RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR MEIO DE DETERMINANTES
Determinante de uma matriz de segunda ordem
Seja a matriz:
a b
c d
M =
O determinante desta matriz é:
a b
= ad − bc
c d
∆=
Exemplo:
3 2
1 4
M =
∆=
3 2
= 3 × 4 − 2 × 1 = 10
1 4
Vamos supor o sistema de duas equações com duas incógnitas x e y:
ax + by = e
cx + dy = f
Este sistema de equações pode ser escrito na forma matricial:
a
b
x
c
d
y
=
e
f
Esta equação gera três matrizes:
1a. Matriz formada pelos coeficientes das incógnitas, ou seja:
M =
a
b
c
d
Seu determinante é:
1
∆ = ad − bc
2a. Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a primeira coluna pela coluna de
resultados das equações:
MX =
e
b
f
d
Seu determinante é:
∆x = ed − bf
3 . Matriz em que se modifica a matriz M, substituindo-se a segunda coluna pela coluna de
resultados das equações:
a
MY =
a
e
c
f
Seu determinante é:
∆y = af − ce
A teoria dos determinantes demonstra que:
x=
∆x
∆
e
y=
∆y
∆
Ou seja:
x=
e
b
f
a
d
b
y=
e
a
e
b
a
f
b
c d
c d
------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 1
Resolver o sistema de equação:
2x + y = 7
x + 3 y = 11
M =
2 1
1 3
MX =
7
1
11 3
MY =
2
2
7
1 11
∆ = 2 × 3 − 1× 1 = 5
x=
∆x = 7 × 3 − 1 × 11 = 10
∆x 10
=
=2
∆
5
y=
∆y = 2 × 11 − 7 × 1 = 15
∆y 15
=
=3
∆
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Generalização
Seja o sistema de n equações com n incógnitas: x1 ,
x 2 , ............ x n
a11 x1 + a12 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a 2 n x n = b2
....................................................
....................................................
....................................................
an1 x1 + an 2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ann xn = bn
Este sistema pode ser escrito na forma matricial:
a11
a 21
⋅
⋅
a n1
a12
a 22
⋅
⋅
an2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ a1n
x1
b1
⋅ a 2n
x2
b2
⋅ ⋅ × ⋅ = ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅ a nn
xn
bn
Este sistema de equações gera n + 1 matrizes. A primeira matriz, que chamamos de M, é
formada pelos coeficientes das incógnitas:
a11
a 21
M = ⋅
⋅
a n1
a12
a 22
⋅
⋅
an 2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ a1n
⋅ a2n
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ a nn
As n matrizes seguintes, que chamaremos de Mxi para i = 1, 2, ......n, são construídas,
partindo da matriz M e substituindo-se a coluna i pela coluna de resultados b1 , b2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ bn .
3
b1
b2
Mx1 = ⋅
⋅
bn
a12
a 22
⋅
⋅
an2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ a1n
⋅ a2n
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ a nn
a11
a 21
.............................. Mx n = ⋅
⋅
a n1
a11 b1
a 21 b2
Mx 2 = ⋅
⋅
⋅
⋅
a n1 bn
a12
a 22
⋅
⋅
an 2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ a1n
⋅ a2n
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ a nn
...........
