Progressão Aritmética Progressão Geométrica Sistema ELITE de Ensino
01.
(Insper 2012) Considere a sequência
π
2π
3π
nπ
999π
1000π ⎞
⎛
⎜ cos 14 ,cos 14 ,cos 14 ,...,cos 14 ,...,cos 14 ,cos 14 ⎟
⎝
⎠
O total de elementos dessa sequência que são números
inteiros é igual a
a) 0.
b) 35.
c) 71.
d) 105.
e) 142.
02.
(Espcex (Aman) 2012) Se x é um número real
positivo, então a sequência (log3 x, log3 3x, log3 9x) é
a) Uma Progressão Aritmética de razão 1
b) Uma Progressão Aritmética de razão 3
c) Uma Progressão Geométrica de razão 3
d) Uma Progressão Aritmética de razão log3 x
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão
acima a quantidade de
115
a)
pães.
3
55
b)
pães.
6
c) 20 pães.
65
d)
pães.
6
e) 35 pães.
e) Uma Progressão Geométrica de razão log3 x
05.
03.
Ufjf 2012) Se a soma dos n primeiros termos de
uma progressão aritmética (PA) de termo geral an , com
n ≥ 1, é dada por Sn =
dessa PA é:
a) –10.
b) –6.
c) 4.
d) 12.
e) 20.
15n − n2
, então o vigésimo termo
4
(Unicamp 2011) No centro de um mosaico
formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou
4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista
colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por
uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente,
alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como
ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central
do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a
10ª camada de ladrilhos cinza contém
04.
(Uff 2011) Ao se fazer um exame histórico da
presença africana no desenvolvimento do pensamento
matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à
matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos
documentos que resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes
recebidas estejam em progressão aritmética e que um
sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma
das duas menores.”
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a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
2012 1
Progressão Aritmética Progressão Geométrica Sistema ELITE de Ensino
06.
(Ifsp 2011) Observe a sequência de figuras
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os
pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se o
quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento
indefinidamente, a soma das áreas de todos os quadrados
sombreados dessa sequência é igual a 64 2 cm2. A área
do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência,
em centímetros quadrados, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2
.
16
2
.
4
2.
4 2.
8 2.
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas.
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas.
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas.
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo
da quantidade de estrelas necessária?
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
09.
. (Uff 2010) Com o objetivo de criticar os
processos infinitos, utilizados em demonstrações
matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia
(século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a
tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo
matemático.
07.
Unesp 2011) Após o nascimento do filho, o pai
comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma
caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$
4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do
depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai
recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria
até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de
depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 =
1.024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em
caderneta de poupança foi de
a) 42.947,50.
b) 49.142,00.
c) 57.330,00.
d) 85.995,00.
e) 114.660,00.
08.
(Enem 2ª aplicação 2010) O trabalho em empresas
de exige dos profissionais conhecimentos de diferentes
áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma
dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de
determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas
na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras
cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou
sua resposta:
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Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O
escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da
seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga,
símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais
rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem.
Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um;
Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro;
Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um
centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um
milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um
décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que
Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida
por Aquiles nessa fábula é igual a
∞
d = 10 + 1 +
1
1
+
+ ... = 10 +
10 102
n =0
n
∑( ) .
1
10
É correto afirmar que:
a) d = + ∞
b) d = 11,11
91
c) d =
9
d) d = 12
100
e) d =
9
2012 2
Progressão Aritmética Progressão Geométrica Sistema ELITE de Ensino
10.
(Uerj 2010) Uma bola de boliche de 2 kg foi
arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra a
velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três
pontos dessa pista: A, B e C.
Pontos
Velocidade
(m/s)
Energia
(J)
A
V1
E1
B
V2
E2
C
V3
E3
cinética
1
,
2
(V1, V2, V3 ) está
Se (E1, E2, E3 ) é uma progressão geométrica de razão
a razão da progressão geométrica
indicada em:
a) 1
b) 2
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada
um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura
2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia
dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
2
2
1
d)
2
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da
sequência apresentada acima é
a)
c)
b)
11.
(Ibmecrj 2010) Sendo x e y números reais
positivos, é correto afirmar que
c)
x y x y.........
é igual a:
a) x1 3 y 2 3
b) x 2 3 y1 3
d)
c) x 2 3 y 2 3
d) x1 4 y1 4
e) x1 4 y 2 3
e)
12.
(Enem 2008) Fractal (do latim fractus, fração,
quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria
fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o
comportamento dos fractais - objetos geométricos
formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da
geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes
passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade
do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três
cópias;
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2012 3
Sistema ELITE de Ensino
Progressão Aritmética Progressão Geométrica Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
cos(k ⋅
π
k.π n.π
) será inteiro se
=
(n ∈ Z) ⇔ k = 7n (k deverá ser múltiplo de 7).
