GEOMETRIA DIFERENCIAL - FICHA 3
JOÃO PEDRO MARTINS DOS SANTOS
1.
Seja Ψ : R3 → R dada por Ψ(x, y, z) = f (x2 + y 2 )ez a aplicação que
determina a folheação de Reeb F. Seja L ⊂ D2 × (R/Z) ⊂ S3 uma folha de
F. Então existe c ∈ R+ tal que π(Ψ−1 (c)) ⊂ L, onde
π : D2 × R → D2 × (R/Z) é a projecção canónica. Como f 0 < 0, então f é
injectiva, e como f (0) = 1 e f (1)p= 0, então pode considerar-se a sucessão
{pn }n∈N em R3 dada por pn = ( f −1 (e−n ), 0, log c), e tem-se
Ψ(pn ) = ce−n , logo a sucessão {[pn ]}n∈N em D2 × (R/Z) ⊂ S3 apenas toma
valores na folha L. Por outro lado, pn → (1, 0, log c), logo
[pn ] → [(1, 0, log c)], e como Φ é contínua, então Φ([pn ]) → Φ([(1, 0, log c)]),
e como a sucessão {[pn ]}n∈N apenas toma valores na na folha L ∈ F, então
{Φ([pn ])}n∈N é uma sucessão constante, logo Φ([pn ]) = Φ([(1, 0, log c)])
para qualquer n ∈ N, e como [(1, 0, log c)] está na folha correspondente ao
toro através do qual é feita a colagem para obter S3 , então Φ toma o
mesmo valor em L e no toro. Como L é uma folha arbitrária (que não o
toro) em F, conclui-se que Φ é constante.
2.
(a)
Seja G = {g1 , · · · , gn }, onde g1 é a identidade de G.
Seja p ∈ M . Como a acção de G em M é livre, então g1 · p, · · · , gn · p são
distintos dois a dois, e como M é Hausdorff, então existem abertos
V1 , · ·T
· , Vn disjuntos dois a dois tais que gk · p ∈ Vk para 1 ≤ k ≤ n. Seja
U = nk=1 gk−1 · Vk . Como cada Ψ(gk ) é um difeomorfismo, então U é
aberto, e para 1 ≤ k ≤ n tem-se p = gk−1 · (gk · p) ∈ gk−1 · Vk , logo p ∈ U .
Suponha-se que existem gm ∈ G (com m 6= 1) e q ∈ gm · U ∩ U . De q ∈ U
T
vem q ∈ g1−1 · V1 = V1 . Por outro lado, gm · U = nk=1 (gm gk−1 ) · Vk , logo
−1 ) · V = V , logo q ∈ V ∩ V , o que contradiz a hipótese de V
q ∈ (gm gm
m
m
1
m
1
e Vm serem disjuntos.
Conclui-se que g · U ∩ U = ∅ para qualquer g ∈ G \ {g1 }.
1
2
JOÃO PEDRO MARTINS DOS SANTOS
Sejam p, q ∈ M não pertencentes à mesma órbita. Como a acção de G em
M é livre e q não pertence à órbita de p, então g1 · p, · · · , gn · p, q são
distintos dois a dois, e como M é Hausdorff, então existem abertos
V1 , · · · , Vn , Vn+1 disjuntos dois a dois tais que gk · p ∈ Vk e q ∈ Vn+1 . Sejam
T
U = nk=1 gk−1 · Vk e V = Vn+1 . Como cada Ψ(gk ) é um difeomorfismo,
então U é aberto, e para 1 ≤ k ≤ n tem-se p = gk−1 · (gk · p) ∈ gk−1 · Vk , logo
p ∈ U . Suponha-se
que existem gm ∈ G e q 0 ∈ gm · U ∩ V .
Tn
−1 ) · V = V , logo
Tem-se gm · U = k=1 (gm gk−1 ) · Vk , logo q 0 ∈ (gm gm
m
m
q 0 ∈ V ∩ Vm , o que contradiz a hipótese de V e Vm serem disjuntos.
Conclui-se que g · U ∩ V = ∅ para qualquer g ∈ G.
Assim, Ψ é uma acção propriamente descontínua.
(b)
Seja B = {Bn }n∈N uma base contável para M . Seja 1 a identidade de G.
Seja p ∈ M . Como Ψ é uma acção livre e propriamente descontínua, então
existe um aberto U 3 p tal que g · U ∩ U = ∅ para qualquer g ∈ G \ {1}.
Se g1 e g2 são elementos distintos de G, então g2−1 g1 6= 1, logo
g1 · U ∩ g2 · U = g2 (g2−1 g1 ) · U ∩ g2 · U = g2 · ((g2−1 g1 ) · U ∩ U ) = g2 · ∅ = ∅.
Conclui-se assim que os abertos g · U são disjuntos dois a dois. Para cada
g ∈ G seja Bn(g) um elemento da base B tal que g · p ∈ Bn(g) ⊂ g · U . Seja
f : G → B dada por f (g) = Bn(g) . Se g1 e g2 são elementos distintos de G,
então g1 · U ∩ g2 · U = ∅, e como Bn(g1 ) ⊂ g1 · U e Bn(g2 ) ⊂ g2 · U , então
Bn(g1 ) ∩ Bn(g2 ) = ∅ e em particular Bn(g1 ) 6= Bn(g2 ) , ou seja, f (g1 ) 6= f (g2 ).
Conclui-se que f : G → B é injectiva, e como B é contável, então G
também é contável.
(c)
Considere-se M = R, G = Q e Ψ : G → Diff(M ) tal que Ψ(q)(x) = q + x.
Então G é contável e Ψ é uma acção livre. Seja U 3 0 um aberto. Como Q
é denso, então existe q ∈ Q ∩ U e tem-se q ∈ (q + U ) ∩ U , logo
(q + U ) ∩ U 6= ∅. Como U 3 0 é um aberto arbitrário, conclui-se que Ψ
não é propriamente descontínua.
3.
A variedade S = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 = 1} é difeomorfa a S3 , logo é
uma variedade simplesmente conexa. Seja Ψn : Zn → Diff(S) tal que
Ψn (x + nZ)(z, w) = (e2πix/n z, e2πix/n w). Então Ψn está bem definida e é
uma acção livre, e como Zn é finito, então, de acordo com o resultado de
2.(a), Ψn é propriamente descontínua, logo Xn = S/Zn é uma variedade
diferenciável, e como S é uma variedade simplesmente conexa, então S é
um revestimento universal de Xn , logo π1 (Xn ) = Zn .