⋅ b1n
⋅ b2 n
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ bnn
A teoria de matrizes demonstra que:
x1 =
∆x1
,
∆
x2 =
∆x
∆x 2
..................................... x n = n
∆
∆
onde ∆ é o determinante da matriz M e ∆xi é o determinante da matriz Mxi
para i = 1, 2, 3, ........................,n
Determinante de uma matriz de ordem 3
Seja a matriz:
a b
c
d
g
f
i
e
h
Seu determinante é:
a b
c
d
g
f = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
i
e
h
Seria muito difícil decorar este resultado. Entretanto pode-se usar um arranjo através do
qual se calcula este determinante usando uma maneira sistemática conhecida como regra de
Cramer, em homenagem ao seu criador , o matemático Gabriel Cramer:
Parte-se da matriz original e acrescenta-se, à direita, duas colunas. Estas colunas
adicionais são a repetição das duas primeiras colunas dessa matriz:
4
a b
d e
g h
c
f
i
a b
d e
g h
Assinala-se três diagonais como indicado abaixo:
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
g
b
e
h
Multiplica-se os três elementos de cada diagonal assinalada, e soma-se esses produtos:
Resulta:
P1 = aei + bfg + cdh
Assinala-se outras três diagonais com inclinação invertida:
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
g
b
e
h
Multiplica-se os três elementos de cada diagonal assinalada, e soma-se esses produtos:
Resulta:
P2 = ceg + afh + bdi
O determinante resulta:
a b
c
d e f = P1 − P2 = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
g h i
----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 2
Resolver o sistema de equações:
2x + y + z = 8
x + 3 y + 2 z = 13
3 x + y + 3 z = 12
5
2 1 1
2 1 1 2 1
∆= 1 3 2
3 1 3
1 3 2 1 3
3 1 3 3 1
∆ = 2 × 3 × 3 + 1× 2 × 3 + 1× 1× 1 − 1× 3 × 3 − 2 × 2 × 1 − 1× 1× 3 = 9
Semelhantemente:
8
1 1
∆x = 13 3 2 = 18
12 1 3
2
8
1
2 1
∆y = 1 13 2 = 27
3 12 3
8
∆z = 1 3 13 = 9
3 1 12
∆x 18
∆y 27
∆z 9
=
=2
y=
=
=3
z=
= =1
∆
9
∆
9
∆ 9
------------------------------------------------------------------------------------------------------
x=
QUATRO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Vamos tomar por base a matriz abaixo que chamaremos M p
Mp =
6 4
2 3
Seu determinante fica:
6 4
2 3
= 6 × 3 − 4 × 2 = 10
Propriedade 1
Pode-se substituir qualquer linha ou coluna por outra linha que seja a soma de quaisquer
duas linhas ou colunas. O valor do determinante não se altera.
Vamos verificar, esta propriedade, utilizando a matriz M p exemplificada.
Vamos substituir a segunda linha por outra que seja a soma das duas linhas originais e
calcular o determinante:
6 4
8 7
= 6 × 7 − 4 × 8 = 10
6
Vemos que o valor do determinante não se alterou.
Vamos substituir, nesta última matriz, a segunda coluna por outra que seja a soma das suas
duas colunas originais e calcular novamente o determinante:
6 10
8 15
= 6 ×15 − 10 × 8 = 10
Mais uma vez constatamos que o valor do determinante não foi alterado.
Portanto, podemos dizer, por exemplo, que:
a
b
c d
=
a
b
a+c b+d
Propriedade 2
Se tomarmos duas linhas, l a e l b e substituirmos l b por outra linha de valor l a − l b , o valor
do determinante muda de sinal algébrico, isto é, o valor do novo determinante é igual ao
valor original multiplicado por –1.
Vamos partir, novamente, da matriz M p exemplificada:
6 4
2 3
Vamos substituir a segunda linha por outra que seja a diferença entre a primeira e a
segunda, e calcular o determinante.
6 4
4 1
= 6 ×1 − 4 × 4 = −10
Vemos que houve, apenas, a mudança do sinal algébrico.
Vamos partir, novamente, da matriz M p e substituir a primeira linha por outra que seja a
diferença entre a segunda e a primeira, e calcular o determinante:
− 4 −1
2
3
= (− 4) × 3 − (− 1) × 2 = −10
Mais uma vez constatamos que o resultado consiste apenas na mudança do sinal algébrico.
7
Portanto, podemos dizer, por exemplo, que:
a
b
c d
=−
a
b
a−c b−d
Propriedade 3
Quando se divide todos os elementos de uma linha por um mesmo número, o determinante
fica dividido por esse número.
Vamos partir da matriz M p e dividir a primeira linha por 2, e calcular novamente o
determinante.
