Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos
Lista de Exercícios: Variáveis aleatórias discretas
1. De um lote de produtos manufaturados, extraímos 18 itens ao acaso; se 10% dos itens são defeituosos, calcular a
prob. de mais de 2 itens serem defeituosos sabendo que pelo menos um é defeituoso.
2. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é igual a 0,8. Suponha que tentativas de lançamento
sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos. Qual o número médio de tentativas para a
ocorrência dos 3 lançamentos bem sucedidos?
3. Um industrial fabrica peças, das quais 1/5 são defeituosas. Dois compradores A e B, classificam as partidas
adquiridas em categorias I e II, pagando $1,20 e $0,80 respectivamente da seguinte forma:
Comprador A: retira uma amostra de 5 peças; se encontrar mais que uma defeituosa, classifica como II
Comprador B: retira amostra de dez peças; se encontrar mais que duas defeituosas, classifica como II.
Em média, qual comprador oferece maior lucro? Se o comprador B pagasse $1,30 e $0,70 você mudaria sua
conclusão sobre o item (a)?
4. Suponha que a variável aleatória discreta X possa tomar os valores 2, 4, 6, ..., 30 e que esses valores são igualmente
prováveis.
a) Qual é a média e a variância de X?
b) Esboce os gráficos de p(x), a função de distribuição de probabilidades de X, e de F(x), a função de
distribuição acumulada de X.
5. Um vendedor de automóveis sabe que o número de carros vendidos por dia em sua loja comporta-se como uma v.a.
de Poisson cuja média é 2 nos dias de tempo bom, e é 1 nos dias chuvosos. Se em 70% dos dias faz tempo bom,
qual é a probabilidade de que em certo dia do ano sejam vendidos pelo menos 3 automóveis?
6. A probabilidade de um atirador A acertar um alvo é 1/2. A probabilidade de um atirador B acertar o alvo é 1/3. Se
cada um deles dispara 5 tiros, qual a probabilidade
a) de o atirador A não acertar nenhum tiro?
b) de o alvo ser atingido no terceiro tiro
c) não ser atingido por nenhum deles?
d) de um único tiro acertar o alvo?
7. Lança-se um dado honesto até sair a face 6. Suponha que X seja o número de lances até a ocorrência do número 6.
Calcule:
a) a média de X
b) a média de X2
c) V(X).
8. Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma
distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,3 (utilize apenas duas casas decimais).
a) calcular o número médio de ocupantes por veículo.
b) qual a probabilidade de que num determinado dia o quinto veículo que passar por esta rodovia seja o
primeiro a transportar mais do que 3 pessoas?
c) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira: se o veículo transporta uma pessoa apenas
(só o motorista) é cobrado R$6,00; se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$4,00; e se tiver mais do que 3
ocupantes, R$ 2,00. Calcular a arrecadação média diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos
por dia neste pedágio.
9. Uma relação aprovada de jurados contém 20 homens e 20 mulheres. Determine a probabilidade de que, em uma
escolha aleatória de 12 dessas pessoas, obtenhamos um júri composto só de homens. Nessas circunstâncias, se o
acusado é condenado por um tal júri, há evidência suficiente para sugerir que a escolha dos jurados não foi
aleatória?
10. Suponha que a variável aleatória discreta X possa tomar os valores 1,2, ..., n, e que esses valores são igualmente
prováveis. Esboce os gráficos da função de distribuição de probabilidades de X p(x) e da função de distribuição
acumulada F(x).
11. Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu
em cada 300 km, e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson. Qual a
probabilidade de que: a) num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado? b) um carro ande 450 km na
pista sem estourar nenhum pneu?
12. Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5
peças. O lote será aceito se forem observadas o ou 1 defeituosas. Há 20 defeituosas no lote. a) qual a probabilidade
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de o lote ser aceito? b) admitindo-se que o lote seja aceito, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito?
13. Começamos a suspeitar quando um pesquisador de genética seleciona aleatoriamente um grupo de 20 recémnascidos e obtém consistentemente 10 meninos e 10 meninas. O pesquisador explica que é comum obtermos 10
meninos e 10 meninas em tais casos.
a) Selecionados aleatoriamente 20 recém-nascidos, quantas seqüências diferentes de sexo são possíveis?
b) Qual é a probabilidade de 10 meninos e 10 meninas em 20 crianças selecionadas ao acaso?
c) Com base nos resultados precedentes, você concorda com a alegação do pesquisador, que é comum se
obter 10 meninos e 10 meninas em uma escolha aleatória de 20 crianças?
14. Duas pessoas lançam, cada uma, 3 moedas. Qual a probabilidade de que tirem o mesmo número de caras?
15. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair face 6 tem um
desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair 5 o desconto é de 20%. Se ocorrer face 4 é de 10%, e se
ocorrerem faces 1, 2 ou 3 o desconto é de 5%.
a) calcular a probabilidade de que num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que
10%
b) calcular a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a conseguir 30%.
c) calcular o desconto médio concedido.
16. Um estudante se submete a um exame de múltipla escolha no qual cada questão tem 5 respostas possíveis das
quais exatamente uma é correta. O estudante seleciona a resposta correta se ele sabe a resposta. Caso contrário,
ele seleciona ao acaso uma resposta entre as 5 possíveis. Suponha que o estudante saiba a resposta de 70% das
questões.
a) Se o estudante escolhe a resposta correta para uma dada questão, qual a probabilidade de que ele saiba a
resposta?
b) Suponha que ele faça uma prova com 5 questões, qual a probabilidade de acertar mais da metade da
prova?
c) Qual a nota média do estudante numa prova com 5 questões?
17. Um patologista sabe que 14,9% de todas as mortes podem ser atribuídas a infarto do miocárdio. Em certa região,
examinam-se 5000 certidões de óbito, constatando-se 896 mortes por infarto do miocárdio. Há razões para
preocupação? Por que?
18. Suponha que um modelo teórico para a variável notas em um teste de Estatística (X) é dado por: P(X=j)=|j-11|/66,
j=0, 1, 2, 3, ..., 10. Para 27 alunos submetidos a esse teste, apresentamos um resumo de suas notas. Um professor
desconfia que o modelo não é adequado. O que você acha?
Notas
[0 – 2) [2 – 4) [4 – 6) [6 – 8) [8 – 10)
Frequência
6
10
5
5
1