14
14
2
Determinando o total de múltiplos de 7, compreendidos entre 1 e 1000, temos:
(7, 14, 21, ..., 994) P.A onde a1 = 7 e r = 7
994= 7 = (n-1).7
n = 142
Resposta da questão 2:
[A]
Como
log3 x + log3 9x = log3 x + log3 3 2 + log3 x
= 2 ⋅ log3 x + 2 ⋅ log3 3
= 2 ⋅ (log3 x + log3 3)
= 2 ⋅ log3 3x,
segue que a sequência (log3 x, log3 3x, log3 9x) é uma progressão aritmética de razão
log3 3x − log3 x = log3
3x
= log3 3 = 1.
x
Resposta da questão 3:
[B]
O vigésimo termo da progressão aritmética é dado por
15 ⋅ 20 − 202 15 ⋅ 19 − 192
−
4
4
15 + (19 − 20) ⋅ (19 + 20)
=
4
15 − 39
=
4
= −6.
S20 − S19 =
Resposta da questão 4:
[A]
Sejam x − 2r, x − r, x, x + r e x + 2r o número de pães que cada homem recebeu, com x, r > 0.
Desse modo,
⎧x − 2r + x − r + x + x + r + x + 2r = 100
⎪
⇒
⎨ x + x + r + x + 2r
= x − 2r + x − r
⎪⎩
7
⎧x = 20
⎧x = 20
⎧5x = 100
⎧x = 20
⎪
⎪
⇒ ⎨
⇒ ⎨ 11⋅ 20 ⇒ ⎨ 55 .
⎨
⎩3x + 3r = 14x − 21r ⎩24r = 11x ⎪r =
⎪⎩r = 6
⎩
24
MATEMÁTICA – Prof. João Alvaro
2012 4
Progressão Aritmética Progressão Geométrica Sistema ELITE de Ensino
Portanto, coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão a quantidade de
x + 2r = 20 + 2 ⋅
55
55 60 + 55 115
pães.
= 20 +
=
=
6
3
3
3
Resposta da questão 5:
[D]
O número de ladrilhos em cada “lado” das camadas cinza constitui a progressão aritmética (2, 6,10, K ). Desse modo, o “lado”
da 10ª camada terá
a10 = a1 + (n − 1)r
= 2 + (10 − 1) ⋅ 4
= 2 + 36
= 38 ladrilhos.
Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém 4 ⋅ (38 − 2) + 4 = 148 ladrilhos.
Resposta da questão 6:
[A]
A sequência é uma P.G. infinita de razão q =
1
, vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10 seu décimo termo.
2
A1
1
= 64 2 ⇔ A1 = .64 2 = 32 2
1
2
1−
2
10 −1
2
⎛ 1 ⎞
Logo, A 10 = 32 2. ⎜ ⎟
=
16
⎝ 2 ⎠
Resposta da questão 7:
[D]
(1,2,4,8,.. 2048)
Considerando a P.G., temos:
2048 = 1.2 n-1
2n -1 = 211
n = 12 (12 meses = 1 ano)
Soma dos montantes S =
1.(212 − 1)
= 4095 (por ano)
2 −1
No 21o aniversário, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.
Resposta da questão 8:
[C]
O número de estrelas em cada linha constitui uma progressão aritmética em que o termo geral é dado por an = n, sendo n
(n ≥ 1) o número da linha.
A soma dos 150 primeiros termos da progressão é dada por S150 =
(a1 + a150 )
(1+ 150)
⋅ 150 =
⋅ 150 = 11.325.
2
2
Portanto, como 12.000 é o número mais próximo de 11.325, segue que o funcionário III apresentou o melhor palpite.
Resposta da questão 9:
[E]
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2012 5
Progressão Aritmética Progressão Geométrica Sistema ELITE de Ensino
∞
d = 10 + 1 +
1
1
+ 2 + ... = 10 +
10 10
n =0
n
∑( ) .
1
10
PG infinita de razão 1/10
d=
10
10 100
=
=
1
9
9
1−
10 10
Resposta da questão 10:
[C]
Sabendo que a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade V é dada por
mV 2
, segue que:
2
2V12
= V12 ,
2
2V 2
E2 = 2 = V22
2
e
2V 2
E3 = 3 = V32 .
2
E1 =
Como (E1, E2, E3 ) é uma PG de razão
E2 =
E1 V12
=
2
2
e E3 =
1
, temos que:
2
E2 V12
=
.
2
4
Assim,
V22 =
e
V12
2V1
⇒ V2 =
2
2
V12
V
⇒ V2 = 1 .
4
2
Em que:
V1
2V1
V3 V2
2
2
=
⇔
= 2 =
,
V2 V1
V1
2
2V1
2
V32 =
ou seja, (V1, V2, V3 ) é uma PG de razão
2
.
2
Resposta da questão 11:
[B]
x y x y......... = (x1/2.x1/8. x’1/32...).(y1/4.y1/16.y1/64...) = x ½ +1/8 + 1/32 + .... y1/4 + 1/16 + 1/64 + ...= x2/3.y1/3
(aplicando a fórmula da soma dos termos da P.G. é infinita em cada expoente.)
Resposta da questão 12:
[C]
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2012 6
Sistema ELITE de Ensino
Progressão Aritmética Progressão Geométrica O número de triângulos pretos em cada passo constitui a PG (1, 3, 9, 27, K ).
A alternativa (C) é a única que apresenta 27 triângulos pretos.
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2012 7