3 2
2 3
= 3× 3 − 2 × 2 = 5 =
10
2
Portanto, podemos dizer, por exemplo, que:
a
b
c
d
= n×
a
n
c
b
n
e
d
a
b
c
d
= n×m×
a
n
b
n
c
m
d
m
Propriedade 4
Vamos considerar o determinante da seguinte matriz de terceira ordem:
a
b
c
0
0
e
g
f
h
Note-se que, com exceção da primeira linha, as demais linhas têm o primeiro elemento
igual a zero. Neste caso, tem-se a propriedade:
a
0
b
e
0
g
c
e
f = a×
g
h
f
h
8
Exemplo:
Seja o determinante:
3 2 1
∆= 0 4 2
0 3 6
Resolução pela regra de Cramer:
3 2 1 3 2
0 4 2 0 4
0 3 6 0 3
∆ = 3 × 4 × 6 + 2 × 2 × 0 + 1× 0 × 3 − 1× 4 × 0 − 3 × 2 × 3 − 2 × 0 × 6 =
= 3× 4 × 6 + 0 + 0 − 0 − 3× 2 × 3 − 0 =
= 3 × 4 × 6 − 3 × 2 × 3 = 3 × (4 × 6 − 2 × 3)
Este resultado confirma a validade da igualdade:
3 2 1
4 2
0 4 2 = 3×
3 6
0 3 6
Redução de um determinante de ordem 3 para ordem 2.
Seja o determinante:
2 4 6
∆p = 3 9 8
2 4 8
O cálculo deste determinante, pela regra de Cramer, resulta o valor 12.
Vamos dividir cada linha pelo valor do primeiro elemento da mesma linha. Pela
propriedade 3, resulta a igualdade:
2 4 6
1 2 3
1 2 3
∆p = 3 9 6 = 2 × 3 × 2 1 3 2 = 12 × 1 3 2
2 4 8
1 2 4
1 2 4
Vamos chamar a primeira, a segunda e a terceira linha de l1 , l 2 e l 3 respectivamente.
9
Vamos substituir a segunda linha por outra igual a diferença l1 − l 2 e a terceira por l1 − l 3 .
Pela propriedade 2, resulta a igualdade:
1
2
∆p = (− 1) × (− 1) × 12 × 0 − 1
0
0
3
1
2
3
1 = 12 × 0 − 1
1
−1
−1
0
0
Pela propriedade 4, teremos como resultado:
∆p = 1 × 12 ×
−1
1
0
−1
= 1 × 12 × 1 = 12
Conclusão:
O método descrito permitiu reduzir um determinante de ordem 3 para um determinante de
ordem 2, multiplicado por um coeficiente específico.
Generalização: redução de um determinante de ordem n para um determinante de
ordem n-1.
Seja um determinante de ordem n, contendo as linhas l1 , l 2 , l 3 ,............... l n
Vamos supor que os primeiros elementos de cada linha sejam respectivamente
a11 , a 21 , a 31 ,............... a n1 .
a) Divide-se os elementos de linha l1 por a11 , os elementos de l 2 por a 21 , e assim
sucessivamente.
b) Substitui-se a linha resultante l 2 pela linha l1 − l 2 , a linha l 3 pela linha l1 − l 3 , e assim
sucessivamente.
Resulta a equivalência
determinante n × n = (− 1)
n −1
× a11 × a 21 × a 31 × ....... × a n1 × determinante (n − 1) × (n − 1)
Para os determinantes de ordem n > 3 , faz-se reduções sucessivas da ordem até resultar
um determinante de terceira ordem. Nesta situação calcula-se o determinante, de terceira
ordem resultante, utilizando-se a regra de Cramer.
----------------------------------------------------------------------------------------------------Exercício 3:
Calcular o determinante:
10
∆q =
2 8
4
4
3 6
−6
− 12
2 2 − 14
−8
−2
−6
1 2
Solução:
1) Dividimos cada linha pelo seu primeiro elemento:
1 4
∆q = 2 × 3 × 2 × 1 ×
2
2
1 2 −2 −4
1 1 −7 −4
1 4
= 12 ×
1 2 −2 −6
2
2
1 2 −2 −4
1 1 −7 −4
1 2 −2 −6
2) Subtraímos cada linha da primeira linha:
1
0
3
∆q = (− 1) × 12 ×
0
0
4
2
3
2
2
4
9
4
1
2
0
6
= −12×
0
6
0
8
4 2 2
2 4 6
3 9 6
2 4 8
Utilizando a propriedade 4, resulta:
2 4 6
∆q = −12 × 3 9 6
2 4 8
Pela regra de Cramer tem-se:
∆q = − 12 × (2 × 9 × 8 + 4 × 6 × 2 + 6 × 3 × 4 − 6 × 9 × 2 − 2 × 6 × 4 − 4 × 3 × 8) = − 144
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
11