhamos uma fila onde há uma
grande quantidade de zeros, assim,
reduziremos a quantidade de cálculos.
1. A partir da primeira linha temos que
det A  a11  A11  a12  A12  a13  A13
A11   1

2 0
 1   6   6
4 3
A12   1

5 0
  1   15   15
1 3
11
1 2
5 2
 1 18  18
1 4
Assim, temos que:
A13   1
1 3

det A  a11  A11  a12  A12  a13  A13 
 2   6   3 15   1 18  15
2. Agora, a partir da terceira coluna:
det A  a13  A13  a23  A 23  a33  A 33

5 2
 1 18  18
1 4
A 23   1

2 3
  1  5  5
1 4
A 33   1

2 3
 1   11  11
5 2
A13   1
1 3
2 3
3 3
det A  a13  A13  a23  A 23  a33  A 33 
  1 18  0   5    3    11  15
MATEMÁTICA III
17
DETERMINANTES
2 3 5 


c) C   1 2 3 
2 4 6 


14) Calcule os determinantes a seguir
preferencialmente utilizando o Teorema
de Laplace:
 3 2 1


a) A   6 0
4 
2  3 5 


 3 5 1


d) D   1 2 0 
4 0 3 


1 3 4 


b) B  1 3 5 
1 3  4 


CASSIO VIDIGAL
18
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
 2 3 1

4  2 1
g) G  
1 5 2

0 3  2

 4 2 1


e) E    1 1 2 
0 5 3 


4
0

 1 1
f) F  
2
0

 1 0

MATEMÁTICA III
0

3
1

6 
2 0

0 3
3 7

0 2 
19
DETERMINANTES
2
 3

 0 1
h) H    3  4

2
 0
 0
1

CASSIO VIDIGAL
0
0
2
0
0
0 

3 1
5
2 

2
2 
 3 4 
1
15) Provar que
a a a a
a b b b
 ab  a c  b d  c 
a b c c
a b c d
20
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
16) Calcule o determinante
1
1
1
18) Calcule os determinantes:
1 1
1
1
2 3
5
7
a)
4 8 25 49
8 27 125 343
sen x sen y sen z
cos x cos y cos z
17) Resolver a equação
MATEMÁTICA III
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
0
21
DETERMINANTES
1
b) a
1
b
1
c
a2
b2
c2
c)
1
a
1
b
1
c
1
d
a2
a3
b2
b3
c2
c3
d2
d3
___________________
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Sistemas Lineares
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22
IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RESPOSTAS
1)
2)
a)
1
2
b) -12
4)
a) log
a
b
b)  m2
1
a) x  2 ou x  
2
1
b) x  1 ou x 
2
5)
a) 1
6)
a) 121
c) 4m  8n  26
7)
a) x 
8)
9)
-559
10)
2
11)
a) 28
c) -2
e) 3d – 3a
12)
D11=-43
D21=-26
D31=14
MATEMÁTICA III
14)
a)
c)
e)
g)
15)
16)
Demonstração

senx  y   seny  z  senz  x 
17)
S   3a, a
18)
b) -9
c) -40

b) b a2  c 2

1
b) x  0 ou x  1
2
c) x  0 ou x  2
3
x
3
A11=-43
A21=26
A31=14
c) 6a - 5
a) senx  y 
b) 1
c) 6  4  sen x  3  cos x
4
3)
13)
A12=-15
A22=30
A32=-30
det A  10
det C  0
det E  17
det G  13
A13=-3
A23=-54
A33=-6
b) det B  0
d) det D  11
f) det F  38
h) det H  144
a) 236
b) c  bc  ab  a
c)
d  c d  bd  ac  bc  ab  a
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE,
Luiz
Roberto;
Matemática, Volume dois. São Paulo,
Atica, 2005.
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Matemática, Volume único. São Paulo,
Atual, 2002.
b) 1
d) -75
f) 1 – x
D12=15
D22=30
D32=30
IEZZI,
Gelson
e
outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,
D13=-3
D23=54
D33=-6
1977.
23
DETERMINANTES